SOP Mat A / Dan A: Det gyldne snit og Fibonacci-tal

Resume

Opgaven undersøger, i hvilken grad æstetisk harmoni i tre udvalgte værker kan forklares med det gyldne

snit (φ) og den afledte gyldne spiral, samt hvordan matematik kan fungere som autoritet i formidlinger

af skønhed og proportion. Der redegøres kort for Fibonacci-sekvensens teoretiske forbindelse til φ og

for definition/konstruktion af det gyldne snit. Herefter opstilles et standardiseret testdesign, hvor et

spiral-overlay skaleres til et valgt kompositionsfelt, og faste fokuspunkter testes med 3% tolerance.

Afvigelser måles i pixels og normaliseres til procent, så resultater kan sammenlignes på tværs af værker.

Modellen afprøves på Poussins Les Bergers d’Arcadie, Krøyers Italienske Landsbyhattemagere og

Kviums Kulturkreds i relation til periodernes æstetiske idealer. Resultaterne viser, at modellen kan

ramme enkelte lokale tyngdepunkter, men ikke forklarer helhedskompositionen på tværs.

Afslutningsvis diskuteres metodekritik (beskæring, perspektiv, reproduktionskvalitet og multiple

testing) og der vurderes, at matematikken bedst fungerer som et supplement til billedanalyse frem for

et bevis på tidløs harmoni.

Indholdsfortegnelse

Resume .................................................................................................................................................... 1

Indledning ............................................................................................................................................... 4

Metode ..................................................................................................................................................... 4

Litteraturhistorien ................................................................................................................................... 5

Renæssancen ...................................................................................................................................... 5

Det moderne gennembrud ................................................................................................................ 6

Modernisme ....................................................................................................................................... 7

Fibonacci sekvensen ............................................................................................................................... 7

Det gyldne snit ................................................................................................................................... 7

Konstruktion af det gyldne snit ........................................................................................................ 8

Testdes ign + tole rancer ..................................................................................................................... 9

Les Bergers d’Arcadie ............................................................................................................................ 9

Matematisk kompositionsanalyse .................................................................................................. 10

Italienske landsbyhattemagere ............................................................................................................. 12

Matematisk kompositionsanalyse .................................................................................................. 13

Kulturkreds ............................................................................................................................................ 15

Matematisk kompositionsanalyse .................................................................................................. 16

Komparativ måling ............................................................................................................................... 18

Metodekritik .................................................................................................................................... 19

Vurdering .............................................................................................................................................. 20

Konklusion ............................................................................................................................................ 21

Litteraturliste ......................................................................................................................................... 23

Bilag ...................................................................................................................................................... 24

Bilag 1 ............................................................................................................................................... 24

Bilag 2 ............................................................................................................................................... 24

Bilag 3 ............................................................................................................................................... 25

Bilag 4 ............................................................................................................................................... 25

Bilag 5 ............................................................................................................................................... 26

Bilag 6 ............................................................................................................................................... 26

Bilag 7 ............................................................................................................................................... 27

Bilag 8 ............................................................................................................................................... 27

Bilag 9 ............................................................................................................................................... 28

Bilag 11 ............................................................................................................................................. 30

Bilag 12 ............................................................................................................................................. 31

Bilag 13 ............................................................................................................................................. 32

bilag 14 .............................................................................................................................................. 33

Indledning

Forestiller om skønhed, proportion og harmoni forandrer sig i takt med historiske og litteraturhistoriske

brud. I perioder, hvor verden forstås som ordnet og erkendelig, får idealer om balance og lovbundet

form ofte en fremtrædende rolle i kunstens udtryk. I andre perioder udfordres harmonien af sociale

omvæltninger, videnskabelige paradigmeskift og modernitetens erfaringer af uro og fremmedgørelse,

hvilket kan afspejles i fragmenterede eller bevidst forstyrrende æstetikformer. Samtidig bruges

matematiske begreber som φ (phi), det gyldne rektangel og den gyldne spiral fortsat i kunstformidling

som tilsyneladende objektive forklaringer på “tidsløs” skønhed. Det rejser et centralt spørgsmål: I

hvilken grad kan matematik faktisk forklare kompositionel harmoni i konkrete værker, og hvornår

fungerer den snarere som et retorisk kvalitetsstempel?

Denne opgave undersøger derfor sammenhængen mellem æstetiske idealer og matematiske modeller

på tværs af perioder. Med udgangspunkt i φ og den gyldne spiral afprøves en ensartet testprocedure på

tre værker fra forskellige æstetiske kontekster: Poussins Les Bergers d’Arcadie, Krøyers Italienske

Landsbyhattemagere og Kviums Kulturkreds. Dansk bidrager med litteraturhistoriske rammer for

periodernes menneskesyn, erkendelsesformer og skønhedsnormer, mens matematik bidrager med

definitioner, konstruktion og en systematisk afprøvning af modellen. Undersøgelsen søger ikke at

fastslå kunstnerintention, men vurderer modellens forklaringskraft i forhold til komposition og

formidling. Derfor anvendes afgrænsede kompositionsfelter, faste fokuspunkter og en fast tolerance, så

afvigelser kan vurderes på en gennemsigtig måde. På den baggrund diskuteres, hvad matematikken kan

dokumentere, og hvor grænsen går mellem måling, fortolkning og matematik som autoritetsargument i

fortællinger om skønhed.

Metode

Metodeafsnittet tager udgangspunkt i den videnskabelige basismodel, hvor problemformuleringen

styrer valg af fremgangsmåder, materiale og afgrænsninger. Undersøgelsen retter sig mod, i hvilken

grad det er fagligt holdbart at forklare æstetisk harmoni med det gyldne snit, samt hvordan matematik

kan fungere som autoritet i tekster om skønhed og kunst. Dette undersøges gennem en kombination af

matematikfaglig modellering og danskfaglig analyse, da problemformuleringen både handler om, hvad

der kan dokumenteres, og hvordan betydning og overbevisning skabes i formidling.

Den matematiske del gennemføres som modellering af det gyldne snit og forbindelsen til Fibonacci-

sekvensen. Begreberne defineres og begrundes matematisk, og modellen operationaliseres, så den kan

afprøves på konkrete værker. Tre matematiske metoder indgår: syntetiske metoder anvendes til

konstruktion og visualisering af proportioner og opdelinger i billedfladen, formelle metoder anvendes

til at opstille og bearbejde centrale sammenhænge, og numeriske metoder anvendes til tilnærmede

beregninger, der gør det muligt at sammenligne målte forhold med modellens idealforhold. Resultaterne

vurderes med en eksplicit tolerance, så det tydeliggøres, hvor strengt “overensstemmelse” mellem værk

og model forstås.

Den danskfaglige del bygger på billedanalyse og litteraturhistorisk kontekstualisering. Billedanalysen

undersøger kompositionelle virkemidler (fx perspektiv, beskæring, lys, farver, blikretninger og

figurgrupper), som kan skabe oplevelser af harmoni eller brud. Den komparative tilgang anvendes til at

sætte værker fra forskellige perioder i relation til hinanden, så de matematiske resultater kan diskuteres

i forhold til periodernes skønhedsnormer og erkendelsesformer.

Afgrænsningen består i, at undersøgelsen ikke søger at fastslå kunstnerintention, men undersøger

modellens forklaringskraft i forhold til komposition og formidling. Metodisk afgrænses analysen til et

begrænset udvalg af værker og tekster samt til en tydelig, ensartet testprocedure, så risikoen for

tilfældige træf og efterrationalisering mindskes.

Spiral-overlat’et er konstrueret I en gylden rektangel. Da værkernes format muligvis ikke har disse

sideforhold, udføres testen på et udvalgt gyldent rektangel for ikke at forvrænge modellen. Yderligerer

fastlægges specifikke fokuspunkter og en fast tolerance, så afvigelsen kan udregnes procentvis og

derefter diskuteres.

Litteraturhistorien

Det litteraturhistoriske begreb benyttes til at forbinde litteratur og historiske sammenhænge. I

modsætning til en almindelig litterær analyse, fokuserer litteraturhistorien på den kronologi, udvikling

og sammenhæng som præsenteres, f.eks. undersøger den danske litteraturhistorie hvordan historiske

tekster udvikler sig, men også fokus på teksten som et æstetisk udtryk og eksistentielle udsagn.

Litteraturhistorie benyttes for at danne forståelse for begivenheder, udvikling og sammenhænge i den

litterære og kulturelle historie. Yderligere, skaber det en forståelse af verden, som supplerer

dannelsesprocessen i den enkelte, og formulerer samspillet mellem tekst, kultur og samfund

Inddelingen af litteraturhistoriske perioder kan beskrives som en konstruktion, da periodedelingerne er

udtryk for reduktion og generalisering. Perioderne kan inddeles med en tematisk tilgang, hvor temaer

som f.eks. sex, sociale vilkår eller økonomi bliver den røde tråd

I denne opgave bruges periodiseringen som en analytisk ramme til at forklare, hvorfor idealer om

harmoni, orden og erkendelse ser forskellige ud i klassicistiske, realistiske og modernistiske udtryk, og

dermed til at vurdere, om en matematisk model kan forventes at have samme forklaringskraft på tværs.

Renæssancen

Renæssancen kan forstås som en kulturel genfødsel

, hvor antikkens kunst- og dannelsesidealer igen

bliver et normgivende forbillede, især for fremstillinger om skønhed, harmoni og mennesket som

(Rømhild, 2009)

(Kjær-Hansen, et al., 2012) – side 237

(Gamrath, 2024)

målestok

. Den symbolske billedverden blev udviklet til et ideal om en lovbundet og æstetisk orden,

hvor det smukke opfattes som noget, som kan begrundes I proportioner, balance og regelmæssighed.

Renæssancen dyrker derfor en harmonisk æstetik inspireret af antikkens kunst og tænkning, hvor I

kunst- og arkitetursyn bliver harmonien ofte knyttet til matematiske love, såsom idealproportioner

Derved anses perioden som særlig relevant I billedanalyse, fordi komposition ikke kun håndteres som

et praktisk greb, men som et udtryk for et ideal om, at verden og mennesket kan fremstilles som

meningsfuldt korrekt.

Et yderligere centralt kendetegn er renæssancens belysning af erkendelse. Perioden forbindes med et

skifte mod en mere emperisk og undersøgelsesorienteret tilgang. Dette går hånd I hånd med

humanismen, som sætter mennesket I centrum som et dannelses- og erkendende individ.

Renæssancens skønhedsnormer kan derfor sammenfattes i en stræben efter harmonisk ligevægt og

ordnet form, hvor det æstetiske ideal ofte ligger i balancen mellem naturtro iagttagelse og bevidst

komposition. Det betyder, at analysen af renæssanceprægede værker med fordel kan fokusere på,

hvordan harmoni produceres gennem billedets opbygning: symmetri/asymmetri, proportioner, m.m.

Det moderne gennembrud

Starten på det moderne gennembrud, blomstrede i kølvandet på overgangen fra et landbrugssamfund til

det industrielle samfund. Begrebet bruges oftest om de nye strømninger i kulturlivet. Det moderne

gennembrud mobiliseres ved den fornyeligt indførte Grundlov, da borgerne pludseligt havde

ytringsfrihed

. Litteraturforskeren Georg Brandes opfordrede danske forfattere til at sætte problemer

under debat, fordi han mener, at litteraturen mister sin betydning, hvis ikke den sætter problemer under

debat

. I takt med det moderne gennembrud, udviklede der sig en ny tilstedeværelsesforståelse,

naturalismen, som blev bygget på et videnskabeligt fundament. Verdenssynet kunne beskrives som

monistisk, ateistisk og realistisk. Litteratur fra denne periode er præget af realisme, hvori der fremvises

hverdagen, mennesker og steder. Der fokuseres på samfundsmæssige problemer og debatter, men også

hvordan litteraturen kommunikeres: forfattere begynder at skrive med detaljerede ord, som ikke lægger

skjul på det grimme og hårde i eksistensen. De troværdige og realistiske beskrivelser blev både anvendt

for, at læseren kunne leve sig ind i fortællingen, men også for at belyse uligheden og fattigdom som

opleves

Kunstnere reagerede på den voksende sociale ulighed og motivet skildres, som der er og uden tydelig

morale eller budskab. Derfor blev kunstnernes værker kreeret ud fra et ønske om forandring

. Grundet

(Bøndergaard, 2012)

ibid

(Kjær-Hansen, et al., 2012) – side 139

(Zerlang, 2025)

(Kjær-Hansen, et al., 2012) – side 140

(Hedin, 2025)

industrialisering, opstod nye former for arbejde som kunstnerne malede. Formålet med dette var, at

kunstnerne ville se virkeligheden i øjnene, hvor nogle lod sig inspirere af fotografiske virkemidler.

Modernisme

Modernismen er en bred betegnelse for de kunstneriske strømninger, der fra slutningen af 1800-tallet

og langt ind i 1900-tallet gjorde op med traditionen. Inden for kunsten betyder modernismen især, at

kunstnere ikke længere ville efterligne virkeligheden på klassisk vis, men i stedet skabe nye former, nye

udtryk og nye måder at se verden på. Modernismen hænger tæt sammen med industrialisering, storbyliv,

teknologiske forandringer og erfaringerne fra krige og samfundsomvæltninger

Det, der især kendetegner modernistisk kunst, er bruddet med det gamle. Kunstnere eksperimenterede

med form, farve, perspektiv og materiale. Derfor ser man ofte forenkling, abstraktion, fragmentering

og fokus på selve værkets form frem for naturtro gengivelse. Kunsten skulle ikke bare forestille verden,

men også undersøge, hvordan kunst overhovedet skabes og opleves

Kunstnernes idé og formål i modernismen var derfor at forny kunsten og udfordre publikums måde at

tænke på. Mange modernister mente, at kunsten skulle være fri af gamle regler og kunne udtrykke det

moderne menneskes oplevelse af uro, fremmedgørelse, fart og forandring. Andre så kunsten som et

middel til at skabe udvikling og nye visioner for samfundet. Fælles er, at kunstneren ikke kun ville vise

noget pænt eller realistisk, men udtrykke en erkendelse, en følelse eller en idé gennem selve formen.

Fibonacci sekvensen

Fibonacci-sekvensen er en talfølge, hvor hvert nyt tal bestemmes som summen af de to foregående:

" # $ !

" !

% #. De første tal er derfor 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Sekvensen er især relevant i

denne opgave, fordi den har en velkendt grænseegenskab: forholdet mellem to nabotal nærmer sig en

konstant, når nnn bliver stor. Mere præcist gælder &'(

!→#

!"#

$ ), hvor ) $

√

(

)

* #+,#-. Det betyder,

at Fibonacci-sekvensen teoretisk kan bruges til at motivere, hvorfor φ dukker op i modeller for vækst,

opdeling og proportioner. I denne undersøgelse anvendes Fibonacci derfor primært som teoretisk

begrundelse for φ-begrebets betydning, mens den konkrete kompositionsafprøvning udføres med φ, det

gyldne rektangel og den afledte gyldne spiral

Det gyldne snit

Det gyldne snit, også kendt som det irrationelle nummer:

√

(

)

, kaldes ofte for ) (phi). Værdien af ). *

#+,#-, som nævnt i forrige afsnit. Det gyldne snit kan også udtrykkes ved kædebrøken:

(Hauge, 2015)

(Kathleen, 2026)

(Esrom Larsen, 2024)

) $ # "

# "

# " /

I populær kunstformidling fremstilles φ\varphiφ ofte som et generelt harmoniprincip

, men i denne

opgave behandles φ\varphiφ som et matematisk defineret forhold, hvis relevans for æstetik må

undersøges empirisk gennem en fast testprocedure. Det gyldne snit betegner en bestemt proportional

opdeling af en strækning, hvor forholdet mellem helheden og den største del er det samme som forholdet

mellem den største og den mindste del. Proportionen kan i praksis omsættes til, at et “gyldent punkt

”

ligger ved ca. 0,6180 af en længde (og tilsvarende 0,3820 fra den anden side). Konstruktionen af det

gyldne snit kan udføres geometrisk med passer og lineal

ved at konstruere et punkt, der deler et

linjestykke i netop dette forhold; på samme måde kan gyldne rektangler og opdelinger konstrueres ved

hjælp af klassiske geometriske metoder eller i et geometriprogram. I en kunstnerisk sammenhæng

bruges både definitionen og konstruktionen som et værktøj til at beskrive eller planlægge komposition:

Billedfladen kan tænkes delt af lodrette og vandrette “gyldne linjer” ved 0,3820 og 0,6180, og analysen

kan derefter undersøge, om centrale elementer som fokuspunkt, figurgrupper, horisont eller vigtige

objekter er placeret nær disse opdelinger. På den måde fungerer det gyldne snit som en model for,

hvordan balance, tyngdepunkt og blikstyring kan organiseres i et billede, uden at det i sig selv beviser,

at et værk er “smukt”, men som en redegørende ramme for, hvordan proportioner kan indgå i

kunstnerisk komposition

Konstruktion af det gyldne snit

Som nævnt i forrige afsnit, kan det gyldne snit konstrueres ved brug af lineal eller passer, hvor målet er

at finde et punkt, som deler et linjestykke i forholdet #0 ). Udgangspunktet er et linjestykke AB. Først

konstrueres midtpunktet M på AB, hvorefter der opstilles en vinkelret linje gennem B, og på denne

afsættes et punkt D, så BD har samme længde som BM. Forbindelsen M og D, kan afstanden MD

overføres til linjen AB, sådan at længden AC bliver den gyldne udvidelse af AB. Når AC er konstrueret,

kan det gyldne snit på den oprindelige strækning bestemmes ved at markere punktet på AC, hvor AB

deles, så:

,-ø/,-0 1203

45!2,-01203

$ ).

I en kunstnerisk sammenhæng er denne konstruktion relevant, da den

viser, hvordan gyldne proportioner kan etableres præcist i et værk: konstrueres et gyldent rektangel, kan

kompositionens hovedlinjer og fokusområder planlægges eller beskrives ud fra geometrisk bestemte

proportioner.

(Carlson, 2026)

Bilag 1

(Toft Jørgensen, 2006)

(Carlson, 2026)

Bilag …

Testdesign + tolerancer

Et testdesign baseret på φ undersøger, om billede formatet eller centrale kompositionsfelter kan

beskrives som gyldne rektangler, dvs. rektangler hvor forholdet mellem lang og kort side er tæt på ). *

#+,#-. Den gyldne spiral betragtes i denne sammenhæng som en afledt kompositionsmodel, idet den

konstrueres ud fra en række indlejrede kvadrater i et gyldent rektangel og dermed afhænger af, at den

underliggende rektangulære ramme faktisk ligger tæt på ) . For at gøre undersøgelsen gentagelig

fastlægges på forhånd både fokuspunkter og en procentvis tolerance. Spiralmodellen afprøves ved at

skalere spiralens ydrerektangel proportionalt til kompositionsfeltet og derefter vurdere, om spiralens

kurve passerer tæt forbi de fastlagte fokuspunkter. I denne undersøgelse, gennemføres

tolerancekontrollen visuelt: der tegnes en cirkel om hvert fokuspunkt med radius 1 $ 2 3 4, og et punkt

registreres som inden for, hvis spiralens kurve skærer cirklen.

I analysen anvendes et standardiseret mål for afvigelse, så resultaterne kan sammenlignes på tværs af

værker og kompositionsfelter. Kompositionsfeltets bredde og højde betegnes b og h, og der defineres

en fælles målestok 4 $ ('5.67+ 89, det vil sige feltets korteste side. For hvert fokuspunkt : angiver ;

den korteste afstand til spiralkurven. Afstanden normaliseres som <

, hvilket kan udtrykkes i

procent som <

= $ #>> 3

. Tolerancen fastsættes som en procentværdi 2. Og et fokuspunkt registreres

som tolereret, hvis <

? 2. Værdierne findes ved at undersøge resolutionen på hvert billede og

kompositionsfelt, så det præcise antal af pixels kan benyttes til beregninger.

Les Bergers d’Arcadie

er et oliemaleri på lærred af Nicolas Poussin, dateret til 1637–38. Motivet

fremstiller fire figurer samlet omkring en grav i et idealiseret landskab. Tre hyrder bøjer sig ind over

gravens front og forsøger at aflæse indskriften, mens en kvindefigur står let tilbagetrukket og iagttager

scenen. Situationen er præget af eftertanke og stilstand: gestik, blikretninger og kropsholdninger samler

sig om graven som billedets betydningsmæssige og visuelle centrum. Derved tematiseres et klassisk

arcadisk spændingsfelt mellem idyllens løfte om harmoni og dødelighedens brud på den samme

harmoni, hvilket knytter værket til den humanistiske tradition, hvor menneskets erkendelse og

refleksion placeres centralt.

Kompositorisk er billedet bygget op som en klar tredeling i forgrund, mellemgrund og baggrund, hvor

figurgruppen i mellemgrunden danner en stabil enhed, der leder blikket mod gravens inskription.

Figuren på knæ fungerer som et blik- og bevægelsesmæssigt omdrejningspunkt: kroppen er vendt ind

mod teksten, og den udstrakte arm etablerer en tydelig retning, som de øvrige figurer responderer på.

Den stående hyrde til venstre, placeret mere distanceret, skaber en rolig modvægt til den koncentrerede

aktivitet omkring graven, mens kvindefiguren til højre fastholder kompositionen ved sin oprette,

Bilag 6

kontrollerede stilling. Derved fremstår billedets orden ikke tilfældig, men som en bevidst iscenesættelse

af balance og sammenhæng, hvor figurernes placering, afstande og retninger virker koordinerede.

Farve- og lysføringen understøtter samme harmoniske ideal. En varm, gylden belysning fra den lave

sol modellerer figurernes kroppe og skaber bløde overgange mellem lys og skygge, hvilket giver

motivet en rolig, næsten tidløs karakter. Samtidig fungerer farverne strukturerende: de fire figurer

adskilles tydeligt gennem stærke, relativt rene farvefelter, hvilket gør gruppen let at aflæse på afstand

og fremhæver hver figur som en del af en samlet orden. Kvindefigurens guld- og blåtoner skiller sig ud

fra hyrdernes mere jordnære farver og kan læses som en markør for værdighed og kontrol, snarere end

deltagelse i den umiddelbare læsehandling. Hendes placering og holdning gør hende til et stabilt “anker”

i billedet, der fastholder en overordnet ro, mens de tre hyrder repræsenterer den aktive

erkendelsesproces.

Disse billedlige greb kan forstås i forlængelse af de idealer, der kendetegner renæssanceprægede

forestillinger om skønhed og erkendelse, som også videreføres i klassicistiske kunstsyn: en stræben

efter harmonisk ligevægt, en tro på at orden kan fremstilles visuelt, og en interesse for mennesket som

målestok og erkendende subjekt. Kompositionen fremstår dermed som mere end en æstetisk “pæn”

opstilling; den iscenesætter et menneskesyn, hvor mening og erkendelse opstår gennem iagttagelse,

læsning og refleksion. Netop derfor er værket velegnet til at afprøve matematiske modeller for

harmoni

Matematisk kompositionsanalyse

Spiral-overlay’et er anvendt som en afledt kompositionsmodel baseret på φ, hvor spiralens ydre

rektangel er skaleret proportionalt til et udvalgt kompositionsfelt for at undgå forvrængning af

modellen. Afprøvningen har ikke til formål at fastslå kunstnerintention, men at undersøge modellens

forklaringskraft i forhold til værkets komposition og den måde, fokus og blik bevæges i formidlingen.

For at mindske risikoen for efterrationalisering er analysen begrænset til fem på forhånd fastlagte

fokuspunkter: (1) indskriften på graven som primært fokus, (2) kvindefigurens positur som stabilt anker

i kompositionen, (3) den røde hyrdes ansigt, (4) den knælende hyrdes ansigt og (5) den stående hyrdes

blikretning

. Tolerancekontrollen er gennemført visuelt ved hjælp af ens toleransecirkler, hvor et punkt

registreres som “inden for”, hvis spiralens kurve skærer cirklen.

Samlet set viser overlay’et

, at spiralmodellen i varierende grad kan beskrive, hvordan

opmærksomheden samles omkring gravens tekstfelt og den gestiske “læsning” af indskriften. Spiralens

tættere forløb ligger i nærheden af gravens centrale område, hvilket understøtter en tolkning af, at

billedets komposition er struktureret omkring et erkendelsespunkt: indskriften som visuel og tematisk

kerne. De sekundære fokuspunkter, særligt den røde hyrdes ansigt og den knælende hyrdes ansigt, ligger

(Schultz, 2015)

Bilag 7

Bilag 8

i et felt, hvor spiralens kurve også passerer relativt tæt, hvilket kan tolkes som en mulig model for

blikstyring fra figurernes reaktioner tilbage mod gravens tekst. Kvindefigurens positur fungerer

derimod mere som kompositorisk stabilisator end som et punkt, som skærer spiralen; hendes rolle kan

derfor forklares lige så godt gennem figurgruppens balance og vertikale tyngde som gennem spiralens

geometri. Tilsvarende viser den stående hyrdes blik, at flere væsentlige betydningsbærende elementer i

værket kan ligge uden for spiralens snævreste forløb uden at kompositionens harmoni dermed bryder

sammen.

På den baggrund fremstår spiralmodellen som et forklaringsredskab med begrænset, men ikke

ubetydelig forklaringskraft: den kan støtte en beskrivelse af, hvordan kompositionen samler sig om

gravens inskription og de figurer, der aktiverer “læsningen”, men den kan ikke alene forklare værkets

oplevede orden og harmoni. Resultatet peger dermed på et centralt metodisk forhold i undersøgelsen:

selv når en matematisk model kan lægges over et værk uden at fordreje dens forudsætninger, afhænger

konklusionen af valg af kompositionsfelt, fokuspunkter og tolerance. Derfor kan modellen bidrage til

en systematiseret samtale om proportion og fokus, men bør ikke behandles som et objektivt bevis på

skønhed eller som garanti for, at harmonien forklares af φ. Dette styrker opgavens overordnede

diskussion af, hvordan matematik i kunstformidling kan fungere både som analytisk værktøj og som

retorisk autoritetsmarkør.

I den matematiske kompositionsanalyse af Les Bergers d’Arcadie afprøves den gyldne spiral som en

afledt φ-model på et afgrænset kompositionsfelt. Kompositionsfeltet aflæses direkte af den gule

rektangel I bilaget

: ventre og højre kant ligger ved ca. @ $ AAA.BC.@ $

#D>E+ (F5G.HBI.BC.JK5L.&'CCFM.NFL.OPQ R $ EED.BC.R $ #>,A. Dermed fåt feltets bredde og højde

som 7 $ #D>E % AAA $ ##-#.S:@TUV.

+ 8 $ #>,A % EED $ WA-.S@. Som fælles målestok

anvendes feltets korteste side 4 $ ('5

7+ 8

$ WA-.S@, så afvigelser kan normaliseres uafhængigt af

billedestørrelse. Tolerancen fastsættes til 2 $ E=, hvilket giver en toleranceradius: 1 $ 2 3 4 $ >+>E 3

WA- $ A#+-D * AA.S@. Afvigelsen udtrykkes numerisk som forklaret I afsnittet om testdesign. På

forhånd er der fastlagt fem fokuspunkter: (1) indskriften på graven, (2) kvindens positur, (3) den røde

hyrdes ansigt, (4) den knælende hyrtes ansigt og (5) den stående hyrdes blik. De målte afstande til

overlay’et giver følgende afvigelser: indskriften ;

* #,+A.S@.

* A+AA=

+ XN'5LF5G.IBG'HKM.;

)

#W+-E.S@.

)

* A+-E=

+ LF5.MYLF.Z[MLFG.P5G'CH.;

* ##,.S@.

#\+]A=

+ LF5.X5^&F5LF.Z[MLFG.P5G'CH.;

* #\W.S@.

* A#+\W=

+ LF5.GH_F5LF.Z[MLFG.J&'X.;

(

#,]+W,.S@.

(

* AE+EA=

. Ved tolerance 2 $ E= registreres dermed 2 ud af 5 fokuspunkter som træf,

hvilket svarer til en træfrate på 40%. Den gennemsnitlige normaliserede afvigelse bliver <

* W+DE=,

og den største afvigelse er <

49:

* AE+EA=, hvilket samlet set peger på, at spiralmodellen kun I en

begrænset grad rammer de udvalgte fokuspunker I netop dette kompositionsfelt under den fastlagte

tolerance.

Bilag 8

Resultatet kan fortolkes I direkte relation til undersøgelsens overordnede problemstilling: selv I et værk,

som ofte forbindes med klassicistisk orden og harmonisk æstetik, giver en stringent og ensartet φ-test

ikke et automatisk fit på tværs af centrale fokusområder. Modellen kan støtte en lokal beskrivelse af

gravens tekstfelt som et kompositorisk tyngdepunkt, men den fungerer ikke som en generel forklaring

på hele figurgruppens visuelle organisering inden for den valgte tolerance. Dermed illustrerer analysen

både potentialet og begrænsningen ved at bruge matematik som autoritet I formidlingen af skønhed.

Modellen kan skabe et transparent og efterprøvbart målesprog, men den dokumenterer ikke I sig selv

en entydig sammenhæng mellem φ og værkets æstetiske virkning, og den bør derfor behandles som et

analytisk redskab snarere end som bevis for tidsløs harmoni.

Italienske landsbyhattemagere

P.S . K rø ye rs Italienske Landsbyhattemagere

(1880) er et oliemaleri på lærred, der tematiserer arbejde,

social ulighed og menneskets materielle vilkår i en billedkunstnerisk form, som ligger tæt på Det

Moderne Gennembruds realistiske og naturalistiske impuls. Motivet viser en fader og to børn i et

værksted, hvor den fysiske arbejdsproces er billedets centrale handling. Figurenes bare overkroppe,

deres slidte bukser og den rå arbejdsstation placerer motivet i et hverdagsnært, socialt miljø, og værket

fremstår dermed som en visuel parallel til periodens krav om at “sætte problemer under debat”. I stedet

for idealisering eller romantisering fremstilles arbejdslivet nøgternt, og motivets fokus på kropslighed,

slid og rumlig trængsel understøtter et naturalistisk menneskesyn, hvor individet forstås i relation til

materielle betingelser og socialt miljø.

Kompositorisk er værket præget af totalbeskæring, som skaber en fornemmelse af nærhed og samtidig

afgrænser rummet, så beskueren låses inde i værkstedet sammen med arbejderne. Det understøtter et

modernitetskriterium i perioden: virkeligheden skal fremstå rå og kunstneren skal konfrontere

beskueren med det konkrete. Rumfremstillingen er relativt realistisk og organiseret af linearperspektiv,

hvor værkstedets konstruktion og bordets volumener etablerer dybde. Samtidig domineres billedet af

diagonaler og skrå linjer, blandt andet i kroppens hældning, bordets retning og lysets fald, hvilket skaber

dynamik og en oplevelse af kontinuerlig aktivitet. Denne dynamik kan læses som en visuel oversættelse

af industrialiseringens tempo og arbejdets rytme, hvor arbejdslivet ikke fremstilles som heroisk, men

som vedvarende og udmattende.

Lyset fungerer som et centralt virkemiddel i værkets problemorienterede realisme. Den primære

lyskilde er et vindue, hvor solstråler bryder ind og danner skarpe kontraster mellem oplyste og mørke

områder. Det naturlige lys kan tolkes dobbelt: det fungerer som et realistisk registrerende element, men

det bliver også et symbolsk udsagn om afstand til omverdenen. Beskueren får et glimt af “udenfor”,

men figurerne forbliver bundet til arbejdets rum. Dette skaber en implicit social kommentar uden at

Bilag 9

værket formulerer en eksplicit morale; netop fraværet af tydelig belæring er karakteristisk for

realismen/naturalismen, hvor fremstillingen i sig selv skal fremkalde erkendelse hos modtageren.

Farveholdningen er domineret af jordfarver, brune og mørke toner, hvilket forstærker værkets stoflighed

og understreger miljøets slidte karakter. De mørke valører kan samtidig læses som en visualisering af

begrænsede livsvilkår, hvor mennesket fremstår bundet til arbejdets nødvendighed. Den store træblok

og de fysiske størrelsesforhold mellem faderen og børnene, herunder at børnene må hæve sig for at

kunne nå arbejdsfladen, fungerer som et konkret, realistisk greb, der synliggør både arbejdets krav og

børnenes underordnede position. Værket bliver dermed et eksempel på, hvordan billedkunsten i Det

Moderne Gennembrud kan fungere som debatindlæg på linje med litteraturen, da der kæmpes for at at

fastholde hverdagslivet, de sociale relationer og arbejdets vilkår i en troværdig, detaljeret og ikke-

forskønnende fremstilling.

I en litteraturhistorisk sammenhæng kan maleriet derfor ses som en billedlig pendant til

gennembruddets realistiske program: et fokus på det konkrete, det sociale og det problemfyldte, hvor

kunstens relevans knyttes til dens evne til at skabe erkendelse om samfundets ulighed og modernitetens

omkostninger. Motivet og formen arbejder sammen om at etablere et naturalistisk udtryk, hvor

mennesket ikke primært fremstår som ideal, men som et kropsligt og socialt væsen placeret i et miljø,

der former og begrænser dets liv

Matematisk kompositionsanalyse

I forlængelse af afsnittet om Les Bergers d’Arcadie afprøves φ-modellen på P.S. Krøyers Italienske

Landsbyhattemagere (1880) for at undersøge, om den matematiske tilgang har forklaringskraft i et værk

fra Det Moderne Gennembruds realistiske/naturalistiske kontekst. Afprøvningen fastholder samme

metodiske ramme: undersøgelsen søger ikke at fastslå kunstnerintention, men at vurdere, om gyldent

rektangel og spiral som afledt kompositionsmodel kan beskrive, hvordan fokus og visuel vægt

organiseres i motivet. Da værkets format ikke nødvendigvis følger φ, udføres testen på et udvalgt

kompositionsfelt, hvor spiral-overlay’et skaleres proportionalt, og en fast tolerance anvendes for at

begrænse risikoen for tilfældige træf og efterrationalisering.

I Krøyers motiv samler kompositionen sig om arbejdsbordet og de tre kroppe i værkstedet, hvor

vinduets lysfald etablerer en stærk kontrast mellem oplysning og mørke. Som i naturalismens litteratur,

hvor miljø og vilkår fremhæves gennem detalje og sanselig realisme, er billedets problemfelt ikke

abstrakt, men knyttet til arbejdets materielle rum: en trængt arbejdsplads, et koncentreret fysisk arbejde

og en social situation, hvor kroppen og rummet fremstår som vilkår. I overlay-analysen udvælges derfor

fokuspunkter, der svarer til værkets centrale betydningsbærere i netop dette miljø: (1) faderens ansigt

som psykologisk tyngdepunkt, (2) hænderne ved arbejdsfladen som handlingens centrum, (3) barnets

ansigt til venstre som modtager-/beskuerpunkt, (4) barnets ryg/overkrop som kropsligt fokus samt (5)

(Schultz, 2015)

lyskilden i vinduet som rumlig og symbolsk organiserende faktor

. Tolerancekontrollen gennemføres

visuelt ved at tegne cirkler omkring punkterne med radius svarende til den fastsatte procentvise

tolerance, hvorefter et punkt registreres som inden for, hvis spiralens kurve skærer cirklen.

Resultatet peger på

, at spiralmodellen i dette værk primært kan fungere som en beskrivende model for

blikbevægelse omkring arbejdsfladen, men at kompositionens oplevede “orden” i højere grad kan

forklares gennem lysdramaturgi og realistisk iscenesættelse end gennem φ alene. Spiralens forløb kan

i særlig grad bruges til at synliggøre, hvordan blikket ledes fra mørket i værkstedet mod bordpladens

lyse felt og videre til faderens koncentrerede ansigt, hvilket stemmer overens med periodens empiriske

og virkelighedsnære æstetik: opmærksomheden bindes til det konkrete arbejde og de kropslige detaljer.

Omvendt viser afprøvningen også, at væsentlige elementer, eksempelvis barnets position i venstre side

og det rumlige mørke, der omslutter scenen, ikke nødvendigvis forklares af spiralens geometri, men

snarere af naturalismens miljøprincip: rummet og lyset er ikke neutral baggrund, men en aktiv ramme,

der kommunikerer vilkår, slid og aflukkethed.

På den baggrund fremstår φ-modellen i Italienske Landsbyhattemagere som et analytisk hjælpemiddel

med begrænset forklaringskraft i forhold til helhedskompositionen, men med en vis styrke som

formidlingsredskab, fordi den kan konkretisere en mulig blikstyring mod motivets arbejdscentrum.

Samtidig bekræfter sammenligningen på tværs af perioder, at matematiske modeller ikke automatisk

beviser æstetisk harmoni: i det moderne gennembruds realistiske billedverden skabes orden og

sammenhæng i høj grad gennem lys, miljø og social realisme snarere end gennem en entydig

proportional struktur. Dermed understøtter analysen den overordnede problemstilling, idet

matematikken kan bidrage med et systematisk sprog for komposition, men også risikerer at fungere som

et autoritetsstempel, hvis modellens begrænsninger ikke tydeliggøres metodisk.

I den matematiske kompositionsanalyse af Italienske Landsbyhattemagere afprøves den gyldne spiral

som en afledt φ-model på et udvalgt kompositionsfelt. Ud fra overlay’et kan kompositionsfeltets mål

aflæses som 7 $ #\,,.S@.BC.8 $ ],W.S@, hvilket giver den fælles målestok 4 $ ('5

7+ 8

$ ],W.S@.

Ved en tolerance på 2 $ E= beregnes toleranceradius som 1 $ 2 3 4 $ >+>E 3 ],W * A].S@.

Afvigelsen kan udtrykkes numerisk som forklaret I afsnittet om testdesign. Da testens validitet afhænger

af, at fokuspunkter faktisk ligger inden for kompositionsfeltet, indgår kun punkter placeret I den gule

ramme. Dette betyder at vinduet ikke medtages I den kvantitative opgørelse. I stedet anvendes fire

feltnære fokuspunkter, som repræsenterer motivets centrale handlings- og opmærksomhedsbærere: (1)

barnets ansigt til venstre, (2) midterbarnets ryg/torso, (3) arbejdsfladen I højre del, (4) arbejdsfladen I

venstre del. De målte afstande til spriralkurven giver følgende normaliserede afvigelser ved 4 $

],W.S@: barnets ansigt ;

* A-+W-.S@.

* A+]-=

+ JPM5FHG.M[C.;

)

* W#+EE.S@.

)

D+WE=

+ PMJFaLGb&PLF5.'.ZYaMF.LF&.;

* -]+D.S@.

* #>+#E=

+ PMJFaLGb&PLF5.H'&.NF5GHMF.;

Bilag 10

Bilag 11

--+,D.S@.6<

* ]+#>=9. Ved 2 $ E= registreres dermed 1 ud af 4 fokuspunkter som træf, hvilket

svarer til en træfrate PÅ 25%. Den gennemsnitlige normaliserede afvigelse er <

* D+WD=, mens den

største afvigelse er <

49:

* #>+#E=, hvilket indikerer et moderat fit, men også at modellen ikke rammer

alle centrale arbejdsrelaterede detaljer lige tæt.

Kulturkreds

Michael Kviums Kulturkreds

(1992) er et oliemaleri på lærred, der kan læses i forlængelse af

modernismens og den senmoderne kunsts opgør med klassiske skønhedsidealer og med forestillingen

om, at kunst primært skal efterligne virkeligheden. Værket fremstiller en nøgen, central figur, hvis krop

er delvist omviklet af bandagelignende stof, der forbinder hænder og fødder og samtidig omslutter

hovedet, så ansigtet fremstår som det eneste “frie” område. Figuren balancerer en sort kugle på hovedet,

mens seks babyagtige, nøgne væsner kravler i en cirkulær formation omkring den, hver med en citron

placeret på issen. Den scenografiske baggrund er næsten totalt mørklagt, hvilket opløser rumlige

holdepunkter og skaber et lukket, klaustrofobisk billedrum uden tydelig lokalitet. Denne reduktion af

kontekst kan ses som en modernistisk strategi, hvor værkets form og symbolske struktur træder i

forgrunden frem for en naturtro miljøskildring.

Kompositorisk er maleriet stærkt organiseret omkring cirkulære former: kredsen, som de små figurer

bevæger sig i, kuglen på hovedet og figurernes kropslige helheder. Cirklen forbindes traditionelt med

balance, helhed og harmoni, men hos Kvium virker den snarere som en struktur, der etablerer et

tvangsmæssigt kredsløb. Bevægelsen ligger primært i de små figurers gentagne kravlen, mens den

centrale figur er stilstående og visuelt dominerende. Derved opstår en spænding mellem dynamik og

immobilitet, der kan aflæses som et tematisk brud med den klassiske harmoniforståelse: bevægelse

bliver ikke frigørende, men cyklisk og mekanisk. Perspektivet er I normalperspektiv, og billedet har

totalbeskæring, hvilket fastholder helheden, men uden at tilbyde en “realistisk” verden, der kan

forklares entydigt. Værket arbejder i stedet med modernismens karakteristiske formprincipper:

forenkling af rum, forskydning af forventet betydning og et fokus på værkets egen konstruerede

virkelighed.

Farve- og lysbehandlingen understøtter denne erkendelsesform. Den overvejende mørke, kolde valør

og den næsten sorte baggrund skaber en eksistentiel stemning præget af tomhed, stilhed og potentiel

trussel, mens bandagernes lyse toner fungerer som en markant kontrast. Den hvide farve kan associeres

med renhed, omsorg og heling, men i værkets sammenhæng bliver bandagen også en figur for binding,

kontrol og disciplinering. Den dobbelte betydning gør det vanskeligt at etablere en entydig moralsk

læsning, hvilket er i tråd med modernismens og den senmoderne kunsts tendens til at fremhæve

flertydighed frem for klare budskaber. Det svage skyggefald under figurerne antyder en rumlig

Bilag 12

forankring, men uden at fastslå et stabilt, realistisk rum; grænsen mellem figur og baggrund bliver

dermed usikker, hvilket kan skabe en oplevelse af fremmedgørelse og utryghed.

Motivisk kan værket læses som en undersøgelse af kulturens normer og socialiseringens mekanismer.

Den centrale figur fremstår på én gang beskyttende og truende: størrelsesforholdet mellem figuren og

de små væsner etablerer en hierarkisk relation, men figurens kropsholdning og ansigtsudtryk virker

samtidig primal, næsten dyrisk, hvilket destabiliserer forestillingen om en tryg autoritet. Kuglen på

hovedet kan tolkes som en synliggjort byrde eller et tyngdepunkt, der både er fysisk og symbolsk, mens

bandagerne skaber en følelse af fastholdelse og begrænsning. De babyagtige figurer og deres citroner

kan i en sociokulturel fortolkning anskues som en allegori over indlæring og indoktrinering: noget

“fremmed” eller påført placeres på individet tidligt og bliver en del af kredsløbet. Samlet set fremstiller

værket dermed en modernistisk/senmodern problematik: mennesket oplever samtidig drift, krop og

kaos, men også strukturer, systemer og normer, der former adfærd og identitet.

I relation til den litteraturhistoriske redegørelse kan Kulturkreds forstås som en visuel parallel til

modernismens brud med traditionen og dens forsøg på at udtrykke det moderne menneskes erfaring af

uro, fremmedgørelse og samfundsmæssig forandring gennem form frem for imitation. Hvor det

moderne gennembruds realisme ofte synliggør sociale vilkår via genkendelige miljøer og

hverdagsmotiver, arbejder Kvium i højere grad med en symbolsk og formeksperimenterende

iscenesættelse, hvor erkendelsen ikke opstår gennem “dokumentation”, men gennem ubehag,

forstyrrelse og fortolkning. Værket demonstrerer dermed, hvordan modernistiske og senmoderne

æstetikformer kan bryde med harmonibegrebet

Matematisk kompositionsanalyse

I forlængelse af afprøvningen på Les Bergers d’Arcadie og Italienske Landsbyhattemagere anvendes

samme standardiserede φ-testdesign nu på Michael Kviums Kulturkreds (1992) for at vurdere

modellens forklaringskraft i et senmoderne/modernistisk billedsprog, hvor harmoni ofte etableres

gennem brud, ambivalens og bevidst forstyrrelse af klassiske skønhedskriterier. Afgrænsningen

fastholdes: undersøgelsen søger ikke at fastslå kunstnerintention, men undersøger, om et gyldent

rektangel og den afledte spiral kan fungere som en forklaringsmodel for komposition og fokus i værket.

Da formatet ikke nødvendigvis er gyldent, udføres testen på et udvalgt gyldent rektangel for at undgå

forvrængning af modellen. Fokuspunkter og tolerance er fastlagt på forhånd, og tolerancekontrollen

gennemføres visuelt ved, at et punkt registreres som inden for, hvis spiralkurven skærer en

toleransecirkel med fast radius.

I Kulturkreds er kompositionen i høj grad centreret og kredsformet: den centrale figur dominerer

billedet, mens de babyagtige figurer bevæger sig i en ring omkring denne. Spiralmodellen afprøves

derfor på fem fokuspunkter, der repræsenterer værkets vigtigste visuelle nøgler: (1) den centrale figurs

(Schultz, 2015)

ansigt som psykologisk og semantisk tyngdepunkt, (2) en af de små figurers hoved som markør for

kredsbevægelsen og gentagelsen, (3) bandagens sammenløb i forgrunden som formmæssig struktur i

bevægelsen, (4) bandagen ved figurens arm/hånd som overgang mellem krop og binding, samt (5) den

sorte kugle på hovedet som et stærkt, symbolsk og geometrisk fokuspunkt

. Disse punkter er valgt,

fordi de både er tydelige i motivet og knytter sig til værkets overordnede tematik: kontrol, ritual, cyklus

og kropslig ambivalens.

Overlay’et

peger på, at spiralmoddellen her I mindre grad fungerer som en klassisk blikledning mod

et entydigt centrum, men snarer som en måde at beskrive værkets cirkulære organisering og spændingen

mellem bevægelse og fastholdelde. Hvor spiralen I klassicistiske kompositioner ofte kan understøtte en

lineær bevægelse mod et samlende fokus, er Kviums billedrum organiseret omkring en kreds og en

næsten scenografisk, lukket mørk baggrund, som netop modarbejder en naturlig dybde og et harmonisk

perspektiv. De registrerede fokuspunkter viser, at spiralens forløb I nogen grad kan bringen I nærheden

af centrle formbærende elementer, især der, hvor bandagens bugtninger og ringens bevægelse skaber

visuel rytme, men at sammenfaldet ikke uden videre kan oversættes til en påstand om harmoni I klassisk

forstand. Snarere fremstår en eventuelt anvendelse som en formmæssig analogi: spiralen kan beskrive

en rytmisk, gentaget bevægelse, men værkets æstetiske virkning er præget af dissonans, groteske

kroppe, mørke valører og uafklaret symbolik.

På den baggrund kan φ-modellen I Kulturkreds vurderes som et redskab med begrænset afklaringskraft,

hvis målet er at dokumentere skønhed eller harmoni, men med en vis relevans, hvis modellen forstås

som en måde at synliggøre kompositionens organiserede principper. Resultatet uderstøtter dermed den

overordnede problemstilling: I senmoderne kontekst kan matematiske kompositionsmodeller let

komme til at fungere som et autoritetsstempel, hvis de bruges til at legimitere æstetisk kvalitet uden at

tage højde for periodens bevidste brud mod harmoniske idealer. I stedet peger analysen på, at værkets

orden ikke primært er et spørgsmål om ideelle proportioner, men en iscenesat struktur, der netop

udstiller kontrol, cyklisk gentagelse og ubehag som æstetisk erkendelse.

I den matematiske kompositionsanalyse af Kulturkreds afprøves den gyldne spiral som en afledt φ-

model på et udvalgt kompositionfelt. I den anvendte opsætning aflæses kompositionsfeltets mål ud fra

overlay’et og beregnes I pixels (px): venstre og højre kant af den gyldne rektangel ligger ved @ $

AAW.BC.@ $ #W#D, mens top og bund ligger ved R $ ]\.BC.R $ A>#,. Dermed fås feltets bredde og

højde som 7 $ #W#D % AAW $ #D-W px og 8 $ A>#, % ]\ $ #D-W px. Den fælles målestok vælges

som feltets korteste tide 4 $ ('5

7+ 8

$ #D-W.IcQ Med en tolerance på 2 $ E= beregnes

roleranceradius som 1 $ 2 3 4 $ >+>E 3 #D-W $ DD+, * D\ px. Tolerancen operationaliseres ved

tolerancecirkler med radius på ca. 45 px. For at kunne diskutere afvigelserne mere præcist kan afstanden

fra fokuspunkt til spiralkurven udtrykkes numerisk som nævnt I afsnittet om testdesign. Med de fem

Bilag 13

Bilag 14

markerede fokuspunkter (1: ansigt, 2: baby/citron, 3: bandagernes knudepunkt, 4: bandager ved

arm/hånd, 5: kuglen) fås følgende afstande til spiralkurven: ;

$ EW.S@.

* A+D]=

+ ;

)

,W.S@.

)

* D+\A=

+ ;

* #AD.S@.

* -+E\=

+ ;

* D-.S@.

* E+AE=

.BC.;

(

* #,>.S@.6<

(

#>+WW=9. Ved tolerance på 2 $ E= ligger kun fokuspunkt 1 inden for kriteriet, mens fokuspunkt 4

ligger tæt på, men lige over grænsen. Det giver en træfrate på

(

$ A>= ved E=-tolerancen, og en

gennemsnitlig normaliseret afvigelse på ca. <

* \+-W=. Resultatet peger dermed på, at spiralmodellen

kun I begrænset grad kan beskrive Kviums komposition som harmonisk φ-struktur inden for den

fastlagte tolerance.

Komparativ måling

På baggrund af de tre matematiske kompositionsanalyser kan modellens forklaringskraft sammenlignes

på tværs ved at bruge de samme nøgletal i alle tilfælde (1) træfrate, (2) gennemsnitlig afvigelse, (3)

maksimal afvigelse. Afvigelserne i alle tre analyser normaliseret ved kompositionsfeltets korteste side

L, så afstanden kan sammenlignes på tværs af forskellige billedstørrelser, og tolerancekriteriet er

fastholdt som en procentværdi, operationaliseret via tolerancecirkler med radius 1 $ >+>E 3 4. Dermed

bliver sammenligningen ikke et spørgsmål om absolutte pixels, men om hvor stor en afvigelse er i

forhold til selve kompositionsfeltets skala.

Sammenligningen viser, at spiralmodellens overensstemmelse varierer på tværs af værkerne. I Poussin-

analysen ligger 2 ud af 5 fokuspunkter inden for tolerancen, svarende til en træfrate på 40%. Den

gennemsnitlige afvigelse er <

* W+DE=, mens den største afvigelse er <

49:

* AE+EA=, hvilket

indikerer, at enkelte centrale punkter rammes relativt tæt, men at flere betydningsbærende fokuspunkter

ligger langt fra spiralens forløb i det valgte kompositionsfelt. I Kvium-analysen ligger 1 ud af 5

fokuspunkter inden for tolerancen (træfrate 20%), med <

* \+-W=, og <

49:

* #>+WW=. Her er den

maksimale afvigelse væsentligt lavere end hos Poussin, men træfraten forbliver lav under den faste 3%-

grænse.

For Krøyer gælder en vigtig metodisk præcisering: den kvantitative opgørelse bygger på 4

fokuspunkter, fordi vinduet/lysfeltet ligger uden for kompositionsfeltet og derfor ikke kan indgå i den

numeriske vurdering uden at ændre testens ramme. Resultatet bliver dermed 1 ud af 4 træf, dvs. træfrate

25%, med <

* D+WD= og <

49:

* #>+#E=. Da n ikke er det samme som i de øvrige værker, bør

træfraterne ikke læses som en direkte rangordning; hvert enkelt “hit” vægter relativt mere ved n=4 end

ved n=5. Derfor er det især de normaliserede afvigelsesmål, der er mest robuste at sammenligne på

tværs.

Set i relation til problemformuleringen peger sammenligningen samlet på, at spiralmodellen ikke

fungerer som en universel harmoniforklaring. Poussin, der ofte forbindes med klassicistisk orden, har

den højeste <

49:

og en relativt høj <

, mens Krøyer og Kvium ligger lavere på afvigelsesmålene, men

uden at træfraterne bliver høje ved den faste tolerance. Resultaterne understøtter dermed, at modellens

forklaringskraft afhænger af både værkets æstetiske logik og testens afgrænsninger: matematikken kan

bidrage med et systematisk målesprog for komposition, men tallene dokumenterer alene graden af

overensstemmelse med en valgt model, ikke et bevis for skønhed, intention eller tidløs harmoni på tværs

af perioder.

Metodekritik

Den komparative analyse forudsætter imidlertid en række metodiske valg, der i sig selv påvirker

resultaterne og derfor må kritiseres eksplicit. For det første kan beskæring og valg af kompositionsfelt

skabe udvælgelse-bias: jo mere feltet afgrænses omkring den centrale handling, desto større er

sandsynligheden for, at en spiral kan få et tilsyneladende godt fit, især hvis kompositionsfeltet justeres,

indtil modellen ser overbevisende ud. Denne risiko mindskes ved at fastlægge klare regler for feltet og

ved at dokumentere afvigelse, men risikoen kan ikke fjernes fuldstændigt. For det andet er perspektiv

en strukturel udfordring: spiralmodellen er todimensional, mens især realistiske værker er konstrueret

med rumlig dybde og perspektiviske forskydninger, hvilket kan betyde, at kompositoriske

tyngdepunkter placeres efter oplevet rumlighed frem for efter flad proportional geometri. Det gør, at en

2D-overlay-test kan undervurdere eller overdrive overensstemmelse, uden at det nødvendigvis siger

noget om værkets æstetiske kvalitet eller bevidste kompositionsprincipper.

Dertil kommer reproduktionskvalitet som usikkerhedsfaktor. Digitale gengivelser kan afvige i

opløsning, farveprofil, kontrast og beskæring og fotografiske reproduktioner kan indeholde svag

linseforvrængning eller skævhed i forhold til lærredets plan. Især ved en stram tolerance kan ganske

små forskydninger flytte fokuspunktet fra tolereret til ikke-tolereret, hvilket gør resultatet mere

skrøbeligt. Endelig må multiple-testning adresseres: selv med fast tolerance kan sandsynligheden for

tilfældige træf øges, hvis der testes flere orienteringer af spiralen, alternative kompositionsfelter eller et

stort antal af fokuspunkter. Derfor er det metodisk afgørende, at antallet af orienteringer begrænses, at

fokuspunkter udvælges på forhånd og holdes få, og at resultaterne rapporteres med en robusthedsvinkel.

Hvis konklusionen ændrer sig drastisk ved små tolerancejusteringer, indikerer det, at modellens

forklaringskraft i højere grad beror på testdesignets følsomhed end på en stabil, dokumenterbar

kompositionsstruktur. Denne metodekritik er central i opgavens overordnede vurdering af, hvad

matematikken faktisk kan dokumentere i mødet med kunst, og hvor grænsen går mellem måling,

fortolkning og den retoriske brug af matematik som autoritet. Metodekritisk bør det fremhæves, at

Krøyer-analysen i den kvantitative opgørelse kun bygger på fire fokuspunkter, da vinduet ligger uden

for det valgte kompositionsfelt og derfor udlades for at bevare testens interne validitet. Det illustrerer

en central begrænsning: når væsentlige virkemidler falder uden for kompositionsfeltet, kan den

kvantitative opgørelse undervurdere modellens sammenhæng med værkets samlede fokusstruktur.

Vurdering

På baggrund af de tre afprøvninger kan der diskuteres, hvad den matematiske tilgang faktisk

bidrager med i relation til problem- og opgaveformuleringen, og hvor dens forklaringskraft har

tydelige grænser. Testdesignet er bevidst afgrænset fra spørgsmål om kunstnerintention og

fokuserer i stedet på, om spiralmodellen – konstrueret ud fra et gyldent rektangel og anvendt med

fast tolerance, kan fungere som en stabil forklaringsramme for komposition og formidling.

Allerede her rejser analyserne et centralt diskussionspunkt: om en overensstemmelse mellem

spiral og udvalgte fokuspunkter primært siger noget om φ som særlig æstetisk lov, eller om den

snarere indfanger mere generelle kompositionsmekanismer, som også kan beskrives med

kunstfaglige begreber uden matematisk reference.

I Poussin-analysen åbner resultaterne for en diskussion af, hvordan “harmoni” i et

klassicistisk/renæssancepræget værk bør forstås. På den ene side rammer spiraltesten enkelte

centrale punkter inden for 3%-tolerancen, men på den anden side ligger ﬂere betydningsbærende

elementer relativt langt fra spiralens forløb i det valgte kompositionsfelt. Det gør det relevant at

overveje, om værkets oplevede orden i højere grad skyldes andre strukturer, fx ﬁgurgruppens

balance, gestik, farveorganisering og den narrative iscenesættelse af “læsningen” af graven, end

en geometrisk proportionalitet. I den forstand kan analysen bruges til at problematisere en

udbredt formidlingspåstand: at klassisk harmoni automatisk kan bevises gennem φ. Testen peger

snarere på, at matematikken kan støtte en lokal beskrivelse af tyngdepunkter, men ikke

nødvendigvis forklare helhedens kompositoriske logik alene.

I Krøyer-analysen bliver relationen mellem matematik og periodens æstetik et andet

diskussionsfelt. Det moderne gennembrud og naturalismen er knyttet til en virkelighedsnær,

problemorienteret æstetik, hvor erkendelse ofte forankres i miljø, krop og arbejde. Her kan

spiralmodellen diskuteres som et redskab, der i højere grad beskriver blikledelse mod et

handlingscentrum end harmoni i idealiseret forstand. Samtidig viser afvigelserne, at billedets

sammenhæng i høj grad kan forklares med konkurrerende kompositionsprincipper som

lysdramaturgi, kontrast mellem oplysning og mørke, diagonale linjer og rumlig trængsel. Det gør

det relevant at diskutere, om modellen i realistiske værker mest fungerer som en

systematiserende overbygning på noget, der allerede etableres af lys og miljø, snarere end som

et primært organiserende princip.

Kvium-analysen skærper diskussionen, fordi værket i sin æstetik netop arbejder med

modernismens/senmodernitetens brud, ﬂertydighed og forstyrrelse af klassiske

skønhedsidealer. Selv når spiralen kan komme i nærheden af enkelte formbærende elementer, er

det langt fra givet, at dette kan omsættes til en meningsfuld påstand om “harmoni”. I stedet kan

det diskuteres, om modellen i sådanne værker risikerer at fungere som et ydre fortolkningsskema,

der søger efter orden i et udtryk, der bevidst problematiserer orden. Dermed bliver

problemformuleringens andet led relevant: matematik kan i formidling få karakter af autoritet

eller kvalitetsstempel, også i tilfælde hvor værkets erkendelsesform ikke er harmonisk, men

snarere dissonant og ubehagelig.

På tværs af analyserne kan der derfor diskuteres, hvor grænsen går mellem det, matematikken

kan dokumentere, og det, der uundgåeligt bliver fortolkning. Modellen kan dokumentere et

relativt præcist forhold: afstanden mellem udvalgte fokuspunkter og spiralens kurve under en fast

tolerance. Men når denne afstand oversættes til udsagn om skønhed, harmoni eller erkendelse,

afhænger vurderingen af historisk kontekst, værkets æstetiske projekt og de valg, som

testdesignet kræver .Det gør det nærliggende at diskutere, om matematikken i denne opgave

bedst forstås som et supplement til billedanalysen, et redskab til at undersøge mulige

tyngdepunkter og blikretninger, frem for en universel forklaring på æstetisk kvalitet. Endelig kan

der peges på, at selv små metodiske forhold kan påvirke udfaldet og dermed også den retoriske

kraft i resultaterne: eksempelvis er det væsentligt at holde styr på konsistente procentregninger

og at gøre opmærksom på, når antallet af fokuspunkter i en kvantitativ opgørelse afviger. Disse

forhold giver ikke i sig selv et svar, men de understøtter den diskussion, som problem- og

opgaveformuleringen lægger op til: at matematikkens autoritet i æstetiske forklaringer må afvejes

mod metodisk gennemsigtighed, historisk kontekst og de alternative kompositionsprincipper, der

også kan forklare værkernes udtryk og erkendelsesdimension.

Konklusion

I denne opgave er det undersøgt, i hvilken grad æstetisk harmoni i selvvalgte værker kan forklares med

det gyldne snit/φ og Fibonacci-relaterede modeller, og hvordan matematik kan bruges som autoritet i

forklaringer af skønhed, proportion og erkendelse. Undersøgelsen blev gennemført som en

standardiseret afprøvning af den gyldne spiral som afledt φ-model, konstrueret i et gyldent rektangel og

skaleret til et afgrænset kompositionsfelt for hvert værk. For at gøre analysen efterprøvbar og mindske

efterrationalisering blev der arbejdet med forhåndsfastlagte fokuspunkter og en fast tolerance på 3%,

hvor afvigelser blev udtrykt som normaliserede procentafvigelse <

$ ;

d4 og registreret som træf, hvis

? 2

De tre analyser viser samlet, at φ/spiralmodellen ikke fungerer som en universel forklaring på

kompositorisk harmoni. I Les Bergers d’Arcadie rammer modellen 2 ud af 5 fokuspunkter (40%), men

med stor spredning i afvigelserne og høj maksimal afvigelse <

49:

* AE+EA=,, hvilket peger på, at

modellen kan støtte en lokal beskrivelse af tyngdepunkter omkring gravens tekstfelt, men ikke alene

forklare værkets helhedsorden. I Italienske Landsbyhattemagere registreres 1 ud af 4 fokuspunkter som

træf (25%) og med lavere gennemsnitlig og maksimal afvigelse <

* D+WD= og <

49:

* #>+#E=,

hvilket indikerer, at modellen i det afgrænsede handlingsfelt kan fungere som et supplement til at

beskrive blikledelse mod arbejdsfladen, men stadig ikke dokumenterer kompositionens samlede logik.

I Kulturkreds rammer modellen 1 ud af 5 fokuspunkter (20%) med moderate afvigelser <

* \+-W=, og

49:

* #>+WW=, hvilket understøtter, at en harmonimodel baseret på φ har begrænset forklaringskraft

i et modernistisk/senmoderne udtryk, hvor brud og ambivalens er en del af værkets æstetiske strategi.

Sammenligningen på tværs viser dermed, at overensstemmelse med φ varierer på tværs af perioder og

værker, og at “harmoni” i praksis også kan forklares gennem andre kompositionsprincipper, som ikke

nødvendigvis er proportionelle i φ-forstand.

På den baggrund kan anvendeligheden af den matematiske tilgang vurderes som betinget og begrænset.

Modellen kan bidrage med et systematisk og gennemsigtigt målesprog til at diskutere

kompositionsfelter, blikretning og tyngdepunkter, men resultaterne viser også, at matematikken ikke i

sig selv dokumenterer æstetisk kvalitet eller en tidløs harmonilov. Når φ/spiralmodeller bruges i

kunstformidling som “objektive beviser” på skønhed, risikerer matematikken at fungere som retorisk

autoritet snarere end som fagligt holdbar forklaring, fordi udfaldet afhænger af metodiske valg

(kompositionsfelt, beskæring, tolerance, fokuspunkter, perspektiv og reproduktion). Opgavens resultat

peger derfor på, at matematik kan indgå meningsfuldt som analytisk redskab, så længe den præsenteres

med tydelige afgrænsninger og metodekritik og ikke bruges som et ubetinget kvalitetsstempel for

skønhed, proportion og erkendelse.

Litteraturliste

Bøndergaard, A., 2012. Text Anal yse. s.l.: Systime.

Carlson, S., 2026. Britannica: Golden Ratio. [Online]

Tilgængelig på: https://www.britannica.com/science/golden-ratio