2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Indholdsfortegnelse
Indledning ............................................................................................................................................ 1
Teori ..................................................................................................................................................... 1
Regression ........................................................................................................................................ 1
Lineær regression & mindste kvadraters metode ......................................................................... 2
Korrelationskoefficienten r .......................................................................................................... 3
Henfaldsloven .................................................................................................................................. 3
Forsøg: ................................................................................................................................................. 3
Stokastisk simulation af radioaktive henfald ................................................................................... 3
Halveringstid for Ba-137 ................................................................................................................. 5
Absorption af gammastråling i bly ................................................................................................... 7
Konklusion ........................................................................................................................................... 9
Litteraturliste ...................................................................................................................................... 10
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 1
Indledning
”De naturvidenskabelige fag beskæftiger sig med generaliserbare fænomener og processer i naturen
og i nutidens teknologisk prægede samfund. Naturvidenskaben stiller spørgsmål til naturens
struktur og processer og forsøger at levere forklaringer i form af teorier og love, der i princippet er
foreløbige.”
1
Dvs. at man indsamler data og opstiller hypoteser og forsøger at verificere eller
falsificere dem. Passer resultatet ikke med antagelsen, kan man forsøge at transformere denne.
Stemmer resultaterne overens med hypotesen, kan man opstille forklaringer i form af nye teorier og
love. En fastsat lov er dog ikke altid permanent – den er den bedste beskrivelse, idet der muligvis
findes nyere viden inden for emnet. Nye teknologier, forskning og erfaringer kan gøre, at lovene
skal ændres. Forsøg, der laves efter den naturvidenskabelige metode, skal være reproducerbare.
Matematisk modellering er at tage virkelige forhold og overføre dem til en matematisk model, hvor
de kan analyseres. Det er en stor gevinst at arbejde matematisk med modellerne, idet man ofte kan
udlede nye modeller for andre fænomener. Modellerne bruges inden for det naturvidenskabelige
område til at forstå og beskrive omverdenen med matematiske udtryk og formler. Matematiske
modeller bruges til at opsætte nogle regler inden for et system, som der ønskes at beregnes på.
I fysik bruges matematisk modellering fx til at finde en sammenhæng mellem variabler indenfor et
system. Forskellige forsøgsresultater kan f.eks. afbildes som en graf i et koordinatsystem, og
resultatet kan blive en forskrift. Hvis man antager, at forsøget er lavet korrekt, kan forskriften
bruges til at forudse, hvad der vil ske. Fx kan der mht. radioaktivt henfald laves en matematisk
model, som kan bruges til at forudse, hvor stor aktivitet der er eller var på et givet tidspunkt.
Jeg vil redegøre for forsøgene: ”Absorption af gammastråling i bly”, ”Halveringstid for Ba-137”
og ”Stokastisk simulation af radioaktive henfald” og forklare teorien til de anvendte matematiske
modeller. Endvidere vil jeg diskutere validiteten af de anvendte modeller og undersøge, hvor godt
de passer til de forsøg, jeg har lavet.
Teori
Regression
”Regression bruges til at finde sammenhænge mellem en afhængig variabel y og én eller flere
uafhængige variable x.”
2
Regression prøver at finde en sammenhæng mellem data og den model,
der er bedst tilnærmet. Dette gøres vha. r
2
, som er kvadratet af korrelationskoefficienten.
3
Prøver
man forskellige typer regressioner (fx eksponentiel, lineær) på dataene, kan der udregnes r
2
som er
mindste kvadraters metode. Er r
2
tæt ved 1, har man måske den mest præcise graf og resultat. Man
kan desværre komme ud for, at r
2
er tæt på 1, uden at punkterne nødvendigvis ligger pænt på en ret
linje, så man skal altid have en graf at kigge efter på.
Regression er en matematisk model, der bruges til at beskrive et talmateriale. Under regression
hører lineær- eksponentiel- og potensregression. Regression bruges til at bestemme den bedste rette
linje for nogle punkter.
Regression betyder ”tilbagegang”, dvs. tilbageskrivning, men bruges også til at fremskrive. Får man
fx en forskrift for en graf, kan man både interpolere og ekstrapolere.
1
Fra vejledningen til Almen Studieforberedelse – fakulteternes empiri
2
Lyngsted, Helle: ”Lineær regression” og ”Mindste kvadraters metode” i AT 2.x, 2008, side 1
3
Se afsnit om korrelationskoefficienten
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 2
Lineær regression & mindste kvadraters metode
Lineær regression er teorien til den bedste rette
linje, og metoden hertil er mindste kvadraters
metode, hvor summen af kvadraterne på de lodrette
afstande er så lille som muligt. Dette gøres ved at
finde den lodrette afstand fra punktet til linjen.
Konstanterne a og b bestemmes, så S bliver mindst
muligt. Kort sagt: ” Mindste kvadraters metode går
ud på at minimere summen af kvadraterne på
r
i
´erne”
4
.
Der tages udgangspunkt for nogle punkter i et
koordinatsystem
( ) ( )
2211
,,, yxyx
,…
( )
nn
yx ,
, som
man vil bestemme den bedste rette linje til givet
ved y = ax + b.
Den lodrette afstand mellem punkterne og linjen
bliver:
)bax(yr
111
+−=
)bax(yr
222
+−=
)(
333
baxyr +−=
...
)bax(yr
iii
+−=
…
)bax(yr
nnn
+−=
Forskellen mellem de observerede y-værdier (y
1
…y
n
) og modellens y-værdier (
baxbax
n
++ ...
1
),
kaldes residualerne
( )
i
r
, og beregnes ved
)()...(
111
baxyrbaxyr
nnn
+−=+−=
.
Summen S der skal minimeres afhænger af konstanterne a og b.
22
2
2
1 n
rrrS +++=
Dette er en lang og indviklet proces, som vi får Excel til at udregne i forsøgene.
For at minimere S mest, differentierer man den både mht. a og b og bestemmer S`(a,b) = 0.
Man ender så ud med to ligninger, som løst bliver:
2
xxx
xyyx
SnS
SSnS
a
−
−
=
og
2
xxx
yxxyxx
SnS
SSSS
b
−
−
=
,
hvor n er antallet af observationer,
yx
S
er summen af kvadratet på alle produkter af x-y-værdier,
xx
S
er summen af kvadratet på alle observerede x-værdier, og
x
S
er summen af alle observerede x-
værdier.
5
4
Lyngsted, Helle: ”Lineær regression” og ”Mindste kvadraters metode” i AT 2.x, 2008, side 1
5
Lyngsted, Helle. ”Lineær regression” og ”Mindste kvadraters metode” i AT 2.x, 2008, side 3
(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
)
(x
3
,y
3
)
(x
4
,y
4
)
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 3
Korrelationskoefficienten r
Korrelationskoefficienten r er et mål for, hvor godt punkterne passer til en lineær regression. Tager
man kvadratet af r så man får r
2
, skal det være tættest muligt på 1 for at få den bedste rette linje.
6
Den matematiske formel for r er således:
22
yyyxxx
yxxy
SnSSnS
SSnS
r
−−
−
=
Er r = 1 ligger punkterne på en ret linje med positiv hældning. Er r = -1 ligger punkterne på en ret
linje med negativ hældning.
Henfaldsloven
En radioaktiv kerne vil på et eller andet tidspunkt henfalde, men man ved dog ikke hvornår. Der er
dog en sandsynlighed for, at den gør det inden for et bestemt tidsrum. Dvs. at nogle af kernerne vil
henfalde inden for dette tidsrum. ”Den tid, der går til halvdelen af kernerne er henfaldet, afhænger
ikke af, hvor mange kerner vi starter med. Det betyder, at der går lige så lang tid, før en given
mængde er halveret, som der går før halvdelen er blevet til en fjerdedel osv.”
7
Dette kaldes
halveringstiden
2/1
T
.
Antallet af radioaktive kerner af en given isotop, som funktion af tiden, er givet ved
8
:
½
2
1
)(
00
T
t
tk
NeNtN
==
−
N(t): Antal kerner til tiden t. (enhedsløs)
N
0
: Begyndelsesantal kerner (enhedsløs)
k: Henfaldskonstanten [k] = s
-1
t: Tiden [t] = s
T
½
: Halveringstiden [T
½
] = s
Forsøg:
Stokastisk simulation af radioaktive henfald
9
Formål:
For at få en fornemmelse af den stokastiske natur af radioaktive henfald foretages et forsøg med 540
terninger. Æsken med terningerne skal være en ”radioaktiv kilde”, hvor terningerne er de
radioaktive nuklider.
Teori:
Antallet af terninger svarer til antallet af radioaktive nuklider i kilden (N), og antallet af seksere
illustrerer aktiviteten (A). Aktiviteten er antallet af henfald pr tidsenhed. Antallet af kast svarer til
tiden. ”Henfaldet” af seksere skulle gerne aftage eksponentielt, ligesom en radioaktiv kilde.
I: N(t) = 540·(5/6)
t
6
Lyngsted, Helle: ”Lineær regression” og ”Mindste kvadraters metode” i AT 2.x, 2008, side 6
7
Elvekjær, Finn: FysikABogen2, Systime 2007, side 135
8
Pedersen, Lars: Fysik 112, Nyt Teknisk Forlag 2007, afsnit 231
9
Gadsbølle, Ole: ”Stokastisk simulation af radioaktive henfald”, 2x Fysik 07/08
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 4
II: A(t) = 1/6·540·(5/6)
t
= 90·(5/6)
t
Forsøgsbeskrivelse:
Forsøget går ud på at kaste terningerne og tælle sekserne og sortere dem fra. De resterende terninger
kastes igen, og sekserne tælles og pilles fra. Forsøget gentages 10-15 gange med stadig færre og
færre terninger.
Resultatbehandling:
Vil vi forsøge at udregne det
teoretiske antal nuklider (antal
terninger) efter 16 tidsenheder
(antal kast). Til det bruger vi
formel I:
N(t) = 540·(5/6)
16
= 29
Teoretisk burde der efter de 16
kast være 29 terninger tilbage. Der
er dog 18.
Bruger vi formel II kan vi udregne
den teoretiske aktivitet efter 16
tidsenheder: A(t) = 90·(5/6)
16
= 5
Den teoretiske aktivitet er 5, mens
vi dog har fået det til 7 i forsøget.
Punkterne afbilledet i et
enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
Af punkterne ses det at antallet af
terninger som funktion af antal
kast er en eksponentiel udvikling.
Antal
kast
Antal terninger
(N)
Antal seksere
(A)
0
540
0
1
444
96
2
371
73
3
302
69
4
247
55
5
206
41
6
173
33
7
136
37
8
119
17
9
102
17
10
77
25
11
60
17
12
52
8
13
40
12
14
32
8
15
25
7
16
18
7
Antal terninger som funktion af antal kast
0
100
200
300
400
500
600
antal kast
antal terninger
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 5
Punkterne afbilledet i et
enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
Af punkterne ses det at antallet af
seksere som funktion af antal kast
er en eksponentiel udvikling. Dog
er der afvigelser.
Antal seksere som funktion af antal kast
0
20
40
60
80
100
120
antal kast
antal seksere
Konklusion:
Den matematiske model, der er anvendt, er en eksponentiel udvikling for såvel antallet af kerner
(antal terninger) som for aktiviteten (antal seksere). Afvigelserne fra modellen skyldes den
statistiske variation.
Halveringstid for Ba-137
10
Formål:
Formålet med forsøget er at undersøge det radioaktive henfald af barium-isotopen
137
Ba og at påvise
at aktiviteten aftager eksponentielt samt bestemme halveringstiden.
Teori:
Henfaldet er et gammahenfald, der sker i
137
Ba efter et betahenfald fra
137
Cs, hvor datterkernen
137
Ba
ofte efterlades i en exciteret tilstand.
BaBaeCs
1371370
1
137
** −−++→
−
I forsøget bruges eksponentiel regression til at få en forskrift, så halveringstiden kan beregnes.
Forskriften bruges til tilbage- og fremskrivning. Aktiviteten aftager ekspotentielt med tiden og kan
beskrives med følgende eksponentielle funktion:
1. A(t) = A
0
e
-kt
A(t): aktiviten som funktion af tiden
A
0
: aktiviten ved tiden 0
k: henfaldskonstanten (henfaldssandsynlighed/brøkdel af kernehenfald pr. sek.) [s
-1
]
t: tiden [s]
Apparatur:
Til forsøget anvendte jeg en radioaktiv kilde, Geiger-
Müller-rør, digital adapter, USB-link og en computer til
opsamling af dataene.
10
Gadsbølle, Ole: ”Halveringstid for Ba-137”, 2x Fysik 07/08
K i l d e
G M - r ø r
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 6
Forsøgsbeskrivelse:
GM-røret forbindes til computeren med USB-linket. DataStudio startes, så der er klar til måling.
Først måles baggrundsstrålingen, sådan at resultaterne efterfølgende kan korrigeres. Et reagensglas
indeholdende den radioaktive
137
Ba anbringes ud for GM-røret, og målingen startes med det samme!
Resultaterne kopieres over i Excel og behandles.
Resultatbehandling:
Baggrundsstråling: 5,8
Pulstal, Kør
#1
Pulstal
Pulstal
Tid ( s )
Antal pulser
minus
baggrundsstråling
10
940
934,2
20
926
920,2
30
896
890,2
40
893
887,2
50
858
852,2
60
759
753,2
…………………………………………………………………..
530
110
104,2
540
91
85,2
550
100
94,2
560
90
84,2
570
85
79,2
580
82
76,2
590
76
70,2
Forskriften for grafen er:
y = 1013,3e
-0,0045x
k = -0,0045
Resultaterne afbilledet i et
enkeltlogaritmisk
koordinatsystem.
R
2
=0,9947.
Det betyder at dette er den
bedste rette linje til
punkterne, da der ikke er
nogle systematiske
afvigelser.
Eksponentielt
y = 1013,3e
-0,0045x
R
2
= 0,9947
0
200
400
600
800
1000
1200
600 700
Tid(sek)
Pulstal minus
baggrundstrålinge
n
Eksponentielt
y = 1013,3e
-0,0045x
1
10
100
1000
600 700
Tid(sek)
Pulstal minus
baggrundstrålinge
n
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 7
( )
( )
( ) ( )
min57,2
60
03,154
:minRe
03,154
0045,0
½½½
:
½½½
=
=
−
===
sek
tilomgnet
sek
LN
T
k
LN
T
aLN
LN
TtidenHalverings
Tabelværdien for halveringstiden for Ba-137 er 2,6 min. Det vil sige den procentvise afvigelse fra
tabelværdien er:
%15,1%100
min6,2
min57,2min6,2
: =
−
procentiAfvigelse
Konklusion:
Ud fra teorien om eksponentiel regression, som det kan ses af graferne og forskriften, kan jeg
konkludere, at det radioaktive henfald af barium-isotopen
137
Ba aftager eksponentielt med tiden, som
det også gerne skulle gøre.
Henfaldskonstanten k for barium-isotopen
137
Ba er -0,0045.
Halveringstiden bestemte jeg til 2,57 min, som er det samme som tabelværdien.
Absorption af gammastråling i bly
11
Formål:
Formålet med forsøget er at undersøge γ-strålings gennemtrængningsevne i bly, vise at intensiteten
aftager eksponentielt med blylagets tykkelse og bestemme halveringstykkelsen.
Teori:
γ-stråling er kortbølget elektromagnetisk stråling, der udsendes fra atomernes kerner. Bølgelængden
er mindre end ca. 10
-11
m (100.000 gange kortede end for synligt lys). Ved γ-strålingens
sammenstød med atomerne i blyet stoppes en bestemt procentdel af strålingen i hver mm af
blylaget. Hermed er intensiteten som funktion af tykkelsen x af blylaget en eksponentielt aftagende
funktion. Tykkelsen er en variable.
½
2
1
)(
00
x
x
x
IeIxI
==
−
I(x): Intensiteten i tykkelsen x
I
0
: Begyndelsesintensiteten
μ: Lineære absorptionskoefficient
Apparatur og forsøgsbeskrivelse:
Afstanden mellem GM-røret og γ-kilden
skal være mindst mulig, for at spare tid –
dog skal der være plads til 10-15 blyplader
af 2 mm´s tykkelse. Tælletiden for
impulstælleren sættes til 100 sek. Først måles baggrundsstrålingen uden at γ-kilden er i nærheden.
Dette tal skal trækkes fra de øvrige målinger. Derefter måles der med γ-kilden. Efter hver måling
11
Gadsbølle, Ole: ”Absorption af gammastråling i bly”, 2x Fysik 07/08
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 8
anbringes der en 2,0 mm blyplade foran γ-kilden, og intensiteten måles og noteres i Excel. Dette
gentages 10-15 gange.
Resultatbehandling:
Baggrundstråling: 48
Måletid: 100
Baggrundsstråling pr sek.
0,48
På grafen er afsat de
korrigerede tælletal som
funktion af tykkelsen af
bly.
y = 15,026e-0,0973x
R2 = 0,9978
Blylagets
tykkelse
Antal
tællinger
Måletid
Antal
tællinger
pr sek.
Antal tællinger pr
sek. Korrigeret for
baggrundsstråling
mm
s
s
-1
s
-1
0,0
1549
100
15,49
15,01
2,0
1253
100
12,63
12,15
4,0
1043
100
10,43
9,95
6,0
865
100
8,65
8,17
8,0
764
100
7,64
7,16
10,0
631
100
6,31
5,83
12,0
539
100
5,39
4,91
14,0
425
100
4,25
3,77
16,0
370
100
3,7
3,22
18,0
311
100
3,11
2,63
20,0
252
100
2,52
2,04
Stråling pr. sek som funktion af blyets tykkelse
y = 15,026e
-0,0973x
R
2
= 0,9978
0
2
4
6
8
10
12
14
16
25
Blyets tykkelse (mm)
Tælletal pr. sek
Den lineære absorptionskoefficient μ bestemmes til 0,0973 pr. mm
Halveringstykkelsen:
mm
mm
x 7
0973,0
)2ln()2ln(
1
½
===
−
%4,1%100
9,6
79,6
: =
−
mm
mmmm
procentiAfvigelse
Konklusion:
Som det ses af funktionen og grafen, er intensiteten eksponentielt aftagende. Dog er der små udsving,
ligesom med forsøget med terningerne, der skyldes den statistiske variation.
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 9
Konklusion
Formålet med forsøget ”Stokastisk simulation af radioaktive henfald” var at få en fornemmelse af
den stokastiske natur og skabe en matematisk model, som kunne overføres til et ”rigtigt” forsøg. Jeg
havde en antagelse af, at 1/6 af terningerne ville blive seksere, og dette overførte jeg til en model,
som jeg brugte til et forsøg med radioaktivt henfald. Modellen passede godt, så der var ingen grund
til at modellere den, men derimod blev den verificeret.
Formålet med de to andre forsøg, ”Halveringstid for Ba-137” og ”Absorption af gammastråling i
bly” var som sagt, at udregne henholdsvis halveringstid og – tykkelse. Dette skulle gøres ved
anvendelse af nogle specifikke matematiske modeller som fx eksponentiel regression. På denne
måde kunne jeg få et indblik i nogle af de matematiske modeller, der anvendes på det
naturvidenskabelige område.
Da resultaterne for de to sidste forsøg passede overraskende godt med tabelværdierne, kan jeg
konstatere, at de anvendte matematiske modeller fungerede. Dermed kan jeg konkludere, at
metoderne og modellerne, jeg har brugt, er valide og formentlig også kan bruges til andre forsøg
med radioaktive kilder.
_________________________
Underskrevet 7. marts 2008
2x
2.g Studieretningsopgave
Anvendelse af matematiske modeller i fysik
7. marts 2008
Side 10
Litteraturliste
Elvekjær, Finn: FysikABogen2, Systime 2007
Fra vejledningen til Almen Studieforberedelse – fakulteternes empiri
Gadsbølle, Ole: ”Absorption af gammastråling i bly”, 2x Fysik 07/08
Gadsbølle, Ole: ”Halveringstid for Ba-137”, 2x Fysik 07/08
Gadsbølle, Ole: ”Stokastisk simulation af radioaktive henfald”, 2x Fysik 07/08
Lyngsted, Helle: ”Lineær regression” og ”Mindste kvadraters metode” i AT 2.x, 2008
Pedersen, Lars: Fysik 112, Nyt Teknisk Forlag 2007
Pedersen, Lars: Matematik 112, Nyt Teknisk Forlag 2007
Poulsen, Ebbe: "Matematiske modeller; Principper - Litteratur" Århus Universitet, Matematisk
afdeling, Elementærafdelingen, 1997
Sloth, Hans: Trip’s matematiske bog 2, Trip 2006
Sloth, Hans: Trip’s matematiske grundbog, Trip 2005