Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 1 af 11
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ...................................................................................................................... 1
Indledning med opgaveformulering ............................................................................................. 1
Den kromatiske uendelighedsrække ............................................................................................ 2
Det binære talsystem .................................................................................................................... 4
Det binære talsystem og uendelighedsrækkerne .......................................................................... 5
Uendelighedsrækken i Voyage into the Golden Screen, 2. sats ................................................... 6
Diatonisk uendelighedsrække ...................................................................................................... 8
Konklusion ................................................................................................................................... 9
Litteraturliste ................................................................................................................................ 9
Bilag 1 ........................................................................................................................................ 10
Bilag 2 ........................................................................................................................................ 10
Bilag 3 ........................................................................................................................................ 10
Bilag 4 ........................................................................................................................................ 10
Bilag 5 ........................................................................................................................................ 11
Indledning med opgaveformulering
I 1959 fandt Per Nørgård uendelighedsrækken (læg mærke til ordvalget – Per Nørgård siger
selv, at han ikke opfandt men fandt uendelighedsrækken) – et komplekst begreb, der indebære både
musik, men også en masse matematik. Jeg vil i denne opgave undersøge dette fascinerende begreb,
først og fremmest ved at finde ud af hvad uendelighedsrækken er, derefter vil jeg kigge på det
binære talsystem og så på hvordan uendelighedsrækken hænger sammen med det binære talsystem.
Herefter vil jeg analysere brugen af den kromatiske uendelighedsrække i ”Voyage into the Golden
Screen” af Per Nørgård og til sidst vil jeg lave den diatoniske uendelighedsrækkes første 64 toner –
både vist på noder og beskrevet ved binære tal.
Til dette formål har jeg i særdeleshed brugt internettet, hvor der er en side om Per Nørgård,
der fortæller meget godt om hans uendelighedsrække, men jeg har også brugt bøger – bl.a. også om
det binære talsystem. Men uendelighedsrækken er mere noget, man skal fordybe sig i, for at forstå -
så bøger og andet af den slags, kan ikke give svar på det hele.
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 2 af 11
Jeg vil her i opgaven gå igennem opgaveformuleringen kronologisk, fordi det er den eneste
måde hvorpå, man virkeligt vil kunne forstå, hvad der sker.
Den kromatiske uendelighedsrække
Uendelighedsrækken eller uendeligtæppet består af tre elementer: to toner og intervallet
imellem dem. Dette giver en uendelig strøm af toner. Denne række kan være kromatisk, diatonisk,
den kan opbygges med kvinter eller noget helt fjerde, men i første omgang vil jeg beskæftige mig
med den kromatiske uendelighedsrække.
Når en to-delt kromatisk uendelighedsrække skal opbygges, skal vi have to kromatiske toner,
altså to toner med en lille sekund imellem dem. Hvis vi tager udgangspunkt i tonen c og lader den
gå en lille sekund opad, vil det se sådan her ud: Disse to toner kører hver deres
løb, men de venter hele tiden på hinanden, sådan at den første tones række skifter, den anden tones
række skifter, den første tones række skifter etc. Uendelighedsrækken kan køre i omvending-
retvending, retvending-omvending, retvending-retvending eller omvending-omvending. Den mest
sete uendelighedsrække kører i omvending-retvending, så det vil jeg også bruge her. Når den kører i
omvending-retvending betyder det, at den første tone er kontrær, den anden tone er medvind
1
– altså
går den første tone i modsat retning af det interval, det er afhængigt af og den anden følger bare
med intervallet. I den kromatiske uendelighedsrække vil det første interval være en lille sekund
opad, eller man kan også sige +1. Når dette interval kommer i omvending fra første tone, bliver det
til -1 og så kan vi indsætte den næste tone i uendelighedsrækken (se bilag 1a) Den næste tone finder
vi ved at tage det samme interval (+1) i retvending fra anden tone, så den næste tone bliver altså +1
fra anden tone (se bilag 1b).
Det næste interval mellem de to næste toner (des og h) er en stor sekund nedad eller -2. I
omvending fra den første tones række (altså er det her fra tonen h) vil den nye tone være en stor
sekund højere eller +2. Den anden tones række (her tonen d) vil gå en stor sekund op eller +2. (se
bilag 1c)
Intervallet derefter (mellem h og d) er en lille terts opad eller +3. Den første tones række vil derfor
gå en lille terts ned (-3) og den anden tones række vil gå en lille terts op (+3). (se bilag 1d) Dermed
har vi de første otte toner af uendelighedsrækken, som herfra vil fortsætte ud i det uendelige på
samme måde.
1: Interview med Per Nørgård
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 3 af 11
Når man har to toner af uendelighedsrækken, har man med det samme 4 toner, med 4 toner
har vi 8 toner og sådan kan vi fortsætte
2
– ja, det er faktisk en eksponentiel funktion, der her
kommer frem.
Når Per Nørgård snakker om uendelighedsrækken, snakker han også om nogle ’åbne
hierakier’. Det betyder, at det enkelte element i rækken indgår i uendeligt mange forskellige
sammenhænge
3
. I et åbent hierarki er der ikke noget lag, der er over- eller underordnet noget andet,
men derimod styrer alle lag hinanden i en sameksistens
4
. Dette betyder, at man kan finde
uendelighedsrækken i uendelighedsrækken (dette kan både være fra andre tonehøjder, i retvending,
omvending eller strakt ud i tid
5
). Uendelighedsrækken kan genfindes ved kun at tage hver 4. tone
eller hver 16. tone, hver 8. tone giver rækken i omvending. Faktisk kan vi opstille en regel der
hedder, at alle lige tal giver rækken i omvending og alle ulige tal giver rækken i retvending – men
bare transponeret
6
.
Uendelighedsrækken har en stor lighed med fraktaler. Kort sagt er fraktaler nogle
uregelmæssige geometriske figurer med skalainvarians. Som eksempel kan vi tage et
blomkålshoved, skyerne eller kysten. Ved iterationsprocessen er der fremkommet en kurve, der er
uendelig og hvor man kan forstørre et udsnit af kurven og se, at det er identisk med resten af
kurven
7
– præcis det samme, der gælder for uendelighedsrækken. Når vi i fraktalgeometrien
snakker om iterationsprocessen, snakker vi i uendelighedsrækkerne om den måde,
uendelighedsrækken er bygget op – ved projektion af intervaller. Som sagt kan uendelighedsrækken
genfindes i sig selv ved at tage eks. hver 16. tone – dette begreb er også kaldet selvsimilaritet, altså
at hvis vi forstørrer kurven, kommer der en identisk kurve frem. Naturen består nærmest kun af
sådanne fraktaler – så dermed kan man godt forstå, at Per Nørgård siger, at han fandt
uendelighedsrækken, for det begynder at ligne mere og mere, at uendelighedsrækken er en naturlig
ting.
Når Per Nørgård bruger uendelighedsrækken i sine kompositioner, bruger han bl.a. noget, han
kalder bølgelængder. Bølgelængden er det antal toner, der er mellem det antal af toner, han vælger
8
(med udgangspunkt i uendelighedsrækken). F.eks. kan han tage hver 3. tone (her tælles der fra 0, da
der ikke har vist sig noget endnu når tiden starter
9
) i uendelighedsrækken og her frem kommer en
2: Interview med Per Nørgård
3: www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/uhierarki.html
4: Interview med Per Nørgård
5: www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/uhierarki.html
6: ibid
7: Den Store Danske Enzyklopædi > fraktal
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 4 af 11
8: Interview med Per Nørgård
9: ibid
ny melodi, der er en del af rækken – det kaldes altså, at han har taget bølgelængde 3. Han siger, at
de bølgelængder, der giver nye melodier er de ulige, 3, 5, 7 etc. Per Nørgård har lavet en melodi
med bølgelængde 5 til Ole Sarvigs digt, ’Himmelkim’, der er et firestemmigt værk (for SSAA), der
indeholder tre arrangementer og to melodier (den første og sidste sats er det samme arrangement
med forskellig tekst, den første, anden og fjerde sats har samme melodi). Denne melodi med
bølgelængde 5 er den melodi, der er i de tre af satserne. I bilag 2 ses første sats af ’Himmelkim’,
hvor Per Nørgård har brugt uendelighedsrækken med udgangspunkt i tonen G (i 1. sopranen –
uendelighedsrækken er også i 2. sopranen, hvor den har udgangspunkt i tonen es (dog med lille
variation))
I anden sats, Som året går, tager han udgangspunkt i uendelighedsrækken fra E. (se bilag 3)
I uendelighedsrækken er der hele tiden interferens – et mellemværende mellem to toner, et
mellemværende, man ikke kan sætte ord på og ikke kan tage og føle på
10
. De to toner i
uendelighedsrækken har hver deres placering og retning, men det er svært at forklare deres
mellemværende. Per Nørgård siger, at dybest set er interferens skaberen af uendelighedsrækken
11
.
Det binære talsystem
I det binære talsystem eller totalssystemet er basis 2 og cifrene, man kan bruge, er 0 og 1, hvor
0 ikke skal tælles med og 1 skal tælles med. F.eks. kan et binært tal hedde Heri har det
bagerste tal en værdi på 2
0
eller 1, det næste har en værdi på 2
1
eller 2, det næste har en værdi på 2
2
eller 4 og sådan fortsætter man med at addere potensen med 1, så langt, som der er brug for. Altså
ville dette eksempel i titalssystemet (det system, vi anser for normalt) blive 1*2
7
+ 0*2
6
+ 0*2
5
+
1*2
4
+ 0*2
3
+ 1*2
2
+ 1*2
1
+ 1*2
0
= 151. Vi kan opstille et skema over værdierne på de første 9 cifre
(eftersom systemet læses bagfra):
Plads nr.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Værdi
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
1
2
1
2
0
De fleste elektroniske maskiner fungerer efter det binære talsystem – f.eks. computeren, hvor
1 svarer til at den er tændt og 0 svarer til at den er slukket. Fordelen ved talsystemet er, at det er så
nemt at læse for en maskine fordi det kun består af de to tal. Når vi snakker om computere er det
sådan, at 0 og 1 kaldes bits – og ordet bit stammer fra det engelske binary digit (binært ciffer).
Hvis man skal addere binære tal med hinanden gælder der tre regneregler
12
:
10: http://www.dr.dk/P2/lyttilnyt/tema/Uendelighed/171009.htm
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 5 af 11
11: Interview med Per Nørgård
12: Jessen, Møller & Mørk: Tal, Geometri og Funktioner, Gyldendal 1997, s. 97
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10
Den lille tabel i det binære talsystem ser sådan ud
13
:
*
0
1
0
0
0
1
0
1
I multiplikation er regnereglerne desuden de samme, som vi kender fra titalssystemet.
Matematikeren Leibnitz skrev i 1703 en afhandling om det binære talsystem. Han indså at
nullet var ingenting, og ettallet var det, hele matematikken voksede ud fra. Desuden kunne han se
en tydelig parallel til kristendommens skabelsesberetning, hvor verden blev skabt ud af intet, 0, af
Gud, 1
14
.
Det binære talsystem og uendelighedsrækkerne
En meget nemmere måde at konstruere
uendelighedsrækkerne på end ved projicering af intervaller
er ved hjælp af det binære talsystem – og fordelen ved denne
metode er, at vi dermed kan sige hvad hvilket som helst
nummer tone i rækken vil være.
Når vi skal finde ud af, hvilken tone i
uendelighedsrækken, et specielt nummer er, skal vi læse de
binære tal fra venstre mod højre. 1-tallene skal adderes med
hinanden og hver gang, vi møder et 0-tal, skifter vi fortegn
på trinnet i uendelighedsrækken
15
. I skemaet til venstre
herfor, er der opstillet de to talsystemer, titalssystemet og
det binære talsystem og i den sidste søjle er det tilsvarende trin (ud fra tone 0) i
uendelighedsrækken. Vi kan eks. kigge på tallet 9 i titalssystemet, der hedder 1001 i det binære
talsystem, hvor vi starter med et 1-tal, så kommer der et 0, der gør at trinnet ind til videre hedder -1,
så kommer der endnu et 0, der gør at trinnet så hedder +1 og til sidst kommer der et 1-tal som
adderes med det sidste 1-tal og så er det niende trin i uendeligheds-
Titals-
systemet
Det
binære
talsystem
Trin i
uendeligheds-
rækken
0
0
0
1
1
1
2
10
-1
3
11
2
4
100
1
5
101
0
6
110
-2
7
111
3
8
1000
-1
9
1001
2
10
1010
0
11
1011
1
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 6 af 11
13: ibid
14: Jessen, Møller & Mørk: Tal, Geometri og Funktioner, Gyldendal 1997, s. 99
15: http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/ukonstruktion03.html
rækken altså +2.
Uendelighedsrækken i Voyage into the Golden Screen, 2. sats
I første sats af værket klinger der næsten kun to akkorder: G
7
og Ab
7
– altså to septimakkorder
med en lille sekunds afstand. De første 7 takter af anden sats er en overgang fra første sats til anden
sats – hvor g og as er dominerende elementer (og de to første toner i en kromatisk
uendelighedsrække startende fra g). Denne overgang kan kaldes en overgang fra stilstanden i første
sats til bevægelsen i anden sats – lige så vel som titlen på værket indikerer både stilstand og
bevægelse ved voyage/rejse og screen/skærm
16
. Denne bevægelse, der er i anden sats, er den
kromatiske uendelighedsrækkes første 1024 toner.
De første 7 takter af anden sats (overgangen fra første til anden sats) består kun af tonerne g,
as, fis, a, as, g, f og b (de første 8 toner af den kromatiske uendelighedsrække). Tonerne er spredt ud
på instrumenterne. I starten er melodien meget uklar og svævende – man kunne også sige abstrakt –
men det bliver klarere i takt 6 og 7 og så til sidst helt klokkeklart, når vi kommer til takt 8.
I takt 6-7 spiller fagotten og klarinetten rækken sådan, at fagotten har 1., 3., 5. og 7. tone mens
klarinetten har 2., 4., 6. og 8. tone. Fagotten ligger altså ud med at spille den første tone i rækken og
holder den mens klarinetten spiller den anden tone i rækken og holder den, og sådan overlapper de
hinanden ind til klarinetten spiller sit b og fagotten holder sit f. Her fremkommer så en af de
fascinerende ting ved uendelighedsrækken: de to stemmer er hver for sig motiviske spejlbilleder af
hinanden – intervalmæssigt gør de det samme, men med omvendt bevægelsesretning
17
. Dette sker
fordi, som tidligere nævnt, at lige tal gengiver rækken i omvending.
(se skematisk oversigt over næste afsnit i bilag 4)
I takt 8 begynder fløjten i det hurtigste melodirytme af instrumenterne at spille
uendelighedsrækken – den spiller ottendedele. Fløjten bliver her vores udgangspunkt for de andre
instrumenter, fordi det er den, der ender med at spille flest toner af uendelighedsrækken – dermed
ikke sagt, at fløjten er den vigtigste stemme. Klarinetten spiller fjerdedele, og den starter på fløjtens
anden tone – det gør, at den påbegynder en ny uendelighedsrække en lille sekund over
udgangspunktet. Hornet spiller halvnoder på hver fjerde tone fra fløjtens første tone –
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 7 af 11
uendelighedsrækken i retvending, oboen spiller en punkteret fjerdedel (eller tre ottendedele) og
derefter en ottendedelspause, den star-
16: Palle og Ursula Andkjær Olsen: Ny Musik efter 1945, Systime 2001, s. 231
17: Palle og Ursula Andkjær Olsen: Ny Musik efter 1945, Systime 2001, s. 232
ter på fløjtens fjerde tone og er derfor forskudt i forhold til hornet (som i princippet har samme
nodeværdi) med en ottendedel. Oboen starter en stor sekund over fløjten. Strygergruppen
(bestående af to 1. violiner, tre 2. violiner og en bratsch) spiller hver 32. tone en lille sekund under
fløjten – de er startet på fløjtens anden tone. Harpen starter på fløjtens 8. tone med at spille hver 8.
tone – det giver en uendelighedsrække, hvis udgangspunkt er en lille terts over fløjten. På fløjtens 7.
tone starter fagotten med at spille hver 16. tone, det giver uendelighedsrækken med starttone en stor
sekund under fløjten. Trompeten starter på fløjtens 64. tone med at spille hver 64. tone –
uendelighedsrækken en forstørret kvart (tritonus) over fløjten. Sidst, men slet ikke mindst, starter
trombone, klokkespil og klaver på fløjtens 256. tone med at spille hver 156. tone
(uendelighedsrækken en lille sekst over fløjten). Det betyder, at disse instrumenter kun når at spille
de fire første toner af uendelighedsrækken: es, e, d og f.
På den måde har Per Nørgård altså lagt de hurtige toner i det svage instrument, fløjten, og
derfra i de stærkere instrumenter helt op til trombonen, som kun når at spille fire toner – de fire
toner, som man vil huske bedst, for ikke nok med, at stort set alle instrumenter spiller samme tone,
som trombonen, når den spiller (nogle instrumenter holder deres tone fra tidligere, da det ikke
passer med, at de skal skifte tone der), er tonerne, trombonen spiller med på, i hele orkestret i
fortissimo eller bare forte. Selvom fløjten er det instrument, der hele tiden spiller, er det meget
svært at høre fløjten. Man hører alle tonerne fordi de andre instrumenter spiller dem på skift, så man
får hele fløjtens stemme med, uden egentligt rigtigt at høre den – det er genialt gjort af Per Nørgård.
Titlen på dette værk, har Per Nørgård taget fra en sang af Donovan (skotsk folkesanger), som
så også hedder ”Voyage into the Goden Screen” (for tekst til sang se bilag 5). Dette valg af titel tror
jeg ikke er tilfældigt, for hvis man læser sangteksten illustrerer den faktisk dette værk fantastisk. De
første to strofer handler om stilstand, altså 1. sats, mens der i tredje strofe pludselig kommer
bevægelse – i starten let, så man ikke engang rører græsset, men så er der en dugdråbe, der bliver
opdaget og dette fører til at kærlighedens og viljens kræfter bliver tilkaldt, der udspiller sig en
symfoni af tang. Der er nogle gennemborende højdepunkter og dette ’bejeweled cask’ skulle da
aldrig være, hvad Per Nørgård mener, er uendelighedsrækken?
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 8 af 11
Diatonisk uendelighedsrække
Titalssystemet
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Det binære
talsystem
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
Trin i
uendelighedsrækken
0
1
-1
2
1
0
-2
3
-1
2
0
1
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
2
-1
-3
4
1
0
-2
3
0
1
-1
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
10111
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
100000
100001
2
-2
3
1
0
3
-2
-4
5
-1
2
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
100010
100011
100100
100101
100110
100111
101000
101001
101010
101011
0
1
2
-1
-3
4
0
1
-1
2
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
101100
101101
101110
101111
110000
110001
110010
110011
110100
110101
1
0
-2
3
2
-1
-3
4
-1
2
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
110110
110111
111000
111001
111010
111011
111100
111101
111110
111111
0
1
-3
4
2
-1
4
-3
-5
6
64
1000000
1
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 9 af 11
Konklusion
Jeg har undersøgt nogle af de mange hemmeligheder, der er i uendelighedsrækken – men slet
ikke alle. Jeg har fundet ud af, hvordan uendelighedsrækken fungerer, hvordan det binære talsystem
fungerer og hvordan uendelighedsrækken og de binære tal kunne sættes sammen ved at addere
1’erne med hinanden i det binære tal og så ændre fortegn hver gang man støder på et 0 – så har man
til sidst det trin fra udgangspunktet i uendelighedsrækken, det binære tal passer til.
”Voyage into the Golden Screen”, 2. sats er konstrueret ned i mindste detalje fra Per Nørgårds
side (hvilket ikke efterlader plads til, at musikerne kan improvisere), dermed indeholder stykket
også mange sider af og finesser ved uendelighedsrækken.
Til sidst har jeg selv prøvet at udforme et udsnit af en uendelighedsrække – og oplevet hvor
stor en hjælp, de binære tal i virkeligheden er, når man skal lave denne række.
Litteraturliste
- www.pernoergaard.dk
o > Strukturer i musikken > Uendelighedsrækken
▪ > Introduktion
▪ > Konstruktioner
• > Projektion af intervaller
• > Binære tal
▪ > Åbne hierarkier
▪ > Bølgelængder
▪ > Fraktaler
o > Udvalgte værker > Voyage into the Golden Screen
- www.dr.dk/P2/lyttilnyt/tema/Uendelighed/
- Palle og Ursula Andkjær Olsen: Ny musik efter 1945, Systime 2001
- Per Nørgård: Voyage into the Golden Screen, 2. sats,
- Jensen, Møller & Mørk: Tal, Geometri og Funktioner, Gyldendal 1997
- Den Store Danske Encyklopædi
- Interview med Per Nørgård (udleveret på CD)
- Leif Thomsen: Unendlicher Empfang, Edition Wilhelm Hansen 2000
- Per Nørgård: Himmelkim, Edition Wilhelm Hansen 2003
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 10 af 11
Bilag 1
a.
b.
c.
d.
Bilag 2
18
18: Per Nørgård: Himmelkim - Edition Wilhelm Hansen 2003
Bilag 3
19
19: ibid
Bilag 4
Instrument
Nodeværdi
Starter på tone nr.
Interval fra fløjten
Spiller
Fløjter
ottendedele
1
prim
Hver tone
Klarinet
fjerdedele
2
Lille sekund over
Hver 2. tone
Horn
halvnoder
1
prim
Hver 4. tone
Obo
3
1
/
8
+ 1/8-pause
4
Stor sekund over
Hver 4. tone
Harpe
5
1
/
8
+ 3
1
/
8
-pauser
8
Lille terts over
Hver 8. tone
Fagot
5 ¼ + 3 ¼-pauser
7
Stor sekund over
Hver 16. tone
Strygere
15 ¼ + 1/4-pause
2
Lille sekund under
Hver 32. tone
Trompet
19
1
/
8
+ 41
1
/
8
-pauser
64
Tritonus over
Hver 64. tone
Musik og matematik 7. 2. -08
Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække
Holstebro Gymnasium Side 11 af 11
Trombone
4
1
/
8
+ 152
1
/
8
-pauser
256
Lille sekst over
Hver 156. tone
Klokkespil
9
1
/
8
+ 147
1
/
8
-pauser
256
Lille sekst over
Hver 156. tone
Klaver
9
1
/
8
+ 147
1
/
8
-pauser
256
Lille sekst over
Hver 156. tone
Bilag 5
Voyage into the Golden Screen
20
20: http://www.allthelyrics.com/song/978737/