Det skrå kast uden luftmodstand
Studieretningsopgave i Fysik B og Matematik A
STX 2.g
STX 2.g
Vejledere: Hanne Hansen & Klaus Klausen
STX 2.g
Antal anslag: 19089
[navn fjernet], 2.x
Resumé
Denne opgave handler om det skrå kast uden luftmodstand.
Først gennemgås teorien bag det skrå kast, hvor bevægelsen beskrives som to uafhængige
bevægelser: en vandret bevægelse med konstant hastighed og en lodret bevægelse med konstant
acceleration. En matematisk model for kasteparablen udledes, og den vinkel, der giver maksimal
kastelængde, bestemmes til 45°.
Derefter analyseres en række forsøg med en fjederkanon. Begyndelseshastigheden beregnes til
3,04 m/s ved lodret affyring, og derefter anvendes denne begyndelseshastighed i en teoretiske model
for et skråt kast med en affyringsvinkel på 56. Den teoretiske model giver en kastelængde på 1,00 m
og en stighøjde på 0,32 m. En videoanalyse i LoggerPro af skuddet med fjederkanonen giver en
kastelængde på 1,05 m og en stighøjde på 0,35 m samt en beregnet affyringsvinkel på 56,9° og
begyndelseshastighed på 3,15 m/s.
Sammenligningen og diskussionen viser, at de teoretiske værdier og forsøgets målinger ligger tæt på
hinanden, men at de teoretiske værdier er lidt lavere end de praktiske. Dette kan formentlig forklares
af fejlkilder og måleusikkerheder, herunder variationer i affyringsvinklen, forskelle i fjederens kraft,
måleusikkerheder i videoanalysen samt luftmodstandens påvirkning.
Opgaven konkluderer, at teorien om det skrå kast uden luftmodstand giver en brugbar model til at
beskrive og forudsige kastets bane i forsøget.
[navn fjernet], 2.x
Indhold
Resumé ........................................................................................................................................... 2
Indledning ....................................................................................................................................... 4
Teori om det skrå kast uden luftmodstand ........................................................................................ 4
Hvad er det skrå kast? .................................................................................................................. 4
Uafhængighedsprincippet ............................................................................................................ 4
Begyndelseshastighed ................................................................................................................. 6
Hastigheden til tiden t .................................................................................................................. 7
Vandret og lodret position til tiden t .............................................................................................. 7
Ligning for banekurven ................................................................................................................. 8
Stighøjde ..................................................................................................................................... 9
Kastelængde.............................................................................................................................. 10
Skud med en fjederkanon ............................................................................................................... 11
Lodret affyring: Bestemmelse af begyndelseshastighed .............................................................. 11
Analyse af skråt kast med en vinkel på 56 .................................................................................. 12
Teoretisk model for skråt kast med en vinkel på 56 .................................................................... 14
Sammenligning af teori og praksis .............................................................................................. 14
Diskussion ..................................................................................................................................... 16
Konklusion .................................................................................................................................... 16
Referencer..................................................................................................................................... 18
Bilag 1: Forsøgsbeskrivelse ............................................................................................................ 19
Bilag 2: Forsøgsresultater fra LoggerPro .......................................................................................... 20
[navn fjernet], 2.x
Indledning
Når man kaster en genstand skråt opad, så kaldes det et skråt kast. I et skråt kast, hvor der ses bort
fra luftmodstanden, vil genstanden bevæge sig i en parabelformet bane.
I denne SRO undersøger jeg det skrå kast uden luftmodstand fra et matematisk og fysisk perspektiv
ved at opstille en teoretisk model og efterfølgende lave et forsøg og sammenligne teori og praksis.
I den første del af opgaven beskrives teorien bag det skrå kast uden luftmodstand. En ligning for
kasteparablen og formler for kastelængde og stighøjde udledes matematisk og den vinkel, der giver
den maksimale kastelængde, bestemmes.
I anden del af opgaven analyseres et konkret skråt kast med en fjederkanon, og stighøjden og
kastelængden bestemmes. Desuden opstilles en teoretisk model for dette kast, og den teoretiske
stighøjde og kastelængde bestemmes.
Til sidst i opgaven sammenlignes de målte værdier med de teoretiske værdier, og afvigelserne mellem
teori og praksis diskuteres.
Teori om det skrå kast uden luftmodstand
Hvad er det skrå kast?
Det skrå kast er bevægelsen af en genstand, der kastes/skydes skråt opad (Brydensholt, Ingwersen, &
Pedersen, 2019). Der er fx tale om et skråt kast, når en fodbold sparkes op i luften, når en sten kastes
op i luften eller når en kugle affyres fra en kanon.
I denne opgave ses bort fra luftmodstanden, dvs. at det antages, at genstanden kun er påvirket af
tyngdekraften. Ved små hastigheder er luftmodstandens påvirkning relativt lille, dvs. at modellen kan
være brugbar, selv om luftmodstanden ikke medregnes.
Uafhængighedsprincippet
Uafhængighedsprincippet siger, at i et skråt kast er den vandrette og lodrette bevægelse uafhængig af
hinanden (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen, 2019). Princippet kan illustreres på følgende måde:
[navn fjernet], 2.x
Hvis en grøn kugle slippes fra en bestemt højde, og en blå kugle affyres vandret fra samme position,
som den grønne kugle slippes, så vil de to kugler have samme højde over underlaget til ethvert
tidspunkt, og de vil ramme underlaget samtidig. Når en kugle affyres, så påvirkes dens lodrette
bevægelse altså ikke af dens vandrette bevægelse.
En ”teoretisk” rød kugle tilføjes nu. Den røde kugle affyres fra samme position som den blå kugle,
men den påvirkes ikke af tyngdekraften:
Figuren viser, at til ethvert tidspunkt er den vandrette afstand fra den blå kugle til affyringspunktet den
samme som den vandrette afstand fra den røde kugle til affyringspunktet. Kuglens vandrette
bevægelse påvirkes altså ikke af dens lodrette bevægelse.
Samlet set gælder der altså, at i et skråt kast påvirkes den vandrette og lodrette bevægelse ikke af
hinanden, og bevægelsen i x-retningen og bevægelsen i y-retningen kan derfor betragtes hver for sig.
[navn fjernet], 2.x
Begyndelseshastighed
Begyndelseshastigheden, når en genstand affyres, kaldes for
. Affyringsvinklen, dvs. kastets vinkel
med vandret, kaldes for . På figuren herover er det skrå kast indlagt i et koordinatsystem, så
affyringspunktet er i origo.
Uafhængighedsprincippet giver, at bevægelsen i hhv. x- og y-retningen kan betragtes hver for sig.
Begyndelseshastigheden i x-retningen kaldes
, mens begyndelseshastigheden i y-retningen kaldes
. Hastighederne
og
kan bestemmes ved at bestemme hastighedsvektorens komposanter.
Hastighedsvektoren og de to komposanter danner en retvinklet trekant. For en retvinklet trekant
gælder nedenstående formler (Clausen, Schomacker, & Tolnø, 2017):
Dermed er
Et udtryk for hhv.
og
bestemmes ved at isolere de to størrelser i ligningerne:
[navn fjernet], 2.x
Hastigheden til tiden t
For at kunne bestemme genstandens hastighed til tiden t benyttes uafhængighedsprincippet igen.
Hastigheden i x-retningen til tiden kaldes
. I x-retningen påvirkes genstanden ikke af nogen
kræfter, da luftmodstanden ikke medregnes. Da kraftpåvirkningen er 0, så er accelerationen også 0,
ifølge Newtons 2. lov (Benoni & Elvekjær, 2020). Genstanden foretager derfor en jævn bevægelse i x-
retningen, dvs. en bevægelse med konstant hastighed:
Hastigheden i y-retningen til tiden kaldes
. I y-retningen påvirkes genstanden af tyngdekraften,
dvs. at accelerationen er
. Genstanden foretager altså en bevægelse med konstant
acceleration i y-retningen. Hastigheden i y-retningen er derfor givet ved nedenstående ligning (Benoni
& Elvekjær, 2020):
Til tiden kan genstandens samlede fart betragtes som hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor
kateterne er hastigheden i hhv. x- og y-retningen. Hastigheden kan derfor bestemmes med
Pythagoras’ sætning:
Vandret og lodret position til tiden t
Da bevægelsen i x-retningen er en bevægelse med konstant hastighed
, så er genstandens
vandrette position givet ved nedenstående ligning (Benoni & Elvekjær, 2020):
Genstanden befinder sig i origo til tiden , så genstandens vandrette position til tiden er
. Dermed er
Da bevægelsen i y-retningen er en bevægelse med konstant acceleration, så er genstandens lodrette
position givet ved ligningen herunder (Benoni & Elvekjær, 2020):
Genstandens lodrette position til tiden er
. Dermed er
Til tiden er genstandens position altså givet ved koordinaterne
[navn fjernet], 2.x
Ligning for banekurven
I dette afsnit bestemmes en ligning for den banekurve, som genstanden følger. Ligningen bestemmes
ved at bestemme en ligning, der beskriver sammenhængen mellem genstandens positions x- og y-
koordinater.
Først isoleres i formlen for genstandens vandrette position:
Derefter sættes ovenstående udtryk for ind i formlen for genstandens lodrette position:
Når
og
indsættes i ovenstående ligning, så fås
Sammenhængen mellem x- og y-koordinaten til genstandens position kan altså beskrives ved
følgende ligning:
[navn fjernet], 2.x
Ovenstående ligning er en andengradsligning, hvor koefficienten foran
er negativ, dvs. at det er en
ligning for en parabel, hvor grenene vender nedad (Clausen, Schomacker, & Tolnø, 2017). Da
banekurven for et skråt kast har form som en parabel, så kaldes banekurven også for en kasteparabel.
Stighøjde
Stighøjden
for et kast er kastets maksimale højde (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen, 2019),
dvs. den største lodrette afstand mellem genstanden og underlaget . Stigetiden
er den tid, det
tager, før genstanden når stighøjden (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen, 2019).
Da kastet følger en parabel, hvor grenene vender nedad, så er stighøjden toppunktets y-koordinat. Når
genstanden befinder sig i parablens toppunkt, så er den lodrette hastighed 0, dvs. at
Et udtryk for
bestemmes ved at benytte, at
, og derefter isolere
i ligningen:
Et udtryk for stighøjden bestemmes ved at sætte ovenstående udtryk for
ind i formlen for den
lodrette position:
[navn fjernet], 2.x
Stighøjden
er altså givet ved formlen
Kastelængde
Kastelængden (eller kastevidden)
er længden af kastet (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen,
2019), dvs. den vandrette afstand fra genstandens startposition til genstandens slutposition.
Kastetiden
er den tid, det tager genstanden at bevæge sig fra startpositionen til slutpositionen.
Kastetiden kan bestemmes ved at sætte sluthøjden ind i formlen for den lodrette position og isolere .
Derefter kan kastelængden bestemmes ved at sætte kastetiden ind i formlen for den vandrette
position.
Hvis kastet starter og slutter i samme højde, så er den parabel, som genstanden følger, symmetrisk
omkring toppunktet. Kastetiden er derfor det dobbelte af stigetiden:
Kastelængden kan bestemmes ud fra kastetiden og ved at benytte, at
:
Hvis kastet starter og slutter i samme højde, så er kastelængden altså givet ved formlen
Da
og er konstanter, så bliver kastelængden størst mulig, når
er størst mulig. Sinus-
funktionen er voksende på intervallet , så antager den største værdi, når .
Kastelængden bliver dermed størst mulig, når .
[navn fjernet], 2.x
Skud med en fjederkanon
Lodret affyring: Bestemmelse af begyndelseshastighed
Jeg har lavet en række forsøg, hvor jeg har skudt med en fjederkanon og optaget skuddene. Jeg
startede med at lave tre lodrette affyringer for at bestemme kuglens begyndelseshastighed.
Fjederkanonen blev strammet mest muligt for at øge sandsynligheden for, at begyndelseshastigheden
var den samme ved alle skud. Forsøgsbeskrivelsen kan ses i bilag 1.
På videoerne aflæses, at kuglens maksimale højde over bordet er 0,75 m i alle tre skud, dvs. at
skuddenes gennemsnitlige højde over bordet er 0,75 m.
Kanonens munding er 0,28 m over bordet. Skudhøjden bestemmes:
Skudhøjden er 0,47 m.
Kuglens begyndelseshastighed kan nu bestemmes ved at antage, at den mekaniske energi bevares
under skuddet (Benoni & Elvekjær, 2020). Den kinetiske energi, som kuglen har ved kanonens
munding, er dermed omdannet til potentiel energi, når kuglen har nået den maksimale højde:
Den kinetiske energi og den potentielle energi kan beregnes således (Benoni & Elvekjær, 2020):
Ved hjælp af de tre formler opstilles en formel for
:
[navn fjernet], 2.x
Denne formel for
benyttes til at bestemme kuglens begyndelseshastighed ud fra skudhøjden, :
Kuglens begyndelseshastighed er 3,04 m/s.
Analyse af skråt kast med en vinkel på 56
Efter de lodrette affyringer, affyrede jeg fjederkanonen med en affyringsvinkel på 56 og filmede
skuddet. Forsøgsbeskrivelsen kan ses i bilag 1.
Jeg lagde derefter videoen ind i LoggerPro og udførte en videoanalyse.
På figuren aflæses, at kasteparablen kan beskrives ved ligningen
Den teoretiske ligning er
Ved at sammenligne regressionsligningen og den teoretiske ligning kan affyringsvinklen bestemmes:
[navn fjernet], 2.x
Ligningen løses for α vha. WordMat.
Affyringsvinklen er beregnet til 56,9, hvilket stemmer nogenlunde overens med den vinkel på 56,
som fjederkanonen var indstillet til.
Ved at sammenligne regressionsligningen og den teoretiske ligning kan begyndelseshastigheden også
bestemmes:
Ligningen løses for v_0 vha. WordMat.
Begyndelseshastigheden er 3,15 m/s, hvilket er en smule større end begyndelseshastigheden
beregnet ved hjælp af de lodrette affyringer.
Toppunktets x-koordinat bestemmes ved at bruge formlen for toppunktet på en parabel (Clausen,
Schomacker, & Tolnø, 2017):
Toppunktets y-koordinat,
, kan nu bestemmes:
Stighøjden
er 0,35 m.
I LoggerPro aflæses, at kastelængden er 1,05 m (se bilag 2).
[navn fjernet], 2.x
Teoretisk model for skråt kast med en vinkel på 56
Her opstilles en teoretisk model for forsøget i forrige afsnit ved at tage udgangspunkt i en
affyringsvinkel på 56, og begyndelseshastigheden på 3,04 m/s bestemt ved de lodrette affyringer.
En ligning for kasteparablen opstilles ved hjælp af den ligning, som blev udledt i teoriafsnittet:
Kasteparablen er givet ved ligningen
Ligningen for kasteparablen kan benyttes til at bestemme kastelængden
. I LoggerPro aflæses,
at kanonens munding er 22 cm over underlaget, så
bestemmes ved at løse ligningen
:
Ligningen løses for x_max vha. WordMat.
Den teoretiske kastelængde er 1,00 m.
Stighøjden bestemmes:
Den teoretiske stighøjde er 0,32 m.
Sammenligning af teori og praksis
I forsøget med fjederkanonen blev kuglens bane analyseret i LoggerPro. Kasteparablen kan beskrives
ved ligningen
[navn fjernet], 2.x
Den teoretiske model, som blev opstillet på baggrund af den kendte affyringsvinkel på 56° og den
estimerede begyndelseshastighed, er
Koefficienterne i de to modeller ligger meget tæt på hinanden, hvilket tyder på, at den teoretiske
model tilnærmelsesvist kan beskrive bevægelsen. Herunder er de to parabler tegnet i samme
koordinatsystem:
Herunder er den praktiske og teoretiske kastelængde og stighøjde opsummeret:
Kastelængde (i meter)
Stighøjde (i meter)
Praksis
1,05 m
0,35 m
Teori
1,00 m
0,32 m
Tabellen viser, at den teoretiske kastelængde afviger med ca. 5 cm fra den målte, mens den
teoretiske stighøjde afviger med ca. 3 cm fra den målte.
Den relative afvigelse i kastelængden beregnes:
Afvigelsen mellem den teoretiske kastelængde og den målte kastelængde er 5%.
Den relative afvigelse i stighøjden beregnes:
[navn fjernet], 2.x
Afvigelsen mellem den teoretiske stighøjde og den faktiske stighøjde er ca. 9,4%.
Diskussion
Resultaterne viser overordnet, at der er god overensstemmelse mellem den teoretiske model for det
skrå kast og målingerne, selvom der ses mindre afvigelser. Den teoretiske model forudsiger en
kastelængde på 1,00 m og en stighøjde på 0,32 m, mens analysen i LoggerPro giver en kastelængde
på 1,05 m og en stighøjde på 0,35 m. Den målte kastelængde afviger med ca. 5% fra den teoretiske
kastelængde, mens stighøjden afviger med cirka 9,4 %.
Afvigelserne kan skyldes en række fejlkilder og usikkerheder. For det første kan den faktiske
affyringsvinkel have været lidt større end de 56, som fjederkanonen blev indstillet til, hvis
fjederkanonen har rykket sig under affyringen. For det andet kan fjederens kraft have været lidt
anderledes end i de lodrette affyringer, hvilket vil have medført, at begyndelseshastigheden har været
anderledes end forventet. Da de teoretiske værdier for kastelængden og stighøjden er mindre end de
målte værdier, så tyder det på, at begyndelseshastigheden i den teoretiske model ikke har været helt
korrekt, da både kastelængden og stighøjden er ret følsomme over for ændringer i især
begyndelseshastigheden. Denne påstand bakkes op af analysen i LoggerPro, hvor affyringsvinklen er
beregnet til 56,9 og begyndelseshastigheden er beregnet til 3,15 m/s.
Afvigelserne kan også skyldes måleusikkerheder i LoggerPro-analysen, hvor ligningen for parablen er
bestemt ved regression på en række punkter, der er markeret i videoen af kastet. Selv små
unøjagtigheder i markeringen eller perspektivforvrængning i optagelsen kan påvirke de målte værdier.
På trods af disse fejlkilder og måleusikkerheder ligger resultaterne stadig forholdsvis tæt på hinanden.
Afvigelserne mellem teori og praksis er forholdsvis små og kan forklares ud fra fejlkilder og
usikkerheder. Samlet set viser analysen, at modellen for et skråt kast uden luftmodstand er en
brugbar beskrivelse af kastet i forsøget, som giver et nogenlunde fornuftigt billede af bevægelsen på
trods af de små forskelle.
Konklusion
Det skrå kast uden luftmodstand kan beskrives som to uafhængige bevægelser: en vandret bevægelse
med konstant hastighed og en lodret bevægelse med konstant acceleration. Banekurven, som
genstanden følger, er en parabel, og den kan beskrives ved ligningen
,
hvor er affyringsvinklen, og
er begyndelseshastigheden.
Kastelængden
og stighøjden
kan bestemmes med formlerne
[navn fjernet], 2.x
Den største kastelængde opnås ved en vinkel på 45.
På baggrund af tre lodrette affyringer med en fjederkanon er begyndelseshastigheden bestemt til 3,04
m/s. Efterfølgende blev samme fjederkanon affyret med en affyringsvinkel på 56. Den teoretiske
kastelængde for det skrå kast er 1,00 m, og den teoretiske stighøjde er 0,32 m. Ved hjælp af en
LoggerPro-analyse af kastet er kastelængden bestemt til 1,05 m, mens stighøjden er bestemt til
0,35 m. Analysen viste også, at affyringsvinklen var 56,9, og at begyndelseshastigheden var 3,15 m/s.
En sammenligning af de praktiske og teoretiske resultater viser små afvigelser. Afvigelserne kan
skyldes fejlkilder, som fx at affyringsvinklen kan have ændret sig ved affyringen, eller at fjederens kraft
ikke har været præcis den samme som i de tidligere forsøg, så begyndelseshastigheden har været
anderledes end forventet. Afvigelserne kan også skyldes måleusikkerheder i LoggerPro samt at
luftmodstanden ikke er medregnet i modellen.
Sammenligningen viser, at den teoretiske model for et skråt kast uden luftmodstand er en brugbar
beskrivelse af det skrå kast i forsøget.
[navn fjernet], 2.x
Referencer
Benoni, T., & Elvekjær, F. (2020). FysikBbogen - bind 1. Aarhus: Systime.
Brydensholt, M., Ingwersen, J., & Pedersen, S. (2019). Orbit A stx. Aarhus: Systime.
Clausen, F., Schomacker, G., & Tolnø, J. (2017). Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1.
Gyldendal A/S.
[navn fjernet], 2.x
Bilag 1: Forsøgsbeskrivelse
Materialer
• Fjederkanon og kugle
• Bord
• Lineal/målestok
• Mobilkamera
• LoggerPro + computer
Fremgangsmåde
Forsøg 1: Lodret kast
Fjederkanonen fastgøres til bordet.
En lineal fastgøres til fjederkanonen, og mundingens højde over bordet
aflæses på linealen.
Tre lodrette skud affyres, og kuglens bevægelse filmes med telefonen.
Forsøg 2: Skråt kast
Fjederkanonen indstilles med en skudvinkel på 56 i forhold til vandret.
Desuden lægges en målestok på 1 m på bordet, så den kan bruges som
skala ved databehandling i LoggerPro.
Telefonen placeres så langt væk fra kanonen, at billedet ikke forvrænges
nær kanten, og skuddet filmes.
[navn fjernet], 2.x
Bilag 2: Forsøgsresultater fra LoggerPro
Tid (s)
X (m)
Y (m)
Vx (m/s)
Vy (m/s)
1
3,794394
0,001782
0,001872
0,925005
1,180709
2
3,819411
0,025142
0,031907
0,908531
1,142083
3
3,844429
0,048502
0,061941
0,869170
1,056959
4
3,877702
0,075199
0,091975
0,855012
1,034703
5
3,910975
0,105234
0,128684
0,848988
1,048823
6
3,952754
0,138605
0,172067
0,853102
1,019196
7
3,986028
0,168639
0,212113
0,873212
0,835715
8
4,036062
0,212022
0,242147
0,877927
0,666433
9
4,086097
0,255405
0,275519
0,899122
0,560840
10
4,127876
0,295451
0,295542
0,904538
0,429640
11
4,177911
0,338834
0,312227
0,900124
0,357410
12
4,236202
0,392229
0,335587
0,905332
0,264301
13
4,286237
0,438949
0,345599
0,882575
0,101420
14
4,344778
0,485669
0,345599
0,898837
-0,047979
15
4,403068
0,542400
0,338925
0,935283
-0,196681
16
4,444847
0,582446
0,325576
0,918208
-0,342527
17
4,503138
0,635841
0,305553
0,878139
-0,499597
18
4,553173
0,675886
0,268844
0,863406
-0,609052
19
4,611463
0,725944
0,242147
0,907364
-0,762517
20
4,653242
0,769327
0,192090
0,913863
-0,933641
21
4,695022
0,802698
0,158718
0,906754
-1,003403
22
4,736551
0,846081
0,108661
0,867706
-1,073158
23
4,786585
0,882790
0,061941
0,820284
-1,155153
24
4,828364
0,919499
0,005209
0,815788
-1,315942
25
4,861638
0,942859
-0,041511
0,839697
-1,383207
26
4,903417
0,979567
-0,094905
0,922864
-1,518792
27
4,945196
1,026287
-0,171660
0,880607
-1,575477
28
4,978469
1,046310
-0,218380
0,744895
-1,502776