Farvestoer og mindste kvadraters
metode
Studieretningsopgave i Kemi A og Matematik A
STX 2.g
STX 2.g
Vejledere: Hanne Hansen & Klaus Klausen
Aeveringsdato: 31. august 2025
Antal anslag: 18328
[navn fjernet], 2.x
Resumé
Denne opgave handler om farvestoer og mindste kvadraters metode.
Først redegøres for organiske farvestoers kemiske opbygning, og årsagerne til at stoerne
kan absorbere lys i det synlige spektrum. Derefter redegøres for spektrofotometri og Lambert-
Beers lov, der siger, at der er en lineær sammenhæng mellem et stofs koncentration og
absorbans. Desuden redegøres for lineær regression og mindste kvadraters metode, som kan
benyttes til at bestemme den linje, der bedst beskriver et datasæt.
Herefter analyseres et forsøg, hvor absorbansen af standardopløsninger af farvestoet
brilliant blue FCF blev målt med spektrofotometri. En standardkurve opstilles på baggrund af
lineær regression og Lambert-Beers lov, og denne benyttes til at bestemme koncentrationen
af brilliant blue FCF i en sportsdrik. Analysen viser, at koncentrationen af brilliant blue FCF i
sportsdrikken er ca. 5,28 mg/L.
Efterfølgende diskuteres mulige fejlkilder og usikkerheder, som kan være årsag til, at
datapunkterne ikke ligger præcis på en linje.
Opgaven konkluderer, at koncentrationen af et farvestof kan bestemmes ud fra absorbansen
ved at benytte Lambert-Beers lov. I praksis sker det ved måle absorbansen med et
spektrofotometer og beregne koncentrationen ved hjælp af en standardkurve opstillet med
lineær regression.
[navn fjernet], 2.x
Indhold
Resumé ........................................................................................................................... 2
Indledning ........................................................................................................................ 4
Teori ................................................................................................................................ 4
Organiske farvestoers kemiske opbygning .................................................................... 4
Brilliant Blue FCF ....................................................................................................... 6
Spektrofotometri .......................................................................................................... 6
Lambert-Beers lov ........................................................................................................ 7
Lineær regression og mindste kvadraters metode ........................................................... 7
Forsøg og forsøgsresultater ............................................................................................. 11
Analyse.......................................................................................................................... 12
Diskussion ..................................................................................................................... 13
Konklusion ..................................................................................................................... 14
Referencer ..................................................................................................................... 15
Bilag 1: Materialeliste og forsøgsbeskrivelse..................................................................... 16
Bilag 2: Beregning af koncentration .................................................................................. 17
[navn fjernet], 2.x
Indledning
Farvestoer spiller en vigtig rolle i både naturen og industrien, hvor de giver planter deres
karakteristiske udseende og anvendes til at farve fødevarer, tekstiler og andre produkter.
I denne opgave vil jeg bruge kemiske og matematiske metoder til at undersøge, hvordan
ukendte koncentrationer af farvestoer kan bestemmes. Helt konkret vil jeg bestemme
koncentrationen af farvestoet brilliant blue FCF i en sportsdrik.
Først redegøres for organiske farvestoers kemiske opbygning og deres evne til at absorbere
lys samt spektrofotometri og Lambert-Beers lov. Efterfølgende redegøres for lineær
regression og mindste kvadraters metode.
Derefter beskrives et forsøg, hvor absorbansen af forskellige opløsninger med brilliant blue
FCF blev målt. I analysen benyttes forsøgsresultaterne til at opstille en standardkurve, som
bruges til at bestemme koncentrationen af brilliant blue FCF i en bestemt sportsdrik.
Til sidst diskuteres eventuelle fejlkilder og usikkerheder.
Teori
Organiske farvestoers kemiske opbygning
Et organisk stof har farve, hvis dets struktur gør det i stand til at absorbere dele af det synlige
lys (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022). Stoets farve skyldes det lys, som ikke bliver
absorberet, men reekteres. Et stofs farve er derfor komplementærfarven til den farve, som
stoet absorberet (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022). Hvis et stof fx absorberer det blå lys, så
er stoet orange.
Et af kendetegnene ved mange organiske farvestoer er, at de indeholder adskillige
konjugerede dobbeltbindinger (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022). At dobbeltbindinger er
konjugerede betyder, at der er én enkeltbinding mellem dobbeltbindingerne, dvs. at der
skiftevis er en dobbeltbinding og en enkeltbinding. Hvert af C-atomerne har re elektroner i
den yderste skal, og de tre elektroner indgår i bindinger til de to nabo C-atomer og et H-atom.
Den fjerde elektron fra hvert C-atom er ikke så stærkt bundet til C-atomet, men indgår i en
elektronsky, der breder sig ud over alle de konjugerede dobbeltbindinger (Parbo, Nyvad, &
Mortensen, 2015). Elektronerne i elektronskyen kaldes delokaliserede, fordi de ikke hører til
én binding, men bevæger sig mellem bindingerne (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015).
Når et molekyle optager energi og går fra grundtilstanden med lavest mulig energi til en højere
energitilstand, siges det at være exciteret (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015).
Excitationsenergien er den mængde energi, der kræves for at excitere molekylet. Hvis
excitationsenergien svarer til energien i lys med en bestemt bølgelængde, så optager
[navn fjernet], 2.x
molekylet energien i lyset med denne bølgelængde, dvs. at molekylet absorberer lyset, og det
fremstår derfor farvet (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015).
Sammenhængen mellem excitationsenergien E og bølgelængden er omvendt proportional,
så jo mindre excitationsenergien er, jo større er bølgelængden af det lys, som absorberes
(Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015):
er Plancks konstant, og er lysets hastighed.
Jo ere konjugerede dobbeltbindinger et molekyle indeholder, jo mindre bliver
excitationsenergien (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015). Som tommelngerregel skal et
molekyle indeholde mindst 8 konjugerede dobbeltbindinger for at være farvet (Mygind,
Nielsen, & Axelsen, 2022), da excitationsenergien dermed er så lav, at stoet absorberer lys i
det synlige spektrum.
Et stof kan dog godt være farvet uden at indeholde mindst 8 konjugerede dobbeltbindinger,
hvis det indeholder en eller ere chromofore grupper (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022).
Chromofore grupper er grupper, der indeholder dobbeltbindinger mellem andre atomer end
C-atomer (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015). Fx er carbonyl-, azo- og azomethingrupper
chromofore grupper (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015). Se guren herunder:
Chromofore grupper bidrager til et stofs farve, fordi de indeholder mindst ét ledigt
elektronpar, som bidrager til den delokaliserede elektronsky, og dermed sænker
excitationsenergien (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015).
Ud over chromofore grupper, så kan farvestoer også indeholde farveændrende grupper
kaldet auxochrome grupper (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022). Amino, hydroxy og sulfonat er
eksempler på auxochrome grupper (Schmidt, 2022). Se guren herunder:
[navn fjernet], 2.x
Ligesom de chromofore grupper, så bidrager auxochrome grupper med ledige elektronpar,
som indgår i den delokaliserede elektronsky (Schmidt, 2022). Dermed sænkes
excitationsenergien, og den bølgelængde, hvor stoet absorberer lys, øges.
Brilliant Blue FCF
Brilliant Blue FCF er et syntetisk organisk farvestof med E-nummer E133. Strukturen kan ses
på guren herunder (Parbo, Nyvad, & Mortensen, 2015):
Grænseværdien for indtagelse af brilliant blue FCF er 6 mg pr. kg legemsvægt pr. dag (JECFA,
2021).
Spektrofotometri
Spektrofotometri er en metode, der kan bruges til at måle, hvor meget lys en opløsning
absorberer ved en bestemt bølgelængde. Når lys sendes gennem en opløsning, vil en del af
lyset blive absorberet af de opløste molekyler, mens resten passerer igennem. Et
spektrofotometer er et apparat, der måler, hvor meget lys en opløsning absorberer ved en
bestemt bølgelængde (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022).
Et spektrofotometer virker således (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022):
1) Inde i et spektrofotometer ndes en monokromator, som udvælger lys med en
bestemt bølgelængde fra en lyskilde, så kun lys af én farve rammer prøven.
2) Prøven placeres i en kuvette, som er en lille beholder af glas eller plast. Lyset passerer
gennem kuvetten og opløsningen. En detektor på den anden side måler, hvor meget lys
der kommer igennem.
3) Først måles intensiteten
af det lys, der går gennem opløsningsmidlet alene. Derefter
måles intensiteten af lyset, der passerer gennem prøven med farvestof.
Ved at sammenligne
og beregner spektrofotometeret absorbansen (A) med formlen
(Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022):
[navn fjernet], 2.x
Absorbansen er et mål for, hvor meget lys opløsningen har absorberet, og den kan bruges til
at bestemme koncentrationen af farvestoet ved hjælp af Lambert-Beers lov.
Lambert-Beers lov
Lambert-Beers lov beskriver sammenhængen mellem absorbansen af en opløsning og
koncentrationen af stoet i opløsningen (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022):
er absorbansen, og det er et tal uden enhed.
er den molare absorptionskoeicient. Den molare absorptionskoeicient måles typisk i M
-1
cm
-1
, og den er specik for stoet og den valgte bølgelængde.
er den længde, som lyset skal bevæge sig gennem stoet, og den måles typisk i cm.
er koncentrationen af stoet , og den måles typisk i M.
Lambert-Beers lov gælder kun under visse betingelser, fx må koncentrationen ikke være for
høj (Mygind, Nielsen, & Axelsen, 2022).
Lineær regression og mindste kvadraters metode
Lineær regression er en metode, der kan bruges til at opstille en lineær model, der beskriver
sammenhængen mellem to variable. Selv om Lambert-Beers lov siger, at der er en lineær
sammenhæng mellem et stofs koncentration og dets absorbans, så vil et plot af målinger af
koncentration og absorbans ofte ikke ligge perfekt på en ret linje på grund af bl.a.
måleusikkerhed. For at bestemme sammenhængen bestemmes derfor den bedste linje.
Denne linje bestemmes med mindste kvadraters metode, som går ud på at minimere
summen af de kvadrerede afvigelser mellem de målte punkter og linjen. Ved at vælge de
koeicienter, der gør denne sum mindst mulig, får man den model, der bedst beskriver den
observerede sammenhæng (Brydensholt & Ebbesen, 2019).
Udgangspunktet for lineær regression er et datasæt, der består af punkter:
,
,
…,
. Formålet er at bestemme den linje, der bedst beskriver punkterne. Denne linje er
givet ved en ligning på formen , så det der skal bestemmes, er konstanterne og
.
Til hver x-værdi
hører der både en observeret y-værdi
og en estimeret y-værdi
, som
estimeres ud fra linjens ligning:
Punktet
ligger på linjen, da koordinaterne pr. denition opfylder linjens ligning. Med
mindre
, så ligger punktet
ikke på linjen.
[navn fjernet], 2.x
Forskellen mellem de to y-værdier kaldes residualet og noteres
(Brydensholt & Ebbesen,
2019):
Residualet er den lodrette afstand mellem punkterne
og
, så residualet er et
mål for afstanden mellem linjen og punktet
(se guren herover). Jo tættere residualet
er på 0, jo tættere er linjen derfor på punktet.
Den bedste linje er den, der ligger tættest på punkterne. Da nogle af residualerne er positive,
og nogle af residualerne er negative, så kan linjen ikke bestemmes ved at minimere summen
af residualerne. I stedet minimeres summen af de kvadrerede residualer (Brydensholt &
Ebbesen, 2019):
Summen omskrives ved hjælp af sumtegn , som kan bruges til at skrive lange summer på en
kompakt måde:
Summen er en funktion af to variable og :
[navn fjernet], 2.x
Målet er at minimere summen af de kvadrerede residualer, dvs. at bestemme minimum for
. Dette gøres ved at dierentiere med hensyn til og og derefter løse ligningerne
og
(Brydensholt & Ebbesen, 2019).
Først dierentieres med hensyn til ved at bruge sumreglen og kædereglen:
Derefter dierentieres med hensyn til ved at bruge sumreglen og kædereglen:
I de følgende omskrivninger bruges denne notation: er gennemsnittet af -værdierne, og
er gennemsnittet af -værdierne. Dermed er:
Ligningen
løses nu med hensyn til :
[navn fjernet], 2.x
Ovenstående udtryk for bruges til at løse ligningen
med hensyn til :
[navn fjernet], 2.x
Summen af de kvadrerede residualer er mindst, når konstanterne og er givet ved
I praksis overlades beregningen af koeicienterne og typisk til et CAS-værktøj eller Excel.
Forsøg og forsøgsresultater
Formålet med forsøget er at bestemme koncentrationen af farvestoet brilliant blue FCF
(E133) i en sportsdrik ved hjælp af spektrofotometri. En standardkurve opstilles ved at måle
absorbansen af opløsninger med kendt koncentration, og derefter beregnes koncentrationen
i sportsdrikken ved hjælp af standardkurven.
Forsøget foregik således: En kendt mængde af det rene farvestof brilliant blue FCF blev vejet
af og opløst i demineraliseret vand for at lave en stamopløsning med kendt koncentration.
Denne blev derefter fortyndet i forskellige forhold for at lave en serie af standarder med
kendte koncentrationer.
[navn fjernet], 2.x
Brilliant blue FCF har størst absorbans ved en bølgelængde på ca. 630 nm (Parbo, Nyvad, &
Mortensen, 2015). Denne bølgelængde blev derfor brugt i forsøget, da det giver de mest
præcise målinger.
Sportsdrikken blev fortyndet med demineraliseret vand for at bringe absorbansen ned.
Absorbansen af alle standardopløsninger og af den fortyndede sportsdrikprøve blev derefter
målt ved bølgelængden 630 nm.
En detaljeret forsøgsbeskrivelse og materialeliste kan ses i bilag 1.
Absorbansmålingerne for standardopløsningerne og sportsdrikken ses i tabellen nedenfor.
Prøve
Koncentration (mg/L)
Absorbans
Standard 1
1,60
0,221
Standard 2
3,20
0,505
Standard 3
4,80
0,679
Standard 4
6,40
0,981
Standard 5
8,00
1,149
Fortyndet sportsdrik (1:5)
0,129
Beregningen af koncentrationerne kan ses i bilag 2.
Analyse
Ifølge Lambert-Beers lov er der en lineær sammenhæng mellem koncentrationen af brilliant
blue FCF i en opløsning og opløsningens absorbans:
En standardkurve opstilles derfor ved hjælp af lineær regression:
[navn fjernet], 2.x
-værdierne er koncentrationerne, og -værdierne er absorbanserne, så der er følgende
sammenhæng mellem koncentrationen (i mol/L) og absorbansen :
Den fortyndede sportsdrikprøve havde en absorbans på 0,129. Koncentrationen af brilliant
blue FCF i denne opløsning bestemmes ved at benytte ovenstående ligning:
Ligningen løses for c vha. WordMat.
Koncentrationen af brilliant blue FCF i den fortyndede prøve med sportsdrikken er 1,06 mg/L.
Prøven med sportsdrik er fortyndet i forholdet 1:5. Koncentrationen af brilliant blue FCF i
sportsdrikken bestemmes:
Koncentrationen af brilliant Blue FCF i sportsdrikken er 5,28 mg/L.
Diskussion
Analysen viser, at sportsdrikken indeholder ca. 5,28 mg brilliant blue FCF pr. liter.
Grænseværdien for indtag af brilliant blue FCF er 6 mg pr. kg legemsvægt pr. dag, dvs. at en
[navn fjernet], 2.x
voksen, der vejer 70 kg, max bør indtage 420 mg af farvestoet om dagen. Med en
koncentration på ca. 5,28 mg/L i sportsdrikken skal en voksen, der vejer 70 kg, drikke mere
end 79 L sportsdrik pr. dag for at nå grænsen. Koncentrationen af brilliant blue FCF i
sportsdrikken er altså så lav, at grænsen ikke overskrides, selv om man drikker meget
sportsdrik.
Målingerne på standardopløsningerne i forsøget gav en række punkter, der næsten ligger på
en ret linje, dvs. at der med god tilnærmelse er en lineær sammenhæng mellem
koncentrationen og absorbansen. Analysen viser altså, at resultaterne stemmer godt overens
med den teoretiske forventning om en lineær sammenhæng mellem koncentration og
absorbans, som Lambert-Beers lov beskriver.
Selv om der er en tydelig lineær sammenhæng mellem koncentrationen og absorbansen, så
kan det ses på punktplottet, at punkterne ikke ligger helt præcist på linjen. Afvigelserne kan
skyldes fejlkilder og måleusikkerheder. For eksempel kan upræcis pipettering påvirke
koncentrationen i standardopløsningerne og give en lidt anderledes fortynding af
sportsdrikken end beregnet. Utilstrækkelig omrøring i opløsningerne kan også påvirke
resultaterne, da målingerne ikke bliver helt korrekte, hvis ikke opløsningerne er homogene.
Desuden kan små urenheder i kuvetterne påvirke målingerne.
Konklusion
Organiske farvestoer fremstår farvede, fordi de absorberer dele af det synlige lys.
Sammenhængen mellem et stofs absorbans og koncentration kan bestemmes ved at måle på
standardopløsninger med et spektrofotometer, opstille en standardkurve ved hjælp af lineær
regression og mindste kvadraters metode og benytte Lambert-Beers lov.
I forsøget blev absorbansen af forskellige opløsninger af farvestoet brilliant blue FCF og en
fortyndet sportsdrik målt. Analysen viste, at koncentrationen af brilliant blue FCF i
sportsdrikken er ca. 5,28 mg/L.
Selv om standardkurven viser en tydelig sammenhæng mellem koncentration og absorbans,
så er der nogle afvigelser. Afvigelserne kan skyldes fejlkilder og usikkerheder som fx
pipetteringsfejl, utilstrækkelig omrøring og urenheder.
Samlet set konkluderes, at koncentrationen af et farvestof kan bestemmes ud fra
absorbansen ved at benytte Lambert-Beers lov. I praksis foregår det ved at foretage
spektrofotometriske målinger, opstille en standardkurve med lineær regression og benytte
denne standardkurve til at bestemme koncentrationen ud fra absorbansen.
[navn fjernet], 2.x
Referencer
Brydensholt, M., & Ebbesen, G. R. (2019). Lærebog i matematik A3 STX. Systime A/S.
JECFA. (2021). BRILLIANT BLUE FCF. Hentet 7. juli 2025 fra World Health Organization:
https://apps.who.int/food-additives-contaminants-jecfa-
database/Home/Chemical/3309
Mygind, H., Nielsen, O. V., & Axelsen, V. (2022). Basiskemi B (2. udg.). Praxis Forlag A/S.
Parbo, H., Nyvad, A., & Mortensen, K. K. (2015). Kend Kemien 2 (2. udg.). Gyldendal A/S.
Schmidt, T. S. (2022). Anvendt bioteknologi. Nucleus Forlag ApS.
[navn fjernet], 2.x
Bilag 1: Materialeliste og forsøgsbeskrivelse
Materialeliste
• brilliant blue FCF (E133)
• demineraliseret vand
• sportsdrik
• 50 mL målekolber
• 100 mL målekolber
• pipetter
• spektrofotometer
• kuvetter
Fremgangsmåde
1) Afvej 4,00 mg brilliant Blue FCF på en vægt og overfør det til en 50 mL målekolbe.
2) Tilsæt demineraliseret vand op til mærket (50 mL) og bland grundigt for at fremstille
en stamopløsning med koncentrationen 80 mg/L.
3) Fremstil standardopløsninger i 50 mL målekolber ved at pipettere følgende
volumener af stamopløsningen:
• 1 mL (standardopløsning 1)
• 2 mL (standardopløsning 2)
• 3 mL (standardopløsning 3)
• 4 mL (standardopløsning 4)
• 5 mL (standardopløsning 5)
4) Fyld alle målekolberne til mærket med demineraliseret vand og bland grundigt.
5) Forbered sportsdrikprøven ved at pipettere 10 mL sportsdrik i en 50 mL målekolbe.
6) Fyld op til mærket med demineraliseret vand og bland grundigt.
7) Tænd spektrofotometeret.
8) Indstil spektrofotometeret til bølgelængden 630 nm.
9) Fyld en kuvette med demineraliseret vand, og brug den til at nulstille absorbansen.
10) Fyld kuvetter med standardopløsningerne. Mål og notér absorbansen for alle
standardopløsningerne.
11) Fyld en kuvette med sportsdrikprøven. Mål og notér absorbansen.
[navn fjernet], 2.x
Bilag 2: Beregning af koncentration
Stamopløsningen har en koncentration på 80 mg/L, dvs. 0,08 g/L.
Som eksempel beregnes koncentrationen af standardopløsning 1:
Standardopløsning 1 består af 1 mL stamopløsning, og den samlede volumen er 50 mL.
Fortyndingsforholdet bestemmes:
Derefter beregnes koncentrationen af brilliant blue FCF i standardopløsning 1:
På tilsvarende vis beregnes koncentrationen for de øvrige standardopløsninger:
Standard
Volumen stamopløsning (mL)
Fortyndingsforhold
Koncentration i mg/L
1
1
0,02
1,60
2
2
0,04
3,20
3
3
0,06
4,80
4
4
0,08
6,40
5
5
0,1
8,00