Side 1 af 33
Studieretningsprojekt 2007/2008
Den specielle relativitetsteori
STX 3.g
Fagområde: Fysik og matematik
Vejledere:
Institution:
Dato:
Side 2 af 33
Problemformulering
Der ønskes en gennemgang og forklaring af resultater fra den specielle relativitets teori. I din
besvarelse skal følgende indgå:
• Hvorfor er den klassiske fysik utilstrækkelig?
• Udledning af Lorentztransformationen
• En eksperimentel bestemt værdi for lysets hastighed
• Eksempler på fysiske fænomener, hvor relativitetsteorien spiller en rolle, herunder
tidsforlængelse, længdeforkortelse og muonens levetid.
• Endelig ønskes resultater fra den relativistiske dynamik omtalt.
Opgaven må have et omfang på op til 25 sider.
Side 3 af 33
Indholdsfortegnelse
Studieretningsprojekt 2007/2008 ............................................................................................................... 1
Den specielle relativitetsteori ..................................................................................................................... 1
Problemformulering ................................................................................................................................... 2
1. Absract ............................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2. Indledning .......................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3. Relativitetsteorien og den klassiske fysik ............................................................................................ 4
4. Enden på klassisk fysik: Michelson-Morley eksperimentet ................................................................ 6
4.1 Baggrunden bag eksperimentet ........................................................................................................ 6
4.2 Opstillingen af eksperimentet .......................................................................................................... 6
4.3 Teorien bag eksperimentet ............................................................................................................... 7
4.4 Konklusion på Michelson- og Morleys eksperiment ..................................................................... 10
5. Eksperimentel bestemt værdi for lysets hastighed ............................................................................. 11
6. Lorentztransformation ........................................................................................................................ 13
6.1 Introduktion til Lorentztransformation .......................................................................................... 14
6.2 Udledelse af Lorentztransformation ............................................................................................... 15
6.3 Lorentztransformation for treretvinklede koordinatsystemer .................................................... 21
Figur ......................................................................................................................................................... 26
Side 4 af 33
1. Relativitetsteorien og den klassiske fysik
1
Mekanikkens grundlægger i den klassiske fysik var (inden Alberts Einstein) Galileo Galilei samt
Isaac Newton. Når nye store opdagelser iagttages er det altid revolutionerende, ligeledes var det
revolutionerede for fysikken, at der nu var teorier om bevægelse og kræfter. Det ville senere vise
sig, at den klassiske fysiks teori er utilstrækkelige og bliver derfor overskrevet af en nyere og meget
mere generel teori, nemlig relativitetsteorien.
I tidernes morgen, ca. 4åhr. f.kr opfattedes legemet af Aristoles som værende i en absolut
hviletilstand, dette ville dog ikke gør sig gældende, hvis legemet blev påvirket af en kraft. Den
absolutte hviletilstand forkastedes efter Newtons 3. Lov (Newtons 3. lov: Hvis et legeme påvirker et
andet legeme med kraften F
2
, så vil det andet legeme påvirke det første legeme med en lige så store
men modsatrettet kræft F
2
, altså F
2
= – F
1
).
2
Ved betragtning af en sky for eksempel mens man er i stilstand, da ses det fra os (på jorden) som
var det skyen, der bevæger sig. Så man derimod os på jorden fra skyen af, ville de modsatte
forekomme: os på jorden ville virke til at være i bevægelse, men betragteren på skyen ville opfatte
sig selv som værende i hvile. En modsigelse som f. eks. denne forkaster et absolut rum – dermed
også sagt, at en begivenhed ikke kan tildeles en absolut position i rummet, da det afhænger af hvor
man ser begivenheden fra.
Newtons opfattelse om en absolut Gud ville ikke kunne passe med ovenstående og derfor
accepterede han ikke udfaldet af sine egne love. Dog var der en vis enighed om at en absolut tid
måtte være til stede. For alle observatører måtte tiden mellem to begivenheder være den samme,
men med Einsteins gennembrud modbeviste relativitetsteorien dette.
Det blev af fysikeren James Clark Maxwell i 1865 forudsagt, at lysets hastighed er konstant, da
Maxwell havde beregnet det gennem sinde ligninger. Der opstod et problem idet det absolutte rum
var afskaffet. Vel var lysets hastighed konstant, men lyset måtte bevæge sig med konstant fart i
forhold til et eller andet. Problemet skulle vise at sig løses ved opfindelse af et slags medium kaldt
1
[kilde 8]
[kilde 10]
2
Tavlenotat fra fysikundervisning i sammenhæng med emnet mekanik
Side 5 af 33
æteren. Dette medium kan sammenlignes med måden hvorpå lyd bevæger sig gennem luft, da det
akkurat var det samme, nu var det blot lys!
Med den hastige udvikling af fysikken i det 19. århundrede skabes næsten et enhedsorienteret
videnskabeligt system, hvor det med det med enkelte fænomener og eksperimenter så ud til, at de
ikke umiddelbart lod sig indpasse. Gennembruddets forløber kan siges at være Michelson og
Morley der i 1881 opdagede, at det ikke var forskel på lysets hastighed, uanset om lyset gik langs
jordens rotationsretning eller vinkelret på denne. Lige netop dette kunne ikke passe med den
klassiske fysik resultater og skulle snart vise sig, at Michelson og Morley’s forsøg skulle danne
udgangspunkt for Albert Einstein () for hans relativitetsteori fra 1905 – der senere fik
navnet blev benævnt som den specielle relativitetsteori. Hvor man i den klassiske fysik ikke antog
lysets hastighed for at være konstant og afhængig af observatørens bevægelse, bliver netop dette
indvendt. Med den specielle relativitets teori antages lysets hastighed at være konstant og
uafhængig af observatørens bevægelse. Uanset hvor man bevæger sig hen imod vil hastigheden i
forhold til observatøren den samme, ca. 300.000 . Teoretisk set kan et legeme kan nå ret tæt på
lysets hastighed, dog vil det aldrig kunne selve hastigheden (8 Både tid og rum
bliver relative størrelser, afhængig af observatørens bevægelse når lyshastigheden gøres absolut -
uafhængig af observatørens bevægelse. Ved f. eks. to begivenheder, vil det for den ene iagttager
foregå samtidig, medens det for den anden iagttage ikke vil være samtidige og afstanden mellem
begivenhederne vil også være forskellig, fordi iagttageren bevæger sig i forhold til den første
begivenhed. Legemes masse bliver afhængig af hastigheden som konsekvens af lyshastighedens
uafhængighed. Endvidere bliver følgen, at massen fremkommer som en form for energi, hvilket
udtrykkes i verden mest kendte ligning, nemlig Einsteins berømte ligning, E = mc
2
, hvor E er
energien, m er massen og c er lyshastigheden.
Relativitetsteorien havde for fysikerne en revolutionær forløsende konsekvens. Det blev nu endelig
muligt at beskrive fænomener, der var ikke blevet observeret i overensstemmelse med
Galileitransformationen. Den klassiske fysiks love var utilstrækkelige, når det drejede sig om
bevægelser med f. eks. høje hastigheder eller høje masser.
Side 6 af 33
2.
3
Enden på klassisk fysik: Michelson-Morley
eksperimentet
I følgende afsnit vil der være en gennemgang af et eksperiment, der skulle vise sig at være forløber
for dannelsen af den specielle relativitetsteori, nemlig Michelson- og Morley eksperimentet. I
gennemgangen forklares baggrunden, opstillingen og teorien bag eksperimentet. Dette vil
efterfølges af et eksperiment udført i forbindelse med bestemmelse af lyshastigheden.
2.1 Baggrunden bag eksperimentet
Mediumet, æteren, blev et meget central emne for de fysiske studier med baggrund i Maxwell-
teoriernes store succes fra omkring 1860, der han forudsagde at lysets hastighed er konstant og
bevægede sig med konstant fart i forhold til et eller andet. Man havde derfor en stor interesse for at
undersøger æterens tilstedeværelse gennem direkte målinger. Man søgte i allerhøjeste grad ved
måling af ”æter-vinden” gennem laobaratoriet at bestemme hastigheden af Jordens bevægelse
gennem æteren. Ud fra den betragtning at lysstrålerne bevægelse ville være med eller of Jorden i
forhold til æteren, forestillede man sig at lysets hastighed ville være forskellig
Man havde en forventning om, at jordens hastighed i forhold til æteren ville i løbet af et tidspunkt
på året nå jordens banehastighed omkring Solen (ca. 30 km/s) uafhængig af æterens bevægelse i
forhold til Solsystemet. Idet Jordens banehastighed er 30
km/s
== skm
smrd
km
v
t
r
v /30
60*60*24*360
10*150*2
,
*2
6
svarer dette til ca. 1/10.000 af lyshastigheden –
dvs. at dens effektivitet må antages at være meget lille, at den på daværende tidspunkt kun kunne
påvises med fintmærkende interferometerforsøg.
2.2 Opstillingen af eksperimentet
3
[Kilde 3] side 16 – 20
[Kilde 4] side 11 – 14 + 21
[Kilde 5] side 6 – 10
[Kilde 7] side 261 – 266
[Kilde 11]
[Kilde 12] side 7 – 10
Figur 1. Et interferometer
Side 7 af 33
Af figur 1 ses hvad et interferometer består i og hvordan det egentlig virker. Vi har en lyskilde som
får betegnelsen L der udsender frekvensen v og bølgelængden
via monokromatisk lys (lys med
besemtbølgelængde (ensfarvet)).
Lyset vil under eksperimentet bevæge sig fra lyskilden og passere blændeåbningen B og rammer
lysstrålen den med S betegnede del af instrumentet. Når bevægelsen af lyset er over imod
glaspladen, der er roteret 45
o
i forhold til lysets bevægelsesretning, vil glasplades fungerer som
lysdeler. Som lysdeler bliver følgen, at halvdelen af lyset slipper direkte igennem imens den anden
halvdel reflekteres, så det reflekterede lys står vinkelret på den oprindelige lysstråle.
Dvs. at der spaltes i to adskilte stråler, hvor af den ene i løbet af tiden t
1
gennemløber vejen l
1
, mens
den anden i tiden t
2
gennemløber vejen l
2
. Ved et af et passende optisk arrangement F vil strålerne
forenes, der efterfølgende vil passere ind i kikkerten K.
Figur 2 Denne figur viser en enkel version af Interferometeret med jorden som
referenceramme
2.3 Teorien bag eksperimentet
Opfattelsen af, at jorden bevæger sig om æteren med en bestemt hastighed må være det bærende
emne for Michelson-Morley eksperimentet. For at dette skal gør sig gældende, må det siges, at
Jorden gennemløber en slags æter-vind. Ætervinden som jorden gennemløber, må have indflydelse
på alt lys på jorden i den ene eller den anden retning – idet lyset enten kan være, med-, mod- eller
sidevind. Af dette følger, tiden det tager for den første stråle at komme igennem systemet må være
større eller mindre end den tid det tager for den anden stråle – dette er afhængig af æteren
bevægelses retning. Vi vil netop undersøge den nævnte tidsforskel mellem strålerne og vurdere om
æteren egentlig har nogen eftervirkning på lyset.
Side 8 af 33
Vil nu betragte den første stråle mht. til tiden det tager for den at passere fra stråledeleren til M
1
og
endelig tilbage igen:
(4,1) ↔
c
c
v
c
v
t
c
v
c
L
vc
cL
vc
vcLvcL
vc
L
vc
L
t
2
1
1
1
1
1
1
22)()(
2
2
2
2
1
2
2
1
22
1
22
1111
1
−
−
=
−
=
−
=
−
−++
=
+
+
−
=
Når apparaturet er opstillet som skitseret i figur 2 og v angiverhastigheden af jordens bevægelse i
forhold til æteren, da får vi den tid t
1
, som lyset benytter til at tilbagelægge strækningen PM
1
P som
ovenstående. Ovenstående følger også af, at c – v er hastigheden på strækningen mellem PM
1
og c
+ v er hastigheden på strækningen mellem M
1
P.
For nu at undersøge, hvordan t
2
løber, vil vi finde tidsrummet for t
2
, som lyset har benyttet på
strækningen PM
1
P. For nu at gør det, kan vi gøre brug af følgende figur:
Figur 3. En del af Interferometeret med Æteren som referenceramme
Interferometerets hastighed i forhold til Æteren er her betegnet med
v
. Dertil må vi kunne videre
behandle figur 3, da lyset på strækningen PM
2
bevæger sig vinkelret på hastigheden
v
. Det følger at
Side 9 af 33
M
2
bevæger sig mod højre med
2
½vt
inden lyset til M
2
. Vi kan nu opstille en retvinklet trekant
mellem punkterne t=0 og t=t
2
. Figur 4.
Vi får derfor ved anvendelse af Pythagoras:
(4,2)
( )
2
2
½ct
( )
2
2
2
2
½vtL +=
↔
2
½t
22
1
vc −
=
↔
2
t
2
2
2
1
1
2
c
v
c
L
−
=
Nu har vi beregnet t
2
og t
2
, Interferometerets ramme og Æterens ramme og vi vil nu beregne
tidsforskellen:
(4,3)
−
−
−
=−=
2
2
1
2
2
2
12
1
1
2
c
v
L
c
v
L
c
ttt
Hvis det hele roteres med 90
o
vil L
1
og L
2
bliver hinanden omvendte og tidsforskellen vil da blive
følgende:
(4,4)
−
−
−
=−=
2
2
1
2
2
2
12
1
1
2
'''
c
v
L
c
v
L
c
ttt
Hvis vi endvidere ønsker at finde bølgeforskellen mellem de to stråler, må vi først lave en lille
omskrivning af (4,3). Idet instrumentet er indrettet således, at de to arme er lige lange, hvor det
gælder at:
21
LLL =
, får vi da for
cv
det tilnærmede udtryk:
Side 10 af 33
2
2
2
2
2
2
...
2
1
1...1
2
c
v
c
L
c
v
c
v
c
L
t −
+−−++=
Vi indfører
vc/=
og da bølgeforskellen er givet ved
)(
21
ttvn −=
, vil bølgeforskellen mellem
de to stråle da være:
(4,5)
2
2
c
vL
n −=
Ved Michelson- og Morleys eksperiment var
30km/s v500nm 11 ===
mL
Vi antager at jordens hastighed, v, i forhold til æteren er netop lig jordens banehastighed om solen,
30km/sek, finder vi af (4,5), at
2,0
/000.300
/30
500
11
2
2
−=
sekkm
sekkm
nm
m
n
Til Michelsons og Morleys overrakelse var ∆n > 0,02. Jorden kunne jo tilfældigvis have været i
hvile i æteren i målingsforetagendes momentet og derfor kunne man tænke sig at effekten udeblev.
Ved gentagne målinger i ca. et halv års forløb kan man sikrer sig for at ovenstående ikke bliver
tilfældet.
2.4 Konklusion på Michelson- og Morleys eksperiment
Af Michelson- og Morleys eksperiment kan vi som en direkte konklusion drage frem til, at
lyshastigheden i adskillige – om ikke alle – inertialsystemer vil være uafhængig af lysets retning.
Som jeg åbnede opgaven med at forklare hvorfor den klassiske fysik ikke er tilstrækkelig, får vi det
her bekræftet. Af ovenstående må vi slutte at Galileitransformationen ikke kan være tilstrækkelig
eller rigtig, hvilket egentlig medfører, at hele den klassiske mekanik er utilstrækkelig.
Endelig må siges, at Einsteins to postulater bl.a. kan begrundes i netop det ovenstående beskrevede
forsøg, hvor de lyder:
Einsteins første postulat:
Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter.
Einsteins andet postulat:
I det tomme rum udbreder lyset sig retlinet med hastigheden c i enhver retning og i ethvert
inertialsystem.
Side 11 af 33
3. Eksperimentel bestemt værdi for lysets hastighed
I forlængelse af Michelson- og Morleys eksperiment med henblik på lysets hastighed, har jeg selv
udført et eksperiment i samarbejde med vejlederen Bjarne Østergaard. Det kan jo være ganske
interessant selv at kunne bestemme en talværdi for lysets hastighed ved eksperimentelt arbejde. I
det følgende eksperiment var hverken opstilling eller metoden det samme som hos Michelson og
Morleys. Dette forsøg bygger på målinger foretaget af Foucault (1859), hvis opstilling blev
forbedret af netop Michelson- og Morley. Forsøgsvejledning er vedlagt bilag. I henhold til
forsøgsvejledning skulle der anvendes en Reuterlampe, hvor jeg har en Helium-Neon-laser.
Yderligere bruges der til forsøget følgende apparaturer: Roterende spejl, Stemmegaffel (440Hz) til
at bestemme frekvensen af det roterende spejl, spejl, linse og en del stativer.
Forsøgsopstilling samt tilhørende illustrationerne kan ses på bilaget med forsøgsvejledningen og jeg
vil i følgende afsnit henvise til netop disse illustrationer.
Fra Helium-Neon-laser udsendes der lys, der skal ramme det roterende spejl,
Lyset udsendes fra laseren og når hen til det roterende spejl, S
r
hvor efter lysstrålen kastet gennem
den opstillede linse. Denne linse har en brændvidde på tilnærmelsesvis 5m. Med længden ½L
sendes strålen videre til et andet spejl, S
p
, der endelig sender lyset tilbage til linsen og tilbage igen i
det roterende spejl. Den samlede vejstrækning lyset tilbagelægger fra det roterende spejl og til det
andet spejl og tilbage igen bliver da 2½L=L, da afstanden mellem S
r
og S
p
er ½L.
Lysets tager tiden
cLt /=
til at gennemløbe strækninger L.
Vinkelhastigheden til det roterende spejl, S
r
, vil vi kalde for og derfor er spejlet drejet med
vinklen
c
L
t
=
, inden lyset er reflekteret tilbage til spejlet jf. bilag figur 13.7b.
Af figur 13.7b fremgår det at lysstrålen der kommer fra laseren er drejet vinklen 2t efter spejling i
S
r
. Lige så meget som laserstrålen bliver flyttet ligeledes gøre konvergenspunktet – den bliver
flyttet med den samme vinkel. Konvergenspunktet vi betragter flyttes altså med vinklen 2t, hvilket
hænger sammen med at spejlet S
p
vil dreje laserstrålen 90
o
.
Denne fordoblings begrundelse findes i ændringen af både indfalds- og udfaldsvinkel.
Hvis vi kalder lysplettens strækning – det den flytter sig med - under rotationen for s, kan vi af det
opskrive følgende:
Side 12 af 33
(5,1)
c
L
rtrs
22 ==
, hvor afstanden mellem BS
r
er r. Sætter vi efterfølgende spejlet i
jævn rotation, hvor konvergenspunktet ses i stilling A, vil rotationen flytte konvergenspunktet hen i
stillingen A´, hvor
c
L
rsAA
2' ==
. Vi finder da et udtryk for lysets hastighed ved at omskrive
formlen til:
(5,2)
s
Lr
c
2
=
Vinkelhastigheden er givet til, (hvoraf frekvensen er eksperimentel bestemt):
(5,3)
f=
2
For nu at bestemme lysets hastighed udefra egne målinger fra eksperimentet, gør vi følgende:
4
Formlen
f=
2
kommer af denne sammenhæng: Vi forestiller os at have en partikel, der
bevæger sig med konstant fart v på en cirkel med radius r. Hvis denne partiel befinder sig på x-
aksen til t=0, vil vinklen da være . Vi kalder partiklen omløbstid for T og dens
omløbsfrekvens for f. Af disse størrelser kan vi finde sammen v, da partiklen tilbagelægger hele
cirklens kreds i løbet af T:
f
rv
T
T
r
v
=
=
=
=
2
at gældende siggør det å må omløb,hvert for radianer 2 soverstrygeder der ,
:atmedfører dette ,
2
:at gældedet må omløb,et påradianer 2går nu der siden ,
2
4
[kilde 13] side 24 – 25
småfor tan
2
½
tan
=
==
r
S
r
S
. drejer spejlet t afløbet i
vinklenHvor
c
L
t
=
Spejlet roterer med frekvensen f,
hvoraf
f=
2
Side 13 af 33
= t
=
c
L
f2
r
S
c
L
f
2
2 =
S
Lrf
c
=
4
Vi finder nu den eksperimentelt bestemte værdi for lysets hastighed:
skm
cm
mcmHz
c
telteksperimen
/10802,1
1,0
04,
5
=
Den relative afvigelse fra lysets hastighed er da, (hvor den teoretiske lyshastighed er 2.997.924,58
km/s):
%88,39
%100
/10997,2
/10997,2/10802,1
5
55
−
=
−
=
afviget
teoretisk
teoretisktelteksperimen
afviget
c
skm
skmskm
c
cc
c
Af resultatet ses det, at der ved eksperimentet er en forholdsvis stor afvigelse, som skyldes mange
faktorer: den største fejlkilde – nærmere usikkerhed – må siges at være målinger af de forskellige
afstande. Dertil er det utroligt svært at afgøre, hvor lysstrålen præcis reflekteres tilbage til laseren.
Bruget af stemmegaflen er måske ikke helt så praktisk, da det sagtens kan være tilfældet at det ikke
er rene sinusbølger der høres fra den roterende spejls motor. Dette kan være afgørende for om
valget af den rigtige frekvens.
Vi må efter alt dette konkludere, at vi har opfyldt forsøgets formål mht. til at eksperimentelt
bestemme en værdi for lysets hastighed. Den eksperimentelt bestemte værdi for lysets hastighed
afveg med tilnærmelsesvis 40% fra den teoretiske værdi for lysets hastighed, hvilket var grundet i
en del måleusikkerheder.
4.
5
Lorentztransformation
I følgende afsnit vil vi udlede Lorentztransformation, der skulle erstatte den klassiske fysiks
Galileitransformation med nye transformationsligninger.
5
[kilde 1] side 190 – 204
[kilde 2] side 7 – 14
[kilde 3] side 28 – 33
Side 14 af 33
4.1 Introduktion til Lorentztransformation
Opfattelsen af rum og tid ændredes af Einstein således, at den klassiske opfattelse af rum og tid må
erstattes med nogle nye transformationsligninger. Ved overgangen fra det ene inertialsystem til et
andet opfyldes galileitransformationen ganske korrekt – vel at mærke skal det gælde at
inertialsystemener bevæger sig med små hastigheder set i forhold til lysets udbredelsesfart c i
vakuum. At lyshastigheden er invariant i alle inertialsystemer, kan opfyldes ved at erstatte den
klassiske fysiks Galileitransformation med nye transformationsligninger.
Her vil vi undersøge transformationen, der kan erstatte Galileitransformation for store hastigheder.
Den eftersøgte transformation kaldes Lorentztransformationen opkaldt efter den fysiker der først
fandt transformationen, H.A. Lorentz (1853 – 1928).
Koordinatsystemet for ovenstående bliver som følgende:
I det følgende vil jeg udlede Lorentztransformationen, ved at vise, at den søgte
Lorentztransformationen er:
(6,1)
−=
=
=
−=
2
'
'
'
)('
c
xv
tt
zz
yy
vtxx
og
+=
=
=
+=
2
'
''
'
'
)''(
c
vx
tt
zz
yy
vtxx
,
hvor γ er bestemt ved
aksen.- xad sigbevæger O' hvormed hastighed,den er vog
1
1
2
2
c
v
−
=
Figur 5. Inertialsystemernes, I og I’, indbyrdes
bevægelse.
Med bevægelsesretning, som pilen antyder, er x- og
x’-akserne fastlagt på sådan en måde, at de glider
langs hinanden, medens y- og y’-aksen som z- og z’-
aksen er indbyrdes parallelle. Tiden sættes til 0 i både
O og i O’ når begyndelsespunkterne O og O’ passerer
hinanden.
Side 15 af 33
Vi vil nu regne polynomiet
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
222
'''' tczyx −++
og vha. at sammenholde polynomiet med
(6,1) fås:
(6,2):
( ) ( ) ( ) ( )
og
1
1
at bestemt,er det idet omskrive, kan vi led sidsteDet
)())((''''
2
2
2
2
222222
2
2
2222
2
2
222
c
v
c
xv
tczyvtx
c
xv
tczyvtxtczyx
−
=
−−++−=
−−++−=−++
=++
−
+−−−+
=
−
−−
−++
−
−+
=
22
2
2
2
22
22222
2
2
24
22
22
22
2
2
222
1
22
1
2
1
2
zy
c
v
xvt
c
vx
tcxvttvx
c
v
t
c
xv
c
vx
tc
zy
c
v
xvttvx
2222222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
22222
1
11
1
tcyzxzy
c
v
t
c
v
c
c
v
x
zy
c
v
c
vx
tctvx
−++=++
−
−+
−
=++
−
−−+
Hermed var vi vist, at
( ) ( ) ( ) ( )
22222
2
2
222
'''' tcyzxtczyx −++=−++
, hvilket betyder at
polynomiet er invariant overfor Lorentztransformationen.
I en eller anden retning I udsender vi en lysbølge fra O, hvor vi nu lader tiden være 0. Bølgen vil til
tiden t passere punktet (x,y,z). Set fra I er den passerede strækning givet ved
222
zyx ++
.
Vi kender desuden lysets fart c, da
ctzyx =++
222
, da tiden til den tilbagelagte strækning også
er kendt. Dette medfører, at den tidligere udregnede polynomium (6,2) bliver 0 på sin højre side.
Som følge af, at højre side er lig med 0, må venstre side også være nul, altså:
''''
222
ctzyx =++
Det betyder at lysets udbredelsesfart i I’er lysets fart c. Det ovenstående invarians påviser altså, at
lysets vakuumfart c er en universalkonstant.
4.2 Udledelse af Lorentztransformation
Vi vil nu udlede Lorentztransformationen for begivenheder på abscisseakserne
)0´;0´( ==== zzyy
Vi forestiller os, at vi har to inertialsystemer, I og I’, hvor det gælder, at
bevægelser der er retlinjet i forhold til den ene også er det til den anden. Koordinatsystemerne kan
Side 16 af 33
bruges vilkårligt for den enkelte inertialsystem, idet der både er fri drejelighed om akserne samt
man skal kan vælge begyndelsespunktet. I og I’ bevæger sig jævnt og translativt i forhold til
hinanden.
Vi ser nu dette fra inertialsystemet I’: I punktet I’ lader vi O’ være i hvile, hvor den falder sammen
til det hvilende punkt O i I til tiden t = 0 i I. Tidsregningens vælger vi nu at sætte i I’, hvor det gør
sig gældende, at tidspunktet hvor O falder sammen med det forbipasserende punkt O’ i I’ er t’=0.
En x-akse lægges nu gennem O, hvor O’ bevæger sig langs denne x-akse med den positive
translationshastighed v. Linjestykket OO’ er med fortegn til tiden t bestemt ved:
(6,3) OO'
=
vt (set fra I)
Vi vil lægge en x’-akse, således at O i forhold til I’ bevæger sig med en positiv translations-
hastighed, dette gøres ved at der lægges en x’-akse gennem O og O’ i inertialsystemet I’. Siden
inertialsystemerne I og I’ er i indbyrdes samme situation overfor hinanden og de benyttede enheder
er defineret på samme måde, må vi derfor kunne antage, at translationshastigheden af O set fra I’ er
det samme som translationshastigheden af O’ set fra I:
(6,4) O'O = vt ' (set fra I')
Foreløbig vil vi forholde til situationer som foregår på henholdsvis x-aksen og x’-aksen. En bestemt
hændelse kan iagttages fra I’, hvis vi f. eks. har et punkt A i bevægelse (set fra I) passere et punkt i
B på abscissn x på x’-aksen. Ved eksempelvis udsendelse af lysglimt når A passere B, vil
hændelsen blive registreret af begge iagttagere. Beskrevet med andre ord, kan man sige at
hændelserne i den ene begivenhed også kan betragtes fra det andet system. Vi befinder os stadig i
begivenhederne på abscisseakserne, hvilket betyder, at I’ kan betragte en begivenhed til
begivenheden (x,t) i I. Denne begivenhed antages at være (x',t'). Hvor hændelsen når til og hvortil
den bevæger sig er ganske uafhængigt set fra begge systemer. Det afgørende er dog, at der i punktet
med abscissen x sker noget til tiden t set fra I. Som følge af ovenstående vil det betyde, at der i
punktet med abscissen x’ også foregår en hændelse, men dog til tiden t’ set fra I’. Ved hændelse
(x,t) i det ene system vil på tilsvarende måde svare til en hændelse (x',t') på det andet system og
omvendt. Da dette gør sig gældende, må følgende være rimeligt også at gøre sig gældende:
Side 17 af 33
=
=
=
=
)','(
)','(
og
),´(´
),(''
txgt
txfx
txgt
txfx
De ovenstående fire udtryk er alle funktioner som vi skal fastlægge. Siden begge inertialsystemer
ved begivenheder på abscisseakserne er ens – der iagttages i hvert af dem, at begyndelsespunktet i
det andet system fjerner sig fra systemet med positiv translationshastighed – må man sikkert kunne
antage at x og t er de samme funktioner som x’ og t’, som x’ og t’ er af x og t. Altså:
(6,5)
=
=
=
=
)','(
)','(
og
),(´
),('
txgt
txfx
txgt
txfx
Vi skal nu betragte et punkt P’ der er på x’-aksen, hvor den har abscissen x’, hvor den i øvrigt er i
hvile i I’. Med en hastighed v bevæger punktet sig på x-aksen og bestemmer ligeledes en række
begivenheder (x,t) – alt dette set fra I! Vi nu har til et givent tidspunkt t:
(6,6)
tttt
POvtPOOOOPx )''()''()'()'( +=+==
Samtidigheden gør sig ikke gældende for det sidste led og der er
´)''( xPO
t
. Hvis det derimod
drejer sig om
)''( PO
vil det netop gøre sig gældende, at
´)''( xPO =
- her ved vi altså, at dette sidste
led i (6,6) må være længdeforkortet. Som følge af formlen for længdeforkortelse fås
følgende:
ll
='
(Se under overskriften Længdeforkortelse).
Hvis vi efterfølgende indsætter det ovenstående i formlen for længdeforkortelse fås da:
'
)''()''('
x
POPOx ==
. Siden de to abscisseakser er modsatrettede vil
'
)''(
x
PO −=
.
Vi indsætter nu ovenstående i udtrykket i (6,6):
(6,7)
)('
''
)''( vtxx
x
vtx
x
vtxPOvtx
t
−−=−=−−=+=
Udtrykket i (5,7),
)(' vtxx −−=
er altså løsningen til den første i (5,5)
),(' txfx =
Pga. symmetrien må vi på tilsvarende måde følge et punkt P på abscissen, der er i hvile i I og
bevæger sig med hastigheden v i inertialsystemet I’. Med en hastighed v bevæger punktet sig på x’-
aksen og bestemmer ligeledes en række begivenheder (x’,t’) til t’, hvor der ved det vilkårlige
tidspunkt, t’, gælder:
Side 18 af 33
(6,8)
''''
)(')()'()'('
tttt
OPvtOPOOPOx +=+==
Det samme gør sig gældende i det sidste led i (6,8) som tidligere:
xOP
t
'
)(
da systemet bedragets
fra I’. i det inertialsystemet ses fra I, vil der derimod være en ændring,
y
x
OP
t
−=
'
)(
hvor
længdeforkortning igen er gældende:
(6,8.1)
x
OPOPxyll
tt
===
''
)()('
, dette sættes nu i udtrykket (6,8)
(6,9)
)''('''')(''
'
vtxx
x
vtx
x
vtxOPvtx
t
−−=−=−−=+=
Af (6,9), har vi også bestemt den første funktion i anden kolonne i (6,5):
(6,10) Altså er vi foreløbig kommet frem til følgende:
−−=
−−=
)''(
)('
vtxx
vtxx
Af det ovenstående kan vi ligeledes bestemme et udtryk for t ved at eliminere x og bestemme et
udtryk for t’ ved at eliminere x’:
(6,11)
( ) ( )
'
1
'
1
'
1'
1
'
1
1'
'''
''')''(')))''((('
2
2
2
2
2
22
22
x
v
tt
v
vt
v
x
t
vt
x
vtvtxxvt
vtvtxxvtvtxxvtvtxx
−
−=
+
−−
=+
−−
=+−−=
+−=−+−−=−−−−=
Med (6,11), har vi vist funktionen t i (6,5)
)','( txgt =
.
(6,12)
( )
'
1
'
1
''
')'()'))(((
222
22
22
x
v
tt
v
x
v
vt
tvtxxvt
vtvtxxvtvtxxvtvtxx
−
−=
−−
+=−−=
+−=−+−−=−−−−=
Med (6,12), har vi vist funktionen t’ i (6,5)
),('' txgt =
.
Side 19 af 33
Af (6,12) ses det at
x.af uafhængig t' thave skal det vi i ,0for 0 →→→ v
Vi har ligeledes vist de fire funktioner i (6,5) og følgende er vi kommet frem til:
(6,13)
−
−==
−−==
−
−===
−−==
x
v
ttxgt
vtxtxfx
x
v
tttxgt
vtxtxfx
1
)','(
)''()','(
og
'
1
'),(´
)(),('
22
Lorentztransformation vil nu ikke være særligt vanskeligt at finde, da lysets udbredelsesfart c er
universalt (ens i alle retninger og i alle inertialsystemer). Vi skal nu forestille os at de to
koordinatsystemers begyndelsespunkter O og O’ falder sammen ved at vi lader t=0. Ved
”sammenfaldet” vil der udsendes lyssignal langs den positive x-akse i I – eller langs den negative
x’-akse i I’. Lyssignalet passere et punkt, hvis abscisse i I er x = ct når t = 0. Samme signal set fra I’
vil passere det samme punkt til tiden t’, hvor punktets abscisse her er x' = −ct' (fortegnet her skyldes
som nævnt tidligere to koordinatsystemer retning – de er modsatrettede).
Vi indsætter nu udtrykkene i (6,10), og følgende udtryk fås:
−=
−
+=
−
−
+=−−−−=−−−=
+=+=+=−−−=−−=
c
v
y
t
t
ct
t
ct
ct
cvtctctvtctctvtxx
c
v
y
t
t
c
t
ct
ct
cvtctctvtctctvtxx
1
''
')(')('
1
''
'')''()''(
Ved multiplikation fås et udtryk for γ:
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
111
'
'
11
'
'
c
v
c
v
c
v
tt
tt
c
v
y
c
v
y
t
t
t
t
−
=
−=
−=
−
+=
Godt nok angiver jeg fortegnene i det ovenstående udtryk som værende positiv og negativ, men
minusfortegnet i nævneren kan vi straks forkaste, da . Ved indsættelse af i (6,13) fås da:
Side 20 af 33
(6,14)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
')(
1
1
')('
1
''
)''(
1
1
)''(
c
v
vtx
xvtx
c
v
xvtxx
c
v
vtx
xvtx
c
v
xvtxx
−
−
−=−−
−
−=−−=
−
−
−=−
−
−=−−=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
'
1
1
'
1
´
´
1
1
1
1
1
1
´
'
1
'
c
v
v
x
c
v
x
c
v
t
tx
v
c
v
c
v
c
v
t
tx
v
tt
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
'
'
1
'
1
´
1
'
'
'
1
´
1
'1'
1
´
c
v
cv
vx
t
t
c
v
cv
vx
c
v
t
t
c
v
v
x
c
vx
x
c
v
t
t
c
v
v
x
c
v
x
c
v
t
t
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
Det samme gør vi for at finde t’:
Side 21 af 33
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
'
11
'
1
1
'
1
1
1
'
1
1
1
1
'
1
1
1
1
1
1
'
1
'
c
v
c
vx
t
t
c
v
cv
vx
c
v
t
t
c
v
v
x
c
vx
x
c
v
t
t
c
v
v
x
c
v
x
c
v
t
t
c
v
v
x
c
v
x
c
v
t
tx
v
c
v
c
v
c
v
t
tx
v
tt
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−=
Hermed har vi udledt den søgte transformation: Lorentztransformationen.
4.3 Lorentztransformation for treretvinklede koordinatsystemer
Indtil nu har kun begivenheder på abscisseakserne i de to inertialsystemer været bearbejdet.
Transformationerne vil vi nu nærmere undersøge for vilkårlige begivenheder i rummet, hvor
specielt Lorentztransformationerne for de treretvinklede koordinatsystemer undersøges:
Med hastigheden –v parallelforskydes P og Q parallelt med x’-aksen set fra I’, og ligeledes vil
punkterne O, P, Q, ligge på samme plan, hvis de ses fra I’. Den nævnte plan fremkommer i to
halvplaner, da den bliver delt af x’-aksen, således at OP kommer til at stå vinkelret på x’-asken set
fra I’. Hvis den positive x’-akse hældede med OP ville OQ hælde til samme side mod denne siden
intet adskiller halvplanerne fra hinanden. Idet, at systemerne er i bevægelse vil dette medfører, at en
retlinjet bevægelse i I fra Q til P gennem O også er retlinjet set fra I’.
Figur 6 Indførelsen af ordinatakserne i
inertialsystemerne I og I’.
På denne figur har vi to inertialsystemer
med deres ordinatakser. Siden det på
figuren ses at længden af OP og QQ er
lige lange, må P i x-aksen være et
spejlbillede af Q.
Side 22 af 33
Til tiden t = 0 vil hvilepunkterne i I’, som er O’ og P’, falde sammen med henholdsvis punkterne O
og P. Kaster vi lige blikket over figur 6 ser vi, at der set fra I er et rektangel med punkterne
OO’P’P, da vinkel med O er ret. Desuden kan vi drage os frem til, siden linjestykkerne OO’ og PP’
er lige lange (begge lig med vt), må figuren være et parallelogram. Ser vi figuren fra I’, vil der ikke
være de store ændringer med hensyn til formen af figuren: den vil stadig være et rektangel da O’ er
retvinklet. Desuden er P’P og O’O også parallelle og lige lange – her er de begge lig med |−vt '|.
Vi vil nu iagttagere begge systemer for at konstatere at ordinatakserne står vinkelret på deres
abscisseakser. Dette hænger sammen med at vi har indført både en y-akse og y’-akse, hvor vi i
øvrigt har bestemt punkterner P og P’ til at være i de positive sider af akserne. Der skal nu
undersøges linjestykkernes længdemåling, der er parallelle med ordinatakserne. Først vil vi blot
indfører betegnelserne l(OP) og l’(OP) – dette er længderne at linjestykket mellem O og P målt
henholdsvis i I og I’. Det gælder at l(OP)=l’(OP) da OPP’O’ til enhver tid t’ er et rektangel i I’. Vi
kan nu indføre med nedenstående sammenhæng:
==
)''('
)(
)('
)(
POl
OPl
OPl
OPl
Længderne afhænger ikke af tiden, da både O og P er i hvile i I og O’ og P’ er i hvile i I’. Siden
ikke er afhængig af tiden, må følgende kunne antages
=
)''('
)(
POl
OPl
heller ikke tidspunkterne for
længdemålingerne af l(OP) og l’(O’P’). Forholdet mellem de to inertialsystemer må være , da de
befinder sig i samme situation set i forhold til hinanden, altså:
==
1
eller ,
)(
)''('
OPl
POl
Altså må det betyde at , men siden er positiv,
kan vi forkaste den negative værdi, hvorved , der medfører at l(OP) = l’(O’P’), da forholdet
mellem længderne er 1. Desuden kan tilføjes, at den negative kan forkastes, da negative forhold
mellem længder ikke er realistiske! Altså, for en hændelse i henholdsvis (x,y)-planen og (x’,y’)-
planen gælder da, at hændelsens ordinater er ens set fra I og I’. Nu har vi her bearbejdet y-akse og
en y’-akse. Ønskes en indførelse af z-akse og z’-akse, benyttes den samme metode, hvor det skal
gør sig gældende at, z-koordinaten og z’-koordinaten for samme hændelse er lige store.
Side 23 af 33
5.
6
Følger af Lorentztransformationen
I følgende afsnit gives en beskrivelse af de følger Lorentztransformationen medførte, hvor der
igennem skabes et indtryk af den relativistiske dynamik. Her vil vi imødekomme begge Einsteins
postulater ved bearbejdelse af emnerne: Tidsforlængelse, Længdeforkortelse, Muonens levetid samt
Hastighedsaddering. Betragtninger gennemføres på en kvantitativ måde, hvor vi vil forsøge at
udlede udtrykkende for (vha. den tidligere udlede Lorentztransformation), hvordan længder og
tidsrum transformere mellem inertialsystemer.
Tidsforlængelse
6
[kilde 3] side 49 – 59
[Kilde 14] side 35 – 36
Side 24 af 33
Side 25 af 33
Side 26 af 33
Figur
• Figur 1 er fra [Kilde 3] side 17
• Figur 2 er fra [Kilde 12]
• Figur 3 er fra [Kilde 9] (redigeret!)
• Figur 4 er fra [Kilde 4] side 13
• Figur 5,1 er fra [Kilde 1] side 157
• Figur 5,3 er fra [Kilde 1] side 202
•
Bøger:
[Kilde 1] Pihl, Mogens m.fl.: ”Lærebog i FYSIK 2”, Gads Forlag 1973, 3. Udgave, København
[Kilde 4] Håkonsson, Willy: ”Relativitetsteori med eksempler”, Thaning og Appels Forlag
1972, Odense
[Kilde 5] Linhard, Jens m.fl.: ”Den speicelle relativitets terori”, Akademisk Forlag 1967, 3.
Udgave, København
[Kilde 7] Elvekjær, Finn m.fl.: ”Kraft og bevægelse”, G.E.C Gads Forlag 1983, København
[Kilde 13] Fogh, Esper m.fl.: ”Fysik for 3.G”, 2. udgave, 2. Oplag 1999, Silkeborg
Internethjemmesider
[Kilde 2] http://www.studieportalen.dk/Opgaver/Files/o9949.pdf
[Kilde 3] Mogens Dam: Introduktion til den specielle relativitetsteori, Niels Bohr Instituttet,
2004 http://www.nbi.dk/~dam/fys12/sr10.pdf
[Kilde 6] David W. Hogg: Special Relativity, New York University, 1997:
http://cosmo.nyu.edu/hogg/sr/sr.pdf
[Kilde 8] http://da.wikipedia.org/wiki/Speciel_relativitetsteori#baggrund
[Kilde 9] http://mateengreenway.com/steampunk/mimg453.gif
[Kilde 10] http://www.leksikon.org/art.php?n=937
Side 27 af 33
[Kilde 11] http://da.wikipedia.org/wiki/Michelson%E2%80%93Morleys_experiment
[Kilde 12] http://peecee.dk/?id=84398
[Kilde 14] http://www.logx.dk/notes/sso.pdf