1
Indhold
De grundlæggende principper: ........................................................................................................................ 2
Sandsynlighedsregning + kombinatorik: .......................................................................................................... 3
Sandsynlighed ......................................................................................................................................................... 3
Sandsynlighed for komplicerede begivenheder ........................................................................................ 4
Kombinatorik .......................................................................................................................................................... 5
Binomialfordelingen ............................................................................................................................................ 6
Simple eksempler på et pokerspils vinder .................................................................................................. 6
Spilteori: ........................................................................................................................................................................ 8
To spilleres sandsynligheder i et pokerspil ................................................................................................ 8
Pokerstrategier ......................................................................................................................................................... 11
Pot Odds .................................................................................................................................................................. 11
Expected Value ..................................................................................................................................................... 12
Artikel ........................................................................................................................................................................... 14
Pokerspillets typer og psykologi. .................................................................................................................. 14
Den matematiske del af poker ........................................................................................................................ 15
Jo flere Outs = Jo højere chance for at vinde ........................................................................................... 16
Analyse af artikel ...................................................................................................................................................... 17
Konklusion .................................................................................................................................................................. 18
Litteraturliste............................................................................................................................................................. 18
2
Spilteori og sandsynlighedsregning
I min opgave vil jeg undersøge hvorvidt poker er ren held, eller om intellektuelle færdigheder
som kendskab til matematisk sandsynlighed regning og viden om forskellige spillertyper man
spiller mod, gør at held ikke bliver en så stor faktor, dvs. at poker snarere er et strategispil. Jeg
vil bruge kombinatorik som virkemiddel til at udregne specifikke eksempler i en poker hånds
sandsynligheder af forskellige udfald.
Jeg vil fokusere på spillet mellem to spillere. Med eksempler fra specifikke hænder vil jeg
beskrive, hvordan vi kan bruge forskellige midler såsom Pot odds og Expected Value (EV) til
at forklare hvilke handlinger er korrekt i den givne situation.
Poker er et kortspil der har eksisteret i århundreder, men spillet vinder først frem i midten af
1800-tallet. Oprindeligt spillede man 4 spillere med 5 kort hver, hvor kortdækket kun bestod
af de 20 kort der blev delt ud blandt spillerne (4 Esser, 4 Konger, 4 Dronninger, 4 Bønder og 4
Ti’ere). Senere blev det indført at man spillede med 52 kort for at variere mulighederne af
kombinationer, og spillerantallet blev mere fleksibelt. Dette spil hedder i dag ”Five Card
Draw”. I denne opgave vil jeg kun beskæftige mig en variation af poker kaldet ”Texas
Hold’em”. Texas Hold’em er en version der ikke har eksisteret helt så lang tid som Five Card
Draw, men som allerede nu er det mest populære spil af de forskellige pokervarianter der
eksisterer.
De grundlæggende principper:
Poker har alt i alt 4 grundlæggende handlinger: Fold – Check – Call – Raise. Man kan smide
sine kort: Fold. Checke, betyder at man ikke ønsker at lægge flere penge i puljen men bare
sende turen videre til den næste spiller. Man kan Calle: gå med på det en andet spiller har
hævet med. Og endelig kan man Raise: hæve, altså smide flere penge i puljen.
Der findes følgende kombinationer af hænder:
1) højt kort (ingen af spillerne har et par eller højere, derfor vinder spilleren med det
højeste kort, fx en konge)
2) et par (fx to knægte)
3) to par (fx et par damer og et par 5’ere)
4) tre ens (fx 3 10’ere)
5) straight (fem kort i rækkefølge fx: 10-bonde-dame-konge-es)
6) Flush (fem kort i samme farve fx: fem klør)
7) Fuldt hus (et par + tre ens fx: 2 esser + 3 fem’ere)
8) Fire ens, også kaldet poker (fx 4 konger)
9) Straight flush (fx: 5-6-7-8-9 i ruder)
I Texas Hold’em sidder hver spiller med 2 kort på hånden. Hver runde indledes med at der
betales ”blinds”, dette er et indskud som to af spillerne ved bordet betaler, for at
nødvendiggøre at alle spillere skal betale for at spille med. Der er to ”blinds”: small blind og
3
big blind, det kunne eksempelvis være $0,10 og $20. Hånden (dvs. dette ene pokerspil) starter
med at spiller der sidder efter big blind skal beslutte om han/hun vil betale minimum $0,20 til
puljen. Vil spilleren ikke det, må han/hun folde, og vente til den næste hånd bliver givet. Når
spillerne har taget stilling til hvorvidt de vil spille med eller ej, bliver der åbnet tre kort på
bordet, disse tre kort er ”dele kort” også kaldet ”community cards”. Alle spillere ved bordet
må altså bruge de kort på bordet for at opnå den bedst mulige hånd. Når disse tre kort
kommer kalder man det at ”floppet” er kommet. På floppet kommer der nu endnu en runde
hvor man kan byde. Når spillerne alle har indskudt det samme i puljen eller alle har valgt at
checke, kommer der et fjerde kort ”The Turn”, hvorefter der igen bydes. Når de spillere igen
har indskudt det samme i puljen kommer ”The River” (femte og sidste kort), hvorpå der igen
bydes. Efter denne byderunde viser hver af de spillere så deres to kort på hånden, og vinderen
vinder puljen. Den bedste hånd dannes ud fra de 5 fælles kort, og de 2 kort på hånden. Du kan
vælge at bruge alle 5 på bordet, 4 på bordet og 1 på hånden, eller 3 på bordet og 2 på hånden.
Sandsynlighedsregning + kombinatorik:
For at kunne forstå poker, er det nødvendigt at være velfunderet i sandsynlighedsregning. Jeg
vil her lidt mere systematisk introducere nogle begreber fra sandsynlighedsregning og
kombinatorik hvilket jeg senere vil bruge til beregninger med hensyn til pokerspillet.
Sandsynlighed
Sandsynlighedsregning fortæller hvor stor chance, en begivenhed har for at finde sted. Det er
populært sagt en måde at forudse hvor ofte der vil forekomme en ”succes” (det resultat vi
håber på).
Generelt defineres sandsynligheden P for at opnå ”succes” som:
1
P =
Heraf ses at P er et tal mellem 0 (ingen gode udfald) og 1 (alle udfald er gode) .
Lad os først se på mønt kast. På en mønt er der to sider, plat og krone. Da vi har to forskellige
udfald der kan forekomme må sandsynligheden for hver af disse være P =
, dvs. 50%.
Dette kan undersøges ved at kaste flere gange. Hvis vi kun kaster få kast, kan P(krone)afvige
meget fra
. Hvis vi derimod har mange gentagelser, vil resultatet gå mod sandsynligheden af
hændelsen.
Denne egenskab kendes også i sandsynlighedsregningens verden som Store Tal Lov:
Lad X
1
…….X
n
være n uafhængige forsøg, hvor hver x
i
kan antage værdien 1 med sandsynlighed
for succes P eller 0 med sandsynlighed 1-P.
Så vil
P, når n går mod uendelig.
1
Mat A2, side 235
4
Sandsynlighed for komplicerede begivenheder
Vi har forskellige regneregler til at beregne sandsynligheder for mere komplicerede begivenheder.
Hvis vi vil finde sandsynligheden for at flere uafhængige hændelser finder sted i træk skal vi gange
sandsynlighederne for de enkelte hændelser sammen.
P(én plat) =
P (tre plat i træk) =
*
*
=
Det er i øvrigt samme sandsynlighed som hvis man kaster alle tre terninger på en gang og spørger
om sandsynligheden for at få 3 plat. Det er fordi der er 8 mulige udfald, og kun én af disse har 3
plat.
b) Vi kan
nationer.
P + P + P
P + P + K
P + K + P
P + K + K
K + K + K
K + K + P
K + P + P
K + P + K
Fra tabellen kan vi se at mulighederne for at få mindst to Plat på tre kast er
nemlig; P+P+P,
P+P+K, P+K+P og K+P+P
Vi kan også udtrykke sandsynlighederne for ikke at få en plat i et kast som:
P(ikke plat) = 1 P(plat) = 1 -
= P(krone).
Denne formel gælder altid, selv om sandsynlighederne ikke er ½, fordi sandsynlighederne for
succes og ikke-succes altid skal give 1.
5
Kombinatorik
Vi har regneregler til at finde antal mulige kombinationer af udfald. Dette kaldes kombinatorik. Det
vil vi nu se nærmere på.
som n!
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-
Tallet n! er for eksempel antallet af måder man kan arrangere n kort på. Lad os antage at n = 5:
n! = 5! 5! = 5*4*3*2*1 5! = 120
Man kan også udtrykke antallet af mulige kombinationer af et delantal r, ud af n kort:
C(n,r) =
n er fx antal kort i et kortspil, n = 52. r er antallet af kort der kan bruges på en hånd.
Fx i et klassisk pokerspil gives 5 kort, derfor er r = 5.
Hvis vi nu indsætter disse tal i vores formel finder vi antallet af mulige kombinationer for netop 5
kort.
2
C(52,5) =
C(52,5) =
Dette bliver et kæmpe antal af muligheder som er meget svært at regne ud. Mange lommeregnere
åde står over og under vores brøkstreg, derfor kan vi forkorte ligningen og der står
nu:
.
Antallet af kombinationer er altså C(52,5)=
= 2.598.960 ca. = 2,6 * 10
6
kombinationer.
Dette er altså antallet af mulige hænder med 5 kort.
Dette vil jeg bruge i afsnittene om spilteori for at beregne muligheder for at få forskellige
kombinationer med kortspil, møntspil og terningespil. Lad os se på et eksempel med møntkast så vi
kan bygge videre på dette senere.
c) Hvad er sandsynligheden for
Antal måder hvorved vi kan udvælge 3 kroner på 5 kast er givet ved C(5,3)
2
Mathematical Methods in the physical sciences, side 689
6
Sandsynligheden for et bestemt sæt af udfald på 5 kast er: P = (
)
5
Disse formler kan vi nu sammensætte til et generelt udtryk:
P(r succeser ud af n hændelser) = C(n,r) (
)
n
Hvis vi indsætter i vores formel får vi:
P(præcist 3 kroner ud af 5 kast)=(antal kombinationer med 3 kroner) * P(for hver udfald)
n kast
P(n,r) = C(5,3) (
)
5
P(n,r) = 10 *
= 31%
Binomialfordelingen
Det er ikke altid, som vi så i mønt-kast eksemplet, hvor sandsynligheden for både plat og
krone =
. Generelt kan sandsynlighederne for ”succes” være p og sandsynligheden for ”fiasko”
være q. Sandsynligheden for at få enten succes eller fiasko er p+q=1.
Binomialformlen udtrykker sandsynligheden for at få r succeser ud af n forsøg:
P(n,r) = C(n,r) * p
r
* q
n-r
10) Denne formel kan vi forstå som produktet af antal mulige kombinationer (C) ganget med
sandsynligheden for at få de rigtige kombinationer (dem er der r af) : p
r
og, ganget med
sandsynligheden for ikke at få de gode kombinationer (dem er der n-r af) :q
n-r
= (1-p)
n-r
.
Simple eksempler på et pokerspils vinder
Lad os nu prøve at se på nogle forskellige (simple) hænder og prøve at regne os frem til nogle
sandsynligheder for at vinde den pågældende hånd. Lad os antage at alle kort er åbne – dvs. et
prøvespil.
a) Lad os antage at vi sidder med - . (Es - Es)
Vores modstander sidder i den givne situation med - . (9-9)
På bordet ligger: , , og , dvs. der mangler kun ét fælleskort
Hvad er sandsynligheden for at vi vinder denne hånd?
Vi ved: Der er 52 kort i et spil kort.
Es-Es er lige nu den bedste håndkombination, skal og modstanderen har kun mulighed for at
danne en vindende håndkombination med tre ens, tre 9’ere. Der er ialt fire brugbare kort -
7
9’ere (hjerte 9, ruder 9, klør 9 og spar 9). Modstanderen har allerede to af disse 9’ere på
hånden.
Dermed er der to 9’ere tilbage i dækket ud af 44 kort (da vi kan se 8 kort, 52-8 = 44)
Derfor ved vi at chancen for at modstanderen får det rigtige og vinder er
=
, dvs. ca 4,5 %.
Vi er altså højt favoriserede i denne situation, idet vi har den højeste hånd, og modstanderen
kun har 5% chance for at vinde. Desuden har vi ifølge samme argumentation, selv 5% chance
for at få et ekstra Es, og derved selv få 3 ens.
b) Lad os antage at vi sidder med på hånden.
Vores modstander sidder med .
Floppet er kommet og viser .
Hvad er vores chancer for at vinde denne hånd?
Vi ved: der er 45 kort tilbage i dækket. Vi kan få den bedste hånd lige nu hvis en 2’er eller en
7’er kommer på the turn/river, fordi vi enten får 2 par (2-2 og 7-7) eller 3 ens. Da en 2’er og to
7’ere allerede er givet (dvs. er i spil) har vi 5 outs (kort vi kan vinde på).
Chancen er nu altså 5/47 = ca. 10% for at have den bedste hånd efter 4. kort er kommet
Lad os nu antage at der kommer en 2’er på turnen. Nu er vi altså i front med vores to par:
2’ere og 7’ere mod modstanderens par konge.
Hvad er chancen for at modstanderen vinder denne hånd?
Vi ved: der er 44 kort tilbage. Modstanderen kan vinde på at der kommer en konge (hvilket
giver ham 3 ens), en 4’er og en bonde (dette er fordi hvis enten en 4’er eller B kommer på
riveren får han to par der er højere en vores par 2 + par 7)
Altså erhans brugbare kort: to konger + tre firere + tre bønder = 8 outs
Altså har modstanderen 8 outs ud af de resterende 44 kort i dækket
=
ca 18%
Vi er altså klart favoriserede men modstanderen vinder stadig hånden ca hver femte gang.
8
Spilteori:
To spilleres sandsynligheder i et pokerspil
Vi skal nu se hvordan viden om sandsynlighederne kan påvirke beslutningsprocessen i Texas
. Lad os se på nogle eksempler:
a) Vi vil først se på chancen som to spillere med to håndkort har for at vinde den givne hånd. En
poker hånd kan inddeles i 4 faser/trin. Første fase er spillet, før der er vist nogle åbne kort på bordet,
og er de
ekstra kort på bordet. Lad os for at
holde det overskueligt fokusere på første og anden fase af pokerspillet. Der er to spillere: spiller A
og spiller B.
Spiller A sidder med håndkortene - (Es-Es)
Spiller B sidder med håndkortene - (Konge-Dame)
Obs. Hver gang der står K-D i eksempler om kortspil menes der Konge-Dame
Da Es-Es er den bedste start hånd (bedste mulige hånd i første fase) vil spiller A selvfølgelig
forsøge at lokke modstanderen til at smide alle sine penge i puljen. Spiller B sidder også med en
god hånd i første fase, men han er langt efter spiller A hvilket han dog ikke ved, da de ikke kan se
hinandens kort, men han kan måske frygte det. I dette henseende er det interessante at se på hvilke
kort de to spillere frygter mest.
Set fra A: Spiller B må ikke ramme én konge + én dame ud af de 3 kort på floppet, fordi så har B to
par der slår Es-Es.
Set fra B: Spiller A skal ikke have et Es på floppet, for så har A tre ens (Es-Es-Es), der også slår to
par. A kan naturligvis også få endnu et par og få to par med Es-Es højest, hvilket slår andre to par.
Hvad er nu P (sandsynligheden) for at A får endnu et Es på det første kort der vendes?:
P(Es til A)=
=
, dvs. 4%, idet vi altså har to esser tilbage i vores kortspil ud af de 50 kort vi
ikke kan se. Læg mærke til at B også har 2 kort på hånden, men de er skjulte, defor ved vi ikke om
han har nogle af dem vi kunne ønske os. Derfor udregner vi sansynligheden på basis af 50 kort og
ikke 48 kort.
Hvad er P for at spiller B får en konge på første kort og en dame på andet når B allerede sidder med
K-D på hånden?
= P(en konge til) * P(en dame til)
9
=
*
=
= 0,37 %
spiller A vender et Es på floppet så vinder spiller A næsten altid
sandsynligheder fordi han skal bruge en af hver. Det mindsker hans chancer drastisk.
Lad os nu se på sandsynligheden for at de to spillere samtidig får hvad de skal bruge på de 3 kort
der vendes.
Spiller A skal bruge et Es, han har 3 chancer: P(Es til A) =
+
+
= 12,3 %
e.
Spiller B skal bruge K-D for at vinde, dog kan han også bruge 2 konger eller 2 damer for at have tre
ens og vinde hånden.
P
kort 1+2
(K-D/K-K/D-D til B) =
*
dette er chancen for at begivenheden finder sted på de
første to kort. Chancen for at vi rammer en dame og en konge eller to af samme slags på det
næstsidste og det sidste kort er (da vi har færre kort i dækket):
P
kort 2+3
(K-D/K-K/D-D til B) =
*
vi bliver nu også nødt til at regne sandsynligheden for den
sidste mulighed som er at spiller B rammer på første og sidste kort:
P
kort 1+3
(K-D/K-K/D-D til B) =
*
Nu finder vi summen af de tre sandsynligheder:
P(K-D/K-K/D-D til B) = P
kort 1+2
+ P
kort 2+3
+ P
kort 1+3
P (K-D/K-K/D-D til B) = (
*
) + (
*
) + (
*
)
=
+
+
= 3,75%
for at vinde hånden 0,37% og nu er den 3,75%. En kæmpe forøgelse, men hvis vi sætter spiller A
ind i hånden, vil spiller A altså have ca 95% chance for at vinde.
har 3 ens, der slår Es-Es. Men hvis A får et Es til, vinder han alligevel.
-D og at spiller A ikke rammer et Es.
Chancen for at B rammer K-D, K-K eller D-D er som før produktet af sandsynligheden for at der
både kommer K-D, K-K eller D-D. Hvis hændelserne var uafhængige, ville sandsynligheden for at
B rammer og A ikke gør, være sandsynligheden for at B rammer ganget med sandsynligheden for at
10
A ikke rammer. Men da hændelserne er afhængige (hvis A ikke får et Es, så er der større chance for
at B rammer en K eller D), bliver formlen:
P(B får K-D/K-K/D-D og A får ikke et Es)
= P(B får K-D/K-K/D-D, givet at A får ikke et Es)* P(A ikke får et Es)
= P(B får K-D/K-K/D-D, givet at A får ikke et Es) * (1-P(A får et Es)),
hvor vi har udnyttet at sandsynligheden for at en begivenhed ikke finder sted, er 1 minus
sandsynligheden for at begivenheden finder sted. Altså fås nu:
P(B får K-D/K-K/D-D, givet at A ikke får et Es) = (
*
)
Vi antager at spiller B ikke ved at A sidder med to Esser på hånden. Derfor er der 46 mulige kort,
fordi vi fratrækker de fire Esser der burde være tilbage i bunken.
P(A får et Es) =
P(B får K-D/K-K/D-D og A får ikke et Es) = (
*
) * (1-
) = 1,39%
b) Lad os nu se hvad mulighederne er for at spiller A (der har 2 Es’er på hånden) får et Es på
de 5 kort der i alt kommer på bordet, ved brug af binomialformlen. For at kunne udregne
dette må vi forstå et nyt symbol og en ny formel. Vi må kende q, som er sandsynligheden for at
få alt andet end et bestemt kort: i dette tilfælde et Es, dvs. sandsynligheden for ’fiasko’.
Vi bruger binomialformlen fra et tidligere afsnit. Sandsynligheden for at få et Es på de næste 5
kort er:
P(5,1) = C(5,1)*p
1
*q
4
C(5,1) er som tidligere antal mulige kombinationer på de fem kort, når vi vil ramme ét
bestemt kort, i dette tilfælde et Es: C(5,1) =
p er sandsynligheden for at få et Es blandt de resterende 50 kort. p =
da vi allerede har
brugt to Esser fra kort dækket.
q er sandsynligheden for at få alt andet end et Es
.
Nu indsætter vi vores tal i formlen P(5,1) = C(5,1)*P
1
*q
4
P(5,1) =
*
1
*
4
P(5,1) =
*
1
*
4
P(5,1) = 0,1699 = 16,99 %
11
Altså er sandsynligheden for at spiller A får netop ét Es på de 5 kort der trækkes ca 17%.
Hvad så hvis spiller A vil have begge resterende Esser på de 5 kort der trækkes? Formlen
ændres nu til:
P(5,2) = C(5,2)*p
2
*q
3
P og q er her samme værdier som før.
P(5,2) =
*
2
*
3
P(5,2) = 0,0142 = 1,42 %
Altså er sandsynligheden for at to hændelser i træk på fem kort meget lille i forhold til kun at
skulle have én hændelse til at finde sted.
Sandsynligheden for at få et Es eller mere er derfor 16,99% + 1,42% = 18,41%.
Heraf ses at A’s chance for vinde spillet med 3 eller flere Es’ser er god, og han står stærkt med
den gode start hånd. Med det udgangspunkt skal han nok satse stort tidligt i spillet, håbe på at
få B med. På denne måde kan man se at kendskab til sandsynlighedsregning påvirker måden
at spille på –eller bør påvirke den!
Pokerstrategier
En god pokerstrategi skal sørge for at man vinder. Den må være baseret på kendskab til
sandsynligheden for de forskellige hændelser i spillet.
Eksemplet er spillet mellem A og B fra før. A har Es-Es og B har K-D.
Idet A har ”x” procent chance for at vinde hånden når floppet er vist og B kun har ”y” procent
chance, så må en god strategi for A være at satse maksimalt på de to Esser for at søge at
afslutte spillet hurtigt, når han mener at han er foran i hånden. Det er farligt at afvente hvad
der sker, for så giver han spiller B en mulighed at ramme og få en bedre hånd end spiller A.
I dette afsnit om pokerstrategier vil jeg gennemgå hvilke virkemidler vi kan bruge udover kun
at bruge de forskellige sandsynligheder. Her vil jeg gennemgå begreber såsom ”Pot Odds”,
”Implied Odds” og ”Expected Value”
Pot Odds
Vi har nu den grundlæggende sandsynlighedsregning vi skal bruge til at bestemme vores
chancer for at vinde hånden over vores modstander. Et aspekt af pokerspillet er at udregne
hvor stor chance den givne hånd du sidder med, men nu integreret med aspektet: Hvornår
skal vi blive ved med at spille hånden selvom vi (måske) ved, at vi er slået af modstanderens
hånd? Hvis modstanderen har en bedre hånd end os, bliver vi nødt til at ramme et eller flere
kort, af de kort der kommer på bordet, for at vinde hånden. For at kunne retfærdiggøre at
spille videre i hånden, må vi se på hvor stor puljen af den givne hånd er, samt
sandsynligheden af at vi rammer det/de kort der er nødvendige for at vinde. Vi må se på
12
hvilke ”Outs” vi har for at vinde hånden, som tidligere forklaret er Outs det antal kort der kan
vinde hånden for os.
Definition: ”Pot odds are a mathematical expression giving your risk-to-reward ratio for
calling a bet”
3
.
Lad os se på et eksempel:
Blind $1-$2
Vi sidder med
Vi raiser til $3, og modstanderen går med, puljen er $6.
Floppet kommer
Vi sidder med et flush draw, dvs. vi mangler én hjerter for en flush. Det vurderes at hvis vi får
vores flush vil vi højst sandsynligt vinde puljen, da en flush er en stærk hånd med de kort der
ligger på bordet. Modstanderen forhøjer 4$, så puljen er nu i alt $10. Hvad gør vi? Kan det ved
hjælp af Pot odds retfærdiggøres at gå med?
Vi ser nu på tabellen på bilag 1, og ser at vores chancer for at få endnu en hjerter på de næste
to kort er 35%. Dette kan vi omskrive til odds 2.9 til 1
=
dvs. 2.9
Vi ved altså nu at puljen skal være 2.9 gange større end det beløb vi skal betale for stadig at
være med i hånden. da puljen er $10, og vi skal betale 4$ er pot oddsene 2.5 – 1, derfor er det
rigtige valg i dette tilfælde at folde hånden fordi vores ”risk-to-reward ratio” er for høj.
Havde modstanderen i stedet kun forhøjet med $2, ville vi kun skulle betale $2 for at kunne
vinde $8, dvs. pot oddsene er 4 til 1. I dette tilfælde ville det derfor være korrekt at betale de
$2, da gevinsten klart opvejer risikoen. I hver eneste pokerhånd man spiller er det således
vigtigt altid at beregne pot odds.
Expected Value
”Your expected value (EV) tells you how many chips youexpect to gain or lose, on average,
from a particular play”
4
.
Expected value er altså et begreb, der kan hjælpe os med at vurdere om vores beslutning
forventes at tjene eller tabe penge i det lange løb.
Princippet er følgende:
3
Heads-up no-limit hold’em, side 5
4
Heads-up no-limit hold’em, side 8
13
Antag som i tidligere eksempel at vi sidder med , og
modstanderen sidder med - . og at alle kort er åbne. Ligesom før
ligger der: , , og . Dvs. at der kun mangler at komme ét kort fælleskort.
Vi har beregnet at modstanderen har 4,5 % chance for at vinde. Antag at der er $10 i puljen,
og vi forhøjer med $1. Modstanderen kan nu beregne hans forventede gevinst/tab for hver
beslutningsmulighed han har:
Han kan folde, dvs. lade være med at betale 1$ i puljen, men til gengæld miste chancen for at
vinde $11. I dette tilfælde har hans beslutning følgende expected value:
(Han betaler $0 med sandsynligheden 1)
EV = 0 * 1 = 0
Hvis han caller vil han tabe $1 med 95,5 % sandsynlighed og vinde $10+$1+$1, dvs.
EV = -$1 * 0,955 + $12 * 0,045
= -$0,955 + $0,90
= -$0,055 ca = -$0,06
Dvs. hvis han caller vil han i gennemsnit tabe 6 cent pr spil. Men hvis han folder, vil han ikke
tabe noget, dvs. han bør folde sin hånd nu, ellers vil han miste penge i det lange løb. Det skal
bemærkes at man normalt ikke kan se hinandens kort! Derfor er det i praksis nødvendigt selv
at kunne estimere sine chancer for at vinde/tabe, og det er i høj grad et spørgsmål om erfaring
at kunne vurdere dette tilstrækkeligt godt. Men selv om en nybegynder ikke kan estimere
præcis, vil han stadig have stor fordel af at anvende begreber som pot odds og EV.
14
Artikel
Til dig der vil forbedre dine
pokerfærdigheder (Pokerens A-B-C)
Spillet poker har mange forskellige facetter
og aspekter. Når du som pokerspiller vil
være en vindende pokerspiller, må du
bruge alle de midler der er til rådighed, for
at blive så effektiv som muligt. At læse
poker bøger og artikler er vigtigt for at
kunne overvinde modstanderens spil, og
forstå modstanderens psykologi. Derfor
har jeg skrevet denne artikel. Den er til dig
der vil blive en bedre pokerspiller, til dig
der spiller om lave pengebeløb og gerne vil
mere end bare dét.
For at blive bedre end resten af hoben af
pokerspillere må vi først lære om de
forskellige typer af spillere vi kan møde
ved bordet. Jeg bruger mange forkortelser
for kortene der gives i de eksempler fra en
hånd der spilles i poker. Til dig der ikke er
bekendt med disse forkortelser er de som
følger (alle forkortelser er på engelsk): A =
Ace, K = King, Q = Queen, J = Jack og T =
Ten. Alle tal der vil forekomme er
nummeret på kortet fx en 9’er = 9. Når der
skrives to bogstaver/tal i træk menes der
håndkortene enten vi eller modstanderen
holder, evt. hvilke mulige hænder vores
modstander kunne sidde med.
Pokerspillets typer og psykologi.
I poker kan man inddele de forskellige
spillere i forskellige kategorier. Disse
kategorier kan hjælpe os til at tage de
rigtige beslutninger i vanskelige
situationer. Der er spillere som spiller
meget ”tight” (sikre spillere), det er spillere
der spiller få hænder, men når de spiller,
sidder de med gode kort på hånden, altså
en spillertype som venter på at få gode kort
før de vil spille med i puljen. Vi bruger de
engelske betegnelser for spillertyperne i
det følgende. Derefter har vi typen ”loose”
(vilde spillere). Det er kategorien af spillere
som spiller langt flere hænder end en
”tight” spiller. Standarden af hænder den
loose spiller vil spille er altså langt lavere.
Derefter har vi to kategorier mere vi kan
inddele spillere i nemlig ”passive” og
”aggressive”. En passiv modstander er en
modstander der ikke hæver puljen men
ofte bare caller (denne type kan også
kaldes en ”calling station”). En ”aggressive”
modstander er derimod tilbøjelig til at
raise ofte. Men hvilken betydning bør det
have for vores spil at vi kan inddele
spillerne i disse kategorier? Det gør at vi får
en bedre mulighed for at skyde os ind på
hvad modstanderen sidder med på hånden,
og udfra dette at vurdere vores chancer for
at vinde udfra sandsynlighedsregning og en
vurdering af modstanderens psykologi.
Vores mål må jo være at regne ud hvad
modstanderen sidder med uden at vi reelt
ser hans kort.
Lad os tage en situation og i korte træk
gennemgå vores beslutningsproces for
hver type modstander:
På bordet ligger: , ,
Vi sidder selv med ,
Vi spiller mod en tight spiller og han har
hævet puljen før floppet, vi er gået med og
det er hans tur til at agere. Han hæver
puljen. Hvad gør vi? Da vi har kategoriseret
ham som værende tight, antager vi at han
sidder med en hånd værende et stykke
15
over middel. Vi kan prøve at sætte ham på
nogle forskellige hænder som vi tror han
kan sidde med: han kan sidde med et højt
par på hånden såsom AA-KK-QQ-JJ måske
TT (10-10), derefter kan han også sidde
med et es plus et højt side kort såsom AK-
AQ-AJ-AT. Måske kan han endda sidde med
KQ - KJ, hvilket vi finder
usandsynligt eftersom han har spillet
meget tight førhen. Derfor er vi slået af
stort set hver en hånd vi tror han kan sidde
med. Derfor er det rigtige valg her at vi
folder.
Men hvad så hvis vi i samme situation
spiller mod en Loose spiller? Se så ændrer
situationen sig jo drastisk. Vi ved vores
modstander er tilbøjelig til at hæve puljen,
hvor han mange gange ikke sidder med en
god hånd, vi ved også at han er tilbøjelig til
at hæve puljen uden at have noget for
simpelthen at stjæle puljen.
Altså er situationen: en Loose spiller har
hævet før floppet, vi er gået med og floppet
er 4-J-A, vi sidder med K-J. Han hæver på
floppet. Hvad gør vi? Igen må vi prøve at
sætte ham på forskellige hænder: han
kunne sidde med de samme hænder som
ovenfor vist med eksemplet for en tight
spiller, men dette føler vi usandsynligt
eftersom han har været meget aktiv på
bordet og de gange han har vist sine kort,
ikke har haft gode kort. Vi tror han kunne
sidde med et lavt par på hånden såsom 55-
han kunne også sidde med et
godt kort med et lavt sidekort som: A5-A6-
A7-KT-K9-K8 eller måske KJ-KQ. Lad os
sige at 80% sikre på at han ikke sidder med
en god hånd, og at vi formentligt er
favoritter med ca 60-70% chance til at
vinde hånden hvis vi caller, derudover hvis
han sidder med et es og et lavt sidekort har
vi ca 10% for at vinde hånden. Vi går derfor
med på hans raise.
Altså ændrer det vores beslutning drastisk,
hvilken type modstander vi sidder overfor.
Den matematiske del af poker
Nu forstår vi hvilke typer modstandere vi
kan sidde overfor, samt hvilke
forholdsregler vi må foretage i forsøget på
at udregne modstanderens hånd. Dette er
dog kun en brøkdel af de virkemidler
pokerspillet har, men det er også en meget
essentiel del. Den formentligt bedste
tilgang til poker er at tænke på spillet som
en matematisk ligning:
Profit = Erfaring + Viden.
Erfaring siger sig selv, den kommer ved
timers træning ved et pokerbord eller bag
computeren ved på et online kasino. Viden
derimod kommer ved læsning og
matematiske overvejelser. Disse
matematiske overvejelser vi må foretage, vi
tager udgangspunkt i
sandsynlighedsregning. Pokerens
sandsynlighedsregning fortæller dig
chancen for at få et eller flere kort som vil
vinde hånden for dig. Vi har udregnede
eksempler som vi her vil bruge. Vi må
forstå hvor stor sandsynligheden er for at
én bestemt type af kort kommer på bordet
(fx at Es, eller en ruder). Fx hvis du skal
bruge et Es for at vinde hånden, og du
allerede sidder med ét Es på hånden, er der
derfor to mulige Esser tilbage i kortspillet.
Hvis dette finder sted på ”turnen”, altså
med kun ét kort der mangler at blive vist,
ved vi at der er 46 kort tilbage. Nu har vi
altså sandsynligheden
=
. hvilket er en
chance på ca 5%. Nu kender vi
sandsynligheden af at det kort vi skal bruge
kommer på bordet. Så tænker du måske,
”Det er da flot at vi kender
sandsynligheden af at dette sker, men hvad
skal jeg bruge det til?”. Dette skal du bruge
til at fastslå hvor meget en hånd er ”værd”,
hvis du ikke sidder med en aktuel hånd
(men derimod skal ramme et eller flere af
de fælleskort der mangler at trækkes).
Værdien af denne hånd udtrykker vi i
”Outs”.
16
Jo flere Outs = Jo højere chance for at
vinde
Disse outs kan vi så koble sammen med
sandsynligheden for at ramme en sådan
”out” og dermed vinde. Til at koble disse to
sammen må vi forstå begrebet Pot Odds.
Pot Odds er et matematisk udtryk for en
begivenhed finder sted, udtryk i hvor
meget du henholdsvis vil vinde i forhold til
at tabe. Det bliver vi nødt til at
eksemplificere for at kunne forstå dette til
fulde.
Vi sidder med et flush draw samt et
straight draw.
Vi estimerer at vi vinder hånden hvis vi
rammer en kort til vores flush eller straigt.
Hvis vi derimod ikke får et af de kort vi kan
bruge, taber vi hånden. Vi kan se på bilaget
der tidligere er publiceret, at det antal outs
vi har for et flush draw + et straight draw
er 15. Ud fra tabellen kan vi dér se at vi nu
sidder med 54,1% chance for at vinde
hånden, når der er kommet de første 3
fælleskort på bordet. Da vi her har højere
chance end modstanderen for at vinde
hånden, er det rigtige valg at raise. Hvis
modstanderen derimod raiser, så vi nu
sidder med valget om at vi skal calle må vi
udregne pot oddsene. For at finde det beløb
vi kan gå med på i forhold til hvor stor
puljen er finder vi sådan:
= 1,85 altså må vi gå med på
modstanderens raise hvis han hæver så vi
skal betale 1,85 eller færre penge til puljen.
Dette kalder man at vi har pot odds 1,85 til
1. Men for at vi reelt kan bruge disse tal til
noget, bliver vi nødt til at spille mange
hænder. Dette er fordi der i hver situation
er to mulige udfald: Vi kan vinde og vi kan
tabe. Dvs. at de to udfald der kan ske er at
vi enten vinder med 100 % sandsynlighed
(altså vi rammer det kort vi skal bruge),
eller vi vinder med 0 % sandsynlighed (når
vi ikke rammer det kort vi skal bruge).
Disse to mulige udfald vil gå mod vores
”sandsynlighed baseret på outs”, ved at
gentage spillet mange gange. Altså, at
sandsynligheden 54,1 % når n ∞.
Dette fortæller os, at for at vi skal udligne
få den rette procentsats af vinderprocenter,
må vi være i stand til at spille hånden
mange gange! Altså må du aldrig spille for
flere penge end din bankroll er i stand til at
håndtere. Altså behold penge på din konto,
i stedet for at have alle dine penge ved
bordet, så du altid kan tage flere penge på
bordet hvis du taber en stor hånd (så har
du nemlig altid penge til at spille, så dine
54,1 % i ovenstående tilfælde vi gå mod
54,1 %)
Det du skal fokusere på for at forbedre dit
spil er:
1) Tag altid højde for din modstanders
spillestil, hvilke genkendelige træk
definerer ham som spiller?
2) Betragt alle de variationer af
hænder din modstander kan sidde
med, og beslut hvad
sandsynligheden er for dette.
3) Tæl outs = alle de kort der vinder
hånden for dig!
4) Udregn altid pot odds!
5) Bevar den matematiske tilgang til
poker i hver eneste hånd!
6) Spil med en bankroll, hvor du altid
har plads til at lave eventuelle fejl i
din vurdering af modstanderen.
7) Hold hovedet koldt og mist aldrig
koncentrationen af tidligere dårlige
beslutninger du har truffet i spillet!
Jesper Jørgen Gaardhøje
17
Analyse af artikel
Denne artikel er en artikel der kunne forekomme i et pokermagasin eller på en poker side på
internettet.
I denne artikel er der fokuseret på at ramme én bestemt målgruppe. Målgruppen der er
forsøgt ramt, er pokerspillere med mindre erfaring i pokermiljøet. Artiklen er en guide til den
uuddannede pokerspiller, til at hæve hans/hendes pokeregenskabers til et højere stadie end
før. Artiklen er ment som en ABC til den uerfarne spiller, hvor der til sidst er en huskeliste
over gøremål der skal betragtes i hver eneste situation af en pokerhånd.
For at bibeholde den pokerfaglige tilgang til artiklen er der engelske ord i teksten. De
fremmedord der influerer i teksten er tænkt som en pokerlæser ville kunne referere til
reklamer og pokerspil personen tidligere har stødt på, dette er virkemidler der direkte
bruges, for at vække læserens interesse og forsøge at skabe en ”Deja-Vu” oplevelse for
læseren, som kan genkende sig selv i de forskellige beslutninger der hele tiden er nødvendige
i et intenst pokerspil. For at indblande læseren i teksten bruges også ord som ”Vi” og ”Du” så
læseren bedre engageres i teksten. Der bruges samtidig eksempler fra aktuelle hænder med
masser af billedsprog for at forenkle ellers svære begreber til læseren.
Artiklen er bygget op med korte sætninger, for både at gøre teksten let læselig for en
nybegynder indenfor pokerverden. Samt for at give teksten et hurtigt, punchy flow. Stilen
minder om en artikel der kunne udgives fra et ugebladsmagasin som eksempelvis ekstra
bladet, hvor læseren ikke skal finde stilen (sætningsopbygningen) for svær, da læseren kort
bladrer igennem siderne af bladet, og kun læser i dybden, i de artikler læseren kan relatere
eller føler interesse for. Man kunne have valgt at ændre opbygningen, og i stedet bruge
længere sætninger, men dette ville muligvis blive for kompliceret, og læseren måske derfor
ville miste koncentrationen. Der er klare argumentationer på baggrund af de matematiske
formler der fremkommer i teksten (se de matematiske udregninger på de foregående sider før
artiklen), som er nødvendige virkemidler for en vindende pokerspiller.
18
Konklusion
Jeg ville beskrive om at en vindende pokerspiller var heldigere end tabene pokerspillere. Held
er en faktor i poker. Men med de midler der er stillet til rådighed i løbet af denne opgave kan
vi minimere chancen for at tabe. Dette kan vi gøre ved hjælp af sandsynlighedsregning for at
finde vores sandsynlighed for at vinde den pågældende hånd. Ved hjælp af kombinatorik, til at
udregne sandsynligheden af komplicerede begivenheders sandsynlighed for at finde sted. Da
vi forstår dette, kan vi bruge pot odds til at optimere vores chance for at træffe det korrekte
valg i den givne situation. Derefter kan vi udregne EV værdier til at udregne den
gennemsnitlige profit spillet pr. hånd og derved også udregne hvad den korrekte beslutning i
situationen er. Til sidst må vi vurdere modstanderens tendenser af spillestil til at kunne lave
en endnu mere kvalificeret beslutning om hvilken handling vi skal foretage.
Hvis man følger disse komponenter der nu er stillet til rådighed, kan vi minimere risikoen for
at tabe. Derved minimerer vi også heldets indflydelse af poker, da målet for en poker spiller
ikke vil være at vinde på ren og skær held, men derimod egenskaber der egner sig til spillet
poker.
Litteraturliste
Cartensen Frandsen Studsgaard. Mat A2. Narayana Press, Gylling
Moshman, Collin. Heads-up no-. Las Vegas, Nevada: Creel Printing Co.
Harrington, Dan. Harrington on Cash Games Vol. 1. Las Vegas, Nevada: Creel Printing Co.
Harrington, Dan. Harrington on Cash Games Vol. 2. Las Vegas, Nevada: Creel Printing Co.
Boas, M.L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. New York: John Wilery & Sons, Inc.