[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Brug af bayesiansk sandsynlighedsregning til
bedømmelse af DNA‒materiales vægt i retssager
Studieretningsprojekt i fagene bioteknologi A og matematik A
Vejledere
Bioteknologi A
Matematik A
Opgaveformulering. Hvordan kan statistiske tests bruges i retsvidenskab?
I forbindelse med retssager bliver begrebet DNA-test ofte nævnt som metode til at afsløre eller frifinde
en potentiel gerningsmand. Grundet populationsvariationer kan bevisførelsen være behæftet med en
usikkerhed, som man via statistiske tests prøver at eliminere.
Introducer sandsynlighedsfelt, sandsynlighedsberegninger samt betinget sandsynlighed. Gør rede for
Bayes formel. Giv en detaljeret beskrivelse af hvilke bioteknologiske tests der kan benyttes. Forklar
metoden ved den mest anvendte test, gør herunder rede for fordele og ulemper du ser ved metoden.
Vurder betydningen af sammenkædningen af sandsynlighedsberegninger og bioteknologiske tests, for
den retslige bevisførelse. Inddrag herunder gerne konkrete eksempler.
[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 2 af 25
Abstract
This paper examines the use of Bayesian probability as a tool to estimate the weight of DNA-profiles as
evidence in legal cases. The purpose of the paper is to investigate different aspects of Bayes theorem, as
well as how Bayesian statistics can be used to avoid judgemental errors in court. Knowledge of fre-
quently used methods for forensic DNA-analysis, as well as considerable sources of error involved with
these methods, is used when applying Bayes theorem to case examples, in order to show how the
sources of error can be diminished with probability calculus. Likelihood ratios and Bayes theorem on
odds form are applied to a case example to show how the evidence for and against the guilt of a suspect
can be weighed against one another. The paper discusses how incorrect use of conditional probability
calculus can dramatically affect the fate of the accused in a legal case, the degree to which probability
calculus can be used responsibly in legal cases, and how probability calculus used in forensic work is
able to nuance the information extracted from DNA-material. It is concluded that statistical tests can be
used in forensics as long as they include both conditional and unconditional probabilities, as well as that
it is important to use the statistical tests with care. This can be done by maintaining an objective stand-
point, and by including all evidence as well as the possible errors surrounding it, in the calculations.
[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 3 af 25
Indholdsfortegnelse
Abstract .............................................................................................................................................................................................. 2
Indholdsfortegnelse ...................................................................................................................................................................... 3
Indledning ......................................................................................................................................................................................... 4
DNA ...................................................................................................................................................................................................... 5
Retsgenetisk DNA-analyse ................................................................................................................................................ 6
Short Tandem Repeat og PCR .......................................................................................................................................... 7
Kilder til arvemateriale på et gerningssted ............................................................................................................... 8
Populationsvariationer ...................................................................................................................................................... 9
Sandsynlighed ............................................................................................................................................................................... 10
Uafhængige hændelser .................................................................................................................................................... 10
Betinget sandsynlighed ................................................................................................................................................... 11
Bayes formel ........................................................................................................................................................................ 11
Totalsandsynligheden og Bayes udvidede formel ............................................................................................... 12
A priori og a posteriori sandsynligheder ................................................................................................................. 13
Anvendelse i retslig bevisførelse ................................................................................................................................. 14
Sandsynlighedsforhold .................................................................................................................................................... 16
Fejlslutninger i retssager ......................................................................................................................................................... 18
The prosecutor’s fallacy .................................................................................................................................................. 18
The defendant’s fallacy .................................................................................................................................................... 19
The uniqueness fallacy .................................................................................................................................................... 19
Retssagen mod Denis Adams i 1996 .......................................................................................................................... 19
Sandsynlighedsberegningers påvirkning af DNA-materialets vægt i retssager ...................................... 20
Konklusion ..................................................................................................................................................................................... 22
Referencer ...................................................................................................................................................................................... 23
Bilag .................................................................................................................................................................................................. 25
Bilag 1 – STR-analyse ....................................................................................................................................................... 25
[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 4 af 25
Indledning
DNA-materiale fundet i forbindelse med forbrydelser gjorde sit indtog som bevismateriale i retssager i
1980’erne, og har siden da ofte været ”tungen på vægtskålen” i sager, hvor få eller ingen beviser ellers
har peget på den tiltalte som værende skyldig i forbrydelsen
1
. Dette hænger sammen med den sikker-
hed, som DNA-profiler menes at besidde. Det er almen viden, at det menneskelige genom er lige så unikt
som vores fingeraftryk, og at kun en håndfuld personer i verden deler selv en DNA-profil, der er baseret
på en sammensætning af få alleler. Når disse dogmer runger er det klart, at fundet af en DNA-profil i
forbindelse med en forbrydelse gør, at personen, hvis DNA-profil matcher denne, ofte bliver dømt skyl-
dig.
Det faktum, der ikke overvejes lige så grundigt som den tiltaltes skyldighed, er, at rigtig mange ting kan
gå galt i DNA-analyse, og som resultat kan påvirke DNA-materialets vægt i retssager. Vægten af DNA-
profiler baseres på øvrige beviser – beviser, der modsiger DNA-materialet skal naturligvis tillægges
modvægt til dette - samt matchfrekvensen, som er den frekvens, hvormed DNA-profilen menes at kunne
findes i den relevante population. En forkert matchfrekvens og en forkert vægt tillagt de øvrige beviser
kan føre til en alvorlig fejlbedømmelse af den mistænktes skyldighed.
Sandsynlighedsregning er et værktøj, som kan anvendes til at mindske denne fejlbedømmelse. Med
betingede sandsynligheder kan den mistænktes skyldighed revideres efter fund af DNA-materiale i
forbindelse med forbrydelsen, eller ved medtagelse af øvrige beviser, og således forhindre at mistænk-
tes skyldighed bliver fejlvurderet. Jeg har valgt at arbejde med, hvordan sandsynlighedsregning kan og
bør anvendes i retslig bevisførelse, fordi jeg gerne vil belyse, hvordan sandsynlighedsregning kan tyde-
liggøre de logiske konklusioner, som mennesket selv gør sig når præsenteret med bevismateriale i form
af tal, samt hvordan en nuanceret behandling af disse tal kan hjælpe med at undgå, at logiske
fejlslutninger bliver begået i situationer, som et menneskes fremtid kan afhænge af.
Indledningsvist vil jeg beskrive DNA’s sammensætning samt de metoder, der anvendes til DNA-analyse.
Her belyses også fejlkilder i forbindelse med metoderne, da disse spiller en central rolle i fejlvurderingen
af den mistænktes skyldighed. Jeg introducerer derefter centrale begreber i forbindelse med sand-
synlighed, og Bayes formel præsenteres som værktøj til revidering af vægten af et DNA-match mellem
den mistænkte og DNA-materiale fundet i forbindelse med forbrydelsen. Afslutningsvist vurderes
sandsynlighedsberegningers påvirkning af DNA-materiales vægt i retssager. Herunder sammenlignes
forskellige typer logiske fejlslutninger, som kan forekomme når sandsynlighed bliver formidlet med ord
i stedet for tal, og bayesiansk sandsynlighedsregning anvendes til at eksemplificere den påvirkning,
beregningerne kan have på opfattelsen af den mistænktes skyldighed.
1
Morling (2010)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 5 af 25
DNA
DNA er en forkortelse af deoxyribonucleic acid, og indeholder cellens genetiske kode. I menneskekrop-
pens celler findes DNA derfor i kromosomerne i nucleus. DNA-molekylet er opbygget af to lange strenge,
som skiftevis består af deoxyribose og phosphat. På carbonatom nr. 1 på deoxyribosemolekylerne er
der bundet en af de fire nitrogenholdige baser adenin, thymin, guanin og cytosin. En enhed bestående af
deoxyribose, en phosphatgruppe og en base kaldes et nucleotid, og der findes fire af disse i overensstem-
melse med det antal baser, der kan varieres i nucleotidet. De fem carbonatomer i deoxyribose navngives
sådan, at 1’ er det, hvorpå basen sidder. Phosphatgrupperne er bundet til 3’ og 5’ carbonatomerne i
deoxyribose. Enderne i DNA-molekylets strenge benævnes derfor 5’- og 3’-enden. De to DNA-strenge er
antiparallelle, hvilket betyder at den ene DNA-streng løber fra 5’- til 3’-enden, mens den komple-
mentære streng løber fra 3’- til 5’-enden
2
.
Figur 1
3
: opbygningen af et DNA-
molekyle samt nucleotider.
Den genotypiske information i DNA-molekylet er opdelt i locus, som er specifikke steder på DNA-mole-
kylet, hvor basesekvenserne hver især koder for et RNA-molekyle. Bortset fra de kodende dele af DNA-
molekylet findes der også sekvenser, der kontrollerer aflæsningen af de kodende sekvenser. Disse
sekvenser kaldes promotorer og terminatorer, og giver information til tre enzymer under det fælles
menneskets DNA menes at bestå af kodende sekvenser. Den resterende del består af repeterede
sekvenser af varierende længde. Disse sekvenser varierer hos mennesker i både sekvens og længde
4
.
Mikrosatellitter er DNA-sekvenser karakteriseret ved flere gentagelser af en bestemt basesekvens, ofte
bestående af 2-4 basepar. Disse sekvenser betegnes også STR-sekvenser, hvor STR står for Short
Tandem Repeat. De befinder sig oftest i den ikke-kodende del af DNA-molekylets basesekvens. Da antal
gentagelser af basesekvenserne varierer hos mennesker, karakteriserer STR-sekvenserne en bestemt
persons arvemasse meget nøjagtigt
5
.
2
Bruun m.fl. (2011)
3
Steffensen (2014)
4
Nielsen m.fl. (2013)
5
Nørby (2015)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 6 af 25
Retsgenetisk DNA-analyse
Når en gerningsmand skal findes til en forbrydelse, hvor der findes DNA-materiale på gerningsstedet
eller objekter forbundet til forbrydelsen, kan DNA-analyse bruges til at finde ud af, hvem der har afgivet
DNA-materialet på gerningsstedet eller objektet. Dette er nyttigt da sandsynligheden for, at en mistænkt
er gerningsmanden, forøges markant hvis den mistænkte har befundet sig på gerningsstedet omkring
tidspunktet for forbrydelsen, eller haft kontakt til et objekt forbundet til forbrydelsen. DNA-materialet
kan sammenlignes med den mistænktes DNA-materiale eller med DNA-materiale i en database. Hvis et
match forekommer, vurderes vægten af dette med en matchfrekvens, som er frekvensen, hvormed DNA-
profilen forventes at forekomme i populationen. Fundet af personens DNA på gerningsstedet eller
objektet gør, at sandsynligheden for personen som værende skyldig i forbrydelsen kan stige markant.
Stigningen er også afhængig af andet bevismateriale, samt personens alibi.
Der findes flere metoder til DNA-analyse. I metoden kaldet Restriction Fragment Length Polymorphism,
forkortet RFLP, anvendes restriktionsenzymer til at klippe DNA-molekylet de steder, hvor bestemte
basesekvenser forekommer. Længderne af de klippede DNA-fragmenter, kaldet variable number
tandem repeat (VNTR)-sekvenser, fra den mistænkte, sammenlignes med VNTR-sekvenserne fra det
DNA, der findes på gerningsstedet eller objektet. VNTR-sekvenser varierer meget i den menneskelige
population, og bruges derfor til identifikation. Den mistænktes DNA og DNA-materialet fra gernings-
stedet eller objektet klippes med samme restriktionsenzymer. Hvis den mistænktes DNA og DNA-
materialet fra gerningsstedet eller objektet stammer fra samme person, vil enzymerne klippe DNA-
sekvensen på samme måde. Ved gelelektroforese fordeler DNA-fragmenterne sig på gelen efter stør-
relse. DNA-fragmenterne vises som pletter på gelen, synliggjort med prober. Hvis VNTR-sekvenserne
fra den mistænkte og DNA-materialet fra gerningsstedet eller objektet fordeles ens på gelen, stammer
prøverne fra samme person
6
. RFLP-metoden tager lang tid og kræver store mængder DNA-materiale,
da metodens sikkerhed afhænger af antal VNTR-sekvenser. Metoden er i dag erstattet af andre metoder.
Single nucleotide polymorphism (SNP) er enkelte basepar i genomet, der varierer inden for en popu-
lation. SNP skal som en regel forekomme i mindst 1% af populationen. På grund af, at SNP kun består af
et enkelt basepar, forekommer der utrolig mange i genomet
7
. En SNP-analyse foregår ved, at prober
blandes i opløsninger med de DNA-sekvenser, man undersøger. Proben, der binder til DNA-sekvensen,
har den komplementære basesekvens. Hvis to
prober, hvor en af baserne er adenin i en probe
og cytosin i den anden, binder til samme loci i
DNA-materiale fra forskellige personer bety-
der det, at en base i den undersøgte sekvens fra
de to personer varierer, og dermed er en SNP.
Figur 2
7
: skematisk repræsentation af SNP analyse fore-
taget på DNA chip. Hver kolonne på DNA chippen tilsættes
et sæt med fire prober, der kun differerer med én base.
Kun én af proberne i hver kolonne kan altså påsætte sig
DNA-sekvensen, der undersøges. I A. kortlægges to baser,
mens i der B. undersøges SNP på basen, som er ændret fra
thymin til cytosin.
6
EDVOTEK (2014)
7
Jehan (2006)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 7 af 25
Short Tandem Repeat og PCR
Den mest brugte metode til analyse af DNA-materiale i retsgenetisk arbejde er STR-metoden
8
. Prin-
cippet i metoden er at sammenligne specifikke loci på DNA fra forskellige prøver. Et short tandem repeat
(STR) er en mikrosatellit, som består af en sekvens på mellem to og syv basepar, der er gentaget mange
gange i træk. I en STR-analyse undersøges det eksakte antal gentage basesekvenser i STR-sekvensen.
Det menneskelige genom indeholder mange STR-sekvenser, men kun en lille mængde loci er blevet
udvalgt specifikt til brug i retsgenetisk DNA-analyse. Ved at alle DNA-analyser foretages på samme loci,
er det let at sammenligne informationer om frekvensen hvormed forskellige STR-sekvenser forekom-
mer. I bilag 1 vises det, hvordan den mistænktes DNA sammenlignes med DNA fra gerningsstedet ved
STR-analyse. Metoden adskiller sig fra RFLP-analyse ved, at man ved STR-analyse ikke klipper DNA-
materialet med restriktionsenzymer. I stedet sættes der prober på DNA-molekylet, der markerer valgte
loci, og disse sekvenser opformeres med PCR
9
.
En ulempe ved STR-metoden er, at der på elektroferogrammer fra analyserne ofte forekommer stutter
peaks, der som navnet antyder danner ”ekko” omkring faktiske peaks, der repræsenterer mængden af
en replikeret STR-sekvens. Stutter peaks dannes ved replikation af en STR-sekvens, der er få basepar
anderledes end den STR-sekvens, der danner den rigtige peak. Replikationen af denne kan skyldes, at
der er sket en fejl i DNA-polymerases aflæsning af STR-sekvensen når replikationen har fundet sted
10
.
Figur 3
11
: viser stutter
peaks på elektroferog-
ram.
En low copy number (LCN) DNA-analyse forløber på samme måde som STR-metoden, men i LCN er antal
PCR cyklusser højere. Metoden kan benyttes til analyse af meget mindre mængder DNA-materiale end
STR. Dette er en fordel i retssager, hvor bevismaterialet består af delvist nedbrudt eller små mængder
DNA. Det betyder dog også, at metoden er mere usikker end STR, da der ved analyse af mindre mængder
DNA-materiale er større sandsynlighed for, at kontamination af materialet påvirker resultatet af analy-
sen. Opformeringen af DNA-materialet med PCR bevirker, at kontamination, enten i form af arvema-
teriale fra andre end den formodede gerningsmand eller i form af replikationsfejl i PCR-cyklusserne,
også bliver opformeret. Hvis kontamination i form af arvemateriale fra andre end den formodede
gerningsmand forekommer, vil sandsynligheden for false-positives forøges markant, da den færdige
DNA-profil vil være fra flere forskellige personer
12
. Kontaminationen vil udgøre en større andel af det
opformerede materiale end ved STR, siden mængden af DNA-materiale fra gerningsmanden er mindre.
Stutter peaks vil desuden være større på et LCN-elektroferogram end på et STR-elektroferogram. Når
den oprindelige mængde af arvemateriale er meget lille, og replikationsfejl forekommer i de tidlige PCR
cyklusser, vil fejl-sekvenserne udgøre en stor del af det materiale, der replikeres i de næste cyklusser.
Stutter peaks kan på denne måde blive lige så høje som de rigtige peaks.
8
Cowell m.fl. (2014)
9
Butler (2007)
10
Walsh (1996)
11
Forensic Bioinformatics (2015)
12
McCartney (2008)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 8 af 25
SNP-analysen tidligere beskrevet eliminerer fejlkilden med stutter peaks
13
. Her er størrelsesbaseret
differentiering af DNA-stykker ikke nødvendig. Til gengæld påvirkes SNP-analyse mere end STR ved
kontamination. Her kan man ikke på samme måde se forskel på kontamination og det DNA-materiale,
der ønskes undersøgt, da samme SNP med høj sandsynlighed forekommer både i det oprindelige DNA-
materiale og i kontaminationsmaterialet. Dette hænger sammen med, at en SNP minimum forekommer
i 1% af populationen. På et STR-elektroferogram kan man estimere antallet af personer, som DNA-sek-
venserne stammer fra, og nogle gange kan man se forskel på kontamination og de ønskede amplif-
ikationer ved, at peaks fra kontaminationerne ikke er lige så høje som de andre peaks
14
.
Kilder til arvemateriale på et gerningssted
Man kan tilskrive de måder, hvorpå arvemateriale efterlades på et gerningssted, til syv store kilder: blod,
cigaretskodder, spyt, tyggegummi, hår, sæd og celler. Den sidste kilde indbefatter arvemateriale, ofte fra
hudens overflade, der ikke passer ind under de andre kategorier – dette materiale kunne eksistere på
overflader, som man mener, at gerningsmanden har haft hudkontakt med, men hvor dette ikke kan ses
15
.
Blod som kilde til DNA-materiale vægter naturligvis tungere end de andre kilder, når kilden findes alene
(som den eneste kilde til DNA-materiale) på gerningsstedet, da blod anses som den efterladenskab, der
med mindst sandsynlighed ender på gerningsstedet ved et tilfælde. Hvis tyggegummi med arvemateriale
fra den mistænkte findes alene på et gerningssted kan der argumenteres for, at den mistænkte tilfæl-
digvis spyttede tyggegummiet ud, da personen gik forbi gerningsstedet. Cigaretskodder med arvemate-
riale, der matcher den mistænktes, vægter heller ikke tungt, da kilden nemt kan være blæst til gernings-
stedet fra en anden lokation. Det giver i overensstemmelse med dette mening, at alle ovenstående kilder
vægter tungere hvis gerningsstedet ikke er offentligt eller udendørs. Jo sværere det er, at kilderne kan
være endt på gerningsstedet ved en tilfældighed, jo tungere vægter de.
Figur 4
15
: venstre diagram viser procentdelen af fundne DNA-kilder, der førte til en mistænkt alt efter, om kilderne blev fundet
på eller uden for gerningsstedet. Højre diagram viser procentdelen af fundne DNA-kilder, der førte til en mistænkt, alt efter
hvor mange DNA-kilder, der blev fundet på gerningsstedet.
13
Balding (2005)
14
Houck (2015)
15
Bond (2007)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 9 af 25
Populationsvariationer
I en DNA-analyse undersøger man ikke hele individets genom. Det er blot en eksamination af bestemte
locis længde og basesammensætning, og derfor vil et match mellem to DNA-prøver altid være baseret
på sandsynlighed. For at bestemme sandsynligheden for, at en bestemt genotype forekommer tilfældigt
i en population, benytter man sig af data fra populationen vedrørende frekvensen af genotypen. Man
kan ud fra disse data estimere chancen for, at der tilfældigt eksisterer andre individer end den, det
undersøgte DNA-materiale stammer fra, med den samme basesammensætning eller længde af de loci,
man undersøger i DNA-analysen.
Vægten af et match ved en DNA-analyse findes normalt ved at gange frekvensen, hvormed hver sekvens
forekommer i en referencedatabase. Jo mindre frekvens sekvenserne forekommer med, jo større vægter
et eventuelt DNA-match. Følgende er et eksempel på bestemmelse ved STR-analyse af sandsynligheden
for, at den samme DNA-profil ved som den, der er fundet på et gerningssted, tilfældigt forekommer i en
population. Etniske undergrupper i populationen medtages ikke i beregningerne. DNA-profilen i eksem-
plet er baseret på syv loci, som den undersøgte DNA-profil har. De versioner, som DNA-profilen her, er
repræsenteret i henholdsvis 7,00 procent, 10,0 procent, 4,00 procent, 5,00 procent, 1,00 procent, 8,00
procent og 9,00 procent af populationen iflg. referencedatabasen.
Sandsynligheden for, at en tilfældig person i populationen besidder alle syv alleler er 1,01 ud af en milli-
ard
16
. Denne metode til beregning af bevismaterialets vægt kan være en betydelig fejlkilde, da der er
store variationer i frekvensen af bestemte basesekvenser på et loci i forskellige etniske grupper. En
sekvens kan være normal i en etnisk gruppe og sjælden i en anden. Derfor vil vægten af et match afhænge
af de etniske grupper, som den mistænktes DNA, det fundne DNA, og DNA-materialet i reference-
databasen tilhører
17
. Omvendt kan denne variation mellem etniske grupper også være en fordel, da man
ved at udregne vægten af et match, givet at gerningsmanden tilhører en bestemt etnisk gruppe, kan finde
ud af, hvilken etnisk gruppe det er mest sandsynligt, at gerningsmanden tilhører.
16
Panneerchelvam (2003)
17
Lewontin (1991)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 10 af 25
Sandsynlighed
Tilfældige hændelser opfattes ofte som uforudsigelige, men det er muligt at angive sandsynligheden for
et bestemt udfald. Sandsynlighedsregning er nøglen, der kan give os information om det umiddelbart
tilfældige. Sandsynlighed er et mål fra graden af tilfældighed på den måde, at jo mindre tilfældigt et
udfald er, jo større er dets sandsynlighed
18
.
Sandsynlighedsberegninger drejer sig om egenskaber ved modeller af stokastiske eksperimenter, ek-
sperimenter med tilfældigt udfald. Man kan således beregne sandsynligheden for, at et bestemt udfald i
et stokastisk eksperiment vil indtræffe. Det er ikke muligt præcist at beregne hvilket udfald, der vil
indtræffe, men man kan finde det udfald, der med størst sandsynlighed vil indtræffe hvis en række
individuelle udfald er påvirket af forskellige faktorer. For eksempel påvirker sammensætningen af etni-
ske grupper i en population hvor sandsynligt det er, at en bestemt STR-sekvens forekommer i et til-
fældigt individ i populationen. Sandsynlighedsberegning er en del af mængdelæren, idet at antal mulige
udfald betegner en samlet mængde kaldet sandsynlighedsfeltet. Den mængde af udfald, som sandsyn-
lighedsfeltet består af, kaldes udfaldsrummet, og betegnes U:
Til hvert udfald er der knyttet sandsynligheden . Alle sandsynlighederne er positive tal, og summen
af sandsynlighederne for de mulige udfald i udfaldsrummet U er 1. Sandsynligheden 0 repræsenterer
det umulige – udfaldet kan aldrig indtræffe. Omvendt repræsenterer sandsynligheden 1 det sikre. Når
summen af sandsynlighederne for udfaldene i U giver 1, betyder det at en af udfaldene altid må ske, og
at sandsynlighedsfeltet dermed er endeligt
19
. I tilfældet af et endeligt sandsynlighedsfelt kan der opstil-
les en model, som beskriver alle de mulige udfalds sandsynligheder. Ved et endeligt sandsynlighedsfelt
forstås en endelig mængde U, samt en funktion fra U i intervallet [0,1], som opfylder følgende:
Elementerne i U kaldes udfald, mens en delmængde af U kaldes en hændelse. Funktionen kaldes sand-
synlighedsfunktionen. Dens værdi i
, altså
, er derfor sandsynligheden for udfaldet
. Man kal-
der denne sandsynlighed for punktsandsynligheden i
20
. Det er her muligt at fremstille et koordinat-
system med udfaldene
ud af x-aksen og deres tilhørende sandsynligheder op ad y-aksen.
Uafhængige hændelser
Man kan bruge en betinget sandsynlighed til at undersøge en hændelses afhængighed af en anden. En
hændelse er uafhængig af hændelse hvis det gælder, at:
Sætning 1 (definition på uafhængig hændelse)
Da en sandsynlighed naturligvis er uafhængig af i det tilfælde, at sandsynligheden for givet
er uændret i forhold til den ubetingede sandsynlighed .
18
Clausen (1990)
19
Jessen (1999)
20
Sørensen (2003)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 11 af 25
Betinget sandsynlighed
Man kan udtrykke en betinget sandsynlighed med ubetingede sandsynligheder. En betinget sandsyn-
lighed er en sandsynlighed for hændelse , givet hændelsen . Hændelsen kunne være sandsyn-
ligheden for, at en tilfældig person på en ø med 1000 beboere har en hvid varevogn, mens kunne være
hændelsen, at en personen har en plettet straffeattest. Umiddelbart er sandsynligheden for en
tusindedel, da alle på øen som udgangspunkt er lige skyldige. Sandsynligheden for, at en person er
skyldig i forbrydelsen forøges dog hvis det er givet, at personen må eje en hvid varevogn, da udfalds-
mængden formindskes.
Sætning 2 (definition på betinget sandsynlighed)
21
50 af øens beboere har en plettet straffeattest. Hvis 100 af øens beboere ejer en hvid varevogn, og 39 af
disse har en plettet straffeattest, må sandsynligheden for, at en person på øen har en plettet straffeattest,
givet at personen ejer en hvid varevogn, være:
Sandsynligheden for, at en person har en plettet straffeattest forøges altså med 680% hvis det er givet,
at personen ejer en hvid varevogn. Reglen om betinget sandsynlighed kan omskrives:
Sætning 3 (definition på fællesmængden af to sandsynligheder)
Når og er uafhængige af hinanden, kan sætning 3 omskrives i overensstemmelse med sætning 1:
Sætning 4 (definition på fællesmængden af to uafhængige sandsynligheder)
Bayes formel
Definitionen på den betingede sandsynlighed, sætning 2, viser, at den betingede sandsynlighed kan
udtrykkes ved sandsynligheden for fællesmængden mellem og samt sandsynligheden for, at hæn-
delsen indtræffer:
Heraf følger med sætning 3, at:
Siden
, kan man sætte følgende udtryk, der udtrykker hinandens inverse betingede
sandsynligheder, lig hinanden, og udlede Bayes formel heraf:
21
Baktoft (2010)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 12 af 25
Sætning 5 (Bayes formel)
Bayes formel hjælper brugeren med at modificere sandsynligheden for en given hændelse, , i lyset af
nye informationer, . Dette gør Bayes formel nyttig i sammenhænge, hvor sandsynligheden for, at en
mistænkt i en retssag er skyldig, skal ændres i overensstemmelse med nye informationer, for eksempel
i form af bevismateriale, der gradvist opdages.
Totalsandsynligheden og Bayes udvidede formel
Som optakt til udledningen af Bayes udvidede formel, kan totalsandsynligheden passende introduceres.
Hændelserne
kan siges at være udtømmende, hvis mindst en af dem altid vil ske. Et
eksempel på udtømmende hændelser kunne være, at mn i forbindelse med en forbrydelse har
mistænkte, hvor man ved at mindst én af de mistænkte er skyldig i forbrydelsen. Her beskriver
hændelsene
, at den givne mistænkte er gerningsmanden. Mindst én af hændelserne vil
altså ske lige meget hvad. Hvis man ydermere vidste, at forbrydelsen kun havde én gerningsmand, ville
hændelserne
være både udtømmende og disjunkte. Det sidstnævnte betyder, at kun én
hændelse kan ske, da de andre hændelser ved forekomst af hændelsen bliver umulige. Dette vises
grafisk i figur 5, hvor mængderne ikke overlapper hinanden.
Lad hændelserne
og
være de disjunkte og udtømmende hændelser, at enten mistænkt 1, 2 eller
3 er gerningsmanden til en forbrydelse. Lad hændelse være, at arvemateriale fra gerningsmanden
findes på gerningsstedet. På figur 5 vises dette eksempel. Det skraverede område angiver hændelsen ,
som kun kan forekomme hvis en af hændelserne forekommer ‒ hvis en gerningsmand ikke eksisterer,
vil arvemateriale fra denne naturligvis ikke kunne findes på gerningsstedet. Hændelsen, at der ikke
findes arvemateriale fra gerningsmanden på gerningsstedet, kan passende kaldes
. Hændelserne og
er ligesom hændelserne udtømmende og disjunkte.
Figur 5: hændelsen forekommer i det skraverede område, og hændel-
serne
forekommer i hver deres rektangulære felt. I forbindelse med
en forbrydelse, hvor der er tre mistænkte og det vides, at en ad disse er
skyldige, kan både og
forekomme. Hændelserne
og er
afhængige af hinanden, da sandsynlighederne for disse ændres hvis det
er givet (for
, at sker, eller (for at en af de tre hændelser
sker.
På figur 5 repræsenterer hele den stribede mængde , og de tre stribede mængder, delt af felterne
hvori
hænder, repræsenterer
,
og
. Disse hændelser er disjunkte, og den
totale stribede mængde er lig summen af de tre stribede mængder. Heraf udtrykket for :
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 13 af 25
Som med sætning 4 kan omskrives til:
Sætning 6 (totalsandsynlighed)
22
Bayes formel kan omskrives, så man i beregningen af den betingede sandsynlighed kan medtage flere
inverse betingede sandsynligheder. Den marginale sandsynlighed er summen af sandsynlighe-
derne for givet alle de mulige hændelser i udfaldsrummet. Dette eksemplificeres i figur 5, hvor den
marginale sandsynlighed ifølge sætning 6 kan skrives som:
Omskrivningen gælder naturligvis også for den marginale sandsynlighed . Denne omskrivning gør
det muligt at udvide Bayes formel. Omskrivningen kaldes derfor for Bayes udvidede formel, og her gæl-
der at:
Sætning 7 (Bayes udvidede formel)
22
Her er hændelserne
både disjunkte og udtømmende, da der i omskrivningen af Bayes
formel gælder, at er totalsandsynligheden (sætning 6).
A priori og a posteriori sandsynligheder
Sandsynligheden for, at en hændelse vil ske, ændres hvis en anden hændelse er givet, og hvis disse
to hændelser er afhængige af hinanden
22
, dvs. hvis:
Hvis man antager, at sandsynligheden for hændelsen
, at en tilfældig person på en ø med 100 beboere
bor under 5 km fra et gerningssted, er 0,08, ændres denne sandsynlighed hvis man medtager en anden
hændelse , som er hvorvidt denne person er skyldig i forbrydelsen begået på gerningsstedet.
Sandsynligheden for, at en tilfældig person er skyldig i forbrydelsen, hvis det er givet, at personen bor
under 5 km fra gerningsstedet, eller hvis det er givet, at personen bor over 5 km fra gerningsstedet, kan
udregnes:
22
Weiss (2012)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 14 af 25
Disse sandsynligheder kan anvendes i Bayes udvidede formel til at udregne den betingede sandsyn-
lighed for, at gerningsmanden bor under 5 km fra gerningsstedet:
På grund af forskellen mellem antal beboere på øen, der bor under og over 5 km fra gerningsstedet, kan
sandsynligheden for hvor personen bor altså ændres hvis det er givet, at personen er gerningsmanden.
Anvendelse i retslig bevisførelse
Som beskrevet i afsnittet ”Populationsvariationer” eksisterer der en alvorlig fejlkilde ved den måde,
hvorpå vægten af DNA-materiale i retssager beregnes. Man kan fjerne denne fejlkilde ved at anvende
det faktum, at sekvenser forekommer med forskellig frekvens i de forskellige etniske grupper i en
population. Følgende tænkte retssag eksemplificerer forskellen på a priori og a posteriori sandsynlig-
heder, samt de resultater, som brugen af Bayesiansk sandsynlighedsregning kan generere.
I en population forekommer en kombination af syv alleler i
procent af populationen iflg. en
referencedatabase. Dette svarer til ca. en ud af fire milliarder mennesker. Her er der ikke taget hensyn
til de forskellige etniske grupper i populationen. Sandsynligheden beskrevet kalder jeg , og det er
sandsynligheden for, at den undersøgte DNA-profil forekommer tilfældigt i populationen. I en efter-
forskning er DNA-materiale, hvori syv loci undersøges, fundet på gerningsstedet. bruges i ankla-
gerens bevisførelse. giver dog et unuanceret billede af forekomsten af de syv specifikke loci i
populationen, siden forekomsten i de etniske undergrupper ikke anvendes.
Jeg vil nu undersøge sandsynlighederne for, at personen, som DNA-profilen stammer fra, tilhører hver
af populationens fire etniske grundergrupper; den blå, som udgør 41,0 procent af populationen, den
røde, som udfør 34,0 procent af populationen, den orange, som udgør 20,0 procent af populationen, og
den grønne, som udgør 5,00 procent af populationen. Jeg finder først
, som er chancen for at
DNA-profilen forekommer i den givne etniske undergruppe. Denne sandsynlighed findes ved at gange
forekomsten i de etniske grupper af de syv loci, der blev undersøgt i STR-analysen.
Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den blå
etniske gruppe, beregnes til:
Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den røde
etniske gruppe, beregnes til:
Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den orange
etniske gruppe, beregnes til:
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 15 af 25
Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den grønne
etniske gruppe, beregnes til:
Disse sandsynligheder er eksempler på, hvad der sker med a priori sandsynligheder når der medtages
information i bestemmelsen af sandsynligheden. Sandsynlighederne a posteriori er mere nuancerede
end den ene information , som blev anvendt i den tænkte retssag.
Jeg vil nu indsætte disse sandsynligheder i Bayes udvidede formel for at nuancere den information, som
medtages i bevisførelsen, yderligere. Jeg finder
, som er sandsynligheden for at en person
tilhører en af de fire etniske grupper i populationen, givet at personens DNA-profil matcher den under-
søgte DNA-profil. Sandsynligheden for, at en person tilhører den blå etniske gruppe, givet at personens
DNA-profil matcher den undersøgte DNA-profil er:
Sandsynligheden for, at en person tilhører den røde etniske gruppe, givet at personens DNA-profil mat-
cher den undersøgte DNA-profil er:
Sandsynligheden for, at en person tilhører den orange etniske gruppe, givet at personens DNA-profil
matcher den undersøgte DNA-profil er:
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 16 af 25
Sandsynligheden for, at en person tilhører den grønne etniske gruppe, givet at personens DNA-profil
matcher den undersøgte DNA-profil er:
Informationen, som fås ved at anvende Bayes udvidede formel viser et andet billede end udregningen af
alene. Informationen kan vise sig at få afgørende betydning i retssagen. Det både kan styrke forsva-
rets sag markant, hvis den anklagede fx tilhører den orange etniske gruppe, eller det kan styrke sagen
mod den anklagede, hvis den anklagede tilhører den grønne etniske gruppe. Der er nemlig kun ca. 0,9
procent sandsynlighed for, at DNA-profilen tilhører en person fra den orange etniske gruppe, mens der
er næsten 90 procent sandsynlighed for, at den tilhører en person fra den grønne etniske undergruppe,
fordi forekomsten af de syv alleler samlet set er meget mere normal i den grønne etniske gruppe and i
den orange.
Sandsynlighedsforhold
En tredje udgave af Bayes formel er Bayes formel på odds form. Her kan man test hvilken af to mod-
stridende hændelser er mest sandsynlig givet hændelse D. Ved at anvende sætning 2 og 3 kan forholdet
mellem de modstridende sandsynligheder givet hændelse D omskrives:
Lad A og D være to hændelser i et endeligt sandsynlighedsfelt. Da hælder:
Sætning 8 (Bayes form på odds form)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 17 af 25
kunne for eksempel være informationen, at den mistænktes DNA-profil matchede en DNA-profil
fundet på gerningsstedet. Hændelsen kunne være, at den mistænkte var skyldig. Er tælleren større
end nævneren ved beregning af sandsynlighedsforholdet, er hændelsen mere sandsynlig end
givet
. Dette er blot en anden måde at anskue Bayes formel, men den er nyttig hvis beregningerne skal være
letforståelige i retssager
23
.
En anden måde at anskue Bayes formel på odds form er med hvad der på engelsk kaldes en likelihood
ratio, på dansk et sandsynlighedsforhold. I bevisførelsen er data, kaldet , potentielt informativt om de
to disjunkte hypoteser og
. Der kan findes et forhold for sandsynligheden af data givet de to
hypoteser:
Sætning 9 (sandsynlighedsforhold)
24
Den undersøgte data kan både være beviser eller information. Selv mangel på beviser kan være data,
som kan påvirke sandsynlighedsforholdet mellem de to hypoteser. I modsætning til Bayes form på odds
form er det her sandsynligheden af informationen givet de to hændelser og
, som sammenlignes,
men princippet i sammenligningen af to betingede sandsynligheder er det samme. Følgende er et eksem-
pel, hvor den mistænktes DNA matcher DNA-materialet fundet på gerningsstedet i en efterforskning.
Sandsynligheden for et false-positive, altså sandsynligheden for at et DNA-match forekommer selvom
den mistænkte ikke er gerningsmanden, sættes til 0,001. Et false-positive kan for eksempel forekomme
ved kontamination af DNA-materialet på gerningsstedet, eller ved tekniske fejl under DNA-analysen.
beskriver hændelsen, at den mistænkte er skyldig, og
beskriver hændelsen, at den mistænkte er
uskyldig. beskriver informationen, at den mistænktes DNA-profil matcher det fundne DNA:
Da sandsynlighedsforholdet er over 1, betyder det at sandsynligheden for givet er større end sand-
synligheden for givet
. Her medtages dog ikke den afgørende faktor, at a priori er meget mere
usandsynlig end
a priori – her er det Bayes form på odds form, der skal bruges. er som udgangspunkt
mindre sandsynlig end
, da DNA-profilen kun forekommer tilfældigt i omkring en ud af fire milliarder
mennesker. Dette faktum giver anledning til kontemplation på den måde, at ikke nødvendigvis gør
den meget usandsynlige hændelse mere sandsynlig end
24
. Sandsynligheden for hændelsen
”udlignes” ved at blive ganget med den a priori sandsynlighed , når de to brøker på højre side af
lighedstegnet ganges sammen i odds formen af Bayes formel. Matematisk set forklares dette ved, at
forholdet mellem de to modstridende sandsynligheder givet data D i Bayes form på odds form stadig
kan have en tæller, der er mindre end nævneren, hvis forholdet mellem og
er ekstremt nok. I
følgende eksempel vides det, at gerningsmanden findes i en population på 100.000 individer:
Givet data D er den mistænktes sandsynlighed for at være skyldig blevet 999 gange større, men er stadig
for alt lille til, at man med sikkerhed kan kalde den mistænkte for gerningsmanden.
23
Vestergaard (2015)
24
Balding (2005)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 18 af 25
Fejlslutninger i retssager
DNA-analyser, ud over hvorvidt den mistænktes DNA matcher med DNA-materiale fundet på gernings-
stedet eller ej, fremlægges i retssager i form af tal. Frekvensen, hvormed DNA-match forventes at fore-
komme i populationen ifølge referencedatabasen, er et tal. Tal kan let misforstås, som det tidligere i
opgaven blev vist i afsnittet ”Populationsvariationer”. En matchfrekvens er et resultat, men et resultat,
som let kan føre til de forkerte konklusioner. Følgende fejlslutninger eksemplificerer sådanne konklu-
sioner.
The prosecutor’s fallacy
En ofte begået logisk fejlslutning er, at det faktum, at indebærer betyder, at indebærer . Når man
oversætter denne logiske fejlslutning til sandsynligheder, opstår en procecutor’s fallacy, hvor
forveksles med
25
. I en tænkt population eksisterer der 10 millioner individer. Der foretages en
DNA-analyse på en mistænkt i en forbrydelse, og det viser sig, at den mistænktes DNA-profil matcher
den, der blev fundet på gerningsstedet. På grund af denne information forekommer det næsten sikkert,
at den mistænkte er gerningsmanden, men en sådan konklusion ville være en fejlslutning, da man ikke
tager hensyn til matchfrekvensen. DNA-profilen fundet på gerningsstedet forventes at forekomme i
populationen med en frekvens på
. Den korrekte måde at udlede fra er med
Bayes formel. Lad være hændelsen, hvor den mistænktes DNA-profil matcher DNA-profilen fundet på
gerningsstedet, og hændelsen, hvor den mistænkte er gerningsmanden. False-positive frekvensen er
0,002. Et false-positive er her et resultat af DNA-analysen, der angiver et match mellem de to DNA-
profiler, når det faktisk ikke er tilfældet, at de to DNA-profiler matcher. Et false-positive kan forekomme
på grund af tekniske fejl eller kontamination, som blev omtalt i afsnittet ”Short Tandem Repeat og PCR”.
Chancen for, at den mistænkte er gerningsmanden, givet at den mistænktes DNA-profil matcher den
fundet på gerningsstedet, er ifølge Bayes formel stadig lille, selvom sandsynligheden er blevet
gange højere. En procecutor’s fallacy i dette eksempel forekommer i, at man kan havde anset sandsyn-
ligheden for, at den mistænkte var gerningsmanden, til meget højere end den reelt var, fordi man
forvekslede med . Her er sandsynligheden for, at den mistænktes DNA-profil
matcher den fundet på gerningsstedet, givet at den mistænkte er gerningsmanden. Der medtages
dermed ikke de faktorer, der har gjort, at individet er blevet mistænkt til at starte med, som for eksempel
individets forbindelse til forbrydelsen.
Den eneste situation, hvor
, forekommer når de to hændelser og er uafhængige af
hinanden, samt når sandsynligheden for, at de to hændelser indtræffer, er den samme. Da vil følgende
gælde i overensstemmelse med sætning 1:
25
Buchanan (2007)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 19 af 25
The defendant’s fallacy
For at undgå en defendant’s fallacy, er det netop andre faktorer, som den mistænktes forbindelse til
forbrydelsen, som skal inkluderes. Det ville nemlig være fejlagtigt at sige, at de 10 individer, hvis’ DNA-
profil teoretisk set ville matche den, som blev fundet på gerningsstedet, som udgangspunkt har lige stor
sandsynlighed for at være skyldige
26
. Hvis man antager, at de 10 individer bor spredt ud over et stort
område, er det logisk at formode, at jo tættere på gerningsstedet individerne bor, jo større er sand-
synligheden for, at de er gerningsmanden.
The uniqueness fallacy
En forbrydelse er blevet begået i en population med individer, og en funden DNA-profil på gernings-
stedet er beregnet til at forekomme med en frekvens, der er mindre end
. Ved at ignorere slægtninge
samt andet bevismateriale end DNA-profilen, antyder DNA-profilens frekvens, at der er under ét antal
individer, hvis’ DNA-profil matcher den, som blev fundet på gerningsstedet. Fejlslutningen består i at
tro, at en sandsynlighed på under ét antal individer, der matcher DNA-profilen fra gerningsstedet bety-
der, at et sådan individ ikke eksisterer i populationen
27
. Der er ved udregning af matchfrekvensen tale
om en forventet værdi, hvorfor store afvigelser nemt kan eksistere, især når der er tale om et meget lille
antal forventede personer, der matcher DNA-profilen fra gerningsstedet.
Retssagen mod Denis Adams i 1996
28
I dette eksempel undlader jeg med vilje at nævne resultatet af retssagen, da eksemplet skal fungere som
et billede på, hvor mange faktorer der har kunnet ændre vægten af bevismaterialet for Adams’
skyldighed betydeligt. For at kunne diskutere grundene til at medtage forskellige faktorer i vurderingen
af Adams’ skyldighed, som fx det fundne DNA-materiales art, er det gunstigt at undlade at medtage
retssagens resultat. Adams blev i 1996 arresteret for voldtægt. Bevismateriale i form af sæd, der mat-
chede Denis Adams’ DNA-profil, samt det faktum at han boede i området hvor forbrydelsen blev begået,
forbandt ham med forbrydelsen. Alle andre beviser kom den tiltalte til gode - ofret genkendte ikke
Adams da han skulle identificeres blandt en række andre individer, og Adams havde et alibi.
Det blev fastsat at der var ca. 150.000 mænd i området som, uden andet bevis, kunne have begået
forbrydelsen. Sammen med sandsynligheden for, at gerningsmanden kunne komme uden for området,
blev den a priori sandsynlighed for, at Adams var skyldig, sat til én ud af 200.000. Sandsyn-
lighedsforholdet mellem og dens komplementære sandsynlighed
er dermed:
Siden ofret ikke kunne genkende Adams, blev den betingede sandsynlighed for at dette var tilfældet hvis
Adams var skyldig, , sat til 0,10.
. Sandsynlighedsforholdet mellem
disse to betingede sandsynligheder er:
26
Croucher (2003)
27
Balding (2005)
28
BAILII (1996)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 20 af 25
Hvilket betyder, at informationen i retssagen umiddelbart støttede hændelsen, at Adams var uskyldig..
På baggrund af alibiet fastsatte juryen et sandsynlighedsforhold på
– de mente, at alibiet støttede
hændelsen
, at Adams var uskyldig, dobbelt så meget som . Ved at gange de to omtalte sandsynlig-
hedsforhold sammen, ved antagelsen at disse to informationer i retssagen blev behandlet separat, fås:
Bevismaterialet, når man ser bort fra DNA-materialet, støtter altså hændelsen, at Adams var uskyldig,
18 gange mere end hændelsen, at Adams var skyldig. Ifølge Bayes formel på odds form, når a priori
sandsynlighedsforholdet for, at Adams var skyldig medtages, fås sandsynlighedsforholdet:
Der var i sagen stor usikkerhed om, hvor unikt DNA-materialet fra gerningsstedet var. Man mente at
frekvensen, hvormed DNA-profilen forekom i populationen, lå mellem én ud af to millioner og én ud af
200 millioner
29
. DNA-bevismaterialet støttede hændelsen, at Adams var skyldig, mellem to og 200
millioner gange mere end hændelsen, at Adams var uskyldig. Dette forhold virker overvældende, men
sammen med det øvrige bevismateriale kan man med Bayes udvidede formel finde sandsynligeden for
at Adams var skyldig, når det var givet at DNA-materialet fra ofret matchede Adams’ DNA-profil:
Da det vigtigste når sandsynligheden for, at den mistænkte er skyldig, fastsættes, er den nedre grænse
på denne sandsynlighed – altså hvor stor sandsynligeden for skyldighed er, hvis alle usikkerheder kom-
mer den anklagede til gode, vælger jeg at anvende den højest mulige matchfrekvens i mine udregninger.
Ifølge Bayes formel er det altså muligt, at sandsynligheden for Adams’ skyldighed kun var 36%. Fore-
tagelse af samme beregning med en matchfrekvens på en ud af 200 millioner giver 0,98.
Sandsynlighedsberegningers påvirkning af DNA-materialets vægt i retssager
Konsekvenserne ved fejlagtig brug af sandsynlighedsregning kan være store, da man når argumenterne
fremføres ofte oversætter informationen, givet i tal, til ord. I denne oversættelse kan det både frem-
komme fejl ved et uheld, og fejl der bygger på en manglende forståelse af, hvad sandsynlighederne bety-
der. Et eksempel er her den såkaldte procecutor’s fallacy, som netop bygger på manglende forståelse.
En anden betydelig fejlkilde ved bryg af sandsynlighedsregning i retsvidenskab er, at mange af sandsyn-
lighederne fastsættes af en for eksempel jury, som ikke har den fuldstændige viden om forbrydelsen. En
retssag bygger jo netop på det faktum, at man ikke har den fuldendte viden, og derfor må finde frem til
mere i sådan en grad, at den anklagede kan dømmes skyldig eller uskyldig. Derfor er det muligt, at sand-
synligheden for den anklagedes skyldighed ville variere meget hvis jurysammensætningen blev ændret.
Det vil sige, at chancen for den mistænktes skyldighed her kan variere lige så meget som den usikre
matchfrekvens i sagen mod Denis Adams i 1996. Hvis de to sandsynlighedsforhold, der beskrev vægten
29
Dawid (2001)
[navn fjernet] 3.z Hoveddel
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 21 af 25
af Adams’ alibi samt det faktum, at ofte ikke kunne genkende Adams, sammen havde givet en tyvendedel,
ville regnestykket for se således ud:
Denne lille ændring gør altså, at Adams’ beregnede skyldighed givet beviserne for og imod hans skyldig-
hed bliver tre procentpoint mindre sandsynlig.
På trods af denne store usikkerhed vedrørende fastsættelsen af sandsynligheder, som indgår i Bayes
formel, er det dog tydeligt, ligeledes i retssagen mod Denis Adams i 1996, at sandsynlighedsregningen i
princippet kan illustrere hvor tungt bevismaterialet bør vægte. Ved at anvende Bayes formel på odds
form ses det, at et bevis må vægte tungere, jo større forskellen mellem tæller og nævner i sandsyn-
lighedsforholdet er, da denne forskel angiver hvor tungt bevismaterialet støtter den ene hændelse frem
for den anden. Odds formen er nem at forstå for folk uden særlig kendskab til sandsynlighedsregning,
og brugen af denne må derfor siges at mindske omfanget og forekomsten af fejlslutninger i retssager.
Denne tydeliggørelse af bevisernes vægt i forhold til hinanden mener jeg, kan være fordelagtig og
bidrage til mere retfærdige afgørelser i retssager.
Medtagen af DNA-materiales art og placering i forhold til gerningsstedet kan være gunstigt hvis der
eksisterer tvivl om, hvor tungt bevismateriale i form af en DNA-analyse bør vægte. Som i retssagen mod
Adams i 1996, hvor der herskede stor tvivl om Adams’ skyldighed, kunne en eventuel dom retfær-
diggøres yderligere ved at medtage det faktum, at sæd som arvemateriale med lille sandsynlighed
forekommer tilfældigt på gerningssted eller offer. Hvis arvematerialet var fundet i form af hår, burde
Adams’ eventuelle dom derimod overvejes grundigere, da hår let ville kunne forekomme på gernings-
stedet uden grund – for eksempel hvis Adams var stødt ind i offeret, som derefter fik hans hår på hendes
jakke. I sådan et tilfælde ville det virke direkte absurd, at Adams blev dømt skyldig – her ville det eneste
bevis nemlig være, at hans hår blev fundet på gerningsstedet. Naturligvis vægter bevismateriale i form
af sæd her tungere.
Som vist i afsnittet ”Anvendelse i retslig bevisførelse” er det muligt ud fra allelsammensætningen i den
DNA-profil, der findes i forbindelse med en forbrydelse, at bestemme sandsynligheden for, at afgiveren
af DNA-materialet tilhører en bestemt etnisk gruppe i en population. Denne måde at ”vende rundt” på
de betingede sandsynligheder kan kun lade sig gøre med bayesiansk sandsynlighedsregning, som er
unikt på den måde, at man finder en betinget sandsynlighed ud fra den inverse betingede sand-
synlighed . På Retsmedicinsk Institut på KU forsker man ud fra samme princip, men hvor
matematik ikke indgår. Her undersøger man gener og epigenetiske markører med det mål, at kunne
forudsige gerningsmandens udseende, særligt med hensyn til pigmentering
30
.
Forskningen på Retsmedicinsk Institut på KU er et andet eksempel på, hvordan man kan nuancere de
informationer, man får fra det DNA-materiale, der findes i forbindelse med forbrydelser. Både denne
forskning samt brugen af bayesiansk sandsynlighedsregning henvender sig til forbrydelser uden mis-
tænkte, da man tilegner sig information om afgiveren af arvematerialet, som kan mindske antallet af
mulige gerningsmænd.
30
Retsgenetisk afdeling på KU (2015)
[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 22 af 25
Konklusion
Opgaven har behandlet spørgsmålet om, hvordan statistiske tests kan bruges i retsvidenskab. Der er
flere facetter til dette spørgsmål: hvordan de kan bruges, og hvordan de bør bruges, og hvordan de ikke
bør bruges. Alle tre facetter er i opgaven blevet belyst, og det kan konkluderes, at mange typer statistiske
tests, som bygger på betingede sandsynligheder, kan anvendes. Det, at de statistiske tests indeholder
betingede sandsynligheder er vigtigt, da testene især kan bruges til at vurdere en persons skyldighed
når det er givet, at bevismateriale i form af et match mellem personens DNA-profil og den, der er fundet
i forbindelse med en forbrydelse, eksisterer. Her er det naturligt og logisk at anvende a posteriori og a
priori sandsynligheder, hvilket gøres ved at bruge statistiske tests, der anvender betingede og ubetin-
gede sandsynligheder i samspil med hinanden.
De fejlkilder, der hyppigt forekommer ved DNA-analyser, er kontamination forårsaget af enten PCR med
DNA fra flere individer eller af PDR med forkert replikerede STR-sekvenser. Disse fejlkilder forårsager
usikkerhed omkring den endelige DNA-profil, samt forekomst af stutter peaks på elektroferogrammer.
Betydelige fejlkilder som disse gør, at DNA-analyserne, samt de statistiske tests, der anvender DNA-
analysernes resultater, ikke enerådigt bør bestemme en anklagets skyldighed. Langt mere retfærdigt er
det at anvende resultaterne i samspil med øvrige beviser.
Arten af arvemateriale, der findes, bør også påvirke den vægt, man tillægger arvematerialet. Der bør
tages stort hensyn til, at sandsynligheden for, at arvematerialet stammer fra flere individer varierer me-
get alt efter arvematerialets art. Sandsynligheden for, at den anklagede er skyldig bør desuden justeres
alt efter, om arvematerialet blev fundet på eller uden for gerningsstedet, efter gerningsstedets art, og
efter sandsynligheden for, at arvematerialet forekommer på gerningsstedet ved et tilfælde.
[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 23 af 25
Referencer
Baktoft, A. (2010). Sandsynlighedsregning og statistik (1. udg.). Forlaget Natskyggen.
Balding, D. J. (2005). Weight-of-evidence for Forensic DNA Profiles (1. udg.). Wiley.
Bond, J. W. (2007). Value of DNA Evidence in Detecting Crime. Journal of FOrensic Sciences. Hentet 7.
december 2015 fra
http://www.researchgate.net/profile/John_Bond2/publication/6591236_Value_of_DNA_evide
nce_in_detecting_crime/links/0a85e534cd9b8b960b000000.pdf
Bruun, K., Geertsen, P. B., & Helmig, K. (2011). GRUNDBOG I BIOKELNOLOGI 1 (1. udg.). Gyldendalske
Boghandel, Nordisk Forlag A/S.
Buchanan, M. (2007). The Procecutor's Fallacy. The New York Times. Hentet 7. december 2015 fra
http://www.columbia.edu/~dj114/prosec-01.doc
Butler, J. M. (2007). Short tandem repeat typing technologies used in human identity testing.
BioTechniques. Hentet 3. december 2015 fra
http://cstl.nist.gov/strbase/pub_pres/Butler_BiotechniquesSuppl_Oct2007.pdf
Clausen, F., Printz, P., & Schomacker, G. (1990). Sandsynlighedsregning og statistik (1. udg.).
Munksgaard.
Cowell, R. G., Graversen, T., Lauritzen, S. L., & Mortera, J. (2014). Analysis of forensic DNA mixtures
with artefacts. Journal of the Royal Statistical Society: Series C (Applied Statistics). Hentet 3.
december 2015 fra http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/rssc.12071/epdf
Croucher, J. S. (2003). Assessing the statistical reliability of witness evidence. Australian Bar Review.
Hentet 7. december 2015 fra
https://www.researchonline.mq.edu.au/vital/access/services/Download/mq:6683/DS01
Dawid, A. P. (2001). Bayes’s Theorem And Weighing Evidence by Juries. Hentet 8. december 2015 fra
University College London: https://www.ucl.ac.uk/silva/jdi/research/evidence-
network/docs/dawid-paper.pdf
EDVOTEK. (2014). 109 - DNA Fingerprinting by Restriction Enzyme Patterns. Hentet 3. december 2015
fra EDVOTEK: http://www.edvotek.com/site/pdf/109.pdf
Forensic Bioinformatics. (2015). DNA Testing Issues. Hentet 4. december 2015 fra Forensic
Bioinformatics: http://www.bioforensics.com/dna-testing-issues/
Houck, M. M. (2015). Forensic Biology (1 udg.). Academic Press/Elsiever.
Jehan, T., & Lakhanpaul, S. (2006). Single nucleotide polymorphism (SNP)-Methods and applications in
plant genetics: A review. Indian Journal of Biotechnology. Hentet 4. december 2015 fra
http://nopr.niscair.res.in/bitstream/9/5608/1/IJBT%205(4)%pdf
Jessen, C., Møller, P., & Mørk, F. (1999). Integralregning og sandsynlighedsregning (1. udg.).
Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S.
Lewontin, R. C., & Hartl, D. L. (1991). Population genetics in forensic DNA typing. Science Magazine.
Hentet 3. december 2015 fra http://www.sciencemag.org/content/254/5039/1745.short
McCartney, C. (2008). LCN DNA: proof beyond reasonable doubt? Nature Reviews Genetics. Hentet 16.
oktober 2015
Morling, N. (2010). Retsgenetiske undersøgelser. Hentet 9. december 2015 fra Gyldendal - Den Store
Danske:
http://www.denstoredanske.dk/Krop,_psyke_og_sundhed/Sundhedsvidenskab/Retsmedicin/
retsgenetiske_unders%C3%B8gelser
[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 24 af 25
Nielsen, H., & Kjems, J. (2013). DNA. Hentet 3. december 2015 fra Gyldendal - Den Store Danske:
http://www.denstoredanske.dk/Natur_og_milj%C3%B8/Biokemi_og_molekyl%C3%A6rbiolog
i/Molekyl%C3%A6rbiologi/DNA
Nørby, S. (2015). Mikrosatellit. Hentet 3. december 2015 fra Gyldendal - Den Store Danske:
http://www.denstoredanske.dk/Krop%2c_psyke_og_sundhed/Sundhedsvidenskab/B%C3%B
8rnesygdomme_og_medf%C3%B8dte_misdannelser/mikrosatellit
Panneerchelvam, S., & Norazmi, M. N. (2003). Forensic DNA Profiling and Database. The Malaysian
Journal of Medical Sciences. Hentet 6. december 2015 fra
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3561883/
Retsgenetisk afdeling på KU. (2015). The genetics and biology of pigmentation in humans. Hentet 9.
december 2015 fra Københavns Universitet:
http://retsmedicin.ku.dk/english/research/forensic_genetics/pigmentation_genes/
Smith Bernal Reporting Limited. (1996). Adams, R. v [1996] EWCA Crim 222 (26 April 1996). Hentet 8.
december 2015 fra BAILII: http://www.bailii.org/cgi-
bin/markup.cgi?doc=/ew/cases/EWCA/Crim/2006/222.html&query=bayes&method=boolea
n
Steffensen, E. (2014). DNA-dobbelthelix og udsnit af DNA-molekyle. Genetikbogen B+A. Hentet 13.
december 2015 fra http://www.nucleus.dk/butik/materiale/?id=846
Sørensen, M. (2003). En Introduktion til Sandsynlighedsregning - Institut for Matematiske Fag. Hentet
10. december 2015 fra Københavns Universitet:
http://www.math.ku.dk/~michael/stat0/ssnoter.pdf
Vestergaard, E. (2015). Bayes' fantastiske formel. LMFK-bladet.
Walsh, P. S., Fidles, N. J., & Reynolds, R. (1996). Sequence analysis and characterization of stutter
products at the tetranucleotide repeat locus vWA. Oxford University Press. Hentet 4. desember
2015 fra http://nar.oxfordjournals.org/content/24/14/2807.full.pdf
Weiss, N. A. (2012). Introductory statistics (9. udg.). Pearson Education, Inc.
Bilag 1
Pearson Education, Inc. (2009). Short Tandem Repeats. Hentet 14. december 2015
Forside
May, S. (2011). Bayes Theorem. The New York Times. Hentet 4. december 2015 fra
http://www.nytimes.com/2011/08/07/books/review/the-theory-that-would-not-die-by-
sharon-bertsch-mcgrayne-book-review.html?pagewanted=all&_r=0
[navn fjernet] 3.z
Roskilde Katedralskole 2015/16
Side 25 af 25
Bilag 1 – STR-analyse
På et elektroferogram vises længden af STR-sekvenser med såkaldte peaks, hvis’ højde korresponderer
med antal replikerede STR-sekvenser med en given længde. På elektroferogrammerne for gerningssted-
DNA’et og den mistænktes DNA vil den peak, der angiver antal replikerede STR-sekvenser bestående af
syv AGAT-gentagelser, være lige store. Der vil forekomme en peak på elektroferogrammet for gernings-
sted-DNA’et, der angiver antal replikerede STR-sekvenser med otte GATA-sekvenser. Denne peak vil
ikke forekomme på elektroferogrammet for den mistænktes DNA. Her vil der i stedet forekomme en
peak, der angiver antal STR-sekvenser bestående af 13 GATA-gentagelser.