Bestemmelse af Pi
Udvikling af Matematikken i det antikke Grækenland og
Renæssancen
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
2 | S i d e
Opgaveformulering
- Der ønskes en redegørelse for arbejdet med at bestemme pi gennem historien og de matematiske
ideer, der ligger bag.
- Opgaven skal i særlig grad vægte Archimedes’ arbejde i Antikken og Franciscus Vietas arbejde i
renæssancen med en analyse af dele af deres matematiske arbejder. (Andre relevante matematiske
arbejder kan også drages ind i denne del af opgaven).
- Ovenstående analyse skal desuden perspektiveres i forhold til morderne matematiske metoder til
bestemmelse af pi.
- Derudover ønskes en diskussion af matematikkens generelle status og betydning i det Antikke
Grækenland, sammenholdt med dens status i renæssancen og dens betydning i forbindelse med den
udvikling, der betegnes som den naturvidenskabelige revolution.
Abstract
I have in this project discussed ancient and modern methods for approximating and computing decimals of
(i.e. the ratio between the circumference and the diameter of a circle). Egyptian and Babylonian
approximations are briefly discussed. The computational methods of the Greek mathematician Archimedes
and the European renaissance mathematician Franciscus Viétes are discussed in detail with proofs of some of
the relevant theorems. Computational progresses by various mathematicians since the renaissance including
modern computer algorithms are briefly discussed.
Although in ancient Egypt and Babylonian mathematics was a practical subject, in Greece it developed into
being mainly a philosophical study, pursued in its own right without much relation to physics and technology
(possibly with Archimedes as only exception). This changed in the renaissance when the rediscovering of
mathematics and the progress in experimental science and technology greatly stimulated one another. Today
advanced mathematics and experimental science and technology remain inseparable.
The irrational number has fascinated mathematicians through all ages and has stimulated mathematical and
therefore also scientific progresses. Without detailed knowledge of this number it would be impossible to
have modern science, technology, and of course mathematics.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
3 | S i d e
Indholdsfortegnelse
Indledning .................................................................................................................................................. 4
Tallet ...................................................................................................................................................... 5
Historisk oversigt over
’
værdier .......................................................................................................... 5
Den babyloniske værdi for ................................................................................................................ 5
Den ægyptiske værdi for af Ahmes ................................................................................................... 6
Den græske matematik .......................................................................................................................... 7
Metoder til bestemmelse af tallet .......................................................................................................... 7
Tallet nyeste beregninger ................................................................................................................... 9
Delkonklusion ....................................................................................................................................... 9
Archimedes’ bestemmelse af ............................................................................................................... 10
Viètes bestemmelse af .......................................................................................................................... 14
Matematikkens generelle status og betydning i Antikken og Renæssancen .......................................... 16
Matematik i Antikken .......................................................................................................................... 16
Matematik som overvejende form for filosofi .................................................................................... 17
Matematik og den naturvidenskabelige revolution i Renæssancen ................................................... 18
Matematik i dag.................................................................................................................................... 19
Konklusion ............................................................................................................................................... 19
Litteraturlister / Kildehenvisninger ......................................................................................................... 20
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
4 | S i d e
Indledning
Matematik har et fascinerende univers og har optaget menneskeheden i årtusinder. De ældste eksempler man
har på vore forfædres matematiske evner er op mod 4000 år gamle, og allerede dengang var matematikerne
fascineret af cirklen. Man kendte til de runde former i naturen gennem f.eks. solen, månen og øjets iris. Det
havde ikke været muligt uden hjælp af matematikken. Efterhånden har matematik udviklet sig til en mere
generel videnskab, som er tilgrundliggende for den naturvidenskabelige revolution.
Jeg har I denne opgave forsøgt at redegøre for arbejdet med at bestemme pi gennem historien og de
matematiske ideer der ligger bag fremskridtet af . Der er ikke mange tal igennem historien, der har
fascineret menneskeheden på samme måde som tallet pi har. Jeg har taget udgangspunkt i Archimedes
arbejde i det antikke Grækenland og Franciscus Viétes arbejde i renæssancen, hvor jeg har perspektiveret det
i forhold til de moderne matematiske metoder. Siden da har matematikken haft en markant udvikling, og i
dag er de matematiske metoder anerkendt som en helt afgørende forudsætning for menneskets fremskridt.
Derudover har jeg diskuteret matematikkens generelle status og betydning i det Antikke Grækenland,
sammenholdt med dens status i renæssancen og dens betydning i forbindelse med den naturvidenskabelige
revolution.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
5 | S i d e
Tallet
Tallet pi vil vi i dag definere som forholdet mellem omkredsen og diameteren i en vilkårlig cirkel
1
. At
dette forhold er det samme uanset cirklens størrelse fremgår af, at omkredsen og diameteren er proportionale
størrelser:
2
.
Symbolet
stammer fra det græske ord perimetros, som betyder omkreds. Tallet pi er en del af de reelle
tal, dermed et irrationelt
3
tal, det er et tal, der i form af decimalbrøker er uendeligt og uperiodisk.
4
. Tallet π er
et meget specielt tal med en tilnærmet værdi på 3,3589793
5
. For hvis rækken af decimaler en gang
ville starte forfra, ville det være et tegn på, at π er en brøk og derfor et rationalt tal. Men dette er der intet, der
tyder på, at man vil finde.
6
Der er ikke mange tal igennem historien, der har fascineret menneskeheden på samme måde som tallet pi
har. Lige siden man begyndte at interessere sig for cirkler, har det varet relevant at beskæftige sig med π. Det
er svært at vide, hvordan disse mennesker fandt deres tilnærmede værdier af π i en tid, hvor man hverken
havde malebånd, passer, papir, blyant eller nogle standardmåleenheder. Det bedste bud må være, at de har
benyttet sand og reb. Symbolet blev ikke brugt i oldtiden, men slog først for alvor igennem i 1700-tallet.
Første gang symbolet blev brugt, var i 1706 af den engelske matematiker William Jones.
Historisk oversigt over værdier
Som nævnt har matematik optaget menneskeheden i årtusinder. De ældste eksempler man har på vores
forfædres matematiske evner er op mod 4000 år gamle, og allerede dengang var matematikerne fascineret af
cirklen. Man kendte til de runde former i naturen gennem f.eks. solen, månen og øjets iris. Man begyndte at
tælle og måle med, som nævnt i det forrige afsnit, et stykke reb, sand eller dyreknogle for at bestemme
størrelser, længder og afstande. Der findes desværre ikke nogen kilder, der fortæller, hvornår præcist man
opdagede de allerførste værdier for pi. Men vi kan kun gisne om ´ begyndelse eller opdagelse.
Den babyloniske værdi for
Babylon var hovedstaden i oldtidens Babylonien, som lå hvor det nuværende Irak ligger. Babylonierne var
ægypterne overlegne i talbehandling, hvilket hovedsageligt skyldtes, at babylonierne havde et
positionssystem, der ligner vores titalssystem i dag. Det var babylonierne, der inddelte 1 time i 60 minutter, 1
minut i 60 sekunder – de benyttede nemlig tallet 60 som grundtal
7
. Vores viden om babylonisk matematik
stammer fra ca. 400 lertavler, hvoraf de fleste stammer fra perioden f.Kr. I 1936 blev der, ca. 300
km fra Babylon, udgravet en lertavle (fra perioden f.Kr.), der beskriver forskellige geometriske
konstruktioner. Blandt andet stod den babyloniske metode til beregning af på lertavlen, og gav os dermed
et indblik i den babyloniske værdi for . Babylonierne benytter en cirkel med en indskreven sekskant, da
1
Torben Svendsen, Bogen om side 7.
2
Torben Svendsen, Bogen om side 7.
3
Irrationelt er modsat af rationalt, som betyder at tallet ikke kan skrives som forholdet mellem heltal, men kun som en uendelig
decimalbrøk.
4
Rantzau Alle tiders tal – Regnekunstens hvem, hvad, hvor, Side 130
5
Bomann, Gunnar. Matematik, Gads fagleksikon, Side 192
6
Anker Tiedemann Tallenes Magi, Side. 52
7
Torben Svendsen Bogen om , side 10
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
6 | S i d e
denne cirkels omkreds sammenlignes med omkredsen af sekskanten. Ifølge lertavlen er forholdet mellem
sekskantens omkreds og cirklens omkreds lig med:
Efterhånden som omkredsen af cirklen er , og omkredsen af sekskanten er , får vi denne ligning for
den babyloniske værdi
:
Den babyloniske værdi
giver altså:
Den ægyptiske værdi for af Ahmes
Ægyptisk matematik har haft stor betydning, da man meget tidligt kunne oversætte de græske hieroglyffer til
noget forståeligt.
8
I 1858 fandt den skotske historiker, Henry Rhind, i Theben ved Nilen en papyrusrulle.
Rullen kaldes Papyrus Rhind
9
, den indeholder et 556 cm langt og 33 cm bredt stykke papyrus og er
10
. Denne papyrusrulle stammer fra ca.
år 1600 f.kr. og opbevares på British Museum.
11
Papyrussen indeholder 84 matematiske problemer skrevet
ned af den ældst kendte matematiker af navn, den ægyptiske matematiker Ahmes. Ahmes påstår i problem
41, at arealet af en cirkel A med diameteren d, er givet ved:
Ud fra denne påstand kan man beregne den ægyptiske værdi
for
12
hvis vi sammenligner det med den
moderne formel for arealet af en cirkel, og man kan således sammenligne:
Ahmes kommer frem til resultatet ved at omskrive en cirkel med et kvadrat.
Cirklen
13
til højre skal have en diameter på 9. Kvadratet opdeles i 9 lige store
kvadrater, og hvert af de fire hjørnekvadrater opdeles i to trekanter. Ahmes sætter
ved tilnærmelse cirklens areal lig med ottekantens areal. Ottekantens areal er 63.
Den anden tilnærmelse er at sætte arealet lig med
Disse to tilnærmelser
gør, at Ahmes’ resultat bliver upræcist (altså i forhold til tallet π). Ahmes’
tilnærmelse så således ud:
8
http://www.matematiksider.dk/pi.html#raekker den 11.12.09
9
Torben Svendsen Bogen om π, side 8.
10
Ne-mat’et-Re’s regeringsperiode: man mener at denne periode var omkring (f.Kr.)
11
Mat 1, side 130.
12
Torben Svendsen Bogen om π, side 8
13
Torben Svendsen Bogen om π, side 9.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
7 | S i d e
Eftersom Ahmes har sat cirklens areal til
giver hans metode følgende ligning:
Ovenstående ligning er ensbetydende med:
Den ægyptiske værdi sammenlignet med den babyloniske værdi med 10 decimaler er 3,36. Og
hvis vi sammenligner den ægyptiske værdi
, samt den babyloniske værdi
:
Og:
Hermed kan ses at,
, så den babyloniske værdi er mere ”præcis”, altså kommer tættere pa end den
ægyptiske værdi.
Den græske matematik
Den frugtbare periode for den græske matematik begyndte allerede omkring 600 f. kr. Opbevaringer af små
dele påstande og samlinger af teorier udviklede sig til et mere præcist tankesystem med et bredere kendskab
med både definitioner og beviser tilgrundliggende for enhver sætning inden for matematik og geometri. Det
medførte at naturvidenskabsmændene fik mulighed for at bruge hinandens viden og bygge videre på
hinandens teorier og opfindelser. Man påstår nemlig, at Thales fra Milet og Pythagoras grundlagde den
græske matematik
14
. De havde inspirationen fra ægypterne og babylonierne. Men den centrale figur i
udviklingen af den græske matematik er Euklid (ca. 325-265 f. kr.). Euklid var en matematiker, som levede i
Alexandria, Ægypten. Man ved ikke meget om personen Euklid, men hans hovedværk ”Elementerne” er
bevaret og består af 13 bøger om matematik og plangeometri, som blev brugt som lærebog helt op i 1900-
tallet
15
. Euklid gjorde en fremragende indsats ved for første gang at ordne de matematiske emner i et
deduktivt system. F.eks. begynder de plangeometriske forudsætninger i første bog med 23 definitioner af
begreber såsom punkt, linje, ret linje, planvinkel, figur, cirkel, polygoner og parallelle rette linjer osv.
Definitionerne er ordnet, så enhver ny definition kun omfatter begreber, der er defineret i de forudgående.
Euklid formulerede fem aksiomer
16
, som er almene principper for enhver størrelseslære og altså gælder for
både tal, linjestykker, arealer osv.
17
.
Metoder til bestemmelse af tallet
Den første banebrydende udvikling inden for beregning og bestemmelsen af var den græske matematiker
Archimedes (287-212 f. kr.) Han regnes blandt oldtidens store forskere inden for naturvidenskab og
matematik. Som allerede nævnt blev der altid viderearbejdet på udvikling af matematikken også i tiden efter
Euklid. Idet Archimedes står på skuldrene af Euklid, ville Archimedes’ arbejde ikke have været muligt uden
Euklids basisforskning. Imidlertid bør det nævnes, at den første, der beregnede med Archimedes metode i
vore dages decimaltalsystem
18
var italieneren Fibonacci
19
(ca. ), som regnede til at være
14
Torben Svendsen Bogen om , side 11
15
Torben Svendsen Bogen om , side 12
16
Aksiomer er almindelige begreber, og er meget vigtige for vores bevisførelse. Disse sætninger ses som logisk sande, de er
geometrisk uafhængige, men de er som nødvendigt sande.
17
Tankens magt af Hans Siggaard Jensen, Ole knudsen og Fredrik Stjernfelt. Euklids matematiske Elementer side 101
18
www.en.wikipedia.org/wiki/Decimal den. 11.12.09
19
Fibonacci (Leonardo af Pisa) en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci den. 13.12.09
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
8 | S i d e
3,141818, altså med tre rigtige decimaler. Hans beregning var ikke så nøjagtig som de hidtidige fundne
værdier af , men han lagde en af grundstenene for at få decimaltalsystemet indført i Europa, selvom det dog
først for alvor slog igennem 2-300 år senere.
Som det er fremgået har mange gennem
′
lange historie forsøgt at beregne - og nogle er upræcise og
formlerne er besværlige at anvende, hvor andre er overraskende præcise i forhold til deres relativt simple
konstruktion. Således har brøken
seks decimaler tilfælles med , trods at det blot er talrækken 113 355,
der er splittet midt over. Denne værdi for blev fundet af kineseren Tsu Chung-Chi (430-501) i 400-tallet
20
.
Hollænderen Ludolph van Ceulen brugte det meste af sit liv på at beregne med Archimedes’ metode
21
. I
1596 fik han beregnet med 35 rigtige decimaler ved at anvende en
kant
22
. Med Ludolph van Ceulens
meget nøjagtige beregning måtte nye metoder til for at opnå yderligere præcision. Grunden var ikke, at
Archimedes’ metode ikke var præcis nok til at beregne flere decimaler, men at det simpelthen var for
tidskrævende at bruge hans metode.
Den første, der fremkom med et eksakt udtryk til beregning af , var den franske amatørmatematiker
François Viète(1540 til 1603)
23
. Han fandt nemlig ud af uendelige, analytiske formel til beregning af
24
, ved
brug af n-kanter. Viètes formel er ikke særlig anvendt, da processen er ret lang. Det varer lang tid før
fremkommer med bare få rigtige decimaler. I 1706 fandt en engelsk astronomiprofessor ved navn John
Machin frem til en af de første hurtigt konvergerende serieudviklinger, der blev opstillet til beregning af
25
:
Den engelske matematiker William Shanks beregnede i 1874 med 707 decimaler ved brug af Machins
formel
26
. I 1800-tallet og fremad blev rekorden slået gang på gang, dermed var jagten på mere præcise
formler gået ind i et stort omfang. Nu blev mange ”ikke” matematikere interesserede i et tilnærmet tal på ,
og det var nu mere smarte formler og ikke en stor udholdenhed i næsten endeløse beregninger, der var sagen.
Efterhånden begyndte man at bruge den netop nyudviklede differential- og integralregning til at komme
videre med tallet pi.
20
Boris Sjöberg Historien om side15.
21
http://en.wikipedia.org/wiki/Ludolph_van_Ceulen den 13.12.09 og den 15.12.09
22
Torben Svendsen Bogen om side 21: Den værdi fik han efter sigende indgraveret på sin gravsten, og i dag henvises der ind
imellem til den som "det ludolphiske tal".
23
Torben Svendsen Bogen om , side 22
24
Torben Svendsen Bogen om , side 22
25
Boris Sjöberg Historien om Side 19.
26
Boris Sjöberg Historien om Side 21. Senere blev det dog påvist, at Shanks beregninger var forkerte fra og med decimal
nr. 527.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
9 | S i d e
Tallet
nyeste beregninger
Der skete en væsentlig fremskridt i midten af 1940’erne til at beregne med yderligere præcision. I
1940’erne gjorde datamaskinerne ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) deres indtog,
hvilket førte til, at man i 1949 kunne beregne med 2037 korrekte decimaler, idet man brugte Machins
formel
27
. Fra da af gik udviklingen hurtigt. I 1961 beregnedes 100.265 decimaler på en variant af Machins
formel. I 1973 var man oppe på 1 million decimaler. Et gennembrud kom da Eugene Salamin i 1976 viste en
helt ny algoritme til beregning af
28
. Med denne algoritme beregnede to japanere Yoshiaki Tamura og
Yasuma Kanada i 1983 med 8.388.608 eller
decimaler. I 1985 opdagede brødrene Jonathan Borwein
og Peter Borwein nogle flere algoritmer af lignende type som Salamin. I 1986 beregnede D.H. Bailey ved
brug af Borweins algoritme tallet med decimaler. Året efter blev denne rekord slået af
førnævnte japaner Yasuma Kanada, der opnåede 8 eller
decimaler. Denne rekord slog Kanada
selv i 1995, hvor han kom op på 38 decimaler
29
og igen i 1999, i samarbejde med en anden
japaner, Daisuke Takahashi, beregnede han 0.000 decimaler til , og i 2002 med en beregning,
var tallet oppe på 1,2411 trillioner decimaler
30
. Der er flere måder, hvorpå man har tilnærmet tallet : i 2006
blev en japansk psykiater den første til at remse op med 100.000 decimaler. Det tog ham 16 timer, og den
blev tilsendt til Guiness Book of Record
31
.
Delkonklusion
Vi takker de beundrede matematikere for denne værdifulde udvikling, der ligger til grundlag for meget af
vores geometri. Hvis vi ikke havde tallet i dag, var der mange nødvendige hverdagssager, der ikke var
opfundet. For eksempel har en stor del af byggeriet og arkitekturen stor glæde af , og hver gang der
optræder en cirkel, optræder samtidigt, og sådan kunne man blive ved med at nævne al det tilfælde hvor π
har betydning.
I dag kører computere i døgndrift for at finde flere af ´s decimaler, nogle gør det i håb om at finde en
regelmæssighed i rækkefølgen af decimaler, som kan afsløre natur. Men man kan diskutere hvad
formålet er med at beregne ud med så stor præcision. I langt de fleste tilfælde er det tilstrækkeligt at kende
med 5-10 decimalers nøjagtighed. Når der fortsat bliver beregnet en mere og mere nøjagtig værdi af ,
skyldes det, udover faglig prestige, at de regnemetoder og algoritmer, der bliver udviklet i den forbindelse,
også kan bruges i andre mere praktiske situationer. Ved fortsæt beregning af decimaler, udvikles der mange
nye formler. Desuden kan en meget nøjagtig beregning af kontroller om en datamat fungerer som den skal.
27
Beregningen tog 70 timer. Bare fem år senere kunne man beregne 3089 rigtige decimaler på kun 13 minutter.
28
Eugene Salamins algoritme konvergerede kvadratisk, hvilket vil sige, at for hver gentagen proces fordobles antallet af cifre. Som
eksempel kan nævnes en algoritme, som konvergerer "firdobbelt", dvs. for hver iteration vil der blive mindst fire gange så mange
korrekte cifre i pi således, hvor startværdierne er givet ved:
da
konvergerer mod .
hvor
.
29
www.en.wikipedia.org/wiki/Yasumasa_Kanada den. 13.12.09
30
www.en.wikipedia.org/wiki/Yasumasa_Kanada, det er uklart om der med trillioner menes
. den. 14.12.09
31
http://da.wikipedia.org/wiki/pi_tal den. 14.12.09
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
10 | S i d e
Archimedes’ bestemmelse af
Archimedes har udgivet værket ”Cirklens Udmåling” i hvilket han blandt andet beregnede en øvre og nedre
værdi ved at indskrevne (blå)- og omskrive(rød) regulære n-
kanter i en cirkel
32
. Dermed må omkredsen på cirklen være større
end omkredsen af den indskrevne n-kant, og mindre end
omkredsen af den omskrevne n-kant. Tegnes en cirkel med radius
1, er omkredsen af cirklen givet ved .
Da er de omskrevne sider større end og det er større end de
indskrevne sider:
, hvilket kan også skrives
således:
33
(1)
Jo større n er, jo bedre kan tilnærmes, hvilket jeg vil vise:
34
Sætning 1: Lad
betegner sidelængden i den indskrevne n-
kant, i en cirkel med radius 1. Hvilket jeg nu vil bevise. Da gælder:
Jeg tager udgangspunktet i fig. 2 til højre. Her er vinkel A ret, da
vinkel AEB spænder over en halvcirkel. Vinkel D er også ret og
desuden er vinkel B fælles for vinkel ADB og vinkel BAE. Og da de
to trekanter har disse vinkler tilfælles, må der også gælde at
. Altså er de to trekanter ensvinklede. Bruger nu følgende
sætning gældende for ensvinklede trekanter:
35
Sætning 2: Hvis trekanterne
er ensvinklede, så
gælder der at: Ensliggende sider er proportionale, det vil sige:
Dermed overfører jeg trekanterne til fig.3 til ensvinklede og får
dermed:
Og isolerer dermed
, som fremgår i fig.2 til højre:
I den sidste omskrivning til
er
positiv, på trods af reglen skrevet over det sidste
dobbeltspil, da det er en længde og disse kun opfattes som positive værdier, altså er der her tale om den
numeriske af AB, da den er længde, som endvidere også omskrives på følgende måde:
(2)
32
Torben Svenden Bogen om side 16.
33
Beviset bygger pa: http://www.matematiksider.dk/pi_archimedes.html den. 12.12.09 og Torben Svenden Bogen om side 16
34
Torben Svenden Bogen om side 16
35
Torben Svenden Bogen om side 17
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
11 | S i d e
Og da BE er cirklens diameter, som kan ses på fig. 2. Nu mangles der at
beregne siden BD. Det fremgår af fig. 2 at: , fordi
Dermed bruger jeg nu Pythagoras’ sætning for udregning
af sidelængder i retvinklede trekanter:
Sætning 3: Hvis vinkel i en trekant er 90, så gælder
: Hvor a og b er kateterne, og c er hypotenusen. For at isolere OD
Bruger Pythagoras’ sætning på vinkel DOA, som ses i fig. 2 og isolerer
siden OD:
som igen er positiv værdi,
da det er længde. Og ved at sammenføje med ovenstående
ligning stykke og dermed får følgende ligning:
(3)
Herefter har jeg ligning stykket:
Nu sætter ligningerne
(2)og (3) sammen og regner videre:
Nu tager jeg kvadratroden af dette, og beviser sætningen:
Herefter vil jeg ved hjælp af følgende sætning, prøve at redegør for de
omskrevne regulære n-kanter.
36
Sætning 5: En vinkelhalveringslinje i en trekant deler den
modstående side i stykker, hvis indbyrdes forhold er lig med forholdet
mellem de sider, der danner vinklen der bliver halveret.
Som ses på vinkel ABC fig. 4. til højre, vinkelhastighedslinjen fra A
skære BC i D, dermed gælder der følgende:
(4)
En linje fra punktet C, parallel med AB tegnes. Den skæres af
forlængelsen af linjen AB i punktet E. På figuren er de fire mørkgrønt
36
Torben Svendsen Bogen om side 18.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
12 | S i d e
markerede vinkler lige store. Vinkelhalveringslinjen halverer .
Sætning 6: To linjer er parallelle netop når de ensliggende vinkler ved en skærende linje er lige store.
AD og CE på fig. 4 er jo parallelle, og da linjen AC skærer disse linjer, som AB
på fig. 5. skærer de parallelle linjer, må det gælde at de ensliggende vinkler
og ACE er lige store. Endvidere er BAD og E lige store, da AD og CE,
som nævnt ovenover, er parallelle.
Da vinkler ved grundlinjen CE er lige store, ved jeg at det også gælder
at dens sider fra grundlinjen CE er lige store. Altså er:
(5)
Det er også set at BDA og BCE er ensvinklede, fordi trekanterne har B til fælles, BAD = BAC og
DBA derfor må være lige med BCA. Jeg bruger dermed sætning 2, som siger at ensliggende sider i
ensvinklede trekanter er proportionale, hvilken jeg også før brugte til beviset for sætning 1. Kan nu om
BDA og BCE, hvori ensliggende sider er proportionale slutte at:
, og bruger dermed at
og at , der også fremgår af fig. 4. Dermed:
Som forrige nævnt er og den kan også omskrives på følgende måde:
Hermed på grundlag af sætning 6 vise følgende sætning, om de omskrevne regulære n-kanter:
Sætning 7: Lad
betegner sidelængden i den omskrevne
regulære n-kant i en cirkel med radius 1. Da gælder:
På fig. 6 er linje stykket AB sidelængden på den omskrevne
n -kant, og linje stykket DE er sidelængden på den
omskrevne 2n -kant, hvilket punktet C ligger lige midt
på. Bruger sætning 2, da OD halverer COA i COA. Med
betegnelserne på fig. 6 får jeg når jeg betragter COA:
(6)
Jeg ved OC =1, da linjen OC er cirklens radius. Linjen OA
kan beregnes vha. Pythagoras’ sætning anvendt på OCA. Hvor jeg sætter
og til
at være kateterne, og OA til at være hypotenusen. Sætter ind i Pythagoras’ sætning, og isolerer OA:
Dermed ved brug af
sætter jeg ovenstående fundet ligning ind og får:
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
13 | S i d e
De andre sider kan også meget nemt beskrives, og det følger af tegningen at de bliver følgende:
og til sidst , og dermed sætter den nu ind i regel (6):
Dermed forkorter med 0,5 på venstre side af lighedstegnet:
Jeg bruger dermed
og ganger dermed
over på højre side og isolerer
:
ø
Det gør jeg ved hjælp af:
Hermed ganger jeg med 2 både for oven og for neden i brøken, da det gælder at
, bruger dermed også
reglen
og får dermed:
Nu er sætning 6 bevist. Archimedes benyttede en 96- kant. Dette gav ham følgende vurdering af tallet
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
14 | S i d e
Viètes bestemmelse af
Den Franske matematiker Francois Viète anvendte som nævnt endnu engang Archimedes' metode med at
tilnærme cirklens omkreds med omkredsen af nogle indskrevne og omskrevne polygoner til at give en
tilnærmet værdi for . På den måde viste han, at pi ligger mellem 3,35 og 3,37. Man var
dermed i stand til at udtrykke i en formel med et uendeligt produkt. Han opstillede som nævnt følgende
udtryk til beregning af
37
:
½
½ ½
½
½ ½
½ ½
½
Viète brugt dermed også af n-kanter, men i stedet for at
beregne deres omkreds beregnede han n-kanters areal. Af
følgende formlen får vi at en cirkel med radius = 1 som har
arealet ,
. Han indskrev et kvadrat i en cirkel
medradius = 1 har arealet Kvadratets 4 vinkler halverede
han så der fremkom en 8-kant, hvis vinkler han så igen
halverede så der fremkom en 16- kant osv. Figuren til højre
illustrerer en halvcirkel med radius 1 hvor en indskrevet n-
kant er antydet, dermed også hvordan 2n- kanten
fremkommer ved opdeling af n-kanten. BA er side i en n-kant, dermed linjen CO er vinkelhalveringslinje i
vinkel BOA. Siderne AC og CB er derfor siderne i en 2n-kant. I trekant AOB er grundlinjen AO lig med 1.
Højden for B er sinDer gælder i en retvinklet trekant, at den modstående katete til en vinkel v,
divideret med hypotenusen er lig med sinus til vinkel v. Da hypotenusen i dette tilfælde er 1, er længden af
højden for B i trekant AOB lig med sinus til (2vn) Arealet af n-kanten kan udregnes som n gange arealet af
trekant AOB. Arealet af en trekant er givet ved en halv gang med højden gange med grundlinjen:
.
Dermed kan vi konstatere at Arealet af n-kanten er derfor:
Af appendiks 1, sætning16
38
. at , kan vi omskrive ovenstående formel for
(1)
På samme måde regner vi formlen for ud:
½
(2)
Herefter kan vi udregne forholdet mellem arealet af n-kanten og arealet af 2n-kanten:
Dermed får vi:
(3)
37
Torben Svendsen Bog om side 22
38
Den og de følgende appendikser henvises: Torben Svendsen Bogen om side 55-59
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
15 | S i d e
Af appendiks 1, sætning 15 påstås at:
, og ligningen kan omformuleres til
følgende ligningen:
c
. (4)
Ifølge appendiks 1, sætning 19. Er defineret ved:
(5)
Hermed får vi følgende ligning ved kombination af (4) og (5):
.
Og videre:
….
Og ved kombination af (3) og (5) får vi følgende ligning:
Og dermed kan vi bare fortsætte med at regne videre for eks. osv.:
Jo større n er, jo mere vil tilnærme sig . Derfor: Jo større n er, jo flere kvadratrødder vil nævneren
indeholde, hvorimod tæller og venstreside forbliver uændret. Nævneren i Viètes formel indeholder uendeligt
mange decimaler. Viète vidste at han ikke idémæssigt bidrog med noget nyt, men hans formel er alligevel
vigtig, da den var den først egentlige formel til beregning af
39
.
39
Kurt Bøge - Elementer af tallet p's historie side 23.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
16 | S i d e
Matematikkens generelle status og betydning i Antikken og Renæssancen
Denne del af opgaven kan gøres meget omfattende, fordi matematikkens udvikling har haft uendelig
betydning inden for mange rammer. I den følgende beskrivelse vil jeg med eksempler redegøre for dens
altafgørende betydning, for de europæiske samfunds udvikling og for det europæiske menneskes selv og
verdens forståelse.
Matematik har et fascinerende univers. For ca. 2000 f.Kr. var det ægyptere, babyloniere og grækere, der
henholdsvis byggede pyramiderne, opfandt positionstalsystemet og udviklede den abstrakte bevisførelse.
Som nævnt var det babylonierne der inddelte 1 time i 60 minutter, 1 minut i 60 sekunder
40
, og det var
grækerne, der fandt frem til forklaringer på fænomener i omverdenen, sejlede på klodens oceaner for at
udforske, handle, emigrere eller søge rigdomme
41
. Det havde ikke været muligt uden hjælp af matematikken.
Ordet matematik kommer af græsk mathema, som betyder videnskab, kundskab og af manthanein, som
betyder at lære
42
. Matematik er således opstået som en metode til at behandle tal og geometri med.
Efterhånden har matematik udviklet sig til en mere generel videnskab, som er tilgrundliggende for den
naturvidenskabelige revolution. Siden da har matematikken haft en markant udvikling, og i dag er de
matematiske metoder anerkendt som en helt afgørende forudsætning for menneskets fremskridt.
Matematik i Antikken
Det var først omkring 500 f.Kr. at grækere for alvor begyndte at betragte matematik som en logisk struktur
og som et redskab til at forstå kosmos
43
. Efter ændringer i samfundsstrukturen som skabelsen af bystaten i
Grækenland medførte betød, at der skabtes institutioner, biblioteker, strukturer og ressourcer på en måde,
som man ikke tidligere havde set i mere primitive samfund. Det betød meget for naturvidenskaben - i denne
forbindelse også matematikken. Matematikken og naturvidenskaben som vi kender den i dag, bygger på en
tradition, der altså har udspring i den antikke verden og i særdeleshed i den græske kulturkreds. Herunder er
blandt de vigtigste værker fra matematik til astronomi: De pythagoræiske læresætninger i 500-tallet f.v.t.,
Almagest (ca. 150 e.v.t.).
Aristoteles (384-322f.v.t.) skal nævnes som den første grundlægger af en lang række systematiske værker om
vidt forskellige emner såsom logik, erkendelsesteori, fysik, kosmologi, biologi, psykologi, og metafysik.
44
Euklid (ca. 325–265 f.v.t.), og Archimedes (ca. 287-212 f.v.t.) præsenterede store oversigtsværker inden for
matematikken og dens anvendelser i naturbeskrivelsen. Mange af deres værker blev grundlæggende
håndbøger og anvendt som lærebøger i undervisningen, i renæssancen og i nogle tilfælde helt frem til nyere
tid.
45
Alexander den Store (356-323 f.v.t.) udbredte den græske kultur til størstedelen af den da kendte
verden ved at erobre store landområder fra Egypten i vest til Indien i øst.
46
Selv betegnelsen ”matematik” står
oprindeligt for de emner pythagoræerne studerede, nemlig aritmetik, geometri, musik og astronomi.
47
40
Torben Svendsen Bogen om , side 10
41
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Matematik_generelt/matematik den 13.12.09
42
http://da.wikipedia.org/wiki/matematikkens_historie den 13.12.09 og 14.12.09
43
Bogen; Matematikkens horisonter side 15-20
44
Tankens magt af Hans Siggaard Jensen, Ole knudsen og Fredrik Stjernfelt. Aristoteles og lykeion i fokus Side 83
45
Tankens magt af Hans Siggaard Jensen, Ole knudsen og Fredrik Stjernfelt. Side 101
46
Tankens magt af Hans Siggaard Jensen, Ole knudsen og Fredrik Stjernfelt. Aristoteles og lykeion i fokus Side 83
47
Tankens magt af Hans Siggaard Jensen, Ole knudsen og Fredrik Stjernfelt. Alt er tal side 86
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
17 | S i d e
Mange af den antikke samling af matematiske tekster blev udarbejdet yderligere, og var nyttige helt op til
den byzantinske tid, som sandsynligvis også blev brugt til uddannelse af teknikere, fysikere. Antikkens
matematikere havde indført forskellige symboler til at udpege tal og brøker og også ansat nogle forkortelser,
og det understregede den logiske, uundgåelige aspekt af matematik, selvom disse ikke udgør et komplet sæt
af algebraiske notation, som vi bruger i dag. Idealet om idealistisk videnskab og kærlighed til viden i sig selv
var den drivende kraft bag undersøgelsen af matematik.
Matematik som overvejende form for filosofi
Vi ved meget lidt om undervisning i matematik i det antikke Grækenland. Men det ser ud til, at nogle
filosofiske skoler og bibliotek, såsom Platons Akademiet i Athen og Alexandria bibliotek spillede en
væsentlig rolle i uddannelsen af matematikere og de havde en effekt på den videnskabelige udvikling. I det
antikke Grækenland til renæssancen var matematik overvejende form for filosofi, men efter renæssancen til i
dag er matematik en naturvidenskabelig retnings sammenhørende med teknologi. De to store athenske
mestre i begyndelsen af det fjerde århundrede f.Kr., Sokrates og Platon, hver grundlagt sin egen
uddannelsesinstitution. Sokrates en skole i retorik og Platon en skole i filosofi. For dem begge var matematik
et nødvendigt redskab for åndelig og intellektuelle udvikling. Matematik var en forudsætning for at studere
filosofi og retorik. Men ifølge Aristoteles var matematik studiet af objekter i den fysiske verden.
De græske filosoffer begrundede deres argumentation på en blanding af metodiske og ideologiske
overvejelser. Spørgsmålet om, hvilken motivation der var til fremkommen af matematik, ved man ikke
rigtigt. Men som nævnt, optik og astronomi spillede en vigtig rolle, som vi i dag klassificerer som fysik, men
reelt set var det med gamle matematik, som filosofferne forudsat deres idealistiske forskning frem og de
havde valgt matematik frem for fysik eller teologi, fordi det var en mere sikker og streng disciplin, som var
både stabil og tilgængelig.
Efterhånden blev lærdommen om matematik spredt rundt. Derefter blev Alexandria det førende
lærdomscenter i den dengang kendte verden. Alexandria tog Athens plads som åndeligt centrum. Biblioteket
rummede omkring 900.000 ruller af papyrus, pergament, læder og andet materiale fra Assyrien, Grækenland,
Persien, Egypten og diverse andre lande
48
. I Alexandria grundlægges et universitet, kaldet Museet, som har
sit udgangspunkt i biblioteket af Alexandria. To af de tre største matematiker på denne tid, Euklid og
Appolonius
49
underviste på Museet. Nu blev matematik ”forståelig”, som dækkede tingene håndgribelige –
matematik blev udpegede i mekanik, astronomi, optik, filosofi, logistik osv. Kort sagt matematik havde en
meget afgørende status inden for enhver kompetence i det antikke Grækenland – trods det faktum, at
matematik var central for al videnskab.
Ved slutningen af middelalderen fik europæerne også kendskab til den arabiske algebra, trigonometri osv.,
som blev udarbejdet af islamiske lærde eller araberne og oversat til latin. Der blev oprettet mange nye
universiteter og dermed opfandt man bogtrykkunsten, som man masseproducerer bøger om matematik med.
Gennem denne udvikling øgede kendskab til matematik yderligere.
48
http://da.wikipedia.org/wiki/Biblioteket_i_Alexandria den 15.12.09
49
En græsk geometer, videnskabsmand der beskæftigede sig med geometri og astronom. Kendt for sin viden om ellipser, parabler og
hyperbler.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
18 | S i d e
Fra ca. 1500-tallet bliver perioden kaldt renæssancen, som betyder genfødsel
50
. Mange europæerne begyndte
med ny opdagelse i matematikken inden for forskellige områder som perspektivtegning, korttegning, og især
astronomi osv. og frem til 1940 var Europa så centrum for den matematiske udvikling.
Matematik og den naturvidenskabelige revolution i Renæssancen
Matematikken fik også betydning for den naturvidenskabelige revolution i 1600-tallet og fremad.
Europæiske videnskabsfolk, såsom Galilei og Newton studerede naturen, som var stort set baseret på brug af
det matematiske sprog.
Den naturvidenskabelige revolution handlede stort set om planetsystemet – den heliocentriske teori
51
. Ifølge
den græske astronom og filosof Aristoteles'(384 - 322 f. Kr.) var verdensbillede geocentrisk, der havde
jorden i midten og solen, månen og de fem kendte planeter kredsende omkring jorden i cirkelbevægelser.
Men i 1543
52
fremlagde den polske astronom Nicolous Kopernikus() et nyt bud på verdensbilledet
– nemlig det heliocentriske verdensbillede. Et verdensbillede, der fik vidtgående konsekvenser for den
efterfølgende tid – både for kirken og for videnskaben. Det afgørende ny var, at videnskaben begyndte at
benytte sig af eksperimenter til at forstå naturen. Det var ikke set før. Også matematik blev taget op
nyvurdering. Den fik indflydelse på en lang række områder som f.eks. malerkunst, arkitektur og
ingeniørvirksomhed.
Med samarbejde med den tyske fysiker Johannes Kepler (), observerede den danske astronom
Tycho Brahe () at planeterne bevæger sig rundt om solen, men dog gav de ingen forklaring på den
fysiske sammenhæng. Matematik blev endeligt brugt fuldt ud af de store naturvidenskabsmænd Galileo
Galilei () og Isaac Newton (), hvor de diskuterede og beviste deres teorier om bl.a.
mekanik (acceleration, rotation, bevægelse), gravitation
53
, planetbevægelser, elliptisk planetbevægelse og
mange andre store observationer.
I forbindelse med forståelsen af den mekaniske verden (opfindelsen af kikkert, datamaskiner etc.), blev der
udviklede nyere matematiske ideer og begreber, f.eks. Pascal og W. Schickard () opfandt de første
mekaniske regnemaskiner. Inden for matematik, var den analytiske geometri, differentialregning og
integralregningen, teorier for løsning af ligninger, sandsynlighedsregning osv., der havde sine centrale
statusser. Mange matematikere fandt metoder til at bestemme arealer, rumfang af flere figurer, f.eks. F.
Viètes arbejde i bestemmelse af tallet pi, som har haft en helt afgørende forudsætning for både menneskets
og matematikkens fremskridt. Det at lære matematik blev en hobby for de fleste matematikker. Disse
matematikere blev oftest ansat i de betydningsbærende videnskabsakademier, f.eks. i Paris, Berlin, for at
undervise i avanceret matematik.
Efterhånden blev der udviklet nye begreber samt mere moderne fremstillinger af matematik. Mange konkrete
problemer blev løst vha. af matematiske ideer, som medførte stigende krav om specialisering inden for disse
områder.
50
http://www.dtu.dk/upload/institutter/imm/nyheder/matematiskehorisonter_low.pdf den. 14.12.09
51
Heliocentrisk teori går ud på det heliocentriske verdensbillede, der placerer solen i centrum af solsystemet og universet, som f.eks.
gjorde det nemt at forklare, hvorfor planeterne Merkur og Venus altid befandt sig i nærheden af solen på himlen.
52
http://da.wikipedia.org/wiki/Verdensbillede
53
Gravitation: Tiltrækningskraften mellem to legemer er proportional med produktet af deres masser og reciprokt med kvadratet på
deres indbyrdes afstand.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
19 | S i d e
Matematik i dag
Matematik i dag ses som det centrale element for alt hvad verden rummer. Matematik har imidlertid langt
større og mere omfattende betydning i den højteknologiske udvikling. Matematiske forskningen har specielt
været fantastisk enormt inden for de nyeste forbedringer af avanceret astronomi, bedre kommunikation,
computervidenskab osv. Faktisk er matematik til stede overalt i vores hverdag – bl.a. vores
fødevareproduktion, sundhedssektor, uddannelsessystem, transport og energiforsyning osv. Disse redskaber
ville ikke have eksisteret, hvis der ikke eksisteret matematik. Matematikkens gør livet lettere for den enkeltes
hverdag. I uddannelsessystem opfattes matematik i dag som et grundlæggende almendannende fag, fordi
faget optræner evnen til at tænke logisk og til at bevæge sig fra konkrete eksempler til en abstrakt og mere
almen forståelse.
Konklusion
Der er ingen tvivl om at tallet pi er det tal, der har fascineret mennesket mest gennem tiderne. Der er noget
mystisk over tallet pi, og deri noget der appellerer til os alle. Vi har beregnet værdier af i mindst 4000 år,
og vi fortsætter. Det har fascineret i en sådan grad, at enkelte har dedikeret hele deres liv til at beregne pi
med så mange decimaler som muligt, og man har nu beregnet over 1000 trillioner decimaler ved hjælp af
moderne teknologi.
Archimedes beregnede den numerisk værdi af pi ved at studere en cirkel sammen med omkredsen af cirklens
indskrevne og omskrevne 96-kanter. F. Viète brugt dermed også n-kanter, men i stedet for at beregne deres
omkreds beregnede han n-kanters areal. Siden er der mange metoder kommet til.
Formlerne til beregning af tallet pi er mange, og dermed også redegjort, hvor forskellige de er i brug. Mange
er betaget af tallet pi også ikke-matematikere. Dermed har tallet pi formået noget, som kun få andre tal. Det
er gået udenfor matematikkens verden. Folk verden rundt fascineres af tallet pi bl.a. fordi, det er et uendeligt
tal. Ligesom vi ikke kan fatte, at universet er uendeligt stort, kan vi ikke forstå, at tallet 's decimaler
fortsætter i det uendelige. Det er i menneskets natur, at når noget ikke kan forklares, når noget går uden for
vores menneskelige erfaringer og fatteevne i en verden, går vi efter det for at finde det endelig svar.
Det ser ud til, at vil vedblive et mysterium, og derfor er vi fortsat fascineret af tallet. Jeg kan konkludere, at
π er et meget nyttigt tal, fordi uden fascination og arbejdet med , ville vi være langt bag ud teknologisk
inden for byggeri, geometri, matematik osv. Dermed har jeg også forsøgt at vise at matematik ude over at
have en historisk betydning også har en samfunds og bevidstheds betydning for os alle. Og med den
teknologiske udvikling som er et produkt af pi, ville matematikken betydning uundgåeligt blive endnu større
i fremtiden.
Afleveringsdato:
HTX- Vibenhus Studieretningsprojekt
Mastoora Hassan 3.x Bestemmelse af tallet
20 | S i d e
Litteraturlister / Kildehenvisninger
Bøger, som jeg har anvendt i forbindelse med projektet:
- Lindhardt & Ringhof, Tankens Magt (Vestens Idéhistorie) 1.udgave. København. (Et selskab i
Bonnier Forlagene A/S 2006)
- Svendsen, Torben. Bogen om π. 1.udgave, Herning (Forlaget Systime a/s, 1992)
- Bomann, Gunnar. Matematik, Gads fagleksikon. Bianco Lunos Bogtrykkeri a/s, København.(G∙ E∙C
Gads Forlag 1979)
- Carstensen, Jesper og Frandsen, Jesper. Mat 1. 1.udgave, 1.oplag. Nørhaven a/s, Viborg, 1997.
(Forlaget Systime)
- DTU. Professor Vagn Lundsgaard Matematikkens Horisonter. Svendbogtryk.
- Sjoberg, Boris, Historien om π, Normat, dansk matematisk forening. 1998,
- Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. A History of Mathematics, Second Edition. 1989, published in
Canada.
- Boge, Kurt, Elementer af tallet π´s historie. 1. udgave, 1.oplag, 1991. Jelling bogtrykkeri a/s
(forlaget ABACUS, 1991).
- Rantzau, Paul. Alle tiders tal – Regnekunstens hvem, hvad, hvor. 1.udgave. (Politikkens forlag,
København, 1972).
- Tiedemann, Anker. Tallenes Magi. 1.udgave, 1.oplag. (forlaget Høst og Søn, 1998)
- Kompendium: Idéhistorie – Antikken-2009/2010
- Kompendium: Idéhistorie – Middelalderen og Renæssancen – 2009/2010
Internethjemmesider, som jeg har benyttet til at søge informationer (notation ved fodnoter; hvornår jeg sidst
har været ind i disse hjemmesider):
- http://en.wikipedia.org/wiki
- http://lis.dam.beck.person.emu.dk/mathist.htm
- http://www.afl.hitos.no/mahist/geometri/pi.gif
- www.matematiksider.dk/pi/html
- http://www.denstoredanske.dk/
- http://da.wikipedia.org/wiki/matematikkens_historie
- http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Clausen.html
- http://www.matematiksider.dk/pi.html#raekker
- www.en.wikipedia.org/wiki/Yasumasa_Kanada
- www.en.wikipedia.org/wiki/Yasumasa_Kanada
- http://da.wikipedia.org/wiki/pi_tal
- http://www.matematiksider.dk/pi_archimedes.html