STX 3.g
Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 2 af 29
Abstract
This paper examines the scientific development during the renaissance, which the scientist Galileo
Galilei had a lot of influence on. By means of historical books this paper accounts for the
development as well as Galileis role in the conflict with the church, which arose in connection with
his new theories about among other things the world system and mechanics. This conflict and
Galileis thoughts about the new heliocentric world view will be analyzed by means of Galileis own
famous works, “Dialogue” and “Two New Sciences”, of which “Dialogue”, because of among other
things scorn of the believers in the geocentric world view, made the climax of the conflict. Galileis
theories about motion, which “Two New Sciences” deals with, did also scandalize the church,
because Galilei thus rejected the Greek philosopher Aristoteles’ theories, which the church believed
in. One of Galileis new theories of motion deals with the projectile motion, which will be gone
through by means of geometry like he himself does it in his work. With his empirical view on
science Galilei founded the modern science, which we know today, and his importance in
connection with the projectile motion, the belonging math and the heliocentric view will be
evaluated through books and the knowledge from the review, the analysis and the mathematical
treatment. The basic math of the projectile motion, which Galilei created as well, we have gone on
working on, why we today have even more knowledge of the topic. Galileis knowledge of this
projectile motion will be compared to the modern knowledge of the topic and the formulas, which
we today use in that connection. Finally a task about calculating the altitude and the amplitude for a
given angle will be solved in two different ways, which both are connected to Galilei.
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 3 af 29
Indhold
Abstract ................................................................................................................................................ 2
Indledning ............................................................................................................................................ 4
Den moderne naturvidenskab fødes ..................................................................................................... 4
Reformation og modreformation ................................................................................................. 4
En moderne videnskabsmand ....................................................................................................... 5
Et nyt verdensbillede .................................................................................................................... 6
I konflikt med kirken.................................................................................................................... 6
Et kig ind i Galileis tanker ................................................................................................................... 7
Fattig på forklaringer ................................................................................................................... 7
Et empirisk verdensbillede ........................................................................................................... 8
En ny måde at bryde igennem på ................................................................................................. 8
Et provokerende værk .................................................................................................................. 9
Et miks af religion og videnskab................................................................................................ 10
Projektilbevægelsen – en ny matematik ............................................................................................. 11
Med faldlovene som grundlag .................................................................................................... 11
Parablen som keglesnit............................................................................................................... 12
Projektilbevægelsen som parabel ............................................................................................... 15
Galilei – en betydningsfuld videnskabsmand .................................................................................... 18
Et effektivere krigsvåben ........................................................................................................... 18
Naturvidenskab for alle .............................................................................................................. 18
En uvurderlig videnskab i dag ................................................................................................... 19
Projektilbevægelsen i nutiden ............................................................................................................ 20
Moderne beregning af projektilbevægelser ................................................................................ 20
Projektilbevægelse med luftmodstand ....................................................................................... 21
Opgave ............................................................................................................................................... 23
Konklusion ......................................................................................................................................... 26
Litteraturliste ...................................................................................................................................... 27
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 4 af 29
Indledning
I det nordlige Italien opstod i 1300-tallet den historiske periode kaldet renæssancen. Nu søgte man
bl.a. tilbage til den gamle, græske kultur, og de græske filosoffers teorier om naturen, kaldet
naturfilosofi, fungerede som den naturvidenskab, vi kender i dag. Især filosoffen Aristoteles (ca.
384 f.Kr. – 322 f.Kr.) havde stor autoritet i denne tid, idet hans lære stemte godt overens med den
katolske kirkes tankegang, som på denne tid stadig havde en vældig magt i bl.a. Italien, og havde
man indvendinger mod Aristoteles’ lære, fik man problemer. Og det fik matematiker, fysiker og
astronom Galileo Galilei () gennem sine nye videnskabelige teorier. Men hvordan
hænger den naturvidenskabelige udvikling i renæssancens Europa sammen med Galileis konflikt
med kirken? Dette vil der blive redegjort for, ligesom grundtankerne bag Galileis verdensbillede,
som stred imod Aristoteles’ lære, og hans opgør med kirken vil blive analyseret med særlig brug af
Galileis værk ”Dialogue Concerning the Two Chief World Systems”, som der også vil blive set
kritisk på. Derudover vil Galileis brug af parablen ifm. projektilbevægelsen matematisk blive
gennemgået, hvorefter Galileis betydning for denne matematik og generelt for det
naturvidenskabelige verdensbillede vil blive vurderet. Derudover vil der blive perspektiveret til
nutidig viden om projektilbevægelser, og til slut vil en tilhørende opgave omhandlende denne
bevægelse blive løst vha. Galileis tabel samt hans regnemetoder.
1
Den moderne naturvidenskab fødes
Den moderne naturvidenskab fik sit endelige gennembrud i 1600-tallets Europa, godt hjulpet på vej
af Galileo Galilei, der, som noget nyt havde et kvantitativt syn på naturen: Han eksperimenterede
for at eftervise teorier, og analyserede dem matematisk. På denne måde kom han frem til nye teorier
om projektilbevægelsen og verdensbilledet, og med 1500-tallets bogtrykkerkunstopfindelse havde
Galilei en unik mulighed for offentligt med mange tilhørere at stå frem med sine nye teorier, hvilke
dog stak imod Aristoteles’ tankegang, som den magtfulde kirke i Italien støttede fuldt ud.
2
Reformation og modreformation
Aristoteles havde i mere end 1800 år haft stor betydning for videnskaben, og havde det stadig i
renæssancen. Han havde teorier om næsten alt, og han mente at Jorden lå i universets centrum
omgivet af et perfekt himmelrum. Dette geocentriske verdensbillede passede godt ind i den katolske
1
Ellegaard 2013 og Parker 1992, s. 5
2
Thiedecke 2005, s. 189 og McTavish 1991, s. 13
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 5 af 29
kirkes tankegang, hvorfor kirken tog denne og andre aristoteliske teorier til sig, og tilmed tilpassede
dem til deres egen lære. Gik man, ligesom Galilei, imod Aristoteles’ lære, fik man derfor problemer
med den katolske kirke, som, i modsætning til i Nordeuropa, stadig havde stor magt i Italien.
At kirken ikke brød sig om nye videnskabelige teorier skyldtes dens konflikt med den protestantiske
kirke. Konflikten tog for alvor fat, da tyske Martin Luther () i starten af 1500-tallet
startede et opgør mod den katolske kirke, kaldet reformationen, hvilket førte til, at den nordlige del
af Europa blev protestantisk, mens den sydligere del forblev katolsk. Den katolske kirke reagerede
herpå, og modreformationen startede. Den katolske kirke indrømmede flere af de ting, den var
beskyldt for, men den ville stadig kæmpe for at få sin magt tilbage, hvilket gik ud over videnskaben,
som den holdt nøje øje med, for den havde ikke råd til, at folk begyndte at tvivle på deres lære. Hvis
nogen på nogen måde gik imod Aristoteles’ og kirkens ord, blev de anset som kættere, som kunne
ende på bålet.
3
En moderne videnskabsmand
I 1564 fødtes i Italien en dreng, Galilei, som senere skulle vise sig at blive en af den moderne
videnskabs største personligheder. Som ung studerede han medicin, men snart blev han fanget af
andre fagområder, fysik og matematik, hvor han havde mulighed for selv at foretage forsøg, og ikke
blot skulle lytte til en underviser. Han afbrød sit studie og begyndte at undervise på et akademi i
Firenze, og blev også senere professor. Samtidig eksperimenterede han lystigt for at undersøge
diverse teorier omkring naturen, hvormed han brød den ellers anerkendte naturfilosofiske
arbejdsmetode. Ingen havde nogensinde overvejet at lave forsøg for at undersøge, om filosoffernes
teorier var sande, men det gjorde Galilei, og hans forsøg viste ofte, at Aristoteles tog fejl, hvilket
mange lærde ikke brød sig om, da de mente, at ingen kunne tillade sig at være så fræk at modsige de
gamle, græske ”sandhedssigersker”. Selvom Galilei beviste overfor en større skare af tilskuere, at to
kugler af forskellig masse ramte Jorden samtidig, og ikke forskelligt, som man ifølge Aristoteles’
lære antog, ville de færreste godtage hans teori, og mange kaldte det svindel og upassende for en
professor at lege med kugler. Det var altså alt andet end nemt for en moderne videnskabsmand som
Galilei at bryde igennem med nye teorier, når ingen accepterede dem. Italien var delt i forskellige
uafhængige bystater, og i 1592 rejste Galilei fra Pisa til Padova, hvor han kunne ytre sig mere frit.
4
3
Parker 1992, s. 5 og Lauber 1991, s. 12+15+23 og Bertelsen 2008, s. 6 og McTavish 1991, s. 11 og Jørgensen 2008, s.
88-90 og Thiedecke 2005, s. 40
4
Parker 1992, s. 8-11 og Lauber 1991, s. 30+33+42-43 og Jørgensen 2008, s. 94 og Meadows 1988 s. 29
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 6 af 29
Et nyt verdensbillede
Ud over mekanik interesserede også universet Galilei, og da han første gang hørte om kikkerten,
blev han så optaget af astronomien, at mekanikken blev tilsidesat flere år frem. Med sin
selvkonstruerede kikkert studerede han himmellegemerne, og gjorde adskillelige nye observationer,
han så bl.a. flere tegn på, at Jorden ikke var i centrum. Da han ca. år 1597 læste et værk af den
polske astronom Nikolaus Kopernikus omhandlende et verdensbillede, hvor Solen og ikke Jorden
var i centrum, så han, at Kopernikus’ teorier stemte overens med hans egne observationer. Endelig
havde han fundet en, som delte hans tanker og teorier. Kopernikus var dog allerede død, så i stedet
begyndte Galilei at udveksle private breve med astronom og matematiker Johannes Kepler, som
havde udgivet Kopernikus’ værk, og som også var af samme overbevisning som Galilei. Galileis
teorier betød, at det geocentriske verdensbillede måtte forkastes, hvilket, ligesom Galileis mekanik,
vakte voldsom debat blandt bl.a. andre professorer. I 1611 tog Galilei dog mod til sig, og fremviste i
Rom sin kikkert for videnskabsmænd og sågar også folk fra kirken. Det var noget nyt at anvende
kikkerter til astronomiske formål, idet de ellers hovedsageligt blev brugt i militære sammenhænge,
og for en gangs skyld fik Galilei ros for sin stærke kikkert.
5
I konflikt med kirken
Selvom Galileis kikkert blev rost, havde han dog stadig mest modgang, og i 1616 fik han forbud om
nogensinde at ytre sig om det heliocentriske verdensbillede igen. Til Galileis fordel blev hans ven
Maffeo Barberini under navnet Urban VIII imidlertid den nye pave, og Galilei fik atter lov til at
udgive bøger om det nye verdenssystem på betingelse af, at han skrev neutralt om det og det
geocentriske verdensbillede. Dette førte i 1632 til udgivelsen af et af Galileis storværker, som under
engelsk titel hedder ”Dialogue concerning the Two Chief World Systems” (vil efterfølgende blot
kaldes ”Dialogue”), og for en gangs skyld var både kirken, filosoffer og videnskabsmænd over hele
Europa tilfredse med et af Galileis værker. Det varede dog ikke længe, for snart blev der opdaget, at
bogen slet ikke var så neutral som påkrævet. Til gengæld var Galilei blevet langt mere dristig end
tidligere. Værket var skrevet som en dialog mellem tre personer – Simplicio, Salviati og Sagredo –
hvor Salviati var den heliocentriske tilhænger, som gang på gang vandt diskussionerne, og som ofte
gjorde grin af den tåbefremstillede Simplicio, som var tilhænger af det geocentriske verdensbillede.
Segredo skulle fungere som den neutrale person i dialogen, men gav alligevel ofte udtryk for, at
Simplicios argumenter ikke gav megen mening. Galilei havde altså ikke skrevet så velafbalanceret,
5
Parker 1992, s. 12+17 og Bertelsen 2008, s. 12 og Lauber 1991, s. 61
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 7 af 29
som krævet, og det skabte oprør blandt Galileis modstandere. I 1633 kom Galilei for domstolen, og
for at redde sit eget liv, måtte han erkende, at han var gået for vidt. Samtlige af hans bøger blev
forbudte, og alle eksemplarer af ”Dialogue” skulle tilintetgøres. Galilei fik en dom, som lød på
fængsel på livstid. Galileis fængselsdom var så hård, som den kunne blive, men snart ændrede
paven dommen til blot at fungere som livsvarig husarrest, og Galilei kunne vende hjemad. Nu
fokuserede han igen mere på mekanik, hvilket endte ud i et sidste storværk: ”The Discourses and
Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences” (benævnes efterfølgende med ”Two
New Sciences”). I dette værk samlede han alle sine eksperimenter omhandlende bl.a. det frie fald og
projektilbevægelsen. På trods af at han havde forbud mod at udgive bøger, lykkedes det ham at få
smuglet værket til det protestantiske Holland, hvor det blev trykt af Louis Elzevir i 1638. På denne
måde formåede Galilei alligevel at bringe den nye viden om fysik og matematik ud i verden.
6
Et kig ind i Galileis tanker
Med sine mange nye teorier, som stak imod Aristoteles’ lære, var Galilei i sin samtid en upopulær
mand blandt mange personer, som gjorde det vanskeligt for ham at bryde igennem med sin nye
viden. Alligevel stod Galilei fast ved sine klare holdninger om, hvordan naturvidenskab skulle
fungere, og hvilke teorier omhandlende naturen og universet der var sande, og hvilke der var falske.
Med sine beviser og observationer ville Galilei overbevise verden om, at hans teorier var de sande,
men i et forsøg på at styrke sin magt, blandede kirken sig i Galileis arbejde, for en forkastelse af
Aristoteles’ lære, var, ifølge kirken, en forkastelse af kirkens lære.
Fattig på forklaringer
Allerede da Galilei i sine unge dage studerede medicin, ønskede han forklaringer og beviser på, at
de teorier, han blev undervist i, var sande. Han ønskede bedre forklaringer end blot et ”sådan er det,
fordi Aristoteles sagde det.”. Én af de ting, som han bestemt ikke brød sig om ved naturfilosofien
var, at man ikke efterviste filosoffernes teorier, men blot antog, at de var sande, fordi filosofferne
havde sagt det.
Galileis holdning til bevisføring kommer tydeligt til udtryk i hans to værker
”Dialogue” og ”Two New Sciences”. At han gjorde meget ud af sine eksperimenter, ses tydeligt:
“We repeated this experiment more than once in order to measure the time with an accuracy such
that the deviation between two observations never exceeded one-tenth of a pulse-beat”. (Galilei,
Galileo. The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences, s. 179).
6
Parker 1992, s. 20-23 og Meadows 1988, s. 48 og McTavish 1991, s. 33 og Lauber 1991s s. 86
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 8 af 29
Salviati, som siger dette i værket, træder netop i Galileis sted, og skal indirekte give udtryk for
Galileis holdninger og tanker. Ligeledes gør han meget ud af at beskrive, hvorledes forsøgene blev
udført, højst sandsynlig af den årsag, at læseren skulle overbevises på samme måde, som Galilei
selv blev det – gennem eksperimentelle beviser.
7
Et empirisk verdensbillede
Gennem sine eksperimenter og observationer kom Galilei frem til et verdensbillede, som stemte
overens med Kopernikus’ teorier. Med sin kikkert kunne han bevise, at Jorden roterer, og at
himmellegemerne ikke er så perfekte, som ellers antaget. At han så stædigt blev ved med at prøve at
slå igennem med sine teorier på trods af fjender og trusler, viser hans selvsikkerhed og fuldstændige
overbevisning om, at det heliocentriske verdensbillede var det korrekte, og I ”Two New Sciences”
roser han ligefrem sig selv for sine opdagelser. Galilei var god til at argumentere, og han havde
ligeledes sat sig ind i Aristoteles’ lære, hvorfor han kunne bruge Aristoteles’ egne ord til sin fordel.
Aristoteles sagde f.eks., at såfremt der var bestemte faser om Venus, ville Venus bevægede sig om
Solen, og derfor ikke om Jorden, men at dette ikke var tilfældet. Med sin kikkert beviste Galilei til
gengæld, at Venus virkelig havde disse faser, men at de bare ikke kunne ses med det blotte øje. På
denne måde kunne Galilei bruge Aristoteles’ eget argument til at bekræfte, at Kopernikus havde ret.
8
En ny måde at bryde igennem på
Galilei vidste, at hans tro på det heliocentriske verdensbillede kunne give ham problemer, så derfor
undgik han den, når han underviste. I stedet støttede han Kopernikus’ teori skriftligt, først forsigtig,
men efterhånden med større drist. Umiddelbart er det ikke til at sige, hvor megen umage Galilei
gjorde sig med at holde løftet om at skrive et neutralt værk, men allerede i indledningen til
”Dialogue” bryder Galileis virkelige holdninger igennem. Her står, at han skrev bogen for at stå
frem med sine teorier om verdensbilledet med hele verden ”as a witness of the sober truth” (Galilei,
Galileo. ”Dialogue Concerning the Two Chief World Systems, s. 1), som han selv udtrykker det.
Dette gjorde han pga. uvidende personer, som ikke troede på, at Jorden roterer. I et brev til Kepler
gør han ligeledes udtryk for sin holdning til det, at andre professorer, videnskabsmænd m.m. blot
lukkede øjnene for de nye teorier, og, ifølge Galilei, opførte sig uforskammet. I brevet skriver han
ligeledes, at han ville ønske, at han sammen med Kepler kunne grine ad disse uvidende mennesker.
7
Galilei 1638, s. 178 og Lauber 1991, s. 26
8
Bertelsen 2008, s. 58 og Lauber 1991, s. 83
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 9 af 29
Da de to mænd havde samme holdninger, kunne Galilei i brevet ytre sig frit, hvorfor man må
antage, at det, der står skrevet i brevet, er Galileis virkelige tanker og meninger. Samme holdninger
kommer til udtryk i hans to storværker, hvorfor der også må antages, at det, som står i disse værker,
også er Galileis virkelige holdninger og tanker, og at han ikke har ladet sig holde tilbage som før,
men i sandhed har været dristig.
Galilei henvendte sig nu ikke kun til lærde personer, men ville også
overbevise den øvrige befolkning, hvorfor han måtte skrive letforståeligt og ligeledes på italiensk,
så selv almindelige håndværkere, som dog kunne læse, kunne være med. Om Galileis personlige liv
ved historikere en del fra bl.a. en række breve skrevet til Galilei fra en datter. Der vides bl.a., at han
både læste og skrev skuespil. Hans evne til at skrive ses i begge storværker, som begge var
bestsellers. Ud over at skabe underholdning og letforståelighed ses der også tydeligt, bl.a. ved
citatet omhandlende Galileis brug af eksperimenter, hvorledes han gennem fiktive personer
indirekte får ytret sine tanker omkring bl.a. verdensbillede, hvorved han håbede på at kunne styre
udenom en konflikt med kirken. Taktikken virkede dog ikke, og Galilei kom, som sagt, for
inkvisitionen.
9
Et provokerende værk
Selvom Galilei kom i stor konflikt med kirken efter ”Dialogue”, var dette, ifølge troværdige bøger
imod Aristoteles og kirken, men hans forsøg, som han stolede fuldstændigt på, viste ham i en anden
retning, som han ikke kunne ignorere. I sine storværker langer han heller ikke ud efter kirken og
Aristoteles, men den hårde tone generelt mod de geocentriske tilhængere er nu engang til stede. I
”Dialogues” indledning benævner han dem, som hævder, at Jorden ikke roterer, som uforskammede
folk uden nogen form for astronomiske færdigheder. Galilei gik meget ind for en fri videnskab,
hvilket bl.a. ses i hans brev til hertuginde Christina fra 1615, og han kunne ikke acceptere, at hans
modstandere blandt geocentriske tilhængere ikke tillod dette, og ikke ville acceptere hans teorier på
trods af beviser. Flere ville ikke engang selv se beviserne ved at kigge i kikkerten, men afviste blot
blankt Galileis hypoteser. Gennem historiebøger får man ofte fortalt, at kirken selv, som, pga.
trangen til magt, blandede sig, og skabte hele postyret. Men Galilei selv var også provokerende.
Simplicio, som repræsenterer de geocentriske tilhængere, blev nemlig fremstillet som en tåbe, og
selvom det i ”Two New Sciences” skulle være blevet mildnet, fremstilles han også her som en type,
der ifm. videnskab er temmelig uvidende og forvirret. ”Gentlemen, please give me a chance to
9
Jørgensen 2008, s. 104 og Bertelsen 2008, s. 12 og Galilei ”Brev til Kepler” 1623 og Lauber 1991, s. 74
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 10 af 29
restore harmony to my mind, which I now find very much upset by certain matters which Salviati
has just touched upon.” (Galilei, Galileo. The Discourses and Mathematical Demonstrations
Relating to Two New Sciences, s. 50) siger Simplicio, som Galilei altså hånede andre geocentriske
tilhængere igennem. Igennem Salviati siger han også om en bestemt filosof og matematiker, som
troede på det geocentriske verdensbillede, at hans beregninger er ringe, at hans mave ligefrem i
samme forbindelse vender sig ved tanken. Herudfra får man altså også en forståelse for, hvorfor
kirken og andre geocentriske tilhængere blev så forargede over ”Dialogue”.
10
Et miks af religion og videnskab
Udover Galileis hårde tone mod de geocentriske tilhængere var hans tilbøjelighed til at blande
religion ind i sine videnskabelige tanker og teorier, ifølge historikere, også medårsag til, at kirkens
blod kom i kog. Selvom han ønskede at undgå en konflikt med kirken, lagde han herved på en måde
alligevel op til, at kirken skulle blande sig. Et berømt citat fra Galilei siger, at Guds natur er skrevet
i matematikkens sprog, og også i indledningen til ”Dialogue” skriver han, at værket ikke skulle
være det rene matematik, men at der også skulle være plads til bl.a. religiøse tanker. I 1615 skrev
Galilei et brev omhandlende brugen af bibelcitater i naturvidenskabelige sammenhænge. Brevet
havde bl.a. til hensigt at forklare kirkens folk, at astronomien ikke burde gøres til et
religionsspørgsmål, men i stedet beskyldte kirken Galilei for at prøve at belære dem om, hvorledes
Biblen skulle fortolkes. Alligevel valgte Galilei at blande religion og videnskab sammen i sit værk,
evt. med samme hensigt som med brevet – at overbevise om, at han ikke var imod Gud og det
religiøse, men at det heliocentriske verdensbillede var en del af Guds værk. Hermed ansås Galileis
heliocentriske overbevisning som værende imod kirkens fortolkning af Biblen, som sagde, at Jorden
er ubevægelig. ”Ja, Jorden står fast, den rokkes ikke” siger salme 93 i Biblen om sammenligning af
Guds styrke og Jorden, hvilket flere geocentriske tilhængere tog bogstaveligt. Ligeledes mente man,
at Jorden var en guddommelig skabning, som man ikke skulle eksperimentere med, sådan som
Galilei gjorde det. Ved at påstå, at Solen og Månen er plettede, beskyldte man Galileis astronomi
for at være fornærmende over for engelens bolig, som ellers ansås som værende perfekt, hvorfor
håbet om et liv efter døden i Paradis også blev formindsket.
11
10
Bertelsen 2008, s. 44-45+47+53 og Galilei 1632, s. 44 og Parker 1992, s. 19
11
Meadows 1988, s. 44-45 og Poole 1994, s. 15+28+90+92 og Bibelselskabet.dk og Friedell 1977, s. 350+353 og
Parker 1992, s. 19 og Galilei 1632, s. 1-2 og Bertelsen 2008, s. 91
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 11 af 29
Projektilbevægelsen – en ny matematik
Galilei satte skub i en helt ny, revolutionerende videnskab, hvor matematikken, ifølge Galilei, var
naturens sprog, hvilket også tydeligt ses i hans brug af matematikken til beskrivelse af
verdensbilledet, naturen og dens love. Især ses hans brug af matematik ifm. bevægelseslæren, og
han grundlagde eksempelvis ballistikken, som er læren om projektilers bevægelse. Affyres en
kanonkugle, vil den pga. resultatet af en fremadrettet, horisontal kraft og en naturlig, vertikal kraft
følge en bane, som starter ud med at være lineær og slutter i et lodret fald. Sådan lød Aristoteles’
teori omhandlende projektilbevægelser. Ligesom hans geocentriske verdensbillede var denne
projektilbevægelsesteori den gyldige antagelse omkring sådanne bevægelser på denne tid, men også
dette skulle Galilei vise sig at ændre. Som mange andre teorier var det ifm. et forsøg, denne gang
med en kugle og et skråplan, at Galilei fik øjnene op for, at projektiler i virkeligheden bevæger sig i
en anden form for bane, end den, Aristoteles havde fremsat.
12
Med faldlovene som grundlag
”Two New Sciences” er delt op i fire dage, hvoraf fjerdedagen omhandler projektilbevægelsen, som
vi særligt vil fokusere på. For forståelse af denne bevægelse vidste Galilei dog, at det var
nødvendigt først at se på det frie fald, som han behandler på tredjedagen, idet projektilbevægelser
netop er en kombination af en horisontal bevægelse og vertikal bevægelse, som finder sted ved frit
fald. Vha. forsøg fandt Galilei frem til, at accelerationen ved frit fald for alle genstande uanset
masse er 982 cm. pr. sekund, som netop er tyngdeaccelerationen i denne del af verden, hvilket
betyder, at alle genstande falder med samme hastighed uanset masse. Denne teori kender vi som
Galileis 1. faldlov, som i et nutidigt matematiksprog kan opskrives som en lineær funktion med
hastigheden (v), tiden (t) og tyngdeaccelerationen (hældningskoefficienten) (g):
Galileis 2. lov beskriver ikke sammenhængen mellem tid og hastighed men sammenhængen mellem
tid og strækning. Denne lov siger, at den strækning, hvormed et legeme falder, er proportional med
kvadratet på tiden. Der ses, at sammenhængen udgør en parabel, og kan med moderne matematik
opskrives som følgende:
13
12
McTavish 1991, s. 39 og Grøn 2012, s. 58 og Bertelsen 2008, s. 6 og Meadows 1988, s. 34
13
Brydensholt 2012, s. 274-275+468-469 og Grøn 2012, s. 59 og Lauber 1991, s. 40+48 og Bertelsen 2008, s. 19
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 12 af 29
Parablen som keglesnit
Ligesom det frie fald må den generelle parabel også gennemgås, inden arbejdet specifikt med
projektilbevægelsen begynder. For at komme frem til projektilbevægelsen som en parabel, gjorde
Galilei brug af sin viden omkring parabler som keglesnit, som han kendte fra Apollonius (ca. 262
f.Kr. – 190 f.Kr.), der var græsk matematiker. Galilei gør meget ud af at beskrive parablen som
keglesnit, idet Simplicio kun har en ringe forståelse for de mange ukendte begreber. På
universiteterne i renæssancens Italien var den mest udbredte matematik den græske geometri, hvor
man anvendte græske Euklids ”Elementerne”, som er en matematisk lærebog, der netop benytter sig
af geometrien, hvilket Galilei på samme måde også gør det.
14
De forskellige punkter og længder på de kommende figurer er benævnt med bogstaver. Der skal dog
gøres opmærksom på, at bogstaverne ikke angiver tilsvarende ting på alle figurer. Ligeledes skal der
gøres opmærksom på, at en linje mellem to punkter, f.eks. AB, er identisk med linjestykket BA,
såfremt de forekommer på samme figur.
På nedenstående figur ses en symmetrisk keglestub placeret på en cirkulær bund. Bunden er kaldt
IBKC, og keglens top benævnes med ”L”. Et plan parallelt med siden LK skærer keglen, og udgør
ud fra skæringspunkterne en parabel:
Figur 1 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)
Skæringen mellem planen og bunden kaldes BC, og skæringspunktet mellem denne og diameteren
IK kaldes D. Det sidstnævnte skæringspunkt danner rette vinkler mellem BC og IK, som vist på
nedenstående skitse:
14
Bertelsen 2008, s. 34 og Thiedecke 2005, s. 13 og Bertelsen 2008, s. 40 og Galilei 1638, s. 246
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 13 af 29
Figur 2
Fra punktet A trækkes en linje til D. Nu vælges et tilfældigt punkt på parablen, som kaldes F. Fra
dette punkt trækkes en linje til AD, således at den er parallel med BC. Her rammer F linjen AD i
punktet E. Igennem punktet E går et vandret plan, som er parallelt med den cirkulære bund. Dette
plan skærer LI og LK i hhv. punktet G og punktet H.
.
Figur 3 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)
Om forholdene mellem keglebunden og planet gennem E siger Galilei, at forholdet mellem
kvadratet på BD og kvadratet på FE vil svare til samme størrelsesforhold, som gør sig gældende
mellem parablens symmetriakse AD og aksedelen AE.
Forholdet mellem det øvre og det nedre plan kan ligeledes beskrives ved at se på eksempelvis det
vandrette plan ovenfra:
Figur 4
I sin bog beviser Galilei, at en periferivinkel, der spænder over en diameter, er ret. Her spænder
periferivinklen GFH over diameteren GH, og er derfor vinkelret. Det samme gælder for
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 14 af 29
keglebunden, med diameteren IK, som danner en retvinklet trekant med periferien B. Da de to
trekanter er ensvinklede, er linjestykkerne, som danner trekanterne, proportionale.
På figur 2 sås der, at de to linjer BC og IK skærer hinanden, således at BD står vinkelret på IK.
Derfor må det gælde, skriver Galilei, at kvadratet på BD er lig med det arealet af det rektangel, som
dannes af ID og DK. Arealet af et rektangel dannet af to linjestykker beregnes ved at multiplicere de
to linjestykker. Galileis udsagn kan som ligning altså opskrives som følgende:
Denne formel kan også bestemmes på anden vis, idet der lige før blev vist, at trekanten BIK er
vinkelret. Igen bruges der, at BD står vinkelret på diameteren IK. Altså er BD mellemproportional
til både ID og DK. At BD er mellemproportional til de to linjestykker betyder, at den er lig med
kvadratroden af produktet af ID og DK:
Ved at kvadere på begge sider af lighedstegnet ophæves kvadratroden, og ligningen kommer til at
se således ud:
Denne ligning er netop identisk med den foregående ligning.
På samme måde som produktet af linjestykkerne ID og DK er lig med kvadratet på BD, er produktet
af linjestykkerne GE og EH lig med kvadratet på FE:
Også i dette tilfælde kunne teorien omkring den retvinklede trekant benyttes til bestemmelse af
ligningen.
Flere forhold beskrives: Linjestykket ED er lig med linjestykket HK, idet disse to er parallelle og
lige lange. Forbindes disse to linjer med linjerne EH og DK, opstår et parallelogram EDKH:
Figur 5 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)
Da de modstående sider i et parallelogram er parallelle og lige lange, er EH og DK altså også lig
med hinanden på samme vis som ED og HK. Derfor gælder det, at forholdet mellem rektanglet
mellem ID og DK og rektanglet mellem GE og EH svarer til forholdet mellem ID og GE, som igen
svarer til forholdet mellem DA og AE.
Før så vi, at kvadratet på BD var lig med produktet af ID og DK, ligesom kvadratet på FE var lig
med produktet af GE og EH. Derfor må forholdet mellem produktet af ID og DK og produktet af
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 15 af 29
GE og EH svare til forholdet mellem kvadratet på BD og kvadratet på FE, ligesom samtlige
førnævnte forhold, som svarer til hinanden, også må gøre det. For at gøre alt dette mere
overskueligt, stilles det op som en ligning:
Herfra kan man på enkel facon vise, hvorledes der er en tydelig sammenhæng mellem ovenstående
ligning og den parabelligning, vi i dag benytter os af:
Benytter vi os af, at følgende gælder:
kan AE isoleres, ved at DA multipliceres på begge sider af lighedstegnet, så følgende ligning fås:
Det eneste, der nu kræves, for at ovenstående ligning kan komme til at ligne den nutidige, er en
udskiftning af variablerne, således at
Indsættes y, x og a i stedet for variablerne i det udtryk, hvor AE netop er blevet isoleret, fås:
,
hvilket netop er den parabelligning, vi i dag kender og benytter os af.
15
Projektilbevægelsen som parabel
Nu er både det frie fald og den mere generelle parabel som keglesnit blevet gennemgået, og
parablen specifikt ifm. projektilbevægelsen kan nu komme på banen. Ifm. faldlovene blev der
arbejdet med legemers vertikale bevægelse, som, pga. tyngdekraften, trækker legemet mod Jorden.
Ved beskrivelsen af projektilbevægelsen opererer Galilei med en kombination af den vertikale
bevægelse og en ensartet, horisontal bevægelse. Med kanoner som et af de mest anvendte
krigsvåben var det oplagt for Galilei at arbejde med netop dette instrument. Her var tyngdekraften
15
Bertelsen 2008, s. 22 + 40-43 og Galilei 1638, s. 246-247 og Carstensen 1994, s. 215-217
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 16 af 29
og krudtet, som sendte kuglen af sted, de to kræfter, som påvirkede kanonkuglen.
For beskrivelse af projektilets bevægelse benytter Galilei nedenstående figur:
Figur 6 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)
Linjestykket CB kalder han amplituden, hvilken er halvdelen af den maksimale skudlængde. AC er
skudhøjden og EA, som han kalder ”sublimity”, er ment til bestemmelse af den horisontale
hastighed, som, i modsætning til den vertikale, kan have mange forskellige værdier. Galilei fandt ud
af, at amplituden er størst ved en vinkel på 45˚, og at vinkler, som afviger lige med fra 45˚, giver
den samme amplitude. F.eks. vil amplituden være den samme ved en elevation på 40˚ som ved 50˚.
Dette ses også i en tabel, som Galilei har udformet, hvori amplituden samt skudhøjden til enhver
elevation er opgivet. Ud over tabellen, hvor man direkte kan aflæse amplituden og skudhøjden,
udleder Galilei også en regnemetode til bestemmelse af disse. Her starter han med at forklare,
hvorledes man kan beregne amplituderne til alle parabler med samme udgangspunktshastighed. Til
dette formål benytter han følgende figur:
Figur 7 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)
Den horisontale linje BC er lige så lang som den vertikale linje BA. Tegnes diagonalen CA, vil der
dannes en trekant ABC med vinklen ACB på 45˚. D markerer midtpunktet på BA, DC er
projektilets bane for en vinkel på 45˚, DB er skudhøjden og AD er ”sublimity”. Derudover
fastsætter han den størst mulige amplitude, der som sagt forekommer ved 45˚, til værende 10.000
enheder, og da den maksimale amplitude BC er lige så lang som linjestykket BA, er også BA
10.000 enheder. Han bruger 10.000 på samme måde, som vi i moderne matematik ifm.
cirkelenheden bruger 1, som er radius i cirklen. Ved 45˚ fås amplituden for en parabel med
elevationen BCE, hvor summen af skudhøjden og ”sublimity” er distancen mellem linjestykkerne
GA og CB. Et uendeligt antal af større og mindre parabler lignende hinanden kan dog også være
med vinklen BCE. Parablen ved 45˚ er som en slags rettesnor for bestemmelse af andre
parabelbaner, derfor må der findes en parabel lignende DC, men forskellig fra denne (for DC er jo
parablen ved 45˚), men hvor summen af dens skudhøjde og ”sublimity” stadig er lig afstanden
mellem GA og BC. Denne parabel går fra C og igennem F, hvorfor dens skudhøjde bliver BF.
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 17 af 29
Forholdet mellem BO og BA vil så svare til forholdet mellem BC og CR, hvor CR så er amplituden
for parablen CF. Regneprocessen for bestemmelse af amplituden kan altså beskrives således:
Linjestykket BE for vinklen BCE bestemmes, hvilket på moderne vis kan gøres ved at tage tangens
til vinklen og multiplicere med 10.000, hvorefter halvdelen af denne tages, og tilføjes til FO, som er
mellemproportionalen til BI og BF. Herved fås linjestykket OB. Amplituden CR kan nu bestemmes
vha. følgende: OB:BA = BC:CR.
Når vi nu kan beregne amplituden til en given parabel, kan også skudhøjden bestemmes. Til dette
formål er givet en figur for forståelse af de forskellige længder (bogstaverne angiver ikke det
samme på denne som på figur 7):
Figur 8 (Grundtegning fra ”Two New Sciences”)
BC er den maksimale amplituden, og OB er summen af skudhøjden og ”sublimity” (svarer til BA
på figur 7). BF er skudhøjden, og er elevationen 45˚ vil punktet F ligge på punktet D, hvorfor BD i
dette tilfælde er skudhøjden. På figur 7 så vi nemlig, at skudhøjden for denne vinkel var halvdelen
af AB, altså halvdelen af OB på figur 8. Er elevationen over 45˚ fås skudhøjden BF ved at lægge
længden BD til længden FD, er elevationen mindre end 45˚ vil punktet F befinde sig under D,
hvorfor FD trækkes fra BD for skudhøjden BF. For at kunne bestemme FD og BD skal kvadratet på
halvdelen af OB tages. OB’s længde er altid 10.000, og da halvdelen af denne er BD, er BD altså
altid 5.000, og kvadratet på BD er altid Amplituden, som skal kendes, før skudhøjden
kan beregnes, deles i to, kvadreres og trækkes fra de Af dette resultat tages
kvadratroden, hvorfor vi så har længden FD, som afhængigt at vinkelstørrelsen enten lægges til eller
trækkes fra BD.
16
Eksempel på brug af disse regnemetoder kan ses i matematikopgaven længere inde i opgaven.
16
Galilei 1638, s. 244+283-286 og Lauber 1991, s. 52
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 18 af 29
Galilei – en betydningsfuld videnskabsmand
Faldlove, verdensbilleder og projektilbevægelser – Blot tre af mange ting, som Galilei i en tid for
omtrent 400 år siden undersøgte, beviste og fremsatte teorier om, og samtlige teorier om disse tre,
benytter vi os stadig af i dag anno 2013. Ved præcise observationer, forsøg, beregninger og logik
fornyede Galilei videnskaben til den moderne version, vi i dag kender og anvender, og samtidig
viste han, hvorledes man kunne gøre store opdagelser inden for den.
17
Et effektivere krigsvåben
Ikke kun i dag har vi nytte af Galileis geniale teorier, med projektilbevægelsen gjorde han også en
af datidens vigtige manøvrer lettere at udføre. Galilei underviste i matematik, men også store dele af
undervisningen fokuserede på militære sammenhænge. På kurser underviste han også specifikt i
brugen af matematikken bag denne bevægelse med henblik på militære sammenhænge, hvor det nu
var muligt at beregne, hvor et projektil, såsom en kanonkugle, nøjagtigt ville ramme. ”Two New
Sciences” udspiller sig ved arsenalet i Venedig, hvor man bl.a. byggede kanoner, og her fungerede
Galilei også som en form for konsulent, mens han arbejdede i Padova.
På Galileis tid blev kanonen
et af de mest anvendte krigsvåben. Kanonen i sig selv var kraftfuld og effektiv, men med den,
dengang nye, viden, som Galilei havde anført, kunne man nu også indstille sine kanoner til at
ramme et bestemt mål på en langt mere effektiv og hurtig måde, end man førhen var i stand til. En
sådan effektivisering af indstilling af kanoner kunne komme til at spille en afgørende rolle for bl.a.
et slags udfald, og kendskabet til den nye metode for beregning af projektilbevægelser, og derfor
også Galilei, fik en væsentlig betydning for militæret i datiden.
18
Naturvidenskab for alle
I renæssancens Europa var langt de fleste borgere håndværkere og landarbejdere. Ikke mange gik i
skole, hvorfor heller ikke mange kunne læse, og de få, dyre bøger, der fandtes, var også henvendt til
lærde, kirken og andre, som kunne latin. Intet sted kunne almindelige borgere med en baggrund som
eksempelvis tømrer eller pottemager derfor finde viden. I stedet måtte de tro på det, de kunne se og
antage, at de få personer, som kunne læse og skrive latin, f.eks. kirken, havde ret i de ting, de sagde.
Selvom ikke mange kunne læse, gjorde Galilei det alligevel en del nemmere for dem, som kunne
det, at få et indblik i naturvidenskaben. Med hans nye, banebrydende form for skrivemetode
behøvede man ikke længere at være lærd eller munk for at kunne læse og forstå naturvidenskab, det
17
Jørgensen 2008, s. 112
18
Bertelsen 2008, s. 11+34+58+68-69
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 19 af 29
eneste der krævedes, var, at man kunne læse et almenfatteligt skoleitaliensk. Dette kan meget
muligt have været medvirkende til, at folk nu åbnede øjnene op for og begyndte at interessere sig
for en anden form af videnskab end den, kirken og filosofferne stod inde for. Galilei var ikke
grundlæggeren af teorien om det heliocentriske verdensbillede, men han havde en stor betydning for
undersøgelsen heraf, og han sørgede for at introducere verden for det og argumentere for det
gennem beviser. Borgerne havde nu en ny mulighed for selv at danne sig tanker om
naturvidenskaben og astronomien, heriblandt det heliocentriske verdensbillede, hvorved flere
begyndte at tvivle på Aristoteles og det geocentriske verdensbillede. Galilei gjorde det også
nemmere for andre videnskabsmænd at arbejde eksperimentelt og matematisk, idet han bl.a.
udviklede forskellige matematiske instrumenter, som han også solgte. Der opstod samtidig private
laboratorier, hvor interesserede kunne mødes og lære om naturvidenskab på den moderne måde,
som universiteterne ikke tilbød. Folk havde altså, pga. Galilei, nu bedre muligheder for selv at
undersøge tingene og skabe sine egne holdninger vedrørende videnskaben og verdensbilledet.
19
En uvurderlig videnskab i dag
Galilei brød med de græskfilosofiske teorier, som holdt om videnskaben med et jerngreb, og åbnede
døren ind til den moderne videnskabelig verden, vi kender i dag. Uden den eksperimenterende,
moderne videnskab bygget på empiri, havde verden i dag måske stadig set ud som for 400 år siden,
og vi ville muligvis stadig tro på Aristoteles’ teorier omkring verdensbilledet og
projektilbevægelsen. I tiden umiddelbart efter Galilei var der ikke mange videnskabsmænd i de
kirkedominerede lande som Italien, som, pga. den store affære med Galilei, turde gøre ham efter og
tro på et heliocentrisk verdensbillede. Derfor er det et held, at Galilei som blind og svag mand
formåede at smugle sit sidste storværk til Holland, hvorfor videnskabsmænd i det nordlige Europa
havde muligheden for at arbejde videre på Galileis bevægelseslære og teorier om det heliocentriske
verdensbillede. Som Galilei selv havde håbet, startede dette værk en ny epoke, hvor videnskaben
frit kunne eksperimentere og undersøge. I stedet for at tænke sig til sandheden, skulle den nemlig
erfares. Lidt efter lidt blev et helt nyt videnskabeligt samfund opbygget, hvor videnskabsfolk kunne
dele deres resultater og nye opdagelser med hinanden, samtidig med at videnskabelige grupper,
tidsskrifter og universiteter opstod. Den naturvidenskab, vi kender i dag, var altså godt hjulpet på
vej af Galileo Galilei, og ikke uden grund kaldes han ”Den moderne Videnskabs Fader”.
20
19
Parker 1992, s. 6+ 22 og Lauber 1991, s. 11 og Pade 2004, s. 49
20
Parker 1992, s. 27 og Lauber 1991, s. 28 og Jørgensen 2008, s. 113+140 og Thiedecke 2005, s. 170
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 20 af 29
Projektilbevægelsen i nutiden
Da Galilei i sin tid udførte forsøget med kuglen trillende op ad et skråt plan, som skulle vise sig at
blive et helt igennem banebrydende forsøg inde for viden om projektilers bevægelse, skabte han
samtidig grundlaget for videre undersøgelse af projektilbevægelsen, som har ført til et, i dag,
yderligere kendskab om emnet. Takket være den kendsgerning at Galilei inden sine sidste dage
nåede at skrive sit sidste storværk omhandlende mekanik, og i al hemmelighed formåede at udgive
bogen, fik de næste generationer en uvurderlig viden om projektilbevægelser, som de kunne arbejde
videre med, og som vi stadig, 400 år efter, har stor gavn af. Ifm. den revolutionerende moderne
videnskab, hvor matematik som noget nyt blev brugt til at beskrive fysik, blev den græske geometri
efterhånden erstattet af andre matematiske regnemetoder, som vi kender dem i dag. I dag benytter vi
ligeledes koordinatsystemer til at placere bevægelser i, når vi regner dermed: En vertikal y-akse og
en horisontal x-akse, som skærer hinanden i punktet (0,0), og som står vinkelret på hinanden.
Moderne beregning af projektilbevægelser
Galilei lavede, som sagt, en tabel, hvorudfra man kan aflæse et projektils amplitude og skudhøjden
ud fra en given vinkel. Ligeledes udviklede han en regneproces, hvorved man kan komme frem til
samme resultaterne. Denne proces er der arbejdet videre på, og i dag er man kommet frem til
formler, hvorved skudvidde og skudhøjde kan beregnes på samme måde, som vi i dag også kan
udregne en del flere elementer ifm. projektilbevægelsen. Ved de følgende formler antages der,
ligesom Galilei gjorde det, at der ingen luftmodstand er. Kender vi begyndelseshastigheden v
0
samt
elevationsvinklen α, kan vi beregne hastigheden langs x- og y-aksen:
På sidste formel er leddet -g∙t påsat, da dette netop beskriver den påvirkende tyngdeacceleration
modsatrettet y-aksen. Dette led stammer ses også i Galileis 1. faldlov.
For beregning af den horisontale bevægelse, skudvidden, som funktion af tiden benytter vi os i dag
af følgende formel:
For beregning af den vertikale bevægelse, skudhøjden, som funktion af tiden t bruges:
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 21 af 29
Her ses i første led brugen af Galileis 2. faldlov.
Ligesom Galilei kan vi i dag også beregne skudhøjden, som er den maksimale højde, projektilet
kommer. Dette kan gøres ud fra følgende formel:
g
v
y
2
)(sin
22
0
max
For bestemmelse af skudvidden, den maksimale længde, projektilet kommer, benytter vi os af
følgende formel, hvor starthøjden y
0
= 0:
I dag er det også muligt at beregne banekurvens ligning. Som Galilei fandt ud, ses der, at denne ligning
beskriver en parabel:
2
2
2
0
tan( )
2 cos ( )
o
g
y x x y
v
Ved at isolere variabler i formlerne, kan andre værdier, såsom starthøjde, elevationsvinklen m.m. også
beregnes.
21
Projektilbevægelse med luftmodstand
I løbet af sin karriere indså Galilei, at luftmodstanden forårsagede en ændring i hastigheden under
projektilets bevægelse, således at den var forskellig fra start til slut. Alligevel så han i sine
beregninger bort fra denne modstand, da mange faktorer, såsom projektilets form, vægt og
hastighed, spiller en rolle herfor, hvorfor det ville være en svær størrelse at regne med. Derudover
anvendte han massive kanonkugler, som han ikke mente forårsagede stor modstand. Idet han måtte
se bort fra luftmodstanden, blev hans resultater ud fra matematiske formler ikke altid helt præcise,
men afvigelser pga. sådanne tilfælde er dog også i dag karakteristisk ved den naturvidenskabelige
arbejdsmetode, og det ses bl.a. også ved de tidligere nævnte, nutidige formler, hvor der ses bort fra
luftmodstanden. Vi er dog i dag i stand til at regne på projektilbevægelser med luftmodstanden.
Fundamentet for beregning heraf lagde Isaac Newton () efter at have arbejdet videre på
Galileis teorier. I praksis opererer vi i dag ofte med andre genstande end lige netop
kanonkuglelignende genstande, hvorfor luftmodstanden også kan spille en større rolle, hvis man
antager, at Galileis udsagn om, at kuglerunde, massive genstande ikke påvirkes besynderligt at
luftens modstand, passer. Også i dag er luftmodstanden dog en svær faktor at regne med, da der
bl.a. skal bruges forskellige formler i forskellige situationer. Man har fundet ud af, at man ud fra det
21
Godekarakterer.dk og Brydensholt 2012, s. 276-280
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 22 af 29
såkaldte Reynolds tal kan afgøre, hvornår man skal bruge hvilken formel:
Her er ρ densiteten af det materiale, legemet bevæger sig i, f.eks. væske eller gas, η er væskens,
gassens eller andet materiales dynamiske viskositet, v er legemets hastighed og L kan være
længden, diameteren eller andet karakteristisk mål for legemet. Ud fra undersøgelser har det vist
sig, at luftmodstanden ved Re<1 er proportional med hastigheden, ved 1000<Re<300000 antages
der, at luftmodstanden er modsatrettet hastigheden og proportional med kvadratet på farten, hvilket
gælder i langt de fleste tilfælde med beregning med luftmodstand. Hvis 1<Re<1000 er det usikkert,
hvilken model der skal bruges. Ligesom Galilei vidste, at luftmodstanden afhænger af flere faktorer,
afhænger også resultat for Reynolds tal af mange ting: Legemets størrelse, materialet, det bevæger
sig igennem, om flowet om legemet er turbulent eller ej m.m. I de fleste tilfælde ligger Reynolds
tal, som sagt, mellem 1.000 og 300.000, hvorved den såkaldte v
2
-loven anvendes:
A er arealet af legemet og størrelsen c
w
kaldes formfaktoren, hvis værdi afhænger af hvor
strømlinet, legemets form er.
22
22
Vestergaard 2009 og Brydensholt 2012, s. 285-286 og Bertelsen 2008, s. 6 og Galilei 1638, s. 251-254 og Lauber
1991, s. 54
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 23 af 29
Opgave
I den tilhørende matematikopgave forestiller vi os en kanon, som med konstant hastighed skyder en
kugle af sted. Vinklen mellem kanonen og vandret er 37˚, og skudhøjde og –længde skal findes.
Opgaven løses på to forskellige måder.
Tabelaflæsning:
Med Galileis tabel angivet i ”Two New Sciences” kan man nemt aflæse amplituden og skudhøjden.
Amplituden ved en elevation på 37˚ kan i tabellen aflæses som vist på nedenstående tabeludsnit:
Amplituden er ifølge tabellen 9612 enheder, og svarer til halvdelen af skudlængden, hvorfor
værdien multipliceres med 2 for bestemmelse af skudlængden:
enheder
Skudhøjden kan som amplituden aflæses ud fra tabellen, som set på nedenstående tabeludsnit:
Skudhøjden aflæses til 3621 enheder.
Ud fra tabellen kan der konkluderes, at skudlængden ved en elevation på 37˚ er 19.224 enheder,
mens skudhøjden ved samme vinkel er 3621 enheder.
Beregning:
Tidligere i opgaven blev Galileis metode fra ”Two New Sciences” til beregning af hhv. skudhøjde
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 24 af 29
og amplitude gennemgået. Denne metode vil nu blive anvendt, og her er det en forudsætning, at
amplituden beregnes først, da dennes værdi skal benyttes til beregning af skudhøjden:
Linjestykket BE bestemmes:
Dette tal ganges med 10.000:
Halvdelen af denne værdi svarer til linjestykket BF:
Halvdelen af BC er altid 5000, da BC er den maksimale amplitude, som Galilei har bestemt til
værende 10.000 enheder.
Mellemproportionalen FO til BF og BC bestemmes:
OB bestemmes:
Amplituden CR bestemmes:
Ved at multiplicere amplituden med 2 fås skudlængden:
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 25 af 29
Skudlængde ≈
Da vi nu har amplitudens værdi, kan skudhøjden beregnes:
Halvdelen af amplituden er:
Kvadratet på halvdelen af amplituden:
Dette tal trækkes fra kvadratet på halvdelen af OB, som altid er :
Kvadratroden af dette resultat tages:
Da de 37˚ er mindre end 45˚, trækkes ovenstående værdi fra halvdelen af BO, som altid er 5000,
hvorfor skudhøjden BF bestemmes:
Der kan konkluderes, at skudlængden ved beregning er 19.225,42 enheder, mens skudhøjden er
3621,97 enheder.
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 26 af 29
Skudlængden og –højden ved 37˚ fås til stort set de samme værdier, hvad enten man aflæser
værdierne i Galileis tabel eller beregninger værdier vha. hans regnemetoder. De små afvigelser
skyldes afrunding. Galilei skriver i sin bog, at han har været nødsaget til at beregne uden decimaler,
hvorimod jeg vha. computer har været i stand til at regne temmelig præcist med flere decimaler.
23
Konklusion
Galilei begyndte at udvikle renæssancens videnskab, som bar præg af filosofiens lære, og
grundlagde den moderne videnskab. Den katolske kirke, som pga. reformationen ønskede
opretholdelse af sin magt, så Galileis nye videnskabsteorier, som stak imod Aristoteles’, og dermed
kirkens, lære, som en trussel, og en konflikt herimellem opstod. Galileis forsøg pegede bl.a. i
retning af et heliocentrisk verdensbillede, og ikke et geocentrisk. De færreste accepterede de nye
teorier, og til sidst, i håbet om at overbevise verden, skrev Galilei ”Dialogue”, som ift. hans
meninger og tanker er en troværdig kilde. Her fik han bragt teorien og beviserne omkring det
heliocentriske verdensbillede ud til folk, som alle nu, fordi bogen var pædagogisk og på italiensk,
kunne få indsigt i videnskaben. Han ville undgå konflikter, men med det provokerende sprog, som
fandtes i bogen, blev geocentriske tilhængere blot endnu mere forargede, end de var i forvejen, og
Galilei fik forbud om at udgive bøger. Alligevel fik han smuglet sit sidste værk ”Two New
Sciences” til Holland, hvor det kunne trykkes. I dette værk gør han op med Aristoteles’
projektilbevægelseslære, og beviser vha. geometri, hvorledes matematik kan beskrive
projektilbevægelsen som en parabel, og hvordan man kan beregne amplituden og skudhøjden hertil.
Derudover lavede han en tabel over amplituder og skudhøjder til alle vinkler, hvilken sammen med
regneprocessen er blevet benyttet til beregning af en opgave, som viser, at tabellens og
regnemetodens resultater er identiske. Denne matematik fik stor betydning for bl.a. militæret, som
flittigt gjorde brug af kanoner, som sender kugler af sted i parabelbaner, og i dag har vi stadig nytte
heraf. I tiden efter Galilei arbejdede man videre på projektilbevægelsen, og i dag har vi udviklet
formler på grundlag af Galileis matematik, hvor vi ud over skudhøjde og skudlængde bl.a. også kan
beregne starthøjde m.m.
23
Galilei 1638, s. 283 - 286
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 27 af 29
Litteraturliste
Bøger
Bertelsen, Aksel. Tre dage hos Galileo. Århus: Systime, 2008
Brydensholt, Morten, m.fl. Orbit BA. Århus, Systime, 2012
Carstensen, Jens og Jesper Frandsen. Matematik 3 for højt niveau. Århus: Systime, 1994
Friedell, Egon. Kulturhistorie 1, Renæssance og reformation. Overs. af Inger Snorrason.
København: Roskilde og Bagger, 1977
Galilei, Galileo. Brev til Kepler, 1623. Europa i opbrud Renæssance, reformationer,
oplysningstid og kolonisation. Valby: Pantheon, 2005: 171-172
Galilei, Galileo. Dialogue Concerning the Two Chief World Systems – Ptolemaic and Copernican.
Overs. af Stillman Drake New York: The Modern Library, 2001
Galileo Galilei. The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences.
Overs. af Henry Crew og Alfonso De Salvio. New York: The Macmillan Company, 1914
Grøn, Bjørn, m.fl. Hvad er matematik? B. København: L&R Uddannelse, 2012
Jørgensen, Nanna Dissing Bay og Marie Sørensen. Den naturvidenskabelige revolution
Århus: Systime, 2008
Lauber, Patricia. Galilei, fysikkens fornyer. Overs. af Edvard og Bjørn Runge. København: Hernovs
Forlag, 1991
McTavish, Douglas. Galilei – den moderne videnskabs fader. Overs. af Jens Peder Agger. Værløse:
Bogfabrikken Fakta, 1991
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 28 af 29
Meadows, Jack. Store videnskabsmænd. Overs. af Henning Dehn-Nielsen og Jerk W. Langer.
København: Politikens Forlag, 1988
Pade, Marianne og Minna Skafte Jensen. Renæssancen. Københavns Universitet: Museum
Tusculanums Forlag, 2004
Parker, Steve. Galilei og Universet. Overs. af Franz Berliner. Risskov: Klematis, 1992
Poole, Michael. Videnskab og tro. Overs. af Villy Mølgaard. Gesten: OP-forlag Aps, 1994
Thiedecke, Johnny. Europa i opbrud Renæssance, reformationer, oplysningstid og
kolonisation. Valby: Pantheon, 2005
Internetmateriale
Bibelselskabet.dk. ”Det Gamle Testamente, Salmernes Bog, Kapitel 93”.
https://www.bibelselskabet.dk/BrugBibelen/BibelenOnline.aspx?book=sl&id=1&chapter=18b
(Dato: )
Erik Vestergaard. ”Det skrå kast – med luftmodstand”. Matematiksider.dk 2009,
http://www.matematiksider.dk/projekter/skraakast.pdf (Dato: )
Godekarakterer.dk. ”Det skrå kast – kasteparablen”. http://www.godekarakterer.dk/det-skra-kast-
kasteparablen (Dato: )
Louise Herping Ellegaard. ”Renæssancen”. Historiefaget.dk ,
http://www.historiefaget.dk/tidsperioder/renaessancen/ (Dato: )
Forside:
Portræt af Galileo Galilei:
Zipminis.com. ”Quotes on god and atheism: Annie Besant and Galileo Galilei”.
Studieretningsprojekt 2013 – Renæssancen og Galileis projektilbevægelse
Matematik A og Historie A
[navn fjernet] 3.e
Side 29 af 29
http://www.zipminis.com/35/post/2013/07/quotes-on-god-and-atheism-annie-besant-and-galileo-
galilei.html#.UrFkt_TuKSo (Dato: )
Forside af ”Two New Sciences”:
Oll.libertyfund.org. “Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences [1638]”
http://oll.libertyfund.org/index.php?option=com_staticxt&staticfile=show.php%3Ftitle=753&layout
=html (Dato: )