STX 3.g
3.A | RINGKJØBING GYMNASIUM
SRP
GRÆSK MATEMATIK
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
1
8. december 2015
Abstract
This exercise relates to Archimedes from the ancient Greek culture that nearly 300 years B.C. made some
impressive discoveries within mathematics. Discoveries that later led to Newton’s and Leibniz’s infinitesi-
mal calculations which truly have made a major impact within mathematics in the postmodern society.
Apropos the postmodern society, the exercise also seeks to cover how the sciences back in the ancient
Greece, by perspective to the postmodern society challengers’ on global warming, made these major dis-
coveries. By perspective to the postmodern, the exercise seeks to identify clear and indisputable answers to
the impressive development in the science.
The exercise have processed the findings mathematically and historically. The empirical method has been
used in the historic chapters using various books, articles and internet pages. The mathematic chapters are
based on the book “Fra kvadratur til integration”, except for Archimedes explanation of Pi, which is based
on an internet page.
The exercise succeeds to reach the same observations as Archimedes and there is no doubt that his meth-
ods used, will today have been obsoleted and updated by smarter and better methods.
The impressive results achieved by Archimedes, shows that he was nearly 2000 years ahead of his time
mathematically. Not many scientists have achieved this.
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
2
8. december 2015
Indholdsfortegnelse
Abstract ............................................................................................................................................................. 1
Indledning .......................................................................................................................................................... 3
Det antikke Grækenland og dens bystater som rammesætning for Archimedes som
matematiker/videnskabsmand ......................................................................................................................... 3
Spartas forfatning .......................................................................................................................................... 4
Athens forfatning ........................................................................................................................................... 4
Rammesætningen for Archimedes ................................................................................................................ 5
Archimedes’ bestemmelse af ......................................................................................................................... 6
Omskrevne polygon ....................................................................................................................................... 6
Indskrevne polygon ....................................................................................................................................... 7
Archimedes’ fremgangsmetode for beregning af parablens kvadratur ............................................................ 8
Sætning S.1 .................................................................................................................................................. 10
Sætning S.2 .................................................................................................................................................. 11
Sætning S.3 .................................................................................................................................................. 11
Sætning S.4 .................................................................................................................................................. 13
Dobbelt reductio ad absurdum beviset (Dobbeltmodstridsbeviset)........................................................... 14
Antagelse 1 om P>K: ................................................................................................................................ 14
Antagelse 2 om P<K: ................................................................................................................................ 15
Opgave 2.10 fra Jens Lund: Fra kvadratur til integration ................................................................................ 15
Sætning : .............................................................. 16
D er midtpunkt af |AC| → l er parallel med |AC| ................................................................................... 16
l er parallel med |AC| → D er midtpunkt af |AC| ................................................................................... 17
Sætning |BD|/|BF|=|AD|
2
/|EF|
2
........................................................................................................... 17
Årsagerne til de store fremskridt inden for videnskaben i den antikke græske kultur ................................... 19
Græske videnskabsmænd kan ses som historieskabt/historieskabende ........................................................ 21
Konklusion ....................................................................................................................................................... 22
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 24
Bøger ........................................................................................................................................................... 24
Artikler ......................................................................................................................................................... 24
Internettet ................................................................................................................................................... 24
Bilag ................................................................................................................................................................. 25
Bilag 1 .......................................................................................................................................................... 25
Bilag 2 .......................................................................................................................................................... 26
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
3
8. december 2015
Indledning
VED I HVAD I NETOP BETRAGTER - EN SIMPEL REMSE DER VISER CIRKLENS KVADRATER. (3,3589)
Denne remse er en kort udgave af, hvad er for et irrationelt tal. Antal bogstaver i ordene angiver de først
cifre af . Man kæmper stadigvæk nu til dags om at bestemme s mange decimaler, da det ikke kan angi-
ves som en brøkdel - dog var Archimedes tilbage i næsten 300 år f.Kr. tæt på at kunne bestemme cirklens
kvadratur, nemlig
Der har aldrig været nogen tvivl om, at det antikke Grækenland har haft stor betydning for, hvordan vi lever
nu til dags, hvor videnskaben og demokratiet går hånd i hånd. Det senmoderne samfund er meget præget
af de samme værdier, som herskede i det antikke Grækenland 300 år f.Kr. Årsagerne til at disse værdier
blomstrede allerede dengang vil blive undersøgt i opgaven vha. af en vores tids største specialister indenfor
Athens demokrati fra den antikke græske kultur, Mogens Herman Hansen. Ud over Herman Hansen vil op-
gaven gøre brug af relevante kilder i form af empiri fra bøger, artikler og internetsider. Her vil fokuspunktet
være bystaternes betydning for blomstringen af videnskaben, særligt henvendt mod Archimedes’ virke som
matematiker. Koblingen mellem det historiske og matematiske vil blive undersøgt således, at historiedelen
vil forsøge at sige hvorfor der var de store fremskridt videnskabeligt, og matematikken vil sige hvad der var
de store fremskridt videnskabeligt.
Archimedes bestemmelse af vil blive skitseret kort for at få den rette forståelse af Archimedes’ exhausti-
onsmetoden. Denne metode vil sidenhen blive anvendt igen, på Archimedes’ beregninger for parablens
kvadratur med udgangspunkt i ”Jens Lund - Fra kvadratur til integration”. Derudover vil opgave 2.10 i bogen
”Fra kvadratur til integration” blive løst. Til sidst i opgaven vil der med denne viden lægges fokus på årsa-
gerne til disse fremskridt på det videnskabelige plan tilbage i det antikke Grækenland. Derudover sættes
Archimedes og andre matematikere som ham sammen med begreberne historieskabt/historieskabende.
Det antikke Grækenland og dens bystater som rammesætning for Archi-
medes som matematiker/videnskabsmand
Tilbage i det antikke Grækenland, hvor videnskab fik tid og plads til at blomstre. Dengang hvor byer var
deres egen stat, og hvor man indbyrdes sloges om, hvad der var korrekt og forkert. Her blev bystaterne
(også kaldet polis) aldrig rigtig helt enig med hinanden om, hvilken statsform der var mest korrekt. De 2
vigtigste bystater i det antikke Grækenland var Sparta og Athen. Disse 2 bystater nøjedes ikke bare med at
kæmpe om magten, de sloges også om, hvordan den politiske magt skulle udøves, og hvem der skulle have
den politiske magt.
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
4
8. december 2015
Spartas forfatning
Sparta var en by med et såkaldt oligarki (fåmandsvælde) bestående af 30 ældre mænd, som kunne sidde
der mange år i streg. Disse 30 mænd stod for alle fremlagte lovforslag, som derefter skulle op på folkefor-
samling, hvor resten af borgerene kunne stemme ved håndsoprækning. En vigtig bemærkning her er, at det
selvfølgelig kun var voksne mænd med spartansk slægt, der talte som borgere. Resten af befolkning som
udgjorde kvinderne, børnene, heloterne og perioikerne havde intet at skulle sige politisk. En helot er en
indfødt slave, hvis jord er blevet erobret af spartanerne. En helots rolle i Sparta var at tjene sin spartanske
herre og i krig være hjælpetrop til den spartansk hær. En perioiker har som sagt ej heller ikke ret til at del-
tage på folkeforsamlingerne, men de er ikke ligeså bundet som heloterne, da de er personligt frie. Disse
heloter og perioiker udgjorde selvfølgelig også en stor del af hele befolkningen, hvilket også talte for, at det
var et oligarki. Her var altså 2 store befolkningsgrupper som slet ingen magt havde politisk
1
. Denne magt-
fordeling har nogle sammenligninger, men også nogle modsætninger i forhold til Athens styreform.
Athens forfatning
I Athen var der folkeforsamling cirka 40 gange om året. Til folkeforsamlingerne havde alle borgere lige me-
get ret til at tage ordet, men det var oftest således, at det var garvede politikere, som diskuterede lov-
forslagene. Afgørelsen omkring lovforslagene blev afgjort vha. håndsoprækning.
Femhundredemandsrådet består ligesom navnet antyder af 500 mænd. Rådet bestod udelukkende af em-
bedsmænd, hvoraf de vigtigste militære embedsmænd blev valgt på folkeforsamling og resten af embeds-
mændene var udtrukket ved lodtrækning
2
. Femhundredemandsrådet kan sammenlignes lidt med nutidens
folketing, og oligarkiet i Sparta, da det var deres arbejde i et års tid, at bearbejde og diskutere hvorledes
lovforslag skulle strikkes sammen. Forskellen i forhold til dagens folketing er, at mange af dem er udtrukket
ved lodtrækning, og alle lovforslag skal op på folkeforsamling. Et andet vigtig embede var folkedomstolen.
Folkedomstolen bestod af 6000 mænd der blev inddelt på forskellige domstole. Her skulle de kontrollere og
pådømme processer. De havde altså til rolle at opretholde retfærdigheden og til at undgå forræderi. Man
kan altså kalde folkedomstolen for det kontrollerende embede
3
.
Forskellen på de 2 forskellige styreformer var altså, at hos Sparta blev oligarkiet hurtigt fastslået af 30 rige
mænd, som stod for hele den politiske magt, hvorimod hos athenerne var magten mere fordelt, og man
havde altså denne folkedomstol, som var med til at opretholde retfærdighed og undgå forræderi.
1
Bryld, Carl-Johan: ”Verden før 1914 - i dansk perspektiv” s. 16+23
2
http://natmus.dk/historisk-viden/verden/middelhavslandene/graekenland/den-graeske-bystat/direkte-demokrati/
3
http://www.denstoredanske.dk/Geografi_og_historie/Antikken/Antikken,_gr%C3%A6ske_stednavne/Athens_demokr
ati
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
5
8. december 2015
Men en ting bystaterne havde tilfælles var struktur og politisk aktivitet. Sammen med denne politiske akti-
vitet og struktur kom også udfoldelse og effektivitet.
Rammesætningen for Archimedes
Et andet sted, hvor der var muligheder for udfoldelse var i Syrakus, byen hvor Archimedes blev født, som
næsten kan siges at være Antikkens bud på Renæssancens Firenze. Men for at kunne sige noget om Syrakus
på Sicilien som græsk koloni, så skal beskrivelsen af Syrakus’ udfoldelse starte hos en begravelse af de før-
ste athenske kriger, som mistede livet i kamp mod Sparta. Ved denne begravelse holdte Perikles en tale om
hvor i blandt, hvordan deres bystat var opbygget, var et vigtigt punkt. Perikles fortalte om, hvordan deres
statsform var forskellig i forhold til andre bystaters. Denne tale findes kun i en gengivelse fra den athenske
historiker Thukydid, som var en førstehåndkilde til Perikles’ tale. Perikles postulerede ifølge Thukydid, at
deres statsform var et demokrati, fordi magten lå hos flertallet. Perikles sagde også, at deres statsform
virkede, og i denne sammenhæng mente Perikles, at folket i Athen respekterede både de skrevne (opret-
holder retfærdighed) og uskrevne (de almindelige bevidstheds) love. Perikles sagde også, at individet i
Athen fik mulighederne for at udfolde sig bedst muligt
4
. Denne udfoldelse så man også på den græske ko-
loni Sicilien hvor Archimedes, tidens største matematiker, udforskede empirisk og teoretisk. Denne ud-
forskning førte til flere forskellige konklusioner og opfindelser. Ikke nok med dette så var Archimedes også
gode venner med kongen af Syrakus - kong Hieron den 2. Hieron havde en tendens under den puniske krig
til at skifte side, hvilket endte med at placere Syrakus i et af brandpunkterne under den anden puniske
krig.
5
Dette resulterede i, at Syrakus måtte forsvare sig selv, hvori Archimedes var en god hjælper, da det
her blev muligt for ham at udfolde sit matematiske fysik i form kastemaskiner og andre forsvarsværker.
6
Under normale omstændigheder fokuserede Archimedes helst kun på den rene matematik, men her blev
han tvunget ud i den mere praktiske udgave. Dette er bare nogle af de forskellige årsager, der kunne være
rammesættende for en matematiker i det antikke Grækenland, men de vigtigste opdagelser Archimedes
drog for nutidens videnskab var ud fra den rene matematik
7
. Netop to ud af mange af disse opdagelser vil
blive lagt fokus på i de kommende sider, hvor parablens kvadratur er i fokus og i mindre fokus er Archime-
des’ bestemmelse for .
4
Thukydid: ””, Punkt 37 - statsformen (Bilag 1)
5
https://da.wikipedia.org/wiki/Anden_puniske_krig
6
Marinus, Christian Taisbak: ”Archimedes og Syrakus” s. 50, Sfinx
7
Schmidt, Egon:” Fra Archimedes til Niels Bohr” s. 13
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
6
8. december 2015
Archimedes’ bestemmelse af
8
En af de opdagelser Archimedes gjorde ved brug af exhaustionsmetoden var at finde en approksimation af
. Exhaustion oversat til dansk betyder ”udtømning”. Metoden går altså ud at ”udtømme” en form. I denne
sammenhæng er formen en cirkel. Udtømningen af en cirkel sker så ved brug af trekanter, da man vidste,
at en trekant multipliceret med 2 gav dens kvadrat. Archimedes vidste dog også godt, at det at fylde en
cirkel op med trekanter altid ville lade noget areal være tilovers. Man vidste også, at forholdet mellem
cirklens diameter og dens omkreds var proportionale. Man ville altså kunne finde den konstant, der beskrev
hvordan forholdet er mellem diameteren og omkredsen. Denne konstant kaldes for , hvilket Archimedes
forsøgte at bestemme vha. om- og indskrevne polygoner. Det handlede altså om at lave en ulighed, hvori
man ville kunne indfange værdien , så præcist som overhovedet muligt. Det Archimedes fandt ud var, at
måtte ligger indenfor denne ulighed:
Denne værdi fandt han ved at danne en 96-kantet omskreven polygon sammen med en 96-kantet indskre-
ven polygon. Imellem disse polygoner vil selvfølgelig befinde sig.
Omskrevne polygon
For at finde startede Archimedes med at ind-
snævre den omskrevne polygon, så den lå så tæt
på cirklens omkreds som overhovedet muligt.
(Archimedes stoppede ved 96-kantet poly-
gon)
Archimedes gjorde også brug af tidligere viden i
form af et udtryk for, hvordan siderne i en tre-
kant forholder sig til hinanden, hvis man laver en
vinkelhalveringslinje, |CD|. Vinkelhalveringslinjen
giver disse forhold for trekanten:
Denne sammenhæng er udregnet og afbilledet ud fra figur 1.1, hvilket giver Archimedes dette:
8
http://www.matematiksider.dk/pi_archimedes.html
Figur 1.1
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
7
8. december 2015
Et andet udtryk for det næste leds polygon findes vha. Pythagoras’ læresætning på , hvilket giver
denne sammenhæng:
Med disse sammenhænge vil man tilsammen herved kunne finde et udtryk for den næste runde af approk-
simations sider er lig med. Man vil med andre kunne bestemme, hvor meget polygonen fylder rundt om
cirklen i det næste skridt af approksimationen. Sammen med disse 2 formler og med udgangspunkt i en
omskreven sekskant og viden om uligheden omkring
kunne Archimedes approksimere et udtryk for den
tilnærmelsesvise værdi for . Her skal der også bemærkes, at Archimedes’ værdi er for en 192-kant poly-
gon. Archimedes finder så ud af at:
Indskrevne polygon
Fremgangsmetoden for den indskrevne polygon minder
meget om den omskrevne polygons metode. Archimedes
gjorde det. Man starter med at danne i indskreven trekant.
Ud fra denne laver man sin vinkelhalveringslinje, som der-
ved danner 2 sider ud af det der før svarede til en side.
Man fordobler altså antallet af kanter i polygonen. Archi-
medes vidste også fra tidligere viden, at periferivinkler er
halvt så store som centervinkler. Med denne viden dannes
der 2 ensvinklede trekanter (markeret på figur 1.2 med
hhv. rød og blå farve). Med denne viden omkring de ens-
vinklede trekanter bestemmes der nogle forhold mellem siderne. Archimedes fandt så ud at dette må gæl-
de for de indskrevne polygoner:
Med disse forhold bestemmes så første formel for den indskrevne polygon:
Figur 1.2
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
8
8. december 2015
Igen mangler man noget information for, hvordan det næste skridts sider forholder sig til de tidligere. Der-
for bruger Archimedes igen Pythagoras’ læresætning. Denne gang på , og får så:
For så at danne den 192-kant indskrevne polygon multiplicerer Archimedes 96 med a
96
og finder så frem til
denne ulighed:
Med denne ulighed kunne Archimedes nu approksimere en mindste værdi for således:
Archimedes bestemte altså til at ligge indenfor denne approksimation af den om- og indskrevne polygon:
Archimedes’ fremgangsmetode for beregning
af parablens kvadratur
9
I det gamle antikke Grækenland opfattede man parabler som keg-
leudsnit. Kegleudsnit som man fandt, når en plan vinkelret rammer
keglens omkreds/kant og derved danner en 2 dimensional flade.
Der er nogle forskellige betingelser, der skal på plads inden beviset
for alvor går i gang. Først om fremmest så anså grækerne kegler for
at have en top, der var retvinklet. En vigtig bemærkning er også, at den symmetriske linje, som deler denne
parablen ad kaldes for aksen.
Da Archimedes ville bevise parablens kvadratur gjorde han brug af tidligere anvendt sætninger og metoder.
Først og fremmest så gjorde han brug af exhaustionsmetoden og et dobbeltmodstridsbevis (også kaldet
dobbelt reductio ad absurdum bevis). Denne proces foregår ved at udfylde parablen så vidt muligt (Samme
fremgangsmetode som Archimedes’ vurdering af ). Derfor brugte han et såkaldt dobbeltmodstridsbevis.
9
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 19-25
Figur 1.3 - Parabeldannelse mellem en plan og en kegle
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
9
8. december 2015
Et dobbeltmodstridsbevis går ud på, at et resultat kun kan have 3 forskellige slags mængder i forhold til
hinanden. Resultatet kan nemlig enten være større end, mindre end eller lig med hinanden. Hvis man kan
eliminere 2 af mulighederne, så må det sidste gælde.
Archimedes sætning omkring hvordan den indskrevne trekant forholder sig i forhold til parablen lyder såle-
des:
”Ethvert parabelafsnit er lige så stort som en og en
tredjedel gange den trekant, der har samme grund-
linje og samme højde som parabelafsnittet”
Omskrevet til matematiske betegnelser, så betyder
det
Hvis |AC| udgør grundlinjen for parabelafsnittet og B er toppunktet i både parabel og den indskrevne tre-
kant
10
. (Figur 1.4 giver et billede af dette, samt udgangspunktet for hvordan punkterne i sætning og S.1
hænger sammen)
Da der senere i opgaven vil blive løst opgave 2.10 i bogen: ”Fra kvadratur til integration”, så gøres der bare
brug af hhv. sætning og sætning , da de senere hen vil blive bevist.
Sætning
11
:
”Hvis |AC| er parallel med tangenten til parablen i B, så er D midtpunktet af |AC|. Hvis omvendt D er midt-
punktet af |AC|, så vil |AC| og parabeltangenten i B være parallelle. ”
Sætning
12
:
”Dersom |AD| og |FG| er parallelle med parabeltangenten i B, så er
”
Som nævnt tidligere så gør Archimedes brug af tidligere anvendt metoder f.eks. exhaustionsmetoden, som
han har fået fra Eukilds bog X sætning 1, som siger at
13
:
10
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 20
11
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 20
12
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 21
13
http://www.math.ku.dk/noter/filer/kilder.pdf
Figur 1.4
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
10
8. december 2015
” Naar der er afsat to uligestore Størrelser, og der fra den største trækkes en, der er større end Halvdelen,
og fra Resten en, der er større end Halvdelen, og man bliver ved med det, vil der blive en eller anden Størrel-
se til Rest, som vil være mindre end den afsatte mindste Størrelse. ”
Denne sætning bruger han til at danne mindre og mindre trekanter i sit parabelafsnit, hvor der ved siden af
den store indskrevne trekant dannes 2 mindre trekanter med nye grundlinjer og højder. Hvis man tager
udgangspunkt i figur 1.4, så får man grundlinjerne |AB| og |BC| ved næste led af trekanterne, der dannes
ved siden af den store indskrevne trekant. Det gøres så bare gang på gang indtil man når den mindste stør-
relse man har bestemt sig for.
Alt den viden der indtil videre er blevet gennemgået bruges nu i Archimedes’ fire sætninger hhv. S.1, S.2,
S.3 og S.4.
Sætning S.1
14
”Lad E være midtpunktet af |AD| og linjestykket |EF| parallel med aksen (og |BD|). Da er
”
For at bevise denne sætning, så gør Archimedes brug af både sætning til at bestemme punktet D og der-
ved kunne sige, at |BD| er parallel med parablens akse. Archimedes gør også brug af sætning , da han skal
bestemme forholdet og, når han skal se på, hvordan linjestykkerne forholder sig til hinanden. Da Archime-
des, som udgangspunkt har gjort
, som i øvrigt også er parallelle med tangenten i punktet B.
Sammen med det Archimedes ved fra sætning , så gælder der også, at
. Da |BD| og |EF|
er parallelle. Hvilket også betyder, at der gælder, at
, men også at
.
Af sætning følger så:
Da der i sætningen er givet som udgangspunkt, at |AD| og |EF| er parallelle, og forholdet mellem |BD| og
|BG| er 4:1, så må der gælde:
14
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 21
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
11
8. december 2015
Sætning S.2
15
”
”
Dette bevises ved, at i stedet for den indskrevne trekant danner man et parallelogram med grundlinjen
|AC| og topstykket som tangenten i B, og med sider parallelle med aksen. Det giver et areal som er dobbelt
så stort som trekanten, og man ved, at trekanten er indeholdt i parallelogrammet, så må der gælde, at
Archimedes bruger S.2 til, at man fjerner mere end halvdelen af parabelafsnittet ved trekanten. De 2 over-
skydende afsnit af parablen bruger man igen Archimedes’ S. 2, da man tilsammen fjerner mere end halvde-
len af resten ved de 2 nye trekanter. Ved fortsættelse af denne proces vil man ifølge Eukilds X.1 i løbet af
utallige skridt finde en værdi for P, der afviger mindre end den på forhånd given størrelse.
16
Sætning S.3
17
Den 3. sætning Archimedes skrev omkring
parablens kvadratur handlede om, hvordan
de forskellige trekanterne forholder sig til
hinanden. Det handlede altså om at bereg-
ne, hvor stor en del af den tidligere trekant
fyldte af de kommende trekanter. Sætnin-
gen siger så, at:
” ”
En vigtig bemærkning er, at punktet G fra tidligere billede har fået nyt sted. Derfor bør man holde øje med
dens nye placering på figur 1.5. Dens nye placering er blevet skæringen med linjerne |AB| og |EF|.
For at se på trekanterne i forhold til hinanden så tager Archimedes udgangspunkt i trekanterne:
15
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 21
16
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 22
17
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 22
Figur 1.5 (bemærk
ny placering for G)
B
A
C
D
E
F
G
H
I
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
12
8. december 2015
Disse 2 trekanter er ensvinklet, hvilket giver Archimedes nogle redskaber til at se på, hvordan de forholder
sig til hinanden.
Da Archimedes fra S.1 ved, at
, og trekanterne er ensvinklet, så kan han se på hvordan |BD|
og |EG| forholder sig til hinanden:
Da Archimedes ved, at trekanterne er ensvinklede, og er i forholdet 1:2:
Ud af dette kan Archimedes udlede ved brug af S.1 at:
For at bestemme |GF|:
Altså må der gælde:
Dette skyldes at |EG| er double så lang som |GF|.
Så benytter Archimedes |EG| som en ny grundlinje i . Denne
trekant sættes i sammenhæng med , hvori grundlinjen er |FG|
(Figur 1.6). Disse grundlinjer er lige blevet beskrevet som værende i
forholdet 1:2. Begge trekanter har samme højde, nemlig ned til A. Der-
for må der også gælde at:
Tilsvarende sker det med de 2 trekanter , at forholdet igen ses på imellem |GF| og |GE|
som 1:2, hvor højden i dette tilfælde er B i begge trekanter. Det betyder så, at der må gælde:
Da E er halvdelen af |AD|, så må der altså gælde, at:
Figur 1.6
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
13
8. december 2015
Derfor må der også gælde:
Da det kun er halvdelen af den store trekant , så må der altså gælde at:
Det betyder altså, at de 2 næste indskrevne trekanter, altså trekant udgør en
er trekant
, altså:
Archimedes indfører så betegnelser for de forskellige ”niveauer” af trekanter, så:
Altså de forholder sig således at:
Sætning S.4
18
”
”
Archimedes gennemfører sit bevis med n=4, og han ræsonnerer sig til, at det er det samme for alle værdier
af n. Archimedes ser en sammenhæng mellem
og da der gælder at,
.
Så indsætter jeg i stedet for
indsættes
:
Denne sammenhæng er analog for de 5 værdier af n. Dette må altså betyde:
18
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 23
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
14
8. december 2015
Så reducér Archimedes udtrykket og får så:
Så lægger han
til på begge sider af lig med tegnet og får så:
Hvilket var påstanden i sætning S.4.
Som nævnt tidligere, så vil Archimedes bevise dette ved brug af dobbeltmodstridsbeviset for at kunne kon-
kludere, at dette er det korrekte resultat.
Dobbelt reductio ad absurdum beviset (Dobbeltmodstridsbeviset)
Archimedes starter det dobbeltmodstridsbevis ved at indføre en størrelse K.
For at bevise dette må Archimedes eliminere 2 af de 3 muligheder for et resultat, nemlig <,> eller =
Antagelse 1 om P>K:
Der indskrives så mange trekanter i parabelafsnittet, at der gælder:
Dette kan kun lade sig gøre vha. et resultat af S.2, hvori Archimedes siger, at:
”det er muligt at indskrive et polygon, så forskellen mellem P og denne polygon er mindre enhver given stør-
relse”.
19
Ud fra den ovenstående sætning isolér Archimedes K:
Modsat siger Archimedes sætning S.4, at:
19
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration” s. 22
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
15
8. december 2015
Hvilket betyder:
Sammenholder man de 2 isoleringer for K får man altså en modstrid. Antagelse 1 kan altså ikke være gæl-
dende.
Antagelse 2 om P<K:
I denne antagelse må der altså gælde at:
Hvilket er en konsekvens af Eukilds X.1, som nævnt tidligere i opgaven.
Ved brug af sætning S.4 får Archimedes:
Så isolér Archimedes
, som i øvrigt er mindre end
og får så:
Nu kan der opstilles en længere sammenhæng mellem ulighederne, nemlig at:
Ud fra dette reduceres der til:
Men da dette er en umulighed, da alle trekanterne er indskrevne og indeholdt i P. Derfor kan antagelse 2
heller ej være gældende.
Da vi nu har elimineret 2 ud af 3 muligheder et resultat kan have, må det sidste altså gælde:
Opgave 2.10 fra Jens Lund: Fra kvadratur til integration
Denne opgave går ud på at bevise netop sætning , som tidligere bare blev anvendt i beviset for pa-
rablens kvadratur. Dette bliver gjort ud fra et (x,y)-koordinatsæt, hvori der er indtegnet en parabel der
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
16
8. december 2015
hedder
. Der tegnes altså en parabel med en a-værdi der er negativ, hvilket gør, at ”be-
nene” vender nedad.
Sætning :
1) Vis at hældningskoefficienten for |AC| er lig a(u+v) vha. givne punkter:
Alt dette er afbilledet på bilag 2.
For at bestemme hældningskoefficienten for |AC| indsættes der:
Hvilket var hvad der skulle bevises.
2) Vis at hældningskoefficienten for parabeltangenten i B er 2ax
0
For at bevise dette startes der med at differentiere parablens ligning:
Så indsættes Bs værdier:
Hvilket var det der skulle bevises her.
Til sidst for at bevise sætning
D er midtpunkt af |AC| → l er parallel med |AC|
For at bevise første del så antages der, at D er midtpunktet af |AC|, og hvis det er tilfældet så må dette
altså gælde:
Dvs. at x-værdien i D er
Det der skal bevises er så, at hældningen for parabeltangenten i B skal være lig med hældning for |AC|:
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
17
8. december 2015
Da |BD| er parallel med parablens akse (y-aksen i dette tilfælde) betyder det, at B og D har samme x-værdi.
Altså må der gælde at:
Hvilket skulle bevises.
Nu er der bevist, at når D er midtpunktet for |AC|, så er linjen l og |AC| parallelle.
l er parallel med |AC| → D er midtpunkt af |AC|
Nu vil det modsatte blive bevist. Derfor antages der nu, at |AC| og linjen l er parallelle. Altså må der gælde:
Hvis denne sammenhæng gælder, og |BD| er parallel med parablens akse, så har B og D samme x-værdi,
netop:
Da man i opgaven får at vide, at punktet D ligger på |AC|, så er D midtpunktet på |AC|, hvilket var var der
skulle bevises. Altså må sætning gælde.
Sætning |BD|/|BF|=|AD|
2
/|EF|
2
1) Bestem en ligning for tangenten l
Indsætter hældningskoefficienten for parabeltangenten og Bs koordinater i tangentens ligning og får så
Hvilket giver ligningen
2) Vis, idet G ligger på l og |GE| er parallel med |BD|, at
.
Da man ved at, |BD| og nu også |GE| er parallel med parablens akse, så har G og E altså samme x-værdi.
Man ved også at G ligger på linjen l. Ligningen for linjen l:
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
18
8. december 2015
3) Vis, at
og
og vis ud fra dette, at
, hvor
k er en konstant, der kun afhænger af a og x
0
.
For at bestemme |BG| bruges der Pythagoras’ læresætning:
Dette reduceres til:
Punktet H kan ses ud fra figur til højre for.
For at bestemme |GE|, så skal der lægges mærke til, at |GE| er parallel med parablens akse, og dermed y-
aksen. Så kan længden af |GE| bestemmes ved differencen mellem Gs og Es y-værdier.
Dette reduceres så ved brug af 2. kvadrat sætning, hvilket betyder:
Hvilket var hvad der skulle bevises.
Dernæst bestemmes forholdet mellem |BG|
2
og |GE| således:
Dette skyldes, at a og x
0
begge er konstanter, og derved får man altså at:
4) Gør rede ved hjælp af resultatet i 3), at:
For at gøre rede for dette, så startes der med at opstille den modsatte af
, hvilket svarer til:
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
19
8. december 2015
Dette gør man ved, at linjen l og |EF| er parallel og det samme er |GE| og |BF|, og derfor dannes der et
parallelogram.
En anden sammenhæng der gælder findes vha. at rykke punktet E ned i A, så der her dannes et linjestykke
|AG|. |AG| vil i dette tilfælde med dette eksakte x-værdi være lig |BD|, altså må der gælde:
I netop dette tilfælde kan man vha. sammenhængen i opgave 3 finde et udtryk |AD|. Det sker således, at i
netop dette tilfælde gælder at:
Denne sammenhæng kan også anses i et andet parallelogram, som bliver dannet vha. disse linjestykker:
Vha. dette parallelogram opstilles denne sammenhæng:
Når disse 2 sammenhænge sættes sammen, så får man dette:
Hvilket er hvad sætning siger.
Årsagerne til de store fremskridt inden for videnskaben i den antikke græ-
ske kultur
Videnskabens udvikling har haft sine op- og nedture. Det antikke Grækenland var bestemt en stor optur,
men hvad kan skyldes denne videnskabelige blomstring? For at kaste et lys på årsagerne til denne udvikling
i det antikke Grækenland, så starter opgaven i det senmoderne samfund.
I det senmoderne samfund har den teknologiske udvikling virkelig trådt i kraft. De problemer, der opstår
nedkæmpes så vidt muligt af teknologien. Det gælder både små som store problemer. Et af de største pro-
blemer teknologien og jordens befolkning slås med i nyere tid, er global opvarmning, og hvor der er pro-
blemer - er der investorer, og hvor der investorer - er der penge, og hvor der er penge - er der magt. Magt
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
20
8. december 2015
og penge er drivkraften i sidste ende for rigtig mange mennesker i det senmoderne samfund. Der er intet,
som kan drive mennesket mere end magt og penge.
Men hvad var problemerne så i det antikke Grækenland? Hvor kommer magten og pengene ind i billedet
henne, og hvordan hænger det sammen med de store fremskridt inden for videnskaben? Magten og pen-
gene findes selvfølgelig i krig og erobring af lande eller kolonier.
I bogen ”Staten” af Platon, fortæller Sokrates, at i krig har en feltherre brug for aritmetik og geometrik (2
matematiske faggrupper). En feltherre skal ifølge Sokrates vide noget matematik for at kunne stille sine
tropper op i den mest strategiske formation.
20
Ikke nok med, at feltherrerne skal opstille den mest strategi-
ske formation, så var våbenteknologiens udvikling også i fuld gang. Her var Archimedes et meget godt ek-
sempel på en videnskabsmand i det antikke Grækenland, hvis rolle hurtigt blev at opfinde nye og smarte
metoder til at udslette fjenden. Det var her Archimedes’ matematiske fysik startede. Den mest kendte le-
gende om Archimedes, er omkring citatet: ”forstyr ikke mine cirkler! ”. Dette var efter signede hvad Archi-
medes svarede den romerske soldat, som bad Archimedes om at følge med ham. Dette sker efter, at ro-
merne med Marcellus i spidsen havde forsøgt at erobre Syrakus i 2 år. Men den lille havneby havde holdt
stand i de 2 år vha. Archimedes’ matematiske fysik, hvori Archimedes konstruerede kastemaskiner og andre
opfindelser til at forsvare sig med
21
.
Krig og ordre var altså med at skabe disse store fremskridt inden for videnskaben i den antikke græske kul-
tur. Disse fremskridt, der blev fremprovokeret af krig er også set senere hen i historie f.eks. med 2. ver-
denskrig, hvori atombomben blev den helt store teknologiske udvikling.
En anden årsag for disse fremskridt kan ses ud Perikles’ gravtale. Talen var den første af 5 gravtaler, der
blev holdt fra 395-322 f.Kr. Perikles’ gravtale er opbygget ligesom de andre 4 gravtaler, hvori indledningen
består af selve ceremonien, hvorefter der kommer et stykke med lovprisning af forfædrene, som bliver
fulgt op af beskrivelse af fædrelandet. Til sidst slutter alle talerne af med de faldne og de faldnes bekendte.
Perikles selv var mange ting i det antikke Grækenland. Han blev genvalgt 15 år i streg til at være strateg
(politisk militær rolle), hvilket også gjorde ham til en stærk feltherre. Ud over det militære så var han også
en dygtig folketaler
22
. Netop hans evner som feltherre og den store mængde respekt Perikles havde var,
hvad en taler til gravtalen skulle bruge. Denne mængde respekt og evner militært giver selvfølgelig Perikles
en masse etos hos de tiltalte. På samme tid så står han til en begravelse af Athens krigere for Athens borge-
re og skal prøve at skabe mod og vilje hos de tiltalende. Her vil der selvfølgelig også svømme rundt med
følelser, som vil styrke Perikles’ patos. Med andre ord så har Perikles gode muligheder for at få bragt et
20
Platon: ”Staten” 525a-525d
21
Schmidt, Egon: ”Fra Arkimedes til Niels Bohr” s. 18-19
22
http://www.denstoredanske.dk/Geografi_og_historie/Gr%C3%A6kenland/Det_klassiske_Gr%C3%A6kenland/Perikles
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
21
8. december 2015
budskab ud til folket. Hans budskab først og fremmest er ifølge Thukydid, at den athenske befolkning ikke
er ligesom andre befolkninger. (Her menes der selvfølgelig andre bystater i det antikke Grækenland, især
henvendt imod Sparta). Som sagt så sagde Perikles i sin tale, at man i Athen havde mulighed for at udfolde
sig bedst muligt uafhængigt af ens økonomiske baggrunde. En anden årsag er altså ifølge Thukydids ned-
skrivning af Perikles’ gravtale, at de økonomiske rangeringer er uden betydning for at kunne udfolde sine
kvaliteter i det athenske styre.
Men hvad er så den vigtigste faktor inden for de store fremskidt af videnskaben i det antikke Grækenland?
Der ingen tvivl om, at det athenske styre har haft en stor betydning for, hvordan man i det senmoderne
samfund ser tilbage på det antikke Grækenlands fremskridt på det videnskabelige plan. Men hvis man ser
på det videnskabelige historiske forløb frem til i dag, så må man nok sige, at magt og penge, i form af krige,
har haft størst betydning for udviklingen videnskabeligt, derfor menes der også, at dette var de vigtigste
årsager til udviklingen tilbage i den antikke græske kultur.
Dog skal det også lige noteres, at ifølge David Favrholdt, professor i filosofi på Syddansk Universitet, så er
viljen og lysten til at forstå, hvordan verden er strukturerede sammen også en årsag til denne blomstring af
videnskaben i den antikke græske kultur
23
. Så kan man derefter spørge om, hvor viljen og lysten kommer
fra.
Græske videnskabsmænd kan ses som historieskabt/historieskabende
Opgaven vil nu handle om at opstille en historisk udgave af den matematiske metode Archimedes gjorde
brug af i sine beregninger for parablens kvadratur. Opgaven vil forsøge at skabe et historisk reductio ad
absurdum univers om matematikere kan ses som historieskabt eller historieskabende. Med dette menes, at
opgaven forsøger at sige, at enten er matematiker som Archimedes historieskabende, eller så er de histo-
rieskabt, eller så er videnskabsmænd den sidste mulighed hvor, at det ene ligger til grunde for det andet.
Det at være historieskabt er svært at modargumentere, da der sker udvikling på alle punkter hele tiden. Når
Archimedes finder ud af, hvordan sammenhængen mellem en cirkel og dens diameter i form af , så er det
selvfølgelig også en følge af tidligere opdagelser - bare med en nyere tænkning. Denne udvikling bare på
præcisionen af s uendelige mange decimaler startede allerede 2000 år før Archimedes undersøgte det i
Babylon. Den eneste årsag til, at man kan sige, at det startede der skyldes, at man ingen kilder har fra tidli-
gere. Siden da har menneskeligheden udviklet forskellige metoder til at bestemme .
24
Dette er bare en af
de punkter som Archimedes er en del af i historien, men denne udvikling sker indenfor alt. Så at sige, at
23
http://www.jyllands-posten.dk/protected/premium/kultur/ECE3685739/Fornuftens-lys-fra-Hellas/
24
http://www.matematiksider.dk/pi.html
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
22
8. december 2015
Archimedes er udelukkende historieskabende, og derved postulere, at han startede noget fra bunds, det
ville være løgn. Hvilket må betyde, at Archimedes og videnskabsmænd som ham er ikke udelukkende histo-
rieskabende, pga. alle er historieskabt. Men er Archimedes så udelukkende historieskabt?
Det ville også være synd at påstå, at Archimedes slet ikke var historieskabende. Hans beregninger omkring
parablens kvadratur var trods alt det, der lå til grunde for Newtons og Leibniz’ infinitesimalregning, hvilket
både er differentialregning og integralregning. Dog skal det siges, at Archimedes kun havde grundstenen for
integralregning. Differentialregning er så integralregnings omvendte og derfor siges der også, at Archime-
des var forløberen for infinitesimalregning, hvilket først blev bevist i cirka slutningen af det 17. århundre-
de.
25
Når dette så er sagt, så kan der konkluderes, at videnskabsmænd som Archimedes er ikke kun histo-
rieskabt, men de er heller ikke kun historieskabende. Hvilket giver kun en mulighed tilbage i det reductio ad
absurdum univers, netop at de begreber historieskabende og historieskabt er skabt sammen, hvor den ene
ligger til grunde for den anden. Dette kan ses ud fra historiske tider. En matematiker som Archimedes har
altså skabt noget, men han har fået idéen et eller andet sted fra. Derfor må en matematiker som Archime-
des været historieskabende pga. han er historieskabt. Det kan sammenlignes lidt med et stamtræ, hvor
man slår helt tilfældigt ned et sted. Det individ man slår ned på i stamtræet skal også være ”skabt” af noget
historie - for selv at kunne skabe sin egen historie. Om historien som individet skaber, er ligeså betydende
for verdenshistorien som Archimedes’ historie var - ja det er det nok de færreste, der vil komme til at prale
med.
Konklusion
På baggrund af den historiske empiri, der er samlet sammen i denne opgave kan der konkluderes, at det er
nemt at se de enorme fremskridt i videnskaben, da Archimedes var næsten 2000 år foran for sin tid, men
det er at finde årsagerne i klare og entydige svar er ikke lige sådan lige til. I opgaven har man forsøgt at sige
hvad drivkræfterne i det senmoderne samfund er, og derved trukket perspektiveringslinjer til det antikke
Grækenland. Opgaven har vha. perspektiveringslinjerne til det senmoderne samfund samt kilder fra det
antikke Grækenland eksperimenterede med at bestemme de vigtigste årsager til disse historiske videnska-
belige fremskridt. Derefter er matematikken udarbejdet vha. af de midler Archimedes kendte og gjorde
brug af. Sammenspillet af de tværfaglige fag sker vha. at se på netop de matematiske opdagelser Archime-
des gjorde sig tilbage i den historiske tid, Antikken. Dette sammenspil giver et godt indblik i, hvordan en
25
http://www.fysikhistorie.dk/biografier/archbio.html
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
23
8. december 2015
matematikere arbejdede med matematikken i det antikke Grækenland, hvor geometrien var en stor del af
matematikken, hvilket har været en af årsagerne til at Archimedes kan ses som historieskabende, men pga.
at der sker udviklinger på alle punkter, ja så er Archimedes også historieskabt.
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
24
8. december 2015
Litteraturliste
Bøger
Bryld, Carl-Johan: ”Verden før 1914 - i dansk perspektiv”, 1. udgave - 5. opslag, Systime, 2013
Lund, Jens: ”Fra kvadratur til integration”, 1. udgave, Matematiklæreforeningen, 2000
Platon: ”Staten”, 1. udgave - 1. opslag, Gyldendal, 2013
Schmidt, Egon: ”Fra Arkimedes til Niels Bohr - Træk af fysikkens histoire”, 2. udgave, Gyldendal,
1968
Artikler
Marinus, Christian:”Archimedes og Syrakus”. I: Sfinx, 2014
Raahauge, Anders: “Fornuftens lys fra Hellas”. I: Jyllands-Posten,
Internettet
Wikipedia: “Anden puniske krig” på: https://da.wikipedia.org/wiki/Anden_puniske_krig, sidst be-
søgt d. 15.12.15
Mogens Herman Hansen: ”Athens demokrati” på:
http://www.denstoredanske.dk/Geografi_og_historie/Antikken/Antikken,_gr%C3%A6ske_stednavn
e/Athens_demokrati, sidst besøgt d. 10.12.15
Mogens Herman Hansen: ”Perikles” på:
http://www.denstoredanske.dk/Geografi_og_historie/Gr%C3%A6kenland/Det_klassiske_Gr%C3%A
6kenland/Perikles, sidst besøgt d. 14.12.15
Else Høyrup og Frank Nielsen: ”Archimedes” på:
http://www.fysikhistorie.dk/biografier/archbio.html, sidst besøgt d. 11.12.15
Vestergaards matematik side: ”Archimedes’ vurdering af pi” på:
http://www.matematiksider.dk/pi_archimedes.html, sidst besøgt d. 19.12.15
Vestergaards matematik side: ”Tallet pi” på: http://www.matematiksider.dk/pi.html, sidst besøgt d.
16.12.15
Jesper Lützen og Kurt Ramskov: ”Kilder til matematikkens historie” på:
http://www.math.ku.dk/noter/filer/kilder.pdf, sidst besøgt d. 9.12.15
Natmus: ”Direkte demokrati” på: http://natmus.dk/historisk-
viden/verden/middelhavslandene/graekenland/den-graeske-bystat/direkte-demokrati/, sidst be-
søgt d. 11.12.15
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
25
8. december 2015
Bilag
Bilag 1
[navn fjernet] Vejledere
[navn fjernet]
3.a SRP - Ringkjøbing Gymnasium [navn fjernet]
26
8. december 2015
Bilag 2
D
F
𝐴
𝑢𝑎𝑢
𝐶
𝑣𝑎𝑣
𝐸
𝑥𝑎𝑥
𝐵
𝑥
𝑎𝑥
X
Y
𝐺
𝑥𝑎𝑥
𝑥 𝑎𝑥