SRP 2010
Jupiter
Ellipser, planetbevægelser, Kepler og massebestemmelse
Alle kildehenvisning findes på side 27. Fodnoter er tilføjet løbende.
1/35
2. Abstract
This study investigates the geometric shape of an ellipse. Later on this is used to derive
Kepler's laws – the law of ellipses, the law of equal time, equal areas and the proportionality
constant of an orbit. This derivation of Kepler's laws is based on the Newtonian laws. With the
formulas all clear, the varying distances between Jupiter and Earth and their relative period
while orbiting the Sun are studied and presented.
The mass of Jupiter is determined by an analysis of data collected from a simulation program
of the revolution of the Galilean moons of Jupiter. The mass was calculated using Kepler's 3.
law and the calculated mass diverged from the generally recognised value by only 1,8%.
Lastly, it is studied if the presence of Jupiter orbiting the Sun can be discovered from outer
space. The planet itself does not emit any light, and can for instance be discovered using a
technique, where the Sun orbiting a common center of mass or barycenter created by the
mutual gravitational force between Jupiter and the Sun, indicates an exoplanet. It is discovered
that the Sun does move and the movement causes a barely measurable change in its light's
spectrum.
2/35
3. Indholdsfortegnelse
Titelblad/opgaveformulering
1. Forside..............................................................................................................................1
2. Abstract............................................................................................................................2
3. Indholdsfortegnelse.........................................................................................................3
4. Indledning........................................................................................................................4
5. Opgavebesvarelse............................................................................................................5
5.1 Ellipser.....................................................................................................5
5.1.1. Konstruktion.................................................................5
5.1.2. Brændpunkter................................................................5
5.1.3. Storakse og lilleakse.....................................................6
5.1.4. Excentricitet..................................................................6
5.1.5. Ellipsens ligning............................................................7
5.2 Keplers love............................................................................................8
5.2.1. Bevægelser og Newtons love.......................................8
5.2.2. Keplers 2. lov...............................................................10
5.2.3. Keplers 1. lov...............................................................11
5.2.4. Keplers 3. lov...............................................................13
5.3 Planetmodeller.......................................................................................15
5.3.1. Planetbanerne som koncentriske cirkler......................15
5.3.2. Den mindste afstand....................................................16
5.3.3. Hvor ofte indtræffer den mindste afstand?..................18
5.4 Massebestemmelse og Keplers 3. lov...................................................19
5.4.1. Massebestemmelsen af Jupiter.....................................19
5.4.2. Afvigelser i massebestemmelser..................................20
5.5 Jupiter som exoplanet............................................................................21
5.5.1. Massemidtpunktet i Sol-Jupiter-systemet....................21
5.5.2. Jupiters påvirkning på Solen og dens spektrallinier.....22
6. Konklusion.....................................................................................................................24
7. Litteraturfortegnelse.....................................................................................................25
8. Slutnoter.........................................................................................................................27
9. Bilag..........................................................................................................................28-35
3/35
4. Indledning
Jeg har valgt at skrive om Jupiter. Jeg har altid været særligt interesseret i astronomi og da
Jupiter i september 2010 var forholdsvis tæt på Jorden for første gang i over tolv år, blev jeg
inspireret til at skrive min SRP-opgave om Jupiter og Kepler.
Min opgave handler om Jupiter med udgangspunkt i Keplers love. Man kan bruge Keplers
love til mange ting – jeg har så fået til opgave at skrive om ellipser og udlede Keplers love på
moderne vis. Det viser sig nemlig, at Kepler brugte mange år og fejlslåede forsøg, før han fik
opstillet sine tre love og først senere, da Newton kom til, kunne man rent faktisk forklare,
hvorfor det forholdt sig som Kepler havde formuleret. Når man har Keplers love, kan man
bruge dem til mange spændende ting. Jeg har forklaret, hvornår Jupiter vil være mest synlig på
nattehimlen, og hvor ofte dette sker. Jeg har massebestemt Jupiter ved brug af Keplers 3. lov.
Endelig kan man bruge Keplers love kombineret med Newtons love og Dopplerforskydningen
til at finde exoplaneter.
Opgaven er bygget op, så jeg starter med matematikken – jeg gør rede for ellipser og udleder
Keplers love teoretisk ud fra Newtons love. Dernæst går jeg til at beskrive Jupiter og Jordens
afstande og bevægelser i forhold til hinanden. Jeg massebestemmer Jupiter ud fra data, som jeg
har simuleret i et program. Her har jeg observeret Jupiters måners perioder og radier. Til sidst
kommer jeg lidt ind på Jupiter som exoplanet – altså hvordan man ellers kan bruge Keplers
love.
Så min opgave er i grundtræk bygget om som en klassisk fysikopgave – først en tegning, her
ellipsen, formlerne, opstilling af modeller og til sidst en udregning og perspektivering.
4/35
5. Besvarelse af opgaven
5.1 Ellipser
Ellipser er fladtrykte cirkler som beskriver en helt
specifik kurve og har en helt specifik punktmængde.
En ellipse defineres som det geometriske sted, hvor alle
punkter opfylder, at summen af afstandene til de
to brændpunkter fra punktet, er konstant,
altså
∣F
1
P∣∣F
2
P∣=2a
i
Dette gælder selvfølgelig alle punkter på ellipsen,
illustreret ved figur 1.
Ifølge Keplers første lov, bevæger planeter sig rundt om Solen i ellipsebaner. For at kunne
forklare denne lov, skal man vide noget om ellipser.
5.1.1 Konstruktion
En ellipse kan konstrueres ud fra to punkter, hvor imellem man
har en linje, eller tråd i praksis. Tråden skal være længere end
afstanden mellem de to punkter valgt fra starten, altså:
∣F
1
F
2
∣ 2a
ii
Man lader så en blyant spænde tråden ud og man kan så føre
blyanten til siden. Den streg, der fremkommer, vil så beskrive en
ellipse.
5.1.2 Brændpunkter
De to punkter man valgte fra starten, som jeg på figur 3 side 6 har valgt at angive som F
1
og F
2
,
kaldes ellipsens brændpunkter eller fokus. I relation til planetbevægelser vil det ene fokus være
Solen. Der er intet i det andet fokus
1
. Centrum i ellipsen, C, er midtpunktet for linjen mellem
de to brændpunkter, F
1
F
2.
Hvis Solen er det ene brændpunkt, betegner perihelion det sted på ellipsen, hvor afstanden til
brændpunktet er mindst, og aphelion betegner det sted, hvor afstanden er størst.
1 Planeterne bevæger sig kun om ét legeme. Dette legeme befinder sig i det ene brændpunkt/fokus. Det andet
brændpunkt er ”tomt”, men det findes stadig som et geometrisk sted.
5/35
Figur 2: Ellipsekonstruktion
Figur 1: Punkter på ellipsen
5.1.3 Lilleakse og storakse
Storaksen er den længde, der spænder sig fra det ene yderpunkt i ellipsen til det andet
yderpunkt
2
. Storaksen er betegnet ved 2a, som lige netop var afstanden fra det ene brændpunkt,
til et punkt på ellipsen, og fra punktet på ellipsen tilbage til det andet brændpunkt.
Yderpunkterne er de punkter, der ligger længst fra centrum af ellipsen. Den halve storakse
strækker sig fra centrum af ellipsen, C, til yderpunktet. Den halve storakse kaldes a.
Ellipsen er symmetrisk og derfor er der lige langt fra centrum og ud til et af de to yderpunkter.
Afstanden a, som var den halve storakse kan da skrives:
∣C F
2
∣∣F
2
A
2
∣=a
da punkterne A
2
, F
2
og C ligger i forlængelse af hinanden. Fordi ellipsen er symmetrisk, så må
også
∣C F
1
∣∣F
1
A
1
∣=a
. Derved har vi, at afstanden mellem de to yderpunkter er
∣A
1
A
2
∣=2a
som er ellipsens storakse.
b er tilsvarende den halve lilleakse, den halve længde mellem de to punkter, B
1
og B
2
, som er
de to punkter på ellipsen, der ligger tættest på C og som også står vinkelret på C og storaksen.
b bliver da
b=
a
2
−c
2
3
. c er længden fra centrum ud til et brændpunkt.
5.1.4 Ellipsens excentricitet
Ellipsens excentricitet er et udtryk for, hvor flad en ellipse er, og betegnes:
=
c
a
iii
som er forholdet mellem afstanden fra centrum til et brændpunkt, c, og den halve storakse a.
Hvis ε=0, da er det en cirkel, fordi der er længden c = 0, da brændpunkt og centrum er det
samme. Hvis 0<ε<1, da er det en ellipse, da afstanden c herved er større end nul.
2 Se figur 1 for placering. Jeg har valgt at kalde yderpunkterne A1 og A2
3 Pythagoras' sætning forlyder a
2
= b
2
+ c
2
for vinkelrette trekanter. Akserne i ellipsen former en trekant, der er
retvinklet.
6/35
Figur 3: Ellipsens akser
5.1.5 Ellipsens ligning
Der er mange forskellige fremstillinger af ellipsens ligning. Dog er den mest relevante i
forbindelse med Keplers love denne:
r=
a⋅1−
2
1⋅cos
iv
som er ellipsens ligning i polære koordinater. r er afstanden fra det ene brændpunkt til et punkt
på ellipsen, a er den halve storakse, ε er excentriciteten for ellipsen og α er vinklen som set på
figur 4.
Man kan (forholdsvist) nemt komme fra ellipsens ligning med normale koordinater,
x −x
0
2
a
2
y− y
0
2
b
2
=1
4
, til ellipsens ligning i polære koordinater:
Normalt beskrives et punkts koordinater på en cirkel med parameterfremstillingen
x
y
=
r⋅cos
r⋅sin
mens dette bliver til
x
y
=
cr⋅cos
r⋅sin
v
er for en ellipse. Så kan man
substituere x og y ind i den geometriske ligning for ellipsen:
x
2
a
2
y
2
b
2
= 1 ⇔
cr⋅cos
2
a
2
r⋅sin
b
2
=1
og udnytte at
=
c
a
⇔ c=a⋅
og
b=
a
2
−c
2
=
a
2
1−
2
=a
1−
2
Ved at regne udtrykket ud og bruge sin algebra fornuftig, får man nemlig til sidst:
r=
a⋅1−
2
1 ⋅cos
vi
Senere (i afsnit 5.2.3) beviser jeg dette i omvendt rækkefølge i forhold til ovenstående – til at
starte med har jeg ellipsens ligning i polære koordinater, hvorefter jeg omskriver det til
ellipsens ligning i normal koordinater.
4 Denne ligning for ellipsen har jeg bevist, men har valgt at lægge beviset som bilag, da denne fremstilling af
ellipsen ikke er relevant for opgaven. Se bilag 1 for udledning.
7/35
Figur 4: Ellipsen ligning
5.2 Keplers love
Keplers love er empiriske love, hvor Kepler først studerede, hvordan planeterne bevæger sig,
og senere hen kom frem til nogle formler, der passede til disse bevægelser. At man udleder
noget empirisk er ikke den ideelle form i fysik – men Keplers love er alligevel blevet anerkendt
som love. Kepler kom før Newton. I de udledninger jeg vil foretage nu, tager jeg Newtons love
for givet. De følgende udledninger er inspireret af matematikhæftet ”Principia” (kilde 10) og
Feynman (kilde 1).
5.2.1 Bevægelser og Newtons love
Man kan tegne en enhedscirkel og placere et punkt på den.
Enhedsvektoren
e t
er så stedvektor for punktet, der bevæger sig
på enhedscirklen. Den tilbagelagte buelængde som ē overstryger på
sin vej rundt på enhedscirklen er t. Den retningen, punktet bevæger
sig i, er tangent til cirklen i dette punkt og tangenten står vinkelret på
e t
, dvs at:
e ' t=
e t
5
Dette sker fordi enhedsvektoren
e t =
x t
y t
differentieret giver:
e ' t=
x ' t
y ' t
=
cos ' t
sin ' t
=
−sin ' t
cos' t
=
−y t
x t
6
Hvis vi så lader
e t
være en funktion af centervinklen
t
som er en funktion af den
tilbagelagte buelængde t, så får vi den sammensatte funktion
e t
og denne differentieret
bliver:
e ' t =
e t ⋅' t
efter regnereglen om differentiation af sammensatte funktioner.
Nu har vi så et punkt, P, hvis bevægelse rundt om centrum af cirklen
7
kan beskrives således:
5 ê er en tværvektor til ē. Hvor ē har koordinaterne (x,y) har ê koordinaterne (-y,x).
6 Dette resultat af den differentierede enhedsvektor giver netop tværvektoren.
7 Dette centrum af cirklen er også det ene brændpunkt – som i solsystemet er Solen – i en ellipsebane. Kepler
havde ikke Newtons love at arbejde ud fra, så han startede med at antage at planeterne bevægede sig i
cirkelbaner. Da denne antagelse ikke holdt stik, fandt han på en idé, hvor han lod en planets ellipsebane blive
styret af en ”skyggeplanet” - en fiktiv planet – bevæge sig i en cirkelbane ude om den egentlige planets bane.
Skyggeplaneten blev styret af en stedvektor fra ellipsens, som også var cirklens, centrum mens den egentlige
planet blev styret af en stedvektor fra brændpunktet (Solen).
8/35
Figur 5: Enhedscirkel og
enhedsvektor
r t =r t⋅
e t
hvor
e t
var enhedsvektoren for cirklen og r(t) er afstanden til punktet P.
Enhedsvektoren giver stedvektoren,
r
, for punktet P retning.
De følgende udledninger kan gøres nemmere at skrive, hvis man forenkler hver af de
definerede funktioner:
r =
r t
r=r t
=t
e=
e t
Den sidste er selvfølgelig stadig en sammensat funktion og differentieres også sådan.
Taget direkte ud af Newtons matematik får vi så:
Stedvektoren for P :
r t =r t⋅
e t
Som forsimplet er:
r=r⋅
e
Hastighedsvektoren for P :
v t =
r ' t=r ' t⋅
e t r t⋅
e t⋅' t
Som forsimplet er:
v =
r ' =r '⋅
er⋅
e⋅'
Accelerationsvektoren for P :
a t =
v ' t=
r ' ' t=r ' ' t ⋅
e t r ' t⋅
e t ⋅' t
r ' t ⋅
e t⋅' t−r t ⋅
e ' t
2
r⋅
e t ⋅' ' t
Som forsimplet er:
a= r ' '−r '
2
⋅
e
e⋅2r '⋅' r⋅' '
som kan ses som summen af to vektorer:
w
u=
a
8
Nu kan vi koble vores formler til fysikken:
r t
er en stedvektor for et legeme
9
med massen m, der bevæger sig i gravitationsfeltet
omkring centrallegemet med massen M. Af Newtons 2. lov følger så at kraften på m er:
F
g
=−G⋅
M⋅m
r
2
⋅
e
hvor
e
er enhedsvektoren fra før, som ganges på, for at give kraften retning.
8 Se tegningen på siden før.
9 Legemet her er så punktet fra før, P, men jeg bruger betegnelsen legemet fordi vi har at gøre med egentlige
legemer med udstrækning og masse, ikke blot punkter.
9/35
Figur 6: Sted, hastighed,
acceleration. Kilde [1] afsnit 18-3
og kilde [10] s. 8, 2. spalte
Newtons 2. lov kan også formuleres mere enkelt, hvor kraften, F, er lig massen m, gange
massens acceleration, a:
F =m⋅a
Som følge af Newtons anden lov bliver accelerationen nu
a=−G⋅
M
r
2
⋅
e
Da kraften, som legemet bliver påvirket af, har retning ind mod centrallegemet
10
, så må
accelerationen også have denne retning. Som jeg illustrerede på figur 6, så kan man beskrive
accelerationen som summen af to vektorer. Da accelerationen peger ind mod midten, må
u=0
og
w=−G⋅
M
r
2
⋅
e
Jeg deler så udtrykket for accelerationen,
a= r ' '−r '
2
⋅
e
e⋅2r '⋅' r⋅' '
op i to
dele:
1.
r ' '−r'
2
=−G⋅
M
r
2
som var accelerationen
2.
2⋅r '⋅'r⋅' '=0
som er specielt for tyngdefelter
Den sidste formel kan da omskrives til
r
2
⋅' =k
da når en differentialkvotient er lig nul, er
funktionen konstant:
r
2
⋅' '=2⋅r⋅r '⋅' r
2
⋅' ' =r⋅2⋅r '⋅' r⋅' ' =0
Og når noget differentieret giver 0, betyder det at funktionen er konstant.
Nu kan jeg så udlede Keplers love - dog i en anden rækkefølge end den, de er formuleret i.
5.2.2 Keplers 2. lov
”Forbindelseslinien mellem Solen og en planet overstryger lige store arealer i lige store
tidsrum.”
vii
11
Dette betyder, at stedvektoren for P eller det mindre legeme med massen m, overstryger et
areal A, som vokser med tiden t og kaldes A(t).
10 Ved at sætte minus foran det normale udtryk for kraften og ved at gange enhedsvektoren fra før på, får vi en
kraftvektor som peger ind mod centrallegemet.
11 Dette bevis vil jeg gøre meget kort, da det ikke er specielt relevant for resten af opgavebesvarelsen.
10/35
Når der er gået et lille tidsrum Δt, vokser centervinklen φ med
='⋅t
da
d
d t
='
.
Når
t 0
kan arealet ses som en trekant med arealet
12
A=
1
2
⋅r⋅r⋅sin
og når vinklen bliver bliver meget lille, er
sin≈
Dvs:
A=
1
2
⋅r⋅r⋅sin =
1
2
⋅r
2
⋅=
1
2
⋅r
2
⋅'⋅t
hvor vi genkender
r
2
⋅' =k
og ser, at
A
t
1
2
k
når
t 0
så at
A ' t=
1
2
k
som er den konstante arealhastighed.
5.2.3 Keplers 1. lov
”Planeterne bevæger sig i ellipsebaner omkring Solen, med Solen i det ene brændpunkt.”
viii
For at kunne føre denne udledning, så skal vi have fundet afstanden r til punktet P som
funktion af centervinklen, φ, i stedet for t. Så nu bliver
r t=r t
. For at kunne ”fjerne”
t i formlen, må vi gå ud fra, at
t
er monoton, hvilket jeg beviste ved Keplers 2. lov
13
.
Nu differentierer jeg så r med hensyn til t som en sammensat funktion og får:
dr
dt
=
dr
d
d
dt
og da
'=
d
d t
=
k
r
2
som vi så tidligere, bliver dette til:
dr
d
1
r
2
⋅k =−k⋅
d r
−1
d
Differentierer endnu en gang med hensyn til t:
12 Når Δt bliver tilstrækkelig lille, ser de to sider i trekanten, de to afstande til punktet P, næsten lig hinanden. For
sinus til vinklen gælder også, at når vinklen er tilstrækkelig lille, er sinusværdien næsten lig vinklens værdi (i
radianer).
13 Dette kommer selvfølgelig af at r
2
φ'=k
11/35
Figur 7: Enhedscirkel. Arealet
vokser med tiden. Figuren er
kopieret efter tegning i kilde10.
d
2
r
d t
2
=
d
dt
−k⋅
d
1
r
d
=
d
d
⋅−k
d
1
r
d
d
dt
=−k
d
2
1
r
d
2
k
r
2
Jeg har nu differentieret r to gange, og dvs:
r ' '=
d
2
r
d t
2
=
−k
2
r
2
d
2
1
r
d
2
Da den dobbeltdifferentierede stedfunktion giver accelerationen, og t meget passende ikke
indgår i det udtryk jeg kom frem til, kan jeg indsætte i formlen fra tidligere,
r ' '−r'
2
=−G⋅
M
r
2
:
−k
2
r
2
d
2
1
r
d
2
−r⋅
k
r
2
2
=−G⋅
M
r
2
som forkortet kan se ud på denne måde:
d
2
1
r
d
2
=−
1
r
−
GM
k
2
Dette er en andenordens differentialligning, som kan skrives
d
2
y−b
d x
2
=− y−b
og har
løsningen
y−b=B cos x− x
0
Dette betyder, at
1
r
−
GM
k
2
= y−b=B cos −
0
og ligningen for afstanden r kommer til at se sådan ud:
r=
1
GM
k
2
B cos−
0
hvor vi skifter konstanten B ud med excentriciteten, ε, som er konstant for banen, og
GM
k
2
= p
som er konstant for solsystemet. Så kommer forskriften for en planetbane/ellipse
til at se sådan ud:
r=
p
1− cos−
0
hvor r er afstanden fra Solen/det ene brændpunkt til punktet på ellipsen. Denne ligning kaldes
12/35
ellipsens ligning i polære koordinater, som jeg viste i afsnit 5.1.5.
Af denne forskrift kan man udlede ellipsens ligning i normale koordinater, når man tager
udgangspunkt i trekantsformler:
x=r⋅cos
y=r⋅sin
14
og
p=a 1−
2
ix
(en generel notifikation, som set i afsnit 5.1.5) og
≠1
15
Vi ved fra før at
r=
p
1− cos−
0
og ellipsens excentricitet var
=
c
a
⇔ c= a
.
Nu kan vi sammenkæde ellipsens ligning:
Sætter x i stedet for
r⋅cos
:
r=
p
1− cos
⇔ r−er⋅cos= p ⇔ r −ex=a 1−
2
Sætter
r
2
=x
2
y
2
:
r
2
=a⋅1−
2
x
2
⇔ x
2
y
2
=a
2
1−
2
2
x
2
2 ax 1−
2
Flytter rundt på det hele for at få den ønskede forskrift
x −x
0
2
a
2
y− y
0
2
b
2
=1
:
y
2
x
2
⋅1−
2
−2 eax⋅1−
2
=a
2
1−
2
2
⇔ x
2
− 2 e a x
y
2
1−
2
=a
2
⇔
x−ea
2
a
2
y
2
b
2
= 1
Hvor
x
0
=ea
, da jeg tog udgangspunkt et det ene brændpunkt i stedet for centrum (se figur
4, side 7).
y
0
=0
da y-koordinaten er nul, fordi den halve storakse lå langs x-aksen.
Ved dette har jeg udledt Keplers 1. lov, da jeg er kommet frem til den normale forskrift for
ellipsens ligning i normale koordinater. Her kan man se, at ellipsen opstår som følge af, at
legemet befinder sig i et tyngdefelt og arealhastigheden er konstant.
5.2.4 Keplers 3. lov
”Forholdet mellem kvadratet på omløbstiden og kubus på ellipsens halve storakse er det
samme for alle planeter i solsystemet, altså
2
a
3
= konstant
x
”
14 Cirklens x og y-koordinater.
15 Hvis e=1, da er der tale om en cirkel, og ikke en ellipse, da den ikke er ”fladtrykt”
13/35
Arealet af en ellipse er
⋅a⋅b
. Derudover ved jeg fra tidligere, at den konstante
arealhastighed var
A ' t=
1
2
k
. Dvs at arealet per tid er:
⋅a⋅b
=
1
2
k ⇔ k=
2 ⋅a⋅b
hvor a er den halve storakse, b er den halve lilleakse og τ er omløbstiden for planeten.
Fra tidligere ved vi at
GM
k
2
= p ⇔ GM =
k
2
p
16
Dvs.
GM =k
2
⋅
1
p
=
2 a b
2
2
⋅
1
p
=
4
2
a
2
b
2
2
p
vi ved også at
p=a 1−
2
⇔ 1−
2
=
p
a
og
b
2
= a
2
1−
2
og herved bliver
b
2
=a
2
1−
2
=a
2
⋅
p
a
= p⋅a
Dette indsættes i formlen fra før:
GM =
4
2
a
2
ap
2
p
=
4
2
a
3
2
Da GM er konstant for solsystemet, og
4
2
jo også er konstant, fordi det bare er et tal, så er
Keplers 3. lov bevist. For et legeme der bevæger sig i en ellipsebane med den halve storakse a
og omløbstiden τ omkring et centrallegeme med massen M, gælder at:
a
3
2
=
GM
4
2
=konstant
Til dette kan man så se, at denne lov ikke kun gælder for solsystemet med Solen som
centrallegeme, men for alle systemer, der involverer legemer, der bevæger sig omkring et større
legeme, fx Jupiter som centrallegeme og de galilæiske måner.
16 Denne betegnelse fremkom da jeg udledte ellipsens ligning i polære koordinater.
14/35
5.3 Planetmodeller
Keplers love har tegnet et klart billede af, hvordan planeter bevæger sig rundt om et
centrallegeme.
Keplers 1. lov: Ellipseloven
Planeterne bevæger sig i ellipser rundt om Solen.
Keplers 2. lov: Konstant arealhastighed
Arealhastigheden er konstant. Dette betyder at planeten bevæger
sig hurtigst når den er tæt på sit ene brændpunkt, hvor
centrallegemet befinder sig og langsomst, når den er tæt på sit
andet brændpunkt. Planeten bevæger sig altså hurtigst, når den er
tæt på Solen og langsomst når den er langt fra. Dette kommer af
Keplers 2. lov, der siger, at en planet overstryger lige meget areal
til lige lang tid, altså A
1
= A
2
til det lige lange tidsrum Δt.
Keplers 3. lov:
a
3
2
=
GM
4
2
=konstant
dvs for alle planeter, der bevæger sig i tyngdefeltet rundt om det
samme centrallegeme med massen M gælder at a
3
/τ
2
er lig det samme, hvor a er lig
ellipsebanens halve storakse og τ er planetens omløbstid. Der er altså sammenhæng mellem
hvor langt væk en planet er fra Solen, og hvor hurtigt den bevæger sig rundt i sin bane. Jorden
er tæt på Solen og har en omløbstid på et år, hvor Jupiter, som er langt fra Solen, har en
omløbstid på næsten 12 år. Dette hænger selvfølgelig sammen med, at det tager længere tid at
bevæge sig den længere afstand, men Jordens gennemsnitlige hastighed rundt i banen er også
større end Jupiters. Dette skyldes massetiltrækningen, hvor kraften er omvendt proportional
med afstand mellem de to legemer. Dvs at afstanden til Solen også spiller ind i en planets
omløbstid.
5.3.1 Planetbaner som koncentriske cirkler
For at kunne beskrive hvordan afstanden mellem Jupiter og Jorden varierer, kan man til en start
betragte planeternes baner som koncentriske cirkler – de har altså samme radius hele vejen
rundt i banen og samme centrum.
Jupiter har en periode på 11,86 år
xi
og Jordens er 1 år. Når planeterne bevæger sig i cirkler, er
15/35
Figur 8: Konstant
arealhastighed (figuren her er blot
en skitse og er ikke særlig præcis)
deres vinkelhastighed konstant, så den behøver jeg ikke at tage ind i regnskabet.
17
Jupiter bevæger sig så:
Jupiter
t =
2
11,86⋅365 dage
⋅t
per dag, t.
Jorden bevæger sig ligeledes:
Earth
t =
2
365 dage
⋅t
per dag, t.
Hver gang de to planeter ”mødes”, bliver
vinklen imellem dem lig 0 – eller n2π
18
, hvor n er antallet af gange planeterne har mødt
hinanden på deres vej rundt. For at udregne, hvor lang tid der går mellem de møder hinanden i
cirkelbevægelserne, kan man sætte den ene vinkelhastighed minus den anden lig nul eller 2π.
Earth
−
Jupiter
⋅t=2 ⇔t =
−2
Jupiter
−
Earth
=399 dage
Der går altså 399 dage mellem de møder hinanden. Dette er omkring 13 måneder.
5.3.2 Den mindste afstand
Jorden overhaler altså Jupiter hver 13. måned. Jeg vil
gerne prøve at finde ud af hvor ofte Jupiter og Jorden
kommer så tæt på hinanden som muligt – altså den
periode der går imellem, at Jupiters perihelion falder
sammen med Jordens overhaling af Jupiter. Jeg har valgt
at forenkle min model til, at Jupiters og Jordens halve
storakser er parallelle og at begge planeter har Solen i
samme brændpunkt. Dette gør, at de to planeters
perihelion ligger ”overfor” hinanden (se figur 10).
Man kan nemt udregne perihelion og aphelion afstanden til Solen for hver af planeterne ved
hjælp af ellipsens ligning i polære koordinater som jeg kom frem til i afsnit 5.2.3.
Hvis man måler vinklen som på figur 4, side 7, vil 0
o
eller bare 0 i radianer må planeten være
17 I ellipsebaner varierer hastigheden rundt i banen. Hvis det er en cirkelbane må hastigheden så være konstant og
derved er vinkelhastigheden konstant.
18 Jeg tager udregningerne i radianer. n2π betyder her et multiplum af 2π.
16/35
Data: fra NASAs fact sheets – afstande til
Solen/excentriciteter/halve storakser
Jupiter Jorden
Perihelion
/AU
9
6
0,73
6
Aphelion
/AU
5,458104 1,84
3
Excentricit
et
0,048775 0,
Periode
/jord-år
11,862615 1,0007
Halve
storakse/A
U
5,204267 1,
Figur 9: Planetbaner og vinkler
i perihelion. Når vinklen er 180
o
eller π, er planeten i aphelion. Herfra er det nemt at regne det
hele ud for Jupiter hhv. Jorden
19
:
Jorden: Jupiter:
Perihelion:
r=
a
Earth
⋅1−
Earth
2
1
Earth
⋅cos 0
= 0,983291 AU
r=
a
Jupiter
⋅1−
Jupiter
2
1
Jupiter
⋅cos0
= 4.95043 AU
Aphelion:
r=
a
Earth
⋅1−
Earth
2
1
Earth
⋅cos180
=1,01671 AU
r=
a
Jupiter
⋅1−
Jupiter
2
1
Jupiter
⋅cos180
=5,45811 AU
Den mindst mulige afstand mellem Jorden og Jupiter er, når de begge er i perihelion
20
. Den
mindste afstand bliver da:
∣JS∣−∣ES∣=4,94839 AU −0,99589 AU =3,95250 AU
21
Dette er altså den kortest mulige afstand mellem de to planeter
22
. Her er der ikke taget højde
for, at Jordens og Jupiters ellipseplaner hælder en smule i forhold til hinanden.
Jupiter hælder 1.304
oxii
i forhold til Jordens ellipseplan. Hvis jeg så regner dette med, så ser
regnestykket lidt anderledes ud. Man kan forestille sig, at de to afstande |JS| og |ES| danner en
trekant, hvor den sidste side så må være afstanden imellem dem. Jeg kender vinklen mellem |
JS| og |ES| (den var 1.304
o
). Nu er det nemt at finde afstanden:
∣JE∣=
∣JS∣
2
∣ES∣
2
− 2⋅∣JS∣⋅∣ES∣⋅cos1,304
o
=3,95282 AU
23
19 Selvom jeg her har regnet Jupiter og Jordens perihelion og aphelion afstande ud, vælger jeg at bruge NASAs
data alligevel, da den er mere præcis.
20 Dette er forudsat ud fra at jeg lader som om at Jupiter hhv. Jordens halvestorakser er parallelle.
21 |JS| og |ES| er afstandende Jupiter-Solen og Jorden-Solen (Earth-Solen)
22 Den længste afstand må da være når Jorden er perihelion og Jupiter er i aphelion (5,458104 AU – 0,995889
AU = 4,46222 AU)
23 Afstandene JS og ES er stadig de perihelion værdier for hver af planeterne. Min beregning er lidt off – ifølge
NASAs fact sheet om Jupiter, er den mindste afstand mellem Jupiter og Jorden 3,93388 AU. Denne fejl
skyldes at jeg antog at deres halve storakser var parallelle – men egentlig ligger de en lille smule forskudt.
17/35
Figur 10: Jupiter og Jordens baner i
korrekte forhold
Altså en forskel fra når de to baner ligger i samme plan på omkring 50.000 km
24
.
5.3.3 Hvor ofte indtræffer den mindste afstand?
Det tager Jupiter 11,86 år at bevæge sig en omgang rundt om Solen. Det tager ligeledes Jorden
et år at gøre det samme. Man kan så finde ud af hvor lang tid der går mellem, at planeterne står
i deres ”ideelle” afstand.
Jeg forestiller mig, at Jupiter og Jorden begge starter i perihelion. Jupiter er så tilbage i
perihelion efter 11,86 år – men fordi det ikke er et helt antal år, så møder den ikke Jorden.
Jorden vil nemlig først stå i perihelion omkring dette tidspunkt 12 år efter. Jeg skal altså finde
det antal år efter sidste perihelion for Jupiter og Jorden, hvor der er gået et helt antal år siden
Jupiter sidst var i perihelion.
Efter én Jupiter-periode er der gået 11,86 år og efter to Jupiter-perioder er der gået 23,72 år.
Den næste gang årene efter den første perihelion er et helt tal er 50 Jupiter-perioder
25
efter –
altså 593 år efter sidste ideelle stilling af Jupiter og Jorden. Den ideelle stilling af planeterne
indtræffer altså med 593 års mellemrum.
Jo flere decimaler man regner med på Jupiters periode, altså hvor præcist man regner, jo
længere tid vil man få mellem disse ideelle tidspunkter.
Hvis man blot lader sig nøjes med, at Jupiter har en periode på ca 12 år, så kommer Jupiter
lidt mere end normalt tæt på hvert 12. år – som det lige netop skete i september 2010, da
Jupiters perihelion indtræder omkring den 18. marts 2010. Grunden til at Jupiter syntes tættest
på i september og ikke marts skyldes, at Jorden overhalede Jupiter i september og ikke i marts.
Selvom Jupiter vil stå i perihelion den 18. marts 2011
xiii
, så har Jorden allerede overhalet den
for længst.
24 Forskellen mellem de to afstande blev 0,0032 AU som ca er lig 50.000 km.
25 11,86 år x 50 perioder = 593 år
18/35
Figur 11: Som forskudte bane-planer
(denne tegning er slemt overdrevet så man kan se vinklen
imellem de to)
5.4 Massebestemmelse og Keplers 3. lov
Vi ved fra Keplers 3. lov at
a
3
T
2
=
GM
4
2
gælder for alle legemer med massen m << M der
kredser om et centrallegeme med massen M. For solsystemet er denne konstant lig 1 hvis man
sætter a i A.U.
xiv
(astronomical unit, hvor 1 A.U. er Jordens halve storakse til Solen) og τ er sat
i jord-år, et jord-år værende 365 dage.
Ifølge Keplers 3. lov har det mindre legeme altså ingen betydning for sin egen bane. Så hvis
M er centrallegemet, og man kender omløbstiden τ og den halve storakse a for en satellit, der
kredser om centrallegemt, kan man nemt isolere M i formlen.
a
3
2
=
GM
4
2
⇔ M =
4⋅
2
⋅a
3
G⋅
2
I solsystemet er Solen selvfølgelig centrallegemet. Man kan nemt bestemme Solens masse med
de data om Jupiter, jeg havde tidligere. Her indsættes de forskellige værdier i SI enheder, og
massen kommer ud i kilo:
M
Sol
=
4⋅
2
⋅5,2014⋅0000 m
3
6,67⋅10
−11
m
3
kg
−1
s
−2
⋅11,86⋅365⋅24⋅60⋅60 s
2
=1,99⋅10
30
kg
5.4.1 Massebestemmelsen af Jupiter
I Jupiters månesystem er Jupiter selvfølgelig centrallegemet. Her kan man udregne massen af
Jupiter ved at kigge på dens måners perioder og halve storakser. Jeg har kigget på deres
”udsving” til højre og venstre for Jupiter, altså hvor langt ud de når i deres bane set fra siden og
så har jeg målt deres positioner for at finde deres perioder. For at få usikkerheden på
målingerne ned, er disse data blevet fittet med en sinuskurve, hvor kurvens amplitude er den
halve storakse a og perioden ligeså er sinuskurvens periode τ
26
.
Ud fra denne metode har jeg foretaget målinger i en simulator
xv
fra hver af de galilæiske
måner, Io, Callisto, Ganymede og Europa og udregnet Jupiters masse for hver af månerne.
Derefter har jeg fundet den gennemsnitlige masse og sammenlignet den med den normalt
anerkendte tabelværdi
xvi
og fået, at den masse jeg er kommet frem til, afviger 1,8% fra
tabelværdien
27
.
26 Se bilag 3-6 for graferne for sinuskurverne.
27 Se bilag 7 for regneark med resultater fra simulationen samt udregninger af massen af Jupiter.
19/35
Eksempel på en udregning:
En af mine udregninger af Jupiters masse så sådan ud:
Har fundet værdier for månen Callisto til at være: a
= 13,21 Jupiterdiametre
28
τ = 16,72 dage
1 Jupiterdiameter
xvii
= (1/1050) A.U.
29
M
Jupiter
=
4⋅
2
⋅
13,21
1050
⋅0000 m
3
6,67⋅10
−11
m
3
kg
−1
s
−2
⋅16,71670⋅24⋅60⋅60 s
2
= 1,89⋅10
27
kg
Sådan har jeg så gjort for hver af månerne og til sidst fundet den gennemsnitlige masse
30
.
5.4.2 Afvigelser i massebestemmelser
Den afvigelse jeg fik i min massebestemmelse
af Jupiter var meget lille (1,8%). Dette er
klart, da jeg ikke selv har foretaget
observationerne, men har brugt et
simulationsprogram til at få ”data”. Ved Ohio
Universitet i USA har de prøvet at
massebestemme Jupiter ved hjælp af
selvforetagede observationer gennem en
normal stjernekikkert – ikke så meget mere
avanceret end hvad man kunne på Keplers tid.
De fik en afvigelse på 18%
xviii
i deres
bestemmelse af Jupiter i forhold til
tabelværdien. Det viser sig nemlig at være langt svære at få præcise målinger, når man skal
foretage dem manuelt i stedet for at sidde med et simulationsprogram, hvor alt ligger lige for
og en måling blot er et muse-klik væk. Der er ingen fejlkilder i et simulationsprogram, ej heller
måleusikkerhed – dog var der i programmet indbygget ”cloudy days” - altså dage, hvor man
ikke kunne foretage en måling
31
. Dette er grunden til, at min afvigelse er så lille.
28 Programmet måler afstanden fra Jupiters centrum ud til månen i Jupiterdiameter, hvor der på én A.U. går 1050
Jupiterdiametre.
29 1 A.U. (astronomical unit) er enheden for Jordens gennemsnitlige afstand til Solen. 1 A.U. er 0 km
30 Se bilag 1 for data fremkommet ved simulation og bilag 7 for regneark.
31 Hvor pædagogisk.
20/35
Figur 12: Jupiters månesystem. Data til udformning af deres baner
er taget fra egen data.
5.5 Jupiter som exoplanet
Ville man kunne se, at Solen havde en planet, Jupiter, kredsende om sig hvis man stod langt
ude i rummet?
5.5.1 Massemidtpunktet i Sol-Jupiter-systemet
Først må man spørge; trækker Jupiter nok i Solen for at få den til at svinge? Her skal man
finde Sol-Jupiter-systemets fælles massemidtpunkt – altså det punkt som begge legemer
kredser om. Hvis dette punkt befinder sig ude for Solens radius, da vil man kunne se, at Solen
bliver rokket i af Jupiter.
Man forestiller sig, at et system eller legeme er delt op i i delmasser, der hver har en
stedvektor
r
i
. Man tager så summen af alle disse til sammen.
Formlen for massemidtpunktets stedvektor er:
r=
∑
m
i
⋅
r
i
m
xix
Man kan forestille sig et koordinatsystem igennem Solen med origo i Solens centrum. Der er to
masser i systemet, M
jupiter
og M
sol
. Da må x-koordinaten for massemidtpunktet ligge på linjen
mellem de to. Solens stedvektor er lig 0, da den ligger i origo, og Jupiters stedvektor er lig den
afstand, der er mellem Jupiter og Solen. .
Massemidtpunktet for Sol-Jupiter systemet får så denne afstand fra Solens centrum:
r
S / J
=
∑
m
i
⋅
r
i
m
=
M
Sol
⋅0M
Jup
⋅
r
Jup
M
Sol
M
Jup
=
1.8986⋅10
27
kg⋅0 km
1.8986⋅10
27
kg 1.9891⋅10
30
kg
=778628 km
xx
Solens radius er 6.955×10
5
km dvs, massemidtpunktet ligger
r
S / J
−r
Sol
=778628 km−695500 km=83128 km
ude for Solens overflade.
Her har jeg også regnet med Jupiters afstand til Solen når Jupiter står i aphelion – altså når den
er længst væk.
5.5.2 Jupiters påvirkning af Solen og dens spektrallinier
Siden massemidtpunktet ligger uden for Solen, så kan jeg prøve at beregne den fart, som Solen
21/35
Figur 13: Sol-Jupiter-systemets massemidtpunkt
har i sin bane, for senere at kunne regne på den Doppler-effekt lyset fra Solen så bliver påvirket
af.
Jeg antager, at Jupiter og Solen kredser om deres fælles massemidtpunkt i cirkelbaner
xxi
. For
et legeme, der udfører en cirkelbevægelse gælder der, at hastigheden i bevægelsen er:
m⋅v
2
r
=
G⋅M⋅m
r
2
⇔ v
2
=
G⋅M
r
⇔ v=
GM
r
xxii
Dette er den hastighed som legemet med massen m bevæger sig med rundt om centrallegemet
med massen M. For Jupiter bliver dette
v
Jupiter
=
6,67⋅10
−11
⋅M
Sol
778,57⋅10
9
m
=13054 m/ s
32
hvor jeg har sat r lig Jupiters halve storakse.
For så at finde, hvor hurtigt Solen bevæger sig rundt om det fælles massemidtpunkt, bruger jeg
Newtons sætning om bevarelse af bevægelsesmængden:
m
Jup
⋅v
Jup
=M
Sol
⋅v
sol
xxiii
Her kan man så isolere Solens hastighed og få den til at være:
v
Sol
=
m
Jup
⋅v
Jup
M
sol
=
1,89⋅10
27
kg⋅13054 m/s
M
Sol
=12,5 m/ s
33
Hvis man i stedet kiggede på Jupiter og Solen som to legemer, der kredsede om deres fælles
massemidtpunkt i ellipsebevægelser, ville hastigheden selvfølgelig variere
34
.
Når Jupiter er i perihelion er Solens hastighed
v
Sol
=
1,89⋅10
27
kg⋅13720 m/s
M
Sol
=13,1 m/ s
(her
har jeg brugt NASAs data om Jupiters hastighed – det er mere præcist).
Når Jupiter så er i aphelion (nu med NASAs data) er solens hastighed:
v
Sol
=
1,89⋅10
27
kg⋅12440 m/s
M
Sol
=11,9 m/s
.
Solens hastighed i sin bane rundt om massemidtpunktet varierer altså også. Dette skyldes
flere ting. Når Jupiter er tæt på solen, så rykkes deres fælles massemidtpunkt også. Når Jupiter
bevæger sig rundt i sin bane, gør Solen det lige så. De har samme periode, og derfor vil Solens
32 Hastigheden for en planet i en cirkelbane repræsenterer gennemsnitshastigheden i en ellipsebane.
33 Dette er så en gennemsnitshastighed for Solen, da jeg brugte Jupiters gennemsnitlige hastighed.
34 Keplers anden lov – konstant arealhastighed.
22/35
hastighed være størst når Jupiter står i perihelion og omvendt i aphelion
35
. Det er også dette
man vil se når man leder efter exoplaneter. De grafer, der fremkommer når man plotter
radialhastigheder ind for stjerner, eksempelvis dobbeltstjerner, vil have fx have en spids ”top”
og en blød ”dal”. Dette er igen, fordi at legemet bevæger sig skiftevis langsomt og hurtigt.
Jupiter får altså Solen til at bevæge sig og når en stjerne bevæger sig, giver det en Doppler-
forskydning
36
i dens spektrum. Denne forskydning bliver så:
=
v
c
⇔ =
⋅ v
c
xxiv
Forskydningen bliver da:
Jupiter i perihelion:
=
500 nm⋅13,1 m/ s
c
0,000022 nm
Jupiter i aphelion:
=
500 nm⋅11,9 m /s
c
0,000020 nm
Konklusionen på dette er, at hvis man havde tilstrækkeligt godt udstyr, så ville man godt
kunne se ude fra rummet, at Solen ikke var alene, men var et system bestående af en stjerne og
en relativt stor gasplanet.
Det kedelige ved hele denne affære med at finde exoplaneter via denne metode er, at man
næsten kun finder store planeter. Hvis planeten er for lille, kan man simpelthen ikke se at den
trækker i stjernen. F.eks. er tyngdeaccelerationen på overfladen af en stor planet som Jupiter ca
24 m/s
2 xxv
. Mennesket er vant til en tyngdeacceleration på 9,8m/s
2
, så mennesket ville
simpelthen ikke kunne leve på en sådan planet – de ville blive knust under deres egen vægt.
35 Keplers anden lov – konstant arealhastighed.
36 Dopplerforskydningen er givet ved Δλ/λ=Δv/c hvor c er lyset hastighed og Δv er stjernens hastighed. λ er en
reference-spektrallinie som bruges til at finde hvor meget denne er blevet forskudt, Δλ, pga stjernens
bevægelse
23/35
6. Konklusion
Jeg har givet en analytisk beskrivelse af ellipser. Jeg fandt senere ud af, at ellipsens ligning i
polære koordinater var nyttig i forbindelse med udregninger af afstande mellem Jorden og
Jupiter. Denne ellipsens ligning blev senere hen bekræftet, da jeg udledte Keplers 1. lov –
ellipseloven. Her kom jeg nemlig frem til samme ligning som i starten af min opgave.
Derudover fik jeg knyttet Newtons love sammen med en planetbevægelse, hvilke gjorde, at jeg
kunne udlede Keplers love.
Keplers 3. lov brugte jeg i forbindelse med massebestemmelsen af Jupiter ud fra dens månes
baner. Ved hjælp af et simulationsprogram og Keplers 3. lov fik jeg massebestemt Jupiter med
blot 1,8% afvigelse.
Til sidst fandt jeg ud af, at hvis man betragter Solen udefra, vil man kunne se, at Solen ikke
er alene, men består af en stjerne og en forholdsvist stor planet. Det viste sig nemlig, at Jupiters
massetiltrækning påvirker Solen nok til at forskyde Solens spektrum med 0,00002 nm.
37
Det, der i denne opgave har forbløffet mig mest er, at tre teorier fra starten af 1600-tallet
stadig viser sig fuldkommen gældende og stadig bruges konkret i moderne astrofysik. Det er
også imponerende at forestille sig, at Kepler er kommet frem til disse teorier – som i dag er
blevet ophøjet til fysiske love – blot ved observation og tankespin. I min opgave blev jeg nødt
til at bruge Newtons love for at udlede Keplers love. Da Kepler udgav sine love, var Newton
ikke engang født. Kepler måtte slide i det og mange års arbejde senere, kom han endelig frem
til en række sætninger, der har vist sig gældende, ikke blot i vores eget solsystem, men i alle
stort legeme/lille legeme systemer
38
.
37 Dette kunne jeg komme frem til ved at kombinere min viden om ellipsebaner med Newtons lov om
impulsbevarelse samt bruge Dopplerforskydningen til at finde ud af, hvor meget spektrummet blev forskudt.
38 Dette gælder dog ikke for meget tunge legemer. Her spiller der noget relativistisk himmelmekanik ind, men det
kan jeg jo skrive om en anden god gang.
24/35
7. Litteraturfortegnelse
1. The Feynman lectures on Physics: Mainly mechanics, radiation, and heat [Bd. 1]
(1963)
Af: Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands
Bogens DK-tal: 53 Fey
Mest brugt som reference-kilde til de andre kilder jeg har brugt.
2. Feynman's lost lecture: The motions of the planets around the Sun (1997)
Af: David L. Goodstein og Judith R. Goodstein
ISBN 1-7
Feynmans udledning af ellipser.
3. Mathworld om Ellipser [MAT] (21/12-10 kl )
http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
En internetside der beskæftiger sig med matematiske beviser.
Af: Eric W. Weisstein nærmere om forfatter se link:
http://mathworld.wolfram.com/about/author.html
4. Parameterkurver [MAT] (2006)
Marianne Terp
5. ORBIT 3 (2000)
Af: Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller, Jens
Vaaben og forlaget Systime a/s.
ISBN 3 2
6. NASAs ”HORIZON”-program (21/12-10)
http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi#results
Hvornår Jupiter står i perihelion næste gang. Resultaterne er genereret ved hjælp af
NASAs ”HORIZON”-program.
25/35
7. Jupiter fact sheet
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/jupiterfact.html
NASAs data om Jupiter.
8. Project CLEA
http://public.gettysburg.edu/~marschal/clea/CLEAhome.html
Project CLEA – en simulator af den galilæiske måners baner rundt om Jupiter.
Henvisninger vil være til ”Student Manual” som kan downloades på siden.
9. Determining the Mass of Jupiter Based on the Orbital Characteristics of the
Galilean Moons (June 4, 2004 (skrevet), 21/12-10 kl (tjekket))
http://www.phy.ohiou.edu/~tss/ASTR410/Kelley04/jupmass.html
Ohio Universitets massebestemmelse af Jupiter.
Forfatter: Nathan Kelly
10. [MAT] Principia – i stort og småt
Teoretisk udledning af Keplers lov med udgangspunkt i Newtons love
11. Sun fact sheet
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/sunfact.html
Fact sheet om Solen. Data fra NASA.
12. ”Rummet” - i anledning af Dansk Naturvidenskabsfestival 2000
Kan hentes på www.fy.gymfag.dk
Udgivet af Fysiklærerforeningen. Forfattere: Niels Elbrønd Hansen, Frederiksberg
Gymnasium, Knud Jepsen, Haslev Gymnasium, Kirsten Kragbak, Rødkilde
Gymnasium, Erik Bruun Olesen, Odense Katedralskole, Anne Værnholt Olesen,
Frederiksberg Studenterkursus og Tycho Brahe Planetarium, Lars Petersen, Orion
Planetarium, Torben Taustruo, forman for Astrofoto Sektionen i Astronomisk Selskab.
13. Exoplaneter
Niels Erik Wegge, Birkerød Gymnasium - LMFK-bladet, nr. 2, marts 2010
26/35
8. Slutnoter
i [3] den første sætning navngivet (1)– der defineres hvad en ellipse er. Findes også i [1] 7-2 ”Kepler's laws”
og i [2] s. 64 l. 6
ii Samme steder som overstående note
iii [3] (33) excentricitet defineres – er taget direkte
iv Sætning (40)-(50) i kilde [3]
v [3] sætning (40)-(41)
vi Omregningen her er inspireret af kilde [3] sætning (40)
vii [5] side 153
viii [5] side 153
ix [3] (50)
x [5] side 153
xi Data taget fra NASAs factsheet kilde [7]
xii [7] under ”orbital parameters”
xiii [6] har fået denne oplysning fra programmet i kilde 6
xiv Værdi for AU taget fra NASAs hjemmeside, kilde [6]
xv [8] Project CLEA – al min data til bestemmelse af Jupiters masse kommer fra dette simulationsprogram og
øvelsesvejledninger.
xvi [7] NASAs factsheet om Jupiter under ”Bulk parameters”
xvii [8] side 9, linje 4 i afsnittet ”Calcutating Jupiter's Mass”
xviii [9] nederst på siden, 2. linje
xix [1] afsnit 18-2 sætning (18.4) samt kilde [5] side 318
xx Data fra kilde [11] og [7]
xxi Ideen til den kommende udledning og udregning har jeg fået fra kilde [12] side 13 opgave 3 og side 14
opgave 4.
xxii Idéen er taget fra side 13 i kilde [12]
xxiii Sætningen om bevarelse af bevægelsesmængden kan findes i kilde [5] side124-125
xxiv Kilde [12] side 14 midtpå
xxv Kilde [7] under ”Bulk parameters”
Jeg har selv udformet alle illustrationerne. De er lavet ved hjælp af matematikprogrammet
Geogebra som kan downloades gratis her: http://www.geogebra.org/cms/
27/35