Studiekompasset.dkKlasse: HTX 3. år · Fag: Idéhistorie B, Matematik A, SOP
Side 1 af 34
Side 2 af 34
Abstract
This paper examines the relationship between human rights and the logging of data that occurs
on a massive scale each day. The paper goes in depth with the history of human rights, and how
it has evolved from ancient Greece to modern times. This project also investigates how you can
protect your data using the RSA asymmetric cryptosystem while giving the reader the knowledge
needed to understand and use it on their own. A reader will also get a lot of essential knowledge,
about important philosophers like, Thomas Hobbes and John Locke, which will enable him or
her, to have educated engagements in more public debates.
The paper is based on research based on historic texts, academic papers, and
mathematical books, made for teaching. A lot of effort went into understanding and simplifying
math based definitions, sentences and proof, to make sure that as many people can read,
understand and be able to use the thesis for practical purposes.
The study indicated that if global scale logging isn’t treated with care, it has the potential
to cause serious harm to basic human rights, like freedom of speech. If this would ever come to
be true, the paper is able to give a proper understanding as to how one could encrypt and secure
ones’ data. The thesis also found out that there’s a significant relationship between the use of
electronic devices and ways we can be tracked by using said equipment.
Side 3 af 34
Indholdsfortegnelse
ABSTRACT ............................................................................................................................ 2
INDLEDNING ........................................................................................................................ 5
MENNESKET OG DETS RETTIGHEDER ................................................................................... 6
Antikkens naturret ................................................................................................................................... 6
Nytidens naturret ..................................................................................................................................... 7
Thomas Hobbes .......................................................................................................................................... 7
John Locke ................................................................................................................................................. 8
DE MODERNE MENNESKERETTIGHEDER .............................................................................. 9
Den sløve start ..................................................................................................................................... 9
FN´s verdenserklæring om menneskerettighederne .............................................................................. 11
Den Danske Regering, Logning og menneskerettigheder ...................................................................... 11
BEGYNDELSEN PÅ ET KRYPTERINGS SYSTEM ...................................................................... 13
Kryptering og dekryptering .................................................................................................................... 13
Kryptografi og hvordan det virker .......................................................................................................... 14
RSA ET MODERNE ASYMMETRISK KRYPTOSYSTEM ............................................................ 15
RSA-kryptosystemet og matematikken .................................................................................................. 16
Talteori .................................................................................................................................................. 17
Regning med rester .................................................................................................................................. 17
Definition 1.1 (Heltalsdivision) ............................................................................................................. 17
Sætning 1.1 (Divisibilitet) ................................................................................................................ 17
Bevis 1.1 ..................................................................................................................................... 18
Sætning 1.2 (Heltalsdivision med rest) ........................................................................................... 19
Definition 2.1 (Principale rest) ........................................................................................................ 19
Sætning 2.1................................................................................................................................. 20
Bevis 2.1.1 .................................................................................................................................. 20
Sætning 2.2................................................................................................................................. 21
Bevis 2.2.1 .................................................................................................................................. 21
Største fælles divisor (Euklids algoritme) ................................................................................................. 22
Side 4 af 34
Definition 3.1................................................................................................................................... 22
Primtal ...................................................................................................................................................... 22
Definition 4.1................................................................................................................................... 22
Sætning 4.1................................................................................................................................. 22
Bevis 4.1.1 .................................................................................................................................. 23
Eulers -funktion ..................................................................................................................................... 23
Sætning 5.1................................................................................................................................. 23
Bevis 5.1.1 .................................................................................................................................. 24
Primtalsfaktorisering ................................................................................................................................ 24
Sætning 5.1................................................................................................................................. 25
Eksempel 5.1.2 ........................................................................................................................... 25
Bevis 5.1.1 .................................................................................................................................. 25
RSA-kryptering et eksempel .................................................................................................................. 26
Enkryptering med RSA .............................................................................................................................. 27
Dekryptering med RSA .............................................................................................................................. 27
Eksempel 6.1 ............................................................................................................................................. 27
KONKLUSION...................................................................................................................... 29
LITTERATURLISTE ............................................................................................................... 31
BILAG ................................................................................................................................. 33
Bilag 1 | Regneark .................................................................................................................................. 33
Eksempel 1.2.1 (Heltalsdivision med rest) ................................................................................................ 33
Eksempel 3.1.1 (Euklids algoritme)........................................................................................................... 33
Eksempel 5.1.1 (Primtalsfaktorisering) ..................................................................................................... 34
Bilag 2 .................................................................................................................................................... 34
Eksempel på Caesar Cipher ...................................................................................................................... 34
Side 5 af 34
Indledning
I et evigt udviklende teknologisksamfund, bruges der hele tiden data. Det skal sendes, modtages
og behandles, og alt dette sker hos hver person der ejer en elektronisk enhed med internetadgang,
så som en mobil eller computer. Derfor spiller kryptering en vigtig rolle i at beskytte fortroligt
data, sådan at de kan forblive ulæselige for tredjeparter. Kryptering sker derfor hvor gang, du for
eksempel køber en varer over nettet, eller hvis du skal tjekke ind på din online mobil bank. Men
er det nok at nøjes med at kryptere dine kreditkortsoplysninger? Der kan stilles spørgsmålstegn til
om det er i orden, at vide andre ting om dig, så som din lokalisation og indholdet af dine samtaler
over nettet. Hvem skal have ret til at bestemme, hvad der er rigtigt, og hvad der er forkert; og
hvordan tages der stilling til dette spørgsmål? Kan noget så simpelt som logning af hvem du har
ringet til, krænke dine menneskerettigheder?
I denne rapport redegøres der for menneskerettigheder, og hvordan de har udviklet
sig gennem tiden, lige fra antikken, til den Amerikanske uafhængighedserklæring; samt den
Franske revolution – hvorpå nutidens menneskerettigheder bliver redegjort for. Der vil derpå blive
diskuteret, om det er i orden at logge data, med fokus på den nye ”trekløverregning”,
regeringsgrundlag. Derefter vil der redegøres der for hvad et kryptosystem er, hvorpå der sættes
fokus på RSA-kryptosystemet – hvor de grundlæggende matematiske metoder bag RSA-
krypteringssytemet, vil defineres og bevises. Til slut vil der blive vist et matematisk udregnet
eksempel, på enkryptering og dekryptering med RSA, hvor primtallene 11 og 3 vil blive brugt som
primtalsfaktorer.
Side 6 af 34
Mennesket og dets rettigheder
1
Få politiske dagsordener har set en kæmpe dramatisk udvikling på så kort tid, magen til den
som ”menneskerettigheder”, har oplevet. Før 1940’erne, blev begrebet nærmest ikke omtalt i
nogen større sammenhæng. Der var ingen international bevægelse, i dets navn; ingen ikke-
regerings styrede organisationer, der ville gøre alt for at bevare dets principper. Det ville overraske
mange, men selve formuleringen af menneskerettigheder, som mange i dag tager for givet, er ikke
meget ældre end godt 200 år. At menneskerettighederne først kom på tale i det sene 1700 tal,
betyder ikke at der op til det punkt, ikke fandtes nogle rettigheder. Før vi kan forstå begrebet
menneskerettigheder fuldt ud, bliver vi nødt til at få det fundamentale på plads; der er her tale om
begrebet ”Naturret”.
Antikkens naturret
Naturretten er ikke nogen menneskelig opfindelse, konstruktion eller vedtagelse, eller noget der
kan laves om på. Den kan overholdes, eller den kan trodses – men den kan ikke skabes eller ændres.
Naturret er fundamentet for indretningen af samfundet og de love som det hviler på.
Fra antikken og frem til middelalderen, blev naturretten defineret som det at
mennesket hørte til naturen, hvor det var blevet skabt med en bestemt plads og funktion –
mennesket skulle altså handle i overensstemmelse med naturen. Det samme kunne siges om
samfundet, selv det var blevet skabt med en bestemt plads og funktion.
Dengang var der altså ikke en adskillelse mellem menneske og samfund – for
mennesket var i natur et samfundsvæsen. Dydsbegrebet spillede dengang en vigtig rolle, da
mennesket ifølge naturretten skulle stræbe efter at perfektionere dens funktion og plads i kosmos.
1
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 6 - 13 Forlaget Modtryk, 2001.
Side 7 af 34
Dyd var altså ikke bare en egenskab, men et primært mål, som man som menneske havde pligt til
at realisere. Det vigtigste for naturretten var altså ikke at skabe socialitet (da mennesket var skabt
socialt) – det vigtigste var at skabe retfærdighed, som dengang blev defineret som en velorganiseret
og velordnet socialitet. Retfærdighed var altså at handle ud fra den bestemte plads, som man havde
fået i samfundet, og perfektionere sin plads. Det afgørende var altså ikke lighed, men
dydsperfektion.
Nytidens naturret
Thomas Hobbes
2
Nytidens natturet var præget meget af begrebet fornuft. Det var derfor ikke mærkeligt at antikkens
definition af naturretten kom under heftig kritik i det morderne samfund. Den største modstander
af antikkens naturretsbegreber, og stifteren af en af de nyere definitioner var Thomas Hobbes.
3
Han mente at den klassiske lære var uvidenskabelig, da den ikke byggede på nogen metode, og
fordi dens syn på naturen var forkert. Hobbes mente, at den klassiske læres største fejl, var dens
mest karakteristiske træk; nemlig, at mennesket, af natur, var et socialt væsen. Thomas Hobbes ide
var i stedet, at mennesker af natur er fjender. Det var ikke længere et mål at opfylde sin funktion
og plads i samfundet; nej, målet var i stedet meget mere egoistisk og koldt: Målet var
selvopretholdelse, koste hvad det vil. Naturtilstanden var heller ikke længere en historisk fase, i et
udviklingsforløb. Naturtilstanden var den tilstand mennesker levede i, når samfundet var brudt
sammen, og når socialiteten var fraværende; som f.eks. under den franske revolution, som der
redegøres for senere. Defineret anderledes, så var nytiden naturret, et begreb for menneskets
fundamentale rettighed til at sikre sig sin egen overlevelse.
2
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 14 - 15. Forlaget Modtryk, 2001.
3
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 14, linje 220-223. Forlaget Modtryk, 2001.
Side 8 af 34
Men hvad med samfundstilstanden? Samfundstilstanden siges at finde sted, når
frygten for døden, bliver så stor, at man søger freden sammen i et samfund. Dog, mener Hobbes
nu, at der ikke længere hersker en naturtilstand, men en naturlov; som er en almen regel, fundet af
fornuften. Der indgås altså en pagt, når man slår sig sammen i et samfund; som også betød at man
måtte affinde sig med naturloven, og ikke gå i mod den. Til at håndhæve denne pagt, skabes der
en suveræn, lovgivende såvel som udøvende magt.
John Locke
4
5
John Locke er den mest berømte og mest indflydelsesrige af nutidens naturretstænkere.
6
Og han
var i øvrigt en af de centrale inspirationer for menneskerettighedserklæringerne i ”De tretten
Forenede Amerikanske Staters enstemmige erklæring” og ”Den franske erklæring om menneskets
og borgernes rettigheder”.
7
For Locke fungerer naturtilstanden dog lidt anderledes, end den gør
for Hobbes. Han antager for det første at ”I begyndelsen var hele verden Amerika”,
8
altså et
samfund bestående af jægere og fiskere (han refererede her til indianerne). Desuden gælder
Hobbes beskrivelse af naturlove, også i naturtilstanden; Locke fjernede altså skelnet mellem
naturret og naturlov. Naturtilstanden for Locke, er en tilstand med perfekt frihed, hvor menneskene
kan gøre, hvad de har lyst til og have fuldt eje over deres besiddelser; dog skal det passe indenfor
naturlovenes rammer.
Men hvad får denne naturlov til at eksistere? Her er det igen fornuften der er på spil,
for fornuften er den lov, som lærer alle mennesker, at alle er lige og uafhængige, og at ingen skal
tilføje andre skader på liv, helbred, frihed eller besiddelser.
9
4
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 16 - 17 Forlaget Modtryk, 2001.
5
Carl-Johan Bryld. ”John Locke om naturretten, 1690”. https://goo.gl/Tn70F5 (dato: 18/12-2016)
6
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 16, linje 301 – 303. Forlaget Modtryk, 2001.
7
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 16, linje 304. Forlaget Modtryk, 2001.
8
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 16, linje 312. Forlaget Modtryk, 2001.
9
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 17, linje 323 - 324. Forlaget Modtryk, 2001.
Side 9 af 34
John Lockes opfattelse af samfundstilstanden, var også anderledes fra Hobbes. For
ham, var samfundstilstanden, en tilstand, hvor hver individuel borger i kraft af en samfundspagt
har afhændet den dømmende og udøvende magt (som Hobbes beskrev), til en offentlig instans;
altså en regering.
Det skal også understreges, at John Locke fastholdte, at det var en naturret at kunne
gå i mod regeringen og vælte den; altså revolution. Dette er vigtigt når der i næste afsnit bliver
redegjort for ”De tretten Forenede Amerikanske Staters enstemmige erklæring” og ”Den franske
erklæring om menneskets og borgernes rettigheder”. Da Locke som sagt var en stor indflydelse på
disse to erklæringer, vil vi også kunne se retten til revolution, integreret i dem.
De moderne menneskerettigheder
Den sløve start
10
11
12
13
14
15
De moderne menneskerettigheder bliver udviklet i slutningen af oplysningstiden. Her er nogle af
de vigtigste dokumenter blandt andet den Amerikanske Uafhængighedserklæring, fra 1776, og
den franske Erklærling om Menneskets og Borgernes Rettigheder, fra 1789. Begge erklæringer
havde fokus på frihed og lighed; samt retten til privat ejendom og privatliv, som John Locke
også gik ind for.
Men hvad er den historiske baggrund for de to erklæringer? Fælles for dem begge
var, at de blev sat i gang på baggrund af revolution – for Amerika var det løsrivelsen fra
Kongeriet England, og for Frankrig var det revolution mod den siddende regering.
10
Archives.gov. “The Declaration of Independence: A History”. https://goo.gl/XXbdQu (dato: 19/12-2016)
11
Menneskeret.dk. “Om menneskerettigheder”. https://goo.gl/eFqEBh (dato: 19/12-2016)
12
Humanrights.com. ”A Brief History of Human Rights”. https://goo.gl/vXDIqc (dato: 19/12-2016)
13
Denstoredanske.dk. “Den Franske Revolution”. https://goo.gl/ilak4G (dato: 19/12-2016)
14
Denstoredanske.dk. ”Den Amerikanske Revolution”. https://goo.gl/hcWqHT (dato: 19/12-2016)
15
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Side 43 - 46. Forlaget Modtryk, 2001.
Side 10 af 34
Som sagt var både den Amerikanske revolution samt den franske produktet af oplyste
idealer, der havde fokus på ideen om rettigheder og lighed. Når man sammenligner den historiske
baggrund for begge revolutioner, bliver det altså tydeligt at begge lande ønskede at blive frie fra
det tyranniske styre, som de enevældige konger havde påtvunget dem. Lederskabet af begge lande
var (for tiden), meget undertrykkende, dette ses tydeligt hvis man tager et kig på beskatningen af
borgerne. Begge lande havde både økonomiske og sociale problemer, som var med til at lede til
borgernes lyst til at revolutionere, for at give magten tilbage til befolkningen.
En af de største sammenligninger mellem både den Amerikanske revolution og den
Franske var, at der var en voksende utilfredsred rettet mod monarkiet; selvom begge monarkier
var stærke i begyndelsen, blev deres kontrol over økonomi og befolkning ligeså stille svækket. I
1763 var Britannien en af verdenens største magter, og landets gamle fjender var begyndt at bukke
under; det gik altså godt ud ad til. Men indenrigs var landet på vej mod politisk ustabilitet, og på
renden af at gå bankerot
16
– desuden var det at Amerika ville blive uafhængige, kun med til
yderligere at svække landet. Det samme gjalde for den Franske revolution, dog var begrundelsen
for revolutionerne ikke helt de samme, men de var ens på den baggrund, at de begge var en angreb
på monarkiet.
Endnu en vigtig ting begge revolutioner havde det fælles var, at deres fokus lå på en
mere oplyst tankegang. Oplysningstiden (som startede i Frankrig), er associeret med skribenter
som Rousseau og Voltaire, der under monarkiet hårde hånd, begyndte at skrive om uligheden, som
var en følge af styreformen. Dette var med til at drive befolkningen (specielt de lave-
middelklasser), til at opfinde en idelogi der skulle føre til revolution, som skulle sikre rettigheder
for alle franskmænd og amerikanere.
16
Taxhistory.org. ”The Seven Years War to the American Revolution”. https://goo.gl/P6KLWx (dato: 19/12-2016)
Side 11 af 34
FN´s verdenserklæring om menneskerettighederne
17
Det viste sig efter første og anden verdenskrig, at der ikke altid var garanti for at
menneskerettighederne blev fulgt. Derfor blev De Forenede Nationer (FN), i 1945 oprettet som
havde til mål at sikre varig fred mellem de stater der var en del af unionen. FN kæmper også for
at sikre individets basale menneskerettigheder. Derfor blev der i 1948 vedtaget en erklæring der
skal sikre menneskerettigheder verden over. Markant for hvordan disse menneskerettigheder er
defineret er, at der er sket et skift fra fornuft til erfaring, når det kommer til at beslutte hvilke
rettigheder mennesker har. Dette betyder at menneskerettighederne hele tiden ændrer sig med
tiden, og derfor sikrer at mennesker verden over altid er så lige som muligt. Det kan altså siges, at
FN’s verdenserklæring om menneskerettighederne, tager udgangspunkt i Immanuel Kants ide om,
at man altid skal behandle menneske som et mål, og ikke et middel.
Den Danske Regering, Logning og menneskerettigheder
18
19
20
Som et led i den nye ”trekløverregerings”, regeringsgrundlag skal der indføres logning som skal
være med til at effektivisere og modernisere politiets efterforskningsredskaber. Dette kommer
blandt andet som reaktion på terrorangrebet i København, 2015, hvor man mener det kunne være
undgået, hvis politiet kunne have fået oplysninger om, hvor gerningsmanden havde befundet sig.
Men da gerningsmanden brugte internetkommunikation på en smartphone via et SIM-kort; kunne
det ikke lade sig gøre for politiet at få fat på ham.
17
Menneskeret.dk. “Om menneskerettigheder”. https://goo.gl/eFqEBh (dato: 19/12-2016)
18
Version2.dk. ”Søren Pind vil indføre totalovervågning af alle danskeres færden”. Magnus Bredsdorrf. 18.
november 2016. https://goo.gl/r74vYn (dato: 19/12-2016)
19
Regeringen. “For et fiere, rigere og mere trygt Danmark”. Regeringen.dk. https://goo.gl/Si4En2 (dato: 19/12-
2016)
20
Americasquarterly.org. “Privacy Is a Human Right: Data Retention Violates That Right”. Katitza Rodriguez.
Sommer 2015. https://goo.gl/ouuX20 (dato: 19/12-2016)
Side 12 af 34
Denne form for lovgivning er dog ikke noget nyt. I marts 2014, var verdens
menneskerettighedseksperter imod Amerikas ”National Security Agencys” (NSA),
overvågningsprogram, hvor de opfodrede USA til at lade være med at gemme tonsvis af metadata
om deres befolkning, så som tid, dato, lokalisation og IP-adresse, brugt under kontakt via E-mail
og telefonsamtaler. Dog begrunder USA deres lovgivning med at sige, at logning af metadata ikke
er ligeså sensitivt som at optage lyd under en telefonsamtale. Bare få måneder efter at have udtryk
bekymringer om NSAs overvågningsprogram, udsendte ”the Office of the UN High Commissioner
for Human Rights”, en rapport hvor de udtalte, at det ikke virkede nødvendigt at logge forbrugere
af telefon og internets ydelsers data.
Problemet med logning i forhold til menneskerettigheder er ikke, at de bare samler
lidt data, da data taget separat, for det meste er irrelevant; men når man forsigtigt samler og
kombinere data, kan det afsløre din online identitet med stor nøjagtighed.
Logning af data, er også med til at hindre ytringsfriheden, da man aldrig kan være
sikker på hvilken betydning det kan have at sige sin mening. Dette er en direkte trussel mod
menneskerettighederne.
Vil man sikre at ingen får fat på hvad du siger i dine samtaler, er det smart at kryptere sine beskeder.
Der er også andre måder at beskytte sig på, som at slører sin IP, ved hjælp af et redskab kendt som
en proxy. I det næste afsnit vil der dog blive fokuseret på, hvordan man kan enkryptere og
dekryptere sin beskeder, med en kendt metode kendt som RSA-kryptering. For at opnå en fuld
forståelse, startes der dog med en beskrivelse af, hvad et så kaldt ”kryptosystem”, egentlig er.
Side 13 af 34
Begyndelsen på et krypterings system
Da Julius Cæsar havde fået Den Romerske Republik i konflikt med Gallien i det sidste århundrede
før Kristus, var det strategisk vigtigt, at han sendte beskeder ud til sine generaler
21
. Problemet var,
at han ikke stolede på sine budbringere til at holde beskederne hemmelige, og derfor måtte han
komme op med et snu system, der ville sørge for, at meddelelserne ikke faldt i de forkerte hænder;
han måtte altså finde på et kryptosystem. Derfor erstattede han hvert α i sine beskeder med et δ,
hvert β med et ε, og så videre igennem resten af det græske alfabet. Dette førte til, at kun dem der
kendte til reglen om, at man skulle rykke hvert bogstav tre pladser til højre, der kunne dekryptere
hans beskeder.
Se Bilag 2 for eksempel.
Kryptering og dekryptering
Beskeder, tal, symboler eller generelt talt data, der kan blive læst og forstået uden brug af nogen
speciel protokol, procedure, krypteringsalgoritmer eller anden form for teknik, er
kaldet ’klartekst’, eller ’ren tekst’. Den metode der bliver brugt til at skjule indholdet af sådan en
slags besked, bliver kaldt enkryptering. Modsat bliver den metode man bruger til at se indholdet
af en krypteret tekst kaldt for dekryptering. Denne metode er vist på følgende figur:
21
Thelatinlibrary.com “Suetonius”. 56. Linje 6. https://goo.gl/xBxG6T (dato: 16/12-2016)
Side 14 af 34
Figur 1 - Model af et normalt kryptosystem.
http://graapantere.dk/Kursus/VirusSikkerhed/page10.3.html (dato: 16/12-2016)
Kryptografi og hvordan det virker
Kryptografi er et hovedemne inden for kryptologien, som er kunsten at bruge matematik til at
enkryptere og dekryptere data. Kryptografi giver dig lov til at gemme og beskytte sensitive
informationer og transmittere dem gennem ikke-sikre netværker; som for eksempel internettet –
så der ikke er nogen der undervejs, eller på den anden side kan læse din data.
Mens kryptografi er kunsten der bruges til at hemmeligholde information, så er
kryptoanalyse, kunsten at få fat i den hemmeligholdte data fra den enkrypterede meddelelse, uden
at man i forvejen kender til den metode som er brugt. Klassisk kryptoanalyse involverer en
kombination af brug af matematiske programmer, mønster genkendelse, tålmodighed,
determination og held.
En krypteringsalgoritme er en matematisk funktion der bliver brugt under
enkryptering- og dekrypteringsprocessen. Sådan en algoritme fungerer i samarbejde med en
krypteringsnøgle – som for eksempel et tal, ord, eller sætning – til at kryptere klarteksten. Den
samme tekst vil altså blive enkrypteret til forskellige kryptere beskeder, ved brug af forskellige
krypteringsnøgler. Sikkerheden af den enkrypterede data er altså afhængig af to forskellige ting:
styrken og kompleksiteten af krypteringsalgoritmen og hvor hemmelig krypteringsnøglen er.
Side 15 af 34
RSA et moderne asymmetrisk kryptosystem
RSA som kryptosystem bruges i dag i så udbredt en grad, at det næsten er umuligt at forestille sig
en verden uden RSA. For eksempel bliver RSA brugt hver dag til autentifikation mellem banker
og handel over internettet, hvor der foregår millionvis af pengetransaktioner. RSA bliver også
brugt i mange computernetværker rundt omkring i verden, til blandt andet at beskytte koncerners
data fra at falde i konkurrenternes hænder. Der ud over bliver RSA også brugt i sammenhæng med
NemID
22
, som er med til at sikre dit log-in på internettet, dette kunne for eksempel være når du
skal logge ind på din netbank, hente oplysninger fra din kommune, eller bruge mange af statens
ydelser over internettet.
RSA er et asymmetrisk krypteringssytem, det vil sige, at det bruger to forskellige
nøgler til kryptering og dekryptering. Det vil sige, at afsender og modtager har hver sit sæt af
nøgler: en hemmelig eller privat nøgle, som kun er kendt af den der har sendt en meddelelse; og
en offentlig nøgle, som alle kan få adgang til. Bliver et stykke data krypteret med den offentlige
nøgle, kan den kun dekrypteres med den private nøgle. Sikkerheden i RSA-kryptosystemet
afhænger altså generelt set på den antagelse at ingen kender til begge nøgler.
Kryptosystemet RSA, er opkaldt efter de tre mænd der i 1977 udviklede systemet:
Ron (R)ivest, Adi (S)hamir og Len (A)dleman.
22
Johan P. Hansen. ”Matematikken bag kryptering og signering NemID – RSA Foredrag i UNF”. Pure.au.dk.
https://goo.gl/X2hKew (dato: 16/12-2016)
Side 16 af 34
Figur 2 - RSA-kryptosystem model.
https://www.tutorialspoint.com/cryptography/public_key_encryption.html (dato: 16/12-2016)
RSA-kryptosystemet og matematikken
Det der gør at RSA er så sikkert, er at det er tidskrævende at dekryptere. Grunden til dette er at det
er et meget stort arbejde at finde primtalsfaktorer i et meget stort tal. Det vil altså sige at når man
går ind og kigger på matematikken bag systemet; vil man blandt andet være nød til at komme ind
på emnet om primtalsteori – der udover regning med rester og fælles divisor. Alle disse
fundamentalle matematiske metoder hører indenfor området talteori, som er det der vil blive
gennemgået i følgende afsnit. Først vil der blive præsenteret udvalgte elementer indenfor talteori,
hvorefter der vil følge en forklaring på hvordan RSA-systemet fungere.
Side 17 af 34
Talteori
23
Generelt set kan det siges, at talteori, er den gren af matematikken som konkret har med de
naturlige og de hele tal at gøre. I matematikken er et naturligt tal defineret ved enten et positivt
heltal {1, 2, 3, …}, eller et ikke-negativt heltal {0, 1, 2, …}. Mens de hele tal er = {…, -2,-
1,0,1, 2, …}.
Regning med rester
Vi skal i dette afsnit helt tilbage til folkeskolen, med regning med rester. Det virker lidt mærkeligt,
men det er en vigtig del af talteorien, som man er nød til at have styr på, hvis man skal kunne forstå
RSA-kryptosystemet. Vi ved, at et helt tal går op i et andet helt tal , hvis divisionen af tallet
med altså
, giver et helt tal. Denne situation om delelighed kan generelt blive defineret på
følgende måde:
Definition 1.1 (Heltalsdivision)
Et naturligt tal , er en divisor i et heltal , hvis der findes et heltal kvotient , således at
.
I det følgende afsnit skal vi bevise en sætning som er meget vigtig om divisibilitet, som senere vil
vise sig at være meget nyttig i forhold til begrebet om fælles divisor.
Sætning 1.1 (Divisibilitet)
24
Det gælder for ethvert helt tal , og , at:
i. Hvis : 
23
Anders Thorup. ”Talteori”. denstoredanske.dk 2009 https://goo.gl/DuWFBS (dato: 16/12-2016)
24
Erik Vestergaard. ”RSA-kryptosystemet”. Side 4. https://goo.gl/EmrfHY (dato: 16/12-2016)
Side 18 af 34
ii. Hvis :  
iii. Hvis :
iv. Hvis  :
󰇛 󰇜
Bevis 1.1
(1) Da går op i , findes et , således at . Ved multiplikation med på hver
side af lighedstegnet fås 󰇛 󰇜 . Heraf ses, at  .
(2) Der ses at da går op i , må der findes et , således at
󰇛
󰇜
Ved
division med fås så at . Heraf får vi igen, at . Omvendt, hvis , findes
, således at . Ganges på hver side igen, fås 
󰇛
󰇜
Dette viser
at går op i .
(3) Fordi  og , findes der henholdsvis et
, således at
og
. Erstatter vi -ledes in den anden ligning med den første, fås
󰇛
󰇜 . Betragter man her
, som en ny kvotient, så viser det, at .
(4) Der findes
, således at
og
. Ved at indsætte disse ligninger
i  , fås
󰇛
󰇜
, hvilket er det samme som
󰇛 ), som viser at
, bliver en ny kvotient.
Det er også vigtigt at huske, at ikke alle divisioner går op – i stedet vil der her forekomme en rest.
For eksempel kunne vi tage division af  med , har vi at  , her er den mindste
Side 19 af 34
positive rest af naturlige tal, der kan forekomme. Vi har også at  , hvor vi altså får
 som den mindste rest. Ud fra dette kan vi altså opstille en sætning for heltalsdivision med rest:
Sætning 1.2 (Heltalsdivision med rest)
Hvis og er heltal, hvor , kan det bevises at der findes to unikke heltal og , så at
, hvor .
Skulle man udføre en heltalsdivision på en ordinær lommeregner, ville resultatet blive præsentret
som et decimaltal i displayet; dog er dette kun, hvis division går op! Kvotienten , findes ved at
fjerne alle decimaler. Mens resten , findes ved at subtraktere kvotienten fra resultatet, hvor på
man ganger med divisoren.
Bemærk at man efter dette kan være nødsaget til at runde op eller ned.
Se Bilag 1 for eksempel.
Definition 2.1 (Principale rest)
For vilkårlige hele tal og med , defineres resten af ved division , med notationen
󰇛󰇜, som læses som, .
Med denne definition kan vi nemt formulere den udredning der blev fortaget i forrige eksempel,
således:

󰇛

󰇜

Der opstilles nu nogle simple egenskaber for 󰇛󰇜.
Side 20 af 34
Sætning 2.1
For vilkårlige hele tal og med , gælder at:
i. 
󰇛

󰇜
ii. Hvis , så er
󰇛

󰇜
iii. 
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰇛󰇜
iv. For alle :
󰇛
󰇜󰇛

󰇜
󰇛󰇜
Bevis 2.1.1
(1) Hvis divisionen går op, så er resten lig . Som følger Definition 1.
(2) Dividere man et positivt tal op i et ikke-negativt tal, og divisoren er størst, så er resten
lig med det, der divideres op i. Altså følger det Sætning 1.2.
(3) Siger at, hvis man regner rester ud , så er det, det samme som at gøre det på
eller
󰇛

󰇜
(4) Sætter man 󰇛󰇜. Så kan , skrives på formen for et passende
. Adderes på hver side a lighedstegnet, fås
󰇛
󰇜
. Da
, så er den principale rest af , når man dividere med n.
Skal man reducere et aritmetisk udtryk , gælder følgende regneregler. Denne sætning er
meget vigtig, når rester af meget store potenser skal bestemmes. Den gør nemlig at man enten kan
vælge at reducere  og derefter udføre de nødvendige regneoperationer, eller udføre
regneoperationerne først og derefter reducere .
Side 21 af 34
Sætning 2.2
25
For alle , , gælder:
i.
󰇛
󰇜󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
ii.
󰇛
󰇜󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
iii.
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛󰇜
Bevis 2.2.1
(1) Vi ved fra Sætning 1.2, at og kan skrives på formen

og
Hvor af der fås:
󰇛
󰇜󰇛

󰇜
󰇛
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇜󰇛󰇜
󰇛
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇜󰇛󰇜
 󰇛
󰇜󰇛󰇜 Ifølge Sætning 2.1 (iv.)

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰇛󰇜
(2)
󰇛
󰇜󰇛

󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛󰇜
󰇛
󰇛
󰇜
󰇜
󰇛󰇜
󰇛) Ifølge Sætning 2.1 (iv.)

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛󰇜
(3) Følger ved gentagen brug af Sætning 2.2 (ii.)
25
Peter Landrock & Knud Nissen. ”Kryptologi – fra viden til videnskab”. Side 73, Sætning 4.7 ABACUS, 1997.
Side 22 af 34
Største fælles divisor (Euklids algoritme)
Inden for matematikken er Euklids algoritme, en regneforskrift til bestemmelse af største fælles
divisor (SFD) af to tal, altså det største tal der deler dem begge uden at der er en rest tilbage.
Definition 3.1
Det gælder at
󰇛

󰇜
󰇛
󰇜
, hvor er resten af ved division med .
Se Bilag 1 for eksempel.
Primtal
Definition 4.1
Et helt tal , der ikke er deleligt med andre positive tal end 1 og tallet selv; også kendt som
de trivielle divisorer. Et helt tal større en 1, som ikke er et primtal, kaldes et sammensat tal.
Opstiller man en liste for nogle af de første primtal over 1, får man følgende:
                   
En sætning af Euklid siger at hvis et primtal går op i et produkt af to tal, så går selv samme primtal
op i mindst det ene af de to tal i produktet.
Sætning 4.1
Antallet af primtal går mod det uendelige.
Side 23 af 34
Bevis 4.1.1
26
Man forstiller sig at der et endeligt antal primtal, et antal med værdien Man betegner dem
som:
 Det ses at er større end hvilket som helst primtal der kan findes,
derfor er det ikke lig nogle af dem. Siden
refererer til alle primtal der findes, kan
ikke være et primtal. Derfor må være deleligt med mindst en af vores endelige antal primtal,
lad os betegne dette primtal som:
, hvor . Deler vi så , med
, får vi en rest på
1. Det er en modsigelse af vores oprindelige antagelse, derfor må vores antagelse om, at der
findes en bestem mængde af primtal ikke passe. Derfor må der være uendelige mange primtal.
Med den bekræftelse kan vi nu gå videre, da vi senere skal kigge på, hvor svært det er at
primfaktorisere et stort tal.
Eulers -funktion
27
28
I dette afsnit kommes der kort ind på hvad Eulers -funktion er. Funktionen er defineret som
󰇛󰇜, hvor er et vilkårligt tal.
Tidligere i dokumentet blev det defineret, at to tal er indbyrdes primiske, hvis deres
største fælles divisor er 1. Dette er nødvendigt at forstå, da Eulers -funktion defineres ved
antallet af hele tal, som er indbyrdes prmiske med tallet .
Sætning 5.1
(1) For et primtal gælder at:
󰇛
󰇜
26
Math.utah.edu. “Why are there infinitely many prime numbers?”. https://goo.gl/d2NvY8 (dato: 16/12-2016)
27
Whitman.edu “The Euler Phi Function”. https://goo.gl/p9gYZN (dato: 16/12-2016)
28
Blerim Cazimi. ”RSA-Kryptering”. Side 9, Afsnit: ”Euler’s -funktion”. https://goo.gl/lXy3Sd (dato: )
Side 24 af 34
(2) For to forskellige primtal og gælder at:
󰇛
󰇜
󰇛 󰇜󰇛 󰇜
Bevis 5.1.1
Produktet af de to primtal kaldes for , altså får vi at . Antallet af primtal som er
indbyrdes primiske med , er antallet af tal, som er større end og mindre en 󰇛󰇜 , samt
alle de tal og går op i, trukket fra. Altså fås der:
   
   
Ud fra dette kan vi opstille følgende udregning:
󰇛

󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛 󰇜󰇛 󰇜
Det siges altså, at tallene som går op i og , trækkes fra alle der går mellem og produktet
Primtalsfaktorisering
Inden vi går videre med et eksempel på hvordan RSA-kryptosystemet fungere i praksis, skal vi
lige have det sidste overordnede emne på plads; primtalsfaktorisering.
Fra aritmetikkens fundamentalsætning ved vi at et hvert positivt heltal, kan skrives
som et produkt af primtal. Dette betyder at primtal kan betragtes som de byggesten, alle andre tal
består af.
Se Bilag 1 for eksempel.
Side 25 af 34
Der defineres en sætning baseret på denne påstand:
Sætning 5.1
For alle positive heltal , hvor , gælder det, at det kan skrives som et produkt af primtal.
For at bevise denne sætning skal vi bruge induktion, som er en speciel metode brugt til at bevise
sætninger for alle naturlige tal. Ideen bag matematisk induktion er simple: De naturlige tal danner
en liste, så hvis vi starter fra begyndelsen, og forsætter fra et tal til det næste, må vi på et eller andet
tidspunkt nå frem til hvilket som helst givet tal. Som for eksempel:
Eksempel 5.1.2
 
Bevis 5.1.1
29
Beviset har to dele, en eksistensdel (1) og en entydighedsdel (2) – som refereres til i
litteraturlisten.
Vi beviser det modsætningsvis, antag at der findes et naturligt tal, som er større end 1, altså
, som ikke kan skrives som et produkt af primtal. Tallet , kan da ikke være et primtal, så det
ville i stedet være faktoriseret i et produkt af primtal med kun en faktor. Derfor findes der et ,
forskellige fra og , som er en divisor i
Både og har faktoriseringer i produkter af primtal, idet og og er
antaget at ikke have nogen primtalsfaktorisering. Af ligningen følger, at også , kan
29
Johan P. Hansen. ”Deling – primtal – kryptografi”. Side 4. https://goo.gl/jYQ6eI (dato: 17/12-2016)
Side 26 af 34
primtalsfaktoriseres ved at samle faktoriseringerne af og . Altså har man nu nået en
modsætning. Derfor konkluderes der at den oprindelige antagelse må være forkert.
RSA-kryptering et eksempel
30
31
Der vil i dette afsnit konstrueres en privat- og offentlig nøgle. Hvor på, en sætning vil blive
krypteret med den offentlige nøgle, og derefter dekrypteret med den private nøgle. Til
nøgleberegningen vil der blive brugt primtallene 11 og 3.
Nøgleberegningen i RSA-kryptosystemet består af følgende skridt:
i. Sæt , lig to udvalgte primtal.
ii. Beregn Eulers -funktion:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜󰇛
󰇜
.
iii. Bestemt et heltal , der opfylder
󰇛
󰇜
, samt 
󰇛
󰇜
; altså skal de være
indbyrdes primiske.
iv. Beregn tallet , således  󰇛
󰇛
󰇜
󰇜.
Offentlig nøgle: 󰇛 󰇜
Privat nøgle: 󰇛 󰇜
Den klartekst, som skal enkrypteres, skrives først som tal, og inddeles derefter i
blokke, sådan at hver blok repræsentere et tal , hvor .
30
Peter Landrock & Knud Nissen. ”Kryptologi – fra viden til videnskab”. Side 101 - 105, Sætning 4.7 ABACUS, 1997.
31
Erik Vestergaard. ”RSA-kryptosystemet”. Side 17 - 21. https://goo.gl/EmrfHY (dato: 16/12-2016)
Side 27 af 34
Enkryptering med RSA
, enkrypteres ved at opløfte til ’te potens, hvorpå der reduceres :
󰇛

󰇜
Dekryptering med RSA
Skal man dekryptere tallet , skal man opløfte til ’te potens, og derefter reducere :
󰇛

󰇜
Eksempel 6.1
i. Primtallene ,  hvorpå beregnes  .
ii. Beregn Eulers -funktion:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜󰇛
󰇜
= 20.
iii. Vi bruger Euklids algoritme
32
til at finde ud af om tallene er indbyrdes primiske:
󰇛

󰇜
. Altså .
iv. , beregnes: , Euklids udvidede algoritme benyttes
33
: 
󰇛󰇜 . Og giver  󰇛

mod
󰇛
󰇜
󰇜
Offentlig nøgle: 󰇛󰇜
Privat nøgle: 󰇛󰇜
Der vælges en besked som skal krypteres, i dette tilfælde tager vi ordet ”SEJR”, for at kode det
om til tal, bruger vi nummerering af bogstaverne i alfabetet, hvor: A = 01, B = 02, …, Å = 29. Det
krypterede ord bliver opdelt i blokke a 4 cifre:
32
People.math.sc.edu. “Find the Greatest Common Divisor”. https://goo.gl/lqhZdP (dato: 17/12-2016)
33
Nils Andersen. “Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik”. https://goo.gl/9LdV74 (dato: 17/12-2016)
Side 28 af 34
SE = 18 04 og JR = 09 17
Vi ser nu på funktionen:
󰇛

󰇜
Hvor vi skal sætte lig = 18, 04, 09 og 17, jeg bruger et CAS værktøj (maple) til at beregne:

󰇛


󰇜


󰇛


󰇜


󰇛


󰇜

󰇛


󰇜

Nu kan vi gå videre til dekrypterings delen:
󰇛

󰇜

󰇛


󰇜


󰇛


󰇜


󰇛

󰇜


󰇛


󰇜

Omskrives tallene til bogstaver, får vi ordet ”SEJR”.
Side 29 af 34
Konklusion
Det kan konkluderes at der fra antikken til i dag er sket en stor ændring, når det kommer til hvordan
menneskerettighederne begrundes. På baggrund af John Locke, ved vi at menneskerettighederne i
Amerika og Frankrig i 1776 og 1789, blev defineret med ren fornufts slutning, altså en beslutning,
hvor der ikke er nogen erfaring involveret. En analogi kan fremstilles mellem matematiske beviser
og, rene fornufts beslutninger. Teorier, som for eksempel Pythagoras lærersætning, som bygger på
ren fornuft – kan siges at varer evigt da det ikke er til diskussion. Derfor, hvis
menneskerettighederne kan begrundes ved hjælp af den rene fornuft, som Locke dikterer, så er de
ikke til diskussion. Dette er i modsætning til videnskab, og vi ser at som verden udviklede sig,
specielt med dannelsen af FN, skete der igen et skift; menneskerettighederne gik fra ren fornuft
beslutning, til beslutninger der er baseret på erfaring. Et morderne skift, som passer godt ind med
udviklingen af teknologi, og metoder, som den videnskabelige metode, der også der udgangspunkt
i erfaringen; og skal bekræftes gennem erfaringen. Dette betyder at FN’s menneskerettigheder kan
diskuteres, da vi altid får ny erfaring. Viden fra erfaringen kan derfor aldrig være sikker, på grund
af induktionsproblemet: eksempel ”Alle svaner vi har set er hvide, derfor, må alle svaner være
hvide”, dette er sandt lige indtil man ser en sort svane.
Samtidig kan det ses, at der i verden, hvor teknologien ændrer sig på en dag til dags
basis, at det er svært at holde styr på hvad der er rigtigt og forkert. Der er kommet frem til at data
opsamling er vigtigt for at regeringer kan holde styr på kriminalitet, og forhindre forbrydelser, så
som terror. Dog kan det også konkluderes, at misbrug og for meget opsamling af data, kan lede til
krænkelse af ytringsfriheden; da ens data bliver gemt i flere år, og derfor kan hvad du siger blive
brugt i mod dig i fremtiden.
Side 30 af 34
Der er kommet frem til hvad et krypteringssystem er; hvor den brede forklaring er et
system, hvor en metode, algoritme, et nøglesæt eller andet bliver brugt til at enkryptere og
dekryptere en klartekst. Vi ved at RSA-kryptosystemet er et asymmetrisk krypteringssystem, hvor
der bruges en privat, og offentlig nøgle; hvor en brugers offentlige nøgle bruges til at enkryptere
en klartekst, hvorpå den private nøgle (som kun kendes af ejeren), bruges til at dekryptere
klarteksten. Desuden er er kommet frem til at RSA-kryptosystemet sikkerhed bygger på, at det
tager rigtig langt tid at primfaktorisere store tal; hvor det tager længere tid, samt bliver sværere,
når tallet blive større. Da der findes en uendelig mængde af primtal, kan nøglernes størrelse kun
forøges.
Side 31 af 34
Litteraturliste
Americasquarterly.org. “Privacy Is a Human Right: Data Retention Violates That Right”. Katitza
Rodriguez. Sommer 2015. https://goo.gl/ouuX20 (dato: 19/12-2016)
Anders Thorup. ”Talteori”. denstoredanske.dk 2009 https://goo.gl/DuWFBS (dato: 16/12-2016)
Archives.gov. “The Declaration of Independence: A History”. https://goo.gl/XXbdQu (dato:
19/12-2016)
Blerim Cazimi. ”RSA-Kryptering”. https://goo.gl/lXy3Sd (dato: )
Carl-Johan Bryld. ”John Locke om naturretten, 1690”. https://goo.gl/Tn70F5 (dato: 18/12-2016)
Denstoredanske.dk. “Den Franske Revolution”. https://goo.gl/ilak4G (dato: 19/12-2016)
Denstoredanske.dk. ”Den Amerikanske Revolution”. https://goo.gl/hcWqHT (dato: 19/12-2016)
Erik Vestergaard. ”RSA-kryptosystemet”. https://goo.gl/EmrfHY (dato: 16/12-2016)
Graapantere.dk. ”Virus sikkerhed”. Figur 1. https://goo.gl/kQ6zPy (dato: 16/12-2016)
Hans-Jørgen Schanz. ”Menneskerettigheder”. Forlaget Modtryk, 2001.
Humanrights.com. ”A Brief History of Human Rights”. https://goo.gl/vXDIqc (dato: 19/12-2016)
Johan P. Hansen. ”Deling – primtal – kryptografi”. https://goo.gl/jYQ6eI (dato: 17/12-2016)
Johan P. Hansen. ”Matematikken bag kryptering og signering NemID – RSA Foredrag i UNF”.
Pure.au.dk. https://goo.gl/X2hKew (dato: 16/12-2016)
Math.utah.edu. “Why are there infinitely many prime numbers?”. https://goo.gl/d2NvY8 (dato:
16/12-2016)
Matlex.dk. ”Største fælles divisor (SFD)”. https://goo.gl/SqadaU (dato: 16/12-2016)
Menneskeret.dk. “Om menneskerettigheder”. https://goo.gl/eFqEBh (dato: 19/12-2016)
Side 32 af 34
Nils Andersen. “Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik”. https://goo.gl/9LdV74 (dato:
17/12-2016)
People.math.sc.edu. “Find the Greatest Common Divisor”. https://goo.gl/lqhZdP (dato: 17/12-
2016)
Peter Landrock & Knud Nissen. ”Kryptologi – fra viden til videnskab”. ABACUS, 1997.
Regeringen. “For et fiere, rigere og mere trygt Danmark”. Regeringen.dk. https://goo.gl/Si4En2
(dato: 19/12-2016)
Taxhistory.org. ”The Seven Years War to the American Revolution”. https://goo.gl/P6KLWx
(dato: 19/12-2016)
Thelatinlibrary.com “Suetonius”. https://goo.gl/xBxG6T (dato: 16/12-2016)
Tutorialspoint.dk. ”Public key encryption”. Figur 2. https://goo.gl/oYiGrc (dato: 16/12-2016)
Version2.dk. ”Søren Pind vil indføre totalovervågning af alle danskeres færden”. Magnus
Bredsdorrf. 18. november 2016. https://goo.gl/r74vYn (dato: 19/12-2016)
Whitman.edu “The Euler Phi Function”. https://goo.gl/p9gYZN (dato: 16/12-2016)
Xarg.org. ”Caesar cipher decryption tool”. https://goo.gl/oAAs5E (dato: 16/12-2016)
Side 33 af 34
Bilag
Bilag 1 | Regneark
Eksempel 1.2.1 (Heltalsdivision med rest)
593 divideres med 20 og giver på lommeregner 29.65. Her af ses, at . Resten findes ved at
tage  og gange med , hvor resultatet bliver: , altså en rest på 13. Det vil sige, at 
  .
Eksempel 3.1.1
34
(Euklids algoritme)
Ideen bag Euklids algoritme er, at man anvender division algoritmen gentagne gange indtil man
når til en rest af nul.
Vi finder den største fælles divisor i 527 og 328:
  
  
  
  
  
 

Man dividerer indtil det største af de to tal med det mindste og får en rest. Den samme rest skal
igen divideres op i det mindste tal, så der igen fås endnu en rest, som man så gentager igen, og
34
Matlex.dk. ”Største fælles divisor (SFD)”. https://goo.gl/SqadaU (dato: 16/12-2016)
Side 34 af 34
igen. Dette gør man indtil resten bliver lig . Derefter kigger man på den sidste rest man har fået,
som ikke er , denne rest er da den største fælles divisor.
Eksempel 5.1.1 (Primtalsfaktorisering)


Bilag 2
Eksempel på Caesar Cipher
For eksempel ville en besked så som ’Den, der har fordel af forbrydelsen, har ofte medvirket til
den.’, blive krypteret til ’Ghq, ghu kdu irugho di irueubghovhq, kdu riwh phgylunhw wlo
ghq.’.
35
35
Xarg.org. ”Caesar cipher decryption tool”. https://goo.gl/oAAs5E (dato: 16/12-2016)