Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 1 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Indhold
Abstract ............................................................................................................................................................. 2
Problem statement ........................................................................................................................................ 2
Approach ....................................................................................................................................................... 2
Conclusions .................................................................................................................................................... 2
Opgaveformulering............................................................................................................................................ 2
Indledning .......................................................................................................................................................... 2
Begyndelsen ...................................................................................................................................................... 3
Galilei transformationen ................................................................................................................................... 4
Lorentz transformationen ................................................................................................................................. 5
Lorentz transformationen i de to ydergrænser ............................................................................................. 6
Tidsforlængelsen ........................................................................................................................................... 7
Eksempel 1:Tidsforlængelsen ........................................................................................................................ 8
Længdeforkortensen ..................................................................................................................................... 8
Eksempel 2:Længdeforkortelsen ....................................................................................................................... 9
Relativistisk masse ............................................................................................................................................. 9
Eksempel 3: Rejse gennem mælkevejen ..................................................................................................... 11
Rumtidsdiagrammerne .................................................................................................................................... 12
Visualisering af Lorentz transformationen ...................................................................................................... 13
Overlyshastighed? ........................................................................................................................................... 15
Slutbemærkning .............................................................................................................................................. 16
Konklusion ....................................................................................................................................................... 16
Appendiks A ..................................................................................................................................................... 17
Betydelige cifre ............................................................................................................................................ 17
Lysets hastighed .......................................................................................................................................... 17
Inertialsystem .............................................................................................................................................. 17
Standardkonfiguration ................................................................................................................................ 17
Litteratur .......................................................................................................................................................... 18
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 2 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Abstract
Problem statement
Describe the Lorentz transformation and some of the physical effects it causes. Describe the effects of the
Lorentz transformation in the two limits
vc
and
0v
.
Your script must also explain why astronomers observe material that apparently travels with a velocity
greater than the speed of light.
Approach
Using mathematical and logical arguments, I will explain the effects the Special relativity and the Lorentz
transformation causes in general and in the two limits described earlier. In addition to this I will derivate
and use some of the most used and important formulas in Special relativity.
Conclusions
The Lorentz transformation is constructed in such a way that it will convert to the classic mechanics at
speeds much lower than the speed of light. At speeds close to the speed of light, the transformation shows
us that we have to revise of understanding of reality. If for example a person is moving at a speed close to
the speed of light relative to us, we will see the person become slimmer, heavier and he will experience less
time than we will, which will also lead to a different view on simultaneity.
The Lorentz transformation also shows us that nothing can travel faster than the speed of light – it would
require an infinite amount of energy, so actually the superluminal material observed by astronomers only
travels close to light speed – superluminal motion is just an illusion.
Opgaveformulering
”Der ønskes en beskrivelse af Lorentz transformationen og nogle af de fysiske virkninger af denne.
Desuden ønskes en undersøgelse af virkningerne i de to grænser
0v
og
vc
.
Undervejs i din beskrivelse skal du forklare, hvorfor astronomer kan se materiale som ser ud til at blive
udslynget med hastigheder meget større end lysets. Som eksempel skal du bruge
http://www.nrao.edu/pr/2005/fastblazars/.”
Indledning
I denne opgave vil jeg først gennemgå de vigtigste dele af historien bag den specielle relativitetsteori
hvorefter jeg ud fra et matematisk/fysisk samt logisk udgangspunkt vil forklare Lorentz transformationen og
hvilke virkninger, den giver anledning til. Jeg har valgt at udvide mit emne så det også omfatter den
specielle relativitetsteori. Dette mener jeg giver en interessant og sammenhængende indgangsvinkel til
Lorentz transformationen, som er selve grundstenen i den specielle relativitetsteori. Opgaven forudsætter
at læseren er bekendt med Appendiks A, der beskriver de specielle begreber der er brugt i opgaven med
mere. Det meste af den litteratur jeg har brugt, er online pdf bøger. Jeg vil hertil gerne gøre opmærksom på
at jeg kun har hentet væsentlig information fra troværdige kilder som anerkendte læreanstalter og ansatte
herpå.
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 3 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Begyndelsen
Sidst i det syttende århundrede var de fleste fysikere overbeviste om at lys var en form for bølger. Disse
bølger skulle selvfølgelig have et medie at udbrede sig i hvilket man kaldte æteren. Lysets hastighed skulle
derfor måles i forhold til æteren, men da man vidste, at jorden kredser omkring solen gav dette et problem,
for så var man jo ikke stillestående i forhold til æteren. Ved at sende lys i samme retning som jorden
bevægede sig, måtte man derfor få lys hastigheden til
cv
hvor v er jordens hastighed. Sendte man lyset
mod jordens retning, måtte lysets hastighed blive
cv
. Efter Maxwell-ligningernes
1
succes i 1860 blev
æteren et meget debatteret emne, og med Michelson-Morley forsøget ville man forsøge at måle jordens
hastighed i forhold til æteren. Princippet i forsøget var at sende lysstråler mod og med jordens retning
omkring solen. Dog er jordens hastighed kun 1/10.000 af lysets, så det kunne blive vanskeligt at måle nogle
forskelle. Selv efter flere revisioner af udførelsen af eksperimentet lykkedes det ikke for dem at måle nogen
ændring i lysets hastighed. Det gav selvfølgelig anledning til nye æter teorier, men vigtigst af alt ville det
senere give Einstein argumenter for rigtigheden af hans teorier, som netop brød op med æterteorien.
I et forsøg på at forklare udfaldet af Michelson-Morley forsøget fremlagde Hendrik Lorentz i 1904
2
sin teori
om længdeforkortelse, der gik ud på at når et legeme bevæger sig igennem æteren med hastigheden v, vil
dets bevægelsesretning blive forkortet med faktoren
22
1/vc
, men denne hypotese blev dog aldrig
helt godtaget, da den kunne afkræftes i andre forsøg.
Einsteins forklaring, som han fremlagde i 1905, lød på at der ikke fandtes nogen æter, og lysets hastighed er
invariant i alle inertialsystemer, eller mere præcist.
”Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter.”
Dette medfører således, at alle fysiske love gælder i alle inertialsystemer. Derfor må eksempelvis Maxwells
ligninger ligeledes gælde, og i disse indgår konstanten c for lysets hastighed, og for at disse kan være
invariante, må c også være invariant. Deraf kunne Einstein fremsætte hans andet postulat.
”I det fri rum udbreder lyset sig med hastigheden c, i alle inertialsystemer.”
Dette var banebrydende og mod folks logik. For ifølge denne teori ville lyset have den samme hastighed lige
meget om lysstrålen blev udsendt fra et lyntog eller en stillestående person. I den klassiske mekanik, som
var blevet eftervist i et utal af forsøg, vil man addere de to hastigheder, så lysets hastighed vil blive c
adderet med hastigheden af lyskilden. Denne måde at regne hastigheder kaldes Galilei transformationen,
og er en god tilnærmelse ved lave hastigheder. Med disse nye opdagelser indførte man en ny
transformation, der ændrer måden hvorpå en iagttager vil opfatte andre inertialsystemer. Når vi nu ved at
lysets hastighed er invariant kan vi prøve at overveje de grundlæggende begreber længde, varighed og
samtidighed. For mange at de antagelser vi gør os igennem vores hverdagsoplevelser bliver ikke gældende
ved hastigheder nær lysets.
I hans berømte tog eksperiment demonstrer Einstein, hvordan forskellige iagttagere vil få forskellige
opfattelser af samtidighed. Lad os forestille os et lyntog der kører retlinet i forhold til jorden. I tordenvejr
slår et lyn ned i togets for- og bagende og sætter mærker på sporet samt toget i begge ender. En iagttager
1
En teori der beskriver sammenhængen mellem elektriske og magnetiske felter, ladninger og elektrisk strøm.
2
http://da.wikipedia.org/wiki/Lorentz-transformation
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 4 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
der står ud for midten af toget vil se de to lysglimt samtidig, da de to lysglimt skal bevæge sig den samme
afstand for at nå iagttageren. En anden iagttager, der står i midten af toget vil først se det lysglimt der
rammer togets forende, da toget bevæger sig hen mod dette sted, og først senere vil han se glimtet fra
togets bagende. De to personer vil ikke kunne blive enige om lynene slog ned samtidig, og det viser sig
faktisk at de begge har ret. Samtidighed er relativt, så i stedet for at sige at de to lynnedslag var samtidige
vil det være korrekt at sige, at de to lynnedslag var samtidige set i forhold til jorden, men ikke i forhold til
toget.
Ville personen på jorden måle togets længde, kunne han måle afstanden mellem de mærker lynene satte i
skinnerne, da han jo så at mærkerne blev sat samtidig. Personen i toget oplevede at mærket ved togets
forende blev sat først, og han vil konkludere at togets længde er større end afstanden mellem mærkerne.
Altså vil de to personer blive uenige om togets længde. Mere generelt kan det siges at en stang der
bevæger sig i sin længderetning i forhold til os vil se mindre ud, end det ville for en iagttager der er i hvile i
forhold til stangen. Den største længde stangen kan have bliver derfor den længde en iagttager der er i
hvile i forhold til stangen vil måle, og kaldes hvilelængden.
Ligeledes vil der også ske noget med tiden når vi bevæger os. Vi forestiller os to inertialsystemer i
standardkonfiguration S og S’ hvor S’ bevæger sig med hastigheden v i forhold til S retlinet ud af x-aksen. I
samme inertialsystem som S placeres en boks der kan udsende lys samt en sensor der kan registrere lys.
Over boksen findes et spejl. I S vil lysstrålen gå lige op, ramme spejlet og blive kastet tilbage til sensoren.
Hver gang sensoren rammes slår klokken et slag. En iagttager der befinder i S’ vil se S bevæge sig væk fra
ham, mens han vil opfatte sig selv som stående stille. Derfor vil han ikke se lysstrålen gå lige op, men i
stedet skråt, for lysstrålen vil blive nødt til at rejse en længere strækning, da hele inertialsystemet bevæger
sig. Generelt kan det siges at hvis et legeme bevæger sig i forhold til en iagttager, vil iagttageren sige at
tiden går langsommere for legemet end iagttageren selv.
Galilei transformationen
Inden vi ser på Lorentz transformationen, kunne det måske være en ide at se på Galilei transformationen,
som er indbegrebet af den klassiske fysik, og den alle fysikere troede på indtil Einstein fremlagde sine
teorier i 1905. Vi forestiller os et tankeeksperiment hvor vi står på et tog der kører med hastigheden 0,7c.
Fra toget bliver der udsendt en raket med hastigheden 0,6c i samme retning. Skulle man beskrive rakettens
hastighed i forhold til en stillestående iagttager på jorden, ud fra Galilei transformationen vil man bruge
simpel vektoraddition så
0,7 0,6v c c
- altså har Galilei transformationen ingen grænse for hvor hurtigt
ting kan bevæge sig. Selve Galilei transformationen ser således ud:
' ( )
'
'
'
x x vt
y
z
tt
Dette betyder, at skal man transformere x-koordinater fra et inertialsystem i standardkonfiguration til et
andet, trækker man blot den tilbagelagte strækning imellem inertialsystemerne fra, dette er den intuitive
måde at regne på, da det er sådan vi oplever verden til daglig. I Galilei transformationen er der desuden en
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 5 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
absolut tid; tiden er ens i alle inertialsystemer. Men efter hvad vi har set, står det klart at denne
transformation ikke vil holde ved hastigheder nær lysets. Vi skal dog samtidig være varsomme, for
indbegrebet af Galilei transformationen ligger også den klassiske mekanik som f. eks Newtons love
3
. Disse
ting er så gennemprøvede og fundamentale, at de ikke kan ændres ved. Vi skal derfor have en
transformation der ved hastigheder nær lysets tager hensyn til de tidligere beskrevne effekter, men ved
lave hastigheder opfører sig som den klassiske mekanik.
Lorentz transformationen
Vi forestiller os to inertialsystemer i standardkonfiguration S og S’ der bevæger sig med hastigheden v i
forhold til S. Sker der en vilkårlig begivenhed i S, har vi vist at en iagttager i S vil blive uenig med en
iagttager i S’ om hvilke koordinater denne begivenhed har. Vi har brug for en måde at transformere
koordinater som en iagttager i S vil se en begivenhed, til de koordinater en iagttager i S’ vil give
begivenheden. Transformationen skal ved lave hastigheder komme tilbage til den klassiske mekanik.
Samtidig skal transformationen ikke tillade hastigheder større end lysets. Denne kaldes Lorentz
transformationen, og det kan vises at udtrykkende bliver følgende
4
.
2
22
' ( )
'
'
' ( / )
1
hvor sombenævnesLorentzfaktoren
1/
x x vt
yt
zz
t t vx c
vc
Fra det almindelige rummelige koordinatsystem er sammenhængen mellem koordinaterne udtrykt ved den
pythagoraske læresætning som følger.
2
2 2 2
(3.1)a x y z
Ved Lorentz transformationen kan det vises at
22
22
(3.2)s c t a
Anvendelsen af
2
s
venter vi lidt med, det skal blot bemærkes, at dette er den anden invariante størrelse i
Lorentz transformationen.
Den tredje invariante størrelse er egentiden
der er defineret ved
2
2
2
(3.3)
s
c
3
Forekommer hvis man differentierer Galilei–transformationen.
4
Jeg har ikke medtaget beviset da det mest er baseret på matematik som ikke er mit hovedfag.
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 6 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vores vigtigste krav til transformationen var, at vi ville komme tilbage til den klassiske mekanik hvis
hastigheden var meget mindre en lysets
vc
, og ligeledes skal det ikke være muligt at opnå hastigheder
højere end lysets.
Lorentz transformationen i de to ydergrænser
Jeg vil her eftervise hvad der sker i Lorentz transformationen i de to ydergrænser
0v
og
vc
.
Vi kan starte med at lade v gå mod nul. Vi kan se at dette vil få Lorentz faktoren til at gå mod 1, da vi tager
kvadratroden af et tal meget tæt på 1. Indsætter vi dette i transformationen for x-koordinatet får vi
' 1*( ) (3.4)x x vt
Som er den velkendte Galilei transformation. Det samme sker ved transformationen af t-koordinatet når v
går mod nul. Vi får da
2
' / (3.5)t t vx c
Det sidste led vil blive uendeligt lille når v går mod nul, og vi vil også her komme tilbage til Galilei
transformationen.
Lader vi derimod
vc
, vil vi i Lorentz faktoren blive den reciprokke værdi af kvadratroden til et meget
lille tal, og derfor vil
når
vc
. Dette billede bliver helt klart hvis vi anskuer
()v
funktionen
grafisk.
Figur 1
Ud fra figur 1 ses det tydelige hvorledes
1
ved lave hastigheder, men som hastigheden nærmer sig
lysets går
.
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 7 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ligeledes har jeg udregnet Lorentz faktoren ved nogle forskellige hastigheder. Den laveste hastighed er den
et rumskib har i det lufttomme rum
5
. Værdien burde selvfølgelig være afrundet, men jeg syntes den giver et
godt indblik i, hvor lidt disse effekter betyder selv ved hastigheder vi betragter som høje.
v i m/s
8200
0,1c
0,3c
0,4c
0,7c
0,9c
0,9999c
0,9999999c
c
γ(v)
1,04
1,02
1,05
1,09
1,4
2,29
70,72
2236,07
∞
Lorentz transformationen giver os mulighed for at regne på hvad der sker med begreber som længde,
masse og tid ved hastigheder nær lysets.
Tidsforlængelsen
Vi forestiller os to inertialsystemer i standardkonfiguration S og S’ hvor S’ bevæger sig med hastigheden
v(som er tæt på c) i forhold til S retlinet ud af x-aksen. I samme inertialsystem som S placeres en boks der
kan udsende lys samt en sensor der kan registrere lys, og det samme sker i S’. Over boksen findes et spejl. I
S vil lysstrålen gå lige op, ramme spejlet og blive kastet tilbage til sensoren. Hver gang sensoren rammes
slår klokken et slag. En iagttager der befinder i S’ vil se S bevæge sig væk fra sig mens han vil opfatte sig selv
som stående stille. Derfor vil han ikke se lysstrålen gå lige op, men i stedet skråt, for lysstrålen vil blive nødt
til at rejse en længere strækning da hele inertialsystemet bevæger sig.
Den strækning inertialsystemet S’ vil nå at bevæge sig inden lysstrålen kommer tilbage til sensoren i S bliver
' '*x t v
. Den totale strækning lysstrålen kommer til at bevæge sig set fra en iagttager i S’ bliver
'
'*
S
l t c
. I S vil man observere at den længde lyset skal rejse vil være givet ved
*
S
l c t
. Ifølge
Pythagoras læresætning får vi
5
http://en.wikipedia.org/wiki/Space_Shuttle
Figur 2
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 8 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
''
(½* ) (½* ') (½* ) ' (3.6a)
S S S S
l x l l x l
Vi indsætter de udledte udtryk;
2 2 2
2
22
22
2
22
2
2
2
2
2
2
'* '* * (3.6b)
' ( ) * (3.6c)
*
' (3.6d)
' (3.6e)
1
' (3.6f)
1
t c t v t c
t c v t c
tc
t
cv
t
t
v
c
t
t
v
c
Og efter en mindre omskrivning har vi Lorentz faktoren.
2
2
1
( ) (3.6g)
1
( )* (3.7)
v
v
c
T v t
T er den tid man vil opleve i S’ i forhold til den tid t man vil opleve i S – også kaldet egentiden.
Eksempel 1:Tidsforlængelsen
En astronaut bevæger sig med hastigheden 0,9c i forhold til jorden. Hvordan vil hans tid gå i forhold til en
iagttager på jorden?
2
2
1
2,3
(0,9 )
1
Ts
c
c
Altså vil 2.3 tidsenheder for astronauten svare til én for iagttageren på jorden.
Længdeforkortensen
Vi kan logisk se at der også må være en længdeforkortelse ved at spørge to iagttagere i to forskellige
inertialsystemer med en indbyrdes hastighed hvor langt lyset kommer på et sekund. For lysets hastighed er
invariant, men da de to iagttagere ikke vil opleve den samme tid, vil de blive uenige om hvor langt lyset
kom på et sekund. Formlen for længdeforkortelsen kan vi let udlede fra Lorentz transformationen. Vi har to
inertialsystemer S og S’ i standardkonfiguration. I S’ lægger vi en stang hen ad x-aksen således at stangens
venstre ende ligger i origo i begge inertialsystemer til tiden
'0tt
. Skal en iagttager i S måle stangens
vandrelængde
v
l
kan han bruge Lorentz transformationen for x’-koordinatet.
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 9 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2
' ( ) (3.8)
1
vandre
hvile
l
x x vt l
v
c
Som tidligere omtalt ser vi, at en iagttager vil opleve længder i vores inertialsystem som mindre hvis vi
bevæger os i forhold til ham. Dette betyder at hvis
vc
vil
0
vandre
l
. Altså sagt med andre ord bliver
længder uendelige små hvis vi bevæger os uendeligt tæt på c. Lyset bevæger sig med c i forhold til sig selv,
og derfor vil det ifølge Lorentz transformationen kunne bevæge sig en hvilken som helst strækning på ingen
tid, da den vil opfatte alle længder som 0.
Eksempel 2:Længdeforkortelsen
Astronauten ser en planet der er tre lysår væk mens han har hastigheden 0,9c i forhold til jorden. Hvor lang
ville en iagttager på jorden måle afstanden mellem astronauten og planeten?
2
2
5
11,5
(0,9 )
1
hvile
lysår
l lysår
c
c
Relativistisk masse
Vi forestiller os at vi har en partikel der i forhold til os bevæger sig med hastigheden 0,9c. Hvad ville der ske
hvis vi påvirkede partiklen med en kraft i samme retning som dens hastighed? Efter Galilei
transformationen vil vi blot addere hastighedsvektorerne. Men efter vi har indført Lorentz
transformationen ved vi bedre, for partiklen må jo ikke komme op på hastigheden c. Dette betyder at når vi
påfører et hvilken som helst legeme energi, vil vi også påføre det masse – den såkaldte relativistiske masse.
Et legemes samlede energitilvækst findes ud fra følgende formel.
2
(4.1)E mc
Formlen kan selvfølgelig også bruges så vi blot tager differencen i masse og differencen i energi, så.
2
(4.2)E mc
Dette kan vi f.eks. se hvis vi vejer to ioner inden vi lader dem binde sig. Når de to ioner indgår i en binding
vil de have udløst noget energi i form af varme eller stråling, og de vil faktisk veje mindre efter dette er
sket.
I den klassiske mekanik finder vi et legemes energi ud fra den klassiske formel
2
0
½* * (4.3)
kin
E m v
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 10 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sammenholder vi dette med (4.1) ser vi, at den øverste formel umildbart vil give en langt højere
energitilvækst i forhold til den i (4.3). Men det kan vises at (4.3) er en approksimation af (4.1) ved lave
hastigheder.
Den masse vi bruger i den klassiske formel for energi (4.3) er hvilemassen. Vil vi bruge denne i (4.1) skal vi
huske at tage hensyn til masseforøgelsen der lyder:
0
* (4.5)mm
Vi indsætter denne sammenhæng i (9.8) og får
2
22
2
* * (4.6)
1
o
o
mc
E mc E m c E
v
c
Som sagt er vi ved at udlede en approksimation ved lave hastigheder, derfor ved vi at
bliver et lille tal. Vi
kan prøve at se hvad
bliver ved 10m/s
2
2
2 2 14
10
1*10 (4.7)
m
v
s
cc
Vi kan omskrive nævneren i (4.6) til
2
2
1 1 (4.8)
2
Vi kan se at det kun er en tilnærmelse, men hvis vi opløfter udtrykket i anden kan vi bevise at det er en
meget nær tilnærmelse.
22
2 2 2 4
2
1 1 2*1* 1 ( 4.9)
2 2 2 4
Da beta bliver meget lille, vil det sidste led blive så lille at det kan fjernes.
Vi indsætter det nye led i formlen.
22
2
2
(4.10)
1
1
2
oo
m c m c
EE
Vi omskriver også
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 11 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2
1
1 (4.11)
2
1
2
Dette kan bevises ved at flytte leddet over.
2 2 2 2 2 4
2
1
1 1 1 * 1 1 1 (4.12)
2 2 2 2 2 4
1
2
Og igen er det sidste led så lille, at vi kan tillade os at undlade det.
Vi indsætter udtrykket i (XX.)
2
2
2 2 2 2
2
1 ½* (4.13)
2
1
2
o
o o o
mc
E E m c E m c m c
Vi indsætter udtrykket for beta.
2
2 2 2 2 2 2 2
2
½* ½* ½* (4.14)
o o o o o o
v
E m c m c E m c m c E m c m v
c
Dette betyder at Einsteins formel er en udbygning til den gamle formel for kinetisk energi, den er udbygget
til at medtage hvileenergien. For under normale forhold ændrer hvileenergien sig ikke, og derfor kan den i
langt de fleste tilfælde undlades. Dette gjorde Einstein ret snedigt, for på denne måde definerer han en ny
lov for forholdet mellem energi og masse ved hastigheder nær lysets, men ved lave hastigheder bliver
ligningen til newtons klassiske mekanik, som alle vidste passede og Einstein ikke ville ændre på.
Den udledede formel er kun en tilnærmelse og virker kun ved lave beta værdier og altså lave hastigheder.
Eksempel 3: Rejse gennem mælkevejen
Ved at udnytte at
2
s
er invariant og ved at bruge tidsforlængelsen vil jeg finde ud af, hvor hurtigt et
menneske skal bevæge sig for at rejse igennem mælkevejen på en levealder. Jeg går ud fra at mennesket
kan blive 100år hvorfor den totale egentid bliver
9
3,2*10 s
samt længden af mælkevejen er
21
100.000 9,5*10lysår m
6
. Jeg indsætter i formlen for egentid (3.3) og får.
2
2
2 2 2 9
2
3,2*10 (5.1)
s
s c s
c
I forhold til mælkevejen vil mennesket opleve tiden langsommere. Jeg indsætter i
2
s
og tager hensyn til
tidsforlængelsen.
6
http://da.wikipedia.org/wiki/M%C3%A6lkevejen
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 12 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
22
2 2 9 21
' ' ' '
( )*3,2*10 9,5*10 (5.2)
s c t x y z
s c v s m
Jeg sætter (5.1) og (5.2) lig hinanden og får
2 2 2
2 9 2 9 21
3,2*10 ( )*3,2*10 9,5*10 (5.3)c s c v s m
Den eneste ubekendte i ligningen er således v, som får størrelsen
0,94vc
. Ved denne
hastighed er det således teoretisk muligt for et menneske at rejse igennem hele mælkevejen.
Rumtidsdiagrammerne
For at kunne beskrive en begivenhed, kræver det dels at vi ved hvor begivenheden finder sted, men også
tidspunktet. Jeg vil derfor introducere rumtidsdiagrammet, der er et fire-dimensionalt rummeligt
koordinatsystem hvor den rummelige position er beskrevet ved
( , , )x y z
og det fjerde koordinat er tiden t,
så koordinat sættet bliver
( , , , )ct x y z
. Man vælger ofte at benytte
ct
i stedet for t, så tiden får samme
enhed som de andre koordinater – nemlig længde. Med rumtidsdiagrammerne kan man få et grafisk billede
af de problemer der forekommer inden for den specielle relativitetsteori. Det er ikke muligt at tegne fire
dimensioner på et papir, og derfor sætter man normalt
0, 0yz
når man tegner rumtidsdiagrammerne.
På den måde får man et to dimensionalt koordinatsystem hvor første-aksen betegner x og anden-aksen ct.
Figur 3
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 13 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
På figur 3 ses et sådant diagram. Vi kan forestille os, at vi udsender en partikel der bevæger sig med
konstant hastighed(ellers får vi ikke rette linjer). Hvis vi ydermere forestiller os at partiklen kontinuert
udsender lysglimt, vil vi få en række begivenheder vi kan plotte i koordinatsystemet. Dette kaldes partiklens
verdenslinje, som er beskrevet ud fra dens verdenspunkter. De stiplede linjer afbilder verdenslinjen fra en
lyskegle afsendt fra origo. Da de skal have hastigheden c, vil deres hældning blive
45 , 1
o
a
. Derfor vil alle
verdenslinjer ligge over fotonens. Partiklernes hastighed bliver
x
c
t
7
hældningen i forhold til anden-aksen
viser således brøkdelen af lysets hastighed som partiklen bevæger sig med. Den indtegnede verdenslinje for
partiklen A er desuden et specielt tilfælde, da denne har en konstant x værdi og deraf ikke bevæger sig.
Visualisering af Lorentz transformationen
I et sådant rumtidsdiagram har vi mulighed for at visualisere Lorentz transformationen, hvilket gør os i
stand til at se, hvordan forskellige begivenheder vil blive opfattet fra to forskellige inertialsystemer.
På figur 4 ses Lorentz transformationen afbildet, en sådan afbildning kaldet et Minkowski diagram. I netop
dette diagram er hastigheden
0,4vc
. Hvis
0v
vil de to akser blive sammenfaldende, hvis
0v
vil
ct’ og x’ akserne lukke sig om den
45
o
vinkel der var verdenslinjen for en lyskegle.
Vi kan se at x og ct er ortogonale hvorimod dette ikke er tilfældet med x’ og ct’, hvilket skyldes at S og S’ har
en indbyrdes hastighed. Vi arbejder her med en passiv Lorentz transformation, hvilket vil sige at en
begivenhed vil have en fast position mens koordinatsystemer vil bevæge sig. I S vil alle koordinater derfor
være konstante set ud fra S, og det samme vil gøre sig gældende i S’ så:
: (6.1)
': ' ' (6.2)
S x konst ct konst
S x konst ct konst
Vi indsætter udtrykkene for x’ og t’ fra Lorentz transformationen i:
' ( ) (6.3)
' ( / ) (6.4)
v
x konst x vt konst x ct konst
c
v
ct konst ct vx c konst ct s konst
c
Undervejs har jeg flyttet alle konstanter hen på højresiden.
Ved x’-aksen må
'0ct
og ved ct’-aksen må
'0x
. Vi udnytter dette på (6.3) og (6.4) og får
': (6.5)
': (6.6)
v
x ct x
c
v
ct x ct
c
7
Vi udnytter at
s
v
t
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 14 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dette udtrykker akserne i S’ set fra S. På figur 4 har jeg indtegnet disse akser samt kalibrerings hyperblerne.
Afbildningen er ikke tro overfor afstande og derfor bruger man disse hyperbler, da det kan vises at
afstanden mellem origo og skæringen mellem en given akse og en kalibrerings hyperbel altid er 1.
Figur 4
Det kan desuden ses hvordan man finder koordinaterne til er punkt, da man skal gå parallelt med den
modstående akse.
Figur 5
Med dette diagram kan vi som sagt visualisere de problemer der opstår ved relativistiske hastigheder f.eks.
længdeforkortelsen. På figur 5 t.v. er der anbragt en stang i hvile i S. Stangens placering vil være uændret
hvilket vil give følgende visualisering. Vi kan se at i S har stangen længden 1 enhed, men i S’ har den
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 15 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
længden |OP| hvor O er origo. Vi kan derfor som forventet konkludere at S’ vil se stangen som kortere fordi
den er i hvile i forhold til S.
Til højre forestiller vi os et ur der er i hvile i
'0x
hvorfor det vil følge ct’-aksen. Ud fra visualiseringen kan
vi se at når der er gået én tidsenhed i S’ (punktet Q), er der gået længere tid i S, og en iagttager i S vil derfor
opleve at siden i S’ går langsommere hvilket vi også havde forventet, da uret jo bevæger sig i forhold til S.
Overlyshastighed?
Astronomer har observeret partikler flere milliarder lysår væk der ser ud til at bevæge sig med flere gange
lysets hastighed i forhold til jorden. Betyder dette, at vi må bortkaste den specielle relativitetsteori?
Selvfølgelig ikke. Det skyldes blot at astronomerne ikke har taget hensyn til, at partiklen bevæger sig mod
dem med en hastighed tæt på lysets.
Figur 6
Vi forestiller os at A og B er jordens placering med en måned imellem sig.
I situation 1 ser vi en partikel, der bevæger sig forbi A og B med en hastighed tæt på c. Vi kan finde
afstanden mellem A og B samt tiden mellem observationerne, og heraf finde partiklens hastighed.
Hvis A og B prøver at beregne partiklens hastighed efter samme metode i situation 2, vil de få en højere
hastighed. Det lys man vil se i B blev ikke udsendt en måned efter det lys man så i A, for lyset skulle rejse en
længere afstand for at komme til A end det skulle for at komme til B. Problemet løses dog let med lidt
trigonometri.
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 16 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Figur 7
Hvis partiklen har vinklen
45
o
i forhold til vores synslinje, må den samlede tid partiklen har brugt for at
komme til A være
1/måned d c
hvis vi måler c i km/måned. Vi får da sammenhængen
2
22
*(1 / ) (7.1)
32( )
dc
v måned d c d d v
cd
Dette forudsætter at vi kender afstanden d samt vinklen er
45
o
. Astronomerne har selvfølgelig andre
værktøjer til at finde partiklens hastighed, hvis de nævnte krav ikke er opfyldt. Det skal desuden bemærkes
at effekten kun bliver væsentlig, hvis partiklen er langt væk samtidig med at den bevæger sig hurtigt. Er
dette ikke tilfældet, vil partiklen ikke have nået at bevæge sig ret langt mellem målingerne, og effekten
bliver derfor mindre. Det samme er tilfældet hvis vinklen i forhold til vores synsfelt bliver for stor. Sidst skal
det næves, at dette eksempel var med lys – fænomenet virker selvfølgelig ved alt slags elektromagnetisk
stråling.
Slutbemærkning
Igennem denne opgave har jeg brugt eksempler med lys til at forklare effekterne af Lorentz
transformationen, da jeg mener, at dette er den letteste tilgang til at forklare de fænomener vi vil se ved
hastigheder nær lysets. Jeg til blot tilføje at de omtalte effekter som f.eks. tidsudvidelsen er et virkeligt
fysisk fænomen, som ikke kun viser sig ved disse specielle lysure – man vil opleve den samme effekt hvis
man kiggede på sit armbåndsur eller sit bornholmerur. Effekten er således også blevet påvist ved at bringe
radioaktive partikler op i hastigheder nær lysets hvorefter de henfaldte langsommere mens de var oppe i
fart.
Konklusion
I denne opgave har jeg redegjort for den specielle relativitetsteori med specielt fokus på Lorentz
transformationen samt virkningen i de to ydergrænser
0v
og
vc
samt forklaret, hvorfor partikler i
specielle tilfælde kan se ud til at rejse med hastigheder højere ens lysets.
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 17 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi har set at alle fysiske love gælder i alle inertialsystemer, hvilket medfører at lysets hastighed må være
invariant. Dette får vores fundamentale begreber som tid, længde, masse og samtidighed til at bryde
sammen ved hastigheder nær lysets.
For en nykommer til den specielle relativitetsteori kan dette godt virke absurd og mod alt logik. Jeg mener
dog at have vist at dette ikke er tilfældet, for hvis vi blot bruger vores strenge logik og bortkaster de
forventninger vi har til begreber fra mekanikken samt tid, kan de effekter den specielle relativitetsteori
medføre tænkes ud fra en komplet logisk tankegang.
Appendiks A
Betydelige cifre
I diverse udregninger har jeg medtaget flere betydelige cifre, i forhold til hvad man normale ville gøre i
udregninger i fysik, især når man regner med f.eks. store længder i rummet, som ofte er meget usikre. Jeg
har dog medtaget mange cifre alligevel, da jeg mener det giver læseren et godt indblik i hvor store/små tal
bliver i Lorentz transformationen ved forskellige hastigheder mm.
Lysets hastighed
Jeg vil igennem hele opgaven regne med at lysets hastighed er
8
1*10 /c m s
Inertialsystem
Et inertialsystem er et system der ikke bliver udsat for nogen acceleration, hvilket betyder at Newtons love
her gælder i deres simple form.
Standardkonfiguration
8
Hvis to inertialsystemer er i standardkonfiguration peger deres akser samme vej således at de er
sammenfaldne til
'0tt
. Man angiver ofte S som referenceramme og S’ bevæger sig med hastigheden v
i forhold til S. De ”prikkede” koordinater er således i inertialsystemer S.
8
Billedet er fra Mogens Dam, Introduktion til den specielle relativitetsteori s.3
Studieretningsprojekt om Lorentz transformationen Side 18 af 18
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Litteratur
Bøger
Ole kundsen & Olaf Pedersen:
Lærebog I mekanik, 2003
Per Holck:
ORBIT A htx, 2007
Online bøger
Albert Einstein:
Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905
http://www.pro-physik.de/Phy/pdfs/ger_890_921.pdf
David W. Hogg:
Special relativity, 1997
http://cosmo.nyu.edu/hogg/sr/sr.pdf
Mogens Dam:
Introduktion til den specielle relativitetsteori, 2004
http://www.nbi.dk/~dam/fys12/sr10.pdf
Videoer
Professor Richard A. Muller
Lecture on relativity
Del 1: http://www.youtube.com/watch?v=7Kdq_1bcAYs
Del 2: http://www.youtube.com/watch?v=nNgzqpKZwhE
Websider
http://www.nrao.edu/pr/2005/fastblazars/
http://da.wikipedia.org/wiki/Lorentz-transformation
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation
http://en.wikipedia.org/wiki/Superluminal
http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity
http://en.wikipedia.org/wiki/Mass-energy_equivalence
http://o.castera.free.fr/pdf/A%20new%20derivation.pdf
http://aether.lbl.gov/www/classes/p139/homework/superluminal.pdf