Sæbebobler og Skum
STX 3.g
1 af 29
Bobler og skum i plan og rum
SRP om sæbebobler og sæbeskum:
En undersøgelse af fysikken og matematikken i sæbebobler og sæbeskums natur
Matematik A og Fysik B
Sæbebobler og Skum
2 af 29
Abstract
This paper studies the physical and mathematical properties of soap bubbles, soap films and foams
with the purpose of examining how the principle of minimum energy applies to soap bubbles and
foams. Basically, soap films minimize their area because the potential energy is proportional to its
surface area. Plateau’s Laws tell us that soap films always meet three at a time along a border with
between each pair of film, and these borders always connect four at a time at a vertex forming
tetrahedral angles. By applying this rule to double bubbles, the curvature at the intersection was
derived. Another rule is that each separate soap film have constant mean curvature. In this regard
the concepts of curvature and mean curvature will be introduced and the Young-Laplace equation,
, will be derived by using arguments of force equilibrium on soap films.
Furthermore, in soap bubbles, the excess pressure is
and to confirm this relationship
an improvised manometer was built to measure very small pressure differences. The result was
and supposing the real start value is zero,
then our results confirm the Young-Laplace equation. This gives a surface tension of
which is very much plausible. Finally, we examine the catenoid, which is the
surface of revolution of the catenary.
Sæbebobler og Skum
3 af 29
Indhold
Abstract ............................................................................................................................................................. 2
1. Introduktion ................................................................................................................................................... 4
1.1 Overfladespænding ............................................................................................................................. 4
1.2 Fysikken i en sæbeboble ...................................................................................................................... 5
2. Trykmåling af sæbeboble .............................................................................................................................. 6
2.1 Opstilling og materialer ....................................................................................................................... 6
2.2 Fremgangsmåde ................................................................................................................................... 7
2.3 Resultater og databehandling ............................................................................................................... 7
2.4 Diskussion af resultater og usikkerhed ................................................................................................ 9
2.5 Diskussion af metoder og materialer ................................................................................................... 9
3. Plateau-reglerne .......................................................................................................................................... 10
3.1 Todimensionelle sæbehinder ............................................................................................................. 10
3.2 Krumningscirklen ............................................................................................................................... 12
4. Undersøgelse af dobbeltboblen .................................................................................................................. 13
5. Krumning i flader og rum ......................................................................................................................... 14
5.1 Krumning af banekurver ........................................................................................................................ 14
5.2 Normalkrumning og Eulers sætninger. .................................................................................................. 16
5.3 Middelkrumning .................................................................................................................................... 17
5.3 Young-Laplace-ligningen ........................................................................................................................ 18
6. Undersøgelse af katenoide ...................................................................................................................... 21
7. Konklusion ............................................................................................................................................... 23
Referencer ....................................................................................................................................................... 24
Appendix A Trykmåling af sæbebobler........................................................................................................ 25
Kalibrering af manometer ........................................................................................................................ 25
Appendix B Krumning .................................................................................................................................. 26
B1 Krumningen af en cirkel ...................................................................................................................... 26
B2 Udledning af krumning for banekurver .............................................................................................. 27
B3 Krumning for funktioner ..................................................................................................................... 28
B4 Udledning af Eulers sætning ............................................................................................................... 28
Sæbebobler og Skum
4 af 29
1. Introduktion
Sæbebobler er et fascinerende fysisk fænomen, der har underholdt børn og voksne i mange år. Både
de flotte farver og deres flyvske natur er anledning til forundring. Når to sæbebobler mødes danner
de en skum, for dét er, hvad en skum er; sammensatte cellerum. Med sæbeskum kan man lave
skumskæg, men skum er også meget mere end det, og diverse skummaterialer bliver studeret på
tværs af industrierne på grund af de særegne egenskaber.
Dette projekt vil dog nøjes med at omhandle sæbeskum, sæbebobler og sæbehinder, med fokus på
at undersøge den matematik og fysik, der ligger til grund for disse fænomener. Et generelt princip i
naturen er, den laveste energitilstand er at foretrække, hvilket kommer til udtryk på både mikro- og
makroskala. Sæbebobler er et enestående eksempel på dette princip, og har betydning for både de
enkelte sæbeboblers form, og strukturen af sammensmeltede sæbebobler. I den forbindelse vil vi
udlede sammenhængen mellem trykket i en sæbeboble og sæbeboblens radius, hvilket vi vil
eftervise empirisk ved trykmåling af en sæbeboble. Trykket vil blive målt ved at studere trykkets
forskydning af en væskesøjle. På grund af interessen for skumstrukturer ville det være belejligt, hvis
de kunne fremstilles ved en ”opskrift” eller en generel repræsentation, men sæbeskums struktur kan
endnu ikke udtrykkes hverken eksplicit, implicit eller parametrisk. Vi kender dog nogle generelle
konstruktionsregler, hvoraf en computer kan generere en struktur, og de har faktisk været kendt
ganske længe. Vi vil undersøge disse regler i forbindelse med todimensionelle sæbehinder og
dobbeltbobler. Desuden vil vi undersøge, hvorfor sæbehinder har konstant middelkrumning, hvilket
kan relateres til Young-Laplace-ligningen. Afslutningsvis vil vi undersøge katenoiden, som er
omdrejningslegemet af en kædelinje. Katenoiden er en minimalflade, hvilket betyder, at
middelkrumningen i ethvert punkt er 0.
1.1 Overfladespænding
Helt grundlæggende for forståelsen af sæbebobler er begrebet overfladespænding.
Overfladespænding er grunden til, at man kan få en mønt til flyde på vand trods metallets langt
større densitet. Forklaringen skal findes i de intermolekylære tiltrækningskræfter, der virker mellem
molekylerne i en væske.
1
Disse opstår, når elektronskyen mellem atomerne er forskudt fra midten,
hvorved molekylerne polariseres. Under overfladen trækkes molekylerne i alle retninger, og dermed
er den resulterende kraft nul, men i overfladen, hvor molekylerne kun trækkes sidlens og nedad,
opstår der spænding. Den frie energi er derfor størst ved vands grænseflade, og da et system
foretrækker den laveste energitilstand, vil systemet forsøge at minimere vandets overfladeareal.
Kraften fra overfladespændingen kan således forstås som den sammentrækkende kraft, der virker
langs en strækning i overfladen. Dette illustreres ofte med et lille forsøg, hvor man måler
trækkraften af en sæbefilm. Kraften fra overfladespændingen virker på begge sider af filmen og er
proportional med længden af strækningen, der hives i. Den kraft, der skal til for at udvide
sæbefilmen, er så givet ved , hvor er overfladespændingen og s er længden af
strækningen. Da overfladespændingen virker to gange her, er kraften fra overfladespændingen langs
en strækning givet ved:
(1.1)
1
(Henriksen, 2009) ”Nanovand”. side 7 om overfladespænding
Sæbebobler og Skum
5 af 29
Figur 1: Kræfterne i en sæbeboble.
Af dette følger, at overfladespænding er kraft over strækning,
, og SI-enheden for
overfladespænding bliver således
. Ved at udnytte at arbejde er kraft gange strækning,
, kan enheden for overfladespænding dermed også angives i Joule pr. areal.
Overfladespændingen kan således også forstås som det arbejde, der skal udøves på systemet, for at
udvide overfladen med et areal. Dette stemmer overens med, at den frie energi er proportional med
overfladens areal, udtrykt på denne måde:
(1.2)
Vand danner ret stærke hydrogenbindinger, og derfor får vand en ret stor overfladespænding
sammenlignet med upolære væsker, da elektronskyerne så kun forskydes midlertidigt. Vands store
overfladespænding er også grunden til, at man ikke kan puste vandbobler; de kollapser inden de
bliver stabile. Det smarte ved at tilføje sæbe er, at sæbe nedsætter vands overfladespænding til ca.
en tredjedel. Derved bliver det muligt, at danne større sæbebobler med lavere tryk.
1.2 Fysikken i en sæbeboble
Med forståelsen for overfladespænding på
plads kan vi beskrive kræfterne i en
sæbeboble.
2
Betragt en sæbeboble i luft.
Luften inden i boblen skaber et tryk over
hele indersiden af sæbefilmen, samtidig
med at den omkringværende luft yder et
tryk på ydersiden. Det interne tryk vil
nødvendigvis være større end det eksterne
tryk, når sæbefilmen er i ligevægt. Når systemet er i
ligevægt, og den resulterende kraft på sæbehinden er nul, må den udadrettede kraft fra trykket i
boblen være afbalanceret med den sammentrækkende kraft fra overfladespændingen og det eksterne
lufttryk.
For at undersøge kræfterne deles boblen i to halvkugler, og der fokuseres på den højre halvkugle.
Langs skæringen på både ydersiden og indersiden trækkes sæbehinden mod venstre på grund af
kraften fra overfladespændingen. Den resulterende kraft,
, er altså givet ved
l, hvor
er overfladespændingen målt i N/m, og l er omkredsen af sæbeboblen. Her antages det, at
sæbeboblen er stor nok til, at forskellen mellem den ydre og indre skæringscirkels radius er
negligibel. Skæringscirklens omkreds er , hvilket medfører følgende:
(1.3)
Trykket i højre halvkugle kan visualiseres med udadrettede kraftvektorer, der står vinkelret på
sæbehinden (se figur 1). Summen af disse kræfter giver en enkelt kraftvektor, der er ortogonal med
skæringsplanet, og tilsvarende er summen af kræfterne fra det ydre tryk præcist modsatrettede. Tryk
2
Udledningen er baseret på youtube-video af (Physics Galaxy, 2012)
Sæbebobler og Skum
6 af 29
er kraft over et areal, så kraften er produktet af trykket og arealet. Den resulterende kraft af trykket
på sæbehinden er altså produktet af trykforskellen og arealet af sæbehindens projektion på det plan,
der er ortogonalt med trykkraften. Dette areal er lig med skæringscirklens areal,
(1.4)
Når sæbefilmen er i ligevægt, må kraften fra overtrykket være lige så stor som kraften fra
overfladespændingen.
, og efter (1.3) og (1.4) fås:
(1.5)
Det ses altså, at trykket i en sæbeboble aftager når radius bliver større, og at en uendelig lille
sæbeboble har et uendeligt stort tryk. Helt konkret er trykforskellen omvendt proportional med
radius af sæbeboblen, hvilket efterfølgende vil eftervises.
2. Trykmåling af sæbeboble
Formålet med følgende forsøg er at eftervise sammenhængen mellem trykket i en sæbeboble og
sæbeboblens størrelse, og dermed udtrykke trykforskellen som funktion af radius. Ved at omskrive
(1.5) til formen y=ax,
bliver det tydeligt, at trykforskellen er proportional med r
-1
,
hvor proportionalitetsfaktoren er . Dette udnyttes ved at plotte i forhold til r
-1
og dernæst
trække den bedste rette linje igennem observationerne ved hjælp af lineær regression. Hvis det
virker troværdigt, at observationerne reelt følger en ret linje, der skærer i (0;0), er det altså eftervist,
at trykforskellen er proportional med overtrykket i boblen. Udfordringen er så, at måle
trykforskellen i en sæbeboble, som er meget lille. Sæbevands overfladespænding afhænger af
opløsningen, men er ofte omkring
.
En halvstor sæbeboble med radius 1cm giver således en trykforskel på
, og til sammenligning er det atmosfæriske tryk i gennemsnit på ca. 101.35kPa, hvilket giver
en procentvis forskel på
. Vi skal altså kunne måle en afvigelse på
0.012% fra det atmosfæriske tryk.
2.1 Opstilling og materialer
Forsøgsopstillingen er inspireret af F.L. Román et
al
3
, men på grund af manglende adgang til et
ordentligt præcisionsmanometer måtte vi selv
konstruere et. Et langt, tyndt glasrør blev lagt ned
med en meget svag hældning mod højre. I venstre
side blev røret koblet til en sprøjte og et andet
åbent rør, hvor sæbeboblen ville blive pustet op. I
højre side blev røret forbundet med en slange, som
blev vendt opad. Ved at komme en væske ned i
3
(F. L. Roman, 2001) A simple experiment for measuring the surface tension of soap solutions.
Figur 2. Forsøgsopstilling
Sæbebobler og Skum
7 af 29
røret og slangen, bliver væskesøjlens placering således et mål for trykket. Trykket i dybden h af en
væskesøjle er
, og ved at lægge glasrøret ned bliver væskesøjlens udsving
forstærket med en faktor, der svarer til hældningskoefficienten.
Dataopsamlingen skete med et kamera, der kunne sammenholde væskens forskydning med
boblens størrelse. Kameraet blev stillet så tæt på målerøret og det frie rør som muligt. For at skabe
en ensfarvet baggrund, blev et stykke papir tapet fast bag glasrøret. Aller bagerst blev en skærm sat
op for at modvirke kameraets tendens til at fokusere på ting i baggrunden. Som væske blev acetone
brugt på grund af dets lave densitet og viskositet.
2.2 Fremgangsmåde
2.21 Forberedelse og kalibrering: Pointen med denne opstilling er, at væskesøjlens placering kan
måles til forskellige kendte tryk. Det improviserede manometer blev altså ”kalibreret” med en
trykmåler ved at koble trykmåleren til det frie rør i venstre side, variere trykket med sprøjten, og
notere trykket til forskellige positioner af væskesøjlen. Til hver måling blev der taget et billede, og
kamerarets placering blev selvfølgelig holdt konstant. Sammenhængen mellem væskesøjlens
placering og trykket kan antages at være lineær, da
, så ,
og
, hvor v er vinklen til glasrørets hældning, er
forskydelsen langs glasrøret, og a/b er forholdet mellem tværsnitarealet af glasrøret a og slangen b.
Sammenhængen mellem trykket og væskesøjlens position blev lineær regression bestemt til
Pa | 0<x<1 , hvor x er væskesøjlens relative position i
billedet langs en akse parallel med glasrøret.
4
-værdien var 0.996, hvilket tyder kraftigt på, at vi
kan stole på kalibreringen. Grunden til at usikkerheden på a-værdien alligevel er 21Pa, er at der kun
blev taget 4 målinger. De var til gengæld spredt godt ud, og grunden til, at der ikke blev taget flere
målinger var, at der ved flere tidligere kalibreringer havde været tilsvarende lineære sammenhænge.
På grund af fordampning skulle kalibreringen gå forholdsvis tjept. Usikkerheden på a-værdien kan
altså ses som en fejlkilde, da en ændring af a-værdien vil forskyde samtlige observationer i samme
retning med den samme faktor.
2.22 Dataopsamling: Sæbeblanding blev ført op til det frie rør, så der blev dannet en sæbehinde, og
eventuelle dråbeansamlinger blev fjernet med papir. Optagelsen blev startet, og trykket blev øget
langsomt med sprøjten. Det største tryk opnås, når sæbehinden danner en halvkugle. Ved det
maksimale tryk, er radius mindst mulig, hvilket må svare til, at boblens radius er lig rørets radius.
Da røret har en vis tykkelse, er et godt bud dog, at sæbeboblens radius er lig halvdelene af
gennemsnittet af rørets indre og ydre diameter. Derefter vil trykket aftage i takt med at sæbeboblen
bliver større.
2.3 Resultater og databehandling
Væskesøjlens placering blev bestemt ved videoanalyse med Logger Pro, og radius af boblen blev
bestemt ved både billedanalyse med GIMP 2’s målefunktion og med Logger Pro. I GIMP 2 blev
boblens diameter bestemt ved forholdet mellem rør og boble, hvor rørets diameter var 0.49cm målt
med en skydelære med en præcision på 0.01cm. Værdierne blev sammenholdt med målinger i
Logger Pro, som blev udført ved at sætte punkter ved boblens centrum og periferi, og beregne
afstanden. Overtrykket blev beregnet ved formlen fra kalibreringen ved at tage funktionsværdien til
positionen trække funktionsværdien til startpositionen fra.
Grunden til dette er,
4
Om kalibreringen, se bilag A1
Sæbebobler og Skum
8 af 29
at acetonen gradvist fordampede. a-værdien blev dog anset som konstant, da den som udgangspunkt
er uafhængig af
. Det atmosfæriske tryk
blev målt til (102.28)kPa. Usikkerheden på
væskesøjlens relative position er et skøn, der blev vurderet ved at sætte punkterne lidt skævt, og se
på størrelsen af afvigelsen, og på den måde vurdere nøjagtigheden. Ved vurdering af usikkerheden
på , antager vi
Radius
1/Radius
(
)
Relativ position
Overtryk (Pa)
Tryk (Pa)
Start
0
0.541
0
102280
0.20
4.95
0.665
54
102334
0.27
3.72
0.635
42
102322
0.32
3.08
0.610
30
102310
0.52
1.92
0.595
24
102304
0.55
1.82
0.588
21
102301
0.71
1.41
0.579
17
102297
Lineær regression må siges at være tilforladeligt, da punkterne ligger forholdsvist pænt. Ved lineær
regression var resultatet en funktion givet ved
. Dette er
trykforskellen givet ved
, hvilket kan skrives
.
Vi beregner nu usikkerhederne på koefficienterne med disse formler
5
:
5
Formlerne blev udledt i SRO om Rydberg formlen og lineær regression
Sæbebobler og Skum
9 af 29
Med usikkerhed får vi altså et udtryk af formen
.
2.4 Diskussion af resultater og usikkerhed
Generelt må det siges at være nogle forholdsvis pæne resultater, vi er nået frem til. Af hældningen
på , kan overfladespændingen udledes:
Overfladespændingen blev altså beregnet til
, hvilket må siges at være et pænt
resultat sammenlignet med at sæbevands overfladespænding typisk er i omegnen af 25-30
.
Der er findes ikke rigtig en tabelværdi på sæbevands overfladespænding, da det afhænger af den
præcise opløsning samt temperaturen.
6
-værdien blev 0.986, hvilket tyder på, at vi kan stole på
den lineære sammenhæng. Startværdien blev beregnet til , så usikkerheden dækker
kun lige 0, men set i sammenhæng må dette være en bekræftelse af, at der er tale om
proportionalitet.
Vi skal dog passe på med at angive usikkerhederne på vores resultater så præcist, idet formlerne
koefficienternes usikkerhed kun tager højde for usikkerheden på funktionsværdierne. I dette tilfælde
er det dog en lidt grov antagelse, idet usikkerheden på boblens radius faktisk er forholdsvis stor. Det
var væsentligt nemmere at måle væskesøjlens position, end boblens diameter, da boblen nogle
gange virkede uklar på billedet. En anden usikkerhed er bestemmelsen af trykket, som afhang af
funktionen
, hvor x er den relative position. Denne
usikkerhed forskyder dog samtlige observationer i samme retning med samme faktor, så den får
ikke nogen betydning for forholdet mellem de forskellige observationer, men kun for hældningen a
og startværdien b.
, så derved bliver
usikkerheden også større. Selvom det ikke helt er matematisk korrekt, så kan vi få et praj om den
egentlig usikkerhed ved at lægge de to måder at beregne usikkerheden på sammen. Så
. Dette giver i alt en hældning på
, og en
overflade spænding på
2.5 Diskussion af metoder og materialer
Valget af målevæske er interessant, da der indgår flere vigtige faktorer. Som udgangspunkt blev der
forsøgt med vand, men da det var svært at få nogle klare målinger, var det oplagt at prøve med
andre væsker. For det første er væskens densitet vigtig. Trykket i en væskesøjle er som sagt givet
ved
, så , hvoraf det fremgår, at en ændring i trykket medfører en
ændring i højden, som er omvendt proportional med væskens densitet. En væske med lav densitet
vil altså give et større udsving. En anden faktor i forbindelse med valg af væske, er væskens
viskositet. En tyktflydende væske ville yde større modstand mod at komme i bevægelse, hvilket
kunne give et svagere udsving og dermed et ringere resultat.
Baseret på dette blev acetone valgt, da acetones densitet er på 0.791 g/ml, og sammenlignet med
6
(Henriksen, 2009) Nanovand. Side 12 om sæbevand.
Sæbebobler og Skum
10 af 29
vand bliver udslaget altså en faktor 1.26 større. Samtidig er acetones viskositet særdeles lav
(
ved 27C) sammenlignet med vands (
ved 27).
Valget af acetone bragte dog også nogle fejlkilder med sig. For det første har acetone et højt
damptryk
7
og fordamper langt hurtigere end vand. Manometeret skulle altså helst kalibreres ret
hurtigt, og samtidig betød det, at en smule væsken fordampede imens selve trykmålingen skete.
Fejlkilden blev dog formindsket idet optagelserne skete forholdsvist hurtigt. Et andet problem
opstod i forbindelse med, at acetone er et formidabelt opløsningsmiddel. Den plastikslange,
acetonen befandt sig i, blev gradvist mere mat på indersiden, hvilket indikerer, at acetonen langsomt
reagerede med slangen. Det er altså ikke nødvendigvis ren acetone, væsken bestod af, hvilket
teoretisk set kunne have indflydelse på dens massefylde. Kalibreringen skete dog lige inden
dataopsamlingen, så denne fejlkilde må også være minimal. Et system af glas havde dog været
bedre. Alt i alt fik vi dog målt overtrykket i en sæbeboble med en hvis nøjagtighed, og med et
resultat, der bekræfter teorien.
3. Plateau-reglerne
Som sagt kendes ingen repræsentativ fremstilling for en skumstruktur, men vi kender nogle regler
for, hvordan de er opbygget. Reglerne blev formuleret af Joseph Plateau i 1873, og blev kendt som
Plateaus love eller Plateaus regler, eller bare Plateau-reglerne. De var baseret på rent empiriske
iagttagelser, og blev først bevist ca. 100 år senere af Jean Taylor i 1976. Plateaus love er som
følger.
8
1. Sæbehinder består af en jævn, kontinuerlig overflade.
2. Cellevæggene mødes altid tre ad gangen langs en kant, og med vinklen grader mellem hvert
par af vægge.
3. I et knudepunkt mødes kanterne altid fire ad gangen med vinklen 109.5 mellem hver af kanterne.
4. Cellevæggene har hver for sig konstant middelkrumning til ethvert punkt op sæbehinden.
At der ikke er huller i en
sæbehinde, giver sig selv, da en
sæbehinde ikke kan grænse til
ingenting. Den er nødt til at være
udspændt af noget - enten andre
sæbehinder, eller et andet materiale.
-reglen er den første vi vil
komme ind på, og handler om, at
mindske afstanden mellem tre
punkter. Reglen om den
tetrahedriske vinkel vil vi nøjes med
at se på rent overfladisk. Den kan på sin vis ses som en konsekvens af 2. regel, da den tetrahedriske
vinkel er den eneste måde, at 120-reglen kan opfyldes i omegnen af knudepunktet. Vi lægger i
øvrigt mærke til, at det er præcis den samme vinkel, som vi ser i opbygning af molekyler som
metan.
3.1 Todimensionelle sæbehinder
7
(Wolfram Alpha, u.d.) Wolfram alpha om acetone
8
(Weisstein, Eric W., u.d.) Wolfram Mathworld “Plateau’s Laws”
Figur 3. Visualisering af Plateaus regler. De røde vinkler mellem cellevæggene er
på 120, og de gule vinkler mellem kanterne er på 109.47
Sæbebobler og Skum
11 af 29
Figur 4. Til venstre: Sæbehinder udspændt af to glasplader, og tre
søjler. Til højre: Sæbehinderne set fra oven.
Figur 5: Ellipse med brændpunkter A og B. Normalen har
endepunkter i Ny og Ni, og tangenten har endepunkter i
TA og TB
Figur 6. Hvis cirklen og ellipsen ikke har samme tangent i P, så kan
P ikke være den korteste forbindelse mellem A, B og C
For at undersøge reglen om de 120 starter vi forholdsvis simpelt, og vi husker, at sæbefilmen vil
antage den laveste energitilstand. En sæbefilm udspændt af to parallelle, horisontale glasplader og
en række søjler betragtes (se figur 4). Da der ikke er nogen trykforskel, og søjlerne står lodret
mellem glaspladerne, vil disse sæbehinder nødvendigvis også være helt flade og lodrette, og de kan
altså betragtes i to dimensioner. Sæbefilmen bliver så at sige todimensionel.
Det viser sig så, at sæbehinder dannet på
denne måde altid vil mødes tre ad gangen
med 120 imellem dem, eller to ad gangen
med en vinkel på mindst 120, hvis de
forbindes af en søjle.
9
Dette vises for tre søjler i punkterne A, B og
C. Vi antager så, at vi kender det punkt P, der
opfylder, at
er mindst
mulig. Dette må være den korteste måde at
forbinde de tre punkter på, da yderligere
forgreningspunkter ville være overflødige. I det
tilfælde at P er lig A, B eller C, så har vi
situationen, hvor sæbehinderne mødes ved en søjle.
Den situation venter vi med. Ved hjælp af nogle
kendte egenskaber for ellipser kan det vises, at P’s
position opfylder
En ellipse er kendetegnet ved to brændpunkter, kald
dem A og B, samt en konstant k. Det kan vises, at
ethvert punkt P på ellipsen opfylder, afstanden fra et
punkt på ellipsen til de to brændpunkter er konstant, og at A og B danner ens vinkler med
tangentlinjen og normalen i P. (Se figur 5). Egenskaberne kan altså på denne måde:
hvor
og
er tangentens endepunkter, og
og
er indre og ydre punkter på normallinjen.
Disse egenskaber udnyttes nu til at vise, at man
med punkterne A, B og C kan tegne en ellipse og
en cirkel, der lige præcis tangerer hinanden i P. Vi
danner en ellipse med A og B som brændpunkter,
og lader konstanten være
. P må
som følge af E1 befinde sig på ellipsen. Dernæst
dannes en cirkel om C med radius |CP|. Denne
cirkel må nødvendigvis også skære P. Påstanden er
nu, at ellipsen og cirklen kun lige tangerer
hinanden i P. Beviset består i at antage det
modsatte; at de i stedet skærer hinanden. (se figur
9
(Glassner, 2000) Soap Bubbles: Part 1 s. 78
Sæbebobler og Skum
12 af 29
6). Men hvis dette var tilfældet, så ville P ikke minimere afstanden
, da der så
findes et Q på ellipsen, hvor afstanden til C er mindre en radius af cirklen. Altså, |CQ|<|CP|, hvilket
gør
, da
Ellipsen og cirklen må derfor tangere hinanden i P. Det betyder samtidig, at ellipsens normal i P
også er cirklens normal i P, som derfor må skære i C. Af E2b kan følgende altså udledes:
. På samme måde kan man tegne en cirkel om A med radius , og en ellipse med
brændpunkter i B og C, og
. Med samme argumenter må , og da
, så må alle vinkler være lige store. Der er 360 hele vejen rundt, så
, og vi er nået frem til hvad vi skulle. I tilfælde af at P var lig A, B eller C,
må det gælde, at A, B og C kan danne en vinkel på mindst 120, og i så fald findes der intet andet
punkt Q, der opfylder .
Vi kan altså konkludere, at mellem tre forskellige punkter opnås den korteste forbindelse ved at
trække rette linjer til et fjerde punkt, hvor vinklen mellem hvert par af linjer er 120, hvis et sådan
punkt eksisterer. Hvis det ikke kan lade sig gør, er den korteste rute at forbinde linjerne direkte.
Ovenstående matematiske problem var et såkaldt Steiner-problem, der går ud på at skabe de
korteste forbindelse mellem en række punkter. Vinklerne mellem tre sæbehinder, der mødes, er
altså 120, da det lokalt minimerer overfladearealet. At det også gælder selvom linjerne krummer på
grund af trykforskelle, kan man overbevise sig selv om ved at fokusere på et lille område omkring
knudepunktet. Vi lader tre linjestykker AP, BP, og CP, der mødes i P, have konstant krumning. Vi
sætter så et punkt på hvert linjestykke,
,
og
, med den infinitesimale afstand til P. I dette
uendeligt lille område omkring P må det følgende gælde
,
når sæbehinden er i ligevægt, da linjestykkerne
og
må være lineære. Med andre ord
er det linjestykkernes tangenter, der nødvendigvis må danne vinkler på 120. Dette vil vi bruge i en
undersøgelse af dobbeltboblen, der kan opfattes som den simpleste skumstruktur.
3.2 Krumningscirklen
Inden vi fortsætter med dobbeltboblen, vil begrebet krumning kort uddybes. En lille cirkel krummer
meget, mens en stor cirkel har lav krumning. Intuitivt giver det altså mening at opfatte krumningen
af en
cirkel
som den reciprokke værdi af cirklens radius.
Dette passer med, at en ret linje, hvor K = 0, kan ses som et udsnit af en
cirkel med uendelig stor radius. Denne opfattelse af cirklens krumning
kan bruges til at beskrive krumningen for en plan kurve. Vi kræver desuden, at kurven er kontinuert.
Vi lader to punkter på en kurve, Q og R, gå mod punktet P, og danner den omskrevne cirkel til
trekant PQR. Den omskrevne cirkel vil så nærme sig en bestemt cirkel, krumningscirklen, når Q og
R nærmer sig P. Radius af krumningscirklen kaldes krumningsradius og
kan således bruges som et mål for krumningen. Kurven krumning i
(3.1)
Figur 7. Krumningscirklen
Sæbebobler og Skum
13 af 29
Figur 8. (a) Snit af dobbeltboble, set fra siden. (b)
Fokus på geometrien
punktet P er således lig
, hvor R er krumningsradius. Krumningens fortegn lader vi ligge for nu,
men er bestemt af orienteringen. Dette vender vi tilbage til.
4. Undersøgelse af dobbeltboblen
En dobbeltboble består af tre kugleflader - to ydre, samt
hinden mellem de to celler. Dette ved vi, da
skæringskurven mellem de to bobler er en cirkelkurve,
som jo så må udspænde en kugleflade, eller et plan,
hvilket kan ses som en kugleflade af en uendelig stor
kugle.
Denne udledning er baseret på Andrew Glassner’s
udledning.
10
Vi betragter nu et udsnit af en dobbeltboble,
skåret igennem centrum af de to bobler, og vi ser
vinkelret på udsnittet. (figur 8a) Boblerne har centrum i
henholdsvis og , deres radier er
og
, og vi lader
den røde boble med centrum i A være størst, så
.
er centrum for skillevæggens krumningscirkel, og
krumningsradius. og må nødvendigvis ligge på linje.
I M mødes de tre sæbehinder, og vi trækker tangenterne til de tre cirkeludsnit i punktet. Den stumpe
vinkel mellem disse tangenter, må nødvendigvis være 120, da sæbehinder mødes tre ad gangen
med 120 imellem dem. Altså,
. Desuden er tangenterne og
normalerne i til hver cirkelflade ortogonale:
. Derved findes
. Tilsvarende er
, og
, og
Vi trækker nu en linje fra til linjestykket , der er parallel med (Se figur8b).
Skæringspunktet kalder vi D. Det ses nu, at , da og er parallelle, og de
begge lægger sig op ad MB. kan således parallelforskydes fra M til B, hvorefter vinklerne
bliver modstående og derfor lige store. I trekant kendes nu to af vinklerne, da
. Eftersom , bliver den sidste vinkel ,
og er altså en ligesidet trekant, hvor sidelængden er radius af cirklen med centrum i .
.
Endvidere fremgår det, at og er ensvinklede. Vi kender
, og deraf
. Da trekanterne er ensvinklede, kan følgende udledes:
Venstre sides brøk deles op, og vi dividerer med
.
10
(Glassner, Andrew Glassner's Notebook. Soap bubbles: Part 2, 2000) side 104
Sæbebobler og Skum
14 af 29
Figur 9. Dobbeltboble af stor og lille boble.
Ved at flytte rundt, opnås det endelige udtryk.
(4.1)
Dette fortæller os altså, at hvis vi har en dobbeltboble, og vi kender radius af de to enkelte bobler, så
kan vi beregne krumningsradius af skillevæggen. For to lige store sæbebobler, hvor
går mod 0,
vil skillevæggen altså være helt flad. Vi husker, at cirklens krumning er reciprokværdien af radius.
(4.2)
Skillevæggens krumning er altså lig differensen af de to boblers
krumning. Eller egentlig deres snitkrumning, da ”krumning” i sig selv
kun er defineret for kurver. Dette vender vi tilbage til, men først vil vi
lige undersøge en to hjemmelavede dobbeltbobler.
På figur 9 ses en dobbeltboble, der blev lagt på en glasplade.
Omkredsen af boblerne er illustreret med en grøn og en rød cirkel,
hvor den orange kurve er skæringskurven får deres fælles sæbehinde
langs glaspladen. Vi ser altså tydeligt, at sæbehinden krummer ind
i den store boble, og trykket i den lille altså må være større.
Radius i den store cirkel blev beregnet til
, og radius i den lille cirkel var
. Boblernes krumning bliver således
og
Krumningen af skillevæggen er så givet ved
med tilhørende krumningsradius:
Dette resultat kan godtages, da den orange kurve ser ud til at have næsten
samme krumning som den røde cirkel.
I den næste dobbeltboble er de enkelte bobler lige store. (se figur 10)
Skillevæggen ser ud til at være helt ret som forventet, og vi undlader at
regne på radierne. Desuden bliver 120-vinklerne tydelige her.
Vi har nu undersøgt dobbeltboblen både teoretisk og empirisk, og vil nu
vende tilbage til krumningsbegrebet.
5. Krumning i flader og rum
5.1 Krumning af banekurver
Vi vil nu koble krumningsbegrebet til generelle banekurver med henblik på senere at udvide
begrebet til rummet. Vi har en banekurve med vektorfunktionen
, hvor
er
stedvektoren til partiklen til tiden t. Ved differentiation fås hastighedsvektoren, der er parallel med
tangenten i punktet, som det kendes fra regulære funktioner. Hastighedsvektoren er givet ved
. Ved igen at differentiere hastighedsvektoren fås accelerationsvektoren givet
Figur 10. Dobbeltboble af lige store bobler.
Sæbebobler og Skum
15 af 29
ved
, og da accelerationsvektorens længde og retning er afgørende for
drejningen af hastighedsvektoren, giver det altså mening, at der er en sammenhæng mellem den
dobbelt afledede og krumningen. Vi må dog huske, at krumningen i et punkt ikke afhænger af tiden
og den hastighed vi kører igennem punktet med, så derfor udskiftes tidsparameteren t med
buelængdeparameteren s.
Til et punkt lader vi nu en enhedsvektor gå i tangentens retning, så er parallel med , hvor s
er den tilbagelagte strækning. er så også en retningsvektor for tangenten. Følgende kan udledes:
=>
=>
Vi differentierer nu med henhold til s.
(5.1)
Da prikproduktet er 0, må det gælde, at vektorerne er ortogonale eller at
er nulvektoren. Dette er
ækvivalent med, at
er parallel med hatvektoren
, og
kan altså skrives som en konstant gange
hatvektoren.
(5.2)
Vi husker, at havde samme retning som tangenten i punktet, så konstanten K må altså være et mål
for, hvor meget retningen ændres pr. længdeenhed. Dette leder os til definitionen af krumningen for
en vilkårlig differentiabel banekurve
11
:
Givet en banekurve. Krumningen i et punkt P er proportionalitetskonstanten K i formlen:
hvor er en enhedsvektor med samme retning som tangenten i punktet P, og s er den tilbagelagte
strækning.
I det tilfælde at
er nulvektoren, hvilket indebærer at holder sin retning, bliver krumningen K
altså 0. Ved at se på hvordan hastighedsvektoren drejes i forhold til 1. aksen, kan man med denne
definition også udlede krumningen af en cirkel til at være
, og det viser sig, at krumningen helt
generelt kan udtrykkes med en retningsvinkel.
12
Som udgangspunkt vælges en retning. Vinklen mellem hastighedsvektoren og denne retning
benævnes . Ved at orientere koordinatsystemets 1.akse langs den valgt retning, får en
enhedsvektor i hastighedsvektorens retning således disse koordinaterne:
Dette sættes ind i ligningen for krumningen, og venstre side udregnes.
11
(Bodil Bruun, 2013) Kapitel 6 afsnit 3 om krumning.
12
Om udledningen af krumningen af en cirkel, se bilag B1
Sæbebobler og Skum
16 af 29
Vi udnytter reglen for sammensat differentiation.
Hatvektoren udregnes ligeledes.
Disse udtryk samles nu i ligningen for krumningen
Krumningen er altså lig differentialkvotienten af med henhold til buelængden s. Ved at udtrykke
krumningen og vinklen som funktioner af s, kan følgende sætning altså opstilles:
Givet en plan kurve med buelængdeparameter s, så er krumningen af på stedet
givet
ved:
(5.3)
hvor betegner vinklen mellem
og en fast retning.
For en banekurve hvor længden af hastighedsvektoren er 1 overalt, så hastighedsvektoren er en
enhedsvektor, må der desuden gælde, at krumningen er lig længden af accelerationsvektoren. Vi
skriver:
(5.4)
Nu mangler vi bare at give krumningen et fortegn. Fortegnet afhænger af kurvens orientering, altså
hvilken retning vi kører på kurven, og når kurven krummer i positiv omløbsretning, er fortegnet
positivt, og tilsvarende er det negativt i negativ omløbsretning. Med definitionen af
krumningsbegrebet i planen på plads, vil vi nu undersøge, hvordan begrebet kan anvendes i rummet.
5.2 Normalkrumning og Eulers sætninger.
Definitionen for krumning indebærer, at det er en kurve og ikke en flade, men det er muligt at finde
en flades normalkrumning til et punkt i en retning. Snitkrumning er et andet navn for det samme. Vi
vælger et punkt P på en flade, og finder tangentplanet i punktet. Pointen er så, at vi kan guillotinere
fladen ved at vælge et normalplan til punktet P. Altså et plan, der er ortogonal med tangentplanet,
og som skærer i P. Normalplanet og fladen danner en skæringskurve hvis krumning i P kaldes
fladens normalkrumning i P langs V, hvor V er skæringslinjen mellem normalplanet og
tangentplanet. På den måde findes uendeligt mange normalkrumninger til et punkt.
Leonhard Euler var en af de første til at studere disse krumninger, og han lagde mærke til, at
Sæbebobler og Skum
17 af 29
normalkrumningerne i to bestemte retninger var særligt interessante.
13
Han udtrykte for det første,
at der findes (mindst) to principale retninger, der medfører, at normalkrumningen i disse retninger
får henholdsvis den højeste og den laveste værdi af alle normalkrumningerne i punktet. For det
andet, at normalkrumningen i de principale retninger er de principale krumninger, og de vil altid stå
vinkelret på hinanden. Ydermere viste han hvordan samtlige normalkrumninger til et punkt
beregnes ud fra den vinkel de er drejet om normalen i forhold til de principale krumninger. I det
tilfælde at alle normalkrumninger er lige store, vil samtlige normalkrumninger netop opfylde de
betingelser. Matematiske er sætningen formuleret sådan: Normalkrumningen
med et normalplan,
der er drejet om normalen, er bestemt ved to principale krumninger i punktet,
og
.
14
(5.5)
5.3 Middelkrumning
En af Plateaus regler i opbygningen af en skum er, at skillevæggene mellem to celler har konstant
middelkrumning. Middelkrumning er defineret som middeltallet af samtlige normalkrumninger til
punktet. Det er ikke muligt tælle normalkrumninger fra 0 til 2, men de kan udtrykkes grafisk ved
at tegne grafen for
i intervallet [0;2. Intuitivt kan arealet under grafen udjævnes til et
rektangel med grundlinjen 2, hvor højden så må være middeltallet eller middelkrumningen. Helt
generelt ved vi fra integralregningens middelværdisætningen, at hvis en funktion er kontinuert
i intervallet så findes der et , der medfører, at
.
15
Middelkrumningen er derfor givet ved følgende:
(5.6)
Fra (5.5), at
kan udtrykkes ved de principale krumninger. H er derfor også givet ved
(5.7)
Ved regneregler for integraler fås
(5.8)
Inden vi går videre udnyttes
, og dermed kan følgende udledes:
Og samtidig
Desuden ved vi, at
, da graferne for de harmoniske funktioner
bare er forskudt med
, og intervallet svarer til et helt tal ganget funktionernes periode, som
13
(Markvorsen, 2014) Oplæg om bobler og skum.
14
En udledning af beviset kan findes i bilag B4.
15
(Gyldendal, 2009) Den Store Danske om middelværdisætningen.
Sæbebobler og Skum
18 af 29
her er . Forskydningen kommer af
.
Da de to integraler er lig hinanden, og summen af dem er , er de enkeltvis lig
(5.9)
Indsættes dette i (5.8) fås
(5.10)
Og vi er nået frem til den typiske måde at fremstille middelkrumningen på; gennemsnittet af de to
principale krumninger. Middelkrumningen er altså gennemsnittet af den største og den mindste
normalkrumning på stedet. Da de to principale krumninger er maximum og minimum for
normalkrumningerne, er det logisk, at der findes to andre normalkrumninger, hvor gennemsnittet af
disse også er middelkrumningen (som hele vejen igennem forudsættes det, at fladen er
differentiabel i punktet, så samtlige skæringskurver må være kontinuerte). Det viser sig endvidere,
at middelkrumningen også kan beregnes af to vilkårlige ortogonale normalkrumninger
16
(5.11)
Beviset går på at beregne de to vinkler efter Eulers formel, og vise, at det er lig med (5.10).
(5.12)
Som tidligere nævnt gælder:
, og
Dette indsættes i (5.12),
og
sættes uden for parentes.
Ved grundrelationen kan dette reduceres.
Gennemsnittet af to ”vinkelrette” krumninger er altså lig gennemsnittet af de to principale
krumninger. Det er altså vist, at middelkrumningen er gennemsnittet af to vilkårlige
normalkrumninger i ortogonale retninger.
5.3 Young-Laplace-ligningen
Middelkrumningen kan altså forstås som en flades gennemsnitlige krumning i et punkt. Lidt
forsimplet betyder konstant middelkrumning altså, at en flades gennemsnitlige krumning er lige stor
i hele dens punktmængde. At dette gælder for flade sæbehinder, giver sig selv, da
middelkrumningen i ethvert punkt er 0. At det ligeledes gælder for enkelte sæbebobler, er også
logisk, da kuglefladens middelkrumning må være
over hele overfladen. I målingen af overtrykket
16
(Markvorsen, 2014) Udledningen følger Steen Markvorsen
Sæbebobler og Skum
19 af 29
Figur 11. Udsnit
i en sæbeboble blev det vist, at overtrykket i en boble er proportional med
, så for en sæbeboble
gælder altså følgende sammenhæng:
(5.13)
Middelkrumningen afbalancerer altså trykforskellen i sæbeboblen, og samme princip gælder to
naboceller i en skum, hvor trykforskellen er proportional med deres fælles cellevægs
middelkrumning. Følgende udledning er baseret på Svein Skjævelands udledning.
17
Vi kan
forestille os et udsnit af en sæbehinde, som vi antager at være
en smal differentiabel flade. Et punkt udvælges, og vi
tegner en kurve på fladen omkring , hvor buelængden til P
er konstant lig . Dette udsnit svarer altså til en slags deform
cirkel, hvor buelængden af periferien tilsvarende er ,
og overfladearealet er
. Pointen er så at kigge på de
kræfter, der virker i P, når gå mod 0.
Skæringskurverne i de to principale retninger tegnes op, og vi
kalder linjestykkerne AB og CD. Krumningsradierne til disse
linjestykker i P benævnes
og
. Langs hele periferien må
udsnittet blive tiltrukket udad grundet overfladespændingen.
Vi kigger nu på tiltrækningskræfterne langs en infinittesimal del af periferien, , lige omkring A.
Kraften fra overfladespændingen må så være givet ved , og retningen må være
sammenfaldende med tangenten til AB i A. Da en tilsvarende kraft i B trækker den modsatte vej,
har vi kun brug for den komposant af vektoren, der er parallel med normalen PN. Kraften skal altså
projiceres ind på normalen. Lige nu er vi dog kun interesseret i længden af den lodrette komposant,
så vi opfatter vektoren som et linjestykke. Vi danner nu en retvinklet trekant udstrakt af A, N og E,
hvor E befinder sig på PN, og AEN er ret. Vi forlænger nu linjestykket AE, og danner en ny
retvinklet trekant AFG, hvor AG udgør vektoren, og AFG er ret. Det er altså FG, vi er interesseret
i.
Som følge af konstruktionen må , da NE er ortogonal med PF, og NA er
ortogonal med AG. Ved sinus i retvinklede trekanter fås
=>
Den grundlæggende antagelse var, at hvor meget lille, hvilket er ækvivalent med, at er meget
lille. Giver vi i radianer, kan vi altså antage , da buen i enhedscirklen fra 0 til er
tilnærmelsesvis lodret.
(5.14)
Ved tre tilsvarende elementer ved B, C og D virker tilsvarende kræfter. Kraften fra
overfladespændingen ved B må være lig kraften fra overfladespændingen ved A, og ved C og D
findes kræfterne på samme måde, men hvor
udskiftes med
.
(5.15)
17
(Skjævland) Derivation of the Laplace equation
Sæbebobler og Skum
20 af 29
Vi lægger nu mærke til, at
og
netop er de principale krumninger
og
, og vi udnytter nu
Eulers sætning
=>
Det betyder altså, at hvis vi finder den kraft i to nye ortogonale retninger, så er den givet ved
Fortolkningen er, at hvis vi danner et meget lille kryds på et punkt på en overflade, og udelukkende
fokuserer på kraften fra overfladespændingen i disse retninger, så er denne kraft uafhængig af,
hvordan vi drejer krydset. Vi kan altså integrere rundt for at finde den resulterende kraft fra
overfladespændingen langs periferien. Da vi tager kraften fra overfladespændingen i fire ortogonale
små dele, er det nok at integrere fra 0 til
.
(5.16)
Dette må være den resulterende kraft fra overfladespændingen på det lille udsnit omkring P, og
enhederne passer.
og
, og (5.16) med enheder giver
I udsnittet omkring P påvirkes overfladen samtidig af trykket fra begge sider. Arealet var
, så
kraften fra trykforskellen er
(5.17)
Når sæbehinden er i ligevægt, må kraften fra overfladespændingen være lig den resulterende kraft
fra trykket,
.
(5.18)
Young-Laplace-ligningen er navnet på denne ligning
18
, der udtrykker trykforskellen mellem to
statiske fluider ved overfladespændingen og summen af de principale krumningsradier. I denne
udregning medregnede vi dog kun overfladespændingen på den ene side af sæbehinden, så det
korrekte udtryk for sæbehinder er:
(5.19)
Vi lægger nu mærke til, at trykforskellen derved også kan udtrykkes ved middekrumningen.
og sættes dette ind i (5.19) fås
18
(Wikipedia, u.d.) Wikipedia om Young-Laplace-ligningen
Sæbebobler og Skum
21 af 29
Altså helt tilsvarende sæbeboblen. Inden vi konkluderer noget, må vi huske på, at vi kun har vist, at
det gælder for et lille udsnit af hele overfladen. Men med dette udtryk bliver det også klart, at en
sæbehinde i ligevægt nødvendigvis må have konstant middelkrumning. Da middelkrumningen
afbalancerer trykforskellen i alle punkter, og trykforskellen på hver side af sæbehinden må være
konstant over hele fladen, må middelkrumningen derfor også
være konstant.
Dette er dog ikke ensbetydende med at alle cellevægge i en
sæbeskum er udsnit af kugleflader - og heller ikke selvom vi
påstod, at den plane flade bare er en kugleflade, hvor radius går
mod uendelig. Et eksempel herpå er unduloiden, der fremstilles
ved at rulle en ellipse langs x-aksen, og dreje sporingskurven af
en af brændpunkterne om x-aksen. Tilsvarende omdrejningslegemer med konstant middelkrumning
kan konstrueres ved rulning af de andre keglesnit
19
- en såkaldt
Delaunayflade.
6. Undersøgelse af katenoide
En særlig af type flade fremkommer, når trykket er ens på begge sider af en sæbehinde, hvilket
medfører at middelkrumningen til ethvert punkt på overfladen er 0. En sådan flade, hvor
middelkrumningen er 0 i hele dens punktmængde, kaldes en minimalflade. En sæbefilm udspændt
af metaltråde udgør altså en minimalflade. Minimalflader er på flere måder ”minimale” - de
minimerer den frie energi i systemet, og de minimerer deres areal lokalt. Med dette menes, at
ethvert punkt P på en flade M opfylder, at arealet i et
lille område omkring P er mindst mulig i forhold til dets
grænser. Den simpleste minimalflade er selvfølgelig et
plan, og i det tilfælde minimerer fladen også dets areal
globalt, men sådan er det ikke nødvendigvis. Så længe
de to principale krumninger er lige store, men med
modsatte fortegn, er middelkrumningen i punktet 0. Et
sådan punkt kaldes et sadelpunkt på grund af dets
geometrisk udtryk. Et eksempel på dette er katenoiden,
som blev beskrevet første gang i 1740 af Leonhard
Euler
20
, og det var samtidig den første ikke-plane
minimalflade, der blev opdaget. På figur 13 ses en katenoide, og det er tydeligt, at en cylinder
udspændt af samme ståltråde ville have et mindre areal globalt.
Kigger vi på figur 9 af en katenoide, ser det næsten ud som om at hinden ”hænger” indad, og det
hænger sammen med, at det er en kædelinje, der er drejet rundt. Det kan vises, at netop kædelinjen
er den funktion, hvis omdrejningslegeme minimerer arealet lokalt, og dermed også den frie energi.
Den gren af matematikken, der beskæftiger sig med sådanne beregninger, kaldes
variationsberegning, og er for omfattende til at introducere her. Vi kan dog sandsynliggøre, at
19
(Bendito, 2013) Artikel om Delaunayflader
20
(Markvorsen, 2014)
Figur 13. En katenoide udspændt af to ringe af metal
Figur 12. En unduloide har konstant
middelkrumning
Sæbebobler og Skum
22 af 29
katenoiden er en minimalflade ved at beregne krumningen. Parameterfremstillingen for en
kædelinje er:
(6.1)
Cosh er den hyperbolske cosinus. Der er nogle særdeles interessante fysiske aspekter forbundet med
kædelinjen, som får sit navn fordi en hængende kæde vil tage form som en. Vi kan dreje kædelinjen
om x-aksen med standardformularen for parameterfremstillingen af et omdrejningslegeme
21
.
Og vi har parameterfremstillingen for en katenoiden. Z-aksen svarer her til midteraksen af
katenoiden, mens u er drejningen om aksen, og v er positionen på z-aksen. De principale retninger
må nødvendigvis være langs z-aksen, og på tværs af den. Vi kan altså i første omgang bare beregne
krumningen af kædelinjen. Krumningen af en banekurve kan udledes til
22
Cosh(x) differentieret er sinh(x), da
.
x(t) = t, så x’(t) =1 og x’’(t) = 0.
(6.2)
Følgende sammenhæng gælder:
(6.3)
Hvis katenoiden skal være en minimalflade, må det altså gælde, at de to principale krumninger er
21
(Wolfram Mathworld, u.d.) Wolfram Mathworld om omdrejningslegemer
22
Se bilag om banekurvers krumning
Sæbebobler og Skum
23 af 29
At dette gælder i v = 0 (katenoidens magreste område), er klart, da normalkrumningen på tværs er
cirklens krumning. Radius af denne cirkel er lig kædelinjens 2.koordinat i 0,
. Det vil sige
, og står vi på ydersiden af katenoiden bliver krumningen negativ. Vi
får altså:
Direkte beregning af middelkrumning kræver benyttelse af den første og anden fundamentale form i
differentialgeometrien, hvilket er for vidtgående i denne sammenhæng.
7. Konklusion
I dette projekt er der gjort rede for sæbeboblers og sæbehinders fysik, og den nødvendige matematik
til at beskrive dem er blevet opstillet. Centralt for sæbeboblers natur er fænomenet
overfladespænding, som givet ved
. Som følge af at et system foretrækker
den laveste energitilstand, tenderer sæbebobler til at minimere deres overfladeareal, så den frie
energi bliver mindst mulig. Kræfterne i en sæbeboble blev undersøgt, og det blev vist, at
overtrykket i en boble er omvendt proportional med boblens radius givet ved
. For at
eftervise denne sammenhæng blev et forsøg opstillet med formålet at måle trykket i en sæbeboble,
og udtrykke trykforskellen ved radius af sæbeboblen. Den fundne sammenhæng var
, og vi må antage, at den reelle b-værdi er 0. I så fald er
teorien blevet eftervist, og overfladespændingen blev beregnet til
Vi har endvidere undersøgt Plateaus love for skumstrukturer og sæbefilm. Sæbehinder mødes altid
tre ad gangen langs en kant med 120 mellem hvert par sæbehinder. I den forbindelse har vi vist, at
den korteste måde at forbinde tre punkter på, er at trække linjer til et fjerde punkt, så vinklerne
mellem hver linje er 120. Dette har vi udnyttet i undersøgelsen af en dobbeltboble, hvor
krumningsradius af cellevæggen blev givet ved radius af de to enkelte bobler:
,
hvilket svarer til
Dette blev empirisk bekræftet i autentiske dobbeltbobler.
Efterfølgende er krumningsbegrebet blevet knyttet til banekurver, og for en banekurve med
konstant hastighed lig 1, blev krumningen desuden udtrykt ved den dobbeltaflede
.
Forståelsen for krumning i planet blev udvidet til rummet med fladers normalkrumning i et punkt,
og Eulers sætninger blev introduceret. Det gælder, at gennemsnittet af to vilkårlige ortogonale
normalkrumninger i et punkt er lig gennemsnittet af de to principale krumninger, og denne værdi
kaldes middelkrumningen. At cellevæggene i en skum hver for sig har konstant middelkrumning,
skyldes at middelkrumningen afbalancerer trykforskellen. I den forbindelse blev Young-Laplace-
ligningen udledt
, der udtrykker at middelkrumningen er
proportional med trykforskellen for sæbehinder, hvor overfladespændingen virker på begge sider.
Da trykforskellen er konstant langs en sæbehinde, må middelkrumningen derfor også være konstant.
Til sidst har vi undersøgt en katenoide, og vist at det er omdrejningslegemet af en kædelinje.
Sæbebobler og Skum
24 af 29
Referencer
Aggerbeck, M. (u.d.). Soapbubble.dk. Hentet fra Soapbubble.dk: http://soapbubble.dk
Bendito, E. (24. Maj 2013). Delaunay Surfaces.
Bodil Bruun, B. F. (2013). Hvad er matematik? A, I-bog. Systime.
F. L. Roman, J. F. (22. Januar 2001). A simple experiment for measuring the surface tension of soap
solutions. http://www.physics.umd.edu/courses/Phys405/Boyd/ajp00917.pdf, s. 1,2.
Glassner, A. (September/October 2000). Andrew Glassner's Notebook Soap bubbles: Part 1. Hentet fra
Glassner.com.
Glassner, A. (2000). Andrew Glassner's Notebook. Soap bubbles: Part 2. Hentet fra Glassner.com.
Gyldendal. (2009). Middelværdisætning. Hentet fra Den Store Danske Encyklopædi:
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analyse,_v
ektor-_og_matrixregning_og_funktionsteori/middelv%C3%A6rdis%C3%A6tning
Gyldendal. (u.d.). Den Store Danske om Overfladespænding. Hentet fra
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Fluid_dynamik/overfladesp%C
3%A6nding
Henriksen, H. (2009). Nanovand. Naturvidenskab for alle.
Markvorsen, S. (2014). SRP Bobler og skum 2014. Hentet fra DTU:
http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/TEMP/SRP_Bobler_2014/SRP_BOBLER_20
14.pdf
Miller, J. (2014, Juli 2.). Solitary Road. Retrieved from http://www.solitaryroad.com/c326.html
Physics Galaxy. (25. April 2012). Excess Pressure Inside a Soap Bubble (ST4XA) . Hentet fra Youtube:
http://www.youtube.com/watch?v=N5sKrGVScWI
Skjævland, S. M. (u.d.). Derivation of the Laplace equation. Hentet fra http://www.ux.uis.no/~s-
skj/ResTek1-v03/Notater/Young-Laplace/Young-Laplace.sms.pdf
Weisstein, Eric W. (u.d.). "Plateau's Laws." . Hentet fra Wolfram Mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/PlateausLaws.html
Weisstein, Eric. (u.d.). Wolfram Mathworld Euler Curvature Formula. Hentet fra Wolfram Mathworld :
http://mathworld.wolfram.com/EulerCurvatureFormula.html
Wikipedia. (u.d.). Young–Laplace equation. Hentet fra Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Young%E2%80%93Laplace_equation
Wolfram Alpha. (u.d.). Acetone - Wolfram Alpha. Hentet fra
http://www.wolframalpha.com/input/?i=acetone
Wolfram Mathworld. (u.d.). Wolfram Mathworld om omdrejningslegemer. Hentet fra
http://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html
Sæbebobler og Skum
25 af 29
Appendix A Trykmåling af sæbebobler
Kalibrering af manometer
Trykket i luften blev målt til 102.28 kPa, og temperaturen blev holdt konstant ved 19.9
Kalibreringen af trykmåleren systemet skete ved 4 forskellige punkter. Til hver måling blev der taget et
billede. I billederne blev der lagt en akse langs glasrøret, og væskens relative placering set i forhold aksens
venstre begyndelsespunkt blev beregnet målt ved billedbehandlingsprogrammet GIMP 2. Aksens længde i
billedenheder var 3474 pixels. Usikkerheden på opmålingerne var ca. 20 pixels. Usikkerheden på den
relative position kan så antages at være
.
Ved lineær regression får vi
p(x)=(432)Pa*x+(102045Pa|0<x<1
Det ses, at væskesøjlen følger det målte tryk nydeligt.
-værdien er 0.996 hvilket må siges at være pænt. Det
er ikke umuligt, at det er rent held, da vi kun har 4 målinger.
Usikkerheden på hældningen blev
Usikkerheden på startværdien blev beregnet:
Relativ position ()
Tryk (
0.523
102270
0.862
102410
0.247
102150
0.753
102380
Figur 14 Trykket givet ved den relative position
Sæbebobler og Skum
26 af 29
Appendix B Krumning
B1 Krumningen af en cirkel
For at illustrere definitionen på krumning, kan cirklens krumning udledes, som forhåbentlig skulle
være 1/R. Den generelle parameterfremstilling for en jævn cirkelbevægelse er
,
hvor er vinklen målt i radianer mellem 1.aksen og retningsvektoren fra centrum til punktet. Denne
cirkelbevægelse skal udtrykkes ved buelængden, så vi kan beregne krumningen. Idet radianer er den
tilbagelagt buelængde i enhedscirklen, gælder det, at s = og
, så for at udtrykke cirklen
ved buelængden, skal vi dividere med radius.
Vi differentierer for at få hastighedsvektoren. Det er en sammensat funktion, hvor løsningen er
.
Nu har vi hastighedsvektoren udtrykt ved buelængen, og grundrelationen viser, at det samtidig er en
enhedsvektor:
, da
for alle x.
Accelerationsvektoren beregnes dernæst:
Hatvektoren til hastighedsvektoren beregnes:
Efter definitionen for krumning løses ligningen:
(1)
Resultatet bekræfter, at cirklens krumning er konstant over hele cirklen, og at den er omvendt
proportional med cirklens radius.
Sæbebobler og Skum
27 af 29
B2 Udledning af krumning for banekurver
Krumningen af vilkårlig banekurve kan beregnes med formlen
23
Bevis. Vi har en vektorfunktion af formen . Hastighedsvektoren er så
, hvor v
er hastighedsvektorens længde. Accelerationsvektoren bliver så
Reglen for differentialkvotient af et produkt gælder også ved vektorfunktioner. Dette giver
(2)
Definitionen af krumning er K i ligningen,
, så vi skal bruge , og denne opnås
ved reglen for sammensat differentiation. Dernæst udnyttes, at ds/dt er definitionen for hastighed.
(3)
Dette sættes ind i (28) og vi får
(4)
Første led på højresiden kan nu fjernes ved at prikke med
. Vi udnytter
og
.
Og så er vi ved det endelige udtryk, oog
(5)
Vi kan nu udtrykke krumningen ved koordinatfunktionerne og hastigheden.
,
og
(6)
Og dette kan vi bruge direkte, når vi kender en parameterfremstilling
23
Hvad er matematik? A - Kapitel 6, afsnit 3 om banekurven
Sæbebobler og Skum
28 af 29
B3 Krumning for funktioner
Krumningen af en funktion f(x) kan skrives som en parameterfremstilling af formen
Dette sættes ind i formlen for krumningen af en banekurve. og
Og vi får det endelige udtryk ved at sætte t = x
(7)
Vi lægger mærke til, at i tilfælde af kan dette dog forsimples til
B4 Udledning af Eulers sætning
I det følgende vil vi gøre brug af det differentialgeometriske værktøj partiel differentiation, som går
ud på, at opfatte en af variablerne som konstante, og differentiere med henhold til den anden. Det
vil ikke være en dybdegående introduktion til differentialgeometrien, men nok til at gennemføre
dette bevis.
24
Vi lader en parameterfremstilling for en flade være
Vi vil så finde
krumningen i retningen R, så vi skal have differentieret fladen i retningen R. Dette kan gøres ved at
opfatte u og v som afhængige variable, u(t) og v(t), hvorved
således bliver en kurve i rummet.
skal altså forstås som enhedstangentvektoren
til kurven, der følger fladen langs stykket s. Pointen
er, at vektoren kan splittes op i to komposanter i de to
principale retninger ved brug af partiel differentiation.
Til dette bruges kædereglen.
og
er buelængden i
de principale retninger.
er vinklen mellem
og
. Vi skal nu have en enhedsnormalvektor
og den kan findes ved at
krydse de partielt aflede til . Vi kan skiftevis opfatte u og v som konstanter, og differentierer
med henhold til den anden. Derved opnås to ortogonale vektorer, og krydsproduktet må
nødvendigvis stå lodret på fladen i punktet. Dette skrives
, hvor
og
Ved derefter at differentiere
med henhold til s, får vi en tangentvektor, der angiver hvordan
ændrer retning, hvilket er ækvivalent med en krumning.
24
Udledningen følger Svein Skjævland (Skjævland)
Figur 15 Vi kigger vinkelret ned på fladen r(u,v). ds1 og
ds2 er buelængdedifferentialerne i de principale retninger
Sæbebobler og Skum
29 af 29
Vi husker definitionen for krumning:
, hvilket i denne forbindelse svarer til
, og
når vi prikker med
får vi
. Vi udnytter nu, at
så
Dette medfører
og derfor er krumningen også givet ved
Derfor tager vi nu skalarproduktet af
og
. Vi prikker ledvis.
Vi ser nu
og
Samtidig udnytter vi at
står ortogonalt på
så
og tilsvarende
.
Og dette er hvad vi skulle vise.