2013
STX 3.g
STX 3.g
Statik (Bjælkelære)
1
Abstract
This paper examines the fundamental elements and components in the world of
mechanics and statics. It has particular focus on the behavior of beams exposed with a
certain stress. Furthermore it investigates the deflection of the beams and their bending
curvature. Main characters of the mechanical world will be mentioned such as Leonardo
da Vinci, Leonard Euler and Robert Hooke. They have contributed a lot of knowledge
to the beam theory which we are using today. This paper describes bending conditions
for beams and columns and how differential equations are used to describe the curvature
of an elastic beam. The area moment of inertia will be derived for a rectangular cross
section beam and for circle shaped beam through mathematical processes.
Associating with the project there has been experiments with wooden beams to show
the coherence between the theories and the experimental results. Finally the paper
concludes the importance of the shape and material to secure a strong and steady beam.
2
Indholdsfortegnelse:
1. Indledning .............................................................................................................. 4
2. Grundlæggende elementer inden for statik ............................................................ 5
2.1 Hookes lov .......................................................................................................... 5
2.2 Young modulus .................................................................................................. 7
3. Fladeinertimoment ................................................................................................. 8
3.1 Fladeinertimoment for et rektangulært emne ..................................................... 9
3.2 Fladeinertimoment for et rør: ........................................................................... 12
4. Differentialligninger af 2. orden .......................................................................... 15
4.1 Den homogene ligning: .................................................................................... 15
4.2 Den inhomogene ligning: ................................................................................. 17
5. Bøjningsforhold for bjælker og søjler .................................................................. 17
5.1 Bjælkers bøjningsforhold: ................................................................................ 17
5.2 Søjlers bøjningsforhold: ................................................................................... 23
6. Forsøg ................................................................................................................... 26
6.1 Formål: ............................................................................................................. 26
6.2 Opstilling: ......................................................................................................... 26
6.2.1 Billede af forsøget:........................................................................................ 26
6.2.2 Materiale: ...................................................................................................... 26
6.3 Udførelse: ......................................................................................................... 26
6.3.1 Forsøget: ....................................................................................................... 26
6.3.2 Målemetoder ................................................................................................. 27
6.4 Data: ................................................................................................................. 27
6.5 Databehandling og sammenligning med teori: ................................................. 27
6.6 Fejlkilder og usikkerheder ................................................................................ 31
7. Konklusion: .......................................................................................................... 31
8. Litteratur liste: ...................................................................................................... 32
8.1 Bøger: ............................................................................................................... 32
8.2 Hjemmesider: ................................................................................................... 32
3
9 Bilag ..................................................................................................................... 33
9.1 Bjælke dimensioner: ......................................................................................... 35
9.1.1 Spændvidden 1000mm: ................................................................................ 35
9.1.2 Spændvidden 750mm: .................................................................................. 36
9.1.3 Spændvidden 500mm: .................................................................................. 36
9.2 Grafer: .............................................................................................................. 37
4
1. Indledning
Siden tidernes morgen har mennesket sat krav på husly som en nødvendighed for
overlevelse. Fra at bygge små konstruktioner og kaldt dem hjem i datidens samfund til
nu at bygge skyskrabere af vildeste kreationer og former, har sat sine spor for hvad
mennesket kan opnå. Men mennesket må huske, hvordan det egentligt nåede så langt.
Grundlaget for bygning af disse enorme konstruktioner er bjælkelærens videnskab.
Uden den vil alt lige fra gamle kirker, som Santa Maria katedralen, i Firenze til
skyskraberne, som Empire State Building og Burj Khalifa aldrig være fundet sted.
Mange har været grundlæggere for bjælkelæren, bl.a. Leonardo Da Vinci, der i
slutningen af 1400-tallet laver flere systematiske forsøg og eksperimenter med bjælker.
Han udtrykte begreber, som bæreevnen og spændvidden, og dette har haft betydning for
vores nuværende opfattelse af bjælkelæren. Andre kendte historiske videnskabsmænd,
er Galileo Galilei og han betragtes tit som grundlæggeren af styrkelæren pga. sine
rationelt tilrettelagte forsøg og de konklusioner han kunne drage af dem. Han berigede
bjælkelæren med sine iagttagelser og opdagelser, hvilket har gjort det muligt for
mennesket i dag at drage nytte af dem.
1
Statik er læreren om ligevægt, og det omfatter legemer, hvis samlede resultantkraft er
lige med nul. En resultantkraft på nul betyder at legemet er stillestående og ikke i
bevægelse.
2
Altså når alle kraftsystemer i legemet er nul resultere det, at legemet
forholder sig i ro. Med andre ord Newtons første lov.
3
I følgende opgave vil de grundlæggende elementer indenfor statikken redegøres og
behandles. Dette inkluderer redegørelse for bøjningsforhold for bjælker og slanke søjler.
Herunder vil en teoretisk analyse af sammenhængen mellem nedbøjningskurven og det
statiske bøjningsmoment gives, samt udbøjningstilstande for slanke frie søjler, også
kendt som Euler Søjler.
I forbindelse med udbøjningskurver forekommer en kort redegørelse for 2. ordens
differentialligninger og deres løsninger. Begrebet fladeinertimoment vil blive diskuteret,
samt vise hvorledes man matematisk kan bestemme faldeinertimoment for et
rektangulært emne samt for et rør.
1
Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 3 ud af 45
2
http://da.wikipedia.org/wiki/Statik
3
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_love (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)
5
I forbindelse med forsøg, vil der blive arbejdet med konkrete belastningsforhold og der
vil blive diskuteret de forhold, som har indflydelse på emnets styrke og den maksimale
belastning. Målemetoder til bestemmelse af konkrete belastninger vil blive omtalt.
Forsøget er udført, hvorved der er blevet målt på nedbøjningen af trælister med
forskellige dimensioner, mens den har været simpelt understøttet. Bjælkens stivhed vil
blive bestemt som funktion af længen, l, samt tværsnitsformen dvs. højde, h, og bredde,
b. Det praktiske forsøg vil blive sammenlignet med teoriens forudsigelser.
2. Grundlæggende elementer inden for statik
Bjælkelæren dækker et stort område indenfor statikkens rammer. Den rummer mange
parametre og variabler, som skal tages højde for når man arbejder med bjælker. Først og
fremmest handler det om forståelsen af det der sker i bjælken, når den udsættes for
forskellige kræfter.
2.1 Hookes lov
Robert Hooke () var en engelsk fysiker og arkitekt, og kendt for sit bidrag til
bjælkelæren, Hookes lov. Hookes lov er en model, som beskriver den kraft, F, som en
fjeder trækker eller trykker med, når den er deformeret i en vis strækning, fra sin
oprindelige form i hvilestand.
4
Bjælken vil deformere, eller sagt med andre ord ændre
sig, når den udsættes for ydre kræfter.
Foroven ses formlen for Hooke lov,
som udtrykker sammenhængen med
mellem kraften F, kendt som
fjederkraften, og proportionaliteten
mellem fjederkonstanten, k, og
strækningen x. Udtrykket kommer af
observationer, som nedenstående illustrationen her, hvor vi ser at fjederen udsættes for
en bestem kraft, , så vil fjederen give efter, og strække sig ud fra punkt nul, som er
fjederens position i hviletilstand, til delta x, som er den distance fjederen strækker sig
ud til. Fjederen vil ved hjælp af indre kræfter, forsøge at trække sig tilbage til den
4
http://da.wikipedia.org/wiki/Hookes_lov
Figur 1. Fjeder der trækkes med kraften F 1
6
oprindelig tilstand, og summen af de indre kræfter kaldes for fjederkraften.
Fjederkraften er altså den kraft, der ønsker at genetablere den oprindelige tilstand.
Derfor vil fjederkraften være negativ i dette tilfælde, som ses i figur 1, da den ydre kraft
peger mod højre, vil de indre kræfter modvirke denne fremmede kraft, og derfor vil de
indre kræfter peger mod venstre. K, som er fjederkonstanten, afhænger af materialet,
tykkelsen af fjederen og generelt formen på den. Den afhængig altså af selve fjederen.
At den har et negativt fortegn, fortæller noget om retningen for kraften, F. Er
strækningen nul, må det betyde at fjederen ikke har ændret sig, og derfor må dens
resulterende kraft være lige nul, når den ikke er påvirket af ydrekraft. Dette giver god
mening med formlen, for hvis strækning, , er nul, og den så ganges med konstanten,
vil den give en fjederkraft også på nul.
Tager man fat i figur 1 igen og forestiller sig, at den ydre kraft peger mod venstre i
stedet for højre, så vil fjederkraften fra fjederen udregnes til at være positiv, idet den vil
prøve at skubbe sig ud til punktet 0, som er den oprindelige position. Den ydre kraft der
skubber fjederen ind, vil deformere den og give den en ”negativ” Strækning, i forhold
til nulpunktet. Derfor fås en positiv Fjederkraft, idet vi indsætter en strækning, , med
negativt fortegn og ganger med fjederkonstanten, der i forvejen er negativt. Fortegnene
vil udligne hinanden og derfor fås en positiv rettet kraft. Den kraft, som genereres fra
fjederen vil udligne den kraft, som kommer udefra, og når disse udligner hinanden vil
legemet forholde sig stille, da den resulterende kraft være lige nul.
Bjælker er elastiske, og dette gør dem bøjelige og fleksible til at deformere sig under
påvirkning af en ydre kraft. Figur 2 forneden, viser en indspændt bjælke, som trækkes
ud med kraften, F. Bjælken vil,
som resultat af den trækkende
kraft, udvide sig. Her indgår
begrebet Tøjning, også kendt som
strain,
5
, som betyder materialets
relative forlængelse under
påvirkning af den hivende kraft.
Altså kan den udtrykkes således.
5
http://da.wikipedia.org/wiki/T%C3%B8jning
Figur 2. indspændt bjælke, der trækkes med kraften F, og
får tøjningslængden .
7
Tøjningen skrives med det græske bogstav Epsilon og defineres således; den nye
længde efter deformationen, , over den oprindelige længde
. Begge længder har
samme enhed, og de vil udligne hinanden, så tøjningen forbliver uden enhed.
6
Deformationen skaber en udvidet bjælke, der er længere end dens oprindelige
hviletilstand. Udvidelsen udtrykkes med , som er en procentvis stigning i forhold til
bjælken. Grundet til denne stigning eller udvidelse, er på grund den spænding bjælkens
udsættes for. Spændingen, også kendt som stress, defineres som en størrelse i
mekanikken og er den gennemsnitlige kraft per areal. Dvs. at spændingen:
Spændingen, skrives med tegnet: lille sigma. A, er arealet, som er 2-dimensionelt og har
længdeenheden i anden, som regel med SI-enheden meter. F er kraften målt i Newton.
Dvs. at spændingen har enheden:
eller også Pa.
Hookes lov fortæller også noget om sammenhængen mellem tøjning og spændingen.
7
2.2 Young modulus
E er elasticitetskonstanten, som afhænger af materialet. Elasticitetskonstanten også
kendt som Youngs Modulus, opkaldt efter den britiske videnskabsmand og polyhistor
Thomas Young. Der er et matematiske forhold mellem tøjningen, , og Spændingen,
Tøjningen er proportional med spændingen. E er konstanten der ganges med
spændingen. Dog gælder loven kun indenfor bestemte intervaller, da hvis en bjælke
udsættes for alt for store belastninger og spændinger, kan det føre til permanente
deformationer, da elasticitetsgrænsen er overskredet. Efter den overskredet grænse
bliver bjælken plastisk og det betyder at den har mistet sine elastiske evner.
Youngs modul er et udtryk for et materiales elastiske evne under påvirkning af en eller
flere ydre kræfter. Laver man en graf, vil man få en lineær sammenhæng, med tøjningen
6
Feynman, Richard & Robert Leighton og Matthew Sand, ”The Feynman-lectures on physics” s. 38-1
7
Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 19 ud af 45.
8
på x-aksen og spændingen på y-aksen. Elasticitetskonstanten er hældning til den lineære
graf og stejlheden fortæller noget om hvor stift et stof er. Er grafen stejl må det betyde
at der kun sker en lille tøjning under en stor spænding, som fx stål med en
elastisitetskonstant på 200GPa
8
. Omvendt, hvis grafen har en flad hældning,
må det betyde at der sker en stor tøjning under en lille spænding, og derfor vil dette
materiale være blødt og nemt bøjeligt, fx gummi der har en elasticitet på 0,01-0,1 GPa.
9
3. Fladeinertimoment
Når man snakker om bjælker, så skal man tage fat i det
essentielle der ligger til grunde for deres interne funktioner.
Inertimomentet i en bjælke er en af de faktorer, der afgør
bjælkens stivhed. Inertimomentet er et udtryk for hvor stærkt
emnet er til at resistere nedbøjningen. Det afhænger af
bjælkens dimensioner, sammenhængen mellem højde og
bredde. Inertimoment afhænger altså af tværsnittet i bjælken.
Som ses i figur 3 vist til højre, ser man tværsnittet af en bjælke
set fra enden. Det skraverede område demonstrere et lille areal
af tværsnittet, hvori man kan udlede formlen for
fladeinertimomentet. Det skraverede område vil repræsenterer inertimomentet for hele
bjælkens, hvis man forestille sig der er flere lag oven over hinanden. Stregen i centrum,
er legemets midtpunkt, og er det eneste sted, som ikke vil deformere under påvirkning
af en lodretkraft nedad. Bjælken vil opleve at den krummer sammen foroven, mens den
strækkes sig ud forneden under førnævnte kraftpåvirkning.
10
(se bilag 11)
Inertimoment er faktor sammen med elasticitetkonstanten, Youngs Modul, og de udgør
stivheden for bjælken, som produkt af de to faktor. Stivheden afhænger altså af
elasticitetkonstanten og fladeinertimomentet.
11
8
http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html
9
http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html
10
Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 149
11
Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153
Figur 3. Tværsnittet af en
rektangulær bjælke.
9
Stivheden vendes der tilbage til senere i opgaven.
3.1 Fladeinertimoment for et rektangulært emne
For at kunne udlede fladeinertimomentet, tages der udgangspunkt i samme figur, som
brugt tidligere. Man får oplyst at:
I
x
er inertimomentet, for bjælkens x-akse, når den belastes med en lodret nedadkraft.
Z er distancen i legemets centrum.
12
,
13
dA er det delAreal. Delarealet er blot et lille stykke af
bjælken, men det betyder ikke noget, da inertimomentet for
hele bjælken vil blive fundet, når der integreres. Integralet
betyder i bund og grund at finde af et samlede areal.
Udtrykket for oven skal integreres igen, da det inertimoment,
der kommer ud der, er kun et udtrykt for inertimomentet i et
lille område i bjælken, og det interessante er inertimomentet
for hele bjælken og derfor kræves en dobbelt integration for at
få den samlede værdi af inertimomentet
14
Derfor fås udtrykket:
Der indsættes grænser for begge integraler, det første for højden, h, og den anden for
breden, b:
Grænserne strækker sig fra midten, z, til begge ender af højden, h , og det samme
gælder for bredden, b.
For god ordens skyld, så indsættes parenteser så man kan se hvor der integreres.
12
Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153
13
Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 26 ud af 45.
14
Feynman, Richard & Robert Leighton og Matthew Sand, ”The Feynman-lectures on physics” s. 38-9
Figur 4. Tværsnittet af en
rektangulær bjælke.
10
Stamfunktionen til den indre integral findes og grænser forbliver:
Grænser for bredden, fortæller os at intervallet strækker fra en halv bredde mod højre og
en halv bredde mod venstre, til sammen giver de hele bredden b, og derfor kan
grænserne for stamfunktionen omskrives således at b erstatter x’s plads:
Der integreres igen og stamfunktionen ser således ud
15
:
Nu skal grænserne fjernes:
De negative fortegn går ud med hinanden og parenteserne ophæves:
Og til sidst ganges brøkerne med hinanden:
Udledningen er hermed færdig.
16
15
Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 40 ud af 45.
11
Som ses på den udledte formel, så fortæller den noget dimensionernes rolle i forhold til
fladeinertimomentet. Ude fra udledning ses, at den afgørende faktor er højden, h. Det vil
sige at inertimomentet stigere kubisk med højden, h, og lineært med bredden, b.
Placeres bjælken fladt vil dens inertimoment være lavt og derfor vil den have en større
tendens til nedbøjning under belastning. Og omvendt, hvis den er placeret højden lodret,
så vil den have et højt inertimoment. Dette udnyttes indenfor bygningskonstruktioner,
når der arbejdes med bjælker. Det handler om at have optimale bjælker, til at bære
konstruktionen, og derfor har man I-bjælken. I-bjælken er et af de mest anvendte
bjælketyper, da dens bæreevne lever op til standarderne. I-bjælken består af en bjælke,
der står på højkant med flad bund og top. (Se bilag 10).
Ud fra udledning konkluderes at bjælkers dimensioner har en afgørende roller for
bøjningsstivheden.
Eksempel:
En træliste med bredde, b=15cm og højden, h=10cm, er simpelt understøttet i begge
ender. Trælisten placeres på sine understøtninger og lader sig blive belastet med en
nedadgående kraft. Find inertimomentet.
brug af ligningen fra udledningen:
Indsættelse af værdier
Inertimomentet for trælisten er fundet, men hvad nu hvis vi vender den på højkant?
trælisten sættes op, så den tynde del understøttes. Altså nu er bredde, b=10cm og
højden, h=15cm. Samme som før:
Indsættelse af værdier
16
Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 545
12
Her ses et markant større inertimoment, der er mere end fordoblet ved blot at belaste
bjælken på en anden side. Dette bekræfter førnævnte påstand om dimensionernes rolle
afgørende for inertimomentet og bøjningsstivheden. Der skal bemærkes at
inertimomentet her har enheden
, generelt
.
3.2 Fladeinertimoment for et rør:
Cirkel formede bjælker kan forekomme, og de har også et
fladeinertimoment i sig, som virker under belastning. Dog er
dens beregning ikke så lige til, som for det rektangulære
emne nævnt tidligere.
Der tages udgangspunkt i figur 5.
17
Igen bruges formlen for inertimoment:
I
x
er inertimomentet, for bjælkens x-akse, når den belastes med en lodret nedadkraft.
Z er distancen i legemets centrum.
18
dA er det delAreal. Delarealet er blot et lille stykke af
bjælken, men det betyder ikke noget, da
inertimomentet for hele bjælken vil blive fundet, når
der integreres.
Ved det rektangulære emne skulle der opfattes af man
lagde en helt masse firkanter sammen og summerede
dem. Det kan man ikke helt rigtigt her, da cirklen er
af anden facon. Så det må betyde at dA skal
udtrykkes, før en ligning kan opstilles og udledes.
dA er et lille areal i rørets tværsnit, som ses på figur 6. til højre. Det skraverede område
undersøges.
17
Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543
18
Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153
Figur 5.
Enhedscirklen/tværsnittet af en
rørformet bjælke
Figur 6. Tværsnittet af røret, med
et lille udpluk i det skraverede
område dA
13
Tegningen til venstre, figur 7, er en illustration af dA fra rørets
tværsnit. Her skal bemærkes, at dr er en længde, mens dθ er en
vinkel, og derfor er der ikke tale om et direkte areal, da areal
defineres som en længde gange længde og ikke længde gange
vinkel. Vinklen er i radianer, der det er en bue, som betragtes.
For at skrive dθ om til en længde ganges den med r. Derfor
kan dA udtrykkes således:
19
Nu hvor dA er fundet, skal z findes. Dette gøres ved at betragte enhedscirklen og ved
hjælp af den kan man ekstrahere at .
Nu kan formlen for rørets inertimoment udledes:
Indsætning af dA og z:
20
Et nyt integral dukker op idet dA i sig selv var et areal og derfor et udtryk for integral,
så da dA blev ophævet måtte et integraltegn overtage. Det inderste integral har en nedre
grænse på 0 og en øvre grænse på R, som er radius for rørets tværsnit.
også det ydre integral har grænser, og den nedre er på 0, mens den øvre er på
, da
cirklen går hele vejen rundt. Derfor skal der også ganges med 4 for at få hele cirklens
inertimoment med.
19
http://www.youtube.com/watch?v=GiqlC6bwD0g
20
Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543
Figur 7. Forstørrede udgave af
det skraverede område i figur 6.
14
Der reduceres. En matematisk lov siger at så længe ”r” ikke er afhængig af theta, så kan
de skilles ad, og den dobbelte integration bliver til to integraler ganget med hinanden
21
:
Nu integreres de:
Reduktion
22
:
Hermed er udledning for inertimomentet i et rør færdigt.
Der skal bemærkes at denne formel giver inertimomentet for hele røret, og det vil sige
kun hvis røret er massivt! Ikke alle rørformede bjælker er massive, da det ikke er så
praktisk at de bliver for tunge. Derfor findes der også nogle, som er hule og det vil sige
at tværsnittet kun dækker tykkelsen af omkredsen, som på figur A-10.(se bilag)
23
Ønsker man at finde inertimomentet, for de hule bjælker, er det simpelt. Man finder
først inertimomentet for hele bjælken, altså antager at den er massiv. Måden man har
gjort er at sørge for at grænsen går fra centrum til cirklens omkreds, fra nul til R. Så
finder man radiussen af den tomme del af bjælken og finder dens inertimoment.
Radiussen der fundet sættes som grænse, den kan kaldes fx:
. så fra nul til
.
så trækker man de to inertimomenter fra hinanden, og det der er tilbage er så
inertimomentet for den hule bjælke.
21
http://www.youtube.com/watch?v=GiqlC6bwD0g
22
Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543
23
Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 543
15
4. Differentialligninger af 2. orden
Differentialligninger af 2. orden forekommer i mange typer og strukturer. I denne
opgave vil fokus være på lineær differentialligninger af 2. orden. Den har følgende
struktur:
Hvor i denne kan opdeles i to typer: den homogene og den inhomogene.
24
4.1 Den homogene ligning:
Når
i den homogene ligning er 0, betyder det at man kan finde dens løsning ved at
gætte eksponentielfunktionen
, hvor er en konstant.
Den homogene ligning:
antages at
kan bruges til finde løsninger, så indsættes den ind i x’s plads og
dermed fås:
Ved at tage
uden for en parentes, reduceres udtrykket til:
25
Det følger heraf, at hvis tallet R er en løsning til en anden grads ligning:
Denne ligning kaldes for karakterligning.
26
Da
antages at være en løsning til
den homogene, så er det kun R der skal findes, da den er konstant mens t er variabel.
For at demonstrere et eksempel gives følgende 2. ordens differentialligning:
24
Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.2-
25
Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.4-
26
Beelen, Peter og Søren Thomsen ”kursusnoter til DiploMat1” s. 77
16
er 2 og
er 3, så følgende anden gradsligning fås:
For at finde R, benyttes fremgangsmåden for løsning af anden gradsligning:
hvori d er diskriminanten, og findes ved at indsætte værdierne for a,b og c:
da diskriminanten er 1, kan den proppes ind i følgende formel, så rødderne for R findes:
og Rødderne er :
Samtlige løsninger er derfor:
er konstanter og kan findes ud fra randbetingelserne.
27
Hermed er den
fuldstændige løsning fundet for eksemplet her.
Differentialligninger af 2. orden optræder i mange steder i hverdagen. Inden for
bjælkelæren bruges den til at opstille nedbøjningskurver. Fordelen ved disse opstillinger
er, når en nedbøjningskurve er dannet, så kan man beregne den præcis nedbøjning for
bjælken ved at aflæse kurvens koordinater. Inden for bjælkelæren benyttes følgende 2.
ordens differentialligning:
Og kan omskrives til den mest sete struktur, når man har med statik at gøre:
27
Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.6-
17
Anvendelsen af denne 2. ordens differentialligning, vil blive omtalt i afsnit 5 senere i
opgaven.
4.2 Den inhomogene ligning:
Den har samme struktur, som i den homogene, mens forskellen er
Løsningen af denne type af differentialligninger er komplekst, men i korte træk kan den
forklares således:
”Samtlige løsninger til Sætning 1. fås ved til én løsning Sætning 1. at
addere samtlige løsninger til den homogene ligning.”
28
5. Bøjningsforhold for bjælker og søjler
5.1 Bjælkers bøjningsforhold:
Når bjælker udsættes for en belastning, reagerer den ved at nedbøje. Denne nedbøjning
har meget at fortælle. Selvom noget så simpelt, som en planke understøttet i begge
ender med en belastning i midten, så ligger der en kæmpe videnskab og matematiske
udfordringer bag. Når en bjælke belastes, mister den sin originale form og deformation i
form a nedbøjning. Det der bl.a. sker i bjælken er at stykket over nullinjen
komprimeres, mens understykket strækkes ud i samme omfang som komprimeringen.
29
Bjælkens nedbøjning afhænger af flere faktorer. De er:
Belastningen størrelse og type(centeret, jævnt fordelt, forskudt fra midten mm.)
Bjælken spændvidde, jo længere der er mellem understøtninger, des større
nedbøjning.
Materialet egenskaber (Youngs modulus)
28
Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.” s. -5.12-
29
http://toolboxes.flexiblelearning.net.au/demosites/series10/10_01/content/bcgbc4010a/04_struct_memb
ers/01_beams/page_004.htm
18
Bjælke type(simpelt understøttet, indspændt bjælke mm.)
Nedbøjningen måles typisk forskellen mellem bjælkens nullinje før belastning og efter
belastning.
30
Figur 8
Betragter man figur 8 vises en simpelt understøttet bjælke med en belastning, F,
virkende i midten. Bjælkens længde er L og origo er placeret ved venstre understøtning.
Figur 9
Da understøtningerne er placeret symmetrisk samt at kraften virker i midten, kan det ses
at hver understøtning optager det halve af belastningen F, hvilket svarer til
.
I dette afsnit bestemmes nedbøjningsudtrykket for dette bjælketilfælde.
Fra grundlæggende mekanik haves nedenstående sammenhæng:
31
32
Denne siger, at hvis man kender snitmomentet M(x) og bjælkens stivhed i hele dens
længde, så kan man finde nedbøjningsfunktion for bjælken ved blot at integrere to
gange. Med andre ord skal man bestemme løsningen til en differentialligning af 2.
30
http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC1785474B44&index=3
31
Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 165
32
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Bernoulli_beam_equation
19
orden. Til beregningen af snitmomentet bruger man her nedbøjningen af bjælken som
afhænger af dens elasticitetsmodul samt inertimoment.
Snitmomentet M, betegner det indre moment i bjælken som respons på de ydre
belastninger; i dette tilfælde belastningen F og kræfterne fra understøtningerne. Måden
hvorpå M bestemmes er ved at snitte/skære igennem midten af bjælken samt betragte de
ydre belastninger på fx venstre sektion (venstre del af bjælken). Da nedbøjningen er i
midten på bjælken, er dens effekt symmetrisk og derfor er det lige meget hvilken ende
man kikker på. Den eneste ydre belastning som bidrager til moment er kraften
understøtningerne
som ligger en afstand x fra snittet (senere i randbetingelserne
defineres x til noget specifikt). Derfor gælder:
Først tages den førstnævnte ligning og flytter på den anden side af lighedstegnet, så
isoleres. Så kan
substitueres med det der lige er udtrykt foroven:
Der integreres nu to gange, så differentialligningen af 2. orden forsvinder og vi står
tilbage med u, som er nedbøjningen. Under hver integration, forekommer en konstant:
Ovenstående er den generelle løsningsformel.
20
Konstanterne og fremkommer. Disse defineres udefra nedenstående
randbetingelser:
Figur 10. man ser på randbetingelserne, altså de betingelser der er gældende for bjælken.
33
Den første randbetingelse indsættes i den generelle løsningsformel, B konstanten
isoleres og x sættes lige med 0:
Den anden randbetingelse indsættes og A konstanten isoleres. Først differentieres den
generelle løsningsformel, så
forsvinder og der fås:
Dernæst sættes y=0
Endeligt indsættes
, da længden til midten er lang så lang fra begge ender
understøtninger, og A defineres ved isolering:
33
http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC1785474B44&index=3
21
Sammenhængen for nedbøjningsforløbet langs bjælken er nu bestemt til
Den maksimale nedbøjning ligger i midten hvorved
Hermed fås udtrykket for den maksimale nedbøjning for bjælken med simpelt
understøtning.
34
Tages et andet eksempel, hvor bjælken er
indspændt, ser fremgangsmåden sådan ud.
Der tages udgangs punkt i figur. 1
34
http://www.freestudy.co.uk/mech%20prin%20h2/outcome2t3.pdf
Figur 11. indspændt bjælke
22
P er den nedad trykkende kraft, der belaster den frie ende.
For at analysere bjælken, skal den skæres, så det statiske
bøjningsmoment kan blive fundet. Bøjningsmomentet, M,
udligner den nedadgående kraft, p. Og når de udlignes må
den resulterende kraft være lige med nul, derfor:
er momentet, og defineres som kraft gange arm.
35
Nu hvor M er fundet, kan det indsættes i ligningen for nedbøjningskurve:
Der integreres:
Ud fra randbetingelserne, som ses på figur 3, kan
man se at når x=L, så er hældningen=0. Derfor kan
erstattes med 0 og x udskiftes med L i udtrykket så
der fås:
Så nu fås:
Der integreres igen:
35
Høgsberg, Jan og Steen Krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 10
Figur 12 En segment fra den
indspændte bjælke i figur 1.
Figur 13 randbetingelser med rødt.
23
Igen ses på randbetingelserne, og der oplyses, når x=L er y=0 og derfor:
Nu er ligningen for nedbøjning fundet til:
reduktion
36
:
For at finde nedbøjningen for punktet A i figur 3. substitueres x med nul i den formel,
der blev integreret en gang. x=0:
Dette udtryk er et generelt udtryk for alle indspændte bjælker og kan bruges til at finde
deres maksimale nedbøjning i den frie ende af bjælken.
5.2 Søjlers bøjningsforhold:
Søjler er lodret stående bjælker. De er bærende
objekter, som holder lofter og lignende op. En
euler søjle er simpelt understøttet i begge ender
og er udsat for en nedadgående kraft, som ses på
figur 14. Søjler krummer og bøjer ud i siden, når
de udsættes for belastning.
37
Den mængde den
udbøjes kaldes for bjælkekrumning, u, og som tidligere
nævnt kan en bjælkedel i ligevægt beskrives:
36
http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC1785474B44&index=3
37
Singer, Ferdinand L. ”Strength of Materials” s. 386
Figur 14 Euler søjlen
24
Og relationen mellem bjælkekrumningen, u, og bøjningsmomentet, m, giver:
, er givet som forholdet mellem normalkraft, P, og
bøjningsstivhed, EI. Derfor kan ovenstående
differentialligning omskrives fra
til
:
38
Og denne differentialligning har følgende løsning:
Igen kan konstanterne
bestemmes ud fra de opgivede
randbetingelser, som kan læses på figur 15.
39
Ved længden nul er der ingen udkrumning, og heller ikke ved enden af længden. Altså
er der ingen udkrumninger i enderne og derfor konkluderes
til 0. hvilket efterlader:
og da
, kan l substitueres med x og følgende er tilbage:
Hvilket efterlader:
Dvs. for:
er der løsninger til differentialligningen af formen:
hvor t er en uindskrænket parameter.
38
Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 38 ud af 45
39
Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 38 ud af 45
Figur 15
25
”Til hver udbøjningslinie svarer en bestemt værdi af belastningen P”
40
:
P isoleres:
Det må betyde at den mindste positive P-værdi er søjlens bæreevne. Sættes n til 1, fås
Eulers formel:
41
kaldes for Eulerkraften.
Når n sættes til 1 betyder det at bjælkesøjlen danner 1 udkrumning eller bule når den
belastes med
. n er altså antal buler for en søjle en belastningen.
Jo tungere belastning des flere buler. Ud fra figur 16.
42
kan sammenhængen omskrives
til følgende:
Søjlers udbøjningstilstande varierer og afhænger af deres type,
randbetingelser, materiale, belastninger osv.
Det vigtig at søjler i praksis ikke laver store udkrumninger, da dette ikke virker helt
stabilt når der fx skal bygges en bro. Derfor er teorien og viden om søjler afgørende
inden for mekanikkens og statikkens verden.
40
Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. 39 ud af 45
41
http://www.danskbyggeskik.dk/pdf/get.action;jsessionid=B4695618DA39C6B73AD73F079905A679?p
df.id=561
42
Matematiske Metoder i Konstruktionsmekanik. DTU
Figur 16
26
6. Forsøg
6.1 Formål:
Formålet med forsøget var at finde trælisters stivhed, og hvilken rolle det spillede for
inertimoment i forhold til trælisternes position og de dimensioner trælisterne havde,
samt se om længden mellem understøtningerne havde indflydelse på nedbøjning. Og
sammenligne resultaterne med teoriens forudsigelser.
6.2 Opstilling:
Forsøget blev opstillet, således der kunne foretages eksperimentale undersøgelser med
bjælkers nedbøjning under belastning. Bjælkerne, i dette tilfælde trælister, var
understøttet med en simpel understøtning på hver ende, dog kunne begge enders højde
justeres op og ned. En skydelære blev monteret tæt på bjælken, så aflæsning af data var
optimal, dog ikke perfekt og usikkerhed under aflæsning kunne forekomme.
6.2.1 Billede af forsøget:
Se figur 17 og 18 i bilag.
6.2.2 Materiale:
Skydelære monteret til stående objekt
Otte trælister af forskellige dimensioner (dog kun syv brugt)
Simple understøtninger, med højde justering
Vægt
Lodder af forskelligt vægt
Pc til notering af data.
Sav til trælisterne
6.3 Udførelse:
Forsøget blev udført i fysiklokalet 2A9, , under observation
af vejledere.
6.3.1 Forsøget:
Trælisterne blev undersøgt systematisk. Først og fremmest blev bjælkerne(trælisterne)
undersøgt med spændvidden(længden) en meter med forskellige belastninger.
Bjælkerne var nummererede fra 1 til 8, og hver bjælke havde sin egen unikke tværsnit.
27
Hver bjælke blev forsigtig placeret på de simple understøtninger. Højden blev justeret
så bjælken lå præcis samme højde som skydelæren. Efterfølgende blev hver bjælke
udsat for en belastning, der gav dem en nedbøjning som blev noteret. Belastningen var
små lodder. I forsøg med tungt belastning blev der anvendt flere lodder fordelt
symmetrisk i midten. Grundet til det var pga. manglende tunge lodder og derfor måtte
lodderne lægges sammen til fordel for en større nedbøjning. Al nedbøjning blev noteret
og behandlet. Spændvidden blev forkortet undervejs til 750mm og 500mm, så man
kunne se om det påvirkede nedbøjningen.
6.3.2 Målemetoder
Målemetoder under forsøget var forskellige. Først blev en almindelig lineal brugt, men
da dens skala var for stor måtte en skydelære blive brugt. Den kunne måle
deflektionen(nedbøjningen) så præcist, som muligt og skalaen var passende, dog kan
der være usikkerhed og fejlkilder.(Dette vil blive omtalt i Fejlkilde afsnittet)
Loddenes vægt var allerede angivet, hvis ikke måtte man selv veje den på en vægt.
6.4 Data:
Grafer og tabeller, ses i bilag.
I databehandlingsafsnittet vil der tages udgangspunkt i Bjælkerne 2, 5 og 6, da de alle
sammen deler samme højde 8mm.
6.5 Databehandling og sammenligning med teori:
For en god ordens skyld sorteres dataene. Få af tabellens tal er udvalgt til grafdannelse,
og dette skyldes at de alle deler samme højde, hvilket gør dem til oplagte kandidater til
sammenligning. Alle tre bjælker har højden 8mm, mens bredderne varierer. Bjælke 2
har en bredde på 19mm, bjælke 5 på 20mm og bjælke 6 på 32.
Graferne viser, at der er en relativ god sammenhæng for breddens betydning for
bjælkens stivhed. Samtidig kan en betydelig reducering af nedbøjningen ses, når
spændvidden forkortes. Selvom grafens tendenslinje er tvunget gennem (0,0), passer de
relativt godt. Tages der fat grafen-”Bjælke 6. 500mm”, kan man se at de to sidste
punkter ligger højere i forhold til de forrige, og dette indikere at bjælken har været ud
for en så tung belastning, at den har fået en permanent deformation. Grundet til den
28
permanente deformation er, at bjælken fik overskredet sin elasticitets grænse og derfor
ikke længere har en elastisk evne, men derimod er den blevet plastisk.
Sammenligner man bjælkernes dimensioner med hinanden og ser på hver deres stivhed,
kan man se at bredden spiller den afgørende rolle for bjælkens stivhed. Bredden gør at
bjælken kan klarer mere. Bjælkens stivhed, s, som funktion af tværsnittet, t:
er belastningen over nedbøjningen, t er den variable tværsnit, b burde i teorien ikke
være der, fordi der ikke kan være nogen stivhed, hvis der ikke er noget tværsnit.
Grundet til at en b være dukker op er pga. værdierne er plottet uden at tvinge grafen
igennem (0,0). Tvinges linjen gennem (0,0) fås en større afvigelse, hvilket man ikke
ønsker. Værdierne er fra bjælkerne 2,5 og 6 (500mm).
Nu hvor bjælkens stivhed, som funktion af tværsnittet fundet, skal der også opstilles en
funktion af længden. Måden der gøres på er ved at tage den samme bjælke fx bjælke 5,
og se på den stivhed under forkortede spændvidder.
377
478
581
y = 1,588x + 178,01
R² = 0,8118
0
100
200
300
400
500
600
700
00
P/u stivhed
tværsnit/h*b/mm^2
Bjælkens stivhed, som funktion af tværsnit
29
Som ses på grafen, så falder stivheden i takt med at spændvidden udvides. Grafen er
Stivheden som funktion af spændvidden, altså spændvidden er variablen. Det passer
meget godt overens med teorien, når forsøget viser at nedbøjningen er større under
længere spændvidde end under korte spændvidde. Derfor kan der konkluderes at
længden også er en afgørende faktor for bjælkens stivhed.
l er spændvidden/længden mellem de to understøtninger og er målt i mm.
Begge eksperimenter bekræfter teoriens forudsigelser, med at tværsnittet og længden
har afgørende indflydelse for bjælkens bøjningsstivhed.
Formlen for nedbøjning, u, med en centeret belastning:
43
Her ses at længden eller spindvidden er opløftet i tredje, og dette betyder at jo større
længde er des større bliver den numeriske værdi i tælleren, og da nævneren er en
konstant vil vokser i takt med tælleren. Forsøget viser god overensstemmelse med
denne formel og derfor passer teoriens forudsigelser.
Det samme gælder for bredden og højden, da de spiller en afgørende rolle for
Inertimomentets værdi, I. Der vendes tilbage til formlen for I:
43
http://www.learneasy.info/MDME/MEMmods/MEM23061A/Bending/Bending.html
y = -0,7982x + 844,28
R² = 0,925
0
100
200
300
400
500
600
0 1200
P/u --- stivhed
spændvidde/mm
stivhed som funktion af spændvidden
30
Og her ses der at dimensionerne for en bjælke afgør størrelsen af inertimomentet. Og da
inertimomentet er en af faktorerne i nævneren i den førnævnte nedbøjningsformel, så vil
nedbøjningen, , bliver mindre når nævneren bliver større. Og dette giver god mening
med at et større inertimoment udtrykker en mindre fleksibilitet for nedbøjning.
Som førnævnt så er E Youngs Modulus og er en konstant for materialet. Ved hjælp af
disse formler, kan E beregnes for et af de trælister brugt i forsøget. Da alle oplysninger
er tilgængelig kan E beregnes for bjælke eksempelvis 5. således:
Og dette indsættes i formlen for nedbøjning:
Elasticitets konstanten, E, for trælisten bjælke 5 findes ved hjælp af solve i Ti-Inspire
cas værktøj:
Hermed er Elasticitets konstanten, E, for trælisten bjælke 5 fundet. Denne værdi burde
være gældende for alle trælister, da de alle er af samme art.
Man kan diskutere de forhold der kan have indflydelse på emnets styrke og den
maksimale belastning. Det kan være randbetingelserne, som kan have indflydelse
bjælkens nedbøjning. Fx er der forskel på indspændte bjælker og simpelt understøttet
bjælker. En anden faktor kunne være fordelingen af belastningen. Nedbøjningen
afhænger af hvor vægten befinder sig på bjælken, om den er centeret, jævnt fordelt eller
placeret forskudt fra midten. Mange af disse overvejelser skal tages i betragtning, når
der arbejdes med bjælker. Andre forhold kan være bjælkens materiale og form.
Temperaturen spiller også en rolle, men betragtes som en mindre faktor, da der skal
meget varme til at påvirke en bjælke bøjningsevne. Omvendt hvis der havde været frost,
så ville emnets være klart stivere end under alm. Stuetemperatur.
31
6.6 Fejlkilder og usikkerheder
Mange ting kan gå galt i et forsøg, som dette. Eksempelvis kan trælisterne have ændret
form undervejs pga. af de tunge belastninger som kan omdanne trælisternes elastiske
evne til plastisk. Hvis dette har fundet sted kan de permanente deformationer påvirker
eksperimentets resultater, som også ses på graferne med spændvidden 500mm, så har 2
ud af 3 bjælke mistet deres elastiske evne undervejs.
En anden ting kan være usikkerhed ved aflæsning af skydelæren. Aflæsning med det
blotte øje kan give usikre resultater, og derfor kan afvigelser i resultater forekomme.
7. Konklusion:
Hermed konkluderes, at bjælkelæren er et stort område indenfor statikken og har en
afgørende rolle for konstruktioners kunnen og holdbarhed. Bøjningsforhold for bjælker
og søjler afhænger af mange faktorer, bl.a. Inertimomentet, som er et udtryk for
betydningen af bjælkens tværsnit, og Young Modulus, som er elasticitets konstanten og
afhænger af materialet. Spændvidden for bjælker viste sig også at have stor betydning
for nedbøjningen. Bjælkers nedbøjning kan findes vha. kurver, som kan beregnes ved
hjælp af dobbelt integrationsmetoden af en 2. ordens differentialligning.
Nedbøjningskurver er et godt værktøj, da den fortæller den præcis nedbøjning i en
bestemt længde fra understøtningen. Ydermere er randbetingelserne omtalt, og deres
rolle for hvordan ligningerne for nedbøjning ser ud. Uden randbetingelser vil man ikke
være i stand til at finde de konstanter der forekommer under integrationer. Et forsøg
blev udført i forbindelse med projektet.
Via forsøget kunne de eksperimentale data sammenlignes teoriens forudsigelser og
derfra konkludere at der er god overensstemmelse mellem dem. Bjælkerne, der blev
brugt i forsøget, var en god måde at fortælle om vigtigheden af inertimomentet. Der
konkluderes, at bjælker yder mere modstand, når de står på højkant end når de er fladt
liggende. Dette gælder for både simpelt understøttet bjælker og indspændte. Forsøget
gav mulighed til at bestemme en elasticitetskonstant for de trælister, der blev brugt.
Opgaven konkluderer altså kortfattet de basale elementer indenfor statikken og
bjælkelærens store rolle i hverdagens konstruktioner.
Underskrift:___ _______________________________ _____
32
8. Litteratur liste:
8.1 Bøger:
8.1.1 Singer, Ferdinand L.”Strength of Materials-second edition” Harper and Row
publishers. Inc. 1951.(pdf)
8.1.2 Høgsberg, Jan og Steen Krenk, ”Statics and mechanics of structures”
Technical University of Denmark. 2011
8.1.3 Modelforsøg af bjælke.pdf notesæt DTU BYG af Henning Agerskov s. (pdf)
8.1.4 Feynman, Richard & Robert Leighton Matthew Sand,”The Feynman-
lectures on physics” California institute of technology. 1964.
8.1.5 Beelen, Peter og Søren Thomsen, “Kursusnoter til DiploMat1.” institut for
matematik, Danmarks universitet. 2011.
8.1.6 Kraige, L.G og J.L Meriam. ”engineering mechanics, Volume 1. Statics-
seventh edition” Virginia Polytechnic Institute and State University, John
Wiley and sons, inc. 2012.
8.1.7 Mohr, Gumar m.fl.“Teknisk Ståbi” udgave 19.Nyt Teknisk Forlag 2007(pdf)
8.1.8 Markvorsen, Steen & Poul Hjorth mm. “Matematisk Analyse 1. Udgave 4.”
Institut For Matematik. 2000.
8.1.9 Carstensen, Jens ”Mat 3A” (anden ordens differentialligninger)
8.1.10 Matematiske Metoder i Konstruktionsmekanik. DTU (pdf)
8.2 Hjemmesider:
8.2.1 http://www.youtube.com/watch?v=GiqlC6bwD0g ”Areamoment of inertia
for a Circle Brain Wave”-forklaring for inertimoment i et rørformet emne.
8.2.2 http://www.youtube.com/watch?v=JA5nTvEU3MA ”Physics of life- Stress
and strain” forklaring af Tøjning og spænding, samt Youngs Modulus.
8.2.3 http://www.learneasy.info/MDME/MEMmods/MEM23061A/Bending/Bend
ing.html ”bending beams” formelsamling for nedbøjning.
8.2.4 http://www.youtube.com/watch?v=QR5mivx0xc0 ” Deriving Area Moment
of Inertia.MP4” forklaring af flade inertimoment for et rektangulært emne,
samt udledning.
8.2.5 http://www.youtube.com/watch?v=7uuDNG8dne4&list=PL70E8AC178547
4B44&index=3 “English - Beam Deflection Using Double Integration
Method” forklaring af bjælke nedbøjningen og hvordan man udtrykker
deres nedbøjningskurve vha. randbetingelser.
8.2.6 http://www.freestudy.co.uk/mech%20prin%20h2/outcome2t3.pdf
33
8.2.7 http://www.iit.edu/arc/workshops/pdfs/Moment_Inertia.pdf inertimoment
mm.
8.2.8 http://toolboxes.flexiblelearning.net.au/demosites/series10/10_01/content/bc
gbc4010a/04_struct_members/01_beams/page_004.htm bjælkens
deformation
8.2.9 http://aarupconsult.dk/HTX/DogP_Ma/statikst.htm formelsamling
8.2.10 http://www.google.dk/imgres?sa=X&hl=da&qscrl=1&rlz=1T4GGNI_daDK545DK545&biw=1600&
bih=693&tbm=isch&tbnid=MFaNnnq2b8iptM:&imgrefurl=http://www.bygmax.dk/byggematerialer/
armeringsnet-staal/heb-
bjaelke.html&docid=PGL8YF9KtdMrmM&imgurl=http://www.bygmax.dk/media/catalog/category/h
eb_1.jpg&w=800&h=800&ei=d0SpUryuHKmAywOR2ICIAw&zoom=1&ved=1t:3588,r:5,s:0,i:95&
iact=rc&page=1&tbnh=194&tbnw=198&start=0&ndsp=22&tx=70&ty=62 I-bjælke bilag 10
8.2.11 http://en.wikipedia.org/wiki/Buckling Søjler
8.2.12 http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Bernoulli_beam_equation
9 Bilag
bilag 10.
http://www.youtube.com/watch?v=JA5nTvEU3MA
figur a-10. inger, Ferdinand L.”Strength of Materials-second edition” Harper and
Row publishers. Inc. 1951.(pdf)
Bilag 11.
Høgsberg, Jan og Steen krenk, ”Statics and mechanics of structures” s. 153
34
Figur 17. Billede af forsøget i fysiklokalet, .
Figur 18. Billede af forsøget i fysiklokalet, .
35
9.1 Bjælke dimensioner:
højde/mm
bredde/mm
bjælke 1.
5
20
bjælke 2.
8
19
bjælke 3
3
15
bjælke 4.
3
26
bjælke 5.
8
20
bjælke 6.
8
32
bjælke 7.
8
66
bjælke 8.
12
12
9.1.1 Spændvidden 1000mm:
bjælke
1.
1
2
3
4
5
6
7
nedbøjning(mm)
28
14,5
6,5
2,2
8,5
17
23
lodder vægt/g
500
250
100
40
140
300
400
bjælke
2.
1
2
3
4
5
6
7
nedbøjning(mm)
3
2,7
8
9,5
17,5
23
28
lodder vægt/g
300
250
500
600
1100
1400
1600
bjælke
3.
1
2
3
4
5
6
7
nedbøjning(mm)
9
22
10,5
3,2
52
42
19
lodder vægt/g
40
100
50
150
250
200
90
bjælke
4.
1
2
3
4
5
6
7
nedbøjning(mm)
30
24
4
12
17,3
23
6,1
lodder vægt/g
250
200
40
100
150
190
50
bjælke
5.
1
2
3
4
5
6
7
nedbøjning(mm)
7,7
14,7
21
19
24,5
28,6
37,3
lodder vægt/g
600
1100
1600
1500
2000
2200
3000
bjælke
6.
1
2
3
4
5
6
7
nedbøjning
8
16,7
28
48,7
66
80
90
lodder vægt
1000
2000
3000
5000
6000
7000
7700
bjælke 7.
1
2
3
4
5
6
7
nedbøjning
48,7
11
21
36,5
29
50,5
53
lodder vægt
10000
2300
4300
7300
6000
11000
12000
bjælke
8
1
2
3
4
5
nedbøjning
7
13
23
26
45
lodder vægt
500
1000
2000
3000
5000
36
9.1.2 Spændvidden 750mm:
bjælke 2.
1
2
3
4
5
nedbøjning
18
41,5
10,6
30
33
lodder vægt
2000
5000
1000
3500
4000
bjælke 5.
1
2
3
4
5
nedbøjning
29
40
12
18
53
lodder vægt
5000
7000
2000
3000
10000
bjælke 6.
1
2
3
4
5
nedbøjning
24
11,5
33,6
46
54
lodder vægt
5000
2000
7000
10000
12000
9.1.3 Spændvidden 500mm:
bjælke
2.
1
2
3
4
5
nedbøjning
13
26,6
6
31
17
loddervægt
5000
10000
2000
12000
6000
Bjælke
5.
1
2
3
4
5
nedbøjning
20
12
5
24
17
Lodder
vægt
10000
5000
2000
12000
6000
bjælke
6.
1
2
3
4
5
nedbøjning
16
19,3
23
11
14
lodder
vægt
10000
12000
14000
5000
7000
37
9.2 Grafer:
y = 60,077x
R² = 0,9815
0
500
1000
1500
2000
0 10 20 30
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 2. 1000mm
y = 78,909x
R² = 0,9951
0
1000
2000
3000
4000
0
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 5. 1000mm
y = 90,268x
R² = 0,9713
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 50 100
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 6. 1000mm
y = 118,41x
R² = 0,9901
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 20 40 60
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 2. 750mm
y = 180,66x
R² = 0,9908
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 20 40 60
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 5. 750mm
y = 216,36x
R² = 0,9928
0
5000
10000
15000
0 20 40 60
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 6. 750mm
38
y = 377,79x
R² = 0,9946
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 2. 500mm
y = 478,75x
R² = 0,9743
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 10 20 30
loddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 5. 500mm
y = 581,5x
R² = 0,9199
0
5000
10000
15000
0 10 20 30
lodddervægt/g
nedbøjning/mm
Bjælke 6. 500mm