[navn fjernet] Gymnasium 3.C
STX 3.g
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 1 af 21 + 1 bilag
ABSTRACT OF STATIC ............................................................................................................................... 2
INDLEDNING ................................................................................................................................................. 2
KRÆFTER ...................................................................................................................................................... 2
M- OG Q-KURVER ........................................................................................................................................ 4
SNITKRÆFTERNES DIFFERENTIALELIGNING .................................................................................. 5
LØSNINGEN AF DIFFERENTIALELIGNINGEN .................................................................................... 7
INERTIMOMENT ........................................................................................................................................ 10
BELASTNINGEN ......................................................................................................................................... 10
MATERIALER.............................................................................................................................................. 10
NEDBØJNING .............................................................................................................................................. 12
FORSØG MED NEDBØJNING .................................................................................................................. 14
EKSEMPEL ................................................................................................................................................... 15
KONKLUSION.............................................................................................................................................. 19
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 2 af 21 + 1 bilag
Abstract of Static
The method of writing the task is a combination of theory and praxis. The physics of building a
bridge is called static. Static is about forces and moment of forces in equilibrium. In this task, it is
described that a force can be set up as vectors that again can be set up as a horizontal- and a vertical
force. To discover if there is equilibrium, the horizontal and vertical forces are added up. The
moment of forces is defined by the product of the distance from a given force to the support. When
the forces and the moment of forces are known, there can be drawn curves for the moment of forces
and the horizontal and vertical force inside the beam. To be able to give a mathematic description of
the forces in the cut, the cut force differential equations is used, and the cut force differential
equations is solved for a beam concreted in a wall. There will be reported about the knowledge of
material, and how profiles are behaving do to compression or tension. In connection with the
knowledge of the material, the moment of inertia will be explained. The moment of inertia is an
expression for a profiles cross-sectional area, and how stubborn it is. Bending is also one of the
subjects which will be explained. In the end of the task the theory is used to describe an experiment,
where the bending is measured, and the shear modulus is being determined. In the end there is made
calculations for a fictive example. In the example the moment of inertia and the bending is being
calculated, and the Q- and M-curves are being drawn. The conclusion is that the theory can easily
be used on simple bridges e.g. the experiment with bending, and the calculation example. It is also
obvious that the formulas links to each other and their usefulness can easily be seen in praxis.
Indledning
I denne opgave vil jeg beskrive teorien bag brobygning. Jeg vil starte med at forklare det helt
basale, så som kræfter, momenter. Dernæst vil jeg gå videre til at snakke om M- og Q-kurver,
udledning af snitkræfternes differentialeligning og løsningen af denne. Som tredje del vil jeg kort
redegøre for materialelære, så som elasticitet og arbejdskurver. Det næst sidste punkt er en
redegørelse for nedbøjning. Til sidst vil jeg vise teorien anvendt i praksis på et forsøg om
nedbøjning og i et eksempel med en fiktiv bro. Jeg vedlægger et bilag med journalen for mit forsøg.
Kræfter
Statik handler om kræfter, F, i ligevægt. Kræfter kan opstilles som produktet af massen af en given
last, og tyngdekraften –
gmF
. Kræfter kan opstilles som vektorer, og da de kan opstilles som
vektorer giver det mulighed for at benytte forskellige regneregler. Dog skal det være nævnt, at der
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 3 af 21 + 1 bilag
Fig. 2
Skal vælges en positiv og negativ retning både horisontalt og vertikalt.
Kraften skal normalt splittes op i en horisontal og en vertikal kraft, fordi vi
skal se på, hvordan den påvirker vores konstruktion horisontalt eller
vertikalt. For at kunne opsplitte kraften bruger vi følgende formel:
sin
cos
thorisontal
FF
FF
vertikalt
1
Se fig. 1
Efter kræfterne er delt op i en horisontal og vertikal kraft, lægges de sammen. Hvis summen er 0, er
konstruktionen i ligevægt. Hvis summen ikke er 0, vil konstruktionen bevæge sig mod den positive
retning, altså væk fra den negative. Ved en meget simpel bro vil der horisontalt ikke være nogen
kraft, da der ikke er noget, der hverken trykker eller trækker horisontalt i broen. Ligesom vektorer
kan lægges sammen til en resultant, kan det også gøres med kræfter. Det er en væsentlig egenskab
for overskueligheden.
Et andet begreb i statikken er moment, M. Momentet afhænger af kræfter, da et moment er givet
ved produktet af kraften og den vinkelrette afstand fra
omdrejningspunktet til den linje kraften virker i.
LFM
(
2
), se fig. 2
Man ønsker, at det samlede moment, skal være 0, da
konstruktionen ellers vil dreje. Det samlede moment kan beregnes
ved at tage summen af alle momenterne. Der skal dog gøres
opmærksom på, at også her regnes der i positive og negative størrelser, men momentet bliver afgjort
af den kræft, der ganges på. Retningen bliver angivet med en krum pil på den ene eller den anden
side af M’et. Hvis kraften er til venstre for det punkt, hvor momentet skal beregnes, og kraften
peger nedad, peger pilen mod uret, fordi momentet skal opveje retningen kraften virker i.
Ovenstående om kræfter og momenter er de vigtigste sætninger i statikken, og nu kan der opstilles
tre ligevægtsligninger:
1
Fundet på s. 14 og 15 i Teknisk Statik
(
2
) Definition, ellers s. 28 i Teknisk Statik
Fig.1
L
Fig. 2
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 4 af 21 + 1 bilag
Fig. 3 – taget fra Teknisk
Statik s. 74
0
0
0
F
F
M
Når man bruger disse ligevægtsligninger, vil man kunne se, hvor stor kraften bliver i de forskellige
retninger på broen. En bro kan eksistere på to måder. Den første er en bro, der er understøttet to
steder – fx en bro over et vandløb. Den anden type er indspændt også kaldet udkraget – fx en bjælke
der er sat fast i en mur – kunne fx være en vippe.
M- og Q-kurver
Når man ser på en bjælke, der er belastet med en kraft, kan kraftreaktionerne opdeles i ydre og indre
kræfter. De ydre kræfter er påvirkninger udefra, mens de indre er påvirkninger indefra. Fx kan vi
forestille os et reb, hvor en gruppe mennesker trækker lige meget i begge ender. Menneskene
trækker rebet fra hinanden, mens rebet trækker sig sammen, for at undgå
brud. Da der bliver trukket lige meget i begge ender fra menneskenes
side, vil tovet ikke bevæge sig – F
hosisontalt
= 0. Den indre kraft i horisontal
retning kaldes N, og den indre kraft skal beregnes i forhold til, hvor rebet
i teorien skæres over. Der tages udgangspunkt i fig. 3 Hvis
man skærer rebet over mellem 5kN og 3kN og kigger på venstre side, vil
kraften være 5kN, da de 3kN ikke har indvirket endnu. Ses der til venstre for af de bagerste 3kN
ved strækningen mellem 3kN og 3kN, bliver N=2kN, da de første 3kN har indtruffet (5kN-3kN),
men ikke de bagerste. Ses der på højre side af snittet 3kN og 3kN vil N=2. Da trækket er det
samme, holder N-kurven sig stabil. Når N-kurven er positiv, er der tale om trækpåvirkning. N-
kurven bruges kun ved horisontale kræfter.
For vertikale kræfter benytter man sig ikke af N-kurver, men Q-kurver. Q betyder forskydning.
Betragtes der en bro der er understøttet to steder, og broen skæres over på midten, vil bjælken falde
ned. Den kraft, der trækker bjælken ned, kaldes forskydningskraften, Q. Hvis bjælken ikke falder
ned, er der et moment, M, der holder den oppe. Den kraft, der holder bjælken oppe, virker i
understøtningerne og kaldes V. V er den kraft, der virker modsat Q. Hvis ikke bjælken falder ned er
VQ
og
x.VM
x er den vinkelrette
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 5 af 21 + 1 bilag
Fig. 5 – taget fra
teknisk statik s. 85
Fig. 4 – taget fra Teknisk Statik s. 79
strækning fra overskæringen til V. Tegningen af Q-kurven
foregår efter samme princip som N-kurven. På fig. 4, ses
broen. Lægges snittet på strækningen AC vil Q
AC
=
40.5kN. Lægges snittet i stedet på strækningen CB, vil
Q
CB
=-17.5kN – resultatet afhænger af om retningen går fra venstre mod højre, eller omvendt.
Havde bevægelsen været fra BC og til CA, ville Q
CA
=-40.5kN. Q-kurven ville altså være
trappelignende ligesom N-kurven.
xVM
, derfor er M = 0 helt inde ved understøtningerne, og vil M stige
frem til C, hvor
kNmmVmVM
BAC
75.1
. Det betyder,
at momentet er størst ved overskæringen.
Ved at sammenligne M- og Q-kurver, ses en sammenhæng. Hvor Q-kurven
skærer 0, vil M-kurven have maksimum eller minimum for simpelt
understøttede konstruktioner. På fig. 5 ses sammenhængen for M- og Q-
kurver. En god måde, M-kurven ellers kan illustreres på, er ved at tage et
reb, binde lodder på (som er fordelt ligesom belastningen ville være på
bjælken) og så hænge rebet op over det samme antal søm som antallet af
understøtninger, og med samme afstand mellem understøtningerne som
ved den rigtige broen. Rebet vil nu få samme form som M-kurven, bare
med omvendt fortegn.
Hvis ikke rebmodellen ikke ønskes anvendt, kan momentet beregnes forskellige steder på bjælken.
Der gøres opmærksom på, at beregnes momentet 1m fra venstre understøtning, skal det også
beregnes 1m fra højre.
Snitkræfternes differentialeligning
For at fortsætte beskrivelsen af snitkræfter, vil jeg opstille en differentialeligning for de kræfter, der
virker, når en bjælke saves over. Q-kurven kan tegnes ved at finde Q forskellige steder på bjælken,
og dernæst tegne kurven. Det kan gøres mere præcist, ved at opstille en differentialeligning og løse
den. Der skal gøres opmærksom på, at Q er det samme som V i dette tilfælde.
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 6 af 21 + 1 bilag
Fig. 7 – figuren er fundet i kompendiet fra
Thomas Ravn på s. 5.11
Fig. 8 – figuren er fundet i kompendiet fra
Thomas Ravn på s. 5.11
Fig. 6 – figuren er fundet i kompendiet fra
Thomas Ravn på s. 5.11
Der tages udgangspunkt i linjestykket DE på
fig. 6. Stykket er frigjort – dvs. at det ikke er
understøttet. Dernæst påsættes en kontinuert
belastning, dog varierende, og
snitkræfterne/reaktionerne i enderne af linjestykket
opstilles som på fig.7, for at
udledningen kan begynde.
Jf. tidligere:
sin
cos
pp
pp
z
x
Δx er så lille, at p er konstant. Δx, når Δx er
frigjort, kan tegnes som på fig. 8. Der regnes
positivt fra venstre mod højre, oppe fra og ned og
momentet regnes i højreside, og mod urets
retning. Momentet regnes positivt mod uret fordi,
V+Δx peger nedad, dvs. at momentet skal køre
mod uret for at bjælken er i ligevægt.
Næste skridt er, at de tre ligevægtsligninger tages i brug:
xpNxpNNNF
xx
00
xpVxpVVVF
zz
00
xVMxxpxVMMMM
z
0
2
1
0
xV
i
M
fordi det også giver momentet.
xxp
z
2
1
regnes ikke med, fordi det er så lille –
næsten 0. p
z
ændrer sig ikke, da lasten kan regnes konstant, når Δx er så lille.
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 7 af 21 + 1 bilag
Når vi lader Δ→0 får vi:
V
dx
dM
VdxdM
p
dx
dV
dxpdV
p
dx
dN
dxpdN
zz
xx
Ved at skrive
dxpdV
z
og
VdxdM
sammen fås
z
p
dx
dV
dx
Md
2
2
som også kaldes
snitkræfternes differentialeligning. Grunden til, de kan skrives sammen er, at
z
p
dx
dV
, og at
V
dx
dM
, giver det V, som skal differentieres i
z
p
dx
dV
. Ud fra de ligninger, der er opskrevet
under udledningen kan følgende ses:
-
x
p
dx
dN
viser, at hældningen på N-kurven = størrelsen af lasten på x-aksen, med modsat
fortegn, da
dx
dN
er hældningen, da p
x
er den kraft der skal til for hver forlængelse(Δx).
- Jfr. fig. 9 ses det, at
dxp
z
= det negative areal under tværlastkurven, fordi vi ved at
BL
er arealet af dette rektangel, der bliver dannet.
-
z
p
dx
dV
viser at hældningen på V-kurven er størrelsen af lasten på y-aksen med modsat
fortegn, da den kraft, der resulterer i forskydningen er proportional med
dxp
z
-
dxVdM
viser, at
dxV
= arealet under V-kurven fordi, V spiller ind på hældningen af
M-kurver, da M afhænger af
xV
.
Løsningen af differentialeligningen
Løsningen af differentialeligningen for en indspændt bjælke bliver beskrevet nedenfor. Funktionen
for den jævnt fordelte last over bjælken er givet ved funktionen p(x)=p.
Udgangspunktet er snitkræfternes differentialeligning:
)(
2
2
xp
dx
dV
dx
Md
.
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 8 af 21 + 1 bilag
Vi ved at
pxp
dx
xdV
)(
)(
, da lasten er fordelt lodret på bjælken. Fra udledningen kendes
)(
)(
xV
dx
xdM
Forskydningskraften udledes på følgende måde:
1)(
)(
)(
)(
CpxxV
pdxxV
pdxxdV
p
dx
xdV
Det samme gøres ved dM(x), dog bliver den dobbelt afledt og giver følgende:
21
2
1
)(
)1()()()()()()(
)(
2
CXCpxxM
dxCpxxMdxxVxMdxxVxdMxV
dx
xdM
Ved at sætte x = L (længden af den jævnt fordelte belastning) giver det følgende: V(x)=0 og
M(x)=0, da M afhænger af V(x), men ikke omvendt. Når V(x)=0 giver det følgende:
LpCCLpLV 1100)(
. Grunden til det er L i stedet for x nogle steder i formlen
er, at x=L
Når M(x)=0 giver det:
22
2
1
22
2
1
00)( LpCCLLpLpLM
. Grunden til det igen ikke er x, er at
k=L. Før C2 findes, er ligningen
2
2
1
Lp
, og da den skal give 0, skal der ”tilføjes” noget ekstra,
nemlig
2
2
1
Lp
. Ligningen ender med at hedde:
22
2
1
2
1
)( LpxLpxpxM
Ved at integrerer dV(x) fås V(x)
Udregner integralet
dV(x) isoleres
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 9 af 21 + 1 bilag
Graften for forskydningskraft og for momentet
-1200000
-1000000
-800000
-600000
-400000
-200000
0
200000
400000
2
Længde ud af bjælken
Kraften
Forskydningskraftkurven/N
Momentkurven(Nm)
Fig. 9
Ovenstående er beviset for påstandene om, hvad der kunne ses ud fra differentialeligningen.
LpxpxV
dx
xdM
)(
)(
viser, at hældningen for momentkurven er lig hældningen af
forskydningskraftkurven, da x er eneste variabel.
dxpLpxdxxVxM )()()(
er beviset for,
at arealet under forskydningskurven er lig med ændringen af momentkurven.
Talværdier indsættes i de to udledte formler:
L=10m og p=20
m
kN
m
m
kN
x
m
kN
xV 102020)(
22
1020
2
1
102020
2
1
)( m
m
kN
xm
m
kN
x
m
kN
xM
Funktionerne kan se afbilledet på fig. 9
Snitkræfternes differentialeligning er opstillet for at kunne få en mere præcis beskrivelse af
snitkræfter. Alternativet er at beregne momenter og forskydningskræfter enkelte steder på bjælken,
og dernæst tegne moment- og forskydningskraftkurver på baggrund af udregningerne.
Hvis der i stedet for en linjebelastning ses på en punktlast, kan denne omregnes til linjelast ved at
dividere lasten med længden af bjælken. Kommer der flere kræfter ind i billedet, udregnes
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 10 af 21 + 1 bilag
Fig. 10
resultanten, og der divideres med længden af bjælken. Det skal igen nævnes at ovenstående kun
gælder for snitkræfterne ved en indspændt bjælke belastet med en kontinuert (sammenhængende og
ikke enkelt kræfter) belastning.
Inertimoment
Inertimomentet er i fysikken en beskrivelse af trægheden for et hjul, der drejer. I statikken er
inertimomentet, I, et udtryk for, hvor stærk konstruktionen er på den ene, eller på den anden led. For
de mest benyttede profiler er inertimomentet forudberegnet, men i det forsøg, jeg senere vil udføre,
skal jeg selv beregne inertimomentet. Da det er rektangler, jeg kommer til at arbejde med i denne
opgave, vælger jeg at fokusere på dem, men inertimomentet kan beregnes for alle profiler.
Inertimomenter bliver beregnet i forhold til hvordan, højden og bredden er defineret. På fig. 10 er x
horisontal og y er vertikal.
Inertimomentet for et rektangel:
3
12
1
hbI
x
og
3
12
1
bhI
y
. Målene bliver angivet i mm og resultatet bliver
derfor angivet i mm
4
.
Belastningen
Belastningen er summen af alle laster på broen. Størrelser kan ses på
fig. 11. Belastning kan forekomme som volumenbelastning
(
33
,
m
N
m
kN
p
v
), flade-/arealbelastninger
(
22
,
m
N
m
kN
tykkelsenpp
vf
), linjebelastninger (
m
N
m
kN
bredenpp
fl
,
) og
punktbelastninger (
NkNlængdepp
lp
,
).
Materialer
Ses der på forskellige materialer, skal de betragtes som fjedre. Det er dog ikke altid,
fjederegenskaberne kan ses. For det første fordi materialerne ofte er meget hårde, og fordi
Fig. 11
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 11 af 21 + 1 bilag
konstruktørerne ikke ønsker, at der skal kunne ses en bøjning. Der er vedtaget nogle standarder, for
hvor meget en konstruktion må bøje afhængigt af, om der er tale om en bro, eller om det er
etageadskillelser, hvor statik også anvendes som redskab. For etageadskillelser er max
nedbøjningen=
L
400
1
. Grunden til, der arbejdes med forskellige standarder, er, at konstruktionen
ikke bare skal kunne holde, men også se ud til at holde. Hvis en bro bøjer rigtig meget, vil den ikke
blive benyttet – den ser ikke stabil nok ud. Hvis en bjælke krummes, vil den opføre sig efter
følgende formel:
)(
)(
)(
Arealetværsnitsa
Fntrækkrafte
spændingen
3
. Ligningen gælder primært for
trækstænger, men det er også relevant for fx hængebroer, hvor kablerne, der holder brodækket fast,
er hæftet til nogle store betonankre.
Udover at trækket i stangen giver en spænding, vil stangen også blive længere. Den relative
forlængelse kan udtrykkes ved:
L
L
4
. ΔL er den relative forlængelse, L er startlængden og έ er
tøjningen. έ måles i
m
mm
. Man kan tegne en arbejdskurve for et materiale ved at beregne έ og σ.
Arbejdskurven er en model for, hvordan materialet opfører sig ved forskellige træk. Placeres έ ud af
x-aksen, og σ ud af y-aksen, vil arbejdskurven være forholdsvis lineær det første stykke tid, men vil
flade ud på et tidspunkt. Punktet kaldes flydegrænsen. Flydegrænsen er, når materialet får plastiske
egenskaber i stedet for elastiske. Plastisk vil sige, at det holder formen efter belastningen fjernes og
den bliver mere porøs. Når materialet stadig er elastisk, vil det finde tilbage til den oprindelige
form, når belastningen fjernes. Trækkes der i materialet efter flydegrænsen vil materialet blive
længere, men tyndere og vil til sidst brække. Før flydegrænsen opfører materialet sig som en fjeder,
og der anvendes en afledning af Hookes lov for at beskrive hældningen. Det er også pga. Hookes
lov, at grafen er lineær, mens materialet stadig opfører sig elastisk.
Ved brobygning ønsker man ikke at nå flydegrænsen, da den skal være i overskud til uforudsete
laster. De uforudsete laster er ikke fx vind, sne eller et trafikuheld, da disse vil være konstanter, der
lægges oven i den belastning der benyttes i beregningerne. Det er dog ikke noget jeg kommer ind på
i denne opgave. Det lineære stykke på arbejdskurven før flydegrænsen kan beskrives ved:
3
Taget fra Introduktion til statikken s. 38
4
Taget fra Introduktion til statikken s. 39
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 12 af 21 + 1 bilag
Fig. 12
E
. E er elasticitetsmodul, som kan findes i materialetabeller for de enkelte materialer. For at
en bjælke ikke skal knække, skal den opbygge et indremoment, der er lige så stort som det ydre
moment. Det resulterer i en sammenhæng for nedbøjningen(κ):
IE
M
5
. M er momentet og I er
inertimomentet, men der kan læses mere om nedbøjning på s. 12
Der skelnes mellem, hvad materialet bidrager med til en konstruktion, og hvad udformningen af
konstruktionen og udformningen af materialet – geometrien – bidrager med. Materialets bidrag er
alt, hvad der omhandler E, og geometrien er I. Hvis nedbøjningen er for stor, kan materialet ændres,
eller udformningen kan ændres. En bjælke er stærkest på den tykkeste led. Det er bl.a. derfor I-
profiler er velegnede til at bygge med, da de netop har en høj midte og ikke er ret brede i enderne.
Nedbøjning
Et andet vigtigt begreb inden for statik er nedbøjningen. Nedbøjningen beskriver, hvor meget en
konstruktion bøjer ved en given belastning. Man måler det som u
max
. Ved u
max
forstås den største
nedbøjning ved en given belastning – altså der, hvor der er størst
forskel mellem ”hviletilstand” og nedbøjning. På fig. 12 ses det,
hvor bjælken bøjer mest. Nedbøjningen er størst det sted, hvor
der er det største moment. For at finde u
max
bruges
nedbøjningsformlen. Nedbøjningsformlen varierer alt efter, om der
er tale om en indspænding eller en understøtning og hvilken belastningstype, der er tale om
(kontinuertlast, punktlast, stigende last, osv.). I det følgende bliver formlen for en indspændt bjælke
udledt, da det er den jeg kommer til at arbejde med i mit forsøg.
Formlen for en indspændt bjælke:
Iu
LF
E
IE
LF
u
max
33
max
33
6
. Hvor F er kraften, L er
længden af bjælken, E er elasticitets modulet, u
max
er den maksimale nedbøjning og I er
inertimomentet.
5
Taget fra Introduktion til statikken på s. 41
6
Taget fra Teknisk Styrkelære s. 141
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 13 af 21 + 1 bilag
Fig. 14
Fig. 13 – fundet i Introduktion
til geofysiske metoder s. 5
Der ses på en kasse, der er uendelig på alle sider, se fig. 13. Når kassen ses
forfra bliver den belastet af en kraft, τ
1.
Kraften i toppen vil medføre en
modsatrettet kraft i bunden. Kraften i toppen (τ
1
) gør at kassen bliver
trukket længere, og kraften i bunden gør, at den bliver trykket sammen (τ
2
).
Da der er træk og pres på samme tid, resulterer det, i at kassen begynder
at bøje. Bøjningen afhænger dels af kraften, men også af materialet.
Definitionen for nedbøjningen er:
)tan(
Eµ
7
. τ er kraften i
A
N
(Newton pr. areal)
Ved at isolere E i u
max
formlen, giver det følgende:
Iu
LF
E
max
3
3
I er inertimomentet, som er
3
12
1
hb
. Det medfører, at formlen nu hedder:
3
max
3
12
1
3 hbu
LF
E
.
Vi ved at
hbA
, og det kan omskrives til at stå som en nævner i tælleren, og det giver
2
max
3
12
1
3 hu
L
A
F
E
Betragtningen af nedbøjningen ses som en retvinklet trekant, se fig.
14 Fra beregning af retvinklede trekanter kendes:
max
max
)tan(
1
)tan(
u
L
L
u
. Ved at lade udtrykket indgå i
formlen ender vi med:
2
2
3
)tan(
h
L
A
F
E
, da u
max
går ud med
hinanden og L går ud med et af L’erne.
2
2
3 h
L
er en korrektion, der bliver lavet, for at få formlen til
at passe på opstillingen.
)tan(
A
F
er det samme som
)tan(
E
, da
A
F
, og brættet kan betragtes
som en kasse. Dog er kassen ikke uendelig.
7
Fundet i Introduktion til geofysiske metoder s. 5
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 14 af 21 + 1 bilag
Tabel 1 – taget fra
bilag 1
Forsøg med nedbøjning
Jeg har lavet et forsøg for nedbøjning. Der er taget udgangspunkt i en krydsfiners type og i en
aluminiums type. Formålet er at finde elasticitetsmodulet for begge materialer. Det gøres ved at
måle nedbøjning af brættet for en given belastning. Fra teorien kendes
Iu
LF
E
max
3
3
, som er
udgangspunktet. Det kan også ses, at der er en lineær sammenhæng mellem F og u
max
. Denne
sammenhæng beskrives ved:
ukuF )(
, hvor k er
3
3
L
IE
, og formlen hedder:
u
L
IE
uF
3
3
)(
.
Grunden til k ser ud, som den gør, er at alle størrelserne er konstanter. Når alle punkterne for et
forsøg bliver sat op i samme koordinatsystem, kan det tydeligt ses, at der er stor sandsynlighed for,
at der er tale om en ret linje, og derfor kan der laves lineærregression, hvor hældningen bliver
angivet i Newton. Ved at isolere hældningen giver det:
3
3
L
I
a
E
. B-værdien for ligningen er
ligegyldig, da den kun bestemmer skæringen med y-aksen og en eventuel nulpunktsfejl.
Ud fra forsøget ses det, at nedbøjningen bliver mindre, når inertimomentet stiger – ligesom teorie
siger. Det ses også, at tykkelsen har størst indflydelse på nedbøjningen, da den har stor indflydelse
på inertimomentet. Forsøget med nedbøjning viser også, at specielt ved træ, er
sammensætningen vigtig fordi, selvom inertimomentet er det samme, er der
forskel på nedbøjningen. Med sammensætningen menes træets struktur, og
hvordan årene ligger. Nedbøjningen var på ca. 10mm mere efter træet blev
delt på tværs, end da det var helt. I tabel 1 ses nedbøjningerne for de to
målinger. I venstre kolonne ses nedbøjningen for den samlede plade og i
høje side for den delte plade. Højde, længde og bredde er stadig den
samme.
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 15 af 21 + 1 bilag
Tabel 2 – taget fra bilag 1. Materialet er aluminium
Plade 20mm bred, 250mm lang og 2mm høj
Vægt/g umax/mm L/mm F/N I/mm^4 E ud fra formel/Pa E beregnet/Pa Relativafvigelse/%
20,03 3,5 250 0,19669 13,3333 2,1953E+10 5,5391E+10 20,
41,52 5 250 0,40773 13,3333 3,1854E+10
50,99 6 250 0,50072 13,3333 3,2599E+10
71,02 7 250 0,69742 13,3333 3,8918E+10
Plade 20mm bred, 250mm lang og 4mm høj uden lim
Vægt/g umax/mm L/mm F/N I/mm^4 E ud fra formel/Pa E beregnet/Pa Relativafvigelse/%
41,52 3 250 0,40773 26,67 2,6541E+10 5,7219E+10 18,
50,99 3,4 250 0,50072 26,67 2,8760E+10
71,02 4 250 0,69742 26,67 3,4049E+10
Plade 2*20mm bred, 250mm lang og 2mm høj
Vægt/g umax/mm L/mm F/N I/mm^4 E ud fra formel/Pa E beregnet/Pa Relativafvigelse/%
41,52 4 250 0,40773 26,67 1,9906E+10 6,7824E+10 3,3
50,99 4,5 250 0,50072 26,67 2,1730E+10
71,02 5 250 0,69742 26,67 2,7239E+10
Ovenstående tabel skal betragtes som sammenhængen for alle forsøgene. Når inertimomentet stiger,
bliver nedbøjningen mindre. I forsøgene ses det, at der er risiko for at komme over flydegrænsen,
og det betyder, at materialet ikke opfører sig optimalt. Det har ikke samme elasticitetsmodul
længere. Det ses, at elasticitetsmodulet beregnet vha. nedbøjningsformlen bliver for lav, da der ikke
tages højde for evt. nulpunktsfejl. Elasticitetsmodulet beregnet vha. regression bliver mere præcist,
fordi der er det sammenhængen mellem mange observationer, udregningerne hænges op på. Hvis
der er en nulpunktsfejl, har den stor betydning ved små nedbøjninger, fordi en nulpunktsfejl er en
konstant, der skal lægges til, og 2mm ud af 4mm er meget i forhold til 2mm ud af 10mm.
Konklusionen på forsøget er, at måden kan anvendes til at finde elasticitetsmoduler, men for at den
bliver præcis nok, skal der anvendes mere præcist udstyr til at måle nedbøjningen med, ellers skal
nedbøjningen gøres større, fx ved at gøre brættet længere.
Eksempel
En afrikansk bondemand skal have sine køer over en flod, der er 9.0m bred. Hver ko vejer 650kg, er
1.6m høj, 0.7m bred, 2.5m lang, og den kan regnes som en kasse. Der vil blive redegjort for
materialevalget, inertimomentet, snitkræfterne, M- og Q-kurver og ikke mindst nedbøjningen.
Broen kunne laves af en betonplade, men den ville hurtigt knække, fordi beton ikke kan optage
trækspændinger (nedbøjninger) som træ og stål kan. Problemet kunne løses ved at lægge pladen
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 16 af 21 + 1 bilag
oven på to eller flere stålbjælker, men da vil det være svært at beregne inertimomentet,
elasticitetsmodulet ville være ukendt og stålstængerne vil ikke nå at optage alt trækspændingen. Der
vil også være det problem, at hvis stålbjælkerne ikke ligger tæt nok, vil optagelsen af
trækspændinger over hele bjælken ikke være optimal. Det bedst egnede materiale vil være armeret
beton, også kaldet jernbeton (beton med stålstænger i). Jernbeton har den egenskab at stålstængerne,
i betonen er gode til at optage trækspændinger, og stålstængerne er placeret således, at de optager
trækspænding perfekt.
Broen skal være 0.20m tyk, 2.1m bred og 9.0m lang. Den er 2.1m bred, fordi så kan der gå 3 køer
ved siden af hinanden (der er sat et rækværk på, men dette regnes ikke med i de samlede
beregninger). Broen er 20cm tyk, fordi den skal kunne holde. Det antages, at den belastning, der
kommer ovenpå bjælken, ikke overstiger brudstyrken. En anden måde, at se om bjælken holder eller
ej, er ved at beregne nedbøjningen. Hvis nedbøjningen for et materiale, der er meget stift (jernbeton
er ca. 1000 stivere end stål), bliver for stor, vil det knække, men det vides først senere i
beregningerne.
Inertimomentet:
49
3
3
1040.1
2002100
12
1
12
1
mmI
mmmmI
hbI
Broens egenbelastning:
Volumenet når L=1m:
3
0 mmmmV
.
Densiteten for armeret beton:
3
2400
m
kg
Vægten af ”1m bro”:
kgm
m
kg
400
3
3
Kraften for 1m bro:
m
N
kg
N
m
kg
9
1008
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 17 af 21 + 1 bilag
Kraften som funktion af længden på broen:
x
m
N
xP
bro
56.9898)(
Køernes belastning:
Volumen af køer, når L=1:
3
mmmmV
Densiteten for en ko:
33
1429.232
5.270.06.1
650
m
kg
mmm
kg
V
m
Vægten for ”1m køer på broen”:
kgm
m
kg
29.232
3
3
Kraften for 1m køer på bro:
kg
N
kg
N
m
kg
780
Kraften som funktion af længden på køerne:
x
m
N
xP
køer
6.7659)(
Samlet funktion for køer og brodækket:
x
m
N
x
m
N
x
m
N
m
N
xPPP
køerbrobrosamlet
956.9898
_
Snitkræfterne:
Der virker ingen kræfter i horisontalretning, derfor er der ingen N-kurve.
Fordi lasten er jævnt fordelt, bliver kraften ikke større og større
pr. længde enhed (i modsætning til, hvis lasten var fordelt som en
retvinklet trekant, med den rette vinkel på brodækket), er der tale
om en konstant.
m
kN
qP 55816.17
.
Min bro ser ud som på fig. 15.
m
kN
q 55816.17
og L=9.0m. Da lasten er
jævnt fordelt, vil følgende gælde:
2
Lq
VV
BA
, fordi de to V’er bærer lige
meget. Der lægges nu et snit i afstanden x til A, og snitkræfterne beregnes ud
fra det. Først forskydningskraften (Q) og dernæst momentet (M). For
forståelse se fig. 16
Fig. 15 – taget fra Teknisk
Statik s. 83
Fig. 16 – taget fra
Teknisk Statik s. 83
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 18 af 21 + 1 bilag
Følgende kendes fra start:
xq
Lq
xqVQ
2
. Grunden til det andet q er negativt er, at der
regnes i retninger. Positiv retning opad og negativ nedad. X er er længden man går ud af bjælken
Formlen hedder altså:
22
Lq
xqQxq
Lq
Q
. Der kan nu opstilles nogle tilfælde for
at få nogle fikspunkter, hvorved der kan opstilles en ligning for Q.
- Når
0x
giver det:
2
Lq
Q
, fordi
00 p
- Når
2
L
x
giver det:
0Q
, fordi
0
22
LqLq
- Når
Lx
giver det:
2
Lq
Q
, fordi
212
LqLqLq
Det kan ses at
2
Lq
xqQ
, giver en ret linje, og den rette linje er også Q-kurven
For at finde momentet kigges der igen på fig. 14, hvor følgende gælder:
LFM
, og for figuren
hedder formlen:
x
Lq
M
2
, hvor x er afstanden hen til oversavningen. For at finde momentet ved
oversavningen benyttes følgende formel:
xLqxqM
x
xqx
Lq
M
2
1
2
1
22
2
.
2
x
xq
er negativ, fordi der regnes i positiv og negativ retning, og på tegningen ses at
xq
er
negativ, fordi den positive retning er defineret som nedefra og op. Formlen er en andengradsligning,
og grafen kan tegnes. Der kan dog opstilles nogle tilfælde for formlen:
- x=0, giver M=0, da der ganges med 0 på hver side af plusset
-
2
L
x
giver
22
2
4
1
8
1
2
1
22
1
LqLqM
x
L
Lq
L
qM
2
2222
8
1
8
22
848
LqM
LqLq
•
M
LqLq
M
.
Det viser også at
2
8
1
LqM
også er M
Max
- X=L giver M=0, da de to formler på hver side af plusset går ud med hinanden
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 19 af 21 + 1 bilag
Fig. 17
Fig. 16
Forskydningskraftkurven for broen er givet ved forskriften:
2
9m
m
kN
17.55816
m
kN
17.55816
xQ
Den tegnede funktion ser ud som på fig. 17
Momentkurven for broen er givet ved forskriften:
xm
m
kN
x
m
kN
M 0,
2
1
55816.17
2
1
2
.
Den tegnede funktion ser ud ligesom på fig. 17
Toppunktet for kurven er givet ved:
kNmkNmM
m
m
kN
M
LqM
7
0,8/1
8/1
max
2
max
2
max
Nedbøjningen for broen:
IE
Lp
u
384
5
4
max
Elasticitetsmodulet for armeret beton:
2
mm
N
MPa
mm
N
m
kN
pq
6
6.5
mmmmu
mm
mm
N
mm
mm
N
u
55
max
49
2
46
max
7109.2
0384
0,55816.5
Konklusion
Fig. 18
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 20 af 21 + 1 bilag
Ud fra eksemplet og forsøget, kan ses det at teorien sagtens kan bruges ved simple konstruktioner.
For broer der er understøttet mere end 4 steder, skal der anvendes meget kraftige
computerprogrammer. Det kan også ses, at der er en sammenhæng mellem de forskellige størrelser,
og der kan regnes videre til.
Kildeliste
- Madsen, Preben: Teknisk Statik. Erhvervsskolernes forlag 2005 3. udgave, 1. oplag. S. 7-99,
minus opgaver.
o I bogen bliver de grundlæggende begreber behandlet i statik. Vi støder bl.a. på kraft,
moment, belastning og N-, Q- og M-kurver. Der er mange illustrationer og
eksempler, men det giver en bedre forståelse, der regnes desværre ikke med enheder
i denne bog hvilket er en stor skam
- Madsen, Preben: Teknisk Styrkelære. Erhvervsskolernes forlag 2007 3. udgave, 1. oplag. S.
7-33+43-91, minus opgaver.
o I bogen bliver vi introduceret til inertimoment, spændinger og forlængelse. Det der
fylder i bogen er beskrivelsen af stål og træ, herunder med tabeller for E. Vi får
ydermere noget at vide om tryk, træk og arbejdskurver. Der bliver også lagt op til at
statik ikke kun bliver benyttet ved brobygning, men ved alle former for
konstruktioner, hvor man ikke ønsker de skal falde sammen. Ligesom med Teknisk
Statik er der mange illustrationer og eksempler for at give bedre forståelse for emnet,
der regnes desværre ikke med enheder i denne bog hvilket er en stor skam
- Gammel, Peder. Introduktion til statikken. Forlaget er ukendt, men bogen kommer fra Århus
Universitets bibliotek. Skrevet 2001. S. 4-69, med undtagelse af øvelser og forsøg.
o Denne bog giver en god indledning til statikken. Den er essensen af Teknisk Statik
og Teknisk Styrkelære. Vi støder som noget nyt på svingninger og vridning.
Eksemplerne er meget rodede, og det kan være svært at finde rundt i. Dog giver
illustrationerne et bedre overblik, end i Teknisk Styrkelære
- Møller, Thomas Ravn. Diplomingeniør ansat ved Grontmij – Carl Bro i Glostrup. TLF:
ell. Kompendium udleveret af Thomas. Jeg har læst kapitel 1-5
o Kompendiet har sagt næsten det samme som resten af mine bøger, men det er dog i
dette kompendium at snitkræfternes differentialeligning bliver udledt. Der er regnet
opgaver i kompendiet, men igen bliver der ikke anvendt enheder. Kompendiet er
[navn fjernet] Gymnasium 3.C
Afleveret d. Statik – Brobygning
Hovedfag: Fysik A ([navn fjernet]) Bifag: Matematik A ([navn fjernet])
Side 21 af 21 + 1 bilag
blevet brugt til forelæsninger, og der kan derfor være noget underforstået som jeg
ikke har fanget korrekt
- Balling m. fl., Introduktion til geofysiske metoder, Geologisk Institut, Geofysik, Århus
Universitet, 2005 s. 4-5
o Jeg har brugt siderne for at kunne udlede formlen for nedbøjning
- http://www.matbase.com/material/other/concrete/steel-reinforced-concrete/properties
(16.12.08 - kl 00:23)
o Jeg brugte hjemmesiden til at finde elasticitetsmodulet for jernbeton
- http://www.ami.ac.uk/courses/topics/0123_mpm/index.html (besøgt den 15.12.08 kl. 10:51)
o Jeg brugte hjemmesiden til at finde elasticitetsmodulet for aluminium