Stemningssystemer
Studieretningsopgave
musik A og matematik B
2
Abstract
This study examines how the tuning methods of western music has changed through time from the
Pythagorean tuning method used from the third century to the well-tempered tuning method used
today. It investigates with mathematical descriptions what kind of music each tuning method has
made possible and how the music has developed with the tuning methods. Furthermore this paper
defines continued fractions and with the use of these describes how note systems with a different
number of pitches than 12 in each octave, which is used in western music, can minimize the
deviation errors caused by the inevitable Pythagorean and syntonic comma. With an analysis of
Prelude no. 3 in C
#
-major from J. S. Bach’s second part of his work “The Well-tempered Clavier”
this paper examines how much the use of tempered tuning methods is necessary for this work to be
made. It ends with a discussion on how much the tempered tuning methods is necessary for the
music in the 19
th
century.
It is shown that the non-tempered tuning methods have had certain limitations, and that the music
has developed in parallel with the tuning methods. The note system containing 12 different pitches
is not the optimal system seen from a mathematical point of view, and a note system containing 41
different pitches in an octave would produce purer intervals. The analysis of the prelude shows that
with the use of tempered tuning methods it is possible for Bach to compose in every key. The music
following in the 19
th
century uses a lot of altered chords and chromatic sequences, which only can
be done on instruments tuned by a tempered tuning method. The music we know today and have
developed through the 19
th
century could not have been possible without the tempered tuning
methods.
3
Indholdsfortegnelse
Abstract ............................................................................................................................................................ 2
Opgaveformulering ......................................................................................................................................... 4
Indledning ......................................................................................................................................................... 5
Tonesystemernes udvikling ........................................................................................................................... 6
Den pythagoræiske stemning ........................................................................................................................ 6
De rene stemninger ........................................................................................................................................ 6
Den prætorianske stemning ........................................................................................................................... 6
Den ligesvævende stemning .......................................................................................................................... 7
Werckmeister III & V .................................................................................................................................... 7
Baggrundsbegreber ........................................................................................................................................ 7
Frekvensforhold ............................................................................................................................................. 7
Det pythagoræiske komma ............................................................................................................................ 8
Det syntoniske komma .................................................................................................................................. 9
Matematisk gennemgang ............................................................................................................................ 10
Den pythagoræiske stemning ...................................................................................................................... 10
Den rene stemning ....................................................................................................................................... 11
Den prætorianske stemning ......................................................................................................................... 11
Tempereret eller ikke-tempereret stemning ................................................................................................. 12
Werckmeister III .......................................................................................................................................... 12
Den ligesvævende stemning ........................................................................................................................ 13
Sammenligning.............................................................................................................................................. 14
Kædebrøker ................................................................................................................................................... 15
Johann Sebastian Bach - Das Wohltemperierte Klavier ......................................................................... 18
Analyse af Præludium III i C#-dur fra bind II ............................................................................................. 19
Diskussion ...................................................................................................................................................... 24
Konklusion...................................................................................................................................................... 26
Litteraturliste .................................................................................................................................................. 27
Bilag ................................................................................................................................................................ 28
4
Opgaveformulering
Hvorfor var indførelsen af tempererede stemninger en forudsætning for J. S. Bachs musik?
5
Indledning
Musik er på mange måder en subjektiv oplevelse. Meningerne omkring hvad god musik er, og hvad
der karakteriserer det, kan være vidt forskellige. Alt efter hvor man er fra, hvilket miljø man lever i
og hvordan ens personlighed er, vil definitionen på god musik i langt de fleste tilfælde være
forskellige. Men én ting, de fleste kan blive enige om, er, at et ustemt instrument kan lyde
forfærdeligt. Den generelle opfattelse af en god stemning har dog ændret sig gennem tiden, hvilket
kommer til udtryk i de forskellige stemningsmetoder, der er brugt gennem tiden, og er blevet
populære. For eksempel har den ligesvævende stemningsmetode, som i dag bruges i den vestlige
verden, tidligere været upopulær, og man har foretrukket andre metoder, der har kunne frembringe
andre klange.
12-tonesystemet, der bruges i den vestlige verdens musik, har den hale, at der altid vil være en
ulighed og dermed urene klange. Set fra et matematisk synspunkt er det ikke det optimale
tonesystem. Og senere i opgaven vil det blive beskrevet, hvorledes man ved hjælp af kædebrøker
kan tilnærme sig et tonesystem med et antal toner der nedsætter graden af urene klange i en
stemning.
Med J. S. Bachs værk ”Das Wohltemperierte Klavier” indeholdende musikstykker i hver toneart,
blev det bevist, at det med de tempererede stemninger var muligt at komponere i alle tonearter.
Jeg vil i denne opgave sammenligne de forskellige stemningssystemer matematisk, og give et
overblik over deres individuelle forskellighed. Med en musikalsk analyse af Bachs præludium i C
#
-
dur fra andet bind af ”Das Wohltemperierte Klavier” vil jeg fokusere på det tonale, men også
diskutere, hvorledes den tempererede stemning er en forudsætning for dette værk. Til sidst i
opgaven vil jeg diskutere, om man ud fra et matematisk synspunkt kan sige, hvornår en stemning er
tempereret, og i hvor høj grad tempererede stemninger er en forudsætning for musikken i det 19.
århundrede.
6
Tonesystemernes udvikling
Den pythagoræiske stemning
Den ældste stemningsmetode, som vi kender i dag, kan spores tilbage til den kendte græske filosof
og matematiker Pythagoras, der levede i det 5. århundrede f.Kr. Den ældste beskrivelse af denne
stemningsmetode finder vi hos den græske matematiker Euclid der levede i det 3. århundrede f.Kr.
Der er intet håndfast bevis, men det menes, at Pythagoras var den første til at finde sammenhængen
mellem strenglængder og samklang. Boëtius, en italiensk filosof og musikteoretiker, der levede
omkring 500 e.Kr., overfører det pythagoræiske tonesystem til den europæiske middelalder.
Stemningsmetoden tager udgangspunkt i, at alle kvinter og oktaver skal være rene. Man udvælger
én tone som grundtone, og stemmer 11 rene kvinter, enten op eller ned fra denne valgte tone. Dette
tonesystem bruges indtil omkring år 1500, hvor der begynder at dukke andre stemninger op
1
.
De rene stemninger
I 1482 skriver den spanske matematiker og musikteoretiker Ramis de Pareja
2
nemlig for første gang
om den rene stemning i hans bog ”Musica Practica”. Udviklingen af flerstemmig musik, med brug
af tertser og derved også treklange, gjorde den pythagoræiske stemning problematisk at arbejde
med, og derved vandt den rene stemning frem. Den rene stemning er karakteriseret ved, at den lille
og store terts også er stemt rent. Der er forskellige rene stemninger, men den stemningsmetode af de
rene der vil blive fokuseret på senere i opgaven, er den tyske musik-kritiker Friedrich Wilhelm
Marpurg’s Monochord No.1 fra 1776
3
.
Den prætorianske stemning
I renæssancen og barokken blev denne stemning den mest benyttede af de såkaldte
middeltonestemninger
4
. Den er også kaldt ¼-komma-middeltonestemningen. Dette vil jeg forklare
senere. Den er opkaldt efter den tyske musiker og komponist Michael Prætorius, som levede fra
1571 til 1621, og var den store fortaler for denne stemning. Middeltonestemningerne er
karakteriseret ved, at den rene store terts har stor vægt. Dette var vigtigt i den flerstemmige musik i
renæssancen
5
.
1
Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 20
2
http://www.musikipedia.dk/stemningssystemer#2
3
Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 25
4
http://www.torean.dk/musik/stemning.html#middeltone1over4
5
Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 30
7
Den ligesvævende stemning
Musikeren og komponisten Vincenzo Galilei (far til den kendte fysiker Galileo Galilei) har været en
af de store fortalere for denne stemning. Han levede fra 1520 til 1591, og det kan bl.a. derfor
antages, at denne stemning har været kendt cirka lige så længe som den prætorianske og de rene
stemninger. Man var dog ikke helt tilfreds med de klange den kunne producere, og man ønskede
renere tertser. Det er først i slutningen af 1800-tallet at denne stemning bliver dominerende, efter at
man har vænnet sig til dens klange
6
. Den er stadig dominerende den dag i dag. For den
ligesvævende stemning fordeler så at sige ”uligheden” af intervallerne lige meget i alle 12 tonearter.
Det har den fordel, at omstændighederne er de samme i alle tonearter, og man kan derfor uden
problemer transponere fra en toneart til en anden, samt komponere i alle tonearter.
Werckmeister III & V
Andreas Werckmeister, en tysk organist og musikteoretiker der levede fra 1645 til 1706, udviklede
forskellige stemninger, og de mest kendte og anvendte hedder henholdsvis Werckmeister III og
Werckmeister V. Det hævdes, at Werckmeister III var den mest anvendte stemningsmetode på de
orgler, Bach benyttede
7
.
Baggrundsbegreber
Inden den teoretiske og matematiske gennemgang af stemningerne skal forskellige begreber, som
står til grund for forståelsen af stemningerne, forklares.
Frekvensforhold
Når en tone spilles, opstår der overtoner, også kaldet partialtoner. Grundtonen er oftest kraftigst,
mens overtonerne er svagere. Disse har forskellige frekvenser og derved også forskellige
frekvensforhold til grundtonen. Indenfor en oktav ser det således ud:
6
Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 32
7
Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 33
8
De første 8 partialtoner fra tonen A
-2
bliver således, og har følgende Hertz
8
:
Intervaller og de forskellige klange, der frembringes, er grundlaget for den vestlige musik, vi kender
i dag. Siden opdagelsen af sammenhængen mellem klang og strenglængder har man ment, at to
toner med frekvenserne f
1
og f
2
klinger godt sammen, hvis forholdet f
1
/f
2
er et helt tal divideret med
et andet helt tal, og disse tal er ikke er for store
9
. Det er det der kaldes for et rent interval. Dette kan
forklares ved et eksempel med udgangspunkt i det foranstående billede med de 8 partialtoner fra
tonen A
-2
: Jeg tager den 2. og 3. partialtone (A
-1
og E
0
) og dividerer deres hertz med hinanden:
. Deres frekvensforhold er to små hele tal delt med hinanden. Det er altså en ren kvint, vi
har med at gøre her.
Det pythagoræiske komma
Det er en nødvendighed, at oktaverne er stemt rent, da fx tonerne C
1
og C
2
opfattes som den samme
tone; C
2
er bare lysere. Med udgangspunkt i kvinter og oktaver kan det bevises, at intervallerne ikke
kan stemmes rent
10
:
Hvis vi går 12 rene kvinter op fra tonen C
1
, lander vi på tonen H#, 7 oktaver over (samme tangent
som C
8
). Det svarer altså til at gange frekvensen for kvinten med 12:
Vi kan komme op på samme tangent, hvis vi bare ganger frekvensen for oktaven med 7. Det
forventes derfor at få samme værdi, dette er dog bare ikke tilfældet:
Det er forholdet mellem disse to tal der kaldes Det pythagoræiske komma, og kan beskrives således:
8
Illustrationer: Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 10 & 11
9
http://www.math.ku.dk/formidling/studieretningsprojekter/filer/Mat_musik/Stemning/Stemning.pdf
10
Eksempel: Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 14
9
Det er nu nærliggende at spørge, at hvis man går højere op, vil man så på et tidspunkt ramme den
samme tone med præcis samme frekvens med henholdsvis kvinter og oktaver? Det kan kort vises
matematisk, at det ikke kan lade sig gøre. Hvis vi antager, at vi kan finde to positive tal m og n så m
kvinter og n oktaver er samme interval, vil det betyde dette
11
:
Tallet 3
m
er ulige og tallet 2
n+m
er lige. Der er altså opstået en modstrid, og det kan nu konkluderes
at m kvinter og n oktaver ikke kan passe sammen. Det pythagoræiske komma vil altså altid være til
stede i det 12-tonesystem vi benytter i den vestlige musik.
Det syntoniske komma
Når man går fire kvinter over tonen C
0
lander man på tonen E
2
. Regnes der ud fra disse kvinter fås
frekvensforholdet:
Regnes der til gengæld ud fra to oktaver og en ren stor terts fås frekvensforholdet:
Forholdet mellem disse kalder vi S:
Der er altså en konflikt mellem den rene kvint og den rene store terts, og det kaldes det syntoniske
komma.
Det pythagoræiske og syntoniske komma er altså nogle konflikter, der ikke kan undgås i
tonesystemet. De forskellige stemningsmetoder har hver deres egen måde at håndtere og fordele
11
Eksempel: Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 15
10
placeringen af henholdsvis det pythagoræiske og syntoniske komma i tonesystemet, hvilket
medfører urene intervaller forskellige steder, alt efter hvilken stemningsmetode der er tale om.
Det syntoniske komma kan også vises som forholdet mellem den terts man får, hvad enten det er
udregnet via rene kvinter eller rene tertser. I en stemning hvor kvinterne og oktaverne er rene, vil
den store terts blive:
Sætter man denne terts overfor den rene får man igen det syntoniske komma:
Så frekvensforholdet mellem for eksempel C og E er
hvis alle kvinter er rene, mens
frekvensforholdet, hvis C-E er en ren stor terts, er
. Det kan altså
derfor konkluderes, at hver gang vi bestemmer en frekvens eller et frekvensforhold ud fra en ren
terts i stedet for rene kvinter, så skal frekvensforholdet bestemt ud fra de rene kvinter divideres med
tallet
(eller ganges med
som der er gjort i eksemplet ovenfor)
12
. Dette er et centralt
aspekt i forhold til den senere redegørelse for den matematiske forskel mellem stemningerne.
Matematisk gennemgang
Den pythagoræiske stemning
Som beskrevet i afsnittet om tonesystemernes udvikling, vægter den pythagoræiske stemning de
rene kvinter højt. Men med henledning til det pythagoræiske komma, er det vist, at dette ikke kan
lade sig gøre med alle kvinter indenfor 12-tonesystemet. I en pythagoræisk stemning med
udgangspunkt i tonen Eb er alle kvinter fra Eb til G# stemt rent, og har altså frekvensforholdet 3/2.
Når man så skal tage kvinten fra G# til D# opstår der problemer. Forholdet mellem disse to toner vil
svare til en ren kvint divideret med det pythagoræiske komma, da alle andre kvinter er rene:
12
Eksempler: Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 16
11
Denne kvint er altså lavere end alle andre kvinter i tonesystemet, og det er den såkaldte ulvekvint.
Placeringen af denne ulvekvint vil flytte sig, alt efter hvilken tone man stemmer ud fra. Den
pythagoræiske stemningsmetode kan godt benyttes, hvis man sørger for at benytte tonarter, der
holder sig fra ulvekvinten, og hvis man spiller musik med simpel harmonik, der ikke er afhængig af
forholdsvis rene treklange. Det har denne stemning svært ved at producere på grund af et flertal af
høje tertser.
Den rene stemning
Den rene kvint og terts er generatorinterval i denne stemning, hvor det i den pythagoræiske
stemningsmetode kun var kvinten. Fælles for de rene stemninger er, at de treklange der støder op til
grundtonens treklang (dominant, subdominant), inklusiv grundtonens treklang (tonika), er stemt
rent. Dette betyder, at størstedelen af de diatoniske akkorder i den toneart man stemmer i, lyder
godt, men samtidig begrænses man også i forhold til toneartskift. Jo længere væk man bevæger sig
fra omdrejningstonearten, des værre vil det lyde. Stemningen ser således ud:
Den prætorianske stemning
Den store terts’ renhed er prioriteret højt i den prætorianske stemning, men har samtidig
konsekvenser for kvinternes renhed, hvilket betyder, at man er blevet nødsaget til at sænke alle
kvinterne lige meget for at give mulighed, for at den rene terts kan finde sted. Den rene store terts er
generator-interval. Men uanset hvilken tone man vælger som udgangspunkt for stemningen, vil der
altid være fire tertser, der er falske, og otte, der er rene. Som tidligere nævnt kaldes denne stemning
også for ¼-komma-middeltonestemningen. Navnet kommer af, at fire kvinter sænkes lige meget, så
de hver afviger med et kvart pythagoræisk komma. Forholdet mellem grundtone og kvint kan
udregnes, når vi ved, at alle store tertser er rene, og kvinterne er sænket lige meget. Hvis vi går fra
C
0
til E
2
, er vi gået fire kvinter op, og vi har altså ganget med en faktor k fire gange. Samtidig har vi
12
bevæget os to oktaver og en stor terts op, hvilket svarer til at gange med
og
. Den faktor, der
skal ganges med for at gå en kvint frem i denne stemning, kan altså beskrives således
13
:
Der henvises til første illustration omhandlende den prætorianske stemning i bilag 1 for grafisk
beskrivelse af stemningen.
Tempereret eller ikke-tempereret stemning
Før den matematiske redegørelse for henholdsvis den ligesvævende stemning og Werckmeister,
skal stemningsmetoderne kategoriseres som enten tempereret eller ikke-tempereret stemning.
De ikke-tempererede stemninger bruger rene intervaller som generator-interval. Den pythagoræiske,
prætorianske og rene stemning hører altså til denne kategori. Fælles for disse stemningsmetoder er,
at tonearter fjernt fra udgangspunktet tit er ubrugelige på grund af for meget dissonans.
I de tempererede stemninger er henholdsvis det syntoniske og pythagoræiske komma fordelt over
mange tonearter, hvilket gør, at flere tonearter er falske end i de ikke-tempererede stemninger. Men
til gengæld er det muligt at bevæge sig over mange flere tonearter, uden at klangen ændres
betydeligt.
Hvis man går 12 kvinter op i veltempererede stemninger, vil man komme til samme tone, mens der
i de ikke-tempererede stemninger vil være en afvigelse.
Werckmeister III
Det pythagoræiske komma er i denne stemning fordelt over fire kvinter, og deres frekvensforhold
kan derfor sættes til k, ligesom det blev gjort i den prætorianske stemning. Hvis man går 8 kvinter
op i denne stemning, kan det skrives således, da de 8 andre kvinter er rene:
Hvis man går 7 oktaver op, lander man på samme tone. Frekvensen er ganget med
og man kan
derfor skrive
14
:
13
Eksempel: Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 30
14
Eksempel: Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 33
13
Dette er frekvensforholdet for de fire sænkede kvinter i denne stemning. I bilag 1 findes en grafisk
illustration af denne stemning, hvor det er muligt at se, hvor de kvart-komma formindskede kvinter
finder sted.
Den ligesvævende stemning
Denne stemning er baseret på følgende idé: for at kunne spille en melodi, uden at melodien
forandres ved transponering, holdes forholdet mellem to nabotoners frekvenser konstant, uanset
hvor de befinder sig på instrumentet. Frekvensforholdet mellem to nabotoner er lig en konstant P.
De 12 forskellige toner, vi har, skal række over en oktav (fx fra C
0
til C
1
), og det kan derfor
udtrykkes:
kan også omskrives således:
. Dette giver et rationelt tal, og det kan derfor ikke
være et rent interval. Eksempel: Kvinten fra C til G udregnes således:
,
hvilket ikke er det samme som den rene kvints frekvensforhold:
. Det er dog en
forholdsvis lille afvigelse, og det gennemsnitlige øre lægger ikke mærke til det. For afvigelsen er så
lille, og vores øre har vænnet sig til det. Afvigelsen fra det rene intervals frekvensforhold
sammenlignet med den ligesvævende stemning i nogle intervaller i oktaven ser således ud
15
:
15
Lisa Lorentzen: ”Musikk og kjedebrøker”, s. 12
14
Der henvises til første illustration omhandlende den ligesvævende stemning i bilag 1 for grafisk
beskrivelse af stemningen.
Sammenligning
En god måde at sammenligne de forskellige stemninger på, er ved at sætte dem op i forhold til den
pythagoræiske stemning. Der henvises til bilag 1, hvor der findes to tabeller, den ene med den
prætorianske sammenlignet med den pythagoræiske, den anden med Werckmeister III og den
ligesvævende sammenlignet med den pythagoræiske.
Alle stemninger er her stemt ud fra tonen C
0
, og har derfor samme frekvensforhold; de afviger med
0 fra den pythagoræiske stemning. Den prætorianske stemning er stemt med den store terts som
generator-interval, derfor bliver frekvensen for en tone lig med frekvensen for tonen i den
pythagoræiske stemning divideret med det syntoniske komma. Da det syntoniske komma er fordelt
ud i fire lige store dele (som forklaret i afsnittet om den prætorianske stemning), kan man altså
gange hver kvint med
, og der kan på denne baggrund konstrueres den tabel, der ses i bilag 1.
I de to tempererede stemninger, den ligesvævende og Werckmeister III, er det det pythagoræiske
komma der deles ud, og ikke det syntoniske i modsætning til den prætorianske. Forskellen på de to
ses tydeligt på tabellen. I Werckmeister-stemningen er det pythagoræiske komma, som tidligere
nævnt, fordelt ud på fire kvinter. Det er altså kun fire steder på tabellen, at frekvensforholdet vil
rykke sig i forhold til den pythagoræiske. Det er på tonerne G, D, A, og F
#
. Alle andre kvinter er
rene.
15
I den ligesvævende stemning er det pythagoræiske komma som tidligere nævnt fordelt lige på alle
12 kvinter. Dette betyder, at frekvensforholdet vil ændre sig med
, hver gang man går en søjle
hen ad tabellen.
Ved at kigge på disse tabeller får man et godt overblik over de urene intervallers placering i den
enkelte stemning, og over hvordan fejlene er fordelt, alt efter hvilken stemning man fokuserer på.
Kædebrøker
I 12-tonesystemet (12 forskellige toner indenfor oktaven) som står til grund for den vestlige musik,
som vi kender i dag, vil der, som jeg har beskrevet i begrebsafsnittet, altid være noget, der ikke går
op i form af det syntoniske komma og/eller det pythagoræiske komma. Der bliver altså nødt til at
være urene intervaller visse steder, før man er i stand til at binde kvintcirklens ender sammen.
Det er derfor nærliggende at spørge, om det kan lade sig gøre at finde et tonesystem med et bestemt
antal toner, hvori det syntoniske, pythagoræiske eller andre kommaer ikke finder sted i lige så høj
grad. Vil den ligesvævende stemning være mulig at gennemføre med renere intervaller i et
tonesystem med andet end 12 toner?
Til at finde ud af dette benyttes kædebrøker. Disse bruges til at finde den bedst mulige
approksimation til et givet tal. En endelig kædebrøk er af typen
16
:
Det forudsættes at alle a-tallene er hele og positive. En sådan brøk giver et rationalt tal når det
udregnes. Dette kan illustreres ved et eksempel
17
:
16
Jens Carstensen: ”Talteori”, s. 56
17
Eksempel: Jens Carstensen: ”Talteori”, s. 56
16
Et rationalt tal kan omvendt også udvikles som en kædebrøk. Jeg danner en rational brøk
, og
udregner denne til en kædebrøk:
Jeg forkorter først brøken:
. Dette kan omskrives til
Jeg fortsætter på samme
måde:
Brøken kan altså også beskrives således:
, hvor disse led kaldes for kvotienterne.
Man kan dog også skrive
, med denne kædebrøk:
Der kan altså nu konkluderes, at for kædebrøker gælder:
.
Konvergenterne er det rationale tal, der fås ud af en kædebrøk, og er dermed det tal, kædebrøken
repræsenterer. Når man sletter nogle led i en kædebrøk, kaldes det rationale tal der står tilbage for
en konvergent til det tal, hele kædebrøken fremstiller
18
. Dette skal bruges til at finde tonesystemer,
der minimerer afvigelsesfejlene:
Da vi ikke ved, hvor mange trin oktaven vil være i, deles den foreløbigt i et ukendt antal trin: n.
Men vi ved, at en ren oktav har frekvensforholdet 2, så vi kan derfor sige:
.
Vi ved at forholdet mellem grundtone og kvint skal være
, og det kan udtrykkes ved:
.
er i denne ligning den ubekendte, og det kan derfor skrives således (da der for
gælder:
):
Tallet
ønskes udviklet i en kædebrøk. I en kædebrøk skal der gentagne gange bruges et tal
T, som kan skrives som brøk med tælleren 1:
. Som eksempel bruges tallet 0,7:
. Det ses nu, at hvis T er mindre end 1, bliver nævneren større end 1. Vi kan
altså gøre således med vores tal:
18
Jens Carstensen: ”Talteori”, s. 57
17
Sådan kan man fortsætte videre. Jo flere decimaler man starter med, des længere kan kædebrøken
blive. (Jeg tillader mig at skrive lighedstegn mellem
og kædebrøken, da det ville være
korrekt, hvis jeg ikke havde foretaget de afrundinger, der er sket undervejs med opbygningen af
denne). Det, der nu skal gøres, er at slette nogle led i kædebrøken, så vi kan finde
. Der prøves
at skæres af efter det første 2-tal:
Dette betyder, at ”oktaven” i dette tonesystem består af fem trin, og ”kvinten” ligger på tredje trin
(oktaven og kvinten sættes i anførselstegn, da ordet ”oktav” kommer af det latinske ord ”octo” og
betyder 8, og ordet ”kvint kommer af det latinske ord ”quinque” og betyder 5.
19
Rent teoretisk giver
det ingen mening i denne sammenhæng at bruge denne betegnelse, da formålet netop er at finde et
andet tonesystem, hvor der vil være et andet antal end 8 diatoniske opadgående trin, til man lander
på den samme tone med dobbelt frekvensforhold. Det giver dog mening at bruge dette udtryk på
den måde, at man i daglig tale ikke tænker på 8 diatoniske trin men bare på den samme tone med
enten dobbelt eller halvt så meget frekvensforhold).
Der prøves nu at skæres af efter det andet 2-tal i kædebrøken:
19
http://www.denstoredanske.dk/index.php?title=Kunst_og_kultur/Musik/Klassisk_musik/Terminologi%2C_noder_og
_tonearter
18
Dette er det 12-tonesystem som benyttes i dag i den vestlige musik med 12 trin i oktaven og
kvintens placering på det syvende trin. Der prøves nu at skæres af efter 3-tallet i kædebrøken:
Her vil der altså være 41 trin i ”oktaven”, hvor ”kvinten” ligger på det 24. trin
20
. Da nævneren i
denne brøk er større end de andre udregnede brøkers nævner, må det betyde, at denne brøk er den
bedste approksimation af
. Hvis man regner videre på samme måde, vil man finde et system,
der vil være endnu mere konvergent, men det vil samtidig kræve flere trin indenfor ”oktaven”. Det
er derfor ikke nødvendigt at søge efter flere systemer, da man også er nødt til at se det fra en
menneskelig synsvinkel, og tænke på, at det også skal være muligt for den enkelte udøvende
musiker at overskue tonesystemet. 12-tonesystemet, som bruges i den vestlige verden i dag, er
meget brugervenligt, idet man ”kun” har 12 forskellige toner at holde styr på. Herudover er det
blevet udviklet gennem mange århundrede, og hvis man skulle til at ændre tonesystem, ville det
blive alt for omfattende mht. noder og teorien. Men det kan altså konkluderes, at et tonesystem (og
mange andre, hvis man regner det ud) med 41 forskellige toner indenfor én oktav ville minimere
afvigelsesfejlene og dermed frembringe bedre klange end i 12-tonesystemet.
Johann Sebastian Bach - Das Wohltemperierte Klavier
I 1722 udgav J. S. Bach første bind af hans todelte værk ”Das Wohltemperierte Klavier”, hvor andet
bind udkom 22 år efter i 1744
21
. Hvert bind består af 24 præludier i hver sin toneart, hver efterfulgt
af en fuga i samme toneart. Det vil altså sige, at han har skrevet et præludium og en fuga til hver
toneart i både dur og mol. Hvert bind starter med et præludium og en fuga i C-dur, og slutter med et
præludium og en fuga i H-mol. I starten af første bind skriver Bach således (oversat til engelsk):
20
Lisa Lorentzen: ”Musikk og kjedebrøker”, s. 12 - 14
21
Gert Uttenthal Jensen: ”Tal & tangenter”, s. 36
19
The Well Tempered Clavier,
or
preludes and fugues in all tones and semitones,
in the major as well as the minor modes,
for the benefit and use
of musical youth desirous of knowledge
as well as those who are already advanced in this study.
For their especial diversion, composed and prepared by
Johann Sebastian Bach,
currently ducal chapelmaster in Anhalt Cöthen
and director of chamber music,
in the year 1722.
22
Ud fra dette får man det indtryk, at værket er skrevet med henblik på at lære udøverne forskellige
teknikker på baggrund af de mange tonearter. Rent musikalsk er dette værk dog blevet kritiseret af
nutidige klassiske musikere og dets publikum, idet det menes at være for teknisk og uopfindsomt
23
.
Et værk med for meget fokus på det tekniske frem for budskabet gennem musikken.
Analyse af Præludium III i C#-dur fra bind II
Et præludium er karakteriseret ved akkordrækker vekslende med passageværk af improvisatorisk
karakter, hvilket også er gældende for dette præludium. Efter 1600-tallet begynder præludierne at
udvides således, at der også kan forekomme fugerede afsnit inde i præludiet. Denne form kaldes for
”toccata”
24
. Dette præludium består af 50 takter, hvor de første 25 takter er karakteriseret ved
vedvarende forskellige akkordbrydninger, mens de sidste 25 takter er i fugeret stil med en polyfon
kompositionsmåde med grobund i imitationsprincippet. Dette præludium er altså meget tidstypisk,
da den består af en fugato (den fugerede halvdel), og er skrevet i baroktiden ()
25
, hvor
fugaen netop havde sin storhedsperiode, og derfor har sat sit præg på dette præludium i form af
netop fugatoen. Jeg kalder den første halvdel for præludiet, mens jeg kalder den anden halvdel for
fugatoen, og jeg vil nu analysere disse hver for sig.
22
http://www-personal.umich.edu/~siglind/wtc-00b-intro.htm
23
http://www-personal.umich.edu/~siglind/wtc-00b-intro.htm
24
Sørensen m.fl.: ”musikalske Begreber”: s. 189
25
Sørensen m.fl.: ”musikalske Begreber”: s. 75 - 78
20
Præludiets taktart er
. Hver takt i præludiet kan inddeles i to akkorder markeret på 1- og 3-slaget
hvor bastonen for den enkelte akkord spilles i two-beat og danner grundlaget for akkordbrydningen,
der forekommer i g-nøglen i form af 16-delsnoder. Ved at kigge således på alle takter i præludiet,
kan der konstrueres nedenstående tabeller over det harmoniske og tonale indhold, inddelt efter de
forskellige tonearter, der forekommer, med akkordernes funktion i den givne toneart
26
:
Takt 1 - 3 C
#
-dur:
Takter:
1
2
3
Akkorder:
C
#
, C
#7
F
#
/c
#
, G
#7
/c
#
C
#
, C
#
Funktion:
t , (d
7
) →
s
5
, d
7
4
t , t
Takt 4 - 6 i G
#
-dur:
Takter:
4
5
6
Akkorder:
D
#7
/c
#
, G
#
/h
#
Am
#7
, D
#7
G
#
, G
#
Funktion:
d
7
7
, t
3
sp
7
, d
7
t , t
Takt 7 - 13 i F
#
-dur:
Takter:
7
8
9
10
11
12
13
Akkorder:
A
#7
/g
#
,
D
#
m/f
#
E
#7
, A
#
m
H
#ø
/a
#
,
C
#
/g
#
F
#∆
/a
#
,
G
#7
/h
#
C
#11
/e
#
,
C
#7
/e
#
F
#6
/a
#
,
H
6
/g
#
C
#7
, F
#
Funktion:
(d
7
7
)→tp
3
(d
7
)→ dp
(
9
9
)→ ,
d
5
t
∆
3
, dd
7
3
d
11
3
, d
7
3
t
6
3
, s
6
6
d
7
, t
Takt 14 - 20 i C
#
-dur:
Takter:
14
15
16
17
18
19
20
Akkorder:
G
#7
/h
#
,
A
#7
/c
x
A
#7b9
/d
#
,
D
#7
G
#7
/d
#
,
C
#7
F
#∆
, F
#6
G
#7
/f
#
,
C
#
/e
#
D
#
m
7
,
G
#7
C
#
, C
#
Funktion:
d
7
3
,
+
tp
7
3
(d
7b9
4
)→
, (d
7
) →
(d
7
5
) → ,
(d
7
) →
s
∆
, s
6
d
7
7
, t
3
sp
7
, d
7
t , t
26
Udarbejdet med inspiration fra: Hugo Riemann: ”Analysis of J. S. Bach’s Wohltemperirtes Clavier, part II” s. 17 - 29
21
Takt 21 - 25 i G
#
-dur:
Takter:
21
22
23
24
25(til og med
1-slaget)
Akkorder:
D
#7
/c
#
,
G
#
m/h
C
#
m
9
/e ,
A
#7b9
/e
#
G
#
m/d
#
,
A
#7b9
/d
#
D
#11b9
, D
#7
G
#
Funktion:
d
7
7
,
o
t3
o
s
9
3
, dd
7b9
5
o
t5 , dd
7b9
4
d
11b9
, d
7
t
Undren og panderynken hos læseren under gennemlæsning af visse akkorders funktioner er opstået
med god grund. Flere steder vælger Bach en ”ulogisk” løsning efter en dominantisk akkord, der
leder til akkorden en kvint under. Fx i takt 14, hvor der forventes en C
#
efter G
#7
/h
#
, men i stedet
spilles A
#7
. Denne forventes så at lede hen til en D
#
, men den tone forekommer dog kun i bassen,
hvor akkorden, der forekommer i g-nøglen, er en A
#7b9
, som så leder hen til dominanten D
#7
.
Herefter forekommer der en dominantkæde, indtil der landes på subdominanten F
#∆
i takt 17. Her
sker den musikalske forløsning, og de mange dominant-akkorder før denne forløsning opbygger en
spænding og en intensitet, der forøger lytterens ønske om den musikalske forløsning og gør denne
forventning større, jo længere den bliver udskudt i form af flere dominant-akkorder.
Præludiet fungerer altså nærmest som én stor dynamisk opbygning til fugatoen med varierende
intensitet skabt på baggrund af harmonikken og de skiftende tonearter. For eksempel i takt 19 til 20,
hvor akkorderne D
#
m
7
, G
#7
og C
#
danner en II-V-I progression inden skiftet fra tonearten C
#
-dur til
G
#
-dur og samtidig gør, at man befinder sig i et dynamisk afslappet punkt, inden man med starten af
den nye toneart G
#
-dur starter en voksende intensitetskurve, der bliver udløst ved den musikalske
forløsning i form af tonikaen G
#
i første takt af fugatoen, som markerer slutningen på præludiet.
Dette præludium er firestemmigt bestående af stemmerne sopran, alt, tenor og bas. Rent rytmisk er
der ingen variation, og et gennemgående rytmisk motiv for sopranen er tre opadgående 16-
delsnoder, der tilsammen danner en akkordbrydning med den tredje 16-del bundet sammen med en
4-delsnode, som fungerer som top-tone og markerer en melodi. Dette rytmiske ostinat starter på
henholdsvis 1-så og 3-så i hver takt. For alten er det gennemgående rytmiske motiv fire 16-
delsnoder startende på henholdsvis 2- og 4-slaget i hver takt og bevægende sig i vippebevægelser.
Disse spilles, mens sopranen holder top-tonen og fungerer som modsvar til sopranens 16-dele. Der
opstår altså call-response mellem sopranen og alten. Tenoren spiller gennemgående kun 8-dele uden
nogen pause. Oftest fungerer tenorens toner som enten kvinten eller tertsen i den enkelte akkord,
22
dannet på baggrund af alle tonerne i halvdelen af takten lagt sammen (se boksen i nedenstående
illustration af første takt i præludiet fra bilag 2), og de enkelte toner gentages enten to eller fire
gange ad gangen.
Nogle steder kan tenoren dog også ses som en mellemstemme, der bevæger sig i diatoniske
trinbevægelser. Bassen har to toner i hver takt: en 4-delsnode på henholdsvis 1- og 3-slaget. Bassen
lægger altså en two-beat rytme, der skaber et solidt og holdbart grundlag for den rytmisk slaviske
og meget ”firkantede” rytme i form af sopranens og altens call-response-samarbejde. Alle 16-dels-
underdelingerne bliver markeret i hele præludiet med bassen markerende på 1- og 3-slaget,
sopranen på de tre efterfølgende 16-dele lige efter bassens tone, samt altens 16-dele på 2- og 4-
slaget. Tenoren markerer samtidig alle 8-dels-underdelingerne. Med markeringen af alle 16- og 8-
delsunderdelingerne samt bassens two-beat rytme, må dette præludium altså tilskrives et meget
bundet og monotomt rytmisk udtryk.
Fugatoen står dog herimod i stærk rytmisk kontrast til præludiet. Rent tonalt bevæger den sig dog
indenfor de samme tonearter som præludiet, men skaber et helt andet udtryk i harmoniseringen og
tonaliteten og på grund af ændring af taktart fra
til
. I modsætning til præludiet, er der ingen
rytmiske ostinater at finde, og fugatoen er i det hele taget meget friere i sin form. Ornamenter i
melodien er med til at skabe variation og giver samtidig et mere legende udtryk. Betonede forslag
på enkelt toner , samt almindelige triller og omvendte praltriller er med til at
ornamentere og give denne fugato et mere levende udtryk. I første takt af fugatoen står
tempobetegnelsen ”Allegro”. Ordet ”Allegro” betyder muntert, og når denne betegnelse optræder i
et musikstykke, betyder det, at der skal spilles i et hurtigt tempo
27
. Dette skift til det muntre og
hurtige tempo medvirker også til kontrasten mellem fugatoen og præludiet. Tenorstemmen er
27
Sørensen m.fl.: ”musikalske Begreber”: s. 14
23
fjernet i fugatoen, og den er altså nu kun trestemmig med stemmerne sopran, alt og bas, bortset fra
slutakkorden C
#
i sidste takt med tenorstemmen på tertsen.
Denne fugato er, ligesom alle andre fugaer, karakteriseret ved underdelte kontrapunkter, hvor
melodien består af flere forskellige modstemmer, som spiller deres egen selvstændige melodi, og
tilsammen danner en helhed. Dette kaldes polyfoni, da der er vægt på de enkelte stemmers
selvstændige føring
28
. Det er derfor svært at inddele dette stykke harmonisk, ligesom der er blevet
gjort med præludiet. Der er dog givet denne fortolkning af fugatoens harmoniske progressioner
29
:
Der afviges ikke meget fra originaltonearten, og når det endelig sker, er det kun til dominantens
toneart. Det er altså forholdsvist simpel harmonik, og dette understreger og viser hen til, at det er de
enkelte stemmers selvstændige melodiføring, der er i fokus. Selvom fugatoen har ligeså mange
takter som præludiet, er det i spilletid meget hurtigere overstået. Dette skyldes først og fremmest
temposkiftet til ”Allegro”, men også at taktarten er skiftet til
. Hvor der før i præludiet var plads til
16 16-dele pr. tak, er der her ”kun” plads til 6, hvilket gør, at taktskiftene forekommer meget
hurtigere efter hinanden. Fugatoen minder stilmæssigt meget om fugaen og har det formål at gøre
lytteren klar til en fuga. Fugatoen spiller derfor en mindre rolle og fungerer nærmest som en optakt
til den efterfølgende fuga i samme toneart.
Med henvisning til introskriftet i Bach’s første bind af WTC (international forkortelse for ”Das
Wohltemperierte Klavier”) fremgår det, at Bach skrev dette værk med henblik på at forbedre
elevers teknik ved at spille i alle tonearter, og derved få et bedre overblik over deres instrumenter.
Og med det formål i al almindelighed at blive bedre til at spille deres instrument. I løbet af sit
præludium når Bach ved brug af krydser og fortegn at ramme samtlige 12 forskellige toner, og det
kan nærmest tolkes som en slags magtdemonstration fra Bach. Han viser, at han ikke alene er i
stand til at komponere i alle tonearter, men også at få de enkelte stykker til at bevæge sig tonalt
meget langt ud, uden at klangbilledet ændrer sig betydeligt ved brugen af tempererede stemninger.
28
Sørensen m.fl.: ”musikalske Begreber”: s. 116
29
http://www-personal.umich.edu/~siglind/wtc-ii-03.htm
24
Hvis man for eksempel brugte den rene stemning stemt fra tonen C
#
og spillede præludiet ud fra
denne stemning, ville man komme i problemer, da den tonalt bevæger sig så langt væk fra
toneartens toner.
Ved at se på den transponerede udgave i tonearten C-dur (bilag 2), vil man som pianist eller
tangentspiller straks foretrække at spille stykket i denne toneart frem for originaltonearten C
#
-dur.
Grunden til, at Bach valgte at skrive dette stykke i denne toneart er altså af denne simple grund:
fordi han kunne!
I arbejdet med WTC er der med vilje ikke blevet nævnt nogen specifik stemning, Bach benyttede til
sit værk. I 2001 kom der dog en teori om en bestemt stemningsmetode, Bach brugte til dette værk,
men den er i denne sammenhæng ikke relevant. Den minder om Werckmeister III-stemningen, og
kan tilnærmelsesvist sammenlignes med den. Det vigtige i denne sammenhæng er, at dette værk er
skrevet ved brug af en tempereret stemningsmetode.
Diskussion
Det er i forlængelse af ovenstående afsnit nu nærliggende at diskutere begrebet tempereret
stemning, og hvorfor denne stemningsmetode er en forudsætning for skabelsen af dette værk.
En tempereret stemning er som tidligere beskrevet en stemningsmetode, hvor man efter 12
opadgående kvinter lander på samme tone, mens man i den ikke-tempererede stemning vil lande på
en tone der afviger fra den første, og frekvensforholdet vil derfor være anderledes. Den helt store
fordel ved tempererede stemninger er, at der ikke er nogen forskel på at spille fx tonen E og F
#
. De
klinger ens.
Man kan altså sige, at i en tempereret stemning, når kvintcirklens ender sammen. Dette vil ikke
kunne lade sig gøre i ikke-tempererede stemningsmetoder, hvor ulvekvinterne vil splitte
kvintcirklen ad. I tempererede stemninger er det syntoniske og pythagoræiske komma fordelt,
hvilket medfører flere urene tonearter, men samtidig også flere brugbare. Det er det der er det
essentielle for en tempereret stemning og for komponeringen af Bachs værk.
Efter Bachs komponering af WTC, har det åbnet manges øjne for de mange muligheder ved brugen
af tempererede stemninger. Og Den ligesvævende stemning, den mest kendte af de tempererede
stemninger er nu i dag den klart mest brugte i den vestlige musik. De tempererede stemninger har
den fordel, at de er lette at operere med. De ikke-tempererede stemninger lyder måske bedre til en
25
bestemt slags musik med en helt bestemt type opsætning af instrumenter, men de er på ingen måde
fleksible. For eksempel egner den enstemmige gregorianske munkesang sig til den pythagoræiske
stemning, da harmonikken er simpel og ikke bevæger sig i flerstemmighed. De muligheder, der er
med de tempererede, fx mulighed for toneartsbrydende harmonik (som set i analysen af præludiet i
C
#
-dur), har været mere tiltalende for musikken i det 19. århundrede. For musikken i romantikken
(fra ca. år 1815 til ca. 1915) er kendetegnet ved mere dissonerede klange i form af altererede
akkorder, og brug af kromatik
30
. Altererede akkorder indeholder toner der afviger fra den givne
toneart (fx forhøjet 5. trin (#5) eller lavt 9. trin (b9)), og i kromatik vil man også støde på
toneartsfremmede toner. Dette kræver en alsidig stemning, der kan strække sig langt ud over den
enkelte tonearts grænser, og det er lige hvad den tempererede stemning kan tilbyde. Man kan derfor
i høj grad sige, at tempererede stemninger er en forudsætning for, at musikken udvikler sig på den
måde, som den gør i det 19. århundrede.
30
http://bogwebs.systime.dk/10klassikere/dansktekst/musikhistorien/romantik.html
26
Konklusion
Én stemningsmetode er ikke mere korrekt frem for en anden. Hver stemningsmetode har sine egne
fordele og ulemper, og man må bruge den stemning der passer bedst til den slags musik, man vil
udtrykke og frembringe. I takt med at musikken ændrer sig, begynder man altså også at skifte og
benytte andre stemningsmetoder.
Set ud fra et matematisk synspunkt er det 12-tonesystem, som stemningsmetoderne og derved også
den vestlige musik er opbygget af, dog ikke det optimale. Ved brugen af kædebrøker er det blevet
bevist, at andre tonesystemer, fx med 41 toner, vil minimere de afvigelsesfejl, der ikke kan undgås i
form af det pythagoræiske og syntoniske komma. Men som mange mennesker kan relatere til, er det
svært at ændre vaner. At skulle begynde at opbygge en ny musik-verden bygget på et 41-
tonesystem, eller et tonesystem med endnu flere forskellige toner, ser urealistisk ud på mange
fronter. For eksempel vil det være meget uoverskueligt for den enkelte musiker med så mange
forskellige toner. Desuden ville oprettelsen af et helt nyt tonesystem også være nødvendigt.
Bachs todelte værk, ”Das Wohltemperierte Klavier” fra 1722, er banebrydende for sin tid og en
fortaler for de tempererede stemninger, for det viser, hvordan det er muligt at skrive musikstykker i
alle tonearter. Det tonale lydbillede og harmoniseringen i sig selv ville ikke kunne have ladet sig
gøre ved brug af ikke-tempererede stemningsmetoder. De tempererede stemningers fordeling af det
syntoniske og pythagoræiske komma gør dette muligt, og de bliver efter denne tid de dominerende
stemningsmetoder. De tempererede stemningers fleksibilitet er simpelthen mere eftertragtet, da
altererede akkorder samt kromatik bliver et typisk træk i musikken i det 19. århundrede.
27
Litteraturliste
Bøger:
Jensen, Gert Uttenthal: Tal & tangenter. 2. udg. Matematiklærerforeningen, 2012.
Riemann, Hugo: Analysis of J. S. Bach's Wohltemperirtes Clavier (48 preludes and Fugues). Side
17-24. Bind 2, Part II. 1. udg. Augener, 1948.
Sørensen, Søren m.fl.: Musikalske Begreber. 1. udg. G.E.C. Gads forlag, 1983
Carstensen, Jens: Talteori. Side 56-57. 1. udg. Systime, 1997
Artikler:
Lorentzen, Lisa: Musikk og kjedebrøker. I: Matilde nr. 28, september 2006, s. 11-14
Hjemmesider:
Musikipedia: Stemningssystemer. Udgivet af Lasse Grubbe. Internetadresse:
http://www.musikipedia.dk/stemningssystemer#2 - Besøgt d.
Stemning: 1/4 komma middeltone. Udgivet af Tore A. Skogberg. Internetadresse:
http://www.torean.dk/musik/stemning.html#middeltone1over4 - Besøgt d.
Stemning og skalaer. Udgivet af Thomas Meesenburg. Sidst opdateret: 27.3.2007. Internetadresse:
http://www.math.ku.dk/formidling/studieretningsprojekter/filer/Mat_musik/Stemning/Stemning.pdf
- Besøgt d.
Den Store Danske: Terminologi, noder og tonearter. Udgivet af Gyldendal. Internetadresse:
http://www.denstoredanske.dk/index.php?title=Kunst_og_kultur/Musik/Klassisk_musik/Terminolo
gi%2C_noder_og_tonearter - Besøgt d.
Siglind Bruhn's Personal Home Page: J.S. Bach’s Well-Tempered Clavier. In-depth Analysis and
Interpretation . Udgivet af Siglind Bruhn. Internetadresse: http://www-
personal.umich.edu/~siglind/wtc-ii-03.htm - Besøgt d.
10 klassikere: Romantik. Udgivet af Systime. Internetadresse:
http://bogwebs.systime.dk/10klassikere/dansktekst/musikhistorien/romantik.html - Besøgt d.
28
Bilag
Opgaveformulering + bilag 1 og 2:
https://www.dropbox.com/s/h1mn5s33giwzuf0/Bilag%201%20og%202%20%2B%20opgaveformulering%20
-%20Hjalte%203.%20M.pdf
C
#
-dur lydfil: https://www.dropbox.com/s/1dkg934jrzqlgtj/Wtcii03a-cis-klaver.mid
C-dur lydfil: https://www.dropbox.com/s/w58ip7yr993wn14/Wtcii03a-TRANSPONERET-c-klaver.mid
Noder i originaltoneart C
#
-dur: https://www.dropbox.com/s/mx7qrk0rij65q34/WTC-II-Cis-
Praeludium.pdf