Studieretningsprojektet i 3g
2015/16
Opgaveperiode: fredag den 20. november kl. 12:00 – fredag den 4. december kl. 12:00
3x
STX 3.g
STX 3.g
Matematik A
STX 3.g
Historie A
STX 3.g
Antal bilag:
Emne: Kryptering
Opgaveformulering: Udvikling i digital sikkerhed
Redegør kort for udviklingen i digital sikkerhed på nettet siden 90’erne – fortrinsvist i Danmark.
Gør rede for kryptering med RSA-systemet. Du skal herunder forklare dele af den talteori, der ligger til
grund for kryptering og dekryptering med RSA-systemet. Som eksempel på RSA-systemets virkemåde
skal du vha. primtallene p=17 og q=29 kryptere og dekryptere teksten: ”Jeghavderet”.
Undersøg hvorvidt RSA-kryptering er anvendelig til sikring af digital kommunikation. Undersøg både
positive og negative konsekvenser af digitaliseringen. Inddrag selvvalgt materiale i alle analyser.
Diskuter den asymmetriske krypterings fordele og ulemper – herunder hvorvidt borgerens
grundlovssikrede rettighed til at kommunikere fortroligt kan sikres udelukkende ved brug af RSA-
kryptering.
Besvarelsens omfang forventes at udgøre 15-25 sider eksklusive bilag.
OBS! Denne blanket indsættes som side 1 i SRP i papirform (røde mappe) og uploades automatisk i forbindelse med
din digitale aflevering. Aflevering senest den 4. december 2015 kl. 12:00.
Husk: Udskriv kvittering på digital aflevering skal afleveres separat!
Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig. Jeg har ikke anvendt
tidligere bedømt arbejde uden henvisning hertil, og opgavebesvarelsen er udfærdiget uden anvendelse af
uretmæssig hjælp.
Dato og elevens underskrift ____________________________________________________________________________________
Udvikling i digital sikkerhed
Studieretningsprojekt af
Sønderborg statsskole
3.x
Vejledning ved og
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
3
Abstract
This paper accounts for the evolution of digital security in Denmark since the 1990’s. It contains information
about the Danish digital security system “Nem-ID”, and a brief survey of the development of digital security
in Denmark, since it started in 1999. It contains information about the development in accessibility of the
internet and computers in the Danish population since 1990. Furthermore, the paper illuminates the Public
Key System, which is one of the central aspects of Nem-ID’s security, as well as the crypto algorithm, RSA,
that is the most common method of making the key pairs, which are used in the Public Key system. Here, the
steps that are used in making the keys, is explained, along with some of the number theory behind the
algorithm. The explained aspects of the number theory are: prime numbers, Eulers φ- function, modulo and
greatest common divisor. There is shown an example of encryption and decryption with the RSA system. This
paper also contains an investigation of why RSA is usable in securing digital communication and the pros and
cons of digitalization is investigated as well. Finally, the advantages and disadvantages of asymmetrical
encryption is discussed, here also whether or not RSA encryption alone can secure confidential
communication.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
4
Indholdsfortegnelse
Indledning .......................................................................................................................................................... 5
Hovedafsnit........................................................................................................................................................ 6
Udviklingen i digital sikkerhed ....................................................................................................................... 6
Hvad er digitalisering? ............................................................................................................................... 6
Grundlæggende om digitaliseringen ......................................................................................................... 6
Hvad er Nem-ID? ....................................................................................................................................... 8
Kort om PKI .............................................................................................................................................. 10
Kryptering med RSA systemet ..................................................................................................................... 10
Overordnet .............................................................................................................................................. 10
Talteori ..................................................................................................................................................... 11
Eksempel .................................................................................................................................................. 17
Hvorfor er RSA kryptering sikker? ........................................................................................................... 20
RSA-kryptering og digital kommunikation ................................................................................................... 20
Anvendelighed af RSA-krypteringen i dag ............................................................................................... 20
Positive konsekvenser af digitaliseringen ................................................................................................ 21
Negative konsekvenser af digitaliseringen .............................................................................................. 22
Asymmetrisk kryptering .............................................................................................................................. 23
Kildekritik ......................................................................................................................................................... 24
Konklusion ....................................................................................................................................................... 25
Perspektivering ................................................................................................................................................ 27
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 28
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
5
Indledning
Teknologien har de sidste mange år fået større og større indflydelse på levemåden i især den industrialiserede
del af verden. Mere og mere bliver historisk set ny teknologi inkorporeret i befolkningens livsstil, og det er
efterhånden blevet en selvfølge at have adgang til internettet gennem en eller flere platforme. Denne
udvikling har medført mange nye muligheder om end også en del nye problematikker. Den danske stat har
været blandt de absolut førende statsmagter til at tage den nye teknologi i brug. Som noget af det meget
relevante i den forandring der er sket i forhold til det offentlige, er udviklingen i kommunikationen mellem
borger og det offentlige. For at holde den digitale korrespondance mellem borger og det offentlige privat, er
der blevet udviklet et system, der har til formål at sørge for, at ingen andre end borgeren kan få fat i
informationen.
Men hvad er dette system helt nøjagtigt? Hvordan holder dette borgernes personlige korrespondancer sikre?
På hvilken baggrund er det udviklet? Hvilke matematiske forsætninger er nødvendige for forståelsen og
udviklingen af dette system? Og hvad er konsekvenserne, både gode og dårlige, af den mærkbare
digitalisering?
I denne opgave vil der blive redegjort kort for udviklingen i digital sikkerhed på nettet siden 90’erne, med
omdrejningspunkt omkring Danmark. Der vil også blive set på hvad der ligger til grund for denne udvikling.
Der vil blive gjort rede for systemet der bliver brugt til at sikre den private kommunikation. Desuden vil den
talteori der ligger til grund for systemet blive forklaret, og et eksempel med systemet vil blive vist. Herefter
vil der blive undersøgt, hvorvidt krypteringsformen er anvendelig til sikring af digital kommunikation, og de
positive og negative konsekvenser af digitaliseringen undersøges også. Til sidst vil fordele og ulemper af
krypteringsformen blive diskuteret, foruden hvorvidt borgerens grundlovssikrede rettighed til at
kommunikere fortroligt kan sikres ved udelukkende brug af dette.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
6
Hovedafsnit
Udviklingen i digital sikkerhed
I dette afsnit vil der kort blive redegjort for udviklingen i digital sikkerhed fra 1990’erne. Da digital sikkerhed
omfatter mange forskellige områder, er der blevet valgt et fokus område. Dette er digital sikkerhed i
Danmark, med fokuspunktet ”digital signatur”. Desuden vil der blive set på den relevante udvikling, der ligger
til grund for en øget digitalisering. Dette involverer udvikling i antal af pc’er og computere i de danske hjem.
Hvad er digitalisering?
For at forstå udviklingen i digitaliseringen, må man først have en klar forståelse for, hvad begrebet egentlig
dækker over. I samfundet i dag bruges begrebet ”digitalisering” oftest i betydningen ”digital kommunikation
mellem borgerne og det offentlige”. Dette er dog bare en af de mange ting digitalisering omfatter. Helt
konkret betyder digitalisering ”omsætning af fx data, lyd eller billeder til digital form”
1
. Herunder ligger
”udbredelse af elektroniske medier og computerbaserede forretningsgange”.
Grundlæggende om digitaliseringen
2
I de sidste årtier er antallet af personlige computere i Danmark steget markant. Fra 1990 til 2015, er
procentandelen af danske familier i besiddelse af en pc, steget fra 15 til 92 procent. Se figur 1
3
:
Figur 1: Andel af danske familier i besiddelse af en pc efter tid.. Manglende data fra 2010. Derfor et knæk i grafen.
1
Viden fra http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=digitalisering Set d.
2
Information fra https://www.nemid.nu/dk-da/digital_signatur/historien_om_digital_signatur/ Set d.
3
Tal hentet fra http://www.statistikbanken.dk/statbank5a/default.asp?w=1920 . Det kan ikke lade sig gøre at henvise
til en specifik side, men tallene kan findes ved at skrive søgeordet ”computer”, vælge andet søgeresultat (pr.
), ”VARFORBR: Familiernes besiddelse af elektronik i hjemmet efter forbrugsart”, markere hhv. internet og
PC, og herefter markere samtlige år.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
7
Dette svarer altså til en stigning på over 613%. Internettet blev først frigivet til gratis brug i 1993
4
. De første
tal fra Danmarks statistik om brugen af internettet stammer fra 1996. I figur 2 kan man se udviklingen i
procent af hvor mange danske familier der var i besiddelse af internettet fra 1996 til 2009. Der er ingen
informationer fra efter 2009:
Figur 2: Danske familiers adgang til internettet efter tid
Kigger man ved andre kilder, kan man dog se at der i 2014 var 92% af de danske familier, som havde adgang
til internettet
5
. Dette svarer altså til en stigning på 1840%.
Digitaliseringen af den offentlige sektor begyndte at tage form i 1999. Her gennemførte det daværende
forskningsministerium ni pilotprojekter med digital signatur. Efterfølgende udarbejdede KL
6
og
Amtsrådsforeningen en rammeaftale om levering af kvalificerede certifikater. I 2001 trådte loven om
elektroniske signaturer i kraft. Loven og rammeaftalen skulle sammen stimulere markedet til en øget
anvendelse af de digitale signaturer. Dette lykkedes dog ikke, og der blev identificeret en række barrierer.
Problematikken bestod til dels i, at omkostningerne ved at benytte tilbuddene var relativt store i forhold til
udbuddet af internettjenester, som benyttede digital signatur. Dette hang blandt andet sammen med loven
og de der tilhørende bekendtgørelser. Disse krævede personligt fremmøde, skærpede ansvarsforhold og
anvendelse af hardware løsninger.
4
Information fra http://politiken.dk/forbrugogliv/digitalt/ECE1961106/her-er-hele-historien-om-internettet-og-world-
wide-web/ Set d.
5
Information fra http://www.dst.dk/Site/Dst/Udgivelser/GetPubFile.aspx?id=18686&sid=itbef side 8 figur 2. Set d. 30-
11-2015.
6
Statens og kommunernes indkøbsservice
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
8
Den daværende regering ville fjerne forhindringerne. Der blev derfor igangsat to aktiviteter i foråret 2002.
Den ene var, at der skulle gennemføres en projektkonkurrence, og den anden var en standardiseringsproces
for Offentlig Certifikater til Elektroniske Services
7
.
Formålet med konkurrencen var at få fundet mulige forretningsmodeller, og at få de eksisterende
leverandøres applikationer og infrastrukturer i spil. Det var her meningen, at borgerne skulle have ét
certifikat til alle offentlige tjenester på internettet. For at det kunne lade sig gøre, var det nødvendigt med
digital signatur. Vinderen blev i sidste ende TDC
8
.
Standardiseringsprocessen havde til formål at sikre, at OCES levede op til internationale standarder. Denne
blev godt modtaget - både fra den offentlige og fra den private sektor. Det nye ved OCES- certifikaterne var,
at de ikke stillede krav om personligt fremmøde ved udlevering, og at de var softwarebaserede. De kunne
altså både fremstilles og benyttes med lavere omkostninger end tidligere.
I 2008 udløb aftalen med TDC, og aktiviteterne blev overdraget til Nets DanID
9
. Herefter blev løsningen, den
såkaldte Nem-ID, udviklet. Denne blev lanceret den første juli 2010.
Hvad er Nem-ID?
Alt digital kommunikation mellem borger og stat bliver i dag
10
sikret af NemID. NemID er en elektronisk
underskrift - en såkaldt digital signatur
11
. Formålet med dette er at sikre, at en person er, hvem denne udgiver
sig for at være. Dette er vigtigt, da det ellers ikke er til at vide, hvem man kommunikerer med over nettet. En
digital signatur er i dag lige så bindende som en fysisk underskrift.
Nem-ID kan benyttes på en lang række hjemmesider
12
. Disse omfatter ikke kun offentlige sider, men A-kasser,
internetbutikker, banker og endda online kasinoer, som bare er et uddrag af de mange forskellige
muligheder.
Nem-ID er baseret på et såkaldt ”to-faktor-sikkerhed”
13
. Dette system bygger på, at man har to dele man
skal bruge til at logge ind: sit nøglekort og sin adgangskode. En selvvalgt adgangskode skrives ind, efter at
man har skrevet sit CPR-nummer. Dette ses på figur 3:·
7
OCES
8
Dansk teleselskab
9
Information fra http://www.digst.dk/Loesninger-og-infrastruktur/NemID/Historisk-overblik Set d.
10
År 2015
11
Information fra https://www.nemid.nu/dk-da/digital_signatur/hvad_er_en_digital_signatur/ set d.
12
Se https://www.nemid.nu/dk-da/om_nemid/her_kan_du_bruge_nemid/ for den fulde liste. Set d.
13
Information fra https://www.nemid.nu/dk-da/om_nemid/hvad_er_nemid/oeget_sikkerhed/ Set d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
9
Figur 3: Nem-ID login - første del.
14
Herefter får man et nummer. Her skal man skrive nøglen som tilhører det tal. Nøglen findes på det udleverede
nøglekort
15
. Dette er illustreret i figur 4:
Figur 4: Nem-ID login - anden del.
16
Nem-id er bygget på den såkaldte ”Public Key Infrastructure
17
”, også kaldet PKI. Her har hver bruger fået
udstedt et certifikat med en offentlig nøgle, der bruges til krypteringen, og en privat nøgle, der benyttes til
14
Billede fundet på siden https://www.nemid.nu/dk-da/_shared/images/log-in_1.jpg . Set d.
15
Mere information senere.
16
Billede fundet på siden https://www.nemid.nu/dk-da/_shared/images/Nets_nemid_noegleviser.png. Set d. 30. 11.
2015
17
PKI. Information fra https://www.nemid.nu/dk-da/om_nemid/sikkerhed/teknikken_bag_nemid/ . Sidst set
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
10
dekrypteringen. Adgangen til den private nøgle, er sikret med den før omtalte adgangskode og et nøglekort.
Her bruges nøglerne på nøglekortet, til at få adgang til den private nøgle
18
.
Nøglekortet er manuelt, og man modtager dette i papirform. På dette er der angivet 148 nøgler, der kun kan
bruges én gang. Når nøglekortet er ved at være opbrugt, får man tilsendt et nyt.
Den private nøgle forefindes på intet tidspunkt ukrypteret, og denne kan ikke anvendes uden for det særligt
sikrede kryptografiske hardwaremodul.
Kort om PKI
PKI systemet blev udviklet af to ansatte på Stanford universitet, Whitfield Diffie og John McCarthy, i 1976
19
.
PKI systemet består af et nøglesæt. Til hvert individ er der hhv. en offentlig nøgle og en privat nøgle. Den
offentlige nøgle har alle adgang til. Denne bruges til at kryptere noget med. Når dette er krypteret, kan det
kun dekrypteres af den private nøgle. Denne er det kun individet der har adgang til.
Der er forskellige metoder til at producere nøglesættene. Den mest anvendte metode er at fremstille
nøglerne ved brug af RSA systemet. Public Key algoritmer bliver også kaldt ”Asymmetriske algoritmer”. Ved
asymmetriske algoritmer, kan man altså, i modsætning til ”Symmetriske algoritmer
20
”, sende en krypteret
besked til en person, uden at have nøglen til at dekryptere denne. Det er derfor muligt for alle, at sende
krypterede meddelelser til samme person.
Kryptering med RSA systemet
Overordnet
RSA systemet blev udarbejdet af tre ansatte på MIT
21
, Ronald Rivest, Ali Shamir og Leonard Adleman.
Udviklingen af systemet, blev påbegyndt i 1976. Udviklingen af denne foregik på den måde, at Rivest og
Shamir kom med ideer, som Adleman forsøgte at finde fejl ved. Efter et stykke tid fik Rivest udviklet en
algoritme, som Adleman ikke kunne løse. Dette blev til RSA systemet. Systemet er opkaldt efter det første
bogstav i hver af udviklernes efternavne. Dette system var det første eksempel på et PKI, og har siden sin
18
Mere om denne senere.
19
Information fra http://www.computerhistory.org/fellowawards/hall/bios/Whitfield,Diffie/ set d.
20
Algoritmer hvor man anvender samme nøgle til kryptering og dekryptering.
21
MIT: Massachusetts Institute of Technology
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
11
offentliggørelse i 1977 været en sikker metode til af fremstille nøglesæt til PKI
22
. Tre år før Rivest, Shamir og
Adleman begyndte udviklingen af RSA systemet, havde en matematiker og kryptograf, Clifford Cocks udviklet
et identisk system. Han arbejdede dog for regeringen, hvilket betød, at hans arbejde var klassificeret. Han
har derfor ikke fået æren for udviklingen af systemet
23
.
I dette afsnit, vil RSA systemet, og den talteori der ligger til grund for dette, blive forklaret. Dette er for at
forstå hvorfor RSA systemet er relevant, og for at forstå hvordan man danner nøgler med dette. For at få en
forståelse af, hvordan man danner nøglesæt med RSA systemet, kan man med fordel kigge på talteorien bag
dette. Inden dette gøres, vil der kort blive kigget på fremgangsmåden til generering af nøglerne. Grundlaget
for dette, er at få en forståelse af, hvorfor de valgte aspekter af talteorien er relevante. Der skal findes den
offentlige nøgle, n og e, og den hemmelige nøgle, d. Det er den del af RSA krypteringen der går ud på at finde
disse, der her ville blive forklaret.
Nu vil fremgangsmåden blive forklaret i punktform.
Fremgangsmåde:
1. To primtal, p og q, vælges. Nu kan n udregnes som
2. Nu skal værdien af Eulers φ funktion i n findes. Her kan ses udregningen.
3. Nu vælges e. Dette skal være et positivt helt tal, som har en værdi, der er mindre end φ(n), og er
indbyrdes primisk
24
med denne.
4. Den hemmelige nøgle, d, vælges som ed=1(mod(φ(n)), eller
Talteori
25
Talteorien er en grundlæggende del af matematikken. Dette område beskæftiger sig med tallene. Som man
kan se i fremgangsmåden, er der flere aspekter, af den elementære talteori, der skal forstås for at kunne
bruge RSA kryptering. De dele af talteorien der vil blive arbejdet med, er primtal, største fælles divisor, Eulers
φ funktion og regning med rester (der her bruges for at forstå modulo).
22
Information fra http://www.msri.org/people/members/sara/articles/rsa.pdf Set d.
23
Information fra http://www.nytimes.com/library/cyber/week/122497encrypt.html Set d.
24
Forklares senere
25
Talteorien og forklaringen af RSA systemet er inspireret af, og informationer er hentet ved
http://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/RSA.pdf og Landrock, Peter; Nissen, Knud: Kryptologi - fra viden til
videnskab, 1. udgave, 1. oplag. Alle sætninger er hentet fra første kilde(matematikfysik.dk). Set d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
12
Primtal
De positive heltal større end 1, deles op i to grupper. Disse grupper kaldes primtal og sammensatte tal.
Primtal er tal, som intet helt tal større end 1 går op i. Sammensatte tal kan forklares ved hjælp af algebraens
grundsætning. En forsimplet version af denne, siger:
Sætning 1
”Ethvert positivt tal n kan skrives som et produkt af primtal. Faktoriseringen er
entydig, når der ses bort fra rækkefølgen, hvori faktorerne skrives”.
Nu vil dette blive bevist:
Hvis vi kalder et tilfældigt sammensat tal, altså et ikke primtal, for p, kan dette skrives som
.
Tallene på højre side er begge tal, der er større end 1, men mindre end p. Hvis både
og
er primtal, er
faktoriseringen færdig. Hvis dette ikke er tilfældes, deles disse også op, indtil alle delene er primtal. På et
tidspunkt vil alle tal der står på højre side være primtal. P vil nu være primfaktoriseret, og ganget sammen vil
tallene på højre side, give tallet på venstre. Primfaktorisering er altså når et helt, positivt tal. Omskrives til et
produkt af primtal.
En fordelagtig måde at finde ud af om et tal er et primtal, er at bruge følgende sætning:
Sætning 2
”Hvis ingen af primtallene ≤
går op i n, så er n et primtal”
Beviset herfor er, at hvis ingen primtal under kvadratroden af et tal går op i tallet, og da alle tal enten er
primtal eller sammensatte tal, kan tallet ikke være et sammensat tal, da et sammensat tal jo er et produkt af
to eller flere primtal, og hvis samtlige tal er større end kvadratroden af et tal, vil produktet blive større end
tallet.
Matematikeren Euklid, har bevist følgende sætning
26
:
Sætning 3
”Der findes uendeligt mange primtal”
Dette kan bevises på følgende måde:
26
Inspiration hentet ved: Landrock, Peter, m.fk. Kryptologi - fra viden til videnskab. Side 85. sætning 4.25
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
13
Hvis der var endeligt mange primtal, ville der være et største primtal. Lad det være p. Sæt n=p!+1. Tallet her
er ikke divisibelt med noget primtal, hverken mindre eller lig med p. Fordi p er det største primtal, findes der
intet primtal mellem n og p. Altså intet primtal mindre end n går op i n, derfor må dette være et primtal.
Dette går imod, at p var det største primtal. Dette kaldes et modstridsargument.
I forhold til RSA kryptering er det essentielt, at der er uendeligt mange primtal, da dette betyder, at der ikke
er nogen grænser for, hvor store primtal, der kan genereres.
Regning med rester
Den anden del af talteorien der er interessant for RSA krypteringen, er regning med rester. For at regne med
rester, skal man her bruge a, divisoren, og q, kvotienten. Det vides at et helt tal der er forskelligt fra 0, går op
i et andet helt tal, hvis q, kvotienten ganget med det ene tal giver det andet tal. Dette skrives sådan:
.
Da ikke alle divisioner går op, kan der forekomme en rest. Som et eksempel kan bruges, at 31/3 vil give 10
med resten 1. Dette er et alternativ til at skrive tallene som brøker eller kommatal. Følgende sætning
beskriver sammenhængen:
Sætning 4
”For vilkårlige hele tal a>0 og b gælder, at der findes entydigt bestemte hele tal q og r, så ,
hvor 0≤r<a.”
Der er flere måder at finde ”rest” på. En af disse er, at dividere tallet med divisoren, hvorefter man tager den
del af resultatet, der står som decimal, og ganger denne med divisoren. Dette kan dog godt give nogle
vanskeligheder, idet man jo ikke altid er i stand til at få alle decimaler med. En anden måde, er at dividere
tallet med divisoren, hvortil man ganger antallet af hele tal, fx 4 ved 4.3, med divisoren, og derefter trækker
resultatet fra det oprindelige tal. På denne måde får man resten.
Her kommer en ny sætning. Denne omhandler divisibilitet.
Sætning 5
”For de hele tal: a, b og c gælder:
1. Hvis a≠0: a|b
a|bc
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
14
2. Hvis a,c ≠0: ac|bc
a|b
3. Hvis a,c ≠ 0: a|b ʌ b|c
c
4. Hvis x,y
27
Z, c≠0: c|a ʌ c|b
Her følger trinvis beviser:
1. Fordi et tal kun går op i et andet tal, hvis der er en kvotient, kan man gange både tallet med et andet
tal, og divisoren vil stadig gå op i tallet. Dette kan vises med følgende udregning: ,
. Som man kan se her, må stykket stadig gå op i a, da dette divideret med a jo ville give
resultatet .
2. Da , må ac gå op i bc q gange. Dette er også tilfældet ved a og b. Disse to forhold må derfor
være det samme, og antallet af gange disse går op i hinanden, må også være det samme.
3. Forholdet mellem a og b kaldes q
1
, mens forholdet mellem b og c kaldes q
2
. Forholdet mellem a, b
og c må altså se sådan ud:
. Sættes b fra første udregning ind på b pladsen i
anden udregning, fås forholdet . Derfor går a altså op i c
gange.
4. Her går c op i a q
1
gange, og c går op i b q
2
gange. Erstattes a og b i parentesen (xa+yb), fås følgende:
. Dette vil altså sige, at c går op i (xa+yb)
gange.
Når man skal finde resten af et givent tal, divideret med et andet tal, bruger man modulo. Dette skrives a(mod
n), hvor a i dette tilfælde er det oprindelige tal, og n er divisoren. Dette gøres ved samme fremgangsmåde
som før nævnt. Derfor vil resultatet selvfølgeligt være 0, hvis n|a. Hvis a er mindre end n, vil resten være a.
Største fælles divisor
Dette emne vil kun kort blive behandlet. Et tal d, er en fælles divisor for a og b, hvis tallet både går op i både
a og d. Der er selvfølgelig et endeligt antal tal der går op i både a og b. Det største tal der går op i både a og
b, kaldes den største fælles divisor. Dette skrives sfd
28
(a,b) eller mere almindeligt bare (a,b). Det er her
begrebet ”indbyrdes primiske” kommer ind i billedet. To tal er indbyrdes primiske, når deres største fælles
divisor er 1. Altså når det kun er tallet 1 der går op i begge. En måde at finde den største fælles divisor, er
simpelthen at skrive samtlige tal, som går op i begge tal, og derefter finde det største tal der går igen. Dette
27
: tilhører gruppen
28
Største fælles divisor. På engelsk gcd, greatest common divisor.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
15
virker dog bedst, ved relativt små tal, da talrækkerne ellers bliver umådeligt lange. Derfor bruges følgende
sætning til at finde (a,b), da denne er lettere:
Sætning 6
”Hvis r er resten af b ved divisionen med a, så gælder: (a,b) = (a,r) = (a,b(mod a)).”
Denne sætning kræver et bevis. Det antages her at venstresiden er sand. Ud fra formlen kan
udledes, at . Her kan man se, at da d både går op i a og b, går tallet også op i r. Hermed er
højresiden vist.
En anden sætning der skal med under dette afsnit, er følgende:
Sætning 7
”Lad a og b være hele tal, som er forskellige fra 0. Da findes hele tal s og t, så (a,b)= ”
Eulers φ funktion
Den sidste del af talteorien der vil blive arbejdet med, er Eulers φ- funktion. Den første sætning der skal
bruges når man forsøger at forstå denne funktion, er:
Sætning 8
”x(mod n)=y(mod n)
n|(x-
Denne forklarer altså at to tal har samme rest modulo n, hvis n går op i differencen af tallene.
En anden sætning forklarer, at hvis har samme rest modulo n, og a og n desuden er indbyrdes
primiske, vil x og y også give samme rest ved division med n:
Sætning 9
”ax(mod n)=ay(mod n) ʌ (a,n)=1
x(mod n)=y(mod n)
Omskrevet vil der på venste side stå, at n| som kan udledes fra sætning 6. Faktureret giver
dette, at . Det vides, at hvis et tal går op i et produkt af to tal, og divisoren er indbyrdes
primisk med det ene af tallene i produktet, går denne op i det andet tal i produktet. Derfor kan a fjernes
fra udregningen. Nu får man en udregning magen til sætning 6, og dermed er sætning 7 bevist.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
16
Restmængden modulo n kan betegnes
. Det er her relevant at undersøge delmængden
af rester, forskellige fra 0, der er indbyrdes primiske med n. Dette skrives
.
Det er antallet af elementer i denne mængde, der betegnes φ(n). Denne funktion er defineret for alle n .
Sætning 10
”Lad
være de forskellige primfaktorer i n. Da er φ(n)
Specielt: Hvis p og q er to forskellige primtal, gælder φ(pq)=(p-1)(q-1)
Specielt: Hvis p er et primtal gælder φ(p)=p-1 og φ(p
2
)=p(p-1)
Ydermere er det værd at bemærke, at hvis p og q er forskellige primtal, gælder φ(pq)=p-1)(q-1). Det er også
værd at bemærke, at hvis p er et primtal, gælder
Beviset for dette vil ikke blive behandlet, da det er meget kompliceret, og ville være for pladskrævende.
Det er her værd at bemærke, at i RSA kryptering, finder man φ(n) ved den første ”speciel” del, fordi n er lig
.
RSA- kryptosystemet
Da den grundlæggende, relevante talteori nu er gennemgået, vil der blive arbejdet videre med redegørelsen
for RSA krypterings systemet. For redegørelsen for fremgangsmåden til at finde frem til hhv. den offentlige
og den hemmelige nøgle, refereres til afsnittet ”overordnet” længere oppe. Nu gøres rede for selve
krypteringen og dekrypteringen af klarteksten.
Det foregår således, at klarteksten inddeles i blokke. Antallet af tal i de enkelte blokke, skal være mindre end
n.
Krypteringen forgår på den måde, at man opløfter m til e’te potens. Dernæst finder man ”rest” ved at bruge
”modulo n”. Resultatet her kaldes c:
Dekrypteringen forgår så på den måde, at man opløfter c i d’te potens, og tager rest modulo n:
På denne måde får man den oprindelige tekst tilbage.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
17
Bogstaverne fra blokkene, bliver før krypteringen oversat til tal, ved hjælp af en tabel. En tabel der kan
anvendes til dette, er ASCII tabellen
29
.
Eksempel
Som eksempel på RSA-systemets virkemåde, vil teksten ”Jeghavderet” nu blive krypteret og dekrypteret med
primtallene p=17 og q=29. Bogstaverne skrives i eksemplet som store bogstaver, for at svare plads.
Da primtallene er fundet, skal φ(n) findes. Dette gøres med formlen φ(n)=(p-1)(q-1)
Nu vælges e. Da dette skal være et positivt helt tal mellem 0 og φ(n), som er indbyrdes primisk med φ(n),
vælges dette til at være 123. Dette kan selvfølgelig vælges som alle primtal mellem 0 og φ(n), men der er
også ofte tal, der opfylder kriterierne, der ikke er primtal.
Nu skal d findes. Dette gøres ved at bruge formlen
. Da vi har e og φ(n), skal d nu findes.
Til dette anvendes sætning 7. Da vi ved at (a,b) skal være 1, og at
, kan s og t nu
findes. Da dette er en linearkombination
30
, kan Euklids algoritme anvendes. Linearkombinationen vil hedde
. Nu bruges Euklids algoritme til at regne baglæns. Beregningen vil se ud som følge:
Største fælles divisor
Restberegning
(123,448)=(123,79)
(79,44)
(44,35)
(35,9)
(9,8)
(8,1)
9=18+1
=1
Nu er Euklids algoritme brugt. Nu skal s og t findes. Nu skal dette skrives som en lineær komponent. Dette
gøres i følgende skema:
Rester
29
Se tabellen her: http://www.asciitable.com/index/asciifull.gif set d. 24/11./2015
30
En lineærkombination er flere sæt variabler ganget med konstanter.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
18
79 = 448-3123
44 = 123-791 = 123-1(448-3123) = 4123-1448
35 = 79-441 = (448-3123)-1(4123-1448) = 2448-7123
9 = 44-135=(4123-1448)-1(2448-7123) = 11123-3448
8 = 35-93 = (2448-7123)-3(11123-3448) = 11448-40123
1 = 9-18 = (11123-3448)-1(11448-40123) = 51123-14448
Den lineære kombination af
og e er altså
Hvor s er 51 og t er -14. Løsningen på problemet må være x=s(mod
)
31
. Dette må altså hedde x=51
. Fordi 51 er lavere end 448, må dette give 51. d er altså 51.
Nu skal klarteksten krypteres. For at gøre dette, skal vi bruge n. Denne bliver fundet med formlen
.
Klarteksten skal nu inddeles i lige store blokke, der bliver repræsenteret af tal. De tal blokkene repræsenterer,
skal alle være mindre end n. Tallene skal stå i forlængelse af hinanden, så hver blok bliver nødt til kun at
indeholde 1 bogstav, da værdien ellers bliver for høj. Blokkene vil derfor have værdierne som tegnet i
tabellen:
Her er et eksempel på en tabel:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Blokkene tegnes ind i en tabel, som derfor ser sådan ud:
J
E
G
H
A
V
D
E
R
E
T
10
05
07
08
01
22
04
05
18
05
20
Nu skal teksten, m, krypteres. Dette gøres ved følgende:
31
For bevis, se http://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/RSA.pdf side 15, sætning 30. Sidst set d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
19
Krypteringen kan ses i nedenstående skema:
Udregning
Resultat
J
292
E
419
G
371
H
206
A
1
V
470
D
353
E
419
R
222
E
419
T
7
Den krypterede kode, er altså: 292 419, 222 419 7.
Nu skal koden dekrypteres. Dekrypteringen sker ved fremgangsmåden
Dette kan ses på følgende skema:
Udregning
Resultat
J
10
E
05
G
07
H
08
A
01
V
22
D
04
E
05
R
18
E
05
T
20
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
20
Her kan man se at den dekrypterede kode svarer til tallene fra blokkene. Finder man tallene i tabellen igen,
kan man oversætte disse til klarteksten.
Hvorfor er RSA kryptering sikker
32
?
Den eneste måde vi kender til, for at knække RSA krypteringen, er primfaktorisering. Netop denne viden er
grundlæggende for sikkerheden ved RSA kryptering. Fordi de to primtal, der i ”den virkelige verden” bliver
benyttet til produktionen af nøglerne, er ufatteligt store, og altså over 100 cifre, vil det tage ufattelige
mængder af tid at primfaktorisere produktet, og finde frem til primtallene. Der findes ingen entydig algoritme
til dette, på trods af mange menneskers ihærdige forsøg på at udarbejde en sådan.
RSA kryptering hører inde under begrebet ”asymmetrisk kryptering”. Dette vil sige at en af nøglerne er til
rådighed for offentligheden, mens en anden er privat. Dette kaldet også public key kryptering
33
.
RSA-kryptering og digital kommunikation
I dette afsnit vil der blive undersøgt, hvorvidt RSA-kryptering er anvendeligt til sikring af digital
kommunikation.
Anvendelighed af RSA-krypteringen i dag
På trods af den voldsomme udvikling inden for IT, og ikke mindst adgang til internettet for den almene borger
de sidste 50 år, bruges RSA kryptering, der blev udviklet i 1977 stadig i dag. I Danmark ses RSA krypteringen
blandt andet i Nem- ID
34
. Med teknologiens udvikling, er der dog også udviklet måder, hvorpå man i nogle
tilfælde, kan dekryptere en RSA funktion, uden kendskab til den personlige nøgle
35
. Disse angreb kan ske,
hvis man finder faktoriseringen af modulo N. En anden usikkerhed, er hvis man vælger enten at have en lille
værdi af d, eller en lille værdi af den offentlige eksponent e og m. Grunden til at man kunne overveje at
konstruere lavere værdier for disse, er at det på den måde ikke kræver så meget for computeren at kryptere
32
Inspiration ved Kryptering side 43, afsnit ”Hvorfor virker det?”
33
Information fra http://www.computerdk.com/Networking/network-security/75678.html. Hentet d.
34
Information fra
http://www.au.dk/fileadmin/site_files/science.au.dk/files/CSE/Media/Udvalgt_til_Uni/2._generation/Moeder/Faglige
_grupper/Lektier.pdf . Hentet d.
35
Information fra https://crypto.stanford.edu/~dabo/papers/RSA-survey.pdf Hentet d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
21
teksten. Der er også en række andre angreb, som Hastads ”Broadcast” angreb, og Coppersmiths ”Short Pad”
angreb
36
. På trods af disse mange mulige angreb, er der endnu ikke en kendt metode til at dekryptere koder,
dannet af mange-cifrede primtal. En oplagt måde at dekryptere en RSA kryptering, ville være at faktorisere
den. Der er dog som tidligere nævnt ikke nogen algoritme til dette endnu, og jo længere koden er, jo længere
vil det tage at dekryptere denne. Da man fx dekrypterede en 128 bit kode, tog det 0.4 sekunder at gøre dette.
En 256 kode tog 103 sekunder
37
, mens en 512 bit med 155 decimalers kode i 2009 tog 73 dage at faktorisere
38
.
Den længste kode der er blevet faktoriseret har 232 decimaler
39
. Det tog 2000 CPU år at gøre dette
40
. Derfor
er RSA kryptering rimeligt sikkert når der bruges tilstrækkeligt store tal.
Positive konsekvenser af digitaliseringen
For mange folk er den øgede digitalisering, en måde at gøre hverdagen lettere. Skal man i kontakt med
kommunen eller i banken, kan man nu gøre det over nettet. Dette kan være en fordel, da man dels slipper
for lange køer og ventetider, og dels slipper for at skulle tænke på åbningstider. Det har desuden medført en
bedre kvalitet i det offentlige. Faktisk har 85% af myndighederne oplevet en bedre kvalitet eller service efter
påbegyndt brug af digitalisering
41
. Også i undervisningssammenhænge har den øgede digitalisering haft
indflydelse. Både i folkeskolen og hele vejen op i uddannelseskæden, er der kommet nye muligheder. I
folkeskolen gør digitaliseringen det muligt for lærerne at bruge fx lærerige spil i undervisningen, foruden
muligheden for nemmere at finde inspiration til god undervisning hos andre undervisere, og en lettere måde
at kommunikere med elevernes forældre. Går man længere op i uddannelseskæden, kan man se en
omfattende brug af IT, der bruges til alt fra søgning om informationer, til kommunikation, deling af noter og
til at holde styr på sit skema.
Et andet aspekt af digitaliseringen, er brugen af de sociale medier. Disse gør det nemmere at holde kontakten
med folk man ikke ser ofte, og gør det muligt, at møde folk over hele verden. Andre fordele involverer den
nemmere tilgængelighed til musik og film.
36
For at læse mere om disse angreb, se link under fodnote 15, dokument side 8: 4.2 og side 10: 4.4.
37
Information fra http://iamnirosh.blogspot.dk/2015/02/factoring-rsa-keys.html Hentet d.
38
Information fra http://lukenotricks.blogspot.se/2009/08/solo-desktop-factorization-of-rsa-512.html Hentet d. 26.
11. 2015
39
Information fra http://eprint.iacr.org/2010/006.pdf Hentet d.
40
CPU år er den tid en CPU bruger aktivt.
41
Tal fra http://www.dst.dk/da/presse/Pressemeddelelser/2012/digitalisering-giver-bedre-kvalitet Set d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
22
Negative konsekvenser af digitaliseringen
Desværre har digitaliseringen også bragt negative konsekvenser med sig. Et meget omdiskuteret eksempel
af slagsen, er problematikken omkring de ældre og IT. Dette afspejler sig især ved, at 41 procent af de 75-89
årige aldrig har været på internettet
42
. Siden den første november år 2014, skal alle kunne modtage post fra
det offentlige i digital form. Den eneste måde hvorpå man kan undgå dette, er personligt at møde op i
borgerservice, og søge dispensation. En anden negativ konsekvens af digitaliseringen, er den digitale
kriminalitet. Der er flere aspekter af dette. For det første kan man, især hvis man ikke er tilstrækkelig kritisk
og påpasselig med de handler man gør sig, komme ud for at blive snydt af svindlere. Fx findes der i dag mange
måder, hvorpå man kan købe og sælge ting privat på nettet. Problemet her ligger i, at det er svært at vide,
hvem man egentligt handler med. Dette er sider, som fx siden DBA
43
, der er Danmarks største formidler af
køb og salg mellem private. Her fører medierne ofte historier om folk som er blevet snydt, og enten har købt
varer der egentligt ikke eksisterede, eller har sendt en vare, og derefter aldrig modtaget betaling. Bare et
eksempel på et af de første tilfælde
44
, er ”Morten Brohammer”, der købte en telefon til 1700 kr. på DBA.
Selvom han havde korresponderet med manden over telefon, modtog han aldrig telefonen, og kunne
efterfølgende ikke komme i kontakt med manden. I forbindelse med en efterfølgende politiundersøgelse,
kom det frem at manden gennem to år, havde solgt den samme fiktive telefon til i omegnen af 100
mennesker. Dette er ikke et enkelttilfælde, og mange mennesker oplever dette. For at komme uden om dette
problem, kan man benytte betalingsmuligheder som PayPal, der giver den mulighed, at man kan få tilbageført
pengene, hvis man ikke har modtaget sin vare. Dette svarer til en bankindsigelse ved køb i online butikker.
Det er dog langt fra alle private sælgere der benytter sig af PayPal. Dette er blandt andet, fordi det koster
penge at benytte denne mulighed.
Et andet kriminalitetsproblem er problematikken omkring digital adgang til personlige oplysninger og banker.
I dag benytter en stor del af befolkningen sig af muligheden for at styre sin økonomi over nettet, den såkaldte
netbank. Dette kan også virke praktisk, men fordi internettet er forbundet, kan det også lade sig gøre at
komme til disse oplysninger over nettet. Dermed kan det lade sig gøre at få kontrol over en anden persons
netbank, og derefter stjæle penge fra denne. En metode man kan bruge til dette, er en såkaldt ”trojaner”
45
.
En trojaner fungerer på den måde, at man via internettet, får kontrol over en anden persons computer. En
42
Information fra http://www.aeldresagen.dk/aeldresagen-mener/aeldresagenmener/sider/digitalisering.aspx Set d.
43
Den blå avis
44
Information fra http://politiken.dk/forbrugogliv/ECE2126343/morten-blev-snydt-svindler-tjente-100000-kroner-
paa-at-saelge-en-fiktiv-telefon/ set d.
45
Information fra http://www.version2.dk/artikel/saadan-kan-hackerne-omgaa-nemids-hemmelige-gif-filer-til-
toemme-din-netbank-48204 hentet d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
23
sådan kan fx inficere computeren ved såkaldte ”drive by downloades”, hvor brugeren af computeren blot
skal besøge en inficeret hjemmeside, for selv at erhverve sig virussen. Når computeren så er inficeret, kan
den kriminelle lave et såkaldt ”man in the browser” angreb. Dette vil sige, at det for banken ser ud som om
transaktionerne sker fra brugerens egen computer. Et andet effektivt angreb, der bliver benyttet af
kriminelle, er et såkaldt ”phishing”
46
angreb. Her kommer brugeren til at gå ind på en hjemmeside, der er
identisk med den hjemmeside personen søgte efter. Herefter skriver personen sin adgangskode i det der
tilsyneladende er feltet, hvor man logger ind. Nu vil den IT kriminelle være i besiddelse af personens
adgangskode. Er den side personen prøver at logge sig ind på forbundet med Nem-ID, vil den kriminelle nu
forsøge at få fat i den nødvendige nøgle. Dette gøres ved, at den kriminelle først logger sig ind på fx personens
netbank. Nu får han så et billede op på sin skærm, hvor Nem-ID beder om en nøgle. Den kriminelle kan så
sende et billede af boksen med det nummer i som man skal finde den tilsvarende nøgle til. Det vil for brugeren
se ud som om denne logger på som helt normalt, og denne vil derfor i de fleste tilfælde skrive den
efterspurgte nøgle, hvorefter den kriminelle kan logge ind. Til sidst vil den kriminelle sende en fejlmeddelelse
til brugeren, og har nu fuld adgang til kontoen.
Asymmetrisk kryptering
Når man skal undersøge PKI systemet, er det oplagt, at se på fordelene og ulemperne ved den asymmetriske
kryptering. Ydermere er et vigtigt spørgsmål at stille ved digitaliseringen af den offentlige sektor, hvorvidt
borgerens grundlovssikrede rettighed til at kommunikere fortroligt, kan sikres udelukkende ved brug af RSA-
kryptering.
Hvis man skal kigge på den asymmetriske krypterings fordele og ulemper, kan man først kigge på den
asymmetriske kryptering i sig selv. En af de vigtigste ting af fokusere på her, er at denne, hvis man altså vælger
store nok primtal, er meget sikker. Det er stort set umuligt at faktorisere sig frem til den private nøgle, ved
hjælp af den offentlige nøgle. Ulempen her ligger dog i, at jo større primtal man vælger, jo længere tid tager
det at udføre hhv. krypteringen og dekrypteringen. Hvis man kigger på den symmetriske kryptering i kontrast
til den asymmetriske, vil denne dog, på trods af sin meget hurtigere kryptering, være utilstrækkelig ved
sikringen af privat kommunikation. Ved den symmetriske krypteringsform, er det nemlig nødvendigt at begge
parter i en kommunikation, har den samme nøgle. Dette ville altså betyde, at nøglen ville blive kendt af alle
der skulle kommunikere med den enkelte. Derfor ville disse kunne se, hvad alle andre har skrevet til den
enkelte, og jo flere der kender til nøglen, jo flere chancer er der for at uvedkommende får adgang til denne.
Alternativt, kunne man have forskellige nøgler, til alle man skulle kommunikere med. Dette er dog ekstremt
upraktisk, da man til sidst kunne ende op med rigtig mange nøgler. En af fordelene ved PKI systemet, er altså,
46
Information fra http://www.version2.dk/artikel/video-saadan-kan-nemid-hackes-32396 hentet d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
24
at man kan kommunikere sikkert med mange, ved hjælp af kun én nøgle. Dette vil altså sige, at selve systemet
i og for sig fungerer fint.
Det rigtige problem kommer først i forbindelse med den praktiske brug af systemet. Da man nemt kan få en
virus på sin computer, som fx den såkaldte Trojaner virus, eller kan blive offer for et af de såkaldte ”phishing”
angreb, foruden et hav af andre farer, kan man nemt få opsnappet sin nøgle. Når denne først er kendt, vil
den der kender til den, derfor have adgang til alt den kan dekryptere. Man kan selvfølgelig tage en masse
forholdsregler med sin computer, som fx antivirusprogrammer, og hvis man vil vide sig stort set sikker, en
platform udelukkende brugt til at få adgang til personlige dokumenter. Det er dog meget få i befolkningen,
der ville få dette gjort, så derfor vil borgerens grundlovssikrede rettighed til at kommunikere fortroligt, ikke
kunne sikres ved udelukkende brug af RSA-krypteringen.
Dette betyder dog ikke, at den asymmetriske krypteringsform ikke er anvendelig, når det handler om digital
sikkerhed. Denne er nemlig en vigtig del af Nem-ID systemet. Dette system er baseret på RSA-krypteringen,
men har andre aspekter, som i langt højere grad sikrer rettigheden til at kommunikere fortroligt. For det
første er nøglekortet manuelt. Dette vil altså sige, at det er umuligt, at hacke sig frem til dette. Ydermere er
nøglerne til engangsbrug, hvilket altså vil sige, at selv om en kriminel gennemfører et succesfuldt phishing
angreb, vil denne kun kunne bruge koden én gang, og altså kun få adgang til èt sted. Ydermere ville en
trojaner virus i mange situationer være nærmest ubrugelig, da man efterfølgende ikke kan bruge koden til
noget. Da mange i den rene asymmetriske krypterings form sandsynligvis ville vælge at skrive denne ned,
hvorefter en hacker muligvis ville kunne få adgang til denne, er dette derfor en fordel. Den største brist på
denne sikkerhed, ville være at nogen hackede serveren, hvor alle nøglerne befinder sig
47
.
Det kan altså konkluderes, at borgerens grundlovssikrede rettighed til at kommunikere fortroligt ikke
udelukkende kan sikres ved brug af RSA-kryptering i forbindelse med den asymmetriske kryptering, men at
denne er en uundværlig del af den nuværende løsning. Ydermere må man antage, at det regnes som relativt
sikkert at benytte den nuværende model, Nem-ID, da flere og flere institutioner vælger denne model.
Ydermere peger undersøgelserne i denne opgave på, at selv når sikkerheden i systemet bliver brudt, er
skaden minimal.
Kildekritik
Der er i opgaven hovedsagligt anvendt materiale, der er produceret af offentlige institutioner, uddannelses
institutioner, eller folk tilknyttet sådanne, alment anerkendte nyhedsbureauer eller alment kendte
47
Da jeg ikke er kompetent til at vurdere på sandsynligheden af dette, vil jeg ikke forsøge dette.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
25
organisationer. Dette taler for korrektheden af kilderne. Ydermere er den historie der i denne opgave bliver
behandlet, en relativt ny historie, og denne er meget relevant i samfundet i dag. Dette betyder dels at der er
mange forskellige kilder til rådighed, og dels at jeg inden undersøgelserne har haft en god fornemmelse for
hvordan tingene forholder sig. Da kilderne dels kommer fra kilder med høj troværdighed, og dels passer ind
i det helhedsbillede samfundet i dag giver, må det antages at disse kilder er troværdige. Ydermere er der
anvendt mange statistikker, samlet af blandt andet den danske statistikbank. Disse er med størst
sandsynlighed samlet objektivt, og er derfor også troværdige. Der er ingen af kilderne der som sådan ville
have nogen grund til at manipulere med sandheden.
Konklusion
Siden 90’erne er der sket meget inden for digital sikkerhed. I den første del af 90’erne, var der næsten ingen
danskere, der havde internet - kun 5 procent - men fra 1996 til 1999 steg andelen af danske familier med
internet med 30 procentpoint. Uden denne udvikling, ville der ingen grund have været til at udvikle systemer
til digital sikkerhed. Man kan ikke tale om udviklingen i digital sikkerhed i Danmark før 1999 i den i opgaven
behandlede del af denne, da denne først rigtigt begyndte i 1999. Her begyndte den danske stat på de første
pilotprojekter, der havde til formål, at begynde processen med at udvikle et digitalt certifikat, der skulle virke
som digital signatur. Digital signatur er en måde at sikre, at en person er den denne giver sig ud for at være
online, og er i dag lige så bindende som en signatur på papir. Med konkurrencerne identificerede staten nogle
hindringer i markedet, som man blev nødt til at blive taget højde for. Herefter valgte staten at udskrive en
projektkonkurrence, der havde til formål at nedbryde disse hindringer. Dette resulterede i sidste ende i, at
TDC i 2003 skrev kontrakt med staten, og dermed blev ansvarlig for at levere certifikater til befolkningen og
virksomhederne i Danmark. Med et certifikat kunne man digitalt bekræfte sin personlighed. Efter at TDC’s
kontrakt med det offentlige udløb i 2008, blev en ny virksomhed, Nets, ansvarlig for certifikaterne. De valgte
at udvikle et andet system, Nem-ID systemet. Dette blev lanceret i 2010. Dette system bygger på Public Key
kryptering, der går ud på at et nøglesæt med hhv. en offentlig nøgle og en privat nøgle, bruges til at kryptere
og dekryptere beskeder. Den offentlige nøgle som alle har adgang til, bruges til krypteringsdelen, mens den
private nøgle bruges til at dekryptere. Denne har kun den person nøglesættet er udstedt til adgang til. Disse
nøgler bliver i mange tilfælde, som ved bl.a. Nem-ID, dannet ved RSA kryptering. Her består den offentlige
nøgle af værdierne n og e, og den hemmelige nøgle består af værdien d. udregningen forgår på den måde,
at to primtal bliver valgt. Derefter udregnes n, der er de to primtal ganget sammen. Derefter udregnes Euler
til n, der er det ene primtal minus 1, gange det andet primtal minus 1. Herefter vælges e, der skal have en
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
26
værdi mellem 0 og Euler til n, og skal være indbyrdes primisk med Euler til n. Til sidst findes d ved at beregne
løsningen til e gange d modulo Euler til n. Dette er metoden nøglerne genereres på. Den tekst der skal
krypteres, inddeles herefter i blokke, der hver skal repræsentere et tal, der er mindre end n. Tallet hver blok
repræsenterer, findes ved at hvert tegn har en bestemt værdi der findes i en tabel. Værdierne af disse tegn
bliver stillet i forlængelse med hinanden, sådan at de står i rækkefølge efter de tegn de repræsenterer. Tallet
for hver blok bliver så krypteret, ved at udregne værdien af blokken i e’te potens modulo n. Dette giver
værdien c. For at dekryptere dette igen, tager man den krypterede værdi, c, og sættet i d’te potens modulo
n. Her er man så tilbage til værdien af blokken. Til sidst findes værdierne i tabellen, sådan at tallene passer,
og her kan klarteksten altså findes igen. Den talteori der ligger til grund for systemet, er altså regning med
rester(modulo), Eulers ϕ-funktion, største fælles divisor (indbyrdes primisk) og primtal.
Krypteringsformens sikkerhed bygger på, at der ikke endnu er lavet en algoritme, der kan primfaktorere tal.
Dette betyder i praksis, at det er nærmest umuligt at bryde krypteringen med den viden der er i dag. Derfor
er RSA systemet i sig selv sikkert i dag. Problemet i IT sikkerhed ligger andetsteds. Der er siden internettets
tilblivelse, blevet udarbejdet et række angreb, der gør at andre kan få kontrol over den computer man sidder
ved, eller på andre måder lokke et individ i en fælde, så individet kommer til at frigive fortrolige oplysninger
som fx koder. Disse angreb omfatter bl.a. det såkaldte Phishing angreb og Trojaner virussen. Den sidst nævnte
lader en anden part få kontrollen over selve computeren, lige meget hvor computeren befinder sig, gennem
internettet. Den førstnævnte lokker brugeren ind på en falsk hjemmeside, der ligner en officiel hjemmeside.
Her kan brugeren så skrive sin kode ind, hvorefter angriberen kan bruge koden på den rigtige hjemmeside.
Dette ville angriberen også kunne gøre med fx den private kode, hvorfor RSA kryptering ikke er sikker mere.
Derfor har Nem-ID en anden sikkerhedsforanstaltning. Foruden en kode til at låse op for indholdet på en
hjemmeside, har de også et såkaldt nøglekort. På dette er der 148 engangsnøgler, som man skal bruge for at
få adgang til indholdet af en side. Nøglekortet er udleveret i papirform, så dette kan man ikke tilkomme over
internettet. Disse sikkerhedsforanstaltninger gør trojaner virussen mindre anvendelig, da angriberen skal
sidde ved sin computer og overvåge ens handlinger, mens man er i gang, mens phishing angrebet stadig i høj
grad er anvendeligt, da en potentiel angriber jo ikke går efter en bestemt person, men bare kan se alle koder,
der bliver forsøgt skrevet ind. Dog gør engangsnøglerne at angriberen kun kan få adgang til én konto én gang.
Med den øgede digitalisering de sidste årtier, har der fulgt en masse fordele men også en del ulemper. For
det første har digitaliseringen bragt en masse nye muligheder for undervisning i skolerne. Desuden har det
gjort det lettere for skolerne at komme i kontakt med forældrene. En af de meget mærkbare forskelle i
Danmark, digitaliseringen har bragt med sig, er en lettere kontakt med det offentlige, såvel som netbank.
Disse aspekter er meget tidsbesparende, da man slipper for lange køer, og for fysisk at skulle bevæge sig ned
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
27
til institutionen, og især her har den digitale signatur været en afgørende faktor. Uden en eller anden form
for sikkerhed og verificering, ville det jo være absurd at digitalisere disse områder, da dette jo ville bringe
borgerens privatliv, og økonomiske sikkerhed, i fare.
Når det kommer til spørgsmålet om borgerens grundlovssikrede rettighed til at kommunikere fortroligt, kan
sikres ved udelukkende brug af RSA kryptering i forbindelse med Public Key systemet, er svaret nej. Dette er
ikke på grund af at krypteringsformen i sig selv er usikker, men på grund af de mange slags angreb der i dag
eksisterer. Som funktion af angrebene, er RSA krypteringen altså ikke nok til at holde informationen sikker.
Dette har Nets dog taget højde for med Nem-ID, og dermed er oplysningerne forholdsvis sikre. Den eneste
rigtige ulempe ved den asymmetriske krypteringsform, RSA kryptering, er at den kræver meget
databehandling, og dermed bliver udført relativt langsomt.
Kryptering er en essentiel del af den digitale sikkerhed i dag, og sørger for, at man med størst mulig sikkerhed,
kan kommunikere over internettet. Den digitale sikkerhed har derfor haft afgørende betydning, for de
muligheder digitaliseringen har bragt med sig.
Perspektivering
Krypteringsalgoritmer er i dag en meget vigtig del af at holde informationer personlige. Kryptering er dog
langt fra et nyt koncept, men tilfælde kan findes langt tilbage i historien. Forskellen på den tidlige kryptering
og den nuværende, er dog væsentlig. Ser man fx tilbage på Cæsaralgoritmen, er denne meget simplere.
Denne bestod af at man tog alle bogstaver, og rykkede dem x antal pladser længere hen i alfabetet. Ser man
på en mere kompliceret tidlig algoritme, kan man fremhæve Vigenèrealgoritmen, der i flere århundreder
blev anset for at være ubrydelig. Den blev udviklet af den franske diplomat, Blaise de Vigenère, og forgår på
den måde, at et ord vælges som nøgle, og hvert bogstav i denne nøgle, bruges skiftevis til at vælge en
substitutionstabel. Disse svarer til dem benyttet i en cæsartabel. Springer man igen lidt frem i tiden, kan man
kigge på Enigma. Denne er en krypteringsmaskine, der også blev anset for at være ubrydelig. Fælles for alle
tre systemer er dog, at de alle relativt let kan brydes med en frekvensanalyse. Derfor er disse langt fra
anvendelige i dag, og med den nutidige teknologi, ville det være hurtigt, at bryde kodningen. Frekvensanalyse
kan dog ikke benyttes ved RSA krypteringen, med mindre klarteksten, som i eksemplet i denne opgave, hvor
klarteksten er inddelt i blokke med kun et bogstav. Tallene bliver meget forskellige, alt efter hvilke bogstaver
blokkene består af, og det er derfor ikke muligt at se hvor mange fx e’er der er i en tekst.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
28
I en lille kommentar til selve SRP opgaven, kunne man jo forestille sig, at den digitale del af afleveringen, på
et tidspunkt skulle underskrives, med en form for digital signatur. Dette ville også være passende for denne
opgave.
Litteraturliste
Bøger:
Landrock, Peter, m.fk. Kryptologi - fra viden til videnskab. 1. udgave 1. oplag 1997 Forlaget ABACUS
Riber, Peter, Kryptering, 2. udgave, 2012, Systime A/S
Hjemmesider:
Primært matematik
http://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/RSA.pdf set d.
http://www.computerhistory.org/fellowawards/hall/bios/Whitfield,Diffie/ set d.
http://www.dst.dk/Site/Dst/Udgivelser/GetPubFile.aspx?id=18686&sid=itbef side 8 figur 2. Set d.
http://www.statistikbanken.dk/statbank5a/default.asp?w=1920 Set d.
http://www.computerdk.com/Networking/network-security/75678.html. Hentet d.
http://www.au.dk/fileadmin/site_files/science.au.dk/files/CSE/Media/Udvalgt_til_Uni/2._generati
on/Moeder/Faglige_grupper/Lektier.pdf . Hentet d.
Information fra http://iamnirosh.blogspot.dk/2015/02/factoring-rsa-keys.html Hentet d. 26. 11.
2015
http://www.dst.dk/da/presse/Pressemeddelelser/2012/digitalisering-giver-bedre-
kvalitet Set d.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
29
Primært historie
http://www.version2.dk/artikel/video-saadan-kan-nemid-hackes-32396 hentet d.
http://www.version2.dk/artikel/saadan-kan-hackerne-omgaa-nemids-hemmelige-gif-filer-til-
toemme-din-netbank-48204 hentet d.
http://politiken.dk/forbrugogliv/ECE2126343/morten-blev-snydt-svindler-tjente-100000-kroner-
paa-at-saelge-en-fiktiv-telefon/ set d.
http://www.aeldresagen.dk/aeldresagen-mener/aeldresagenmener/sider/digitalisering.aspx Set d.
http://eprint.iacr.org/2010/006.pdf Hentet d.
http://lukenotricks.blogspot.se/2009/08/solo-desktop-factorization-of-rsa-512.html Hentet d. 26.
11. 2015
http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=digitalisering Set d.
http://www.msri.org/people/members/sara/articles/rsa.pdf Set d.
http://www.digst.dk/Loesninger-og-infrastruktur/NemID/Historisk-overblik Set d.
http://politiken.dk/forbrugogliv/digitalt/ECE1961106/her-er-hele-historien-om-internettet-og-
world-wide-web/ Set d.
http://www.nytimes.com/library/cyber/week/122497encrypt.html Set d.
http://www.asciitable.com/index/asciifull.gif set d. 24/11./2015
https://crypto.stanford.edu/~dabo/papers/RSA-survey.pdf Hentet d.
Ved www.nemid.nu er der brugt flere sider. De enkelte vil være vist herunder:
https://www.nemid.nu/dk-da/om_nemid/sikkerhed/teknikken_bag_nemid/ Set d.
https://www.nemid.nu/dk-da/digital_signatur/hvad_er_en_digital_signatur/ set d.
https://www.nemid.nu/dk-da/om_nemid/her_kan_du_bruge_nemid/ for den fulde liste. Set d. 30.
11. 2015.
Studieretningsprojekt
Sønderborg statsskole Matematik A, Historie A Kryptering - Udvikling i digital sikkerhed
30
https://www.nemid.nu/dk-da/digital_signatur/historien_om_digital_signatur/ Set d.
https://www.nemid.nu/dk-da/om_nemid/hvad_er_nemid/oeget_sikkerhed/ Set d.
Billeder:
https://www.nemid.nu/dk-da/_shared/images/log-in_1.jpg . Set d.
https://www.nemid.nu/dk-da/_shared/images/Nets_nemid_noegleviser.png. Set d. 30. 11.
Forsidebillede hentet ved http://digitalbevaring.dk/wp-
content/uploads/2013/01/Historie_History_Digitization-560x326.png d.