Uendelighed og mængdelære
Studieretningsprojekt 2013
07/03/19 Side 2 af 25
Abstract
Inside the great world of mathematics you will find many great minds each giving huge
contributions to the development of the very base that mathematics are founded on. Even today
it is affecting our everyday life. No computers, iPads, mobile phones etc. would work if not these
great minds had developed the algorithms, which every modern technology builds on.
This project examines the features of infinity within mathematics using the set theory, paradoxes,
infinite series and cardinality. The project is divided into three parts: a technical mathematical
part, a popular science article of which the target group are the readers of Weekendavisen and at
last a part where I debate my considerations about the contents of the article. The mathematical
part explores areas such as the set theory including the mathematician Georg Cantor’s work with
the natural-, real-, and rational numbers, Zenons paradoxes and the infinite series including the
Taylor series and cardinality covering both finite and infinite sets.
The article is my way of transforming the technical mathematic theories, allowing non-
mathematicians to understand the meaning of the set theory and Zenons paradox “Achilles and
the Tortoise”. The debate of my considerations is based on the purpose of the article, the
translation from the mathematic language to an understandable language and the type of person
who reads Weekendavisen. Based on this project and my investigations I can conclude that there
are to types of infinity, the infinity of the natural numbers and the real numbers. Through
mathematical demonstrations I have shown that the cardinality of the real numbers are bigger
than the cardinality of the natural numbers. Through the debate the project shows that one have
to put a lot thoughts into the making a popular science article, one shall think about layout, type
of words and one have to be able to write an article within the limits of the target group.
07/03/19 Side 3 af 25
Indholdsfortegnelse
Indledning………………………………………………………………………………………………………………………………....... 4
Uendelighed…………………………………………………………………………………………………………………………………. 5
Matematikkens paradokser………………………………………………………………………………………………………… 12
Uendelighedens verden……………………………………………………………………………………………………………… 16
Meta-afsnit…………………………………………………………………………………………………………………………………. 20
Konklusion………………………………………………………………………………………………………………………………….. 24
Litteraturliste……………………………………………………………………………………………………………………………… 25
Bilag 1…………………………………………………………………………………………………………………………………………… 27
Bilag 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 28
07/03/19 Side 4 af 25
Indledning
Uendelighed er meget bredt og for nogle utrolig abstrakt begreb, der kan være svært at forstå. I
dette studieretningsprojekt vil jeg søge at gøre dette abstrakte begreb mere håndgribeligt. Dette
vil jeg gøre ved en gennemgang af forskellige matematikfaglige betydninger af begrebet
uendelighed. Jeg vil også fokusere på resultater, der umiddelbart kan virke som paradokser.
Ligeledes vil jeg gennemgå begrebet kardinaltal for både endelig og uendelig mængder. Yderligere
vil jeg bevise eksistensen af ikke-rationale tal, samt bevise eksistensen af mængder med
overtælleligt mange elementer. Med udgangspunkt i ovenstående vil jeg udarbejde en
populærvidenskabelig artikel, der har til formål at formidle svært tilgængeligt stof til den typiske
læser af ”Weekendavisen”. Afslutningsvis vil jeg reflektere over mine overvejelser, i forhold til
artiklen, i et meta-danskfagligt afsnit.
07/03/19 Side 5 af 25
Uendelighed
For at kunne forstå uendelighed, bliver man nødt til først at kunne forstå mængdelæren. Det var
George Cantor, der definerede de første begreber i mængdelæren. En mængde defineres ved en
samling af vilkårlige, forskellige objekter. Disse objekter kaldes for elementer, hvis de altså findes
i en pågældende mængde. Mængderne bliver betegnet med store latinske bogstaver og
elementerne bliver betegnet med små latinske bogstaver. Dette bliver dog ikke altid overholdt da
nogle mængders elementer, kan være andre mængder
1
.
I stedet for at skrive med ord at elementet a tilhører mængden A kan man skrive det med tegn,
dette ser således ud . Hvis jeg kalder en mængde for , kan jeg skrive at 3 er
et element, der tilhører mængden A, ved at skrive og jeg kan skrive at 6 ikke tilhører A ved
at skrive
2
. På figur 1 kan man se, hvordan elementet a er en del af mængden A, hvorimod
elementet b ikke er en del af mængden A.
Hvis elementerne i en mængde A også er elementer i mængden B, siger man at A er en
delmængde af B og dette kan skrives således eller , hvor man kan se at mængden A
er en del af mængden B. Dette er illustreret på figur 2. Relationen mellem disse mængder kaldes
inklusion og tegnene og kaldes for inklusions tegn
3
.
Indenfor matematikken arbejder man med nogle grundlæggende mængder. De fire som jeg vil
arbejde med, kaldes de naturlig tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal.
Mængden N består af alle de naturlig tal og indeholder elementer, som består af alle de positive,
hele tal, altså .
Mængden Z består af alle de hele tal og indeholder elementerne, som består af alle de hele tal,
både positive og negative, altså .
Mængden Q består af alle de rationale tal og indeholder alle
de tal der kan skrives som en brøk, , hvor p og q ligger i Z.
1
Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. Side 12.
2
http://da.wikibooks.org/wiki/Matematik_A/Tal_og_mængder
3
Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. Side 14.
Figur 3. Eget arbejde.
07/03/19 Side 6 af 25
Disse tal kan både være endelige eller periodiske decimal tal.
Mængden R består af alle de reelle tal og indeholder alle tal på tallinjen. Altså både de rationale og
de ikke-rationale.
Figur 3, viser hvordan mængden N er en delmængde af Z, som er en delmængde af Q, som så til
sidst er en delmængde af R.
Alle de endelige og periodiske decimal tal kan skrives som , og derfor ligger de i mængden af de
rationale tal. Jeg vil nu bevise dette, ved at vise, at et vilkårligt periodiske decimal tal kan
omskrives til en brøk.
Jeg starter med at definere .
Herefter ganger jeg x med det antal cifre der er i perioden, det vil sige 5 i mit tilfælde, og får
. Perioden er markeret med en streg over cifrene.
Herefter trækker jeg x fra på begge sider af lighedstegnet
Herefter dividere jeg med 99999 på begge sider af lighedstegnet for at isolere x
Man kan allerede se nu at mit decimal kan skrives som en brøk, jeg vil nu se om det kan forkortes
yderligere
Jeg har med dette bevis, vist at et vilkårligt periodisk decimal tal, kan skrives som en brøk og
dermed hører de til i mængden af de rationale tal.
Mængden af de reelle tal indeholder alle de rationale tal og de ikke-rationale, såsom
, og .
Grunden til at disse tre tal ikke er rationale, er fordi de ikke er periodiske decimal tal. Da disse tal
ikke er periodiske kan de ikke skrive som en brøk, hvilket gør at mængden af de reelle tal er ikke-
tællelig. Jeg vil nu, ved hjælp af opgave 2 i bilag 1, bevise eksistensen af ikke-rationale tal.
Jeg starter med gå ud fra sætningen:
07/03/19 Side 7 af 25
er ikke et rationelt tal og er forkortelig.
Et rationelt tal er et tal der kan skrive som en brøk. Enten som en endelig decimal brøk, såsom
og , som indeholder et endeligt antal cifre efter kommaet
4
, eller som en
periodisk decimal brøk, såsom
eller . Disse to brøker har
henholdsvis en periodelængde på 3 og 6, da perioden består af 3 og 6 cifre
5
.
Jeg vil nu bevise det modsatte af sætningen ovenfor, ved et modstridsbevis. Så jeg antager at
er et rationelt tal og at brøken er ikke-forkortelig.
Eftersom at jeg har antaget at er et rationelt tal og dermed kan skrives som en brøk, kan jeg
skrive det således
Jeg kvadrerer nu på begge sider af lighedstegnet og får . Det kan skrives om til ,
da for enhver brøk og naturlig tal n, gælder at
6
.
Heraf følger at , hvilket betyder at er et lige tal og dermed er p også et lige tal, da
kvadratroden af et ulige tal altid vil være et ulige tal.
Jeg kan derfor skrive at , hvor .
Dette fundne p, kan jeg nu sætte ind i formlen ovenfor og jeg får og dette kan
regnes om til .
Herefter dividerer jeg med 2 på begge sider af lighedstegnet for at isolere q
2
, således
, og det giver , hvilket betyder at q
2
også er et lige tal og dermed er q også
et lige tal. Både p og q er lige tal, og det vil sige at brøken forkortelig, da den kan i hvert fald
4
http://mata1stx.systime.dk/index.php?id=130
5
Ibid.,
6
https://www.matematikk.org/artikkel.html?tid=67857
07/03/19 Side 8 af 25
forkortes med 2. Jeg er hermed nået frem til en modstrid, da min antagelse, om at var et
rationelt tal, må være falsk. Det vil sige at er et irrationelt tal, og dermed har jeg bevist at der
findes tal, der ikke er rationale.
Figur 4. http://www.buhlweb.dk/matwiki/index.php?n=MatematikB.Kvadratrod2
Man kan også vælge at kigge på
geometrisk, og her kan man sige at er hypotenusen i en
retvinklet trekant, hvor begge kateter har længden 1. Dette er illustreret på figur 4. Fordi at er
irrational, betyder det at der ikke findes nogen måleenhed, der kan bruges til at angive
hypotenusen og kateterne. Altså kateterne kan selvfølgelig måles i mange forskellige
måleenheder, det kunne f.eks. være og eftersom at kateterne er 1, kan de angives som
. Men eftersom at er irrational, og dermed ikke kan skrives som en brøk, kan man
ikke angive længden af hypotenusen som eller som nogen som helst anden måleenhed
7
.
En af de centrale ideer i Cantors arbejde, var ideen om begrebet mægtighed og kardinaltal af
uendelige mængder. Han sagde: ”Hvis der findes en éntydig afbildning , der til ethvert element i én
uendelig mængde tilordner ét og kun ét element i en anden, siges de to mængder at have samme
kardinalitet.”
8
Den eneste måde hvorpå man kan beslutte om to mængder har det samme
kardinaltal er ved at kigge på elementerne i mængden, og derefter beslutte mægtigheden og
kardinaltallet. Denne definition gjorde det muligt for Cantor at undersøge om to uendelig
mængder er lige mægtige eller om den ene er mere mægtig end den anden. Overraskende nok
beviste han, ved hjælp af denne definition, at mængden af de rationale tal har sammen
mægtighed som mængden af de hele tal. Og hvorfor er det overraskende? Det overraskende er at
de hele tal er en ægte delmængde af de rationale tal. Altså kan alle hele tal skrives som en brøk
med 1 i nævneren, men det er ikke alle brøker der er ikke lig med hele tal
9
.
7
http://www.buhlweb.dk/matwiki/index.php?n=MatematikB.Kvadratrod2
8
Naturvidenskab : Det mekanistiske verdensbillede. (2008). Side
9
Naturvidenskab : Det mekanistiske verdensbillede. (2008). Side
07/03/19 Side 9 af 25
Enhver mængde, der har samme mægtighed som de hele tal kaldes tællelig, fordi mængdens
elementer kan nummereres med de hele tal. Cantor beviste også at mængden af alle de reelle tal
ikke er tællelige og dermed har denne mængde en større mægtighed end de rationale tal. Altså er
de reelle tal overtællelige, da de reelle tal ikke kan sammenparres med noget afsnit af de naturlige
tal.
Dette vil jeg bevise ved at løse opgave 1 i bilag 1. Jeg vil vise at mængden af de reelle tal har
overtælleligt mange elementer, og det vil jeg gøre ved at bevise at mængden indeholder
flere elementer end de naturlige tal. Alle tal i mængden kan skrives som et decimal tal, fx
, hvor decimalerne er naturlige tal. Dette decimal tal kan enten være endeligt
periodisk eller ikke-periodisk.
Jeg vil nu bevise at ikke kan skrives som en følge. For at den kan skrives som en følge kræver
det at den er tællelig
10
: ”En uendelig mængde A kan sammenparres med mængden N af naturlige
tal, hvis og kun hvis den kan opstilles i en følge”
11
. Det vil jeg bevise, ved at vise, at lige meget
hvilken følge jeg udvælger af mængde , så vil det altid være et tal, det kalder
jeg , som tilhører mængden , som ikke er med i følgen.
Jeg starter med at lave 4 forskellige følger, kalder
Og de kan f.eks. være disse decimal tal
Jeg vil nu lave følgen
, og for at lave den, tager jeg det første cifre efter kommaet i , det andet
ciffer efter kommaet i
, det tredje ciffer efter kommaet i og så fremdeles og får dette tal
10
Mejlbo Lars. (1991). Uendelighedens paradokser. Side 54-55.
11
Mejlbo Lars. (1991). Uendelighedens paradokser. Side 40.
07/03/19 Side 10 af 25
Dette kaldes diagonalelementet. Jeg vil nu foretage en transformation, hvor jeg lader svarer til
, så at , hvis , mens at , hvis at , og jeg danner hermed
Og mit eksempel ser dette tal således ud
Jeg kan nu bevise at dette tal ikke er i følgen , da ikke kan være , fordi ,
som er det først i . kan heller ikke være en del af , da , som er det andet i .
Jeg har hermed bevist at ikke ligger i følgen, men tilhører jo , så det vil sige at
ikke kan skrives op i en følge, og dermed må de rationelle tal have overtælleligt mange elementer,
da de ikke kan sammenparres med de naturlige tal.
Det antal elementer, hver mængde indeholder, kaldes for mængdens kardinaltal. Enhver mængde
kan kun være endelig, hvis den er ækvivalent med et afsnit af N, og hvis den ikke er det, er
mængden uendelig. At noget er ækvivalent med noget andet betyder at deres mægtighed er lige
stor. Ækvivalensen kan f.eks. vises ved dette simple eksempel:
Hvis jeg siger at der er 3 elementer i mængden , så mener jeg at der ligeså mange
elementer som i mængden og dermed kan jeg sige at P er ækvivalent med denne
mængde. Ækvivalensen kan påvises således , , . Den definerede
afbildning af f er en entydig afbildning af P på .
Det kunne være smart hvis vi havde en betegnelse for mængder af samme type som . Vi
kan starter med at lave denne definition: ”Hvis der om en mængde A gælder, at den er ækvivalent
med afsnittet N
n
, kaldes den en endelig mængde; tallet n kaldes mængdens kardinaltal (eller
mægtighed) og man skriver ”
12
Mængden N
n
er defineret ved at n er et vilkårligt
naturligt tal eller 0.
I det eksempel jeg brugte ovenfor kan man se at mængden er ækvivalent med N
3
og
den er derfor endelig og har kardinaltallet 3, altså .
12
Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. Side 57.
07/03/19 Side 11 af 25
Betyder det så at de uendelig mængder ikke har noget kardinaltal? Nej, de har skam også et
kardinaltal, men hvordan kan man tælle elementerne hvis de er uendelige? Det kardinaltal disse
uendelige mængder har, kaldes det transfinite kardinaltal. Vi ved fra før, at N er uendelig og det
samme er Q, så disse to har det samme transfinite kardinaltal og eftersom at Q kan sammenparres
med N, er Q tællelig. Dette betyder at der er lige mange elementer i N og Q. Der er altså på den
måde ikke flere tal i Q end i N, selvom vi jo ved at der ligger tal i Q, som ikke ligger i N, f.eks. .
Derimod kan N og R ikke sammenparres og dermed er R overtællelig og har derfor et større
kardinaltal end både N og Q.
For at kunne forstå og beskrive et så diffust begreb som uendelig, bliver man nødt til at have et
”sprog” eller nogle ”bygge klodser”, der kan gøre det mere håndgribeligt. Her er mængdelæren
det værktøj, der kan bruges. Mængdelæren bygger på tanken om 6 grundlæggende mængder,
ovenfor er der beskrevet 4, og de 2 sidste er de komplekse tal og den tomme mængde. Ud fra de
principper der gælder for disse mængder, kan man bestemme en endelighed eller en uendelighed.
F.eks. kan en mængde beskrives som værende endelig, hvis den er ækvivalent, med et afsnit af N,
hvilket betyder at elementerne i mængden kan sammenparres med elementerne i afsnittet af N.
Derimod er en mængde uendelig, hvis elementerne i mængden ikke kan sammenparres, med
elementerne i N. Typisk siger man at periodiske decimal tal, det vil sige et decimal tal, hvor den
samme sekvens af cifre går igen efter kommaet, er uendelige. Hvorimod et decimal tal, hvor der er
et fast antal cifre efter kommaet, siges at være endeligt.
Videre gælder det for mængderne, at deres størrelser, kan beskrives via begrebet kardinaltal.
Kardinaltallet bekskriver, hvor mange elementer der er i en given mængde. For endelige mængder
gælder det at kardinaltallet skal være ækvivalent med et afsnit af N. De uendelige mængder har et
kardinaltal, der kaldes transfinit, da det er umuligt at tælle elementerne i disse mængder.
Matematiske paradokser
De første tanker om uendelighed startede i det Gamle Grækenland, hvor alle de store filosoffer og
matematikere levede. I Ionien lå byen Miletos og her var der en elev, ved navn Anaximandros (ca.
610 f.kr – ca. 545 f.kr) , der ikke kunne acceptere at hans lære, Thales (ca. 624 f.kr – ca. 545 f.kr),
07/03/19 Side 12 af 25
mente at vand var grundbestanden og det samlede princip for alt. Da han heller ikke kunne
acceptere at det skulle være et allerede eksisterende stof, kom han op med princippet apeiron.
Dette græske ord betyder uendelighed eller ubestemt
13
. I Elea, en græsk koloni i Syditalien, gik
Zenon rundt og filosoferede over nogle af de paradokser, der stadig, den dag i dag, bliver godt og
grundigt diskuteret. Zenon har fremsat over 40 forskellige paradokser. Det vi i dag kender som
Zenons paradokser er fire udsagn, der er givet videre af Aristoteles. Disse paradokser har til formål
at vise bevægelsens umulighed, og de falder i to grupper med to i hver. Den ene gruppe har
forudsætningerne at tiden og rummet er diskret, og den anden har forudsætningerne at tiden og
rummet er uendeligt deleligt. Det paradoks jeg vil gå i dybden med hedder ”Achilleus og
skildpadden” og det hører til i den gruppe, hvor tiden og rummet er uendeligt deleligt.
Dette paradoks handler om hvordan den rapfodede Achilleus ikke kan overhale den langsomme
skildpadde i et væddeløb, hvis skildpadden har et forspring. Fordi hvis skildpadden har et
forspring, så skal Achilleus først nå hen til der, hvor skildpadden startede fra og når han er nået
der, er skildpadden nået lidt længere. Nu skal Achilleus så nå derhen hvor skildpadden er nu, og
når han er kommet der, er skildpadden kommet lidt længere og så fremdeles. Achilleus ville altså
kun kunne overhale skildpadden ved at nå uendeligt mange steder på en endelig tid, og dette er
antget umuligt
14
.
Hvis en given tilstand skal bevæge sig fra punktet A til punktet B, så skal genstanden først
halvdelen af vejen mellem A og B, det vil sige . Men for at kunne tilbagelægge den afstand
skal genstanden først tilbagelægge halvdelen af , altså . Men for at kunne tilbagelægge
, skal genstanden først tilbagelægge halvdelen , altså og så fremdeles. Denne
opdeling kan fortsætte ud i det uendeligt, fordi man altid kan finde halvdelen.
Konklusionen på dette er at genstanden aldrig kan begynde at bevæge sig fra A til B, da den må
skulle tilbagelægge uendeligt antal afstanden på endeligt tid, og dette er umuligt
15
.
13
Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. Side 1.3-1.4
14
Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. Side 1.19-1.21
15
http://matematikfilosofi.ruc.dk/slides04_raekker.pdf
07/03/19 Side 13 af 25
Paradokset om Achilleus og skildpadden kan dog reddes, når man konstaterer at en uendelig
række kan have en endelig sum, nemlig afstanden fra A til B. I dette tilfælde kunne det være, hvis
Achilleus f.eks. løber 10 gange hurtigere end skildpadden, skildpadden har et forspring på 1 km og
den går 1 km i timen, så ville Achilleus overhale skildpadden efter
time
16
.
Det vil sige at ligegyldigt, hvor mange afstanden Achilleus skal tilbagelægge, vil han på et givent
tidspunkt alligevel overhale skildpadden.
Disse uendelige rækker kan præciseres yderligere ved hjælp af et begreb der hedder
Taylorpolynomier. Disse polynomier kan bruges til at beregne tilnærmelser af funktionsværdier.
Definitionen af et Taylorpolynomium
17
. Og dette kaldes for
Taylorpolynomiet af n’te orden for funktionen f med udviklingspunkt i x
0
. Den naturlig
eksponentiel funktion, , har et Taylorpolynomium med en meget simpel struktur . Funktionen
er vilkårligt ofte differentiabel med . Her ser vi at alle de
afledede af har en funktionsværdi på 1, ved , så derfor må Taylorpolynomiet af n’te orden
med udviklingspunk i 0 være
Man kan nu se, at dette er blevet til en uendelig række.
16
Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. Side 1.22
17
Hebsgaard, T m.fl. (1990). Matematik højniveau 2 (1. Udg.) Side 95.
07/03/19 Side 14 af 25
Den eksponentielle funktion er også givet ved og her kan man se at den
er skrevet op som en uendelig række, og denne række kaldes for Taylorrækken, med
udviklingspunkt i for . Dette kaldes også for rækkeudviklingen for . Meningen med
denne række er at jo flere led man sætter på, på højre side, jo tættere kan man komme på
funktionen . Man siger derfor, at den uendelige række er konvergent med sum
18
.
Derfor ville det være fristende at sige at den uendelige række fra før, bare er et polynomium af
”uendelig høj grad”, men man skal passe på hvis man begynder at regne med uendelig rækker,
som man regner med polynomier, da der kan komme nogle mærkelig ting ud af det. Jeg vil forsøge
at regne med de uendelig rækker, som man regner med funktioner.
Jeg opskriver denne uendelig række .
Ved at gange med x på begge sider af lighedstegnet får jeg
Jeg trækker nu fra på begge sider af lighedstegnet, og hermed forsvinder alle leddene på
højre bortset fra 1, og jeg får
Ved at sætte x udenfor parentesen får jeg
Og herefter dividere jeg med på begge sider af lighedstegnet og får
Hvis mine udregninger er korrekte så skulle det gælde at
Men dette gælder dog kun, hvis . Hvis man begyndte at regne med de , ville der komme
nogle underlige ting ud af det, og derfor kan det være farligt at regne med uendelige rækker som
man regner med funktioner
19
. Da man ikke altid ved, hvilke x de gælder for.
18
Hebsgaard, T m.fl. (1990). Matematik højniveau 2 (1. Udg.) Side 101-102.
19
Hebsgaard, T m.fl. (1990). Matematik højniveau 2 (1. Udg.) Side 102.
07/03/19 Side 15 af 25
Lige siden matematikkens barndom har man til alle tider forsøgt at beskrive, den verden man så
via regler og definitioner. Til trods for at disse regler og definitioner, når de står alene, er korrekte
og uantastelige, kan der opstå der modsætninger og paradokser, når de stilles op mod andre
regler og definitioner. I eksemplet med ”Achilleus og skildpadden” har vi uendelig mange halve
distancer, der gør at Achilleus i princippet aldrig kan komme i gang. Men ved hjælp af
Taylorpolynomierne og reglen om at uendelige rækker kan have en endelig sum, bliver tanken om
uendelighed stoppet, da summen af distancerne aldrig kan overstige afstanden mellem punkterne
A og B.
Uendelighedens verden
Af CECILE IBSEN
Kan man virkelig bestemme uendelighed? Matematikerne Georg Cantor og David Hilbert
gjorde et forsøg, ved hjælp af en yderst kreativ tankegang og nogle lignelser som selv
almindelige dødelige kan forstå.
eorg Cantor var en tysk matematiker, der beskæftigede sig med det, der kaldes for
mængdelæren, se fakta boks. Denne lære bliver man nødt til at kunne forstå, for at
kunne arbejde med et så diffust begreb som
uendelig. Mængdelæren kan, sammen med logik, siges at
være grundstenen i al moderne matematik. Mængdelæren
beskæftiger sig med mængderne og deres elementer, men
også med uendelig og endelig mængder. Mængder består at
forskellige objekter, der kaldes for elementer. Man kan se på
det som småkager i en skål. Skålen repræsentere hele
mængden, mens hver enkelt småkage repræsenterer et
element.
For at kunne bestemme om en mængde, af f.eks. småkagerne, er endelig eller uendelig, skal
elementerne kunne sammenparres med de naturlige tal. Altså hvis vi siger at der er 10 småkager i
Fire af de mængder som
mængdelæren arbejder med
kaldes:
De naturlige tal (N): 1,2,3,4,…
De hele tal (Z): …-2,-1,0,1,2…
De rationale ta (Q): Alle de tal
der kan skrives om en brøk.
De reelle tal (R): Alle tal på
tallinjen.
G
07/03/19 Side 16 af 25
skålen, så kan vi stille dem op på en række fra 1 til 10. Hermed har vi bestemt at denne mængde
er endelig.
David Hilbert opfandt en anden måde at forklare dette på. Det gjorde han ved hjælp af det
magiske Hilberts hotel
Hilberts Hotel er et hotel med uendelig mange værelser, og disse værelser er nummereret med
tallene 1, 2, 3, 4,…. Det magiske ved dette hotel er, at selvom der er fuldt hus, vil der altid være
plads til flere gæster. Alle gæsterne sover naturligvis på enkeltværelse.
Så lad os tage et eksempel. Hvad gør receptionisten hvis der kommer en ny gæst der mangler et
værelse? Han tager det helt rolig. Han laver et ’allekald’ og beder gæsten i værelse nr. 1 om at
flytte til værelse nr. 2, gæsten i værelse nr. 2 om at flytte til værelse nr. 3 og så fremdeles. Det vil
sige at nu er værelse nr. 1 ledigt og her kan den nye gæst flytte ind. Nu sover alle roligt.
For at alting kan forløbe stille og roligt – og hurtigt – skal gæsterne være meget fredsommelige,
men også hurtigere end lyset, hvilket også gælder for receptionisten. Så derfor ligger Hilberts
Hotel ikke i vores verden, men i en parallel verden, kaldet Nisseland, hvor alting foregår hurtigere
end lyset.
Vi prøver med et nyt eksempel, hvor vi presser receptionisten lidt mere. Hvad gør han, hvis der
pludselig dukker et rejseselskab op med uendelig mange deltagere, som navngives a, b, c, d,…?
Hvordan kan de alle sammen få et alene værelse? Det er slet ikke noget problem for den snedige
receptionist. Han flytter blot gæsten i værelse nr. 1 til værelse nr. 2, gæsten i værelse nr. 2 til
værelse nr. 4, gæsten i værelse nr. 3 til værelse nr. 6 og så fremdeles. Det er her hurtigheden
spiller ind. Det kan godt være at gæsten i værelse nr. 1 ikke har noget problem med at skulle over i
værelse nr. 2, men gæsten i værelse nr. 1111 kunne bruge flere måneder på at komme hen til
værelse nr. 2222, hvis ikke han var hurtigere end lyset. Nu har alle de før nævnte, så sødt sovende
gæster fået et nyt værelse, hvor de kan sove videre, mens alle de nye gæster kan komme til at
sove i værelserne med de ulige numre. De ulige numre bliver ledige, da alle tal automatisk bliver
lige, når de bliver ganget med 2.
Lige pludselig ankommer der uendelige mange rejseselskaber, hver med uendelig mange gæster,
der igen kan navngives med a, b, c ,d…. Dette er et meget alvorligt problem, og vi antager her – for
nemheds skyld – at hotellet er tomt. Kan receptionisten for plads til alle dem? Ja selvfølgelig kan
han det, han skal dog være rimelig smart. Han starter med at anbringe det første selskab i de
07/03/19 Side 17 af 25
uendelig mange værelser med ulige numre. Det andet selskab anbringes i de værelser hvis numre
er to gange et ulige tal. Dem er der nemlig også uendelig mange af. Det tredje selskab anbringes i
de værelser, hvis numre er det dobbelte af de foregående, altså de uendelig mange værelser, hvis
numre er fire gange et ulige tal og sådan fortsætte det ud i det uendelige.
Dette er et fantastisk eksempel på, hvordan to mængders elementer kan sammenparres, da vi
får parret mængden af gæster med mængden af værelser.
Uendelig mængders størrelse
For at kunne bestemme størrelse på både uendelig og endelig mængder, bruger Cantor et begreb,
der kaldes kardinaltal. Kardinaltallet beskriver, hvor mange elementer der er i en given mængde.
Det kan vises ved hjælp af endnu anekdote. Den hedder Jessens Balsal.
På Hilberts hotel findes der en kæmpe festsal, den kaldes for Jessens balsal. Denne sal er flankeret
med to meget lange stolerækker. På disse stolerækker skal der sidde drenge på den ene side og
piger på den anden side. Lad os kalde drenge mængden for Y og pige mængden for X. I denne sal,
er det mængdelærens fader, Georg Cantor, der er dansemester.
Hvad skal denne store sal så bruges til? Vi kan bruge salen til at finde ud af om der er flest
drenge eller flest piger. Dette kan vi gøre ved at bede drengene om at tage på plads på stolene i
den ene side af rummet og pigerne tage plads på stolene i den anden side af rummet. Herefter
beder Cantor alle drengene om hver at byde én pige op til dans, og lykkes det for alle drengene at
komme ud og danse må det betyde at der i hvert fald er mindst lige så mange piger, som der er
drenge.
Hvis vi siger at alle drengene får budt én pige op og kommer ud og
danse, så er der tale om at drengen inklinerer for pigen. Dette kaldes
en drenge-inklination. Denne drenge-inklination er en injektiv
afbildning af mængden Y på X, det betyder at alle drenge får én pige
at danse med, det er dog ikke sikkert at alle pigerne for en dreng at
danse med. Men hvis tilfældet er at alle drengene får en pige at danse
med og at der ikke er nogle piger tilbage, så kaldes det en fuldstændig
drenge-inklination, og denne opfylder betingelserne for en bijektiv
afbildning.
Injektiv afbildning.
07/03/19 Side 18 af 25
Det vil altså sige, at hvis drengene alle sammen får budt en pige op, altså ved drenge-inklination,
kan vi konstatere at mængden af drengen enten er mindre eller lig med mængde af piger, og
dermed må kardinaltallet også være mindre eller lig med. Hvis
derimod alle drengene får budt alle pigerne op til dans, så er
mængden af drenge lig mængden af piger og kardinaltallet for mængderne er ens.
Achilleus og skildpadden
I lighed med Cantor og Hilbert, var man allerede fra matematikkens barndom stærk betaget af
tanken om det uendelige. I det gamle Grækenland boede en mand, ved navn Anaximandros, som
ikke kunne acceptere sin læres tanken om at vand var grundbestanden for alt. I stedet kom han op
med begrebet apeiron. Apeiron betyder ubestemt eller uendelig. Et andet sted i Grækenland gik
Zenon rundt med tankerne om at rummet og tiden enten var endeligt eller uendeligt deleligt.
Zenon udarbejdede nogle paradokser, og de havde til formål at bevise bevægelsens umulighed.
Det mest kendte paradoks er ”Achilleus og Skildpadden”. Dette paradoks omhandler den græske
helt Achilleus, der skal løbe om kap med en skildpadde. Achilleus er dog så godhjertet af han lader
skildpadden få et forspring. Hvis man undgår at kigge logisk på dette og udelukkende kigger på
matematikken bag, kan Achilleus i princippet aldrig overhale skildpadden. Da skildpadden har et
forspring, skal Achilleus først nå op til der, hvor skildpadden oprindeligt startede fra. Men på den
tid det har tage Achilleus at komme derop, er skildpadden igen nået et lille styk længere. Nu skal
Achilleus så derhen, men igen er skildpadden nået længere væk. Achilleus kan blive ved med at
løbe og han vil komme tættere og tættere på, faktisk uendeligt tæt på, men han vil aldrig fange
skildpadden, skønt han dog løber meget hurtigere end sin modstander. I princippet ville han så
skulle løbe uendelig mange distancer på endeligt tid, hvilket er umuligt.
Denne uendelige række af distancer håndteres i matematikken ved hjælp af et værktøj, der
bliver kaldt Taylorpolynomier. Disse polynomier, eller talrækker, bliver brugt til at gengive
funktioner så tilnærmelsesvist præcist som muligt.
De berømte matematikers kamp for at forstå matematikkens inderste væsen, har ikke været
nogen nem kamp og langt fra spildt. De fleste mennesker er i dag dagligt i berøring med
teknologier, som kun er gjort mulige på grund af en lang kongerække af matematikers indsigt og
Bijektiv afbildning.
07/03/19 Side 19 af 25
teoretiske landvindinger. Meget af det de store matematikere fandt ud af, for flere hundrede år
siden, er det der i dag driver de matematiske algoritmer, som styrer processerne i lommeregnere
og computere. Selvom de kun enkeltvis bidrog med en lille brik til puslespillet, og sikkert aldrig har
set hvor det startede eller hvor det sluttede, så har de alle bidraget til et smukt puslespil som vi i
eftertiden har kunnet nyde og gøre stor brug af.
Meta-afsnit
At skulle lære det matematiske sprog kan nogle gange sammenlignes med at skulle lære et nyt
fremmedsprog. Det er svært og til tider fuldstændigt umuligt. Derfor er det praktisk at, der bliver
udarbejdet populærvidenskabelige værker, hvor besværlige matematiske emner, bliver formuleret
så de er nemmere at forstå, og det er det jeg har forsøgt med min artikel.
Overskriften på min artikel er ”Uendelighedens verden”, fordi der gemmer sig en ny verden
bagved ordet uendelighed, både for folk der til daglig arbejder indenfor matematikken og for folk,
hvor matematikkens verden er helt fremmed. Jeg har valgt at starter min artikel med en
underrubrik, der gerne skulle vække læserens interesse for emnet, ved at stille spørgsmålet ”Kan
man virkelig bestemme uendelighed?”. Hensigten er at få læseren til at reflekterer over hvad han
mener at uendelighed er og om det overhovedet kan gøres op i størrelser og mængder. Herefter
vælger jeg at komme med en gennemgang af den grundlæggende mængdelære, som er
nødvendig at have som basis, for at kunne anskueligøre uendeligheden. Cantors mængdelære og
eksemplet om Hilberts Hotel hjælper med at gøre den abstrakte uendelighed, mere håndgribelig
for ikke-matematikere. Gennem Zenons paradoks, ”Achilleus og Skildpadden”, bliver
uendeligheden taget op til et højere niveau, ved at bevæge sig fra tal til uendelige rækker, her
distancer. Jeg afslutter med en konklusion, der linker generationer af matematikers hårde arbejde
med den verden vi har idag.
Artiklens formål
Formålet med denne artikel er at kunne formidle noget abstrakt og vanskeligt matematik fra et
højt fagligt niveau ned til et letforståeligt sprog. Artiklen skal hjælpe med at komme fra den lille
07/03/19 Side 20 af 25
kreds, der hvor forskere skriver til forskere, ud i den store kreds, der hvor forskere skriver til ikke-
forskere
20
.
Dette har jeg forsøgt at gøre med lidt hjælp fra Cantor og Hilbert. For at kunne formidle så
abstrakt matematik til folk, der ikke har brugt lang tid på at sætte sig ind i emnet, bliver man nødt
til at bruge anekdoter eller lignelser, der sætte tingene op i et helt andet perspektiv og gør det til
noget nærværende. I matematikken har man så at sige opfundet sit eget sprog og til tider sine
egene bogstaver og tegn. Det holdt sammen med tunge teorier kan for nogen være besværligt at
rumme. Jeg bliver nødt til, som formidler, at transformere teorierne og begreberne til et sprog,
der er nemmere at begribe. Dette gøres ved hjælp af Hilberts hotel, Jessens Balsal og paradokset
om Achilleus og skildpadden.
Weekendavisen og deres læsere
Weekendavisen er en kombination af dagblade og magasiner og det har resulteret i en højt
respekteret avis. Læserene bruger meget tid på Weekendavisen, ja faktisk helt op til 2 ½ time, det
kan ikke engang de tykkere søndagsaviser hamle op med. Grunden hertil er at skribenterne er
seriøse og har forstand på det de skriver om. Skribenterne er højt uddannede inde for mange
områder, ligesom 58% af læserne
21
.
Hvordan ser en typisk læser af Weekendavisen ud?
• 58% har en højere videregående uddannelse.
• 39% bor i en husstand, hvor der bliver tjent 600.000 kr. Eller mere om året.
• 7 ud af 10 af læserne bor øst for Storebælt.
• Læserne handler gerne i specialeforretninger og giver gerne lidt ekstra for god kvalitet.
• 74% køber helst miljøvenlige produkter.
• Desuden er Weekendavisens læsere nogle af dem der rejser mest og er flittigst til at besøge
teatre, kunstudstillinger og koncerter mm
22
.
20
Puladan, K. (2005). Kandidatspeciale: At fortælle om videnskab. Side 9.
21
Bilag 2, side 1.
22
Bilag 2, side 1-2.
07/03/19 Side 21 af 25
I grove træk er Weekendavisens læsere veluddannede, højtlønnede og med sans for kultur og
rejser. De er generelt nysgerrige på livet omkring dem og beviste om deres valg. Det vil sige at det
sprog artiklen skal skrives i, ikke bør være for børn, men samtidig så interessant så ikke kun
matematikere forstår det.
Weekendavisen består af 5 sektioner: 1. Sektion, Kultur, bøger, Ideer og Faktisk. Jeg har valgt at
skrive min artikel til den sektion, der hedder Ideer. I denne sektion bliver der skrevet om ånds-,
natur-, og samfundsvidenskab og her kan tænkende mennesker fremlægge og debattere deres
ideer om verden
23
. Min artikel skal skrives til denne sektion, da artiklen bygger på noget
videnskabeligt, der ikke vil høre til i nogle af de andre sektioner. Alternativt kunne artiklen også
være bragt i sektionen Faktisk. Denne sektion er til drenge og piger der gerne vil vide noget om
alt. Den indeholder korte og lange artikler, tegneserier og opgaver mm
24
. Det er i forvejen en
udfordring at skulle omformulere denne vanskelige matematik, for mig ville det være en
yderligere udfordring, hvis det også skulle formidles til børn.
Artiklens udformning
Generelt skal artikler gerne være udformet så læseren bliver fristet til at kigge nærmere på
indholdet. Min artikel er starter med en rubrik, der gerne skulle fange læserens matematiske
interesse. Rubrikken skulle gerne lede læserens blik hen til underrubrikken, hvor dennes interesse
bliver vakt endnu mere til live. Både rubrikken og underrubrikken er skrevet med Cambria, hvor
resten af artiklen er skerevet med Calibri. Dette er valgt bevist da jeg ønsker at det skal fremstå
vigtigt og træde ud fra mængden. Artiklen indledes med en blød introduktion til mængdelæren.
Herefter tages fat på den lidt hårdere uendelighed. Gennem artiklen har jeg delt emnerne op, ved
hjælp af mellemrubrikker. Det er mit håb at dette gør artiklen mere overskuelig for læseren.
Mellemrubrikkerne, samt faktaboksen og figurteksterne, har jeg også valgt at skrive med Cambria,
ud fra samme ovenfor nævnte argument. Faktaboksen og figurerne har til formål at gøre nogle af
23
Bilag 2, side 2-4.
24
Bilag 2, side 4.
07/03/19 Side 22 af 25
de sværere begreber mere håndgribelige. Det er min erfaring at illustrationer ofte hjælper på
forståelsen af den læste tekst.
Fravalg
Det ville være for omfangsrigt at skulle formidle alt mit matematiske materiale ind i artiklen. Jeg
har derfor udeladt alle ligninger og formler i matematisk skrevet form, til trods for at disse er en
stor del af det matematikken. Jeg vurderer at deres tilstedeværelse i artiklen ville forstyrre ikke-
matematiskkyndige læsere og fjerne fokus fra formidlingen. Men det har været en udfordring at
skulle transformere denne svære matematik uden brug af ligninger og formler. I matematikkens
verden er disse ligninger og formler nærmest en rygrad i forståelsen af problemerne. Så når disse
udelades, bliver jeg tvunget til at finde andre måder at illustrere mine tanker og ideer på. Målet
med artiklen er ikke at fremstå som en svært tilgængelig lærebog, men netop som en
populærvidenskabelig artikel, der kan læses – og forstås – af målgruppen, der er valgt.
07/03/19 Side 23 af 25
Konklusion
Jeg har i projektet forsøgt at belyse begrebet uendelighed fra to forskellige vinkler. En
matematikfaglig gennemgang er mængdelæren, som er en nødvendighed for at kunne forstå
uendeligheden, samt uendelige rækker og Taylorpolynomier. I løbet af gennemgangen beviser jeg
eksistensen af ikke-rationelle tal, dette gøres ved at modbevise at ikke er et rationelt tal.
Herudover beviser jeg eksistensen af mængder med overtælleligt mange elementer, gennem
beviset om at mængden indeholder flere elementer end de naturlige tal. Endvidere
behandler jeg begrebet kardinaltal for både endelig og uendelig mængder.
Ligeledes har jeg beskrevet uendeligheden i en populærvidenskabelig artikel, hvor jeg uden brug
af ligninger og formler, har søgt at transformere den svært tilgængelige matematik til læsevenligt
stof.
I et danskfagligt meta-afsnit har jeg ligeledes diskuteret mine valg og fravalg i forhold til artiklen.
På baggrund af ovennævnte tillader jeg mig at konkludere at jeg har mødt de forudsætninger
jeg, i min indledning, satte for projektet.
07/03/19 Side 24 af 25
Litteraturliste
Bøger:
Hebsgaard, T. M.fl. (1990) Matematik højniveau 2. (1. Udgave, 1. Oplag). Forlaget Trip.
Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. (1. Udgave)
Universitetsforlaget
Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. (1. Udgave) Matematisk institut,
Århus Univeritet.
Mejlbo Lars. (1991). Uendelighedens paradokser. (1. Udgave) Matematisk institut, Århus
Universitet
Naturvidenskab - : Det mekanistiske verdensbillede. (2008). I: H.S. Jensen, O. Knudsen &
F. Stjernfelt (Red.), Tankens magt: Vestens idéhistorie, bd. 2 (s. ).
Fundet d. 10. December 2013 på
http://www.statsskolen.dk/ressourcerum/2009-
10/opgave01/12_maengdereel.pdf
Paludan, K. (2005). Kandidatspeciale: At fortælle om videnskab. Dansk, institut for Nordiske Studier
og sprogvidenskab.
Hjemmesider:
MatWiki. (2010). Kvadratrod 2 et er irrationelt tal. Kvadratrod 2.
Fundet d. 5. December 2013 på
http://www.buhlweb.dk/matwiki/index.php?n=MatematikB.Kvadratrod2
WikiBooks. (2011). Matematik a/Tal og mængder.
Fundet d. 6. December 2013 på http://da.wikibooks.org/wiki/Matematik_A/Tal_og_mængder
Mat A STX. (2011). Eksperiment 1.6: Brøk og decimalbrøk. Systime.
