[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
1
Nedbøjning af simpelt understøttet bjælke
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
2
Abstract
The purpose of my assignment was to find out how deflection of a beam works. The procedure
involved making an experiment, where I tried deflection of different beams, with different
profiles. Deflection of wood is a very important use in the life of an engineer. It is used to find how
much a beam will deflect if you put a certain pressure on top of it. I used a simple formula for the
deflection but different formulas for moment of inertia. Integral was used to find the proof of
moment of inertia for a rectangle. The results show that it has a huge impact on the deflection
depending on what way you lay your profile or beam. It’s shows there is a relationship between
moment of inertia and deflection.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
3
Indholdsfortegnelse
Indhold
Abstract ............................................................................................................................................................. 2
Indholdsfortegnelse ........................................................................................................................................... 3
Indledning .......................................................................................................................................................... 5
Simpelt understøttet bjælke ............................................................................................................................. 6
Inertimoment .................................................................................................................................................... 7
Bevis for formlen af inertimoment af en rektangel........................................................................................... 8
Inertimomentet på simple tværsnit ................................................................................................................ 10
Rektangel ..................................................................................................................................................... 10
Firkantprofil ................................................................................................................................................. 12
U-profil ......................................................................................................................................................... 14
Sammenligning af teori og praktik .................................................................................................................. 16
Rektangel ..................................................................................................................................................... 16
Formål ...................................................................................................................................................... 16
Materialer, opstilling og fremgangsmåde ............................................................................................... 16
Resultater og fejlkilder ............................................................................................................................ 17
Konklusion ............................................................................................................................................... 17
Firkantprofil ................................................................................................................................................. 18
Formål ...................................................................................................................................................... 18
Materialer, opstilling og fremgangsmåde ............................................................................................... 18
Resultater og fejlkilder ............................................................................................................................ 19
Konklusion ............................................................................................................................................... 19
U-profil ......................................................................................................................................................... 19
Formål ...................................................................................................................................................... 19
Materialer, opstilling og fremgangsmåde ............................................................................................... 19
Resultat og fejlkilder ................................................................................................................................ 20
Konklusion ............................................................................................................................................... 20
Konklusion på forsøg mod teori ...................................................................................................................... 21
Brug af profiler i hverdagen som tømrer ......................................................................................................... 22
Konklusion ....................................................................................................................................................... 25
Bibliografi ......................................................................................................................................................... 26
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
4
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
5
Indledning
En nedbøjning sker når der bliver lagt vægt på et understøttet objekt. En nedbøjning er en vigtig
faktor at tage højde for når man bygger huse, broer og ting der skal være bærende. For at finde en
nedbøjning skal inertimoment bruges, som er en tværsnitskonstant. I opgaven vil jeg finde ud af
hvordan man regner den maksimale nedbøjning på et objekt, der er simpelt understøttet, derefter
vil jeg finde ud af hvordan man beregner inertimoment af tre forskellige profiler. Med disse
profiler vil jeg da lave et forsøg, hvor nedbøjningen testes. Endvidere vil jeg redegøre for en formel
for nedbøjningen af et simpelt understøttet rektangel, og til sidst vil jeg fortælle hvordan tømrer
bruger nedbøjning i deres hverdag. Jeg valgte dette emne, da jeg synes det er interessant, og det
sandsynligvis er noget jeg skal bruge i fremtiden hvis jeg vælger at læse til ingeniør.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
6
Simpelt understøttet bjælke
F= kraft - L = Længde under frit spænd - E = Young’s modul - I = Inertimoment
Denne formel bruges til at beregne en simpel nedbøjning. En simpel nedbøjning er eksempelvis
når en bjælke er understøttet i begge sider, og sidder spændt fast. Formlen har fire forskellige
variabler.
En kraft er den vægt der bliver trykket med på bjælken, dette bliver altid målt i kilonewton (kN).
Længden er det stykke som bjælken spænder over, hvor den hænger frit, og der derfor er
mulighed for nedbøjning.
Young’s modul, beskriver hvor elastisk et materiale er, og hvor meget modstandskraft det har før
det bliver deformeret, og går over grænsen for Hooke’s lov. E er en materialekonstant, det vil sige
jo højere et elasticitetsmodul et materiale har, jo mindre fleksibelt er materialet.
1
Man finder elasticitets modulet med
Inertimoment er en tværsnitskonstant, som bliver bestemt ud fra den vandrette tyngdeakse
2
Inertimoment siger noget om materialets stivhed, og bliver udregnet med denne formel:
1
http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/y/elasticitet/
2
Statik og styrkelære S. 192
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
7
Inertimoment
Inertimoment er Isaac Newtons første lov.
Inertimoment er når et objekt drejer omkring en akse. Et eksempel kunne være en cylinder der
ruller ned af en bakke. Inertimomentet er den kraft som cylinderen bliver påvirket af hele vejen
rundt om aksen. Inertimomentet er højere, jo længere man kommer ud fra midten på cylinderen,
da inertimomentet bliver større jo længere man kommer ud fra midten, og objektet får en større
omkreds, modsat helt inde ved midten hvor den ikke skal have en lige så høj hastighed for at dreje
én omgang. Det samme gælder på en vindmølle. Hvis forsøgspersonen skal skubbe en vindmølle
der ligger ned én omgang, og vingerne er skåret ned til 3 meter, men dog vejer stadig det samme
som før, skal der skubbes meget hårdt. Derimod hvis vingen bliver lavet 100 meter lang, og man
såt i enden og skubber, kan man let skubbe vingen fra vindmøllen hjulet rundt. Det er vægten der
bliver spredt ud over hele vingen når elementet bliver lavet meget langt og inertimomentet bliver
større og derfor bliver nemmere at skubbe vingen i gang.
Der kan endvidere laves et forsøg med to hjul. Det ene hjul er som på en cykel, og det andet hjul er
et solid cylinder. Du skal bruge mere kraft for at få cykelhjulet til at accelerer lige så meget som
den solide cylinder, da vægten er fordelt ud over hele cirklen, i stedet for kun at være helt ude i
yderkanten af cirklen. Det betyder, jo større inertimoment en genstand har, jo større accleration
og større sluthastighed har den.
3
En genstand med stort inertimoment, producere derfor også
meget mere kinetisk energi, da den har en større radius at rotere rundt om.
Inertimomemtet på en nedbøjning er en tværsnitskonstant, som ændrer sig, alt efter om en
målfast bjælke ligger ned eller står op. Hvis man tager et stykke træ der er 45x95, har det en
tværsnitskonstant på 3.215.156 mm
4
, hvorimod hvis man tager et stykke limtræ på 160x400 fås en
3
https://www.youtube.com/watch?v=b44WbCS9xnc
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
8
tværsnitskonstant på 3,3 mm
4
. Det er derfor tværsnitskonstanten der bestemmer hvor
stærkt et objekt er, når det gælder nedbøjning. Derfor jo højere inertimomentet er, jo stærkere er
objektet også.
På formlen kan det ses at højden er opløftet i tredje, og derfor er det h der styrer om
inertimomentet et højt eller lavt.
Man kan vise dette ved at beregne inertimoment for et stykke regel på 45x95mm.
På de to udreginger kan vi se den stående er meget højere end den liggende.
Bevis for formlen af inertimoment af en rektangel
Inertimoment stammer fra formlen for kinetisk energi
Formlen for kinetisk energi er
Fordi vi beregner det kinetiske energi for alle punkter i et roterende element kan formlen skrives
dT
Man kan nu tage integralet af ovenstående formel, hvilket da giver følgende.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
9
Fordi vi skal bruge det forsimplede inertimoment er der ikke brug for at have sigma med, da
massen ikke skal bruges til inertimoment på en nedbøjning
Tallene fra første integral sættes nu ind på x, plads, og dermed forsvinder første integral
Her bruges reglen for integral regning
De to tal uden for den firkantede parentes bliver sat ind i kassen, og ser sådan ud
Fordi der står minus foran b, i andet led, forsvinder begge minusser, og dermed bliver det 2 ens, så
det hedder
Man flytter b^3 ned og det bliver erstattet med et.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
10
Man regner de to sammen
Man ganger 1/24 med 2 og får
Hvilket da betyder at inertimomentet af et rektangel lyder som ovenstående.
Inertimomentet på simple tværsnit
Rektangel
Inertimomentet af en rektangel viser inertimomentet, omkring x aksen og omkring y aksen.
Der laves en teoretisk udregning af nedbøjningen på en rektangel, der ligger på den flade side,
hvilket betyder den svage side. Målene på rektanglet er 50x10mm, først regner vi et
inertimoment.
Derefter tager vi formlen for hele nedbøjningen og sætter vores tal ind.
Det antages at der bliver brugt en vægt på 2,5 kg, til belastning, så vores kraft bliver
Længden af det frie spænd er 950 millimeter, elasticitetsmodulet på aluminium er 70000 N/mm
2
,
4
4
https://de.wikipedia.org/wiki/Aluminium
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
11
Der bliver eksperimenteret i at stille rektanglet på højkant, og se forskellen.
Der kommer et nyt inertimoment, og det er det der er afgørende for resultatet af den maksimale
nedbøjning.
Nyt inertimoment er
Ud fra dette tal kan vi se at rektanglet bliver bøjet så få dele af en millimeter at det ikke kan ses
med det blotte øje. Dette sker fordi inertimomentet bliver meget større hvis objektet bliver sat på
det høje led, hvor det også er det stærkest. Det er derfor man ser eksempelvis HEB-profiler ligger
på fladen, og inde i midten er den lodrette del af profilet, da det er den der har alt styrken. Jo
længere man laver midtestoplen på en HEB jo længere spænd kan den have. Det bliver især brugt
ved bygning af maskinhaller eller lagerbygninger hvor stopler der står i vejen skal minimeres for
færden med større materiel.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
12
Firkantprofil
En firkantprofil er en rektangel der er hul i, den har to flader og to lodrette sider. De to lodrette
sider er dem der har alt styrken i sig, og derfor vendes de længste flader altid lodret, så der
kommer mest mulig styrke i profilet. For at regne inertimomentet på x aksen bruger man følgende
formel:
5
Vi bruger målene på den firkantprofil der er blevet udleveret.
Firkantprofilen er 50x25mm i ydermål og inder mål er
44x19mm.
Vi bruger igen formlen til at beregne max nedbøjning.
Her er det samme tilfælde som før. Hvis man sætter firkantprofilet på højkant, vil den have meget
større inertimoment, derfor mere styrke som vil gøre den tæt på umulig at bøje med 2,5 kg.
Nedbøjning omkring y aksen:
5
http://www.engineeringintro.com/mechanics-of-structures/moment-of-inertia/moment-of-inertia-of-hollow-
section/
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
13
Vi sætter inertimomentet ind i formlen
Firkantprofilet er derfor stærkere da der er to lodrette sider til at fordele vægten ud på, så de hver
tager 50% af den kraft der bliver tildelt. Det gør der teoretisk set kan lægges dobbelt så meget
vægt på en firkantprofil end en HEB profil. Det vil dog altid blive i teorien, da en firkant profil med
samme godstykkelse er meget tungere end en HEB profil med samme godstykkelse. Der er også
økonomi i at lave eksempelvis spær med en HEB profil, da der ikke skal bruge lige så meget stål.
Hvis man antager at et spær er 200mm højt og man bruger 10mm i godstykkelse, koster en plade
på 200*10*,5,- pr. 100 kg
6
, da stål har en massefylde på ca. 7800 kg pr. m
3
, bliver det
hurtigt til mange penge, uden man får den store gevinst, i form af styrke. Man skal derfor også
tage højde for om det kan betale sig at bruge firkantstål eller om det bedst kan betale sig at bruge
HEB profiler, hvis man skal eksempelvis bygge en lade.
6
https://www.sanistaal.com/media/292941/Staalprisliste_web_2011.pdf side 7 3. nederste linje
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
14
U-profil
U-profilen er tæt på en firkant profil, forskellen er kun at den ene side er fjernet, så der kun er 3
sider på profilet. Det giver en større nedbøjning da den fjerde side mangler, og derfor er der ikke
noget til at afstive de to sider der sidder frit.
Inertimomentet af x aksen på en U profil bliver regnet med formlen:
7
Som man kan se i formlen for inertimomentet skal vi bruge arealet af
profilet til at regne det ud. Det finder vi ved hjælp af denne formel:
Vi sætter tallene ind på plads
Vi skal også bruge y, det finder vi ved hjælp af denne formel:
Vi sætter tallene ind på plads.
Vi lægger det sammen og y bliver.
Her sætter vi tallene ind i formlen for inertimomentet af et u- profil.
7
http://www.engineersedge.com/material_science/moment-inertia-gyration-5.htm
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
15
Vi regner tallene sammen, så det bliver mere overskueligt.
Det giver en nedbøjning på ca. 0,4 mm.
Vi finder herefter så inertimomentet af y-aksen, så vi finder nedbøjningen når vi sætter u-profilen
lodret.
Her byttes inertimomentet fra x til y, og får en ny udregning
Som det ses bliver profilet meget stærkere af at profilet bliver stillet op, da den lodrette del er
meget længere.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
16
Sammenligning af teori og praktik
Jeg har lavet et forsøg hvor
jeg selv har testet
nedbøjningen af de tre
forskellige profiler jeg har
regnet på tidligere i opgaven.
Rektangel
Teori
Formål
Jeg skulle i forsøget se om nedbøjningen passede med teorien. Som jeg har regnet på tidligere.
Forsøget skulle give mig en bedre forklaring af hvordan styrkerne hang sammen når der blev lagt
vægt på.
Materialer, opstilling og fremgangsmåde
Der blev lavet et forsøg hvor der skulle testes nedbøjningen af et profil, og det blev gjort ved at der
stod en med en vægt som blev sluppet, og så kunne nedbøjningen aflæses.
Tre træklodser, snor,
bidetang,
indikatorklokke,
vægtskive på 2,5 kg,
rektangel profil.
Træklodserne blev brugt
til at ligge profiler og ur
på, så jeg havde et frit
område under profilet,
så jeg kunne få vægt på.
Vægten på 2.5 kg blev hængt i en snor, og lige ved siden af havde jeg en indikatorklokke som jeg
havde sat fast på en bidetag med en strips.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
17
Som det fremgår af billedet har jeg lavet en forsøgsopstilling ved at ligge to klodser på bordet,
med et spænd på 950mm. På midten satte jeg en indikator klokke, som viser nedbøjningen i
0,01mm pr. 10 på uret. Jeg brugte den første profil som var et rektangel på 50x10mm, og jeg lagde
det på den store flade, for der er inertimomentet er meget lavere, det gjorde at der kom et
resultat der kunne aflæses, og som gav et resultat som jeg selv kunne forstå.
Forsøget blev kun lavet med inertimomentet over x aksen, da jeg ikke har vægt nok, eller præcis
nok forsøgsopstilling til at kunne vise de meget små nedbøjninger der kommer. Hvis forsøget blev
lavet over y aksen, hvor inertimomentet er meget større, vil det derfor ville give en meget lille
nedbøjning, som ikke kunne aflæses på forsøgsopstillingen.
Jeg hang vægten ind på midten i en snor, ved siden af klokken. Jeg løftede vægten, så den ikke
lavede nogen nedbøjning, og nulstillede uret. Jeg slap der efter vægten stille og roligt så jeg kunne
følge med på klokken og tælle. Da jeg havde sluppet vægten helt, kunne jeg præcist aflæse
nedbøjningen på uret.
Resultater og fejlkilder
Jeg fik et resultat der blev 1,6 millimeter, hvilket er 0,1 millimeter fra det teoretiske resultat.
Afvigelsen kan være af at uret ikke har siddet 100% fast, eller den vægt jeg brugte ikke vejede
2,5kg præcist.
Konklusion
I forsøget med rektanglet havde jeg forventet at den ville bøje mere end de andre, da fra mit eget
fag som tømrer, ved man at man altid stiller ting på det høje led, hvis det skal bære noget. Man
kunne også mærke at man kunne bøje rektanglet med hænderne uden man skulle lægge meget
vægt i. Resultatet afveg en smule fra teori, og det kan have noget at gøre med min
forsøgsopstilling var optimal.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
18
Firkantprofil
Formål
Formålet med denne nedbøjning var at se om firkantprofilet var meget stærkere end rektanglet.
Jeg regnede tidligere på nedbøjning af firkantprofilet, og i forsøget skulle jeg se om mine beregner
hang sammen med forsøget i praksis.
Materialer, opstilling og fremgangsmåde
Der blev lavet et forsøg hvor der skulle testes nedbøjningen af et profil, og det blev gjort ved at der
stod en med en vægt som blev sluppet, og så kunne nedbøjningen aflæses.
Tre træklodser, snor,
bidetang, indikatorklokke,
vægtskive på 2,5 kg, firkant
profil.
Træklodserne blev brugt til
at ligge profiler og ur på, så
jeg havde et frit område
under profilet, så jeg kunne
få vægt på.
Vægten på 2.5 kg blev hængt i en snor, og lige ved siden af havde jeg en indikatorklokke som jeg
havde sat fast på en bidetag med en strips.
I forsøget blev der lavet en forsøgsopstilling ved at lægge to klodser på bordet, med et spænd på
950mm. På midten satte jeg en indikator klokke, som viser nedbøjningen i 0,01mm pr. 10 på uret. I
denne opgave med et firkantprofil der måler 50x25mm (44x19mm indvendigt). Jeg lagde
firkantprofilet på den store flade. Det betyder at jeg lavede forsøget med inertimomentet over x
aksen, så jeg igen kunne få en nedbøjning jeg kunne aflæse. Inertimomentet vil blive alt for stort
hvis man stillede den lodret, og tog inertimoment over y aksen, og derfor ville jeg ikke få en
nedbøjning jeg kunne aflæse særlig præcist med min forsøgsopstilling.
Igen havde jeg hængt vægten på, og holdt den i hånden så jeg kunne nulstille uret. Jeg lod vægten
hænge selv og kunne aflæse på uret hvor stor en nedbøjning der var lavet.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
19
Resultater og fejlkilder
Jeg fik profilet til at bøje 0,18mm, hvilket er en afvigelse på ca. 0,03 millimeter fra teorien.
Men samme forsøgsopstilling som før havde jeg igen problemet med at uret sandsynligvis ikke lå
100 procent fast, og derfor har haft muligheden for at rykke sig en lille smule.
Konklusion
Dette profil var meget stærkere end rektanglet, da der var lodrette sider på, som afstiver utroligt
meget. Jeg havde forventet at profilet have været helt stift da, det føles utroligt stift da jeg
prøvede at bøje det med hænderne. Dog vil jeg også sige at det er meget stift, når det kun bøjer
0,18mm, hvilket er så lidt vi ikke kan forholde os til det, og det er umuligt at se med det blotte øje,
uden man ligger noget helt lige oven på, og har lys til at lyse i sprækken.
U-profil
Formål
Med u-profilet skulle jeg se om der var den store forskel på om der var fire sider eller om der var
tre sider.
Materialer, opstilling og fremgangsmåde
Der blev lavet et forsøg hvor
der skulle testes
nedbøjningen af et profil, og
det blev gjort ved at der
stod en med en vægt som
blev sluppet, og så kunne
nedbøjningen aflæses. Tre
træklodser, snor, bidetang,
indikatorklokke, vægtskive
på 2,5 kg, u-profil.
Træklodserne blev brugt til at ligge profiler og ur på, så jeg havde et frit område under profilet, så
jeg kunne få vægt på.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
20
Vægten på 2.5 kg blev hængt i en snor, og lige ved siden af havde jeg en indikatorklokke som jeg
havde sat fast på en bidetag med en strips.
Som man kan se på billedet har jeg lavet en forsøgsopstilling ved at lægge to klodser på bordet,
med et spænd på 950mm. På midten satte jeg en indikator klokke, som viser nedbøjningen i
0,01mm pr. 10 på uret. Jeg brugte den sidste profil som var et u-profil, og jeg stillede den på de to
frie sider, så jeg fik et resultat jeg kunne aflæse, og som gav et resultat som jeg selv kunne forstå.
Forsøget blev kun lavet med inertimomentet over x aksen, da jeg ikke har vægt nok, eller præcis
nok forsøgsopstilling til at kunne vise de meget små nedbøjninger der kommer. Hvis forsøget blev
laver over y aksen, hvor inertimomentet er meget større, og derfor ville give en meget lille
nedbøjning.
Jeg hang vægten ind på midten i en snor, ved siden af klokken. Jeg løftede vægten, så den ikke
lavede nogen nedbøjning, og nulstillede uret. Jeg slap der efter vægten stille og roligt så jeg kunne
følge med på klokken og tælle. Da jeg havde sluppet vægten helt, kunne jeg præcist aflæse
nedbøjningen på uret.
Resultat og fejlkilder
U-profilet afveg ca. 0,06 millimeter fra teorien, dvs. jeg fik profilet til at bøje 0,46mm med en last
på 2,5 kg. U-profilet, havde en styrke mellem de to andre profil jeg lavede forsøg med.
Konklusion
Profilet er stærkt, men det har ikke lige så meget styrke som firkantprofilet, og det er fordi der
mangler den sidste side til at afstive de lodrette sider.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
21
Konklusion på forsøg mod teori
Alle forsøgene afveg en smule fra det teoretiske, men det var forventet da jeg ikke har mulighed
for at opstille forsøget i et laboratorie, som de har på universiteterne. På universiteterne har de
store maskiner som er beregnet til at teste nedbøjningen af forskellige emner. Jeg havde kun
muligheden for at ligge det på to klodser, og havde et ur, som ikke lå helt fast. Jeg havde nogle
fejlkilder som var ret afgørende for at forsøget ikke blev det samme som i teorien. De var at
vægten måske vejede +- 50 gram, min indikatorklokke sad ikke fastspænd på noget stativ, det
betyder at den har haft mulighed for at bevæge sig en lille smule, og det kan være afgørende for
det jeg aflæser, og det er formentlig det der har gjort at mine resultater har afveget en procentdel,
i forhold til teorien. Hvis man kigger på resultaterne jeg har fået, afviger de alle omkring den
samme procentdel fra teorien resultater. Hvis jeg skulle lave forsøget igen, ville jeg prøve at sætte
nogle flere kilo på, for at lave en større nedbøjning, og se hvor mange procent mere vægt der
skulle til for at få firkantprofilet og u-profilet til at bøje lige så meget som rektanglet. Jeg nøjes
med samme vægt, så jeg i stedet kunne se styrkeforskellen på de forskellige profiler, og man på en
mere simpel metode får at se hvor meget mere styrke der er, når der er lodrette elementer i et
profil.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
22
Brug af profiler i hverdagen som tømrer
Jeg er i gang med at uddanne mig som tømrer. I tømrer verdenen har man hele tiden et øje på om
noget er stærkt nok ikke at have en nedbøjning. Der bliver lavet beregninger for at være sikker på
at noget holder, og derfor er det også meget vigtigt at en tømrer og ingeniør snakker sammen. En
tømrer har dog mulighed for at slå op i forskellige bøger hvor der står, hvilken størrelse træ der
skal bruges til de forskellige spænd som en tømrer oplever at komme ud for. Disse bøger tager
allerede højde for at der kommer vægt på i form af møbler og mennesker der går på det.
Eurocodes
En tømrer bruger især nedbøjning til når der skal laves et spænd. Tømreren har altid i tankerne at
noget med et spænd har muligheden for at komme til at hænge, og når en opgave er færdig, er
der ingen der har lyst til at se noget hænger, og derfor tænker tømrer meget over hvilken
dimension han ligger op. I mange tilfælde vil et stykke træ som tømreren ligger op også altid være
overdimensioneret, da man skal være sikker på det ikke kommer til at hænge. Derfor bliver nogle
opgaver også dyrere, end det burde være, da træet man bruger kan holde til alt for meget, og
dermed undgår man en nedbøjning, så elementer kommer til at hænge.
Når der bliver bygget et hus er der nogle regler som der skal overholdes, som er fastlagt i hele
Europa. Det er noget der hedder ”EUROCODES”.
”Eurocodes er de europæiske normer for dimensionering og opførsel af bygningsværker. De
omfatter alle gængse konstruktioner og materialer, herunder broer.”
8
Eurocodes har et overordnet reglement for hele Europa, men rundt omkring i alle lande, er der
specificeret regler, som gør det muligt at afgive fra reglerne, så der i Danmark ikke beregnes et
tag, så det det kan bære sne som et hus i Norge. Små regler som gør det både billigere, og
nemmere at bygge i et land, som ikke er hårdt ramt at naturen. I Danmark følger vi enkelte regler
af eurocodes, men vi har vores egne som hedder ’de tilhørende danske nationale annekser (NA)’
Hvis en tømrermester bliver spurgt på at bygge et billigt hus, kan han godt lave det så det holder,
med dimensioner af træ som er mindre end eurocodes skriver, men det må han ikke, da man skal
følge et reglement som bliver lavet af EU og Danmark.
8
http://www.eurocodes.dk/da/hvad-er-eurocodes
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
23
Hvis du skal have bygget et hus, skal vi følge en eurocode som siger at et gulv skal kunne holde til
150kg pr. m
2
. Det er et fastlagt tal, som ingeniører har fundet ud af at huse skal kunne holde til
hvis det skal kunne bruges til beboelse, lige meget om der skal bo to eller om der skal bo fem.
Hvis vi ligger et gulv, og stiller en punktlast på f.eks. 100 kg., må gulvet ikke bøje mere end 1,7
millimeter. Selvom gulvet sagtens kunne holde hvis det bøjede mere, vil mennesker føle at gulvet
gynger når der gås på det, og derfor vil det være ubehageligt at gå ud på.
Udvikling af byggeri og nedbøjning
Noget nyt der er begyndt at blive produceret er I-bjælker, for ikke at blande det sammen med I-
jern er det, det samme som et I-jern bare lavet af træ. Materialerne til at lave en I-bjælke er
lamineret træ og OSB plader. Fordelen ved I-bjælker er:
lav vægt
dimensionsstabilitet
lange længder
reduktion af kuldebroer
nem montering af installationer
let bortskaffelse eller genanvendelse
9
Med disse fordele, har det også en udvikling for byggeteknologien, og udviklingen af bygning af
huse. Disse I-bjælker har også den fordel af det kan bruges til etagebjælker eller spær af en
tømrer. I-bjælker er en lille smule dyrere i indkøb, men der er en masse fordele ved dem. En af det
store besparelser ved I-bjælker er at en I-bjælke ikke skal ligge lige så tæt, som spær træ, hvilket
gør at der er færre arbejdsgange i at lave et etagedæk, et andet plus er de er meget lettere at
bære rundt på, det sparer tømreren for at slæbe på meget tunge ting, og det giver besparelser
hvis der skal bruges løftegrej til at lave et dæk. I sidste ende giver det en besparelse til kunden. Alt
dette er fordi der hele tiden bliver udviklet i byggeriet, og finder måder man kan styrke områder,
samtidig med der skal bruges mindre træ for at overholde de samme regler for nedbøjninger.
For at undgå nedbøjninger på store spænd, laver man også understøtninger i form af bærende
vægge eller søjler. Hvis vi tager en simpelt understøttet nedbøjning som eksempel, og den bøjer
9
http://www.digitaleprodukter.dk/produkter/71-i-bjaelker-moelven-danmark-as
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
24
over 1,7 millimeter når vi stiller os ud på den, vil den være ulovlig ud fra eurocodes regler. Måden
der kan rettes op på dette er ved at lave en understøtning under nedbøjningen, det gør at der
kommer en støtte på midten af nedbøjning, og dermed forsvinder nedbøjningen. Det gør at
udregning for nedbøjningen bliver ændret da spændet hvor der ikke er understøtning er blevet
halvt så stort, og derfor bliver det fysisk umuligt for en person at få det til at bøje så meget ned at
det giver følelsen af at det gynger.
For mange år siden blev der brugt store stykker tømmer som bjælkelag, da de virkelig kunne holde
til noget. Men som tiden skred frem blev man klogere, og fandt ud af at inertimomentet ikke
afhang af bredden på materialet der blev brugt. I stedet var det vigtigt hvor højt materialet var, da
inertimomentet blev bestemt af hvor højt man lavede et materiale. Det er derfor der i dag bliver
brugt spær træ, (træ der er 45 eller 70 mm bredt, og fra 95 op til 295 mm i højden) til at lave
bjælkelag. Det giver også en stor besparelse på vægt af de materialer der bliver brugt, og når det
har samme styrke som et stykke træ der er 295x295mm, giver det ikke mening for en tømrer at
slæbe rundt på pinde der vejer 6.5 gange mere end nødvendigt.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
25
Konklusion
Resultaterne i opgaven, viser der er et stort sammenhæng mellem en nedbøjning og
inertimoment. Et inertimoment har stor indflydelse på en nedbøjning, men elasticitets modulet er
også meget vigtigt i en nedbøjning, da det bestemmer materialets stivhed. I opgavebesvarelse
lærte læser at inertimomentet kan variere meget efter hvordan man vender et profil, og af den
grund, kan en nedbøjning have en stor ud svingning i om man vender stiller et objekt op eller om
man ligger det ned.
Opgaven ligger stor vægt på brug af formelen for simpelt understøttet nedbøjninger, som er det
der bliver brugt mest når man er tømrer. I de forsøg der blev udført ser man hvordan et profil med
lodrette sider på er meget stærkere end store flader med et tryk.
Der er også en sammenhæng mellem tømrerens arbejde, og ingeniørens arbejde bag skrivebordet,
da tømrer altid skal være opmærksom på tegninger, da det er vigtigt at der bliver fuldt de
dimensioner på en tegning, da ingeniøren har beregninger på nedbøjninger, som er vigtige at følge
når der bliver bygget, da nedbøjninger der ikke burde være der ligner noget der ikke kan holde.
[navn fjernet] SSO 2/2-2016
Nedbøjning af simpel understøttet bjælke
26
Bibliografi
1ucasvb. 2013. Youtube. Youtube.com. [Online] 4. 1 2013.
https://www.youtube.com/watch?v=b44WbCS9xnc.
Afsar, Jafal. 2016. Engineering intro. Engineering Intro. [Online] 29. 1 2016.
http://www.engineeringintro.com/mechanics-of-structures/moment-of-inertia/moment-of-inertia-of-
hollow-section/.
Birkelind, Chano. 2016. Fysik Leksikon. fysikleksikon.nbi.ku.dk. [Online] 28. Januar 2016.
http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/y/elasticitet/.
2016. Engineers Edge. Engineers Edge. [Online] 29. 1 2016.
http://www.engineersedge.com/material_science/moment-inertia-gyration-5.htm.
Lauridsen, Jimmy. 2016. Århus Universitet. Scitech. [Online] 28. 1 2016.
http://scitech.au.dk/fileadmin/site_files/gymnasie/bes%C3%B8gsservice/studieretning/Deformation_af_en
_staalbjaelke.pdf.
Madsen, Preben. 2013. Statik og Styrkelære. København K : Nyt Teknisk Forlag, 2013.
Moleven. 2016. Digitale Produkter. digitageprodukter.dk. [Online] 30. 1 2016.
http://www.digitaleprodukter.dk/produkter/71-i-bjaelker-moelven-danmark-as.
Sanistål. 2016. Sanistål.dk. Sanistål. [Online] 29. 1 2016.
https://www.sanistaal.com/media/292941/Staalprisliste_web_2011.pdf.
Wikipedia. 2016. Wikipedia.com. Wikipedia.com. [Online] 1. 2 2016.
https://de.wikipedia.org/wiki/Aluminium.