Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 1 af 14
Indhold
Indledning ..................................................................................................................................................... 2
Hvad er en vektor? ....................................................................................................................................... 2
En vektors længde .................................................................................................................................... 3
Stedvektorer/vektorer i et koordinatsystem ........................................................................................... 3
Vektor mellem to stedvektorer ............................................................................................................ 3
Addition af vektorer ................................................................................................................................. 4
Den kommunikative lov:....................................................................................................................... 4
Den associative lov ............................................................................................................................... 4
Addition med koordinater .................................................................................................................... 5
Subtraktion af vektorer ............................................................................................................................ 5
Subtraktion med koordinater ............................................................................................................... 5
Subtraktion af de to stedvektorer fra tidligere .................................................................................... 6
Multiplikation af vektorer med et tal ....................................................................................................... 6
Tværvektor ............................................................................................................................................... 6
Skalarprodukt ........................................................................................................................................... 7
Kommutative lov for skalarproduktet .................................................................................................. 8
Vinklen mellem 2 vektorer ................................................................................................................... 8
Projektion af en vektor. ............................................................................................................................ 9
Determinanten for to vektorer, og arealet af et parallelogram og en trekant ...................................... 10
Areal ................................................................................................................................................... 10
Det skrå kast ........................................................................................................................................... 10
Stighøjden ........................................................................................................................................... 11
Begyndelses hastighed og elevationsvinkel ....................................................................................... 11
Kastebevægelsens varighed ............................................................................................................... 12
Kastevidde .......................................................................................................................................... 12
Vektorfunktioner i det skrå kast ............................................................................................................. 12
Stedvektor .......................................................................................................................................... 12
Hastighedsvektor ................................................................................................................................ 12
Accelerationsvektor ............................................................................................................................ 12
Opgaver .................................................................................................................................................. 13
Opgave a) ............................................................................................................................................ 13
Opgave b) ........................................................................................................................................... 13
Beregninger med vektorfunktioner. ................................................................................................... 13
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 2 af 14
English summary .................................................................................................................................... 13
Kildeliste ................................................................................................................................................. 14
Indledning
Denne opgave omhandler vektorer i planen. I denne opgave vil jeg forklarer begrebet vektor, jeg vil
forklarer hvad en vektor er, og hvordan man regner med vektorer. Menende hvordan man kan addere
og subtrahere vektorer, og hvordan man multiplicere vektorer med et tal. Jeg vil også forklare begrebet
skalarprodukt, og dennes sammenhæng med vinklen mellem 2 vektorer. Jeg vil forklare arealberegning
af vektorer, herunder begrebet determinant. Der ud over vil jeg forklare det skrå kast, fx en bolds
kastebane, hvor jeg vil komme ind omkring begreberne elevationsvinkel, stighøjde, kastevidde og
kastebevægelsens varighed. Efter det vil jeg forklarer, hvordan man kan bruge vektorfunktioner til at
bestemme boldens præcise position, hastighed og acceleration på et bestemt tidspunkt. Under hele
processen vil jeg prøve at illustrere og forklare metoderne.
Hvad er en vektor?
En vektor er en pil der har en bestemt retning og længde, en vektor er en repræsentant for alle pile der
har præcis den retning og længde. En vektor skrives som et bogstav (eller to der så repræsentere et
start- og et slutpunkt)med en pil over:
etc. til hver vektor er der et tilhørende koordinat-sæt,
dette skrives over hinanden fx
Der findes en vektor der ikke har nogen retning eller længde kaldet en nulvektor, skrives
, alle vektorer
ud over denne kaldes egentlige vektorer.
Indsætter man vektorer i et koordinatsystem defineres
der to basisvektorer, som er enhedsvektorer.
Disse to basisvektorer kaldes og , de gør sig specielle ved
hhv. at være parallel med x-aksen og y-aksen samtidig
gør de sig specielle ved at være præcis 1 i længde,
heraf enhedsvektor. Disse to vektorer vil derfor have
koordinaterne:
ved hjælp af disse to kan
enhver anden vektor i koordinatsystemet opløses i to vektorer
i enhedsvektorernes retning som på illustrationen →
Her er opløst i
og
hvilket også kan skrives
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 3 af 14
En vektors længde
Ved begrebet en vektors længde forstås den reelle længde af vektoren, det skrives som
. Der kan
findes mange vektorer med samme længde, men forskellige retninger, fx længden af disse to
vektorer er ens, men vektorerne er modsatrettet. Længden af en vektor beregnes via pythagoras
læresætning, så:
.
Bevis:
Som eksempel kan vi bruge illustrationen til højre:
Stedvektorer/vektorer i et koordinatsystem
Et koordinatsystems nulpunkt kaldes origo (O).
Når man tegner en vektor der starter i netop dette punkt,
kommer begrebet stedvektor. Dette begreb bruges da
vektorer ikke nødvendigvis er låst til et normalt
koordinatsystem(x, y). Da stedvektoren starter i O,
går til et punkt har punktet og stedvektoren
samme koordinater. Som ses til højre, for at skelne
mellem punkter og vektorer, skrives vektorers
koordinator som sagt over hinanden. Så på figuren ses at stedvektoren,
Vektor mellem to stedvektorer
Ved hjælp af stedvektorer kan man finde
koordinaterne til vilkårligt indlagte vektorer
i et koordinatsystem. Som det kan ses til højre,
har jeg indlagt en vilkårlig vektor
,
som går fra A(1, -3) til B(4. 1), disse 2 punkter
er også koordinater for stedvektorerne
og
.
Der for kan man skrive følgende;
,
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 4 af 14
Dette vil jeg bevise længere nede, under subtraktion
af vektorer.
Addition af vektorer
To vektorer kan adderes både grafisk og via deres
koordinater, jeg vil starte med at vise den grafiske metode.
Vi skal addere vektorerne og
, den grafiske metode
at gøre dette på, foregår ved at de to vektorer sættes i
forlængelse af hinanden, så
’s startpunkt bliver
s
slutpunkt. En anden måde at forklarer dette,
er at skrive
og
som
så det matematisk
bliver:
Resultatet kaldes også sumvektoren.
Den kommunikative lov:
Siger at rækkefølgen man adderer to vektorer på,
er ligegyldig:
På billedet til højre er den kommunikative lov vist,
de to additioner danner til sammen et parallelogram
og dette kaldes også parallelogramreglen.
Den associative lov
Denne lov forstås lettere, nu vi har lært den kommunikative lov,
den siger man må sætte og hæve positive parenteser,
som det findes nødvendigt:
På billedet er et eksempel på dette, hvor jeg har valgt
at kalde sumvektoren
som det ses er det ligegyldigt om
man først beregner sumvektoren af
eller
osv.
resultatet vil altid blive:
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 5 af 14
Addition med koordinater
Addition af vektorer via koordinater
Her er et eksempel på den kommunikative lov:
Her er et eksempel på den associative lov:
Subtraktion af vektorer
Igen vil jeg vise den grafiske metode først og dernæst med deres koordinater.
Hvis vi har to vilkårlige vektorer
kan de subtraheres
grafisk ved at starte
i s startpunkt så vil resultatet blive
en vektor fra
s slutpunkt til s slutpunkt. Som vist til højre.
En subtraktion kan omskrives til en addition
med simpel matematik fx:
Dette kan man også gøre med vektorer, når man gør
dette ændrer man også vektorens fortegn, fx:
.
Når en vektors fortegn ændres, så bliver vektoren
modsat rettet dvs. en modsat rettet vektor til
vil hedde . Grafisk vil additionen så det se sådan ud →
Som vi kan se ændre dette ikke resultatet.
Subtraktion med koordinater
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 6 af 14
Subtraktion af de to stedvektorer fra tidligere
Derved kan vi uddrage en formel for vektorer mellem 2 punkter:
En anden måde at forstå denne formel på er,
at man parallel forskyder
op i origo.
Multiplikation af vektorer med et tal
Når man ganger en vektor med et tal, ganger man begge koordinater med det.
Et eksempel vil være hvis vi har vektor
og vi ganger
med hhv. 2, -1 og 1.5. Grafisk kan det ses til højre.
Hertil er der også 3 regneregler:
1.
2.
3.
Ud over disse 3 regneregler er der også en sammenhæng
mellem parallelle vektorer, der benytter sig at multiplikation
med et helt tal. Hvis 2 vektorer er parallelle, vil der være
et tal der kan ganges på for de bliver ens. Hvis vi tager
udgangspunkt i illustrationen til højre, hvor vi har
.
Så kan vi skrive sammenhængen:
hvor
etc.
Tværvektor
Ved begrebet tværvektor forstås, en vektor der er drejet 90° i den positive retning i forhold til den
originale vektor. Tværvektor skrives
og udtales ”a hat”. En vektor og dens tilhørende hat er derfor
ortogonale det skrives
.
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 7 af 14
Der er 4 regneregler der gælder hat’en:
(vist på illustrationen til højre)
Hvis vi kigger på basis vektorerne
kan vi se at:
Med denne betragtning og regnereglerne,
kan vi udlede en formel til udregning
af tværvektoren til enhver vektor.
Her er hurtigt et eksempel:
Skalarprodukt
Skalarproduktet også kaldet prikproduktet, er en metode til at multiplicere 2 vektorer på, det kaldes
også at prikke to vektorer. Det skrives som følger:
. Skarlarproduktet er ikke en ny vektor, men et
tal. Tallet fortæller noget om vinklen mellem de to vektorer, hvilket jeg vil komme ind på om lidt.
Skalarproduktet mellem,
er defineret ved:
Her er et eksempel:
Når man prikker to vektorer får man et tal, det tal fortæller os om vinklen er spids, stump eller ret:
Vinklen er spids.
Vinklen er stump.
Vinklen er ret. For at dette skal gælde betyder det dog, at hverken eller
må være en
nulvektor.
.
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 8 af 14
Kommutative lov for skalarproduktet
Når man prikker to vektorer gælder den kommutative lov (
). Dette kan bevises som følger:
Det er altså lige meget hvilken rækkefølge de prikkes i, da ledende hører sammen, og derfor bliver
ganget med hinanden inden de lægges sammen ifølge denne lov.
Her er lidt flere regneregler for skalarprodukt:
Vinklen mellem 2 vektorer
Den præcise vinkel mellem to vektorer kan også bestemmes. Dette kan gøres via en formel, der tager
udgangspunkt i cosinusrelationen. Sætningen for at finde vinklen mellem to vektorer er som følger:
Beviset for sætningen:
Vi ændre den lidt så den passer til længden af vektorer
Et hurtigt eksempel med en 345-trekant:
Hvis vi har to parallelle vektorer, fx og
kan
skrives som:
Dette bevises ved at sætte
og indsætte det i prikproduktet:
Herefter skrives det som koordinater, og vi sætter t uden for parentesen. Til sidst
reducere vi.
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 9 af 14
Eksempel,
og
Projektion af en vektor.
Projektion af en vektor betyder, at projicere en vektor
vinkelret på en anden vektor. Hvis vi projicerer
på ,
vil projektionsvektoren blive kaldt
. Hvis skalarproduktet
af de to vektorer er positivt vil
og blive ensrettet,
og hvis det er negativt vil de være modsatrettet.
Er skalarproduktet lig 0 vil projektionen blive en nulvektor.
Laver man en projektion af en stedvektor , på hhv.
x- og y-aksen kaldes de, x-komposanten
og
y-komposanten
. For disse gælder, at:
og
. Efter som projektions vektoren altid vil være
parallel med den vektor den projiceres på, kan vi udnytte
det tidligere begreb,
til at beskrive den. Dernæst vil
vektoren mellem spidsen af
og spidsen af
, være lig med
. Med denne betragtning, og vores viden om
at skalarproduktet mellem to ortogonale vektorer er nul, kan vi gøre følgende:
det indføres i;
så har vi en formel for projektionsvektoren.
Længden af projektionsvektoren kan beregnes via formlen:
En sidste sætning til der omhandler projektion er:
Dvs. at for alle vektorer, der ligger på den vinkelrette linje
skaber til
vil skalarproduktet med give det samme, da deres projektioner på
vil være
.
Eksempler på regning med disse formler:
Projektionsformlen
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 10 af 14
Længde af en projektion
Skalarproduktet
Determinanten for to vektorer, og arealet af et parallelogram og en trekant
Determinanten for to vektorer er defineret som:
Hvis to vektorer er parallelle, vil determinanten give 0, hvilket vi ved da skalarproduktet af to ortogonale
vektorer altid giver nul. Siden den hattede vektor så vil stå vinkelret på den anden vektor.
Areal
Arealet af et parallelogram kan beregnes,
som højden x grundlinjen . I vektor
matematikken er grundlinjen og højden er
for en spids vinkel og
for en stump vinkel.
Arealet af parallelogrammet er:
Hvilket jeg vil bevise nu, først for vektorer
med en vinkel mellem sig på under og dernæst for vektorer med en vinkel .
På figuren kan vi se at højden, må være;
Da
gælder beviset her igen.
Med denne formel kan man også beregne arealet af
den trekant to vektorer udspænder, ved at gange med en ½.
Det skrå kast
Det skrå kast er en betegnelse for et kast med en genstand fx en bold i en vilkårlig vinkel. Når beregner
det skrå kast, ser vi bort fra luftmodstanden. Kastet kan deles op i to bevægelser et lodretkast, der har
en konstant nedadrettet acceleration, som er lig med tyngdeaccelerationen (g), og et vandretkast med
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 11 af 14
en konstant hastig. Selve banen det bolden i flyver vil være en parabel, denne kaldes også
kasteparablen.
Stighøjden
Stighøjden er den maximale højde over begyndelsesstedet,
som bolden opnår. Tiden dette sker, kan udregnes ved
formlen for hastighed med en konstant acceleration:
, hvor er hastigheden,
er
begyndelseshastigheden, er accelerationen og t er tiden.
For et lodret kast vil accelerationen være konstant negativ
fra bolden slippes, denne acceleration vil være lig med
den negative tyngdeacceleration:
,
så tiden hvor bolden opnår max højde og hastigheden 0 m/s, er:
Et eksempel på dette er illustreret på grafen, hvor begyndelseshastigheden er 10 m/s, og
Strækningen tilbagelagt af bolden på den tid kan beregnes via formlen:
Så stighøjden for bolden fra eksemplet før:
Efter bolden har ramt sit toppunkt, vil der gå præcis samme tid før den igen er faldet ned til start
højden, på hvilket tidspunkt den vil have præcis samme hastighed, dog i modsat retning. I det skrå kast
vil
,
.
Begyndelses hastighed og elevationsvinkel
Elevationsvinklen er den udgangs vinkel,
man kaster bolden i. Begyndelseshastigheden
er,
som navnet antyder, den hastighed bolden bliver
kastet med, i den givne vinkel. Denne kan deles
i to hastigheder, en i lodretretning
,
som er projektionen af
på y-asken og en i
vandretretning
, som er projektionen på x-aksen,
disse to findes som følger:
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 12 af 14
Kastebevægelsens varighed
Kan defineres som;
, hvis bolden lander i samme højde den er
blevet kastet fra. Hvis den har en starthøjde over jorden kan vi tilføje den som
Kastevidde
Kastevidden er den maximale længde(s) ad x-aksen bolden kommer før den igen rammer start højden.
Den kan beregnes ud fra hvad vi allerede ved.
Vektorfunktioner i det skrå kast
Stedvektor
For at beregne hvor bolden er på et hvert tidspunkt kan vi indføre en stedvektor , den er en funktion af
tiden, betydende at begge dens koordinater er en funktion af tiden.
koordinaternes 2 funktioner er givet hhv. for x ved den distance bolden har tilbagelagt ad x-aksen på en
given tid, og den distance bolden har tilbagelagt ad y-aksen.
, da hastigheden er konstant og accelerationen er 0, vil det blive en
lineærligning.
Disse to til sammen danner boldens banekurve. Længden af,
er længden fra startpunktet.
Hastighedsvektor
For at bestemme boldens hastighed på et bestemt tidspunkt, tager man differentialet af stedvektoren,
altså må man differentiere, funktionerne for
hver for sig, så man får:
, her er endnu et bevis på at hastigheden ad x-aksen er konstant.
Længden af,
er hastigheden på det bestemte tidspunkt:
Accelerationsvektor
Accelerationsvektoren er differentialet af hastighedsvektoren, eller 2. differentialet af stedvektoren. I
det skrå kast har vi ingen acceleration ad x-aksen og en konstant acceleration ad y-aksen. Dette vil jeg
nu bevise:
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 13 af 14
Opgaver
Opgave a) Der er givet to vektorer,
Bestem vinklen mellem de to vektorer.
For at bestemmevinklen mellem de to vektorer bruger vi formlen fra tidligere:
Opgave b) En bold kastes mod en mur. Kasteren befinder sig 6,0 meter fra muren, og bolden slippes 2,0
meter over jorden. Boldens fart i det øjeblik, hvor bolden slippes, er 8,0 meter/sekund, og
elevationsvinklen er 60°. Beregn den højde, hvor bolden rammer muren.
Vi beregner først hastighederne i hhv. x’s og y’s retning.
Så udregner vi tiden det vil tage bolden at tilbagelægge den strækning.
Nu kan vi udregne højden bolden rammer muren.
Beregninger med vektorfunktioner.
For at vise brugen af vektor funktionerne, vil jeg bruge eksemplet over, og beregne den præcise slut
hastighed og position fra start punktet. Positionen til tiden 1.5s:
Hastigheden til tiden 1.5s:
English summary
In this report I will try to explain the basics of vector mathematics. I will explain how a vector is
presented by an arrow, and a vector's co-ordinates. Then I will explain how to calculate with vectors,
including addition and subtraction of vectors and multiplication of a vector with a number. Furthermore
Herning HF og VUC SSO [navn fjernet] 2.P
Side 14 af 14
I will explain the dot product, and how it is related to the angle between two vectors. Later I will explain
a balls trajectory, known in Danish as “Det skrå kast”. Then I will show how vectors can be used to
explain the balls exact location, velocity, and acceleration at a given time. At the end of my report I will
complete some exorcises that were given to me in my assignment. Through the whole report I will strive
to illustrate and explain the methods which are in use.
Kildeliste
Bøger
1. Matematik for adgangskurset ved ingeniørhøjskolerne A-niveau, forlaget Dafolo, forfatter Nils
Victor-Jensen
- Sider brugt: 106-133
2. Matematik for 1-årigt A-niveau, forlaget Trip, forfatter Thomas Hebsgaard og Hans Sloth
- Sider brugt: 59-71, 75-92
3. Fysikkens verden 2, forlaget Gad, forfatter Finn Elvekjær
- Sider brugt: 219-221, 223-226
4. Vejen til Fysik A2, forlaget Hax
- Sider brugt 187-189
5. Egne Matematik og Fysik notater.
Illustrationer
- Alle illustrationer har jeg selv tegnet i programmet GeoGebra.