Abstract
This project investigates temperament of pianos and similar instruments. I will explain the conflicts that
causes why you cannot tune an instrument entirely pure. In the music part I have concentrated on the work
“the well-tempered Clavier” of Bach and in the mathematic part I have focused on continued fractions. I
will describe the most important temperaments used through the history and explain the advantages and
disadvantages of each tuning. I will explain theory about continued fractions and prove an important
sentence. By means of continued fractions I will construct a hypothetic instrument with a number of
pitches in an octave in which the fifth is purest. I will analyze two pieces by Johann Sebastian Bach written
in two different keys and describe how his tuning system is visualized in his work. The results of the study
on continued fractions were that an instrument with 41 pitches in an octave would be ideal for the purest
fifth but still practical enough to be played. However it is not probable that such a system would break
through since all western music is based on the 12-tonestystem. The analysis of the two pieces by Bach
shows that his tuning system was very practical since it made it possible to play pieces in all keys. His tuning
was however not entirely pure, but in his age that was not necessarily a problem, and it gave all keys their
own personal touch. I found out that every tuning system has its flaws, but sometimes flaws are good for
music.
2
Indhold
Indledning .......................................................................................................................................................... 3
Hovedafsnit........................................................................................................................................................ 3
Stemningssystemer ....................................................................................................................................... 3
Pythagoræisk stemning ............................................................................................................................. 5
Den rene stemning .................................................................................................................................... 5
Den prætorianske stemning ...................................................................................................................... 6
Tempererede/ikke-tempererede stemninger ........................................................................................... 6
Den ligesvævende stemning ...................................................................................................................... 7
Werckmeister ............................................................................................................................................ 7
Bach’s veltemperede stemning ................................................................................................................. 8
Centværdi .................................................................................................................................................. 9
Et teoretisk instrument................................................................................................................................ 10
Introduktion ............................................................................................................................................. 10
Teori om kædebrøker .............................................................................................................................. 11
Bevis for sætning 3 .................................................................................................................................. 13
Anvendelse af kædebrøker til bestemmelse af tonesystem ................................................................... 15
Vurdering af instrumentet ....................................................................................................................... 17
Das Wohltemperierte Clavier ...................................................................................................................... 17
Introduktion ............................................................................................................................................. 17
Toneartskarakteristik ............................................................................................................................... 18
Analyse af Es-mol præludium .................................................................................................................. 19
Analyse af B-mol fuga .............................................................................................................................. 22
Konklusion ....................................................................................................................................................... 26
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 27
Bilag ................................................................................................................................................................. 28
Bilag 1 - centværdier for ligesvævende, prætoriansk og Werckmeister
Bilag 2 - afvigelse for ¼ komma middeltone og 1/6 komma middeltone
Bilag 3 – Noder til Eb-mol præludium
Bilag 4 – Noder til B-mol fuga
Bilag 5 – Cd med Eb-mol præludium og B-mol fuga
3
Indledning
Vi kender alle til musik, og vi har også en mening om, hvad der lyder godt, og hvad der lyder dårligt.
Igennem tiden har musikken ændret sig, og dette har krævet udformning af nye instrumenter og nye måder
at stemme instrumenterne på. Vores ide om hvordan musik klinger godt har ændret sig meget gennem
tiden, og dette kan bl.a. ses i måden hvorpå musikerne har stemt deres instrumenter. Den stemning vi i dag
bruger i den vestlige musik, nemlig den ligesvævende, blev tidligere ikke anerkendt på grund af den
anderledes klang.
Når man i dag lytter til et stykke musik spillet på klaver, lyder det ikke falskt. Men et klaver er faktisk ikke
stemt helt rent! Jeg vil i denne opgave komme ind på, hvorfor det ikke er muligt at stemme et klaver helt
rent, og jeg vil også komme ind på de forslag, der gennem tiden har været til hvordan man bedst stemmer
et klaver (og diverse andre tasteinstrumenter).
I dag bruger vi et tonesystem med 12 trin i en oktav. Dette system er fra et matematisk synspunkt ikke den
eneste mulighed, og måske slet ikke den bedste. Derfor vil jeg ved hjælp af teorien om kædebrøker forsøge
at udregne det antal trin i en oktav, der giver de reneste intervaller mellem tonerne med fokus på den rene
kvint. Med disse resultater vil jeg lave et ”hypotetisk instrument”, og vurdere hvorvidt dette instrument vil
være mere brugbart, end de tasteinstrumenter vi normalt anvender.
Som et led i udviklingen af stemningssystemer udkom Johann Sebastian Bachs værk ”Das Wohltemperierte
Klavier” i 1722, hvor Bach komponerede stykker i alle tonearter – hvilket kunne lade sig gøre på grund af
den tempererede stemnings gennembrud. Jeg vil analysere to af disse numre (en fuga og et præludium), og
vurdere hvorledes numrene bærer præg af stemningssystemet, og hvad Bach’s formål var med dette værk.
Først vil jeg dog lige sætte nogle begreber på plads. Jeg vil i denne opgave konsekvent bruge betegnelsen B
og Bb i stedet for ”H og B” eller ”H og Bb”. H vil undtagelsesvis blive brugt på nogle af figurerne. Denne
notation bruger jeg, både fordi det er min foretrukne, men også fordi jeg arbejder med meget
engelsksproget litteratur hvori denne notation bliver anvendt. Ydermere vil jeg fra nu af omtale værket
”Das Wohltemperierte Clavier” som WTC, da denne titel vil blive nævnt mange gange, og dette er en
almindelig forkortelse bl.a. i den litteratur jeg anvender. Endvidere skal jeg gøre opmærksom på, at når jeg
omtaler et ”rent” interval, eksempel vis en ren kvint, mener jeg ”ren” i den forstand, at kvinten har
forholdet 3/2 til grundtonen. Altså bruges ”ren” ikke i betydningen ”ikke-formindsket eller forstørret”.
Hovedafsnit
Stemningssystemer
1
Grundlaget for især vestlig musik er vores intervaller. Man har altid ment, at to toner med frekvenserne f
1
og f
2
klingede godt, hvis forholdet f
1
/f
2
var et helt tal divideret med et andet helt tal, og disse tal ikke var for
store
2
.
En oversigt over de centrale intervaller ser således ud:
1
Definitionen på disse stemningssystemer er baseret på Tal og Tangenter
2
Fra http://www.math.ku.dk/formidling/studieretningsprojekter/filer/Mat_musik/Stemning/Stemning.pdf
4
Intervaller
Oktav
Kvint
Kvart
Stor terts
Lille terts
f
1
/f
2
2/1
3/2
4/3
5/4
6/5
Det forholder sig imidlertid sådan, at et klaver ikke kan stemmes så alle intervaller klinger rent. Når vi i dag
stemmer klaverer med den ligesvævende stemning, er det faktisk kun oktaven, der er stemt helt rent. Det
er nødvendigt at oktaverne er helt rene, da vi opfatter f.eks. C
1
og C
2
som ”samme tone” bare C
2
som
lysere. Jeg vil nu med udgangspunkt i kvinter og oktaver vise et eksempel på, at intervallerne ikke kan
stemmes rent
3
:
Hvis vi på et klaver tager tonen C
1
som udgangspunkt og springer 7 oktaver op, ender vi på C
8
. Vi ender på
det samme C hvis vi springer 12 kvinter op. På klaveret er dette C den samme tone, men hvis vi regner på
vores rene intervaller får vi to forskellige frekvensforhold.
Når vi går 12 rene kvinter svarer det til at gange frekvensen med:
=
= 129,75
Når vi går 7 rene oktaver op svarer det til at gange frekvensen med: 2
7
= 128
Forholdet mellem disse to tal kaldes det pythagoræiske komma:
P =
=
Eftersom vi er nødt til at stemme alle oktaver rene, må vi altså acceptere en vis afvigelse på nogle af
kvinterne eller måske alle kvinterne. De stemningssystemer, jeg vil gennemgå længere nede, har hver især
deres bud på en fordeling af det pythagoræiske komma.
Vi har nu bevist at 12 kvinter og 7 oktaver ikke er det samme, men vi kan sådan set ikke vide, om et højere
antal kvinter og oktaver giver samme frekvens. Vi kan dog bevise at frekvenserne aldrig bliver ens, ved at
lave et simpelt matematisk bevis
4
:
Vi antager, at vi kan finde to positive hele tal r og n så r kvinter og n oktaver er samme interval. Så betyder
det at:
=
=
Da tallet
er ulige og tallet
er lige har vi nået til en modstrid. Vores antagelse om at r kvinter og n
oktaver skulle passe sammen må altså være forkert.
Nu vil jeg introducere læseren for en anden central konflikt kaldet det syntoniske komma. Det syntoniske
komma udtrykker en konflikt mellem den rene kvint og den rene store terts. Hvis vi går fire kvinter op fra
tonen C
0
ender vi på tonen E
2
. Dette svarer også til to oktaver og en stor terts. Dette vil jeg nu regne på:
Fire kvinter op svarer til frekvensforholdet:
≈ 5,06
3
Eksempel fra Tal og Tangenter
4
Fra Tal og Tangenter
5
To oktaver og en stor terts svarer til forholdet: 2
2
*
=5
=
≈ 1,0125
Altså er det syntoniske komma et udtryk for forholdet mellem den terts vi får hvis kvinterne er rene, og den
terts vi får når tertsen er ren.
Disse to kommaer vil være relevante i forhold til beskrivelse af de forskellige stemningssystemer. Igennem
tiden har det ændret sig, hvilke intervaller man lægger mest vægt på, og i nogle stemningssystemer er den
rene terts prioriteret, mens den rene kvint er prioriteret højere i andre. Jeg vil ikke gå dybere ind i andre
intervaller end kvint og terts, da disse to intervaller er klart de vigtigste, da grundtone, terts og kvint netop
danner vores treklange. Der er ydermere fokus på den store terts, da øret er mere sart overfor afvigelser på
den store terts end den lille.
Jeg vil nu beskrive de mest fremtrædende stemninger igennem historien, og slutte af med nogle forslag til
hvilken stemning Bach har brugt i WTC. Stemningerne er gennemgået tilnærmelsesvist kronologisk efter
hvornår de blev brugt.
Pythagoræisk stemning
Inden for den pythagoræiske stemning er den rene kvint prioriteret højt. Derfor har man forsøgt at stemme
alle kvinter rent, hvilket ifølge vores beregninger og al erfaring
selvfølgelig ikke kan lade sig gøre. Man har taget tonen Es som
udgangspunkt og arbejdet sig opad i kvinter indtil man når Gis.
Her får man problemer, for kvinten til Gis er Dis – og ikke Es, og
derfor bliver vores kvintcirkel ikke hel. Faktisk vil forholdet
mellem dette Dis og Es svare til en ren kvint divideret med det
pythagoræiske komma, da denne kvint er hele det
pythagoræiske komma mindre:
= 1,4798
Intervallet mellem Gis og Es er nu en formindsket sekst, hvilket
mildest talt lyder rædsomt når intervallet skal fungere som en
kvint. Denne ”kvint” kaldes for ulvekvinten eller the wolf. Den pythagoræiske stemning kan godt bruges,
bare man holder sig indenfor et begrænset antal tonearter som ikke kommer i nærheden af The Wolf, og
de store tertser bliver dog også alt for store. Denne stemning blev først set hos Euklid (300 år f.kr), men
blev især anvendt i middelalderen. Den ”uddøde” dog gennem renæssancen, idet flerstemmig musik
begyndte at vinde frem. Dette krævede rene treklange, hvilket den pythagoræiske stemning ikke kunne
tilbyde.
Den rene stemning
De rene stemninger dukker op i renæssancen og har det
tilfælles, at de forsøger at stemme både kvinter og tertser rent.
Dette kan selvfølgelig ikke lade sig gøre, men indenfor de rene
6
stemninger nøjes man med at stemme 3 tre dur-treklange efter hinanden på kvintcirklen rent. Oftest
stemte man C, F og G-dur rent, således at man kunne spille rent i C-dur (og A-mol). Når man stemte disse
tre treklange rent havde man stemt alle de hvide tangenter. Denne stemning har fordelen, at man faktisk
kan spille rent i én toneart. I denne stemning ville man også godt kunne bevæge sig hen i de nærliggende
tonearter (i dette tilfælde G-dur/E-mol eller F-dur/D-mol) uden de store problemer, men jo længere man
fjerner sig fra C-dur, des ringere vil det lyde, og i de fjerne tonearter vil det være ulideligt at lytte til.
Den prætorianske stemning
Den prætorianske stemning, som er en af middeltonestemningerne, prioriterer den rene store terts højt.
Derfor kunne denne stemning bruges til renæssancens flerstemmige musik, og den blev brugt langt op i
barokken. Vi har allerede introduceret konflikten mellem den rene store terts og den rene kvint og kaldt
den for det syntoniske komma. Når den prætorianske stemning kræver rene
store tertser, ved vi altså, at det går ud over den rene kvint. I den
prætorianske stemning vælger man derfor at sænke kvinterne til fordel for
den rene store terts. Det forholder sig imidlertid sådan, at uanset hvilken
tone man vælger som udgangspunkt, vil man højst kunne danne 8
vellydende store tertser, det vil sige, at der altid er mindst fire tertser, der er
falske.
Der findes flere forskellige middeltone-stemninger, og den vi mest vil
beskæftige os med, er den prætorianske, også kaldet ¼-komma middeltone,
da det var den mest udbredte af middeltonestemningerne i renæssancen og
barokken
5
. Den hedder ¼ komma middeltone fordi vi sænker 4 kvinter, og disse kvinter dermed hver
afviger med et kvart pythagoræisk komma. Du finder en oversigt over afvigelsen af denne stemning i bilag
2. Når alle store tertser er rene, og vi ved, at alle kvinter er sænket lige meget, kan vi udregne hvor meget
hver af de fire sænkede kvinter afviger fra den rene kvint, altså forholdet mellem grundtone og kvint. Hvis
vi tager kvintrækken c-g-d-a-e går vi altså fra C
0
til E
0
, hvilket svarer til 2 oktaver og en stor terts, men også
til 4 kvinter. Vi ved, at alle kvinter er sænket lige meget, så vi vil finde faktoren K som hver af de 4 kvinter er
ganget med:
K
4
=
* 2
2
= 5 k=
= 1,49535
Tempererede/ikke-tempererede stemninger
Inden jeg går videre med at beskrive den ligesvævende stemning og Werckmeister, skal vi have to begreber
på plads, nemlig tempererede og ikke-tempererede stemninger. De tre stemninger jeg lige har beskrevet er
alle ikke-tempererede, og i næste afsnit vil jeg beskrive den ligesvævende stemning og Werckmeister, som
begge er tempererede. Her er forskellen:
De ikke-tempererede stemninger: Her bruger man udelukkende rene intervaller som generatorinterval.
Altså kræves det, at nogle bestemte intervaller (ud over oktaven) er rene, f.eks. kvinter og tertser. Til
gengæld resulterer dette i nogle komplet ubrugelige tonearter, oftest dem med mange fortegn.
5
http://www.torean.dk/musik/stemning.html#
7
De tempererede stemninger: I de tempererede stemninger er det pythagoræiske og det syntoniske komma
fordelt. Flere eller alle kvinter og store tertser er derfor en smule falske, men til gengæld kan vi kun rigtig
arbejde med kvintcirklen inden for de tempererede stemninger, da vi ikke længere støder på ubrugelige
ulvekvinter som splitter vores kvintcirkel ad. Det skal lige bemærkes, at den pythagoræiske stemning af
nogle beskrives som tempereret, idet man godt kan spille stykker hele kvintcirklen rundt, det vil blot være
meget problematisk.
Den ligesvævende stemning
Nu bliver det spændende. Jeg vil nu beskrive den stemning, vi i dag bruger til vores klaverer. Som beskrevet
har de andre ikke-tempererede stemninger alle haft styrker, men også fatale svagheder. Et ligesvævende
stemt klaver har samme frekvensforhold mellem to nabotangenter. Det betyder at stemningen laver et
voldsomt kompromis og fordeler det pythagoræiske komma ligeligt over alle kvinter. Alle kvinter er derfor
en smule for lave, men ikke mere end at det er acceptabelt for det gennemsnitlige øre. Den store terts
kommer også under kniven, og bliver en smule for høj. Ud over oktaven er ingen intervaller helt rene. Den
ligesvævende stemning har dog en kæmpe fordel, man kan nu spille i alle tonearter uden at det lyder falskt!
Dette er grunden til, at den ligesvævende stemning er slået igennem og blevet det klart mest dominerende
stemningssystem. Her kommer lidt matematisk om den ligesvævende stemning:
Hvis et instrument er ligesvævende stemt, er kravet, at forholdet mellem to nabotangenters frekvenser er
den samme, uanset hvilke to nabotangenter vi vælger. Dette er udtrykt ved
6
: f
n
= K * f
n-1
1 P P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
P
7
P
8
P
9
P
10
P
11
P
12
Vi ved, at en oktav er delt op i 12 halve toner, og at forholdet mellem frekvensen C
1
og C
2
er
. Derfor vil
forholdet (P) mellem frekvenserne være
7
:
P
12
=2 P=
≈1,05946
Denne viden vil vi bruge senere, når vi konstruerer et instrument med andet end tolv halvtoner i en oktav.
Men vi skal have beskrevet nogle flere stemningssystemer, for at komme nærmere ind på hvilken stemning
Bach brugte:
Werckmeister
Werckmeister var en tysk organist og musikteoretiker som udviklede en lang række stemninger. Vi vil her
tage udgangspunkt i hans stemning Werckmeister 3 (Werckmeister 3-korrekt temperatur no 1), da det var
den mest brugte i samtiden. Werckmeister stemningerne var meget populære i barokken idet den tillod
6
Notation fra Fysik med klang s. 23
7
Fra Tal og tangenter
8
musikeren at spille i alle tonearter uden en kæmpe afvigelse i intervallerne. I denne stemning er det
pythagoræiske komma fordelt over 4 kvinter. I denne Werckmeister-stemning er kvinterne C-G, G-D,D-A og
B-Fis sænket, som vist på tegningen:
Hver formindsket kvint har nu samme frekvensforhold som de formindskede kvinter i den prætorianske
stemning.
Werckmeister 3 er endnu en kandidat til Bach’s stemning, og denne stemning er især interessant, fordi
Werckmeister selv hævdede, at denne stemning var særlig velegnet til at spille kromatisk musik (det vil sige
musik der bruger alle oktavens tolv toner, i modsætning til diatonisk musik som holder sig indenfor
skalaens toner).
Bach’s veltemperede stemning
Det vides ikke præcist hvilken stemning Bach har anvendt til hans værk WTC. For at starte et sted, vil jeg slå
ned på forslaget i bogen ”Bach’s well-tempered Clavier” af David Ledbetter som der foreslår ”1/4-comma
meantone, something like Werckmeister 3 and something like equal temperament”. Svar som dette er
typisk hvad man finder i litteratur om Bach, og der findes umiddelbart intet entydigt svar. David Ledbetter
begrunder sine forslag med, at disse stemninger var de dominerende i Bach’s tid, og ifølge Tal og Tangenter
er det sandsynligt, at Werckmeister 3 er blevet brugt på de orgler Bach spillede på. Bine Bryndorf
(orgelprofessor på Det Kongelige Danske Musikkonservatorium) siger, at tempereringen formentlig ligger et
sted i nærheden af det som hedder 1/6 komma middeltone (denne stemning finder du en illustration af i
bilag 2).
Her er, hvad vi ved om Bach’s stemning:
1) Stemningen er ikke ligesvævende
8
2). Han er sandsynligvis blevet påvirket af tidens stemningssystemer,
hvoraf de mest populære var Werckmeister og middeltonestemningerne. Det er imidlertid ikke engang
sikkert, at Bach benyttede sig af nogle kendte stemninger. I Tal og Tangenter præsenterer Gert Uttenthal
Jensen et bud på Bach’s stemning:
Dette er en rent praktisk beskrivelse af, hvordan klaveret skal stemmes. Sænkningen af kvinterne er
beskrevet i antal stødtoner pr sekund, men det giver alligevel et billede af hvor kvinterne er blevet sænket.
Vi kan i hvert fald udelukke, at Bach har brugt ikke-tempererede stemninger til WTK, både fordi værket
hedder ”veltempereret klaver”, og fordi det ellers ikke havde været muligt at komponere i alle tonearter. Vi
kan også, ifølge vores præmis, udelukke den ligesvævende stemning. Vi kan også tillade os at udelukke ¼
komma middeltone-stemningen, idet den kun kan bruges i tonearter med højst 2 krydser eller 2 b’er
9
. Altså
står vi nu tilbage med Werckmeister 3, 1/6 middeltonestemning og Bach’s hjemmestrikkede. Jeg vil tillade
8
Ifølge Bine Bryndorf (orgelprofessor på Det Kongelige Danske Musikkonservatorium)
9
http://www.torean.dk/musik/stemning.html
9
mig at tage udgangspunkt i Werckmeister 3, når jeg forholder mig til Bach’s stemning. Denne stemning har
jeg hyppigst mødt som bud på Bach’s stemning, og hvis ikke det er præcis den stemning han har brugt,
afviger barokstemningerne i hvert fald ikke meget fra Werckmeister. Dette underbygges også af
Werckmeister’s egen udtalelse om, at Werckmeister 3 er specielt velegnet til kromatisk musik, og især den
fuga jeg analyserer senere indeholder rigtig meget kromatik. Jeg har i min research også arbejdet meget
med Gert Uttenthal Jensens analyser af WTC, hvor han fra en stemningssynsvinkel også indirekte
konkluderer, at Werckmeister 3 er et meget sandsynligt bud på Bach’s stemning. Hvis Bach har brugt en
hjemmelavet stemning, er den nok desværre gået tabt.
Centværdi
Når vi måler hvor meget et givent interval afviger fra de ligesvævende intervaller(eller det rene interval)
bruger vi centværdier. (Der findes illustrationer af cent-værdier for den ligesvævende, den prætorianske og
Werckmeister 3 stemningerne i bilag 1). En cent er en logaritmisk tolv- hundrededel af en oktav. Man kan
altså sige, at oktaven ”måler” 1200 cent
10
, og en cent er altså en 100-del af en halvtone. Her er x er
frekvensforholdet
11
:
Centværdi = 1200*
= 1200 * log
2
(x)
De rene intervaller:
I oversigten over centværdier har jeg imidlertid opdaget nogle fejl, og jeg mener derfor, at han har
udregnet centværdierne for Werckmeister 5 i stedet for Werckmeister 3. Jeg vil derfor selv udregne
centværdierne for Werckmeister 3:
Således ser Werckmeister 5 ud, og indeholder en hævet kvint:
10
http://www.scribd.com/doc//Lars-Pryn-Kunst-og-Virkelighed
11
Figurerne er fra Gert Uttenthals hjemmeside http://www.frborg-gymhf.dk/gj/mat/
10
Her er Werckmeister 3:
Jeg ved, at de rene kvinter har centforholdet 702. For at finde
centværdien for de kvart-komma formindskede kvinter siger vi:
1200*
= 696,6
Vi finder nu de resterende toner ved at bevæge os opad i kvinter og
gange med enten den rene eller den formindskede kvint. Når vi
overstiger oktaven trækker vi blot 1200 fra. Disse værdier vil jeg bruge
senere i forbindelse med Eb-mol præludiet.
Et teoretisk instrument
Introduktion
Hvis et instrument er ligesvævende stemt, er kravet, at forholdet mellem to nabotangenters frekvenser er
den samme, uanset hvilke to nabotangenter vi vælger. Dette er udtrykt ved: f
n
= p * f
n-1
Vi ved, at en oktav er delt op i 12 halve toner, og at forholdet mellem frekvensen C
1
og C
2
er
. Derfor vil
forholdet (P) mellem frekvenserne være
12
:
P
12
=2 P=
≈1,05946
Fra et matematisk synspunkt, er det ikke nødvendigt at holde sig indenfor et tonesystem med 12 toner.
Man kan forestille sig, at et tonesystem med flere toner mellem oktaverne kan ramme de rene intervaller
bedre.
Vi deler oktaven ind i et endnu ukendt antal trin n
13
: P
n
=2 P=2
1/n
For at finde dette forhold anvender vi, at forholdet mellem grundtone og kvint skal være 3/2. Derfor kan vi
sige at: P
r
= 2
r/n
= 3/2 = 1,500.
12
Fra Tal og tangenter
13
Fra Matilde
Den RIGTIGE Werckmeister 3
C
0.0
Cis
92,4
D
193,2
Es
296,4
E
391,8
F
500,4
Fis
590,4
G
696,6
Gis
794,4
A
889,8
Bb
998,4
B
1093,8
11
r/n vil da være løsningen til ligningen 2
r/n
= 1,5 som vi kalder for log
2
3/2 (solve(2
y
= 1,5,y)). Den rationelle
brøk
vil nu udtrykke at: r = antal trin hen til kvinten, og n = antal trin i en ”oktav” altså eksempelvis fra C
1
til C
2
. Oktav er her sat i gåseøjne, fordi oktav kommer af det latinske octo, som betyder otte. Vores
instrument skal netop have et antal hele toner forskellig fra otte, og derfor vil jeg fra nu af bruge ordet
oktav for intervallet hvor frekvensen fordobles. For at undersøge det optimale antal tangenter vil jeg gøre
brug af kædebrøker.
Teori om kædebrøker
Kædebrøker bruges til at finde de bedst mulige approksimationer til et givet tal.
En kædebrøk er en brøk af typen
14
:
Hvor alle a-værdierne og hele og positive.
For at give et eksempel kan vi udregne den rationelle brøk
til en kædebrøk. Det gør vi ved først at
dividere 33102 op i 103993 og så lægge resten til i brøkform:
= 3 +
hvilket er det samme som: 3 +
. Vi fortsætter denne procedure og får følgende:
3 +
=3 +
3 +
= 3 +
= 3 +
= 3 +
De heltal vi lægger til ude i venstre side, kalder vi kvotienter, og de er i dette tilfælde [3,7,15,1,292]. Denne
følge kunne dog også hedde: 3 +
og kvotienterne er da [3,7,15,1,291,1]
Kvotienterne skriver vi på generel form som [a
1
,a
2
,…,a
n
] eller [a1,a2,…,a
n
-1,1]
Vi arbejder også med konvergenter, som er det rationelle tal vi får ud af en kædebrøk. Konvergenten c
n
=
er den brøk vi får, når vi skærer kædebrøken af efter leddet a
n
. Vi prøver nu at udregne konvergenterne til
kædebrøken i eksemplet ovenfor.
3 = 3
3 +
=
≈ 3,14286
3 +
=
≈ 3,14151
14
Følgende afsnit er om kædebrøksteori udarbejdet med udgangspunkt i Talteori
12
3 +
=
≈ 3,14159
3 +
=
≈ 3,14159
Vi ser at jo flere led kædebrøken indeholder, des mere præcis bliver vores approksimation af tallet.
Vi kan godt udregne en kædebrøks konvergenter med denne metode, men hvis vi arbejder med en lang
kædebrøk vil dette tage lang tid. Vi vil nu undersøge, om der gælder en generel formel for udregning af
konvergenter. For at undersøge dette vil jeg udregne konvergenterne generelt når n = 1 når n = 2 og når n =
3.
n=1, [a
1
] c
1
= a
1
=
n =2, [a
1
,a
2
] c
2
= a
1
+
=
=
n = 3, [a
1
,a
2
,a
3
] c
3
= a
1
= a1 +
=
=
Altså er:
r
1
= a s
1
= 1
r
2
= a
1
∙a
2
+1 s
2
= a
2
r
3
= a
3
∙r
2
+r1 s
3
= a
3
∙s
2
+s
1
Vi kan nu opstille en generel formel for den n-te konvergent c
n
til en kædebrøk, når vi ved at
15
:
r
0
=1, r
-1
=0, s
-1
=1, S
0
=0
Sætning 1: c
n
=
for n ≥ 1
Vi kan hurtigt vise, at vores præmisser for r og s passer.
For n = 2 ser formlen for konvergenten sådan ud:
c
2
=
, her kan vi fastsætte værdierne for r
0
og s
0
. Vi husker at r
1
= a
1
, og så får vi i tælleren
dette:
r
2
= a
1
∙a
2
+r
0
, og da vi ved fra tidligere at r
2
= a
1
∙a
2
+1 må vi sætte r
0
til at være 1. r
0
= 1
Vi husker at s
1
= 1 og s
2
= a
2
, og derfor får vi i nævneren:
a
2
= a
2
∙1+s
0
, og s
0
må derfor være lig med 0. s
0
= 0
For at finde s
-1
og s
0
,
regner vi c
1
ud hvor n = 1 og får dette:
13
c
1
=
I tælleren ved vi allerede, at r
0
= 1 og r
1
= a
1
og derfor ser ligningen således ud:
a
1
= a
1
∙1 +
, og r
-1
er derfor 0 r
-1
= 0
I nævneren ved vi at s
0
= 0 og at s
1
= 1 og ligningen bliver:
1 = a
1
∙0 + s
-1
, og s
-1
bliver derfor 1 s
-1
= 1
For konvergenterne gælder også at:
Sætning 2: r
n
*s
n-1
– r
n-1
*s
n
= (-1)
n
for n ≥ 0
Jeg vil ikke bevise denne sætning, idet dette bevis foregår ved induktion, men jeg vil vise den for n = 0, n = 1
og n = 2
n = 0: r
0
*s
-1
– r
-1
*s
0
= (-1)
0
1*1-0*0 = (-1)
0
1 = 1, SANDT
n = 1: r
1
*s
0
– r
0
*s
1
= (-1)
1
r
1
*0 – 1*1 = -1 -1 = -1, SANDT
n = 2: r
2
*s
1
– r
1
*s
2
= (-1)
2
(a
1
*a
2
+1)*1 – a
2
*a
1
= 1 a
1
*a
2
+1-a
2
*a
1
= 1, SANDT
Med disse 2 sætninger i baghånden gør vi nu klar til at bevise følgende sætning
16
:
T > 0 er et givet tal f.eks. løsningen til ligningen 2
y
=1,5 og
er konvergenten til T. Da er
den bedste
rationelle tilnærmelse til T i den forstand, at hvis
er et andet rationelt tal med heltallig positiv tæller og
nævner og Q ≤ s
n
, så gælder:
Sætning 3:
når n >0
Bevis for sætning 3
Sætning 3 siger, at kædebrøkskonvergenserne til T ligger tættere ved tallet T end brøken
. Denne sætning
vil jeg nu bevise:
17
Jeg vil først danne en generel kædebrøk med mit irrationelle tal T.
(heltalsdel) a
1
= [T] = n og r
1
(rest) = T - a
1
. Vi har nu at r
1
є ]0,1[ og dermed at T
2
=
> 1.
16
Fra Matematiske ideer s. 138
17
Dette bevis er udarbejdet med udgangspunkt i Asmus L. Schmidt’s Kædebrøker og Matematiske ideer samt med
hjælp fra min vejleder
14
T = a1 +
= [a1,T
2
]
Vi sætter nu a2 = [T
2
] og r2 = T
2
– a2
Vi har nu at r2 є ]0,1[ og dermed at T
3
=
>1 og
T = a1 +
= a1+
=[a
1
,a
2
,a
3
,T
4
]
Hvis vi fortsætter på denne måde får vi at: T = [a
1
,a
2
,…,a
n
-1,T
n
] og T
n
1.
Vi bruger nu sætning 1 til at finde: T =
Nu isolerer vi T:
T (T
n
*s
n-1
+s
n-2
) = T
n
*r
n-1
+r
n-2
T
n
(T*s
n-1
-r
n-1
) = r
n-2
-T*s
n-2
T
n
=
Her tager vi numerisk værdi, da T skal være positiv, og vi ved ikke om nogle af værdierne er negative.
Da T
n
> 1 får vi at:
>1
>
Dermed gælder også at:
>
Dette udsagn skal vi anvende senere.
Vi ved nu at
18
: Konvergenterne til en rationel brøk
udgør en følge af brøker. Generelt gælder:
T
Vi antager nu at
≠
og
≠
og at Q < s
n
I del 1 sætter vi først differensen på fælles brøkstreg. I andet led ved vi, at tælleren er større end eller lig
med 1, for hvis vi sætter det lig nul, vil det give
, som vi har antaget, at det ikke er.
Del 1)
≥
≥
=
(fra andet til tredje led bruges sætning 2)
Af disse to udregninger kan vi nu udlede at
19
: (tilfælde A)
18
Fra Matematiske ideer
15
T
Eller: (Tilfælde B)
T
I tilfælde A kan vi se at:
≥
≥
≥
(fra andet til tredje led bruges Del 1)
(Vi ganger nu q på i begge sider) Q*T-P ≥ Q*
=
≥
I tilfælde B kan vi se at:
≥
≥
T*Q-P ≥
=
Vi har også at: T-
≤
=
(Nu ganger vi med
på begge sider og får:)
T*
-
≤
*
=
Af det foregående får vi: T*
-
< T*
-
≤ T *Q -P S
n
T-
< Q
T-
<
T -
≤
Vi har nu at:
hvis Q ≤ s
n
Og hermed er beviset ført.
Anvendelse af kædebrøker til bestemmelse af tonesystem
Nu har vi bevist, at kædebrøker med størst mulig nævner giver os den bedste approksimation af et tal, og vi
vil nu kigge på vores alternative instrument.
For at finde tallet
fandt vi ud af, at vi kan bruge det irrationelle tal log
2
3/2 til at danne en kædebrøk.
Dette vil jeg gøre som gennemgået tidligere.
19
Fra Kædebrøker af Asmus L. Schmidt
16
20
Log
2
3/2 ≈0,07 =
≈
=
≈
=
≈
=
≈
Hvis vi bliver ved på denne måde får vi:
log
2
3/2=
Vi kan godt tillade os at skrive lighedstegn mellem log
2
3/2 og kædebrøken fordi det
ville have været korrekt, hvis vi ikke havde foretaget afrundinger på noget tidspunkt. For at finde
konvergenten
skal vi nu skære kædebrøken af. Vi prøver først efter den fjerde kvotient og får dette:
log
2
3/2 ≈
=
=
Dette forslag betyder at ”oktaven” skal bestå af 5 trin, og at kvinten ligger som
den tredje tone. Vi ved at approksimationen af log
2
3/2 bliver mere præcis jo større nævneren i vores brøk
bliver, så vi prøver derfor at skære kædebrøken af lidt længere nede, nemlig efter den femte kvotient:
log
2
3/2 ≈
=
. Denne mulighed er netop den inddeling vi bruger på det traditionelle klaver, så vi
prøver en mulighed mere, hvor vi skærer brøken af efter sjette kvotient: log
2
3/2 ≈
=
Da brøken
har en større nævner end de foregående brøker, er vi sikre på at denne brøk er den bedste
approksimation af log
2
3/2 indtil videre. Her har vi altså 41 trin i en ”oktav” hvor kvinten ligger som nummer
24. Vi kunne blive ved at udbygge vores kædebrøk, men af praktiske grunde vil det være en dårlig løsning,
idet det for den udøvende musiker vil være problematisk at arbejde med så mange trin.
Som supplement er her en figur der viser afvigelsen i cent for alle toner, altså ikke kun for kvinten
21
. På
førsteaksen har vi antal trin i
oktaven, og på anden-aksen
har vi afvigelsen i cent.
Bemærk hvordan vores
resultater 12 og 41 skiller sig
ud.
20
Fra Matilde
21
Illustration fra http://dkeenan.com/Music/EqualTemperedMusicalScales.htm
17
Vurdering af instrumentet
Sætning 3 siger, at jo højere nævner vi har på en brøk, des nærmere kommer vi på vores irrationelle tal. En
logisk følge af dette vil være, at et optimalt instrument skulle have uendelig mange tangenter. Derfor
stopper vi af praktiske grunde ved 41, som også er en ordentlig mundfuld når man er vant til 12. Vores
resultat med 5 trin i en oktav er også upraktisk. Godt nok vil vi have en nogenlunde ren kvint, men hvad så
med alle vores andre intervaller? Denne mulighed er udelukket. 12 toner i en oktav fungerer godt i praksis.
Vores udregninger viser dog, at kvinten på et ligesvævende stemt instrument er for lav, og det sarte øre
kan faktisk godt høre forskel. Når vi kigger på vores system med 41 tangenter, ved vi, at kvinten nu er mere
præcis pga. sætning 3. Man kan endda godt tænke, at flere af de andre intervaller kunne blive renere når
der kommer flere tangenter i oktaven. Med 41-tonesystemet følger der imidlertid en hel masse nye toner
med, og hvad skal vi stille op med dem? Det ville blive en helt anden slags musik. Måske er 12-tone
systemet bare alt for sikkert integreret i den vestlige musik og indførelsen af 41-toners systemet er meget
usandsynlig.
Das Wohltemperierte Clavier
Introduktion
Das Wohltemperierte Clavier er et værk skrevet af Johann Sebastian Bach. Det er delt op i to dele som
udkom henholdsvis i 1922 og 1944
22
. Hver del består af 24 præludier og 24 fugaer, hvoraf han har
komponeret et præludium og en fuga i hver toneart og i både dur og mol. På forsiden af del 1 står der
dette:
The Well Tempered Clavier,
or
preludes and fugues in all tones and semitones,
in the major as well as the minor modes,
for the benefit and use
of musical youth desirous of knowledge
as well as those who are already advanced in this study.
For their especial diversion, composed and prepared by
Johann Sebastian Bach,
currently ducal chapelmaster in Anhalt Cöthen
and director of chamber music,
in the year 1722.
23
22
Tal og tangenter s. 36
23
http://www-personal.umich.edu/~siglind/wtc-00b-intro.htm
18
Her får vi allerede et billede af, hvilket formål Bach havde med sit værk. WTC indeholdt nemlig stykker med
specifikt henblik på at lære hans elever forskellige teknikker
24
. Der er imidlertid andre formål med dette
værk, for Bach var fortaler for de tempererede stemninger, og her demonstrerer han, at det er muligt at
komponere og spille stykker i alle tonearter
25
. Vi ved imidlertid, at Bach ikke brugte en ligesvævende
stemning, og han demonstrerer derfor også, hvilke typer numre der lyder godt i hvilke tonearter. Dette vil
jeg undersøge, om jeg kan finde tegn på, i de to stykker jeg vil analysere.
Toneartskarakteristik
Toneartskarakteristik er et begreb vi arbejder med, når der ikke er tale om ligesvævende stemning. Når
kvinterne og tertserne ikke er stemt ens hele kvintcirklen rundt, vil nogle tonearter indeholde flere falske
treklange end andre. Dette er imidlertid ikke altid en dårlig ting, og i barokken (og tidligere) var man meget
bevidst om, at de forskellige tonearter havde hver deres personlige præg.
Gert Uttenthal Jensen arbejder med denne oversigt over dur-tonearternes karakteristika udarbejdet af
Christian Friedrich Daniel Schubart (), som var en tysk digter og musikhistoriker. Den bygger over
Werckmeister 3 stemningen, men de andre stemninger i barokken havde samme tendenser. Indeni midten
af cirklen har Gert Uttenthal udregnet afvigelsen på den rene store terts i cent for dur-treklangene, for at
påvise sammenhængen mellem toneartens karakteristika, og hvor ren/falsk den store terts er. Til
sammenligning er afvigelsen for en stor terts i den ligesvævende stemning 14 cent.
Den røde farver angiver tonearter der omtales med ord der kendetegner ro, kærlighed, idyl og balance.
Den grønne farve benyttes til ord der udstråler heftighed, bevægelse og kraft men uden smerte. Den blå
farve benyttes til ord der udtrykker sorg, smerte, fortvivlelse, død:
Det er klart at toneartskarakteristikker er en meget subjektiv vurdering, og man finder mange forskellige
opfattelser af de forskellige tonearter. Der er dog en klar tendens til at vurdere tonearter med mange
krydser og b’er som særligt smertefulde, da det oftest er dem, som har de mest afvigende tertser og
kvinter. Alt dette har Bach helt sikkert været klar over, og man kan i hans værk se, hvordan han har
komponeret stykker, der passer specielt til den karakter, som tonearten er blevet tildelt. Jeg vil om lidt
analyse et præludium i Ebm og en fuga i Bm, men først skal vi lige kigge på disse tonearters karakteristika
som jeg har fundet. Disse vil selvfølge afvige fra den ovenstående figur, da disse er i mol-toneart.
Ebm:
"Horrible, frightful" (Charpentier, 1692)
“Feelings of the anxiety of the soul's deepest distress, of brooding despair, of blackest depression, of the
most gloomy condition of the soul. Every fear, every hesitation of the shuddering heart, breathes out of
horrible D# minor. If ghosts could speak, their speech would approximate this key” (Schubart, 1784)
26
Bm
“This is as it were the key of patience, of calm awaiting ones's fate and of submission to divine
dispensation”
27
24
Bach’s Well-tempered Clavier – David Ledbetter s. 131
25
Barokbogen s. 86
26
http://biteyourownelbow.com/keychar.htm
19
“Possibility for expressing the fullness of human suffering, pieces in this key tend to feature the device of
chiasmus or a cross shape”
28
Analyse af Es-mol præludium
Et præludium er et stykke musik, som har en indledende funktion. Et præludium er ikke, ligesom en fuga,
bundet af nogle bestemte krav til opbygningen eller indholdet, og er derfor en friere form. I WTC kan man
se præludierne som indledning til den efterfølgende fuga, og de to sammenhørende musikstykker har
udover samme toneart også samme stil og melodiske sammenhænge.
Flere steder har jeg fundet bud på, at Eb-mol præludiet skulle være skrevet til Bach’s afdøde kone hvor
udtrykker sin sorg
29
. Det er også værd at bemærke, at ud af de i alt fire præludier og fugaer i denne toneart,
er dette præludium det eneste skrevet i Eb-mol (de andre er skrevet i Dis-mol), som var denne toneart
reserveret til netop denne oplevelse. Denne fortolkning hænger godt sammen med stemningen i sangen,
som er meget trist og melankolsk. Dette underbygges af den taktfaste markering af hvert slag, som gør
stykket en smule tungt. Dette stykke er dog skrevet således, at den enkelte udøver har frihed til at sætte sit
eget præg på udtrykket.
Stykket er som allerede nævnt i Ebm og har taktarten 3/2, og kører altså i alla breve, hvilket kan have været
valgt for en forsimplet nodelæsning. Næsten hele stykket indeholder en pulsmarkering af alle taktens tre
slag, i form af mere eller mindre fuldkomne akkorder. De spilles for det meste i det nederste system, men
befinder sig også nogle gange i melodistemmen. Akkorderne spilles oftest med arpeggio (opadgående).
Dette præludium kan godt ses som en form for arie, idet der hele vejen igennem er en tydelig
melodistemme.
Helt overordnet kan man inddele Præludiet i to halvdele (delt ved takt 20), men det er mere praktisk at
dele det ind i fem dele:
1: takt 1-4 – her er tonearten Es-mol dominerende
2: takt 4-16 – her begynder vi at bevæge os mod dominanten og i takt 16 skifter vi til Bb-mol.
3: takt 16-20 – Her er vi endt i dominanttonearten og bevæger os modsubdominanten (Ab-mol) som vi
rammer i takt 20
4: takt 20-25 – Her er vi i subdominanttonearten og bevæger os igen mod grundtonearten, som vi rammer i
takt 25
5: takt 25-40 – her bevæger vi os i Eb-mol og slutter endelig med en picardisk terts på Eb-dur.
Dette er meget overordnet men det giver os et overblik over harmonikken. Nu vil jeg gå dybere ind i de
forskellige dele:
Del 1 består af en simpel kadence der i løbet af 4 takter skifter fra tonika (E
b
-mol) Subdominant (A
b
-
mol)Ufuldkommen dominant (D
dim
) Tonika (E
b
-mol). Her sker der altså en kort præsentation af
tonearten og dens hovedfunktioner, og det giver også et billede af et stykke musik som arbejder meget
med spændingsopbygning og udløsning.
27
http://www.wmich.edu/mus-theo/courses/keys.html
28
Bach’s well-tempered Clavier, David Ledbetter s. 116
29
Bl.a. I Bach’s Well-tempered Clavier af Marjorie Wornell Engels s. 65
20
Del 2 består i starten (takt 4-12) udelukkende af spændingsopbygning og udløsning i form af bidominanter
der glider over i deres respektive tonika. Herved føles det for lytteren som om stykket er i gang med en
modulation, mens dette imidlertid ikke er tilfældet. I takt 13-15 sker modulationen til B
b
m og dette
markeres især på det sidste slag i takt 15 hvor bidominanten F-dur leder os hen til Bbm.
I del 3 bevæger vi os mod subdominanten Abm og dette sker ved en I-IV-V progression (akkorderne A
b
m
B
b
m E
b
dur).
Harmonisk sker der ikke noget videre spændende i del 4. Del 3 og 4 har det tilfælles, at der ikke foregår den
tydelige tredeling af takten, som det tidligere og efterfølgende er tilfældet. I stedet foretager både over- og
understemme nogle, til tider, mystiske spring, som jeg vil komme ind på senere.
Del 5 kan deles ind i 3 undergrupper, for den indeholder nemlig 2 optakter til skuffende slutninger, og den
sidste del, som er optakten til den endelige slutning.
Fra takt 25-30 sker der en opbygning i akkorderne, som giver lytteren en fornemmelse af opbygning til en
slutning. Opbygningen består af en fes-dur, en ufuldkommen dominant (Ddim), og i takt 28 kommer
tonikaen Ebm og dominanten Bb-dur. Dette kulminerer med en landing på eller Eb/C som er en skuffende
slutning, og vi ledes videre med subdominanten (Abm) til en Eb-dur, som heller ikke er en tilfredsstillende
slutning.
I takt 31-37 sker en lignende udvikling. Især takt 36 arbejder med de samme akkorder som takt 28 og ender
i takt 37 ud med en Eb7, som vi selvfølgelig heller ikke kan slutte på, da den lave 7’er leder os videre.
Takt 37-40 er afslutningen. Her gennemgår vi en simpel kadence, som leder os til en slutning med en
picardisk terts. Akkordfølgen bliver: Abm (subdominant) Bb med d som ledetone(dominant i dur) Eb-
dur. Denne kadence ledsages af et orgelpunkt (på Eb) i bassen.
Når vi leder efter motiver I dette præludium, finder vi ud af, at de nærmere har rytmisk karakter end
melodisk. Vi finder to vigtige motiver. Motiv 1 kan beskrives således
30
:
De to variationer til venstre består af en optakt til det tredje slag, en punkteret fjerdedelsnode og et
betoningsslag. De to til højre minder meget om, men indeholder en del flere 16-dels noder, og rammer
først betoningsslaget med den punkterede fjerdedelsnode, og bagefter kommer der to 16-delsnoder igen.
Motiv 1a møder vi allerede i første takt og igen i anden takt. Motiv 1c møder vi i takt 3-4. Motiv 1b møder vi
i takt 5 og motiv 1d møder vi i takt 9. Disse motiver finder vi således rundt omkring i stykket.
Vi møder motiv 2 for første gang i takt 20-21, og det ser således ud
31
:
Vi befinder os nu i del 4. Netop i denne del, hvor motiv 2 forekommer, sker der noget interessant. Takt 20-
25 markerer, at vi nu bevæger os over i præludiets anden del. De to første takter af del 4 adskiller sig fra
resten af præludiets takter ved ikke at indeholde en eneste akkord. I stedet laver bassen en imitation af
30
Billede fra http://www-personal.umich.edu/~siglind/wtc-i-08.htm
31
Billede fra http://www-personal.umich.edu/~siglind/wtc-i-08.htm
21
melodistemmen ved at gentage præcis de samme toner og rytme – som netop er motiv 2a. Motiv 2b finder
vi i takt 26-28.
Konklusion på Es-mol:
På Bach’s tid må det have været helt spektakulært at høre et nummer spillet i Es-mol. Es-mol befinder sig
allernederst i kvintcirklen og har hele 6 faste fortegn! Med de foregående stemningssystemer, jeg nævner i
flæng, de rene stemninger, den pythagoræiske, den prætorianske, ville dette nummer have været ulideligt
at lytte til. De tempererede stemninger gjorde et stykke i denne toneart muligt, og det har sikkert også
været Bach’s intention at demonstrere dette. Vi kan, med udgangspunkt i de fremtrædende klange i
præludiet, udregne hvor stor afvigelsen på disse enkelte klange har været i Werckmeister3. De vigtigste
klange er de tre hovedfunktioner Es-mol, Bb-mol og Abm.
Først undersøger jeg Es-mol. Her har vi intervallerne en lille terts Eb-Gb og en stor terts Gb-Bb. En ren stor
terts har centværdien 386,3 en lille terts har 315,6, og en kvint har 702. Som udgangspunkt siger vi, at
afvigelser på over 30 cent er meget store, mens fejl omkring 15 cent er til at holde ud at høre på (den
ligesvævende stemning har intervaller med afvigelse på ca. 15 cent).
Ved hjælp af vores tabeller over centværdier i Werckmeister udregner vi afvigelsen for de to intervaller
(tabellerne findes under afsnittet med centværdier side 11).
Centværdien for Eb-Gb bliver: 590,4-296,4 = 294, og når en ren lille terts har centværdien 315,6 bliver
afvigelsen: 294-315,6 = -21,6 cent, altså er den lille terts lidt for lav. Centværdien for Gb-Bb bliver:
998,4-590,4 = 408, altså en afvigelse på 408-386,3= 21,7 cent.
Kvinten, som er intervallet mellem Eb og Bb, udregner vi således: 998,4-296,4 = 702, netop samme værdi
som den rene kvint!
Resten af treklangene udregner jeg på samme vis, og indsætter mine resultater i denne tabel:
I Bbm og Abm bevæger afvigelsen sig mærkbart over 15 cent, men alt i alt afviger disse forhold ikke meget
fra den ligesvævende stemning. Kvinterne er renere end i den ligesvævende stemning, mens tertserne lider
lidt under det.
Hvis vi studerer Præludiet i Eb-mol, kan vi opdage noget vedrørende kromatikken. For når melodien
bevæger sig i små intervaller, foregår det altid i hurtig fart. Ud fra dette kan vi mistænke denne toneart for
at have ulige intervaller som konsekvens af Werckmeister stemningen. Dette er nemlig ofte konsekvensen i
stykker med mange fortegn. Vi kan også mistænke nogle af treklangene for at være lidt falske, idet de bliver
Ebm
Abm
Bbm
En ligesvævende mol-akkord
værdi
fejl
værdi
fejl
værdi
fejl
fejl
Lille terts
300
-21,6
299,4
-16,2
294
-21,6
-15,6
Store terts
402
+21,7
402,6
16,3
408
21,7
13,7
Kvint
702
0
702
0
702
0
-2
22
spillet uden, eller med meget hurtig arpeggio. Hvis treklangene er falske, høres det bedre hvis der er
akkordbrydning, som Bach jo har undgået i dette stykke.
Et andet tegn på at Ebm indeholder falske toner er toneartskarakteristikken, som gennemgået tidligere.
Schubart udtalte f.eks. at ”hvis spøgelser kunne tale, ville det være i denne toneart”. Dette tyder på, at Ebm
har været en forfærdelig toneart, hvor flere intervaller sikkert har været falske. Werckmeisterstemningen
gør dog op for mange af de falske intervaller, men Ebm’s karakteristik har sikkert hængt ved længe. Selv når
jeg hører dette stykke i ligesvævende stemning, kan jeg næsten høre disse karakteristika, og det giver
måske god mening. Man kan sagtens forestille sig at Bach var bekendt med disse karakteristika, og derfor
komponerede stykker der passede på den enkelte tonearts personlige præg, selvom tonearterne cent-vis
ikke har været så forskellige.
Analyse af B-mol fuga
En fuga kommer af latin og betyder ”flugt”, i den forstand at stemmerne ”flygter” fra hinanden. I
virkeligheden er der i en fuga fokus på, hvordan stemmerne spiller sammen. Det er en kompositionsteknik,
hvis bærende ide er stemmernes imitation af hinanden. Fugaer består af 2 eller flere stemmer og B-mol
fuga har f.eks. fire stemmer. Fugaen starter med hovedtemaet spillet i en af stemmerne. Dette tema kaldes
dux (’fører’). Dux’en præsenteres i alle stemmerne efter tur. En dux efterfølges af en gentagelse af temaet i
dominanttonearten spillet af en anden stemme, her kaldes temaet comes (’ledsager’). Comes ledsages af
en modstemme kaldet kontrapunkt.
32
Bm fuga er den sidste af de 24 fugaer i første bog.
Her er en oversigt over fugaens komposition
33
. Den røde farve symboliserer temaet (subject) og dækker
både dux og comes. Den blå farve symboliserer hoveddelen af kontrapunktet (CS head) og resten af
kontrapunktet er dækket af den brune farve (countersubject). De sorte prikker (stigmata) symboliserer
nogle diatonisk nedadgående fjerdedels noder som optræder i kontrapunktet. Alle disse vil jeg beskrive
nedenfor. Generelt for dette stykke er de mange løse fortegn, og et gennemgående kiastisk motiv. Denne
fuga er imidlertid også den længste i WTC 1.
Denne fuga kan inddeles i 3 dele:
1. del: fra takt 1-25. Her præsenteres temaet i Bm (tonikaen) i tre stemmer og to gange mere som comes i
dominanttonearten. Takt 17-20 sker der noget anderledes end hidtil (det er på oversigten illustreret med
trappetrin) som vi kalder motiv 1. Hele første del bevæger sig i tonika.
2. del: fra takt 26-40. Denne del indledes med motiv 1, som modulerer videre til et tema i subdominanten
E-mol med tilhørende kontrapunkt. Ved hjælp af brudstykker fra kontrapunktet modulerer stykket i takt 36-
37 tilbage til Bm, og i takt 38 begynder et tema med tilhørende kontrapunkt i tonikaen.
3. del: fra takt 41-76. Her begynder vi med tre ufuldkomne temaer i Bm og nogle kontrapunkter. I takt 44
kommer der et tema i D-dur, og igen i takt 48 ledsaget af et kontrapunkt. I midten af takt 53 kommer et
tema i dominanttonearten fis-mol ledsaget af et kontrapunkt. Midt i takt 57 kommer der et tema i
subdominanttonearten i dur, E-dur, efterfulgt at comes i Bm – dominanten til E-dur. Vi ser igen motiv 1 i
32
http://www.denstoredanske.dk/Kunst_og_kultur/Musik/Klassisk_musik/Komposition_og_arrangement/fuga
33
Billede fra http://janus.ucc.nau.edu/tas3/wtc/i24.html#movie
23
takt 65-68. I takt 69 kommer der et brudstykke af temaet i Bm som hurtigt afløses af et fuldkomment tema i
Em. I takt 74 påbegyndes et tema i Bm, som dog hurtigt glider over i noget lignende kontrapunkt, hvilket
danner optakten til en slutning på B-dur – altså endnu en picardisk terts.
Nu vil jeg beskrive de enkelte elementer der optræder i
stykket. Lad os starte med at beskrive temaet som ser
således ud:
Sådan ser temaet ud når det optræder som dux, comes indeholder nogle lidt anderledes intervaller og
kaldes derfor en tonal besvarelse. Det specielle ved dette tema er, at det udnytter hele den kromatiske
skala! Så man tale om at Bach holder sit løfte om, at WTC indeholder ”preludes and fugues in all tones and
semitone” (preludier og fugaer i alle toner og halvtoner). Derfor kan man se Bm fugaen som en god
konklusion til WTC 1.
For at gå nærmere ind på temaet kan vi se, at det strækker sig over præcis 3 takter (8-dels pausen i starten
udfyldes med 8-dels noden i 4. takt) og temaet starter og ender på et fis. Dette fis er i starten det femte trin
i akkorden (Bm), men i løbet af temaet sker der en modulation til dominanttonearten, hvor fis bliver
grundtonen. De første tre toner i temaet præsenterer tonearten. Imellem node 7 og 8 har vi intervallet
tritonus og mellem node 9 og 10, og 13 og 14 er intervallet en formindsket septim. Allerede i introen får vi
introduceret et gennemgående element i fugaen, som er
krydset eller kiasmen. Her forstås det i den forstand, at man
tre steder i temaet kan tegne en streg fra den første til den
fjerde node, og en streg fra den anden til den tredje node, som danner et kryds.
Når vi kigger på oversigten (og i noderne), ser vi at der er 13 fuldkomne og 7 ufuldkomne temaer.
Kontrapunktet:
Det måske mest karakteristiske ved kontrapunktet er de fem diatonisk nedadgående 4-dels noder. På
hjemmesiden hvor min oversigt over fugaen er taget fra
34
kalder han disse noder stigmata. Dette refererer
til de 5 sår Jesus fik på korset, og sammen med det hyppigt forekomne korsmønster bliver denne fuga
fortolket religiøst. Kontrapunktet skal netop fungere som modstykke til temaet, og det gør det også bl.a.
ved at skabe nogle dissonerende intervaller til temaet (f.eks. en forstørret kvart ved den første tone). Den
sidste del af kontrapunktet (markeret med rødt) optræder meget markant og hyppigt i stykket. Hver gang
et kontrapunkt er slut, bliver netop denne del gentaget af en af de andre stemmer (oftest i en anden
toneart end originalen). Dette stykke optræder også diverse andre steder i fugaen.
34
http://janus.ucc.nau.edu/tas3/wtc/i24.html#movie
24
Motiv 1:
Motiv 1 møder vi tre gange i stykket, og det illustrerer elementet gentagelse, som er et af en fugas
elementer. Man kan også kalde det en kanon. I de første to takter er det alt og tenor der spiller dette
motiv, efter 2 takter overtager sopran-stemmen for tenoren (i de andre udgaver af motivet er fordelingen
af stemmer anderledes). Denne del af stykket er illustreret med en trappe fordi motivet trinvist bevæger
sig, i denne udgave, en hel oktav ned fra start til slut - når man altså kigger på hovedstemmen der spilles af
alten. Motivet består af to 16-dels noder og en 8-dels node, som bevæger sig 2 sekunder opad (om det er
små eller store sekunder afhænger af skalaen), og efter at have hængt lidt på 8-delen, bevæger motivet sig
2 sekunder ned igen, og begynder forfra en sekund under udgangspunktet. Sådan fortsætter det, til det
første udgangspunkt er nået en oktav længere nede. Gentagelsen af motivet sker i de to første takter i
tenoren, men bliver overdraget til sopranen. Gentagelsen sker forskudt i forhold til melodistemmen og
befinder sig en kvint under. Ud over takt 17-20 findes dette motiv også i varierede versioner i takt 26-29 og
i takt 65-68 (her i Em).
Kiasmen optræder som et gennemgående element i fugaen. Som allerede nævnt optræder den i temaet.
Den optræder imidlertid også, de to første gange motiv 1 bliver spillet. Efter de to første takter i motiv 1
kan man sige, at de samme to takter gentages, blot hvor stemmerne har byttet plads - sopranen spiller nu
de samme toner som altstemmen gjorde i starten, altstemmen spiller det som tenoren spillede i starten.
Denne formation kan nemlig illustreres som en krydsformation – altså en kiasme.
Det er meget interessant at netop en fuga i denne toneart indeholder kiastiske elementer. Lad os kigge på
citatet fra afsnittet om toneartskarakteristik om B-mol:
“Possibility for expressing the fullness of human suffering, pieces in this key tend to feature
the device of chiasmus or a cross shape”
35
– David Ledbetter
(Mulighed for at udtrykke menneskelig lidelse, stykker i denne toneart har tilbøjelighed til at
indeholde kiasmer eller krydsformation)
Dette er selvfølgelig skrevet længe efter Bachs tid, men det er interessant at Ledbetter mener at kiasmer og
tonearten B-mol hænger sammen. Alt dette kan vi sætte sammen til en fortolkning af nummeret, hvilket er
lidt af en luksus, når vi arbejder med musikanalyse. Korset vil da være Jesu kors og de 5 stigmata toner vil
være Jesu fem sår. B-mol skulle være god til at udtrykke menneskelig lidelse, hvilket også er meget
passende idet dette stykke så symboliserer Jesu lidelse.
35
Bach’s well-tempered Clavier, David Ledbetter
25
Det skulle imidlertid ikke være første gang at et af Bach’s værker bliver overfortolket, så derfor vil jeg slutte
fortolkningen her.
Idet temaet indeholder alle 12 toner i oktaven, må vi konkludere at Bm er stemt rent. Tonerne flytter sig
ikke så hurtigt som de gør i Ebm, så man ville derfor tydeligt kunne høre hvis intervallerne var falske. De
mange løse fortegn forekommer gennem hele stykket, og dermed må vi konkludere at tonerne umuligt kan
være særligt falske. Fugaen bevæger sig også umiddelbart problemløst rundt til andre tonearter, også
tonearter der ligger et stykke væk fra Bm på kvintcirklen. Dette ville ikke kunne lade sig gøre i de gamle
stemninger, idet de var tilpassede meget få treklange. Her har jeg på et udsnit af kvintcirklen markeret de
tonearter fugaen kommer omkring i temaerne:
Alt i alt kommer denne fuga virkelig omkring alle toner og
halvtoner.
26
Konklusion
Hermed er der inden for opgavens begrænsning ikke mere at sige om dette emne. Vi skal selvfølge følge op
på, hvad vi har fundet ud af. I den første del fandt vi ud af, at der ikke er noget entydigt svar på en ”rigtig”
stemning. Alle stemninger har deres fordele og svagheder, og nutidens ligesvævende stemning er nærmere
et kompromis end en løsning på problemet. Vi fandt også ud af at stemningerne har skiftet gennem tiden
fordi musikken har ændret sig. I anden del undersøger vi muligheden for et nyt tonesystem med andet end
12 toner. Vi finder ud af at et 41-toners system ville være en rigtig god løsning. Det er dog usandsynligt, at
vores 12-toners system vil blive afløst, idet al vestlig musik bygger på dette system. Der ville opstå nogle
helt nye intervaller som musikeren og komponisten skulle forholde sig til. Desuden har vi vænnet os så
meget til den ligesvævende stemning, at vi slet ikke lægger mærke til, at den klinger falskt. Vi kom i den
sidste del nærmere ind på, hvad formålet med WTC er. Bach nævner selv på forsiden af værket, at der er en
pædagogisk hensigt, og flere af præludierne er da også egnet til fingerøvelser. Værket demonstrerer, at
man med en tempereret stemning kan spille stykker i alle tonearter. Bach demonstrerer imidlertid også,
hvilken slags stykker der lyder godt i den enkelte toneart. Der kan i praksis ikke have været den store
forskel på de forskellige tonearter, idet Werckmeister 3, som Bach sandsynligvis brugte, minder meget om
vor tids ligesvævende stemning. Man kan derimod forestille sig, at Bach har været meget bevidst om
karakteristikkerne for de forskellige tonearter, og ud fra denne viden har komponeret numre, som passer til
de forskellige karakteristika. Der var altså en grund til, at Bach og de andre Barokkomponister ikke brugte
en ligesvævende stemning. Mange mener således også, at ligesvævende temperering er en dårlig løsning
på problemet med stemningssystemer - uanset hvor praktisk det er. Med den ligesvævende temperering
mister man muligheden for at spille rent i nogle tonearter, og de forskellige tonearter mister deres
personlige præg.
27
Litteraturliste
Bøger:
Carstensen, Jens: Kædebrøker, Talteori. 1. udg. Systime, 1997. side 56-65. (Afsnit i bog)
Dalsgård, Jens: Barokbogen - musik,tanke og kultur i Europa 1. udg. Systime, 1995
Engels, Marjorie Wornell: Bach's Well-tempered Clavier - An exploration of the 48 Preludes and Fugues. 1.
udg. McFarland and Company, Inc., Publishers, 2006.
Gads: Gads Musikleksikon - Sagdel. 1. udg. Gads Forlag, 2003
Ingwersen, Jens m.fl.: Fysik med klang - om fysik og musik. 1. udg. Systime, 1991.
Jensen, Gert Uttenthal: Tal og Tangenter. 1. udg. Matematiklærerforeningen, 2007
Jensen, Steen: Om toneintervaller. 2. udg. eget forlag, 2001.
Kjeldsen, Jens: Mellem kosmos og sjæl - Johann Sebastian Bach og barokmusikken. 1. udg. Nordisk forlag
A/S, 2000
Ledbetter, David: Bach\'s Well-tempered Clavier. 1. udg. Yale University Press, 2002.
Pryn, Lars: Harmoni, identitet og længsel. 1. udg. Det springende punkt, 2007.
Schmidt, Asmus L.: Kædebrøker. 1. udg. Gyldendal, 1967.
Artikler:
Lorentzen, Lisa Lorentzen: Lidt af hvert om kædebrøker: Matematiske ideer, hmm, s. 138-155, 1993
(Artikel)
Lorentzen, Lisa: Musikk og kjedebrøker: Matilde, nr. 28 septemper 2006, s. 11-14 (Artikel)
Hjemmesider:
10klassikere. Udgivet af Jørgen Mortensen Jysk Musikkonservatorium . Internetadresse:
http://bogwebs.systime.dk/10klassikere/ - Besøgt d. 8.12.2010
Institut for matematiske fag. Udgivet af Københavns universitet. Internetadresse:
http://www.math.ku.dk/formidling/studieretningsprojekter/filer/Mat_musik/Stemning/Stemning.pdf -
Besøgt d. 8.12.2010 (Internet)
Siglind Bruhn's Personal Home Page. Udgivet af Siglind Bruhn. Internetadresse: http://www-
personal.umich.edu/~siglind/text.htm - Besøgt d. 8.12.2010
http://www.torean.dk/musik/stemning.html. Udgivet af Tore A. Skogberg, Besøgt d. 8.12.2010
http://www.frborg-gymhf.dk/gj/. Udgivet af Gert Uttenthal Jensen. Internetadresse: - Besøgt d. 8.12.2010
28
Well-tempered Clavier: Analysis, scores, and digital sound. Udgivet af Smith and Korevaar. Internetadresse:
http://janus.ucc.nau.edu/tas3/wtc.html - Besøgt d. 8.12.2010 (Internet).
http://dkeenan.com/Music/EqualTemperedMusicalScales.htm, besøgt 8.12.2010
http://biteyourownelbow.com/keychar.htm, besøgt
http://www.wmich.edu/mus-theo/courses/keys.html, besøgt
http://www.denstoredanske.dk/, besøgt 8.12.2010
Andet:
Allan Wiuff Korsholm: Bachelorprojekt "Kædebrøker og Kaos". 1.1.
Bine Bryndorf, orgelprofessor på Det Kongelige Danske Musikkonservatorium): Kontakt over mail
Klaus V. Jensen, organist Ringkøbing Kirke: Interview.
29
Bilag
Bilag 1 – centværdier for ligesvævende, prætoriansk og Werckmeister
Her en grafisk illustration af cent-forholdene, hvor kvinten er afbildet øverst og den store terts nederst. Den
vandrette streg illustrerer de rene intervaller:
Ligesvævende stemning
Prætoriansk stemning
Werckmeister 3
30
Bilag 2 – afvigelse for ¼ komma middeltone og 1/6 komma middeltone
På figuren nedenunder ses hvor meget de forskellige intervaller afviger fra de rene intervaller (hvor
afvigelsen er 0 %)
Ud fra denne figur kan vi se at
treklangene C, G, D, A og E er stemt
næsten rent, men bevæger vi os enten til
højre eller venstre for disse er der en
kæmpe afvigelse for enten den store
terts eller den lille terts (og for Gis-dur
også en kæmpe afvigelse for kvinten).
I ¼ komma middeltone er treklangene
C,G,D,A,E stemt renere end i 1/6 komma
middeltone, men til gengæld er
afvigelsen på de andre treklange meget
større.