Fraktaler i Matematik og Dansk
Hovedfag: Matematik A
Bifag: Dansk A
Studieretningsprojekt på blabla blabla Gymnasium HTX
Uge 51 med aflevering den 19. december 2008
Vejleder gælder:
Lærer navn & lærer navn
HTX 3. år
Klasse
Side 2 af 21
Indhold
Abstrakt ................................................................................................................................................ 2
Indledning til fraktal ............................................................................................................................. 3
Iterationer ........................................................................................................................................ 3
Det komplekse talplan ..................................................................................................................... 4
Kochs snefnug ...................................................................................................................................... 4
The Mandelbrot set.............................................................................................................................. 6
Videnskabssprog og formidlingssprog ................................................................................................. 9
Populær videnskabelig artikel ........................................................................................................... 12
Hvordan har jeg brugt formidling ...................................................................................................... 15
Konklusion .......................................................................................................................................... 15
Kildeliste ............................................................................................................................................. 16
Bilag .................................................................................................................................................... 17
Abstrakt
Fractal geometry are the world of fantastic colour and shape, and the most known fractal is the
Mandelbrot set named after the great mathematician Benoit Mandelbrot.
The Mandelbrot set is one of the most extraordinary and beautiful discoveries in the entire history
of mathematics. Yet it was discovered as recently as in the 1980s. The invention of the silicon chip
in the 1970s created a revolution within the field of computers and communications but also the
research of fractal gained from this.
Fractals as The Mandelbrot set is known as figures which have infinite precision and people has
been fascinated by these figures since their discovery. What is so remarkable in fact astounding
about the Mandelbrot set, although it is infinite complex it is based on incredible simple principles.
On like almost everything in modern mathematic in fact anybody who can add and multiply can
understand the principles on which it is based
The Mandelbrot set is generated by a mathematics process called iteration. Iteration means to
repeat a process over and over again. The set is based on the nonlinear function Z = z
2
+ c, where c
is a complex constant and therefore we define it as: The Mandelbrot Set M consists of all of those
complex x-values for which the corresponding orbit of 0 under z
2
+ c does not escape to infinity.
This paper tries to talk about the mathematic behind the Mandelbrot set and disseminate the re-
sults into an article. This article will be written so the everyday person can understand the princi-
ples of fractal geometry.
Side 3 af 21
Indledning til fraktal
Fraktaler er et forhold vis nyt emne inden for matematikken eller det vil sige at den moderne del
af fraktal geometrien er nyt. Det var først med tilblivelsen af moderne computer teknik at det blev
muligt at frembringe fraktaler i et omfang der gjorde det muligt at udlede større konklusioner.
Men allerede i blev grund tankerne lagt.
Fraktaler er kender mange fra smukke plane, geometriske figurer, som atter og atter genfindes i
sig selv, når man zoomer ind på detaljer i figuren. Det er den polsk fødte matematiker Benoit
Mandelbrot der indførte navnet fraktal geometri for dette område og er senere blevet navne fader
til den mest kendte fraktal ’The Mandelbrot set’.
Figur 1: Billede af Mandelbrot settet. Den karakteristiske form ligner et insekt men samtidig kunne det også ligne et blad. Fælles
for alle bud er, at det kun har været med til at gøre The Mandelbrot set endnu mere kendt. Det er bl.a. de flotte farver der har
gjort at fraktaler er fascinerende.
Det er nærliggende at spørge hvad en fraktal er. En fraktal er en matematisk ligninger der gennem
iteration (se under Iteration for beskrivelse af dette) danner flotte billeder. Man kan sige at frakta-
ler alle har nogle ligheder.
De er ikke differentiable
De har en uendelig længde
Begrænset Areal
Ingen heltallig dimension
Opstår alle ved iteration.
Selv-Similar
Navnet fraktaler er nært tilknyttet til begrebet om dimensioner. Men for at kunne forklare er det
nemmest at inddrage en fraktal, derudover kan vi også få vist hvordan vi kan sige at fraktaler har
en uendelig længde med et begrænset areal. Vi kan her vælge at bruge Kochs snefnug, Sierpinski –
trekanten, eller Cantor mængden. Vi vælger her Kochs snefnug, da denne både er nem at tegne
samt giver en rigtig god mulighed for at forklare de forskellige definitioner af fraktaler, deriblandt
selv similaritet, areal, længde og dimensioner.
Vi start dog med at forklare teorien vi bruger med fraktaler, Iterationer og komplekse tal.
Iterationer
Iteration betyder helt generelt gentagelse, hvilket vil sige at hvis man itererer så udfører man en
operation et n antal gange. Som et eksempel på dette, kan vi sige at vi itererer operationen ’gange
med 2’. Hertil skriver vi en ligning for dette,
Hvis vi nu siger at vi begynder med x
0
= 5, derfor er x
1
= 10, x
2
= 20, x
3
= 40, … Dette kan også skrive
som et normalt forskrift som vi kender fra en ret linie, f(x
n
) = 2x
n
og dette fører så til at vi kan give
en generel definition af iterationer.
Definition
Ved et iterativt system forstås en talfølge som z
0
, z
1
, z
2
, z
3
Det gælder at hvor hvert element kun afhænger af det foregående ved en given iterationsfunk-
tion f og hvor det for n ≥ 0. Derfor kan vi skrive
Side 4 af 21
Rækken af z
0
, z
1
, z
2
, z
3
kaldes for banen og z
0
er begyndelsespunktet. Denne bruger også under
punktet The Mandelbrot set hvor vi praktisk på iteration.
Det komplekse talplan
Når man støder på en kvadratrod som f.eks.
så får man et problem. Normalt vil man sige at
dette ikke kan lade sig gøre fordi at man ikke kan tage kvadratroden af negative tal. Dette er dog
ikke rigtigt, for gør man det så kaldes dette tal et imaginært tal.
Disse imaginære tal indeholdes ikke af den reelle talakse eller tallinje som man også kan kalde den.
Denne linje kan beskrives som en ret linie med en positiv retning med 0 i midten og med negative,
positive tal på henholdsvis venstre og højre side.
Den nævnte størrelse
vil kunne skrive som 3
. For komplekse tal er
defineret som i
derfor vil den nævnte størrelse også kunne skrive
som 3i som altså er et komplekst tal. Komplekse
tal kan sammenlignes med en vektor som vil blive
tegnet i et x,y koordinatsystem. Vi kan ikke tegne
komplekse tal i et sådan koordinatsystem. Derfor
laver nu en ny akse, drejet 90˚ i forhold til aksen
Re. Vi får derfor et koordanat system for Re (de
reelle tal) og Im (de imaginære).
Et komplekst tal kunne eksempelvis være 2-3i.
Dette tal vil tegnet som en vektor. 2 betyder at
den skal to ud på den reele aksen mens den skal -
3 ud på den imaginære akse.
Vektoren for det komplekse tal opfattes gående fra Origo til punktet som er givet af det komplekse
tal.
Kochs snefnug
Nu snakkede tidligere om hvad en fraktal er. Vi vil nu frembringe en fraktal kaldet Kochs snefnug
og ikke overraskende så ligner denne et snefnug men samtidig kan vi med denne vi alle de sjove
egenskaber/kende tegn en fraktal har.
Figur 3: Det komplekse tal plan, af nogen også
kaldet parameter planet
Figur 2: Den reelle talakse Re
Side 5 af 21
Vi starter med at tegne den. Kochs snefnug fremkommer ved at man itererer en ligesidet trekant.
For at gøre det nemmere for os selv så siger vi at sidelængden er 1. Vi tager på den ene side og
fjerne midten 1/3 del inde fra hver hjerne. Sammen med det nu fjernede område dannes en ny
ligesidet trekant. Vi er nu kommet til trin 1 hvor trin 0 er vores start figur. Processen fra 0 til 1 gen-
tages igen og vi får nu Kochs snefnug ved at gøre dette uendeligt.
1
Figur 4: Frembringelse af Kochs snefnug.
Vi kan se på denne fraktal og vise at denne har en uendelig længde. Omkredsen må kunne siges at
være antallet af liniestykker som der er fremkommet på n’te trin. På 0. trin er der 3 sider af frakta-
len og på 1. Trin ser vi at der nu er 3*4 stykker. Dette kan omskrives til at vi må kunne sige at for
hver gang der sker et trin så kommer 4 stykker ud fra 1. Derfor må antallet af liniestykker være
3*4
n
. Ved 10. Trin må der derfor være 3*4
10
= 3,146*10
6
liniestykker, og vi kan se at antallet er
stærkt stigende.
Da det er en ligesidet trekant og oprindelig var længden 1 må de nye trekanter på 1. trin være en
1/3 af længden. Liniestykket på 2. trin igen være 1/3 af længden derfor kan vi skrive at længden af
liniestykket er givet ved
Omkredsen af Kochs snefnug er derfor,
Da 4/3 > 1 vil O
n
→ ∞ for n
→ ∞, hvilket må sige at der er en uendelig omkreds mens arealet er begrænset.
Selv-similaritet
Vi ser på Kochs snefnug. Man siger at, ved fraktaler kan detaljen
være helbilledet. Dette betyder, tager vi f.eks. som på billedet til
højre den, en lille del og forstørre op så vil vi kunne danne samme
billede som før.
Dette oplever vi bl.a. i Mandelbrot mængden og Julia mængden
som vi hører om senere. Vi ser her at når man zoomer på frakta-
len så genkommer der mini udgaver af Mandelbrot (se billede i
bilag 1)
1
Kochs snefnug er dannet med hentet program fra, http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/vonKochCurve.htm
Figur 5: Selv similaritet af en fraktal.
Side 6 af 21
Vi kan også se dette ud fra en anden fraktal. Under bilag 2 ligger der et billede af Sierpinski trekan-
ten. Modsat Kochs snefnug er denne dannet ved at man har fjerne den midterste del af den ligesi-
dede trekant givet ved sidelængden 1 på 0. trin. Ser på den øverste trekant kan man nemt forstille
sig at denne trekant vil være mangen til den samlede Sierpinski trekant hvis den blot bliver forstør-
ret og derfor er Sierpinski trekanten selv-similær.
Dimensioner
Vi kigger nu på dimensionen af denne fraktal. Det er givet at fraktaler ikke har en heltallige dimen-
sion. Det kan være svært umiddelbart at give en dimension for fraktaler. Er det en streg, en flade
eller måske en kasse. Vi kan selvfølgelig nemt afskrive en kasse for fraktaler er normalt flade. Dog
kan vi ikke bestemme om det er en flade eller en streg
Vi siger at et punkt har dimensionen 0, en streg er 1, en flade er 2 mens en kasse er 3.
2
Vi får at den fraktale dimension d af en selv-similar mængde, er bestemt ved at,
Dette kan vi så bruge til at finde dimensionen af vores Koch snefnug. Vi har at et liniestykke bliver
til 4 efter hvert trin mens længden bliver 1/3. Derfor
Kochs snefnug er derfor hverken en streg men heller ikke en flade. Vi skal have i tanker at det er
kurven og ikke selve snefnugget, der er fraktalen. Derfor kan man sige at Kochs snefnug er en streg
men samtidig en flade.
The Mandelbrot set
Vi har nu fået forklaret de mest primære egenskaber ved fraktaler og vi er nu kommet til at kigge
på den mest berømte og også det første fraktal som blev frembragt ved computer kraft nogensin-
de. Vi taler nu om The Mandelbrot set også kaldet Mandelbrot mængden.
Mandelbrot mængden er givet ved en ganske simpel formel.
Som vi før har snakket om så dannes fraktaler ved iteration og dette gælder selvfølgelig også for
Mandelbrot. Mandelbrot Mængden er givet ved bogstavet M og er defineret til at indeholde alle c-
værdier der ved iteration ikke går mod det uendelige ved start i begyndelsespunktet z
0
. Resultatet
ved en sådan iteration kaldes den kritiske bane, derfor kan man sige at hvis den kritiske bane for
en given c - værdier der går mod uendelig får er denne c-værdi ikke med i Mandelbrot Mængden
2
Dette er defineret og forklaret uddybende på side 67 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal
Side 7 af 21
Som et tillæg til denne definition kan vi sige at,
.
3
Vi vil se at for større c-værdier så går den
kritiske bane mod uendelig ved iteration.
Under indledningen længere oppe så vi et billede af Mandelbrot. Alle værdier af c som ikke går
mod det uendelige farves sorte mens alle andre værdier kan blive farvelagt. De flotte farver som
man tit ser på billeder af Mandelbrot mængden er ikke tilfældige.
Man siger at farven bestemmes af hvor hurtigt c-værdierne for-
svinder mod det uendelige. Dvs. værdier af c der går mod det
uendelige efter 5-10 iterationer bliver en farve mens 10-15 bliver
en anden farve.
Vi vil nu kigge på et par eksempler af iteration med Mandelbrot
mængden. Under afsnittet om iteration fandt vi at en iteration
kan gives til,
. Dette kan vi nu bruge. Som defini-
tion ved vi at for Mandelbrot skal vi starte med z
0
altid og derud-
fra se om den kritiske bane går mod det uendelige.
I eksemplet her til højre ser vi hurtigt at denne iteration går mod
det uendelige. Derfor kan vi sige at c = 1+i ikke er en del af Mandel-
brot mængden.
I bilag 3 ligger der en anden iteration. Her ser vi hvordan den kritiske bane ikke går mod uendelig
ved iteration og betragter vi den kritiske bane ser vi at denne virker periodisk. Selvom den kritiske
bane efter f.eks. 5000 iteration ikke er begyndt at gå mod uendelig, så kan man principielt aldrig
sige at den ikke vil gøre det. For at vide det kræver det at man itererer i al uendelighed.
Vi vil nu kigge på fikspunkter, præfikspunkter og perioder for fraktaler.
Fikspunkter, præfikspunkter og perioder
Vi så lige før i eksemplet med en c = -1 som ikke flygtede uendelig i sin kritiske bane. Dette skyldes
at punktet er med i Mandelbrot Mængden men samtidig så vi at dette punkt havde en periodisk
kritisk bane. Derfor er det interessant at undersøge dette nærmere. Det er faktisk forkert at sige at
vi ikke ved om den kritiske bane c = -3 vil flygte til uendelighed på et tidspunkt. Man siger at hvis
en bane på et tidspunkt rammer en periodisk bane, er den kendt i al evighed og går ikke mod uen-
delig. Vi starter med at bestemme fikspunkter for f(z) = z
2
+c.
Et fikspunkt er givet ved at være f(z) = z derfor kan vi sige at z
2
– z + c = 0 hvilket giver os ved løsning i forhold til en anden-
gradsligning.
4
Vi kan se at grafen tegner en vandret anden grads graf og vi
kan derfor sige om fikspunkter for z
2
+ c at,
3
Dette er forklaret ved bevis af sætning 20 på side 95-96 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal
4
Grund til dette er beskrevet på side 33 sætning 8 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal
Figur 6: eksempel på iteration af Man-
delbrot mængde. Her ser vi hvordan den
kritiske bane går mod uendelig.
1 0.5 0 0.5 1
1
1
f
2
x( )
f x( )
x
Figur 7: tegner vi en graf for z, kan vi give
et billede hvordan fikspunkter arter sig.
Side 8 af 21
Hvis c tilhører R:
c = ¼: der er et fikspunkt, nemlig ½
c < ¼: Der er to reelle fikspunkter (kan kaldes 2 røder)
c > ¼: Der er to imaginære fikspunkter, der er komplekst konjugerede.
5
Vi kan også sige at hvis c tilhører C\R, vil der blive to imaginære fikspunkter.
Præfikspunkter er det næste vi vil kigge på. Skal et tal være præfikspunkt så er betingelsen at et tal
z efter netop 1 iteration går over i et fikspunkt. Derfor må f(z) = z og vil kan derfor gøre dette for at
bestemme præfikspunkter til z
2
+ c
Med fikspunkter og præfikspunkter på plads kan vi nu forklare hvad vi bruger dem til. Dog skal vi
dog lige hører om perioder. Når vi ser på en mængde som Mandelbrot så ser vi på hvordan den
kritiske bane for Z
n
arter sig når vi itererer på den. Vi har med c-værdien bestemt et lille punkt som
vi gerne vil vide om er i mængden. Dette punkt vil under iteration ’flytte’ sig rundt. Vi har allerede
sagt at hvis den kritiske bane rammer en periodisk bane så ved vi at den ikke vil flygte mod uende-
lig på noget tidspunkt. Det er nemmest at forklare perioder ved at bruge eksemplet fra Bilag 3. Når
c er -1 går den hed og bliver -1, 0, -1, 0 når vi itererer på den. Vi kan se at der er en gentagelse i
rækken og dette kalder vi for en periodisk bane. I dette tilfælde er det en periode-2-bane eftersom
den kommer tilbage til udgangspunktet efter 2 iterationer. I bilag 4 ser vi et eksempel på en perio-
de-4-bane hvor vi kommer tilbage til udgangspunktet efter 4 iterationer. Siger man at c = 1i så får
man rækken i, -1+i, -i, -1+i, -i. Da start værdien for c ikke er en del af banen kalder man dette for
en præperiodiskbane. Gældende for alle periodiske baner, er at de alle er med i Mandelbrot
Mængden M.
Periode og Mandelbrot ’kugler’
Perioder og Mandelbrot mængden hænger sammen. Vi vil nu prøve at forklare hvordan perioder
kan bruges og i hvilken sammenhæng de har i forhold til Mandelbrot ’kugler’. Mandelbrot mæng-
den består af en hovedkugle (en slags hjerte form). På dennes sider der uendelig mange cirkelrun-
de kugler, som jeg kalder Mandelbrot kugler. Billedet herunder viser netop en sådan Mandelbrot
kugle.
5
Vi vil ikke forklare dette nærmere, se på side 41 i Jesper Frandsen – Fraktaler og Komplekse tal r
Figur 8: (til venstre) Billede af
Mandelbrot mængde forstørret
16 gange. Dette er en cirkulær-
kugle som sidder på hovedkug-
len af Mandelbrot. For denne
Mandelbrot Kugle gælder det at
alle c-værdier er en periode-5
Side 9 af 21
Mandelbrot kugler er cirkelrunde og har en ’antenne’ til sluttet. Fælles for alle disse kugler er at de
har denne antenne, men også at denne antenne består af et n-antal stikker ud fra den. Der findes
en sammenhæng mellem antallet af disse antenner og så hvordan z
2
+ c virker. For at en c værdi er
en del af Mandelbrot mængden skal denne have en periode-n når den itererers. Den periode-n er
nøjagtig den samme som antallet af antenner. Derfor må vi kunne sige for kuglen (på billede over)
at denne må indeholde c-værdier for hvem der har en periode på 5, grundet de 5 antenner på ho-
vedantenne.
Indledning til formidlings af videnskab
Vi har nu udforsket fraktaler og ved indgående hvordan vi laver Mandelbrot mængden ud fra ite-
ration af grund ligningen Z = z
2
+ c. Det vil være nærliggende at se på hvordan vi kunne formidle
dette stof til en udefrakommende der ikke har den store matematiske indsigt. Derfor kigger vi nu
på videnskabssprog og formidlingssprog for at finde forskelle på disse. Derefter vil vi formidle vo-
res fraktal viden til en populær videnskabelig artikel.
Videnskabssprog og formidlingssprog
Giver man en folk mennesker en skriftlig opgave, som ingen af dem har forberedt sig på, så tegner
der sig et billede af, at det er vores baggrund og arbejde der bestemmer vores skrive form.
Vi siger at opgaven ’Hvordan ser dit værelse ud?’ bliver stillet og deltagerne bliver så bedt om at
beskrive dette med ord. Der tegner sig så to hovedgrupper af skrive former. Vi taler her om en
første hovedgruppe hvor præcist og et analyserende sprog kommer til udtryk, samt en anden ho-
vedgruppe hvor skønlitterære træk kommer til udtryk såsom stemning, lys og lyde.
I flg. Leif Becker Jensen kaldes det automatsprog når mennesker helt uden at tænke over det, skri-
ver på den måde de nu engang har lært og er vant til. Dette udtryk vælger vi også at bruge.
Mit værelse er et lille værelse på omkring 3 gange 2½ meter. Formen kan man kalde rektan-
gulær. Mit vindue vender mod syd. Og overfor finder vinduet vi døren som ligger på den nord-
lige væg. I hjørnet ved nordøst finder vi et skab som står fra gulv til loft, hvilet giver en højde
på omkring 2 meter. (Eksempel på videnskabssprog i forhold til spørgsmålet ’hvordan ser dit
værelse ud?’)
Midt på dagen strømmer solen ind af vinduet og rammer dovnet ned på gulvet imens den få
de få støvkorn i luften oplyst. I et skyggefyldt hjørne står skrivebordet som så finde opbevare
på rummets husalter, Computere. Her står den på sin tron på kongepladsen i det sol beskin-
nede værelse. (Eksempel på formidlende litterært sprog i forhold til spørgsmålet ’hvordan ser
dit værelse ud?’)
Figur 9: (Herunder) Her ser vi hvilke perioder de
største Mandelbrot kugler har, som sidder på
Hovedkuglen af Mandelbrot mængden
Side 10 af 21
Det vi kan se ud fra de to eksempler herover, er at vi kan se der er stor forskel mellem de måder
som hovedgrupper kunne automatskrive. Begge er fremkommet ved at personen har brugt sin
vante skriveform og ikke har været opmærksom på modtageren.
For videnskabssproget gælder det at, man her ser det i et objektivt fugleperspektiv. Vi vil ikke op-
leve en personlig historie en snare en saglig nøjagtig kopi af det værelse vi beskriver. Beskrivelser
vil kunne på måles på værelset. Den videnskabelige tekst vil være renset for alle subjektive og
stemningsskabende elementer, såsom sollys, lugt og lyde.
Den formidlende tekst kan siges at være helt modsat. Perspektivet er her flyttes ned i øjenhøjde
og dermed formidler teksten hvordan fortælleren opfatter værelset. Det kan siges at være et per-
sonligt subjekt og gennem teksten skabes der en stemning af hvordan værelset er. Dette sker med
brug af lyd, lys og lugte.
Det sidste eksempel formidler i langt højere grad en oplevelse mens den videnskabelige langt me-
re er en klinisk og saglig version af værelset. Man kan ikke på nogen måde sige at den ene er bedre
end den anden, for det hele handler om målgruppen og formålet med af teksten. Den første er
udmærket som arkitekttegning, mens den anden er udmærket til at givet et levende indtryk af
rummet, og disse er på hver sin måde en god beskrivelse.
Vi kan heller ikke sige at automatsprog
er negativ, men det giver bare det ind-
tryk at man ikke har fokus på modtage-
ren. Dog kan man omvendt sige at vi
ved automatsprog har den klare fordel
at vi føler os trygge ved den og derfor
kan vi sætte os ned og skrive denne
form uden større spekulationer og
overvejelser.
At formidle et område godt, er at vælge
den rigtige skrive form. Netop den form
som er velegnet til at fortælle en god
historie.
Hvordan formidler man et område
Hvis man er udenforstående så er det ikke særlig sjovt at læse en tekst som er fyldt med ord og
udtryk som er internt for forskere. Vi vil opleve at man ikke får meget ud af at læse teksten. Om-
vendt så er indholdet i denne tekst/rapport saglig korrekt og langt det mest præcise.
Videnskabssprog
Formidlingssprog
Bruges til at:
Analysere
Definere
Systematisere
Fortælle
Fortolke
Udlægge
Derfor er det:
Statisk
Abstrakt
Generelt
Billedfattigt
Logisk - ræsonnerende
upersonligt
Dynamisk
Konkret
Specifikt
Billedrigt
Narrativt
Personligt
Med
Overordnet synsvinkel
Eksplicitte sammenhæn-
ge
Skiftende synsvinkel
Implicitte sammenhængen-
de
Side 11 af 21
Det hjælper bare ikke hvis man ikke kan det videnskabelige sprog. Efter at have læst en formidlen-
de tekst, kan man nemt få en langt bedre følelse af at have forstået emnet. Som sagt skrive for-
men skal vælges efter målgruppen. Forskere og mennesker det i forvejen kender grundreglerne
for et emne vil finde en saglig korrekt tekst langt den bedste, mens andre hellere vil modtage ind-
holdet i en koncentreret artikel som er forklaret formidlende.
Hvad er det så som gør, at vi føler at forståelsen i en populær videnskabelig artikel er bedre, end
ved en videnskabelig afhandling fra en forsker? Det første er nok er at længden er stærkt begræn-
set. Vi vil på kun 3-6 sider i en formidlende tekst få fortalt, hvad er måske står på 100 sider afhand-
ling. På de få sider vil også få formidlet de vigtigste hovedtræk i emnet og dermed få en kort men
ganske godt overblik over emnet.
Det som en populær videnskabelig gør, er at formidle det tunge stof fra afhandling på en form så
alle kan forstå det. Det gøres ved at luge ud i sproget og fjerne de værste akademiske unoder så-
som lange sætninger og fremmedord. Generelt er der en lang tradition for at opfatte popularise-
ring først og fremmest som et spørgsmål om at forenkle en tekst, dvs. gøre komplicerede sagsom-
råder enkle og forståelige.
Der ligger dog en risiko ved bare at forenkle en tekst. Vi risikerer bare at gøre en tekst kortere men
ikke gøre den mere forståelig. Dermed er teksten bare en mere eller mindre tro udgave af origina-
len. Det kan være lige så svært at forholde sig til en tekst om ’folk drikker’ som en tekst om ’popu-
lationens alkoholindtagelse’.
Vi bruger derfor nogle virkemidler i fra skønlitteraturen når vi formidler vores område. Det kan
være svært for en udefrakommende at forstå de fysiske gravitations love men siger man til gen-
gæld at det er det der gør at ting falder når du slipper det i luften så ved folk pludselig hvad det er
vi snakker om. Måske har ikke en fornemmelse af hvordan og hvorfor men de kan se det for sig og
dette punkter det mest vigtige når man formidler. DON’T TELL IT, SHOW IT!
Hvis man skaber billeder af hvad det er vi snakker om og finder på sammenligninger fra modtage-
rens hverdag så bliver det meget nemmere at forholde sig til en artikels indhold. Et billede siger
mere en tusind for og det prøver man at bruge i den formidlende tekst.
Der findes utallige måder at skabe billeder hos læseren. Vigtigst af alle er at gør det abstrakte kon-
kret. Det kan være umådelig svært at skabe et indre billede af universet størrelsesforhold uden et
diagram over det. Det kan derfor være naturligt at forsætte det til noget som findes læserens dag-
ligdags liv. Vi kunne meget bedre se afstanden for os hvis vi oversatte afstanden til en scaleret
størrelse, altså 10 meter er nemmere at forstå en 10 mio. km.
En anden ting kan være at give artikel en handling. Skabe en historie som er nem for læseren at
forstå og følge med i. Det kan være svært at fange det hele hvis teksten er fyldt med årstal. Hvis vi
derimod skrev det som en udvikling i en novelle ville vi kunne fange læseren.
Personer kan inddrages i teksten. Hvis det nu føles som om det er en historie om en person som er
levende kan det være nemmere at forstå det hele. Dette er et normalt punkt inden for journali-
stikken. Man læser aldrig en artikel uden der er en eller anden form for personfortælling. Dette
kunne være i form af, at vi hører et interview eller direkte for fortalt en historien om en person.
Dette giver ikke bare en troværdighed (f.eks. hvis det er en prof. Der udtaler sig om en sag inden
Side 12 af 21
for hans fag område) for artiklen men giver også et
personligt præg som gør det nemmere at indleve sig
i teksten.
Vi vil nu gå ind og skrive en populær videnskabelig
artikel om Fraktaler. Der vil være fokus i artiklen på
at formidle emnet fraktaler, så det vil være muligt for
en person der aldrig har læst om det vil forstå det.
Fraktaler – Hvad er det?
I begyndelsen af 80’erne begyndte der er at dukke
billeder op af matematiske grafer med fascinerende
farver. De var farverige og ikke lig noget verden hav-
de set før. Den mest kendte er disse er Mandelbrot
Mængden som vi ser på forsiden af denne artikel.
”Jeg vil tro det var lige midt i 80’erne. Jeg deltog i
et matematisk seminar, om noget helt andet. Alle
tog hen til det foredrag, og her stod en her mand
med nogle matematiske billeder. De havde nogle
ekstraordinære farver og jeg har virkelig aldrig set
noget lignede” Fortæller Ian Stewart som er Profes-
sor på Matematisk institut ved Warwich University,
USA.
Det var ikke bare ham men også alle andre der
blev fanget af disse billeder. Fraktaler er stadig et
forholdsvis nyt forsknings område derfor også svært
at definere. Men der er nogle punkter der er gæl-
dende for de fleste fraktaler.
Fraktal kommer af det latinske ord ’fraktus’ og
betyder dele. Dette giver os en fornemmelse af hvad
et fraktal er, for navnet er ikke tilfældigt. Fraktaler
består af en masse dele som i en sammenhæng giver
os det samlede billede. Et fraktal er givet ved en gan-
ske matematisk simpel ligning. Denne ligning skal
gennem en matematisk gentagelsesproces kaldet
iteration og vi kan herigennem dannes fraktalet
Side 13 af 21
Kochs snefnug
Kochs snefnug er en af de allerførste fraktaler der nogensinde er blevet lavet. Dens natur er så
enkel at alle mennesker har mulighed for at kan tegne den. Helge von Koch bragte i 1904 en artikel
om denne figur han havde lavet, og den er siden blevet kaldt Kochs Snefnug. Det vist sig gennem
hans beregninger at man kunne sige at denne figur havde en uendelig omkreds selvom dens areal
var begrænset.
Hvordan kan noget have en uendelig omkreds, kunne man tænke sig. Det er mere simpelt end
det lyder. Kochs Snefnug er dannet af en ligesidet trekant. Følger man tilblivelsen af snefnugget (til
højre) ser vi at der dannes 4 nye sidestykker for hvert enkelt sidestykke når man går et trin videre.
Koch kunne regne at hver side måtte blive
4/3 større for hver gang han gik et trin videre
og indsatte flere sidestykker i hans Snefnug.
De regler som Koch udregne i 1904 er i dag
med til at definere hvad fraktaler er. Frakta-
ler har alle en uendelig længde, hvilket bevir-
ker at man kan at alle fraktaler er lige lange
eller har lige stor omkreds.
Detaljen er også helheden. Dette siger
man om fraktaler og vi kan nemt se det i for-
hold til Kochs Snefnug. Tager man toppen af
snefnugget, så vil man kunne forstørre den
ene side op og igen få helheden.
Den lange vej fra
Pierre Fatou og Gaston Julia sad i starten af
1900-tallet og udforskede områder af mate-
matikken som på tidspunkt var helt nyt for
alle. Julia og Fatou udviklede de metoder, der
går det muligt i dag for os at frembringe bil-
leder af fraktaler såsom Mandelbrot og Julia
mængden.
Fatou og Julia lagde grunden for hvad der i
dag er fraktalgeometrien men der skulle alli-
gevel gå næsten 80 år fra de to lagde grun-
den til der virkelig skete noget. Selvom frak-
taler og deres beregninger bygger på simpel
matematik så var det først omkring 1980 at
der virkelig som skred i tingene.
De to matematikere Adrien Douady og
John H. Hubbard sad i et laboratorium på
Bolton State University ved starten af 1980.
Computer kraften var disse år sensationelt
røget i vejret da silicium chippen blev udvik-
let. Gennem længere tid havde de lagt fun-
damentet for de udviklinger der skulle ske
over 3 uger.
Benoit Mandelbrot er en polsk født mate-
matikker og på det tidspunkt var han ansat
hos IBM’s Research Center i New York. Han
arbejdede i 1980 på en artikel om flergrads-
ligninger i sammenhæng med komplekse tal,
hvilket fik man til at grundlægge fraktaler. Da
han mødte Douady og Hubbard begyndte det
virkelig at gå stærk. I sammenarbejde starte-
de de med at danne billeder af Mandelbrot
mængden.
[I starten da de begyndte at lave
billeder af Mandelbrot mængden fik
de kun meget ringe billeder, som
lignede med en klat.]
Side 14 af 21
Mandelbrot mængden udviklede sig i de-
res hænder. Mens de første resultater kun
gav ringe fornemmelse af formen så kunne
de ved at undersøge mindre område af
mængden finde at de virkelig havde fat i no-
get. Over tre uger undersøgte de tre, Man-
delbrot mængden ved at lave det ene billede
efter det andet, og til sidst havde de skabt en
fornemmelse af Mandelbrot mængden som
noget ekstraordinært. Disse billeder de frem-
bragt var ikke bare total anderledes end man
før havde set, de viste også at der virkelig var
en masse forunderlige former og sammen-
hænge inden for Mandelbrot Mængden.
Bjerge, kystlinjer og menneske liv
Det kan være svært at de hvordan vi bruger
fraktalgeometrien i ude i den virkelige ver-
den. Kan man skabe mad til de fattige, eller
kan den løse problemet på den globale op-
varmning. Nej det kan vi nok ikke. Det er
svært at spå om hvad vi rent faktisk kommer
til at bruge den til men forskningen har hidtil
vist gode muligheder for anvendelse.
Hvordan kan man beskrive faconen af
bjerge? Fraktalgeometrien har været god til
at kunne beskrive faconer som vi under nor-
male omstændigheder ville blive kaldt tilfæl-
dige. Gennem den seneste forskning af frak-
taler har det vist sig man kan lave billeder der
øjensynligt ligner bjerge eller for den sags
skyld skyer.
En ting er at man kan beskrive naturen
med fraktalgeometrien en anden ting er at
bruge den praktisk. Blandt matematikere
bliver der lavet sjov med at alle kystlinjer er
lige lange, altså Danmarks kystlinje er lige så
som Canadas. Det kan enhver se at den ikke
er men kystlinjer er som fraktaler og derfor
må vi kunne sige at den har en uendelig
længde. Eftersom uendelig antaget ikke er en
længde må vi kunne sige at alle kystlinjer er
nul meter og derfor lige lange.
Bjerges og skyers faconer kan da næppe
rede menneske liv, men alligevel kan de. Som
det gælder for bjerge og skyer kan man i bio-
logien bruge fraktalgeometrien. Det har også
vist sig at vores blodårer i kroppen kan be-
skrives som frataler, og ikke nok med det så
følger luftkanalerne i lungerne også fraktal-
geometrien. Derfor kan det være vi i fremti-
den vil se nye teknologier bygget på vi ved
hvordan vi samlet kan forklare formen af lun-
gernes kanaler.
Side 15 af 21
Hvordan har jeg brugt formidling
I min studieretningsaflevering her er der brugt begge skriveformer. Det er sket ud fra et valg af
formål ved de to områder. Første del af rapporten her er en matematisk del hvor der primært bru-
ges matematiske ord. Mens den anden del er omkring artiklen.
Der er tale om videnskabssprog ved område om matematikken og fraktaler. Det falder meget na-
turligt at dette sprog vælges her. Vi taler om matematik og det videnskabelige sprog giver en saglig
korrekt og præcis tekst. Det hjælper ikke meget hvis jeg ikke bruger de ord det nu hedder. F.eks.
kan vi nævne området om Iteration. Der ses her et område med en definition. For en udefrakom-
mende der ikke ved hvad iteration er, og ikke har det store indblik ind i matematikken ville dette
afsnit være svært og uforståeligt.
Modsat er det ved artiklen. Her har brugt et afsnit/faktaboks om iteration som giver et nemmere
billede af hvad vi snakker om. ’At lægge 10 til’ er en proces de fleste ville kunne finde ud af. Som
underbygning for dette, kan vi også kigge på målgruppe for populærvidenskabelige blade såsom
Illustreret videnskab. Det er primært menneske der godt kan regne og har en videnskabelig inte-
resse der læser sådanne blade og derfor kan en populærvidenskabelig artikel også indeholde ma-
tematik af en form, der er forklaret. Vi kan dog samtidig godt antage at målgruppen godt kan finde
ud af simpel matematik.
Konkret har jeg brugt i artiklen at give den et personligt indhold. Det sker i form af et interview i
starten, hvor Ian Stewart giver sin mening og oplevelse til udtryk om hvordan han første gang så
fraktaler
6
. Dertil prøver jeg at bygge en historie op omkring hvordan fraktaler blev ’udvik-
let’/fundet.
Konklusion
Jeg har nu set på matematikken bag Mandelbrot mængden og undersøgt de forskellige matemati-
ske begreber der ligger bag. Det giver en rigtig god fornemmelse af fraktaler og hvad de her.
Dette har vi brugt i vores arbejde med videnskabssprog og formidlingssprog. Der er stor forskel på
disse og vi har set at der bruges to forskellige metoder til dem. Det videnskabelige sprog er brugt i
den matematiske del om fraktaler og vi er gået videre med at formidle vores resultater her fra i en
dansk populærvidenskabelig artikel.
Vi har fundet at Fraktaler som Kochs snefnug ikke kan sige at være en bestemt dimension og til-
med har de en uendelig længde med et begrænset areal. Sammen med disse undersøgelser har vi
set på Mandelbrot Mængden. Denne mængde er opdaget af Benoit Mandelbrot og har vist os
sammenhænge mellem enkelte komplekse c-værdiers kritiske bane, perioder og hvordan de er
placeret på Mandelbrot mængden.
Benoit Mandelbrot har skabt fraktalgeometrien som har ført til at vi kan se sammenhænge i for-
mer som vi førhen kun så som kaos.
6
Citat stammer fra filmen, Fractals - The Colors Of Infinity. 1995. Instruktion: Nigel Lesmoir-Gordon.
Side 16 af 21
Kildeliste
1. Frandsen, Jesper: Komplekse tal og fraktaler. 1. udg. Systime A/S, 1992. (Bog)
2. Frame, M. L. og B. B. Mandelbrot: Fractals, Graphics, & Mathematics Education. Side 61-68.
1. udg. The Mathematical Association of America, 2002. (Bog)
3. Gordon, Nigel Lesmoir m.fl.: Fractal Geometry. 1. udg. Icon Books Ltd., 2006. (Bog)
4. Jørgensen, Morten Colding: Kaos og Ikke-elefanter. 1. udg. Fremad, 1998. (Bog)
5. EUC Nord: Komplekse tal. 1. udg. EUC Nord, 0000. (Bog)
6. Jensen, Leif Becker: Ud af Elfenbenstårnet. I: Roskilde Universitetsforlag, 2. Oplag, 1995, s.
27-58 (Artikel/Bog)
7. Kaspersen, Søren: Omkring et billede. Gyldendal. 1993 Årg. 26, nr. 105 s. 60-64 (Artikel)
8. FLLO: Visuel Matematik. Udgivet af Flemming Lorenzen. Internetadresse:
http://www.fllo.dk/ - Besøgt d. (Internet)
9. Fractals - The Colors Of Infinity. 1995. Instruktion: Nigel Lesmoir-Gordon. Se mere op, In-
ternetadresse: http://www.imdb.com/title/tt0241317/ - Besøgt d. (Film)
Side 17 af 21
Bilag
Herunder bilag er der lagt flere billeder som er beskrevet i opgaven. Herunder zoomede billeder af
Mandelbrot samt eksempel på selv-similaritet i form af Sierpinski trekanten.
1.
Figur 10: Billede af udsnit af Mandelbrot ved ind zooming. Vi kan her se at det er den 8 kugle på selv mandelbrotsettet eftersom
vi ser at der er 8 antenner ud fra hoved antennen på denne ’mini’ Mandelbrot.
2.
Figur 11: Billede af Sierpinski trekanten.
3.
c 1
0
2
c 1
1( )
2
c 0
0( )
2
c 1
1( )
2
c 0
Side 18 af 21
Figur 12: Eksempel af iteration ved en Mandelbrot mængde, hvor resultatet bliver at for c-værdien -1 går den kritiske bane ikke
mod uendelig, men rammer et periode-2-bane
4.
Figur 13: Eksempel af iteration ved en Mandelbrot mængde, hvor resultatet bliver at for c-værdien -1,3 går den kritiske bane ikke
mod uendelig, men rammer et periode-4-bane
c 1.3
0
2
c 1.3
1.3( )
2
c 0.39
0.39( )
2
c 1.148
1.148( )
2
c 0.018
0.018( )
2
c 1.3
1.3( )
2
c 0.39
0.39( )
2
c 1.148