Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 2
Vejleder: Bo Brøndsted
Dato for aflevering: 22/12-2010
Abstract
At high school quantum mechanics is normally explained using the famous equations of Niels Bohr and Max
Planck, which are relatively easy to follow. This is, however, only to ease the understanding.
The truth is namely that quantum mechanics has developed since then and is now a very complex theory,
which with its many absurd predictions is often referred to as unrealistic.
Nevertheless the theory of quantum mechanics has been confirmed by plenty of experiments and is by
modern physicists considered very consistent.
Since quantum mechanics is pointless to try to grasp without the mathematical dimension, I have chosen to
write about quantum mechanics from a mathematical point of view.
I will start by introducing the most basic mathematical concepts needed to understand it and then proceed
further and further into the weird, but also fantastic universe of quantum theory.
To be more specific I will start by introducing the concepts of:
-complex numbers
- matrices
- linear vector spaces
- operators in a linerar vector space and eigenvalues
This will then be followed by an account for how these matemathical tools are used in the quantum
mechanical interpretation. After this will follow an account for the schrödinger-equation and how the
quantum mechanical interpretation is used in the position representation.
Lastly I am going to look at two specific problems. That is, the problem of a particle in a one-dimensional
square well and solving the hydrogen-atom ground states.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 3
Indholdsfortegnelse
Indledning og problemformulering ................................................................................................................... 4
I. Matematikken bag kvantemekanikken .......................................................................................................... 5
1. Komplekse tal ............................................................................................................................................ 5
De komplekse tals legeme ......................................................................................................................... 5
Modulus ..................................................................................................................................................... 6
Komplekse funktioner ............................................................................................................................... 6
2. Matricer ..................................................................................................................................................... 7
3. Lineære vektorrum .................................................................................................................................... 8
Dirac-notation ............................................................................................................................................ 8
Hvad er et lineært vektorrum?
................................................................................................................. 8
Det indre produkt ...................................................................................................................................... 9
En vektors norm ...................................................................................................................................... 10
Basis i et vektorrum ................................................................................................................................. 10
4. Lineære operatorer ................................................................................................................................. 12
5. Egenværdier og egenvektorer ................................................................................................................. 14
6. Den kvantemekaniske fortolkning ........................................................................................................... 16
7. Schrödinger-ligningen .............................................................................................................................. 17
8. Positionsrepræsentationen ..................................................................................................................... 18
Funktionsvektorrum ................................................................................................................................ 18
Positionsrepræsentationen ..................................................................................................................... 18
9. Schrödinger-ligningen i positionsrepræsentationen ............................................................................... 20
10. Stationære tilstande og den tidsuafhængige schrödinger-ligning ........................................................ 21
II. Partikel i endimensional potentialbrønd ..................................................................................................... 22
III. Schrödinger-ligningen og brintatomet ....................................................................................................... 24
Konklusion og perspektivering ........................................................................................................................ 27
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 29
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 4
Indledning og problemformulering
For godt 100 år siden blev grundstenen til kvantemekanikken lagt af Max Plancks betingelse for
kvantisering af elektromagnetisk stråling. Siden da har kvantemekanikken ændret sig meget, og man
snakker derfor generelt om den nye og den gamle kvantemekanik.
Den gamle kvantemekanik, som blev udviklet af bl.a. Niels Bohr, Albert Einstein og Arnold Sommerfeld, bar
præg af en høj grad af klassisk-fysisk tænkning, idet den blot var en tilpasning af den klassiske mekanik, så
den kunne forklare fænomener på subatomart niveau.
Den nye kvantemekanik, specielt tilskrevet Erwin Schrödinger og Werner Heissenberg, brød derimod
fuldstændig med det klassiske princip om determinisme, hvilket gjorde, at mange, bl.a. Einstein, tog afstand
fra den som en fysisk teori.
Ikke desto mindre er den moderne kvantemekanik en eksperimentelt velbekræftet teori, som siden
1930’erne mere eller mindre har fastholdt sin form.
Kvantemekanikken er en anvanceret matematisk konstruktion og en korrekt fortolkning af den kræver
derfor kendskab til en del avanceret matematik.
Af denne grund vil jeg i denne opgave prøve at sætte mig ind i noget af matematikken bag den
kvantemekaniske formalisme, som jeg herefter vil bruge til at regne på simple kvantemekaniske systemer.
Helt præcis har jeg en problem formulering som lyder:
En problemformulering som til en vis grad lægger op til egen disposition af spørgsmålene. Jeg har valgt at
strukturere min opgave således, at den tunge teoretiske del bliver den første, mens de to andre bliver brugt
som eksempler på benyttelse af kvantemekanikkens matematik.
Problemformulering
I. Gør rede for de matematiske begreber, der spiller en rolle i opstillingen og
løsningen af Schrödinger-ligningen, herunder komplekse tal og hilbertrum.
II. Løs schrödingerligningen i tilfældet: Partikel i endimensional
potentialbrønd.
III. Diskuter også schrödinger-ligningen anvendt på brintatomet og
sammenlign med Bohrs atommodel, der byggede på De Broglies hypotese om
materiebølger.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 5
I. Matematikken bag kvantemekanikken
I dette afsnit gives mit svar på den første del af opgaveformuleringen. Jeg har indelt kapitlet i mindre afsnit,
som hver især handler om noget af den matematik, der er nødvendig for at forstå kvantemekanikken, og i
de sidste afsnit bruges dette så til at forstå kvantemekaniske systemer.
1. Komplekse tal
I dette afsnit
1
vil jeg gøre rede for den del af kompleks talteori, som vil spille en rolle i forståelsen af
kvantemekanikken.
De komplekse tals legeme
Man definerer de komplekse tal, , som mængden af reelle talpar
2
(x
1
,x
2
), hvor addition og multiplikation
er defineret som:
Definition 1.1
2
:
Addition som normal vektoraddition:
(x
1
,x
2
) + (y
1
,y
2
) = (x
1
+y
1
,x
2
+y
2
)
Multiplikation som:
(x
1
,x
2
) ∙ (y
1
,y
2
) = (x
1
y
1
- x
2
y
2
, x
1
y
2
+ x
2
y
1
)
Man kan vise, at med netop denne definition af multiplikation og addition for
2
, vil de komplekse tal
udgøre et legeme
3
.
De komplekse tal er en udvidelse af de reelle tal således, at er en delmængde af . Ethvert reelt tal x kan
nemlig skrives som et komplekst tal (x,0), idet de sædvanlige regneregler for reelle tal bibeholdes. For det
komplekse tal
4
z = (x,y) kalder man derfor x for realdelen af et y for den imaginære del.
Det komplekse tal (0,1) indtager en særstilling. Det kaldes den imaginære enhed og betegnes med i. Ved
multiplikation af i med sig selv, ser man:
i
2
= (0,1) ∙ (0,1) = (0∙0 –1∙1, 0∙1+1∙0) = (-1,0)
Tallet i er altså kvadratroden af det reelle tal -1. Den imaginære enhed gør, at vi kan skrive komplekse tal på
en måde, der gør dem meget lettere at håndtere i praksis. Vi kigger på det komplekse tal:
(x,y). Dette er lig summen af:
(x,0) + (0,y)
Tallet (0,y) kan vi skrive som produktet af det reelle tal (y,0) og i. Man ser nemlig:
i ∙ (y,0) = (0,1) ∙ (y,0) = (0∙y-1∙0, 0∙0 + 1∙y) = (0,y)
Vi kan altså skrive imaginærdelen (0,y) af ethvert komplekst tal z = (x,y) som i ∙ (y,0) = iy og dermed ethvert
komplekst tal som:
z = x + iy
Især multiplikationen bliver på denne måde mere naturlig, da man nu kan regne med z med samme regler
1
Dette afsnit bygger på Carstensen, Jens: Komplekse Tal
2
Efter Carstensen, Jens: Komplekse Tal
3
Ved et legeme forstås en talmængde, der er organiseret ved hjælp af addition og multiplikation, og hvor der gælder
nogle bestemte aksiomer – f.eks. den kommutative lov. De reelle tal er et eksempel på et legeme.
http://mathworld.wolfram.com/Field.html
4
I denne opgave vil jeg benævne komplekse med bogstavet z. Hvis der indgår flere komplekse tal i samme eksempel
benævnes det næste med w.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 6
som for reelle tal
5
.
Vi skal nu kigge på en størrelse, der især kommer til at spille en rolle for den senere matematik. Vi skal
nemlig definere den komplekst konjugerede for et komplekst tal:
Definition 1.2
For ethvert komplekst tal z = x+iy defineres den komplekst konjugerede, z*, som:
z* = x -iy
For konjugering gælder nogle regneregler, som følger herunder men ikke bevises:
Givet de komplekse tal z og w er:
(z + w)* = z* + w*
(z ∙ w)* = z* ∙ w*
z – z* = x+iy-(x-iy) = 2iy
Sidste regel illustrerer at et komplekst tal minus sit konjugerede kun kan være lig 0, hvis tallet ikke har
nogen imaginærdel – med andre ord skal det være reelt. Dette skal vi bruge senere.
Modulus
Vi skal også definere hvad der forstås ved modulus
6
for et komplekst tal:
Definition 1.3:
Ved modulus for et komplekst tal z = x +iy forstås størrelsen:
|z| =
Som det kan ses, er modulus altså altid et positivt reelt tal. Jeg vil egentlig ikke bruge modulus til særlig
meget. Jeg vil blot vise, at der for ethvert komplekst tal z = x +iy gælder:
z ∙ z* = (x+iy)(x-iy) = x
2
–(iy)
2
= x
2
+ y
2
= │z│
2
Denne enkle relation skal nemlig vise sig at være vigtig i den senere matematik.
Komplekse funktioner
Vi skal nu kigge kort på den komplekse funktionsteori og den komplekse funktion, som er vigtig for
kvantemekanikken – nemlig den naturlige eksponentialfunktion.
En kompleks funktion er en funktion, hvis definitions- og værdimængde tilhører . Man skriver normalt:
w = f(z)
Den komplekse funktionsteori er ret abstrakt, da et komplekst tal ikke ligesom de reelle tal kan afbildes i et
sædvanligt 2-dimensionalt koordinatsystem. For som indikeret i skrivemåden, virker en kompleks funktion
ved at sende et komplekst tal fra z-planen
7
over i en ny plan kaldet w-planen, w = u + iv:
w = f(z) u + iv = f(x+iy)
Da u og v er bestemt for hvert reelt tal x og y, kan de opfattes som uafhængige funktioner af disse to
variable således at:
f(x +iy) = u(x,y) + iv(x,y)
En kompleks funktion har altså en real- og en imaginærdel, der virker uafhængigt af hinanden på det
5
Vil man tilbage til formen (x,y) kan man blot gange de reelle tal (x,0) og (y,0) med i.
6
Også kaldet numerisk værdi, da det altid er positivt.
7
Ved z-planen forstås, at de komplekse tal med deres to dele udgør en hel plan.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 7
komplekse tal.
Man har inden for kompleks funktionsteori defineret en kompleks, naturlig eksponentialfunktion i analogi
med den reelle
8
:
Definition 1.4:
Ved den komplekse, naturlige eksponentialfunktion forstås funktionen:
f(z) = e
z
= e
x+iy
= e
x
(cosy + isin(y)), Dm(f) =
2. Matricer
Vi skal i dette afsnit
9
hurtigt kigge på hvad man forstår ved en matrix, da begrebet bruges til at forstå noget
af den senere matematik, men det vil på ingen måder være en dybdegående redegørelse, og mange
grundlæggende regneregler og formler springes over.
En matrix er en nyttig måde at sætte en række tal op i en tabel. Helt generelt er en matrix med m rækker og
n søjler en mxn-matrix, som ser ud som følger:
A(a
ij
) =
Her betegner a
ij
det ij’te element i matricen, hvor i betegner den i’te række og j den j’te søjle.
Regler for addition og skalarmultiplikation indføres for matricer i analog til vektorregningen, men de er
mindre interessante, så dem springer jeg over.
Det der vil spille en rolle er multiplikation med matricer. Ikke alle matricer kan ganges sammen. Hvis en
matrix A(a
ij
) skal ganges med en matrix B(b
ij
), så skal A have lige så mange søjler som B har rækker. Er A(a
ij
)
en (mxn)-matrix skal B(b
ij
) være en (nxp)-matrix, og resultatet bliver en (mxp)-matrix. Helt præcist defineres
matrix-multiplikation således:
Definition 2.3
10
:
Givet en (mxn)-matrix A(a
ij
) og en (nxl)-matrix B(b
ij
), da er:
A(a
ij
) ∙ B(b
ij)
) =
En vigtig ting denne definition medfører, er at matrix-multiplikation ikke er kommutativ
11
, hvilket vil sige
med betegnelserne ovenfor at:
A ∙ B B ∙ A
8
Dvs. at den opfylder samme egenskaber som den reelle og stemmer overens med den reelle eksponentialfunktion,
når imaginær-delen af det komplekse tal, som den virker på, forsvinder.
9
Dette afsnit bygger på Ebbesen Ridder, Grethe: Matricer og Lineære ligningssystemer.
10
Selvom definitionen kan virke meget forvirrende, så viser den egentlig bare, at matrix-multiplikation er defineret
ved, at en matrix ganges sammen med en anden matrix ved at den første matrices række ganges sammen med den
anden matrices søjle. Dette gøres ved at multiplicere det første element i rækken med det første i søjlen, så det andet
element i rækken med det andet element i søjlen osv., hvoreftet tallene lægges sammen til det endelige
matrixelement.
11
Dette vil jeg ikke vise, da det mere eller mindre følger ud fra definitionen, så snart man får knækket princippet.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 8
3. Lineære vektorrum
Dirac-notation
Som indledende bemærkning vil jeg starte med at gøre min notation klar. Jeg bruger i denne opgave Dirac-
notationen, hvor en given vektor skrives som |ψ
12
, hvilket kaldes en ket-vektor og identificeres med en
søjlevektor:
|ψ =
ψ
ψ
ψ
Det skal senere vise sig , at vi også skal kigge på en anden slags vektorer, bra-vektorer, der skrives ψ| og
identificeres med rækkevektorer (ψ
1
, ψ
2
.. ψ
n
).
Hvad er et lineært vektorrum?
13
Jeg vil starte med at definere, hvad der forstås ved et lineært vektorrum:
Definition 3.1
Ved et lineært vektorrum, forstås en mængde V defineret over et legeme L, enten eller , som er
udstyret med operationerne addition og skalarmultiplikation:
+ : V x V → V
∙ : V x V → L
De 2 operationer skal opfylde følgende aksiomer
14
:
Addition:
(I) |ψ + |χ = |χ + |ψ
(II) (|ψ + |χ) + | = (|χ + |) + |ψ
Skalarmultiplikation:
(I) λ(|ψ+|χ) = λ|ψ+ λ|χ
(II) (λ + α) |ψ = λ|ψ + α|ψ
(III) λ(α|ψ) = (λα)|ψ
(IIII) 1|ψ = |ψ
Elementet 0 kaldes for nulvektoren mens alle andre vektorer betegnes egentlige vektorer.
Dette betyder for eksempel, at de reelle tal er et lineært vektorrum
15
over dem selv, da ethvert tal kan
opfattes som en vektor, der opfylder ovenstående definition. Tilsvarende er de komplekse tal et lineært
vektorrum. Mere generelt kan mængden af reelle talpar ,
2
,
3
,
n
og tilsvarende mængden af
12
Som det kan ses anvender jeg græske bogstaver til at notere vektorer, da der inden for kvantemekanik er en
tradition for dette, som jeg ikke har tænkt mig at bryde med.
13
Dette afsnit bygger især på Grønbæk, Niels: Introduktion til hilbertrum, Durhuus, Bergfinnur: Hilbertrum med
anvendelser samt: http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space.
14
I aksiomerne gælder at , , V og L.
15
Når der fremover snakkes om vektorrum, er det underforstået, at de er lineære.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 9
komplekse talpar ,
2
,
3.
,
n
alle opfattes som lineære vektorrum.
Det indre produkt
For et lineært vektorrum kan man definere et indre produkt, der gør det meget mere interessant at arbejde
med. Vi starter med kun at definere det indre produkt for vektorrum over :
Definition 3.2
16
Ved det indre produkt
17
i et vektorrum V over forstås afbildningen:
·|·: V x V →
gennem følgende operation:
ψ|χ
18
=
19
Det indre produkt opfylder følgende aksiomer
20
:
(I) ψ|χ = χ|ψ
(II) ψ+χ| = ψ| + χ|
(III) λψ|χ = λψ|χ
(IV) ψ|ψ + for |ψ V \ 0
Vi kigger nu på aksiom IV, da det er grunden til, at jeg ikke lagde ud med at definere det indre produkt for
et vektorrum over både de komplekse og reelle tal. Aksiom IV siger, at prikkes en vektor med sig selv, vil
det resulterende tal altid være større 0 medmindre vektoren er 0-vektoren. Denne egenskab vil man gerne
beholde i vektorrum over andre legemer
21
. Dette er ikke er opfyldt for et vektorrum over komplekse tal
med definition 3.2
22
.
Måden egenskaben bevares på er ved at definere en given bra-vektor som den kompleks konjugerede af
den tilhørende ket-vektor, således at:
Definition 3.3
For en given ket-vektor |ψ:
16
Efter: http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space men dog med egne betegnelser og elementer.
17
Det indre produkt kaldes også prikproduktet eller skalarproduktet, som jeg også vil benytte i denne opgave.
18
Som sagt i den indledende bemærkning bruger jeg dirac-notation i en opgave. Det betyder at skalarproduktet
af to vektorer skrives , hvorved det forstås, at en bra- og en ket-vektor prikkes sammen således, at vi får et
element i vektorrummets legeme. Den særlige notation skyldes, at et skalarprodukt generelt er defineret ved at
et element fra et vektorrum prikkes sammen med et element fra sit duale vektorrum, som i korte træk er
vektorrumet over lineære afbildninger fra V. I denne opgave vil duale vektorrum ikke være relevante, da alle
vektorrum, der arbejdes med er såkaldt selv-duale, dvs. at de er lig deres duale rum. Notationen bibeholdes dog
stadig, da den under alle omstændigheder viser sig meget nyttig, og det samme gør det, at ket-vektorer skrives
som søjler og bra-vektorer som rækker. Denne definition viser sig nemlig at tilfredsstille matrix-multiplikation
således, at vi kan opfatte vektorerne som matricer der multipliceres, og i tilfældet ved skalarproduktet, hvor en
bra-vektor en (1xn)-matrix fra venstre prikkes med en ket-vektor, en ( nx1)-matrix, bliver resultatet med
definitionen på matrixmultiplikation en (1x1)-matrix, som netop er et tal.
19
Her betegner ψ
i
og
i
20
I aksiomerne gælder at , , V .
21
Dette er bl.a. nødvendigt for at vi kan definere normen for en vektor som følger i det senere.
22
Vektoren =
giver for eksempel følgende, når den prikkes med sig selv:
= (2 + i2, 2- i2) ·
= (2 + i2)
2
+ (2 - 2i)
2
= 0
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 10
|ψ =
ψ
ψ
ψ
defineres den tilhørende bra-vektor som:
ψ| = (ψ
1
*, ψ
2
* .. ψ
n
*)
Hermed bibeholdes aksiom IV nemlig, da der for en given egentlig vektors prikprodukt med sig selv gælder:
ψ|ψ =
*∙ ψ
i
=
23
│ψ
│
2
Da modulus for et komplekst tal altid er positivt, har vi altså beholdt egenskaben ved prikproduktet i et
vektorrum over .
Jeg burde nu definere det indre produkt i et vektorrum over det komplekse tals legeme, hvilket jeg dog
undlader at gøre her, da definitionen minder meget om definition 3.2 blot med den forskel, at
skalarproduktet for to forskellige vektorer nu ikke længere er kommutativt. En konsekvens af definition 3.3
er nemlig at:
(I) ψ|χ = χ|ψ*
Dette medfører også, at vi får en ny regel for skalarmultiplikation med det indre produkt som lyder
24
:
ψ|λ∙ χ = (λ∙ χ|ψ)* = λ* ψ|χ
En vektors norm
Vi skal nu indføre, hvad der forstås ved en vektors norm. Normen for en vektor │ψ skrives ||ψ|| og
defineres som:
Definition 3.4:
Ved normen for en given vektor |ψ forstås størrelsen:
||ψ|| = ψ|ψ½
En vektors norm er et vigtigt redskab i lineære vektorrum. I denne opgave skal den bruges til normalisering
af vektorer. Hertil tager vi udgangspunkt i en vektor |, som er givet ved:
| =
ψ
ψ
Udregnes normen for | får vi:
|||| = |
½
= (
ψψ
ψ
)
½
=(
ψ
ψ
ψψ
½
½
= 1
Vi ser, at ||||=1, og |ψ blev altså til en enhedsvektor |
25
, da vi dividerede med ||ψ||. Eksemplet
illusterer, at en vektor altid kan laves om til en enhedsvektor ved blot at dividere med dens norm
26
.
Basis i et vektorrum
Lad os først kigge på, hvad man forstår ved en linearkombination af vektorer. En linearkombination er et
udtryk for, hvordan en vektor i et lineært vektorrum kan skrives som et algebraisk udtryk af andre vektorer
i V og skalarer.
Som eksempel kigger vi på vektoren |ψ =
. Den kan skrives som en linearkombination af vektorerne |χ
=
og |=
:
23
Bemærk at jeg her gør brug af relationen z ∙ z* = │z│
2
24
Eget lille bevis.
25
Jeg vil fra heraf kun bruge bogstavet φ til enhedsvektorer.
26
Heraf ordet ”normalisering”.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 11
|ψ = |χ + 2| =
+ 2
=
Mere generelt kan alle vektorer i
2
skrives som en linearkombination af |χog |φ. Dette skyldes, at de to
vektorer er lineært uafhængige, hvorom man har følgende definition:
Definiton 3.5
27
En mængde vektorer {|ψ, |, ... ,|} siges at være lineært uafhængige dersom ligningen:
c
ψ
∙ |ψ + c
· | + ... + c
· | = 0, kun har den trivielle løsning c
ψ
= c
... = c
= 0
Det kan vises, at enhver vektor i
2
altid vil kunne skrives som en linearkombination af to lineært
uafhængige vektorer. Tilsvarende vil enhver vektor i
3
kunne skrives som en linearkombination af 3
lineært uafhængige vektorer osv.
28
Tæt beslægtet med idéen om lineær uafhængighed har man også begrebet span
29
, som er et udtryk for
hvilket vektorrum et sæt vektorer udspænder. For at de udspænder hele deres vektorrum, skal følgende
definition være opfyldt:
Definition 3.6
30
Et sæt vektorer {|ψ, |,..,|} udspænder deres vektorrum V, hvis alle vektorer i V kan skrives som
linearkombinationer af sættet.
Har man et sæt vektorer, der både udspænder deres vektorrum og er lineært uafhængige, har man en
basis:
Definition 3.7
Et sæt vektorer, der både udspænder deres vektorrum og er lineært uafhængige kaldes en basis.
En basis er uhyre nyttig i et vektorrum, da alle vektorer i rummet kan skrives som linearkombinationer af
ens basis-sæt. Den er dog endnu mere anvendelig, når den er orthonomeret, dvs. at vektorerne er
ortogonale enhedsvektorer. Det kan vises, at man til enhver tid kan orthonomere en given basis i et lineært
vektorrum. Hertil anvendes den såkaldte Gram-Schmidt Proces
31
, som jeg ikke vil gennemgå, da den følger
ud fra vektorregningens basale principper
32
.
En sådan basis kaldes en orthonormal basis og den i’te enhedsvektor for den i’te basisvektor.
27
Definition 3.5 kan måske virke lidt forvirrende, men den leverer egentlig en meget triviel pointé. Nemlig at hvis
en række vektorer skal være lineært uafhængige, da må de hver især ikke kunne skrives som en
linearkombination af hinanden.
28
I uendelig-dimensionelle rum holder denne idé ikke helt, men det tages der ikke hensyn til i denne opgave, da det
ville være for omfangsrigt at inddrage.
29
Engelsk for ”udspænd”.
30
Span og lineær afhængighed er tætliggende begreber, men bør ikke sammenblandes. Et sæt vektorer kan godt
være lineært uafhængige uden at udspænde vektorrummet. To lineært uafhængige vektorer vil f.eks. aldrig
kunne udspænde R
3
.
Omvendt gælder også, at tager man f.eks. vektorerne =
, =
og =
, da udspænder og
allerede R
2
, så bidrager ikke til deres span. I så fald kan det være nyttigt at frasortere en af vektorerne,
således, at man står med to lineært uafhængige vektorer, der både udspænder rummet samt er lineært
uafhængige.
31
http://mathworld.wolfram.com/Gram-SchmidtOrthonormalization.html
32
Projektion af vektor på vektor og normalisering, hvor vi dog har gennemgået sidsnævnte.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 12
Har man en orthonormal basis vil de indbyrdes skalarprodukter være 0 for forskellige basisvektorer og 1 for
de samme basisvektorer. Dette er indeholdt i følgende sætning, som ikke bevises:
Sætning 3.1
33
Given en orthonormal basis, da er
34
:
i
|
j
=
35
δ
ij
4. Lineære operatorer
Vi skal nu kigge på, hvad der forstås ved en lineær operator i et vektorrum. En operator er per definition en
transformation af en vektor til en anden. Funktionen der transformerer vektoren kaldes operatoren således
at:
A|ψ = |χ, hvor A er en operator.
Et eksempel på en operator kunne være projektion af en vektor ned på en anden, men også blot det at
gange med et tal og kvadrering af vektoren er operatorer. Den første og anden operator har en ting til
fælles, som ikke gælder for kvadrering
36
. Man kan nemlig vise, at de er såkaldt lineære operatorer, som er
defineret ved:
Definition 4.1
Ved en lineær operator forstås en operator A, som tilfredsstiller følgende definition:
A(|ψ +|χ) = A|ψ + A|χ
A(λ|ψ) = λA|ψ
Operatorer kan skrives på elegant vis ved hjælp af diracs notation. Vi har tidligere set, at det indre produkt
noteres som ψ|ψ
37
for en given vektor. Vender man derimod skrivemåden om får man:
A =
38
|ψψ|
Med regnereglerne for matrix-multiplikation bliver dette en (nxn)-matrix. Det er netop denne type
objekter, der i et lineært vektorrum udgøre de lineære operatorer. De virker på vektorer fra højre således
at:
A|χ = |ψψ||χ =
39
|ψψ|χ
Dette er bare et komplekst tal, så resultatet af operatoren A virkende på |χ er vektoren ganget med tallet
ψ|χ, som netop er en ny vektor.
En konsekvens af at operatorer er (nxn)-matricer er, at en operator A virkende på en operator B ikke er det
samme som B virkende på A
40
- man siger, at operatorerne ikke kommuterer.
Vi skal nu kigge på en særlig operator, som virker ved at projicere en vektor ned langs alle ens
33
Sætning 3.1 udtrykker blot at skalarproduktet af 2 orthonormale vektorer er lig 0, hvilket er velkendt for de
fleste, da to vilkårlige vektorer også er orthogonale, hvis deres prikprodukt er lig 0.
34
Hvor i og j noterer den i’te og j’te basisvektor.
35
Her er
ij
er det såkaldte kronecker-delta, der l.
36
Kvadrering er ikke en lineær operator da: A ) = )
2
2
2
37
Denne notation er i overensstemmelse med reglerne for matrix-multiplikation da en søjle-vektor dvs. en (1xn)-
matrix ganget med en rækkevektor, en (nx1)-matrix, giver en (1x1)-matrix, som bare er et tal præcis som det
indre produkt.
38
Også kaldet det ydre produkt.
39
Sidste omskrivning følger af, at der ikke står noget mellem de to vektorer, så de lige så godt kan slås sammen
til skalarproduktet ψ|χ. Dette er en af de smukke ting ved dirac-notationen.
40
Vi har jo tidligere vist, at matrixmultiplikation ikke er kommutativ.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 13
basisvektorer
41
. Det er klart, at vi herved blot får den samme vektor. Operatoren kaldes
enhedsoperatoren
42
og er for en orthonormal basis af vektorer defineret som:
Definition 4.3
Ved enhedsoperatoren forstås
43
:
=
i
i
│
Lader vi virke på en vilkårlig vektor |ψ får vi:
i
i
│ψ = |ψ
Størrelsen
i
|ψ er et komplekst tal, kaldet projektionsamplituden, som er et mål for hvor meget af
vektoren |ψ, der ligger i retningen af den i’te basis-vektor. At lade enhedsoperatoren virke på en vektor er
altså ækvivalent med at linearkombinere vektoren ud fra sit orthonormale basis-sæt.
Vi kigger nu igen på matrix-begrebets betydning for operatorer. Enhver operator kan som sagt
repræsenteres med en (nxn)-matrix:
=
Men dette er egentlig en forkortelse for udtrykket:
=
= a
11
·
+ a
n1
·
+ a
1n
·
+ a
nn
·
Denne omskrivning viser, at matricerne ovenfor udgør et basis-set til udvidelse af operatorer.
Konstanterne, som altså definerer en specifik operator, er blot de enkelte matrix-elementer. Dette basis set
kan skrives som en kombination af vores orthonormale basis vektorer {
1
,
2
, .. ,
n
}. Vi ser nemlig at
44
:
a
11
|
1
1
|= a
11
·
, a
n1
|
1
n
|= a
n1
·
, a
1n
|
n
1
|= a
1n
·
,
a
nn
|
n
n
|=
osv.
Vi kan altså skrive enhver operator som:
A =
│
i
j
│ =
45
Prikker vi på begge sider med |
j
og
i
| på følgende måde, får vi nu:
i
|A|
j
=
i
│
i
a
ij
j
│
j
= a
ij
Med dette på plads vil jeg nu definere en såkaldt hermitisk operator:
41
Når man projicerer ned langs en basis-vektor, kan det vises at dette blot er ækvivalent med at prikke vektoren
med basis-vektoren.
42
Man kan vise, at enhedsoperatoren er ækvivalent med den såkaldte identitetsmatrix, som ganget med en anden
matrix altid vil give den anden matrix.
43
Her betegner │
i
den i’te basisvektor.
44
Egen fremstilling med elementer fra følgende video: http://www.youtube.com/watch?v=7Xum9jD_IAI
45
Denne omskrivning følger af at a
ij
bare er et tal, nemlig det a
ij
’te element i operatorens matrix.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 14
Definition 4.4
46
Ved en hermitisk operator forstås en operator H, hvis matrixelementer tilfredsstiller ligningen:
i
|A|
j
=
j
|A|
i
* , som også kan skrives i,j: a
ij
= a
ji
*
Prikker vi på hver sin side af en hermitisk operator A med to vilkårlige vektorer │ og │ψ får vi
47
:
│A│ =
χ│
i
a
ij
j
│ψ =
i
│χ*a
ij
ψ│
j
* =
ψ│
j
*a
ij
i
│χ*
Men da A er hermitisk er dette endvidere:
ψ│
j
*a
ji
*
i
│χ* = [
ψ│
j
a
ji
i
│χ]*
Kig nu på størrelserne
i
a
ij
j
│ og
│
j
a
ji
i
│. Siden i og j er variable, der rækker over de
samme tal
48
, er disse størrelser ækvivalente, så vi får:
[
ψ│
j
a
ji
i
│χ]* = [
ψ│
i
a
ij
j
│χ]* = ψ│A│χ*
Beviset illustrerer nedenstående sætning, som dog normalt bare er den generelle definition på en hermitisk
operator
49
:
Sætning 4.1
En hermitisk operator A opfylder:
χ|A|ψ = ψ|A|χ*
5. Egenværdier og egenvektorer
Jeg vil nu definere, hvad der forstås ved en egenværdi for en operator, da dette begreb spiller en uhyre
vigtig rolle i forståelsen af kvantemekanikken:
Definition 5.1
Ved en egenværdiligning for en operator A forstås ligningen:
A|ψ = λ|ψ
Vektoren |ψ kaldes egenvektoren for ligningen, mens λ er en konstant λ, som kaldes egenværdien for
operatoren.
Vi skal egentlig ikke kigge voldsomt meget på matematikken bag egenværdier. Vi skal blot vise et par
sætninger om hermitiske operator, som vil spille en stor rolle i det senere:
Sætning 5.1
En vilkårlig hermitisk operator vil altid have reelle egenværdier.
Bevis
50
: Vi går ud fra en vilkårlig hermitisk operator H og en vilkårlig egenvektor |ψ. I følge definition 4.1
må H tilfredsstille ligningen:
46
Defition 4.4 kan måske virke forvirrende men i forhold til matricer udtrykker definitionen blot at en hermitisk
operator er en matrix, som transponeret (spejlet omkring hoveddiagonalen) og komplekst konjugeret i hvert
element er lig den oprindelige matrix.
47
Eget bevis.
48
En operators matrix er jo kvadratisk.
49
Normalt defineres en hermitisk matrix nemlig blot med sætning 4.1, men jeg synes det er godt at have matrix-
logikken med, så jeg har valgt at definere den ud fra basis-vektorer, og så vise sætning 4.1.
50
Eget bevis men med inspiration fra http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vvv/node2.html.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 15
ψ|H|ψ = ψ|H|ψ*
ψ|H|ψ - ψ|H|ψ*= 0
Da |ψ er en egenvektor for H er:
H|ψ = λ
ψ
∙ |ψ
Indsætter vi dette i foregående ligning fås:
ψ|H|ψ - ψ|H|ψ*= 0
ψ|λ
ψ
|ψ - ψ|λ
ψ
|ψ*= 0
51
ψ|ψ λ
ψ
*
– ψ│ψ λ
ψ
=0
ψ|ψ λ
ψ
*
– ψ|ψλ
ψ
=0
ψ|ψ (λ
ψ
- λ
ψ
*) = 0
Da ψ|ψ per definition er positiv er ligningen kun opfyldt, idet λ
ψ
- λ
ψ
*= 0. λ
ψ
er altså et reelt tal
52
, og vi har
således vist, at en hermitisk operator kun har reelle egenværdier.
Sætning 5.2
Egenvektorerne for en hermitisk operator er ortogonale.
Bevis
53
: Vi tager udgangspunkt i to vilkårlige egenvektorer |ψ og | for en hermitisk operator H. I følge
sætning 4.1 må H tilfredsstille ligningen:
ψ|H| = |H|ψ*
ψ|H| - |H|ψ*= 0
Da |ψ og | er egenvektorer for H får vi:
ψ|λ
| - |λ
ψ
|ψ* = 0
λ
* · ψ| - λ
ψ
ψ| = 0
Men da H er en hermitisk operator, er egen-værdien λ
reel, så vi får:
λ
· ψ| - λ
ψ
ψ| = 0
(λ
- λ
ψ
) ψ| = 0
Da λ
og λ
ψ
er to forskellige egenværdier er denne ligning kun opfyldt dersom ψ| = 0. Da
skalarproduktet af to ortogonale vektorer kun er 0, hvis de to vektorer er ortogonale
54
, må |ψ og | være
ortogonale.
51
Her bruges ψ│λ = λ*∙ ψ│.
52
Vi har under afsnittet om komplekse tal vist, at et komplekst tal minus dets konjugerede kun kan være lig 0 dersom
tallet er fuldstændig reelt.
53
Igen eget bevis men med inspiration fra http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vvv/node2.html.
54
Egentlig har jeg kun nævnt dette for basis-vektorer, men det kan let vises at alle vektorer, hvis indbyrdes
skalarproduktet er lig 0 er orthogonale.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 16
Det kan desuden vises, at sættet af egenvektorer foruden at være ortogonale også udgør en komplet basis
for ens lineære vektorrum, hvilket jeg dog ikke har valgt at bevise.
6. Den kvantemekaniske fortolkning
Vi skal nu kigge på, hvordan alt denne matematik bruges til fortolkningen af kvantemekanikken. Tidligere
definerede vi det indre produkt for et komplekst vektorrum. Et lineært vektorrum over de komplekse tal
udstyret med et indre produkt kaldes et Hilbertrum
55
.
Fortolkningen af kvantemekanikken kan sammenfattes i følgende fire aksiomer:
(I) Et systems tilstand repræsenteres af en tilstandsvektor i et hilbertrum.
(II) Observable
56
repræsenteres som hermitiske operatorer.
(III) Målinger af en observabel giver en af operatorens egenværdier med dens tilhørende egenvektor.
(IV) Tilstandsvektorens ændring med tiden beskrives med Schrödinger-ligningen
57
.
Som det kan ses, er et systems tilstand repræsenteret ved hermitiske operatorer, hvis egenvektorer med
tilhørende egenværdier er de målelige værdier for operatoren. Det er netop derfor, at hermitiske
operatorer spiller en så stor rolle. Ordet reel egenværdi skal tolkes i bogstavelig forstand.
Det er nemlig de reelle egen-værdier, som vi kan måle, og vi tolker derfor deres egentilstande som de
tilstande, hvor den observable har en veldefineret værdi. Dette betyder dog ikke, at det er de eneste
mulige tilstande.
Enhver normeret vektor i hilbertrummet udgør nemlig en mulig tilstand for systemet, hvilket repræsenteres
ved hjælp af en tilstandsvektor som skrives │ψ
58
.
Tilstandsvektoren er ikke nødvendigvis en egenvektor men vil til enhver tid kunne skrives som en
linearkombination af de mulige egentilstande. Da de forskellige egentilstande udgør en orthonomeret basis
i hilbertrummet, har vi tidligere vist at man i et sådan tilfælde kan linearkombinere en vektor ud fra sit
basis-sæt:
|ψ =
i
i
│ψ =
i
Ved at prikke med
i
| på begge sider får vi
59
:
i
|ψ = c
i
Som tidligere sagt er c
i
et udtryk for hvor stor en del af tilstandsvektoren, som peger langs den i’te
enhedsvektor. Man fortolker denne størrelse, som sandsynlighedsamplituden
60
for, at et system i tilstanden
|ψ egentlig er i egentilstanden |
i
.
Vi skal nu kigge på, hvad man forstår ved den egentlige sandsynlighed for, at |ψ er i egentilstanden |
i
.
Da ψ|ψ = 1 får vi ved at prikke med ψ│ i udtrykket for linearkombinationen af │ψ:
1 = ψ|ψ = ψ│
i
=
i
│
i
=
61
│
i
=
i
=
55
Der kræves egentlig lidt mere. Bl.a. at enhver cauchy-sekvens konvergerer, men det har jeg ignoreret i denne
opgave, da alle vektorrum i denne opgave har opfyldt betingelserne for at være et hilbertrum.
56
F.eks. position, impuls, impulsmoment, energi osv.
57
Aksiom I, II og III indeholder en fortolkning af de gennemgåede begreber, mens aksiom IV introducerer schrödinger-
ligningen, som endnu ikke er blevet præsenteret. Derfor venter jeg med dette og forklarer først idéen bag de tre
første aksiomer.
58
Dette er den gængse måde at skrive tilstandsvektoren, som jeg også har valgt at gøre brug af i min opgave.
59
Bemærk, at summationstegnet forsvinder på grund af orthonormalitetsrelationen:
i
│
j
=
ij
.
60
Det er vigtigt at forstå, at c
n
ikke er sandsynligheden, som vi forstår den, men sandsynlighedsamplituden, som
er et begreb, der slet ikke har nogen analog i den klassiske fysik.
61
Grunden til at summationstegnene kan trækkes sammen er orthonormalitetsrelationen:
i
│
j
=
ij
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 17
=
Da summen af modulus kvadreret for alle mulige sandsynlighedsamplituder er lig 1, fortolkes dette som, at
den samlede sandsynlighed for at systemet er i en af n mulige egentilstande er lig 1, og │c
i
│
2
er altså den
egentlige sandsynlighed for systemet i tilstanden │ψ virkelig er i tilstanden │
i
.
Hvilken egen-tilstand man får, når der måles på systemet, kan man ikke sige noget om. Man får blot en af
de n mulige. Man kan dog udregne den såkaldte forventningsværdi:
Lader vi en observabel, f.eks. hamilton-operatoren H
62
, virke på tilstandsvektoren │ψ kan vi illustrere
dette:
H│ψ = H
∙│
i
=
63
∙ H│
i
Da │
i
er en egen-tilstand for H får vi:
∙ H│
i
=
∙ E
i
∙│
i
Som prikket med ψ| giver:
ψ|H│ψ = ψ|
∙ E
i
∙│
i
=
∙
i
│
∙ E
i
∙│
i
=
∙
i
│c
i
∙ E
i
│
i
=
∙ c
i
* ∙
i
|E
i
│
i
=
64
│
2
∙ E
i
∙
i
|
i
=
│
2
∙ E
i
Vi fortolker her, ækvivalent med udtrykket for sandsynligheden for den i’te egenvektor, størrelsen |c
i
|
2
som sandsynligheden for at systemet i tilstanden |ψ egentlig er i tilstanden |
i
. Da ovenstående udtryk
gælder for den i’te egenværdi, kan vi også tolke størrelsen ψ|H|ψ som den gennemsnitlige egenværdi.
Man kalder derfor ovenstående for forventningsværdien for H og et ækvivalent udtryk gælder for andre
mulige observable.
Kort sagt kan man altså sige at kvantemekanikkens formalisme virker ved at tvinge et system ind i en mulig
egentilstand, og hvilken det tvinges ind i er sandsynlighedsfordelt.
7. Schrödinger-ligningen
Vi har indtil videre kun omtalt øjeblikstilstande, hvor tiden ikke er en variabel. Vi skal nu se på, hvordan
tilstandsvektoren ændres med tiden. Ligningen der beskriver denne sammenhæng kaldes schrödinger-
ligningen
65
og har en status på linje med Newtons 2. Lov i den klassiske fysik. Den ser ud som følger
66
:
H|(t)
(t)
H er her den hermitiske hamilton-operator, som kan opfattes som summen af den kinetiske og potentielle
energi. Som operator får den derfor udseendet:
H =
67
+
(x)
Vi kan altså skrive schrödinger-ligningen som:
62
Den samlede energi i systemet, som introduceres senere.
63
H kan sættes inden for summationstegnet, da dette blot ”indeholder” sandsynlighedsamplituderne, som jo bare er
bestemte skalarer.
64
Omskrivning hvor E
i
sættes uden for skalarproduktet uden konjugering skyldes, at H er en hermitisk operator og E
i
dermed en reel egenværdi.
65
Jeg vil i min opgave ikke prøve at retfærdiggøre schrödinger-ligningen men bruge den som en lov, der tillader mig at
regne på kvantemekaniske systemer.
66
I schrödinger-ligningen er i den imaginære enhed og en konstant givet ved
. Denne konstant opstår naturligt
ved arbejde med bølgepakker, men det er en anden gren af kvantemekanikken, som jeg ikke har beskæftiget mig
med.
67
Her er impulsoperatoren, som er indsat i det klassiske udtryk for den kinetiske energi: E
kin
=
og
(x) den
potentielle energi-operator.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 18
[
+
(x)] |(t)
(t)
Schrödinger-ligningen findes i flere former. Ovenstående er den helt generelle, der udelukkende beskriver
den abstrakte tilstandsvektors afhængighed af tiden, men vi skal senere kigge på, hvordan den bruges for
en konkret repræsentation – nemlig positionsrepræsentationen.
8. Positionsrepræsentationen
I dette afsnit kigger vi på, hvordan den kvantemekaniske fortolkning realiseres for et system. Vi kigger
specifikt på positionsrepræsentationen.
Først vil jeg dog indføre et såkaldt funktionsvektorrum:
Funktionsvektorrum
En konsekvens af vektorrumsdefinitionen er, at vi også nu kan betragte funktioner som vektorer, der udgør
et vektorrum og som prikket med hinanden givet et indre produkt. Rent matematisk definerer man det
indre produkt for to funktioner som:
Definition 8.1
Ved prikproduktet for to funktioner forstås:
ψ(x)|φ(x) = ∫ψ(x)*φ(x)dx
Hvis integralet diverger
68
bliver det uendeligt, hvilket ikke er tal i matematisk forstand. Vi må kræve, at
funktionernes indbyrdes skalarprodukt konvergerer. Helt præcist kræver man inden for kvantemekanik
69
, at
de er såkaldt kvadrat-integrable, dvs. at en funktion ψ(x) tilfredssstiller ligningen:
Definition 8.2
70
:
Ved en kvadrat-integrabel funktion forstås en funktion, som opfylder:
│ψ(x)│
dx <
Positionsrepræsentationen
Vi har tidligere set idéen bag den kvantemekaniske fortolkning. Nemlig, at et system tvinges ind i en
bestemt egen-tilstand, når vi måler på det, og hvilken egen-tilstand kan kun betragtes som et
sandsynlighedsmæssigt spørgsmål.
Vi skal nu kigge på, hvordan man beskriver en partikels position i kvantemekanikken. Desværre er
beskrivelsen ikke helt ækvivalent med det tidligere præsenterede, da position- og momentumoperatoren
har et kontinuert spektrum af egen-værdier. For en operator, der beskriver en partikel, der bevæger sig
langs en linje, må dens egenværdier jo nødvendigvis alle de mulige punkter partiklen passerer.
Egentilstandene repræsenteres derfor som en kontinuer mængde vektorer │x = χ(x), og med logikken
ovenfor defineres positionsoperatoren på følgende måde:
Definition 8.3
Ved positionsoperatoren forstås operatoren som virkende på en egen-tilstand χ(x) med egen-værdi x
68
Herved forstås, at det ikke konvergerer til en endelig sum, når x eller x-.
69
Dette er i hvertfald det typiske vektorrum, hvor kvantemekanikken repræsenteres.
70
Det kan vises, at vektorrummet over kvadrat-integrable funktioner udgør et komplet vektorrum, dvs. at det opfylder
definition 3.1.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 19
giver:
χ(x) = x ∙ χ(x)
Det kan let vises, at er en hermitisk operator, men det vil jeg ikke gøre, da beviset er fuldkommen trivielt.
Lad os i stedet se på, hvordan vi bør definere enhedsoperatoren i positionsrepræsentationen. Da vi nu
arbejder med et kontinuert sæt egentilstande får den udseendet:
Definition 8.4
Ved enhedsoperatoren i positionsrepræsentationen forstås:
= ∫│xx│dx
En ting er at definere en analog til enhedsoperatoren, en anden ting er at tilpasse definitionerne således, at
den har samme egenskaber i positionsrepræsentationen, som den har i tilfældet med diskrete
egentilstande.
I positionsrepræsentationen gør kontinuiteten, at orthogonaliteten og normaliseringen af egen-tilstandene
må gøres på nye måder, som generelt er besværlige at forstå og er i strid med generelle principper for
matematik
71
. Dette har jeg derfor valgt at gå udenom, da det er en ret tåget del af kvantemekanikkens
matematik, og den sagtens kan forstås nogenlunde tilfredsstillende uden den.
Lad os derfor i stedet gå videre til at se, hvordan vi linearkombinerer de enkelte egen-tilstande i
positionsrepræsentationen. Dette gøres ved at projicere den abstrakte tilstandsvektor │ψ(t) ned på
positions-egentilstandene ved at benytte enhedsoperatoren:
∫│xx│dx│ψ(t) =
72
∫│xx│ψ(t)dx = │ψ(t)
Det interessante er her størrelsen x│ψ(t). Ækvivalent med fortolkningen af størrelsen under afsnit 6,
fortolkes dette som sandsynligheds-amplituden for at systemet i tilstanden │ψ(t) egentlig er i positions-
egentilstanden │x. Denne størrelse kaldes bølgefunktionen og skrives:
x│ψ(t) = Ψ(x,t), da den jo afhænger af en kontinuer mængde egentilstande for positionen, │x.
Det der er anderledes inden for positionsbasen er fortolkning af størrelsen:
Ψ(x,t)Ψ(x,t)* = │Ψ(x,t)│
2
Da positionsbasen er kontinuer fortolkes dette som sandsynlighedstætheden for at partiklen er i
egentilstanden │x, som er et udtryk for sandsynligheden for at positionen ligger mellem │x og │x + dx.
Dette kan også vises mere matematisk ved at tage udgangspunkt i den abstrakte tilstandsvektor:
1 = ψ(t)│ψ(t)
Da │ψ(t) = ∫│xx│ψ(t) får vi:
1 = ψ(t)│∫│xx│ψ(t)dx = ∫ψ(t)│xx│ψ(t)dx = ∫Ψ(x,t)Ψ(x,t)*dx = ∫│Ψ(x,t)│
2
dx
Dette resultat viser, at det absolutte kvadrat på bølgefunktionen integreret over positionsrummet er lig 1.
Man fortolker dette som, at sandsynligheden for at finde partiklen et sted i rummet er lig 1, og det er netop
derfor at │Ψ(x,t)│
2
tolkes som sandsynlighedstætheden for at finde partiklen i det uendeligt lille rum
omkring en bestemt egen-tilstand.
Dette resultats fortolkning betyder, at man i fysikken er nødt til at sætte det krav at bølgefunktioner går
71
Det gøres normalt ved brug af diracs-delta funktion, som er en slags analog til kronecker-deltaet i
positionsrepræsentationen men som stringent matematisk ikke er en rigtig funktion, og matematikere ryster derfor tit
på hovedet af fysikernes antagelser. En glimrende forklaring på en del af de matematiske problemer de kontinuerte
vektorrum udgør kan læses på http://www.physics.rutgers.edu/ugrad/301/delta_function.pdf.
72
At │ψ(t) kan sættes inden for integralet skyldes, at det integrerer med hensyn til x.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 20
mod 0 for x→, for ellers bliver sandsynligheden ikke endelig.
Nu ser vi derfor også grunden til, at jeg tidligere introducerede vektorrummet over kvadrat-integrable
funktioner. Det opstår nemlig naturligt ved sandsynlighedsfortolkningen af bølgefunktionen, idet vi sætter
som krav, at den skal forsvinde når x→ for at få en endelig sandsynlighed. Dermed er bølgefunktionen
altså et medlem af vektorrummet over kvadrat-integrable funktioner
73
.
Som en sidste ting skal vi også kigge på impulsoperatoren, da den bruges i de senere afsnit.
Impulsoperatoren har i positionsrepræsentationen udseendet:
Definition 7.5
Ved impulsoperatoren i positionsrepræsentationen forstås operatoren:
= -i
Det kan vises, at denne definition tilfredsstiller, hvordan impulsen som operator opfører sig, når
tilstandsvektoren projiceres ned på positionsbasen. Dette vil jeg ikke vise, men jeg vil dog vise, at den er
hermitisk, hvilket kan sammenfattes i nedenstående bevis
74
:
Ψ
1
(x,t)││Ψ
2
(x,t) Ψ
1
(x,t)*(-i
)Ψ
2
(x,t)dx = -iΨ
1
(x,t)*
Ψ
2
(x,t)dx =
75
-i([Ψ
1
(x,t)*Ψ
2
(x,t)
-
Ψ
1
(x,t)*Ψ
2
(x,t)dx) =
76
-i(-
Ψ
1
(x,t)*Ψ
2
(x,t)dx) = iΨ
2
(x,t)*
Ψ
1
(x,t)dx)* =
77
Ψ
2
(x,t)*
Ψ
1
(x,t)dx)*= Ψ
2
(x,t)││Ψ
1
(x,t)*
9. Schrödinger-ligningen i positionsrepræsentationen
Vi kan sagtens repræsentere den overordnede schrödinger-ligning i positionsbasen.
Dette gøres simpelt ved at prikke med en variabel egentilstand for positionen x| i schrödinger-ligningen
78
:
x|[
+
(x)]|(t) = x|
(t)
x|
(t) + x|
(x)|(t)
x(t)
73
Dette vektorrum nævnes kun i en sidebemærkning i denne opgave, men det spiller en enorm rolle i
kvantemekanikkens matematik. Det bruges bl.a. til at opbygge analyse funktioner til beskrivelse af kvantemekanikkens
fænomener. Et eksempel er de såkaldte laguerre-, og hermite-polynomier.
74
Bemærk, jeg har givet bølgefunktionen to navne, Ψ(x,t)
1
og Ψ(x,t)
2
, for at der kan skelnes mellem dem. Beviset er
inspireret af http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=254553, som er en andens forsøg på at vise, at
momentum-operatoren er hermitisk.
75
Her bruges partiel integration, dvs. f(x)∙g(x)dx = f(x)∙G(x) - f ’(x)G(x)dx. Bemærk desuden at
(Ψ
1
*(x,t)Ψ
2
(x,t))dx
= [Ψ
1
(x,t)*Ψ
2
(x,t)
= (Ψ
1
()*Ψ
2
()) – (Ψ
1
(-)*Ψ
2
(-))
76
Grunden til at det første led forsvinder, er at man kræver inden for kvantemekanikken at bølgefunktionen
forsvinder for x.
77
Da i* = -i
78
Egen demonstration med elementer fra videoen:
http://www.youtube.com/watch?v=V_WN4bS8f4Y&playnext=1&list=PL0F530F3BAF8C6FCC&index=7
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 21
x|
(t) + x|V(x)(t)
79
x(t)
x(t) + V(x)x|(t)
80
x(t)
-
(x,t) + V(x)(x,t)
81
(x,t)
10. Stationære tilstande og den tidsuafhængige schrödinger-ligning
Lad os nu kigge på egen-tilstande for hamilton-operatoren. Disse kaldes stationære tilstande, og de er
særligt interessante, da hamilton-operatoren selv indgør i schrödinger-ligningen. Vi ser nemlig at:
H|(t) = E|(t)
(t)
Her er det naturligvis sidste lighedstegn, der er interessant. Det fører til en særdeles let løsning af
schrödinger-ligningen
82
:
E|(t)
(t)
(t) =
I positionsrepræsentationen kan vi få et billede af, hvordan en stationær tilstand ser ud ved at prikke med
en egentilstand for positionen:
(t) = x│
=
x│
En stationær tilstand er altså karakteriseret ved, at bølgefunktionen er et produkt af en kompleks
eksponentialfunktion og en positionsafhængig funktion.
Fra afsnittet om komplekse tal ved vi, at den komplekse eksponentialfunktion ovenfor kan skrives:
= cos(-Et) + isin(-Et)
Vi ser at størrelsen
83
:
cos(-Et) + isin(-Et)
2
= (cos(-Et)
2
+ sin(-Et)
2
)
2
= 1
Som kombineret med at kvadratet på modulus for bølgefunktionen angiver sandsynlighedstætheden for at
finde en partikel i en egentilstand giver:
(x,t)|
2
= (x)
|
2
= (x)|
2
|
|
2
= = (x)|
2
Det betyder, at sandsynlighedsfordelingen for bølgefunktionen ikke ændrer sig med tiden men alene
79
Ved den potentielle energi-operator har jeg desuden benyttet, at
er en hermitisk operator, så x│
=
x│V(x)
80
Her har jeg benyttet, at differentialoperatoren kun differentierer med hensyn til x, hvorfor den kan rykkes ud foran.
81
Her bruges Ψ(x,t) = x│ψ(t). Jeg har desuden ændret differentialoperatoren til
for at indikere, at den nu virker
partielt.
82
Her bruges at differentialligning y’ = ky har den fuldstændige løsning: y = y(0) ∙ e
kx
83
Da cos(x)
2
+ sin(x)
2
altid er lig 1 – den såkaldte ”idiotformel”.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 22
bestemmes af ligningen for positionsfunktionen
84
.
Den kan vi finde. Om en stationær tilstand for schrödinger-ligningen i positionrepræsentationen ser vi:
H(x,t) = H x =
85
x = xE = E (x,t) = E
Fra udledningen af schrödinger-ligningen i positionsrepræsentationen kender vi også hamilton-operatorens
virkning på bølgefunktionen som:
H(x,t) = -
(x,t) + V(x)(x,t)
Som for en stationær tilstand giver:
-
(x,t) + V(x)(x,t) = E (x,t)
Da (x,t) i en stationær tilstand envidere er
får vi:
-
(x)
+ V(x)(x)∙
= E(x)
Som ved forkortelse med tidsfasefaktoren leder os frem til den endelige ligning, som kaldes den
tidsuafhængige schrödinger-ligning:
-
(x) + V(x)(x) = E (x)
Denne version af schrödinger-ligningen er en kompliceret andenordens differentialligning, som dog lader
sig løse relativt let i nogle tilfælde. Et af tilfældende er problemet omkring en partikel i en potentialbrønd,
som er det næste punkt i min problemformulering.
II. Partikel i endimensional potentialbrønd
86
Jeg vil nu bruge schrödinger-ligningen på et modelsystem, som er en potentialbrønd, hvor en partikel er
fanget i et felt af potentiel energi, således at den befinder sig i en region med lavere potentiel energi end
området rundt om den.
Man kan illustrere dette ved en brønd af potentiel energi som vist på nedenstående figur
87
:
Her betegner V
0
potentialet uden om brønden, V
0
> 0. Den potentielle energi i brønden, dvs. inden for
grænserne –
< x <
sættes til V(-
< x <
) = 0. E
1
og E
2
betegner tilfældene, hvor partiklen henholdsvis har
større energi eller lavere energi end det omgivende felt. Jeg vil undersøge den tidsuafhængige schrödinger-
84
Derfor kaldes den tidsbestemmende eksponentialfunktion også for en fasefaktor, hvilket netop betyder at dets
modulus kvadreret altid er lig = 1.
85
Denne omskrivning skyldes, at H er en hermitisk operator.
86
Dette afsnit bygger på, Scharff, Morten: Elementær kvantemekanik.
87
Illustration tager Scharff, Morten: Elementær Kvantemekanik, side 67. Billedet er blevet tilpasset så symbolerne,
passer til min notation.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 23
lignings løsninger i begge tilfælde. Vi begynder dog med nogle omskrivninger af den:
-
(x) + V(x)(x) = E (x)
(x) -
V(x)(x) =
E (x)
(x) -
V(x)(x) +
E (x) = 0
(x) +
(x) = 0
Schrödinger-ligningen må løses i de tre områder som er vist på figuren, nemlig I, II og III. Da vi dog har sat
den samme potentielbarriere i III som i I bliver differentialligningen den samme for disse to områder. Vi får
derfor to forskellige differentialligninger – en for partiklens bølgefunktion inde i boxen, hvor V(x) = 0 og en
for de to regioner udenfor, hvor V(x) = V
0
:
II:
(x) +
(x) = 0 (1)
I og III:
(x) +
(x) = 0 (2)
Vi starter med at kigge på ligningens løsninger, dersom partiklen har energien E
1
> V
0
. I dette bliver
konstanterne foran Ψ(x) positive i både (1) og (2). Ved at indføre konstanterne
k =
kan vi forkorte (1) og (2) til:
(x) + k
2
Ψ(x) = 0
2
Ψ(x) = 0
Da disse funktioner gælder for alle x, må vi forlange at ΨI(x) ved grænsen x= –
glider over i ΨII(x) som ved
grænsen x=
glider over i ΨIII(x), således at den endelige bølgefunktion bliver kontinuer. Dermed kan vi
altså forlange, at både funktionsværdierne og værdierne for differentialkvotierne for de to bølgefunktioner
ved en bestemt rand er ens. Vi får således en række kontinuetsbetingelser, som ser ud som følger:
ΨI(-
) = ΨII(-
), ΨI’(-
) = ΨII’(-
) og ΨII(
) = ΨIII(
) = ΨII(
) = ΨIII(
),
Disse relationer mellem konstanterne i vores løsningerfunktioner gør, at det altid vil være muligt at nå frem
til den endelig bølgefunktion. Hvordan det konkret gøres, vil jeg ikke vise men i stedet gå videre til det mere
interessante tilfælde, hvor partiklen har energien E
2
< V
0.
I dette tilfælde bliver konstanten
negativ, og vi kan derfor ikke indføre en mellemvariabel på
samme måde som før, da den bliver imaginær. Måden problemet løses på er at omskrive konstanten
ovenfor til
88
:
Vi kan nu indføre de mellemvariable:
k =
89
=
= iq
88
Denne lille omskrivning er egne tanker, som ikke fremgår af Scharff, Elementær: Kvantemekanik.
89
Da situationen er uændret nede i brønden i forhold til, da partiklen havde højere energi end
potentialbarrieren.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 24
,hvor q =
Differentialligningerne for bølgefunktionen kan nu opskrives:
(x) + k
2
(x) = 0 (1)
2
(x) =
(x) + (iq)
2
(x) =
(x) q
2
(x) = 0
(x) = q
2
(x) (2)
Den første af disse differentialligninger er ens med det forrige tilfælde. Det nye er (2), som man kan vise har
den den fuldstændige løsning
90
:
(x) = q
2
(x)
(x) = P e
qx
+ T e
-qx
I område I skal bølgefunktionen forsvinde for x-, så her kan vi kun acceptere leddet P ∙ e
qx
. Omvendt
skal bølgefunktionen i III forsvinde for x, så her kan vi kun acceptere leddet
T ∙ e
-qx
. Hermed kan løsningerne i de tre områder opskrives:
(x) = P e
qx
II: (x) = C sin
(x) =T e
-qx
Det er muligt at bestemme konstanterne vist ovenfor ud fra kontinuitetsbetingelserne, men det er et større
arbejde, der på ingen måde er lige så simpelt som for første tilfælde. Det har jeg derfor valgt at undlade at
gøre i denne opgave. Jeg vil dog knytte en kommentar til løsningsfunktionerne:
I område II opfører partiklen sig blot som en fri partikel, dvs. den oscillerer inde i brønden. Man kan vise, at
det giver anledning til en kvantisering af sandsynlighedstætheden for at finde partiklen inde i boxen, hvilket
igen betyder, at partiklen kun kan antage et diskret sæt energiniveauer. Klassisk mekanisk er dette
fuldstændig umuligt, da den klassiske model blot ville være en partikel der bevæger sig frem og tilbage
inden for brønden, idet den reflekteres ved dens rande. På makroskopisk niveau vil den kvantemekaniske
beskrivelse dog omvendt stadig holde. Her vil partiklen nemlig oscillere så hurtigt, at den praktisk talt kan
antage alle mulige egentilstande
91
.
I områderne uden for brønden aftager bølgefunktionen eksponentielt. Dette betyder, at partiklen
kvantemekanisk også har en endelig sandsynlighed for at blive fundet uden for brønden – ganske vist
eksponentielt aftagende, men den er til stede
92
.
III. Schrödinger-ligningen og brintatomet
93
Lad os starte med at se på Bohrs model for brint-atomet.
I klassisk mekanik forklares hydrogen-atomet med en elektron, der fastholdes i en bane rundt om kernen,
90
Hvilket heller ikke bevises.
91
Herved kan det også slås fast, at den klassiske fysik er en tilpasning af kvantemekanikken, så den passer til
makroskopisk niveau, og ikke omvendt.
92
Dette giver anledning til den såkaldte tunnel-effekt, som bl.a. er en del af forklaringen på radioaktive henfald.
Bemærk desuden at i grænsen, hvor V
0
snakker man om en potentialbox.
93
Dette afsnit bygger især på: http://www.mathpages.com/home/kmath538/kmath538.htm
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 25
så deres indbyrdes coulombkraft leverer den nødvendige centripetalkraft
94
:
=
95
=
(1)
v
2
=
Hvorved vi kan udregne elektronens kinetiske energi:
E
kin-elektron
= ½ m
e
=
Elektronens potentielle energi kan findes som:
E
pot-elektron
=
r = -
Hvilket giver os følgende udtryk for elektronens energi:
E =
= -
(2)
Niels Bohr antog, at impulsmomentet
96
for elektronen var kvaniteseret på følgende måde
97
:
L
elektron
=
98
n
Da impulsmomentet for en elektron samtidig er givet ved det klassiske udtryk:
L
elektron
= m
e
v r =
99
Får vi ved indsættelse af dette i kvantiseringsbetingelsen og isolering af r:
m
e
v r =
= n
r =
Og slutteligt giver dette ved indsættelse i (2)
100
:
E
n
= -
= -
=
Hvilket er bohrs klassiske udtryk for hydrogens energi-niveauer, som forklarer hydrogen diskrete energi-
egentilstande. Selvom Bohrs postulater kunne forklare disse, så var de ikke holdbare i forhold til fysikkens
love
101
.
Et skridt på vej mod den moderne kvantemekanik skete med fysikeren De Broglies hypotese om
materiebølger. De Broglie foreslog, at hvis nu bølger havde partikelegenskaber, så var det nærliggende at
partikler på kvantemekanisk niveau også havde bølgeegenskaber. Man havde tidligere vist, at fotoner
94
Det numeriske tegn foran coulombkraften skyldes, at den er modsatrettet centripetalkraften.
95
I ligningen betegner e elementarladningen, r afstanden fra elektronen til kernen, m
e
elektronens masse, ε
0
dielektricitetskontanten og v elektronens hastighed.
96
Et udtryk for hvor stor en bevægelse mængde et legeme har om et punkt.
97
Her er L impulsmomentet, n et helt tal.
98
Hvor n betegner et helt tal.
99
Dette resultat kommer af, at v isoleret i (1) giver
100
Bemærk, at jeg nu kalder energien for E
n
, da den ifølge denne formel kun kan antage diskrete tilstande.
101
Bohr kunne for eksempel ikke gøre rede for, hvorfor elektronen forblev i de stationære baner. Man vidste nemlig
med Maxwells teori for elektromagnetisme, at en acceleret ladning udsender elektromagnetisk stråling, hvilket brugt
på bohrs atommodel ville betyde, at elektronen ikke var i en holdbar tilstand.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 26
kunne opfattes til at have en veldefineret impuls givet ved:
p =
De Broglie brugte nu denne relation til at knytte en bølgelængde til materie. Han brugte nemlig blot
ovenstående formel omvendt:
=
Knyttede man bølgeegenskaber til elektronen var det nu let at forklare Bohrs model. Man antog blot, at
elektronens cirkulære bane skulle være lig et helt tal gange med elektronen bølgelængde. Herved fås
nemlig en stående bølge i elektronens bane, som derved kunne forklare en del af dens stabilitet.
Man antog altså simpelt bare, at cirklens omkreds hang sammen med elektronens bølgelængde på
følgende måde:
nλ = 2πr
Som med De Broglies formel for elektronens bølgelængde kan skrives:
= 2r
= r
= m
e
vr
n
102
= L
Herved dukker Bohrs betingelse for kvantisering af impulsmomentet op automatisk. Med De Broglies
opfattelse af elektroner som bølger var man for alvor på sporet af den moderne kvantemekanik. Det næste
skridt blev nemlig schrödingers forklaring af elektroner med bølgefunktioner opstilling af den altafgørende
schrödinger-ligning.
Det vil derfor nu være på sin plads at vise, at schrödinger-ligningen anvendt på brint-atomet giver den
samme kvantiseringsbetingelse af energien som Bohr.
Desværre er beregning af de stationære tilstande for hydrogen et kompliceret problem, som jeg ikke har
plads til i denne opgave, så jeg vil nøjes med at kigge på principperne bag udregningerne.
Da vi nu er ovre i 3-dimensionelt problem, er bølgefunktionen nu en funktion af de rumlige koordinater, og
med samme logik erstattes også differentialoperatoren med laplace-operatoren, som i 3 dimensioner har
udseendet:
=
+
+
Den tidsuafhængige schrödinger-ligning får derfor formen:
-
(x,y,z) + V(x,y,z)(x,y,z) = E (x,y,z)
Ved løsningen af brint-atomets stationære tilstande er det dog langt lettere
103
, når schrödinger-ligningen er
udtrykt i spheriske koordinater
104
. Man kan vise, at den tidsuafhængige schrödinger-ligning i spheriske
102
Denne omskrivning fulgte af, at som tidligere nævnt er givet ved
103
Dette skyldes, at coulombkraften mellem elektronen og kernen kun er afhængig af den radiale afstand mellem
dem.
104
3-dimensionelt koordinatsystem, hvor et punkt er fastlagt ved dets radiale afstand til centrum samt to
vinkler(inklinations- og azimuthvinklen): http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 27
koordinater har formen:
-
[
(r
2
) +
(
)) +
+ V(r)]
Det kan vises, at nogle af hydrogens statinære tilstande, de såkaldte s-orbitaler, ingen vinkelafhængighed
har. I dette tilfælde reduceres schrödinger-ligningen til en udelukkende radielt-afhængig ligning.
-
(r
2
(r
Som tidligere nævnt er elektronens potentielle energi givet ved:
V(r) = -
Hvilket ved indsættelse i radialligningen giver:
-
(r
2
(r))] -
Netop denne ligning kan bruges til bestemmelse af nogle af hydrogens stationære tilstande. Man kan vise,
at løsningsfunktionerne tilfredsstiller:
Ψ(r) = F(r) ∙ e
-br
, hvor b er en konstant og F(r) er en polynomierække
105
, hvor polynomiets grad bestemmer
s-orbitalens nummer, dvs. grundtilstanden er en konstant ganget med eksponentialfunktionen ovenfor, 2.
s-orbital et 1.grads-polynomie ganget med den osv.
Dette betyder, at elektronen ifølge schrödinger-ligningen ikke befinder sig i en fast radius men i stedet kan
befinde sig i alle mulige radier, og hvilken en bestemmes ud fra en sandsynlighedsfordeling.
Dette afspejler i høj grad den fundamentale forskel, som der var mellem schrödingers nye kvantemekanik
og Bohrs gamle kvantemekanik, der med de faste baner i høj grad stadig bar præg af klassisk fysisk
tænkning.
Schrödinger kunne dog hurtigt vise, at den mest sandsynlige radius for de forskellige orbitaler netop var de
radier, som Bohr var kommet frem til. Schrödinger-ligningen gav altså ikke kun det samme resultat som
Bohrs, men den kunne forklare flere ting ved hydrogen-atomet.
Konklusion og perspektivering
Siden jeg indledte denne opgave med et par ord om den moderne kvantemekanik, er vi kommet vidt
omkring. Matematisk har vi kigget på alt fra den helt simple vektorregning til mere komplicerede egen-
værdiproblemer for differentialoperatorer. Rent fysisk har vi startet med en helt overordnet fortolkning af
kvantemekanikkens formalisme og er derfra gået over til at betragte konkrete systemer, hvor partiklen
befandt sig i potentialer og som kulminerede med det 3-dimensionelle hydrogen-atom.
Som den kvikke læser nok har bemærket, har det først og fremmest været matematikken bag
kvantemekanikken, der har i været i fokus i denne opgave. Dette betyder dog ikke, at jeg som
opgaveskriver ikke har undret mig over de mere forståelsesmæssige og filosofiske problemer, som der
ligger i kvantemekanikken. Hvad skal man for eksempel forstå ved, at elektronen beskrives ved en
bølge, som beskriver dens sandsynlighedsfordeling i rummet? I vores makroskopiske optik er dette jo
egentlig en absurd tankegang, som er umulig at forestille sig.
Det korte svar er, at kvantemekanikken ikke er en teori, som man rent forestillingsmæssigt skal kunne
håbe på at forstå men udelukkende et matematisk redskab, der kan bruges til at beskrive den
subatomare verden, som tilsyneladende er helt forskellig fra vores.
105
De såkaldte Laguerre-polynomier, der udledes ved orthonormalitetsbetingelserne i vektorrummet over kvadrat-
integrable funktioner: http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 28
Dette betyder dog ikke, at vi ikke kan drage nytte ud af dens beskrivelse. Tværtimod er
kvantemekanikken i disse år utrolig interessant ikke kun set ud fra en fysikers nysgerrige øjne men
også ud fra et teknologisk synspunkt. For tiden forskes der for eksempel ihærdigt i kvantecomputere,
som efter sigende vil komme til at udkonkurrere nutidens computere på stort set alle fronter.
Studieretningsprojekt: Kvantemekanik og operatorer
August 3.x Gribskov Gymnasium 29
Litteraturliste
Bøger:
1) Scharff, Morten: Elementær Kvantemekanik, Akademisk forlag, 1963, kap. 1-2
2) Jakobsen, Kurt: Fysik og Virkelighed, F & K, 1985
3) Staffanson, Eve, Andersson, Bengt & Johansson, Karl-Erik: Fysik i Grundtræk, Munksgaard, 2. udgave
1983, kap. 2-4
4) Carstensen, Jens: Komplekse Tal 2. rev. udgave, Systime, 1. udgave 1981
5) Nielsen Erik, Knud & Fogh, Esper: Komplekse tal – teori og anvendelse, HAX, 2009
6) Hansen, Erik: Sædvanlige differentialligninger fra fysikken, Polyteknisk forlag Lyngby, 1976
Litteratur online:
1) http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/paradigmatiske/not/n242-1.pdf - Kompendium:
”Matricer og Lineære ligningssystemer” af: Ebbesen Ridder, Grethe.
2) www.math.ku.dk/noter/filer/2anhlb.ps - Kompendium: Duurhus, Bergfinnur, Hilbertrum med
anvendelser, 1997
3) www.math.ku.dk/kurser/2003-2/mat2an/Noter/Hilbertrum.ps - Kompendium: Grønbæk, Niels:
Introduktion til Hilbertrum
4) http://www.tberg.dk/uni/ubrond.pdf - Kompendium: Tranberg, Bo: Den uendelige potentialbrønd
Hjemmesider:
1) http://nptel.iitm.ac.in/video.php?courseId=1090 – virtuelt kursus om kvantemekanikken.
2) http://www.subplanck.com/self-study-videos/physics-lectures/quantum-mechanics-course-by-dr-
leonard-susskind-stanford-university/ - endnu et virtuelt kursus om kvantemekanikken.
3) http://davidgalbraith.org/quantum-mechanics-for-dummies/ - kort introduktion til kvantemekanikken.
4) http://www.physics.unlv.edu/~bernard/phy721_99/tex_notes/node6.html - introduktion til bra-ket-
notation.
5) http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vvv/node2.html - kortfattet introduktion til den nødvendige
matematik.
6) http://www.leksikon.org/art.php?n=4958 – glimrende artikel om schrödinger-ligningen.
7) http://www.denstoredanske.dk/ - til opslag.
8) http://da.wikipedia.org/wiki/ - til opslag.
9) http://en.wikipedia.org/wiki/ - til opslag.
10) http://mathworld.wolfram.com/ - hjemmeside med introduktion til alt det nødvendige matematik, som
jeg har brugt over stort set hele området.
11) http://www.cobalt.chem.ucalgary.ca/ziegler/educmat/chm386/rudiment/mathbas/mathbas.htm -
Introduktion til matematikken bag kvantemekanikken.
12) http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/HydrogenAtom.htm - om den radiale løsning af
brint-atomet.
13) http://www.mathpages.com/home/kmath538/kmath538.htm - om den radiale løsning til brint-atomet
og bohrs atommodel.
14) http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld2_E/2Part1_E/2P11_E/deBroglie_wave_E.htm -
introduktion til bohrs atommodel og De Broglie bølger.