Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
1
STX Matematik A 22. maj 2015
Delprøven med hjælpemidler
1stx151-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 20
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 7
a)
Afstanden fra et punkt til en linje kan findes ved hjælp af afstandsformlen:
Hvor og
I vores tilfælde er og givet ved:
Koefficienterne og samt koordinaterne
indsættes nu i formlen:
Afstanden mellem punktet P og linjen l er således bestemt til:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
3
b)
Linjen er givet ved
Skæringspunktet
findes ved først at finde værdien af i skæringspunktet. I skæringspunktet vil
henholdsvis - og -værdierne være ens for de to linjer, vi kan derfor tillade os at substituere
koordinatfunktionerne
og
fra parameterfremstillingen for ind på pladserne
for hhv. og i ligningen for :
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dette er værdien af i skæringspunktet mellem og , og vi kan således finde koordinaterne for
ved at indsætte parameteren i parameterfremstillingen for :
Skæringspunktet er dermed:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
4
Opgave 8
a)
Data puttes i en tabel, hvor angiver antal år efter 2006, mens angiver omsætningen af biografbilletter i
Kina i mio. USD for det pågældende år
x
y
0
329
1
434
2
607
3
909
4
1502
5
2030
Da der er tale om en eksponentiel model, findes konstanterne nu vha. eksponentiel regression udført vha.
CAS-værktøjet WordMat:
R
2
= 0,9923016
Heraf aflæses:
(afrundet til 4 decimaler)
(afrundet til 4 decimaler)
b)
For at finde det år, hvor omsætningen er 10000 mio. USD, løses ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da omsætningen måles over et helt år, vil det betyde, at man (hvis modellen er helt præcis) 9 år efter 2006
(dvs. År 2015) endnu ikke helt har nået en omsætning på 10000 mio. USD. I år 2016 (10 år efter), vil
omsætningen til gengæld være større end 10000 mio. USD. Modellens forudsigelser for hhv. År 2015 og år
2016 år er som følger (beregnet vha. WordMat, i det
er defineret):
2015:
(afrundet til 4 betydende cifre)
2016:
(afrundet til 4 betydende cifre)
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
5
c)
Fremskrivningsfaktoren er . Den gennemsnitlige, årlige vækstrate kan da udregnes som (I):
Fordoblingstiden udregnes vha. Formlen
(I) Her anvendes ligningen for sammenhæng mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
6
Opgave 9
a)
Da punkterne og ligger på grafen for potensfunktionen (
, kan vi nu skrive:
og
Dette kan opskrives som et ligningssystem bestående af 2 ligninger med 2 ubekendte, hvorved konstanterne
og kan findes:
Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Funktionsforskriften opskrives og defineres nu:
b)
Da der er tale om en potensfunktion ved vi, at når x ganges med tallet
så ganges
med tallet
ifølge nedenstående formel:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Altså aftager med når vokser med
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
7
Opgave 10
a)
Funktionen defineres i WordMat:
De to skæringspunkter findes ved at sætte
og løse ligningen for :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Førstekoordinaten kendes nu for de to skæringspunkter, og da
for begge værdier af , har vi nu
alle koordinaterne:
og
b)
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af begge nulpunkter:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
0
1,36
-
0
-
0
+
↘
↘
↗
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
8
Vi kan dermed konkludere:
f er aftagende i intervallet
f er voksende i intervallet
f har en vandret vendetangent (et saddelpunkt) for
f har lokalt minimum for
Løsning af ligningen
finder alle punkter på grafen for en funktion, hvor tangenten af vandret
(hældning=0). Disse punkter kan både være ekstremumspunkter eller saddelpunkter (tangenten til et
saddelpunkt kaldes en vandret vendetangent). For at illustrere dette kan grafen for funktionen i opgaven
ses her (det er hverken nødvendigt at inkludere denne forklaring eller grafen i besvarelsen):
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
9
Opgave 11
a)
Først foretages beregninger på trekant ABM
WordMat's trekantsløser anvendes med input: BM = 9 , AM = 7 , AB = 13
A = 41,2°
BM = 9
AM = 7
AB = 13
Vinkel A findes vha. cosinusrelationen:
Nu foretages beregninger på trekant ABC. Da M er midtpunkt mellem A og C, må
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 41,2° , AC = 14 , AB = 13
A = 41,2°
B = 75°
C = 63,8°
BC = 9,55
AC = 14
AB = 13
Vinkel B findes vha.en cosinusrelation
A
B
M
BM
AM
AB
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
10
Vinkel C findes vha.vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation
Omkredsen af trekant ABC findes nu som summen af de 3 sidelængder:
Omkredsen af trekant ABC er bestemt til 36,55.
b)
Hvis der trækkes en højde fra B til et punkt P, opstår en retvinklet trekant, PBC.
WordMats trekantsløser anvendes med input: P = 90°, C = 63,8°, BC = 9,55
P = 90°
C = 63,8°
BC = 9,55
h = 8,57
Længden af siden h findes vha. sammenhængen sinus, den modstående katete og hypotenusen i en
retvinklet trekant:
Højden er bestemt til
P
B
C
BC
PC
h
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
11
Opgave 12
a)
Der skal udføres en Goodness of Fit-test for at se, om stikprøven er aldersmæssigt repræsentativ for hele
populationen. Først skal alle de forventede observationer udregnes på følgende måde:
Stikprøvestørrelsen er lig med:
Udregningerne foretages i excel, hvorefter den forventede fordeling og den observerede fordeling tastes ind
i WordMats GOF-test, som ligger i et færdigt excel-ark:
Goodness of fit
Nul-hypotese:
Den observerede stikprøve stammer
fra den forventede fordeling
Fra
Til
Obs.
Fordeling
Forventet
fordeling
Signifikans
niveau:
5%
20
29
39
45
30
39
42
48
P-værdi:
0,538%
40
49
83
57
Konklusion:
Nul-hypotese forkastet
50
59
54
51
60
69
49
51
70
79
21
30
80
12
18
Goodness of fit bygger på χ²-fordeling
Frihedsgrader:
6
χ²-værdi:
18,36
Xmaks:
16
Da P-værdien er 0,538% og dermed under 5%, forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau.
b)
Teststørrelsen er regnet ud vha. Wordmat (
, men da vi skal se på de enkelte intervallers bidrag
til teststørrelsen tilføjes manuelt en kolonne, der udregner netop disse. Formlen, der anvendes til at udregne
de enkelte led, der tilsammen udgør den samlede
-værdi, er som følger:
Her er et indeks, der angiver intervalnummeret (i dette tilfælde er der 7 intervaller), og
er det enkelte
intervals bidrag til teststørrelsen.
Tabellen fra før - nu med en ekstra kolonne, der indeholder ovenstående formel:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
12
Goodness of fit
Fra
Til
Obs.
Fordeling
Forventet
fordeling
Bidrag til teststørrelse
20
29
39
45
0,8
30
39
42
48
0,75
40
49
83
57
11,
50
59
54
51
0,8
60
69
49
51
0,3
70
79
21
30
2,7
80
12
18
2
Af tabellen fremgår det klart, at aldersgruppen 40-49 er den gruppe, der giver det største bidrag til
teststørrelsen.
Når formlen for de enkelte led skal tastes ind i Excel, skrives formlen i det øverste felt i kolonnen, fx
”=((C3-D3)^2)/D3”, hvorefter formlen kan ”trækkes” ned over de resterende felter.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
13
Opgave 13
a)
For at finde vinklen mellem bunden og en af siderne (vinklen er den samme for alle sider) findes vinklen
mellem en normalvektor for det plan, bunden ligger i og en normalvektor for det plan, en af siderne ligger i.
Bundens plan har følgende ligning
En normalvektor til denne plan er derfor:
Af de fire mulige sider vælges siden OTC, som er indeholdt i planen .
er en normalvektor til planen
Normalvektoren findes som krydsproduktet af to vektorer
og
, som udspænder planen . De to
vektorer defineres ved at aflæse koordinater på skitsen:
og
.
Krydsproduktet udføres i WordMat (I):
Normalvektoren defineres:
Følgende formel kan anvendes til bestemmelse af vinklen:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Siderne danner således alle en vinkel på 63,4 med bunden.
Krydsproduktet mellem to vektorer giver pr. definition en vektor, som er ortogonal til begge vektorer (en
normalvektor) og dermed ortogonal til den plan, som vektorerne udspænder.
b)
Pyramiden udgøres af 4 trekanter og et kvadrat i bunden, så den samlede overflade er lig med:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
14
Arealet af kvadratet er:
Der gælder, at arealet af det parallellogram, som udspændes af to vektorer er lig med længden af
krydsproduktet af de to vektorer.
Arealet af den trekant, som vektorerne udspænder, er lig med halvdelen af parallellogrammets areal, så:
I vores tilfælde kan de to vektorer vælges til
og
. Deres krydsprodukt har vi allerede bestemt til:
Nu udregnes den samlede overflade vha. WordMat.
Flødebollens samlede overflade inklusiv bund er således
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
15
Opgave 14
a)
Arealet,
der afgrænses mellem to funktioner i et interval , kan findes på følgende måde, hvis
i det åbne interval:
Intervalgrænserne er henholdsvis (da arealet skal findes i 1. kvadrant) og
Grafen for tegnes og sammenlignes med 3 grafer for , med værdier af på hhv. , 1,5 og 1,99
for at tjekke, om
i hele intervallet
Til dette spørgsmål er det nok at tegne grafen for
, men i spørgsmål b skal vi være sikre på, at
i hele , så længe . Af dette hensyn tegnes graferne samlet.
Herunder er grafen for
tegnet med blåt, mens graferne for
er tegnet med rødt
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
16
Da
og
, skal vi ikke bekymre os om placeringen af venstre skæringspunkt.
Det findes i uanset værdien af . Det kan nu vurderes på graferne, at
er større end i hele
intervallet , selv for værdier af , som ligger tæt på 2.
Arealet af udregnes nu for
Arealet af M er således 0,267, når
b)
Spørgsmålet kan skrives som følgende ligning:
WordMat kan ikke løse ligningen analytisk, men tilbyder at løse ligningen vha. grafiske metoder. Der kommer
to grafer frem, og løsningen skal findes som -værdien i skæringspunktet ( værdierne løber ad
førsteaksen). WordMat beder om et startgæt, og dertil anvendes (vurderet af grafen). WordMat
finder nu løsningen numerisk.
Ligningen løses numerisk for a vha. CAS-værktøjet
WordMat's. 'Løs ligninger numerisk'. Newtons metode
anvendes med startgæt a=1.2
Den værdi af , for hvilken
, er
Proceduren i opgaven kan virke besværlig, men nogle gange er WordMats CAS-værktøj bare ikke stærkt
nok. Har man TI-nspire eller lignende bør den tages med til eksamen som sikkerhed. Herunder ses et
screendump fra en håndholdt TI-nspire, der løser ligningen uden problemer:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
17
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
18
Opgave 15
a)
Antallet af smittede som funktion af tiden skrives som . Hastigheden, hvormed antallet af smittede
vokser, er således givet ved
. I den første model antages det, at hastigheden er proportional (
med antallet af smittede. Dette opskrives som en differentialligning, som løses for startbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen S(162)=3800
Nu ønskes hastigheden, hvormed antallet af smittede vokser til tiden
Det vil sige, at der er 84 nye smittede pr. døgn til tiden
b)
Den anden model antager, at følgende sammenhæng er gældende:
, så:
Det vil sige, at der er 109 nye smittede pr. døgn til tiden
For at sammenligne udviklingen i hastigheden (=accelerationen), hvormed antallet af smittede vokser, skal
vi sammenligne funktionsværdierne for den anden afledede af løsningerne til differentialligningerne i hhv.
model 1 og model 2.
Løsningen til differentialligningen i model 1 defineres nu:
Værdien af den anden afledede, når findes nu vha. WordMat:
Løsningen til differentialligningen i model 2 findes nu vha. WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
19
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(162)=3800
Løsningen defineres:
Nu beregnes værdien af den anden afledede, når vha. WordMat:
Da
, vokser hastigheden en smule hurtigere i den sidste model til tiden
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
20
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.1.2)(1.1.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer punktet:
P
Vi definerer linje:
l
Vi beregner afstanden:
43
Afstanden mellem punkt P og linjen l er bestemt til 2,12.
b)
Vi omskriver paramterfremstillingen til en ligning:
Linjen m defineres:
m
Skæringspunktet bestemmes:
s
Skæringspunktet er dermed: s(-2,0)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
Opgave 8
a)
Vi definerer punktserien:
Koefficienterne bestemmes for en exponentiel regression:
a og b aflæses:
a er 1,46 og b er 306,52
b)
(2.2.6)(2.2.6)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.3.3)(2.3.3)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.3.4)(2.3.4)
(2.3.2)(2.3.2)
(2.2.3)(2.2.3)
Vi definerer funktionsforskriften:
Vi sætter funktionen lig 1000 og bestemmer x:
56
assign to a name
x
Årstallet beregnes:
53
Da omsætningen måles over et helt år, vil det betyde, at man (hvis modellen er helt præcis) 9
år efter 2006 (dvs. År 2015) endnu ikke helt har nået en omsætning på 10000 mio. USD. I år
2016 (10 år efter), vil omsætningen til gengæld være større end 10000 mio. USD. Modellens
forudsigelser for hhv. År 2015 og år 2016 år er som følger:
49
04
c)
Fremskrivningsfaktoren er:
8526932
Den gennemsnitlige, årlige vækstrate kan da udregnes som:
Fordoblingskonstanten udregnes:
Fordoblingstiden for omsætningen af biografbiletter er 1,83 år.
(3.2.3)(3.2.3)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.2.6)(3.2.6)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.2.7)(3.2.7)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.2.5)(3.2.5)
(3.2.4)(3.2.4)
(3.1.4)(3.1.4)
Opgave 9
a)
Vi opstiller to ligninger med to ubekendte:
Vi løser ligningssystemet og bestemmer a og b:
Forskriften for f opstilles:
b)
Vi definerer forskriften for f:
Vi bestemmer funktionsværdien, når x er 20:
84
Da der er tale om en potensfunktion ved vi, at når x ganges med tallet så ganges
med tallet ifølge nedenstående formel:
Vi definerer a og :
0.7
Altså aftager med 20,4% når vokser med 70%
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 10
a)
Vi definerer funktionen:
Vi sætter funktionen lig nul og løser ligningen for x:
Førstekoordinaten kendes nu for de to skæringspunkter, og da for begge værdier af x,
har vi nu alle koordinaterne:
b)
at løse ligningen:
Vi foretager en funktionsanalyse:
Vi kan dermed konkludere:
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.1)(5.1.1)
Opgave 11
a)
Først foretages beregninger på trekant ABM:
Vinkel A er 41,2
Nu foretages beregninger på trekant ABC. Da M er midtpunkt mellem A og C, må .
Vi bestemmer længden af BC:
14
Omkredsen af trekant ABC findes nu som summen af de 3 sidelængder:
Omkredsen af trekant ABC er bestemt til 36,54.
b)
Hvis der trækkes en højde fra B til et punkt P, opstår en retvinklet trekant, PBC.
B
C
P
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.1)(5.2.1)
Højden er bestemt til:
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
Opgave 12
a)
Der skal udføres en Goodness of Fit-test for at se, om stikprøven er aldersmæssigt
repræsentativ for hele populationen. Først skal alle de forventede observationer udregnes på
følgende måde:
Stikprøvestørrelsen er lig med:
= 300
Vi definerer dataet og foretager en GOF-test:
Da P-værdien er 0,00538 og dermed under 0,05, forkastes nulhypotesen på et
signifikansniveau på 0,05.
(6.2.1)(6.2.1)
b)
Teststørrelsen er regnet ud vha. Maple ( =18,36), men da vi skal se på de enkelte intervallers
bidrag til teststørrelsen tilføjes manuelt en kolonne, der udregner netop disse. Formlen, der
anvendes til at udregne de enkelte led, der tilsammen udgør den samlede -værdi, er som
følger:
Her er et indeks, der angiver intervalnummeret (i dette tilfælde er der 7 intervaller), og er
det enkelte intervals bidrag til teststørrelsen.
Bidraget beregnes:
Af dataserien fremgår det klart, at aldersgruppen 40-49 er den gruppe, der giver det største
bidrag til teststørrelsen.
(7.1.4)(7.1.4)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.6)(7.1.6)
(7.1.5)(7.1.5)
Opgave 13
a)
For at finde vinklen mellem bunden og en af siderne (vinklen er den samme for alle sider)
findes vinklen mellem en normalvektor for det plan, bunden ligger i og en normalvektor for
det plan, en af siderne ligger i.
Bundens plan har følgende ligning:
En normalvektor til denne plan er derfor:
Af de fire mulige sider vælges siden OTC, som er indeholdt i planen . er en normalvektor
til planen.
Normalvektoren findes som krydsproduktet af to vektorer og , som udspænder planen
. De to vektorer defineres ved at aflæse koordinater på skitsen:
Krydsproduktet bestemmes:
Vinklen mellem normalvektorerne bestemmes:
83
Siderne danner således alle en vinkel på 63,4° med bunden.
b)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.2.4)(7.2.4)
(7.2.1)(7.2.1)
(7.2.3)(7.2.3)
Pyramiden udgøres af 4 trekanter og et kvadrat i bunden, så den samlede overflade er lig med:
Arealet af kvadratet er:
36
Der gælder, at arealet af det parallellogram, som udspændes af to vektorer er lig med længden
af krydsproduktet af de to vektorer. I vores tilfælde kan de to vektorer vælges til og .
Deres krydsprodukt har vi allerede bestemt,
Arealet af den trekant, som vektorerne udspænder, er lig med halvdelen af parallellogrammets
areal, så:
Det samlede overfladeareal udregnes:
Flødebollens samlede overflade inklusiv bund er således 116,5
(8.1.2)(8.1.2)
(8.1.3)(8.1.3)
(8.1.1)(8.1.1)
Opgave 14
a)
Arealet, der afgrænses mellem to funktioner i et interval [a,b], kan findes på følgende måde,
hvis i det åbne interval: ]a,b[
Intervalgrænserne er henholdsvis x=0 (da arealet skal findes i 1. kvadrant) og x=1.
Grafen for tegnes og sammenlignes med 3 grafer for , med værdier af på hhv. 1,01
, 1,5 og 1,99 for at tjekke, om i hele intervallet ]0,1[.
Til dette spørgsmål er det nok at tegne grafen for , men i spørgsmål b skal vi være
sikre på, at i hele ]0,1[, så længe 1< <2. Af dette hensyn tegnes graferne samlet.
Herunder er funktionerne defineret, hvorefter grafen for tegnet med blåt, mens graferne
for er tegnet med rødt.
(8.1.4)(8.1.4)
(8.2.1)(8.2.1)
Da og , skal vi ikke bekymre os om placeringen af venstre
skæringspunkt. Det findes i uanset værdien af . Det kan nu vurderes på graferne, at
er større end i hele intervallet ]0,1[ , selv for værdier af , som ligger tæt på 2.
Arealet af udregnes nu for =1,5:
Arealet af M er således 0,267, når =1,5.
b)
Spørgsmålet kan skrives som følgende ligning:
Den værdi af , for hvilken , er =1,206
(9.1.1)(9.1.1)
(9.2.1)(9.2.1)
(9.1.2)(9.1.2)
(9.2.2)(9.2.2)
(9.2.3)(9.2.3)
Opgave 15
a)
Antallet af smittede som funktion af tiden skrives som . Hastigheden, hvormed antallet af
smittede vokser, er således givet ved . I den første model antages det, at hastigheden
er proportional ( =0,022) med antallet af smittede. Dette opskrives som en differentialligning,
som løses for startbetingelsen (162)=3800.
hvor x er lig t.
Nu ønskes hastigheden, hvormed antallet af smittede vokser til tiden t=162:
Det vil sige, at der er 84 nye smittede pr. døgn til tiden t=162
b)
Den anden model antager, at følgende sammenhæng er gældende:
Når , så:
Det vil sige, at der er 109 nye smittede pr. døgn til tiden t=162.
For at sammenligne udviklingen i hastigheden (=accelerationen), hvormed antallet af smittede
vokser, skal vi sammenligne funktionsværdierne for den anden afledede af løsningerne til
differentialligningerne i hhv. model 1 og model 2.
Løsningen til differentialligningen i model 1 defineres nu:
(9.2.7)(9.2.7)
(9.2.4)(9.2.4)
(9.2.9)(9.2.9)
(9.2.6)(9.2.6)
(9.2.10)(9.2.10)
(9.2.5)(9.2.5)
(9.2.8)(9.2.8)
Værdien af den anden afledede, når t=162 bestemmes:
2299
1250
00
Løsningen til differentialligningen i model 2 bestemmes:
Løsningen defineres:
Nu beregnes værdien af den anden afledede, når t=162:
51
00
41
Da , vokser hastigheden en smule hurtigere i den sidste
model til tiden t=162.