Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
1
STX Matematik A 24. maj 2016
Delprøven med hjælpemidler
1stx161-MAT-A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 18
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Der er tale om en eksponentiel model, så vi opskriver data i en tabel og udfører eksponentiel regression
vha. WordMat:
Antal år efter 2011
0
1
2
3
Omsætning i mia.
kr.
0,3
0,8
1,6
4,9
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,992701
Vi aflæser konstanterne fra regressionsligningen:
b)
Vi definerer konstanterne og funktionen:
I 2015 er , så vi bestemmer:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
3
Omsætningen af certifikater på fondsbørsen i 2015 var på mia. kr. ifølge modellen.
Den årlige vækstrate kan beregnes vha.:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Omsætningen af certifikater på fondsbørsen vokser med 148% om året ifølge modellen.
c)
Fordoblingstiden for en voksende eksponentiel funktion kan bestemmes som:
Der går altså cirka.
år svarende til 9 måneder, før omsætningen af certifikater på fondsbørsen er
fordoblet.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
4
Opgave 8
a)
Da alle 12 trekanter er ens, må vinklen være
af en hel omdrejning på :
Vinkel er .
b)
Arealet af hver enkelt trekant svarer til
af det samlede areal (enheder indgår underforstået):
Arealet af hver enkelt trekant kan desuden bestemmes af formlen:
Hvis vi lader udgøre grundlinjen, skal vi trække en højde fra vinkel til siden . Da deles trekanten i to
ens, retvinklede trekanter, hvor vinkel halveres til
, og sidelængden halveres til
.
Situationen skitseres:
Tangens til
i den retvinklede trekant kan bestemmes som
den modstående katete divideret med den hosliggende katete:
Ligningen løses for h
v
vha. CAS-værktøjet WordMat.
defineres udtrykt ved :
Vi kan nu bestemme af ligningen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
5
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er tale om en sidelængde, så .
Vi konkluderer, at sidelængden i grundfladen er .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
6
Opgave 9
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionen har altså nulpunkter for , og .
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
0,465
2,869
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
Vi kan dermed konkludere:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
7
f er voksende i intervallerne og
f er aftagende i intervallet
c)
Da linjen er parallel med linjen , har de to linjer samme hældning: . Begge linjer er tangenter til
grafen og deres hældninger angiver således funktionens differentialkvotient i deres respektive
røringspunkter. Der hvor linjen tangerer grafen for , skal der altså gælde, at:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Løsningen nummer to hører til linjen som tangerer grafen i
. Førstekoordinaten til punktet er
altså
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
8
Opgave 10
a)
Vi åbner WordMats regneark til
-uafhængighedstest, indtaster tabellens oplysninger og får følgende
output:
χ²-test
Observationer
I alt
Forventede
I alt
120
201
321
110,0088
210,9912
321
75
173
248
84,99121
163,0088
248
I alt
195
374
569
195
374
569
P-værdi:
7,51%
Signifikans
niveau:
5%
De forventede værdier under nulhypotesen aflæses, afrundes og opstilles i en tabel:
FORVENTET
Bor sammen med begge
forældre
Bor sammen med én forælder
BMI under 25
110
211
BMI over 25
85
163
Da , kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5%-signifikansniveau. Vi kan således ikke
afvise, at der er uafhængighed mellem familietype og BMI.
b)
Totalerne (disse aflæses i outputtet fra WordMat) skal være de uændrede for hhv. BMI over 25 og BMI
under 25. Antallet som udelukkende bor hos den ene forælder kan altså bestemmes som:
BMI under 25:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
BMI over 25:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
9
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
En ny antalstabel opstilles:
Bor sammen med
begge forældre
Bor på skift
mellem forældre
Bor
udelukkende
med den ene
forælder
BMI under 25
120
100
101
BMI over 25
75
61
112
Vi åbner WordMats regneark til
-uafhængighedstest, indtaster tabellens oplysninger og får følgende
output:
χ²-test
Observationer
I alt
Forventede
I alt
120
100
101
321
110,008
8
90,8277
7
120,163
4
321
75
61
112
248
84,9912
1
70,1722
3
92,8365
6
248
I alt
195
161
213
569
195
161
213
569
P-værdi:
0,37%
Signifikans
niveau:
5%
Da , forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. På et 5%-signifikansniveau kan vi
konstatere, at der er en sammenhæng mellem familietype og BMI (dvs. de er ikke uafhængige).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
10
Opgave 11
a)
Arealet af glasfladen svarer til arealet af den trekant, som udspændes af de to vektorer
og
.
Arealet af denne trekant kan bestemmes som halvdelen af længden af vektorernes krydsprodukt:
Vektorerne defineres vha. de opgivne punkters koordinater:
Trekantens areal bestemmes:
Arealet af glasfladen er ca.
.
b)
Vinklen mellem glasfladen og et gulvplan i bygningen kan bestemmes som vinklen mellem en
normalvektor til gulvplanet og en normalvektor til glasfladen . Vi antager, at gulvplanerne er helt
vandrette. En normalvektor kan da defineres som:
En normalvektor til glasfladen kan bestemmes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer
i glasfladen.
og
er to sådanne vektorer. Det vil sige:
Vinklen mellem de to vektorer kan bestemmes som:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
11
Dette er den stumpe vinkel, og det må formodes, at man ønsker den spidse vinkel, som kan bestemmes
som:
Dvs.:
Vinklen mellem glasfladen og et gulvplan i bygningen er altså ca. .
c)
Vi antager, at stålwirerne kan beskrives som rette linjer. Skæringspunkterne mellem disse linjer bestemmes
ved at opstille parameterfremstillinger for begge linjer og sætte koordinatfunktionerne for de to stålwirer
lig med hinanden. En parameterfremstilling har følgende udseende:
Hvor
er en retningsvektor og
er et punkt på linjen.
Retningsvektoren
og punktet anvendes til at opskrive en parameterfremstilling for første stålwire,
som repræsenteres af linjen , og koordinatfunktionerne udregnes:
Retningsvektoren
og punktet anvendes til at opskrive en parameterfremstilling for anden stålwire,
som repræsenteres af linjen :
Vi sætter koordinatfunktionerne lig med hinanden og løser mht. og :
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
12
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Advarsel: Du har bedt om at løse et ligningssystem, men angivet færre variable end ligninger. Kun de første
ligninger er løst. Kontroller selv om de(n) sidste ligning(er) passer.
Vi ser, at:
. WordMat har kun løst de første to ligninger, da ligningssystemet er overbestemt
(flere ligninger end ubekendte). Vi ser, at den sidste ligning er:
Dette stemmer overens med løsningen af de første to ligninger, så vi har fundet et skæringspunkt.
Koordinatsættet til skæringspunktets stedvektor (dvs. skæringspunktets koordinater) findes ved at
indsætte
i parameterfremstillingen for :
Koordinatsættet til skæringspunktet mellem de to stålwirer er altså (på afrundet form)
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
13
Opgave 12
a)
Vi har, at:
angiver væksthastigheden for , som angiver klorkoncentrationen.
Klorkoncentrationens væksthastighed, når koncentrationen er på
(dvs.
), bestemmes
som:
Væksthastigheden er negativ, så koncentrationen aftager til på det pågældende tidspunkt.
Klorkoncentrationen aftager med
pr. time, når klorkoncentrationen er på
.
b)
Differentialligningen opskrives og løses vha. begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen y(0)=1,8
Funktionen opskrives og defineres:
Vi bestemmer så:
Klorkoncentrationen i vandet til tidspunktet er ca.
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
14
Opgave 13
a)
Vi indstiller WordMat til vinkelenheden radianer og til at give alle løsninger på trigonometriske ligninger.
De største og mindste værdier kan findes enten i intervalendepunkterne for definitionsmængden eller i et
lokalt ekstremum (hvor tangenten vil være vandret).
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Vandrette tangenter i definitionsmængden bestemmes ved at løse:
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
På trods af WordMats forbehold vedr. numeriske metoder, kan vi heldigvis se af grafen, at der kun er to
steder med vandrette tangenter (som begge er ekstrema). Vi undersøger funktionsværdien i
intervalendepunkter samt lokale ekstrema:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
15
Vi kan nu konkludere, at den højeste temperatur for dette sommerdøgn er , mens den laveste
temperatur er ifølge modellen.
b)
Vi anvender WordMat:
Tallet er differentialkvotienten til . Differentialkvotienten angiver funktionens væksthastighed til det
pågældende tidspunkt. Det vil sige, at temperaturen vokser med i timen til tidspunktet (8 timer
efter midnat).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
16
Opgave 14
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Integralet bestemmes vha. WordMat:
b)
Funktionen defineres:
Vi bestemmer skæringspunkter med førsteaksen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
17
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
For alle værdier af i definitionsmængden gælder, at . Arealet af punktmængden , som afgrænses
af og førsteaksen i definitionsmængden givet ved intervallet svarer så til værdien af det bestemte
integral af i intervallet . Da arealet er lig med , får vi, at:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi konkluderer, at .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
18
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi foretager en eksponentiel regresion af punktserien.
Konstanterne a og b har følgende værdi:
(1.2.5)(1.2.5)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.2.6)(1.2.6)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.3)(1.2.3)
b)
Vi definerer konstanterne og funktionen:
2422762
I 2015 er t =4, så vi bestemmer:
27
Omsætningen af certifikater på fondsbørsen i 2015 var på 11,3 mia. kr. ifølge modellen.
Den årlige vækstrate kan beregnes vha.:
24
24
Omsætningen af certifikater på fondsbørsen vokser med 148% om året ifølge modellen.
c)
Fordoblingstiden for en voksende eksponentiel funktion kan bestemmes som:
Der går altså cirka. år svarende til 9 måneder, før omsætningen af certifikater på
fondsbørsen er fordoblet.
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 8
a)
Da alle 12 trekanter er ens, må vinklen være af en hel omdrejning på 360°:
Vinkel er 30°.
b)
Arealet af hver enkelt trekant svarer til 112 af det samlede areal (enheder indgår underforstået)
:
11
6
Arealet af hver enkelt trekant kan desuden bestemmes af formlen:
vis vi lader udgøre grundlinjen, skal vi trække en højde fra vinkel til siden . Da deles
trekanten i to ens, retvinklede trekanter, hvor vinkel , og sidelængden halveres til
. Situationen skitseres:
(2.2.3)(2.2.3)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.2.2)(2.2.2)
1
2
v
h
1
2
x
tan
v
2
=
x
2
h
Tangens til i den retvinklede trekant kan bestemmes som den modstående
katete divideret med den hosliggende katete:
defineres udtrykt ved :
Vi kan nu bestemme af ligningen:
Der er tale om en sidelængde, så . Vi konkluderer, at sidelængden i grundfladen er 1,4
.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.2)(3.1.2)
Opgave 9
a)
Funktionen defineres:
Funktionens nulpunkter bestemmes:
Funktionen har altså nulpunkter for =0, =1 og =4.
b)
For at undersøge monotoniforholdene for foretages en funktionsanalyse:
Vi får genereret følgende monotoniforhold:
(3.3.1)(3.3.1)
c)
Da linjen er parallel med linjen , har de to linjer samme hældning: =1. Begge linjer er
tangenter til grafen og deres hældninger angiver således funktionens differentialkvotient i
deres respektive røringspunkter. Der hvor linjen tangerer grafen for , skal der altså gælde,
at:
Løsningen nummer to hører til linjen som tangerer grafen i . Førstekoordinaten til
punktet er altså =
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.2)(4.1.2)
Opgave 10
a)
Vi definerer observationerne og foretager en
Da , kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5%-signifikansniveau. Vi kan
således ikke afvise, at der er uafhængighed mellem familietype og BMI.
De forventede værdier beregnes og opstilles i en tabel:
(4.2.1)(4.2.1)
(4.2.2)(4.2.2)
(4.2.3)(4.2.3)
Forventet
Bor sammen med
begge forældre
Bor sammen med
én forælder
Ialt
BMI under 25
321 (4.1.3)
BMI over 25
248 (4.1.4)
b)
Totalerne skal være de uændrede for hhv. BMI over 25 og BMI under 25. Antallet som
udelukkende bor hos den ene forælder kan altså bestemmes som:
BMI under 25:
101
BMI over 25:
112
En antalstabel opstilles:
Bor sammen med
begge forældre
Bor sammen med
én forælder
Bor udelukkende
med den ene
forælder
BMI under 25
BMI over 25
Vi definerer dataet og foretager en
Da , forkastes nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. På et 5%-signifikansniveau
kan vi konstatere, at der er en sammenhæng mellem familietype og BMI (dvs. de er ikke
uafhængige).
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.5)(5.1.5)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.4)(5.1.4)
(5.2.6)(5.2.6)
(5.2.5)(5.2.5)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.1.6)(5.1.6)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.2.4)(5.2.4)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.2.7)(5.2.7)
Opgave 11
a)
Vi definerer trekanten CDE ud fra punkterne C, D og E:
C
localD
E
CDE
Vi bestemmer arealet af trekanten:
36
Arealet af glasfladen CDE er ca. 483 .
b)
Vi definerer planen indeholdende punkt C,D og E:
CDE
Vi definerer planen indeholdende punkt A og B og origo, som er gulvplanen:
P
A
B
ABP
Vi bestemmer vinklen mellem planerne:
13
Vinklen mellem glasfladen CDE og et gulvplan i bygningen er altså ca. 50,7°.
c)
Vi definere linjerne AC og BD:
(5.3.4)(5.3.4)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.3.5)(5.3.5)
(5.3.1)(5.3.1)
(5.3.3)(5.3.3)
AC
BD
Skæringen bestemmes:
S
Koordinatsættet til skæringspunktet mellem de to stålwirer er altså
(6.2.4)(6.2.4)
(6.2.3)(6.2.3)
(5.3.1)(5.3.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.1)(6.2.1)
Opgave 12
a)
Klorkoncentrationens væksthastighed, når koncentrationen er på 1,2 (dvs. y(t))=1,2),
bestemmes som:
Væksthastigheden er negativ, så koncentrationen aftager til på det pågældende tidspunkt.
Klorkoncentrationen aftager med 0,036
mg
pr. time, når klorkoncentrationen er på 1,2
b)
Differentialligningen løses vha. begyndelsesbetingelsen y(0) =1,8:
Funktionen opskrives og defineres:
Vi bestemmer så:
608
Klorkoncentrationen i vandet til tidspunktet =24 er ca. 0,88
(7.1.1)(7.1.1)
(5.3.1)(5.3.1)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.3)(7.1.3)
Opgave 13
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Vi maksimerer funktionen:
Den højeste temperatur for dette sommerdøgn er
Vi minimerer funktionen:
Den laveste temperatur for dette sommerdøgn er
b)
(7.2.1)(7.2.1)
(5.3.1)(5.3.1)
11
Tallet er differentialkvotienten til =8. Differentialkvotienten angiver funktionens
væksthastighed til det pågældende tidspunkt. Det vil sige, at temperaturen vokser med 1,8 i
timen til tidspunktet =8 (8 timer efter midnat).
(8.1.1)(8.1.1)
(5.3.1)(5.3.1)
(8.1.2)(8.1.2)
Opgave 14
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Integralet bestemmes:
b)
Funktionen defineres:
(8.2.1)(8.2.1)
(8.2.3)(8.2.3)
(8.2.2)(8.2.2)
(5.3.1)(5.3.1)
Vi bestemmer skæringspunkter med førsteaksen:
For alle værdier af i definitionsmængden gælder, at , som
afgrænses af og førsteaksen i definitionsmængden givet ved intervallet [- , ] svarer så til
værdien af det bestemte integral af i intervallet [- ]. Da arealet er lig med 4, får vi, at:
22
Vi konkluderer, at =1,596.