Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
1
STX Matematik A (Netadgang)
18. maj 2017
1stx171-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven med formelsamling .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ......................................................................................................................... 11
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
2
Delprøven med formelsamling
Opgave 1
a)
Vi bestemmer arealet af parallelogrammet, når t = 5, vha. den numeriske værdi for determinanten mellem
vektorerne:
Arealet af parallelogrammet er bestemt til 22.
b)
Skal vektorerne være ortogonale skal prikproduktet være lig 0. Vi løser for t i udtrykket herunder:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
3
Tallet t er bestemt til -2/3.
Opgave 2
a)
Vi reducerer udtrykket:
Udtrykket er blevet reduceret.
(I): Kvadratsætning
Opgave 3
a)
Udviklingen kan beskrives med en lineær funktion, da der betales en fast ydelse for hver måned:
Vi opstiller passende variable:
f(x) betegner den samtlige betaling af leasingbilen efter x antal måneder efter førstegangsydelsen.
x betegner x antal måneder efter førstegangsydelsen.
b betegner førstegangsydelsen, dvs. b er lig 5200 (målt i kr.)
a betegner månedsydelsen, dvs. a er lig 1390 (målt i kr.)
Vi opstiller en model:
En model, der beskriver sammenhængen mellem den samlede betaling og leasingperiodens længde, er
bestemt til udtrykket herover.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
4
Opgave 4
a)
Vi omskriver ligningen vha. en kvadratsætning:
(I)
(I)
Vi genkender cirklens ligning og kan aflæse, at cirklen har centrum i (0,3) og en radius på 4.
(I): Kvadratsætning
Opgave 5
a)
Vi undersøger om f er en løsning til differentialligningen ved at gøre prøve. Først bestemmer vi den
afledede funktion f’:
Vi indsætter f og f’ i differentialligningen og reducerer:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
5
Udtrykket er identisk på begge sider, vi kan konkludere, at f er en løsning differentialligningen.
(I): Differentialkvotienter
(II): Regneregler for differentiering:
Produkt:
b)
Vi bestemmer tangentens hældning. Det er oplyst at g er en løsning til dy/dx, dvs. vi bestemmer
hældningen for tangenten ved at bestemme dy/dx, når x = 1 og y = 2:
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for g i punktet P ved, hvor x
0
betegner førstekoordinaten
til punktet P:
En ligning for tangenten er bestemt til udtrykket herover.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
6
Opgave 6
a)
Vi har, at grafen for B tilhører forskriften for g(x), da grafen for B viser en konveks parabel, og forskriften for
g(x) er den eneste af de tre funktioner, der beskriver et andengradspolynomium.
Vi har, at grafen for C tilhører forskriften for f(x), da grafen for C ikke er defineret for x [0], som stemmer
overens med, at forskriften for f(x) er en logaritme funktion, der er kendetegnet ved at x > 0.
Vi har, at grafen for A tilhører forskriften for h(x), da grafen for A viser grafen for en eksponentielt
voksende funktion, som skærer y-aksen i x = 0 i y = 0, som stemmer overens med at h(x) = e
x
.
Opgave 7
a)
Vi har, at trekant ABC er en ligebenet trekant, dette indses da sidelængerne for de to retvinklede trekanter
med en katete med længden 2 er ens. Omkredsen af trekant ABC er givet ved:
Vi bestemmer grundlinjen af trekant ABC som hypotenusen i den retvinklede trekant med kateter med en
sidelængde på 1, vha. Pythagoras’ læresætning:
Vi bestemmer sidelængden af trekant ABC som hypotenusen i den retvinklede trekant med en katete med
længden 2, vha. Pythagoras’ læresætning:
Omkredsen af trekant ABC er givet ved:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
7
Omkredsen af trekant ABC er bestemt til
.
Opgave 8
a)
Det er oplyst, at f er et andengradspolynomium. Vi skitserer grafen for f:
Forskriften for et andengradspolynomium er generelt givet ved:
Tallet c kan aflæses som -12, da f(0) = -12. Vi opstiller ligningen f(3) = 0 og bestemmer et udtryk for b
udtrykt ved a:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
8
Vi indsætter udtrykket for b i ligningen f(-2) = 0, og løser for a:
Vi indsætter a = 2 i f(3) = 0 og løser for b:
Vi opskriver en forskrift for f:
En forskrift for f er bestemt til udtrykket herover.
b)
Vi bestemmer førstekoordinaten til skæringspunkterne mellem grafen for f og linjen l ved at løse for x i y =
f(x):
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
9
Vi løser for x:
Førstekoordinaterne er bestemt til hhv. x = -2 og x = 2, vi bestemmer anden koordinaterne ved at
bestemme y, når hhv. x = -2 og x = 2:
Og:
Koordinatsættene til skæringspunkterne er bestemt til S1(-2, 0) og S2(2, -8).
Opgave 9
a)
Vi bestemmer førstekoordinaten til maksimum for f(x) ved at optimere f(x). Vi bestemmer den afledede
funktion f’(x):
Vi bestemmer nulpunkt til den afledede funktion, hvor x > 0:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
10
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
Vi kan konkludere, at x = 1 er et maksimum. Vi bestemmer anden koordinaten til maksimum ved at
bestemme f(1):
Koordinatsættet til maksimum for f, er bestemt til (1, -1).
(I): Differentialkvotienter
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
11
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 10
a)
Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med
eksponentiel regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Årstal
2008
2010
2012
2014
Antal år efter år
2008
0
2
4
6
Antal registrerede
overnatninger
55387
70816
114103
160650
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Vi aflæser tallene fra regressionsligningen:
Tallet a er bestemt til 1,20 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 53087,4 (afrundet til 1
decimal).
b)
Vi definerer forskriften for f(t):
Vi bestemmer det forventede antal af registrerede overnatninger af kinesiske turister i Danmark i år 2018
ved at bestemme f() = f(10):
Ifølge modellen er det forventede antal i år 2018 bestemt til 332877 (afrundet ned til hel overnatning).
Vi bestemmer fordoblingstiden ved:
Fordoblingstiden er bestemt til 3,76 år (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
12
Opgave 11
Opgave 11 tilhører forberedelsesmaterialet, som blev udgivet i 2017. Opgaverne er derfor ikke inden for
pensum.
a)
Vi opstiller en nulhypotese: H
0
: Observationerne fra det konkrete forsøg stemmer overens med Mendels
love.
Vi bestemmer de forventede værdier under forudsætning af nulhypotesen. Vi har, at der i alt var 428 + 152
= 580 bælge (dvs. observationer) i alt:
Gul
Grøn
Forventet %
Forventet antal
De forventede værdier under forudsætning af nulhypotesen er bestemt under rækken ”forventet antal” i
tabellen herover.
b)
Testen foretages i WordMats skabelon for Binomialtest, resultatet kopieres ind i besvarelsen. Der skal i
dette tilfælde desuden vælges dobbeltsidet test, da der både kan forekomme for få og for mange
observationer i forhold Mendels love af hhv. grønne bælge.
Testen foretages med basissandsynligheden, at 75 % = 0,75 af bælgene vil være grønne dvs.:
Vi bestemmer den observerede sandsynlighed ved:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
13
Resultat fra test:
Binomialtest
n=
580
Forventet: p=
0,75
Observeret: p=
0,
µ =
427,9999974
Signifikans
niveau:
5%
Resultat
Venstresidet
test:
0-hypotese bekræftet. Det kan ikke afvises at den observerede middelværdi:
427,9999974 er korrekt.
Højresidet test:
Dobbeltsidet
test:
x
Kritiske værdier:
k
1
=
413
k
2
=
456
Da middelværdien = 428 (afrundet til helt tal) ligger i inden for det kritiske interval [413; 456] og dermed i
acceptområdet, kan vi på baggrund af testen på et 5% signifikansniveau bekræfte nulhypotesen. Vi kan
således konkludere, at observationerne for det konkrete forsøg stemmer overens med Mendels love.
Opgave 12
a)
Vi bestemmer den spidse vinkel v, når strygebrættet sættes i højeste position med WordMats
trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: CB = 75 , AB = 101 , AC = 84
A = 46,723036°
C = 78,648622°
B = 54,628342°
CB = 75
AB = 101
AC = 84
A
C
B
CB
AB
AC
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
14
Vinkel A findes vha. en cosinusrelation:
Den spidse vinkel v er bestemt til 46,72 ° (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer højden h
1
fra C som modstående katete i den retvinklede trekant som siden med længden 84
danner med hjørnerne A og C, vi benytter WordMats trekantsløser:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,720336° , H
1
= 90° , AC = 84
A = 46,720336°
C = 43,279664°
H
1
= 90°
h
1
= 61,153355
AH = 57,58704
AC = 84
Længden af siden h
1
findes vha. sinus:
Højden h
1
fra C er bestemt til 61,15 cm (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer strygebrættets højde over gulvet, når strygebrættet er i dets højeste position, ved at
bestemme modstående katete i den retvinklede trekant som vinkel v danner med siden |AE|= 84 + 37 =
121. Vi benytter WordMats trekantsløser.
A
C
H
1
h
1
AH
AC
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
15
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,720336° , H = 90° , AE = 121
A = 46,720336°
E = 43,279664°
H = 90°
h = 88,089952
AH = 82,95276
AE = 121
Længden af siden h findes vha. sinus:
Højden over gulvet i strygebrættets højeste position er bestemt til h = 88,089952 cm.
Vi bestemmer vinkel v, når h
1
= 47. Vi benytter WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90° , h
1
= 47 , AC = 84
A = 34,022872°
C = 55,977128°
H = 90°
h
1
= 47
AH = 69,620399
AC = 84
Vinkel A findes vha. sinus:
Vi bestemmer h, når vinkel v = 34,022872°.
A
E
H
h
AH
AE
A
C
H
h
1
AH
AC
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
16
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 34,022872° , H = 90° , AE = 121
A = 34,022872°
E = 55,977128°
H = 90°
h = 67,70238
AH = 100,28653
AE = 121
Længden af siden h findes vha. sinus
Højden over gulvet, når strygebrættets er sin laveste position er bestemt til 67,70238 cm.
Vi bestemmer forskellen i højden over gulvet i de to yderpositioner:
Forskellen i højden over gulvet ved hhv. laveste og højeste position, er bestemt til 20,39 cm (afrundet til 2
decimaler).
Opgave 13
a)
Planens ligning består af en normalvektor til planen og et punkt i planen. En normalvektor til planen kan
bestemmes af to ikke parallelle vektorer i planen. Den ene vektor kan aflæses som retningsvektoren i
parameterfremstillingen for linjen, den anden vektor bestemmes som vektoren, der går fra Origo (0,0) (dvs.
koordinatsystemets begyndelsespunkt) og begyndelsespunktet for parameterfremstillingen. Vi definerer
Origo og begyndelsespunktet for parameterfremstillingen:
A
E
H
h
AH
AE
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
17
Vi bestemmer vektor
:
Vi definerer de to ikke parallelle vektorer:
Vi bestemmer en normalvektor som krydsproduktet mellem vektor
og vektor :
Vi opskriver en ligning for planen, der indeholder koordinatsystemets begyndelsespunkt og linjen, der er
givet ved parameterfremstillingen. Vi vælger Origo som begyndelsespunktet i ligningen for planen:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En ligning for planen, der indeholder Origo og linjen givet ved parameterfremstillingen, er bestemt til
udtrykket herover.
Opgave 14
a)
Vi definerer forskriften for f:
Vi bestemmer førstekoordinaten til punktet A ved at løse for x i udtrykket f(x) = y, hvor x > 0:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
18
Vi bestemmer anden koordinaten for punktet A ved at indsætte x i udtrykket for y:
Koordinatsættet til punktet A er bestemt til A(6 - a, -a
2
+6), vi har dermed gjort rede.
b)
Vi bestemmer øvre grænse for det samlede areal under grafen for f, ved at løse for x i f(x) = 0, hvor x > 0:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Vi bestemmer det samlede arealet af punktmængden M, som arealet under grafen for f vha. af det
bestemte integral herunder i intervallet [0; 6]:
Dvs. at arealet af punktmængderne for hhv. M
1
og M
2
hver især
må være lig 36 / 2 = 18:
Vi har, at arealet af punktmængden M
1
er givet ved differensen mellem arealet under grafen for f i
intervallet [0; 6 - a] og arealet under grafen for y i intervallet [0; 6 - a]. Vi bestemmer a, ved at løse for a i
udtrykket herunder:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Værdien for a, så arealet af M
1
og M
2
er lige store, er bestemt til a = 1,24 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 15
Opgave 15 tilhører forberedelsesmaterialet, som blev udgivet i 2017. Opgaverne er derfor ikke inden for
pensum.
a)
Vi bestemmer et estimat for basissandsynligheden p, dvs. andelen af gymnasieelever i stikprøven, der
dyrker motion:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
19
Vi bestemmer et 95 % - konfidensinterval for andelen af gymnasieelever, der dyrker motion i kommunen i
år 2016 med GeoGebras sandsynlighedslommeregner, vi benytter ”Z interval for andel”. Resultatet
kopieres ind i besvarelsen.
Vi har størrelserne:
Vi aflæser konfidensintervallet til (afrundet til 3 decimaler):
Et 95 % - konfidensinterval for andelen af gymnasieelever, der dyrker motion er bestemt til intervallet
(herover).
Vi undersøger om andelen har ændret sig siden 2010. Vi har, at andelen af gymnasieelever i år 2010, der
dyrker motion, er angivet til at være 88 %, dvs. da 88 % befinder sig i intervallet, kan vi konkludere, at på et
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
20
95 % - konfidensinterval har andelen af gymnasieelever, der dyrker motion i deres fritid, ikke ændret sig
siden år 2010.
Opgave 16
a)
Vi definerer forskriften for f, samt definitionsmængden for x:
Vi har, at arealet af et rektangel generelt er givet ved:
Højden af rektanglet er i dette tilfælde givet h = f(x), og bredden af rektanglet kan beskrives som b = 4 - x
dvs. et udtryk for arealet af rektanglet som funktion af x er givet ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Vi definerer forskriften for A samt definitionsmængden for x:
Vi bestemmer værdien for x, så arealet af rektanglet bliver størst mulig ved at optimere A(x). Vi bestemmer
nulpunkter til den afledede funktion A’(x):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion
A’:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
21
Vi kan konkludere, at nulpunktet x lig ¾ er et maksimum, rektanglets areal er således størst når x er lig ¾.
Opgave 17
a)
Vi bestemmer en forskrift for C(t) ved at løse differentialligningen C’(t) med WordMat. Vi benytter
startbetingelsen C(0) = 0:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen C(0)=0
Vi definerer forskriften for C(t):
Vi bestemmer, hvor lang tid patienten skal have medicin via droppet ved at løse for t, når C(t) = 0,40:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen skal patienten have medicin via droppet i ca. 22,45 minutter (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer en ny forskrift for C(t) ved løse den nye differentialligning C’(t) med WordMat. Vi benytter
startbetingelsen C(22,447938) = 0,40, da vi ved, at medicinkoncentrationen i patientens plasma 22,447938
minutter efter behandlingens start er lig 0,40 mg / L:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen C(22,447938)=0,40
Vi definerer, den nye forskrift for C(t):
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 18. maj 2017
22
Vi kan genkende forskriften for C(t), til at være en eksponentiel funktion, hvor
. Vi bestemmer
halveringstiden ved:
Ifølge modellen, går der 120 minutter (afrundet til helt tal) efter tilførslen af medicin er stoppet, før at
medicinkoncentrationen i patientens plasma er halveret.