Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
1
STX Matematik A (Netadgang)
29. maj 2013
Delprøven med hjælpemidler
2stx131-MATn/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 17
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 10
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression. Data opskrives i en tabel:
Antal år
20
100
150
200
250
300
350
Pollenforøgelsen
(pollenkorn pr.
cm
2
pr. år)
1600
1950
3020
4510
6230
10100
14350
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9780923
Konstanterne kan nu aflæses og defineres:
b)
Fordoblingstiden kan beregnes som:
Fordoblingstiden er altså ca. 98,6 år.
Funktionen defineres, og vi løser
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
3
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Pollenforøgelsen i sedimentet var altså på 50.000 korn pr. cm
2
pr. år ca. 538 år efter de første fyrretræer
kom til de britiske øer.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
4
Opgave 11
a)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 60°, B = 41°, AD = 6
A = 60°
B = 41°
D = 79°
BD = 7,920251
AD = 6
AB = 8,97749
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne BD og AB findes vha. sinusrelationerne
Vi kan således konkludere, at
.
Nu foretages i stedet beregninger på trekant ABC. Da linjen BD er vinklehalveringslinje for vinkel B, må der i
denne trekant gælde, at
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 60°, B = 82°, AB = 8,97749
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
5
A = 60°
B = 82°
C = 38°
BC = 12,62826
AC = 14,43995
AB = 8,97749
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne BC og AC findes vha. sinusrelationerne
Vi kan således konkludere, at:
.
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
6
Opgave 12
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat i et passende interval:
I år 2013 vil
I år 2013 vil der ifølge modellen være cirka traktorer i Punjab.
b)
bestemmes i WordMat:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
7
Tallet fortæller, at antallet af traktorer i Punjab vokser med ca. 18638 traktorer pr. år i år 1990.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
8
Opgave 13
a)
Nulhypotese: Fordelingen af abonnenter i stikprøven i år 2013 er den samme som fordelingen i
oplagstallene fra år 2011.
Det forventede antal svar blandt de 200 adspurgte abonnenter kan beregnes som:
Det totale antal abonnenter i 2011 er givet ved:
De forventede værdier bestemmes nu ved indsættelse af formlen i et regneark:
Dagblad
obs2011
forv2013
Politiken
196712
53,47375
Jyllandsposten
208037
56,55231
Fyns
Stiftstidende
90581
24,62333
Information
42695
11,60611
Berlingske
197708
53,7445
Det giver selvfølgelig ikke mening at forvente værdier med decimaltal, men de anvendes alligevel uden
afrunding for at øge præcisionen i de efterfølgende udregninger.
b)
Da det skal undersøges, om en stikprøve stammer fra den forventede observation, anvendes en GOF-test i
WordMat:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
9
Goodness of fit
Nul-hypotese:
Den observerede
stikprøve stammer fra
den forventede fordeling
Dagblad
obs2013
forv2013
Signifikans
niveau:
5%
Politiken
45
53,473747
Jyllandsposten
63
56,552309
P-værdi:
7%
Fyns
Stiftstidende
24
24,623335
Information
20
11,606113
Berlingske
48
53,744497
Goodness of fit bygger på χ²-fordeling
Frihedsgrader:
4
χ²-værdi:
8,778
Xmaks:
16
Da kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5% signifikansniveau.
Det er vigtigt at konkludere præcist. Der er kun to mulige konklusioner på denne type opgave:
1) Nulhypotesen forkastes på et 5% signifikansniveau.
2) Nulhypotesen kan ikke forkastes på et 5% signifikansniveau
En forkert konklusion ville være: ”Nulhypotesen kan bekræftes”.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
10
Opgave 14
a)
En ligning for planen søges opskrevet på formen:
Her er
en normalvektor til planen, mens
er et punkt i planen.
En normalvektor kan findes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i planen. To sådanne
vektorer defineres:
Selvom vektoren ganges med en faktor
, vil den stadig være normalvektor for planen:
Denne vektor og punktet anvendes nu til at opskrive ligningen:
Venstre side i ligningen omskrives vha. WordMat:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
En ligning for den plan , som indeholder de to ben AD og BD, er således givet ved:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
11
b)
Parameterfremstillingen for en linje med retningsvektor
, som går gennem et punkt med
stedvektor
, er givet ved:
har retningsvektor
går gennem punktet med stedvektor
Parameterfremstillingen kan nu opskrives:
Vinklen mellem planens normalvektor og linjens retningsvektor er komplementær til vinklen mellem
planen og linjen. Det vil sige, at: .
De to vektorer defineres:
Vinklen kan beregnes på følgende måde:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
12
Vinklen mellem planen og linjen kan nu beregnes ved at løse:
Ligningen løses for u vha. CAS-værktøjet WordMat.
Denne vinkel er den spidse vinkel mellem og . Den stumpe vinkel findes som:
Den stumpe vinkel mellem og er
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
13
Opgave 15
a)
WordMat er ikke så anvendelig, når det kommer til funktioner af flere variable, så her anbefales det at
anvende en stærkere software som fx TI-nSpire eller Maple. WordMat kan godt anvendes til at bestemme
funktionsværdier, men ikke til partielt afledede mm.
I denne opgave anvendes punktum som decimalseparator fremfor komma. Dette gøres for at undgå
forvirring af WordMat, da de uafhængige variable adskilles af komma i funktioner af flere variable.
Funktionen defineres i TI-nspire, og de angivne afledede beregnes:
Vi kan som konklusion opskrive de efterspurgte afledede (og samtidig definere de to afledede af første
orden som funktioner af og ):
b)
En ligning for tangentplanen til en funktion i et punkt
er givet ved
Endnu udefinerede størrelser defineres:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
14
Ligningen kan nu bestemmes i WordMat:
En ligning for tangentplanen til funktionen i punktet er således bestemt til:
c)
Gradienten er defineret som:
I de stationære punkter er gradienten lig med nulvektoren. Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nu bestemmes -værdierne i de to punkter:
De to stationære punkter er fundet med koordinatsættene:
og
Grafen tegnes i TI-nSpire:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
15
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
16
Opgave 16
a)
Ligningen løses med betingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen P(0)=5
Funktionen defineres:
Nu løser vi:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den endelige forskrift bliver da:
Grafen tegnes i WordMat i et passende interval:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –29. maj 2013
17
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.2)(1.1.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 10
a)
Vi definerer dataet:
Da der er tale om en eksponentiel model, foretages eksponentiel regression:
Konstanterne kan nu aflæses og defineres:
1.0071
1140.9
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.4)(1.2.4)
b)
Fordoblingstiden kan beregnes som:
Fordoblingstiden er altså ca. 98,6 år.
Funktionen defineres, og vi løser h(t)=50000:
53
Pollenforøgelsen i sedimentet var altså på 50.000 korn pr. pr. år ca. 534 år efter de første
fyrretræer kom til de britiske øer.
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.3)(2.1.3)
Opgave 11
a)
Vi benytter Gym-pakkens trekantsløser:
Vi kan således konkludere, at |BD|=7,920251. Nu foretages i stedet beregninger på trekant
ABC. Da linjen BD er vinklehalveringslinje for vinkel B, må der i denne trekant gælde, at:
Vi kan således konkludere, at: |AC|=14,43995
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.1.2)(3.1.2)
Opgave 12
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i et passende interval:
I år 2013 har vi:
I år 2013 vil der ifølge modellen være cirka 474.738 traktorer i Punjab.
b)
(3.2.1)(3.2.1)
bestemmes:
58
Tallet fortæller, at antallet af traktorer i Punjab vokser med ca. 18638 traktorer pr. år i år 1990.
(4.1.2)(4.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.5)(4.1.5)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 13
a)
Nulhypotese: Fordelingen af abonnenter i stikprøven i år 2013 er den samme som fordelingen
i oplagstallene fra år 2011.
Det forventede antal svar blandt de 200 adspurgte abonnenter kan beregnes som:
Det totale antal abonnenter i 2011 er givet ved:
735733
De observerede værdier defineres og de forventede værdier bestemmes:
De forventede værdier indsættes i en tabel:
Dagblad
Politiken
Jyllandsposten
Fyns Stiftidende
Information
Berlingske
Det giver selvfølgelig ikke mening at forvente værdier med decimaltal, men de anvendes
alligevel uden afrunding for at øge præcisionen i de efterfølgende udregninger.
b)
Da det skal undersøges, om en stikprøve stammer fra den forventede observation, anvendes en
GOF. Vi definerer de observerede værdier fra 2013:
Da kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5% signifikansniveau.
(5.1.3)(5.1.3)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.5)(5.1.5)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.4)(5.1.4)
Opgave 14
a)
Vi definerer punkterne A, B og D:
A
B
D
Vi bestemmer en ligning for planen:
En ligningen for planen er givet ved:
b)
Punkt E defineres:
E
Linjen defineres ud fra punkterne D og E:
l
Warning, assume that the parameter in the parametric
equations is _t
Warning, assuming that the names of the axes are _x, _y,
and _z
form of the object line3d
equation of the line
Linjen gennem punkt E og D har parameterfremstillingen:
Vinklen mellem linjen og planen bestemmes:
(5.2.5)(5.2.5)
(5.2.4)(5.2.4)
(5.2.6)(5.2.6)
55
Den stumpe vinkel bestemmes:
Den stumpe vinkel mellem
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.6)(6.1.6)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.1.7)(6.1.7)
(6.1.5)(6.1.5)
(5.2.4)(5.2.4)
(6.2.3)(6.2.3)
(6.1.3)(6.1.3)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.2.1)(6.2.1)
Opgave 15
a)
Funktionen defineres, og de angivne afledede beregnes:
2
Vi kan som konklusion opskrive de efterspurgte afledede (og samtidig definere de to afledede
af første orden som funktioner af x og y):
b)
En ligning for tangentplanen til en funktion f(x,y) i et punkt er
givet ved:
Endnu udefinerede størrelser defineres:
1
Ligningen bestemmes:
En ligning for tangentplanen til funktionen i punktet P er således bestemt til:
(5.2.4)(5.2.4)
(6.3.4)(6.3.4)
(6.3.3)(6.3.3)
(6.3.2)(6.3.2)
(6.3.1)(6.3.1)
c)
Gradienten er defineret som:
I de stationære punkter er gradienten lig med nulvektoren. Vi løser nu:
Punkternes z-koordinater findes:
0
De stationære punkter har således koordinatsættene:
og
Grafen tegnes:
(5.2.4)(5.2.4)
(7.1.4)(7.1.4)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.2)(7.1.2)
(5.2.4)(5.2.4)
(7.1.5)(7.1.5)
Opgave 16
a)
Ligningen løses med betingelsen P(0)=5:
Funktionen defineres:
Nu løser vi:
7445
Den endelige forskrift bliver da:
Grafen tegnes i et passende interval:
(5.2.4)(5.2.4)