Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
1
STX Matematik A (Netadgang)
23. maj 2017
2stx171-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven med formelsamling .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ......................................................................................................................... 11
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
2
Delprøven med formelsamling
Opgave 1
a)
Vi løser ligningssystemet som to ligninger med to ubekendte. Vi gør brug af substitutionsmetoden, og
bestemmer et udtryk for x udtrykt ved y:
Vi indsætter x i den anden ligning og bestemmer y:
Vi bestemmer x ved:
En løsning til ligningssystemet er bestemt til hhv. x = -1 og y = 5.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
3
Opgave 2
a)
Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel sammenhæng, da udviklingen vokser med 2% om
året:
f(x) betegner det årlige antal køretøjer, der kører på strækningen, til året x år efter år 2011.
x betegner årstallet x antal år efter 2011.
b betegner antallet af køretøjer, der årligt kørte på strækningen i år 2011, dvs. b er lig 256123.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r = 0,02 kan vi beregne fremskrivningsfaktoren a:
Vi opskriver en model:
En model, der beskriver udviklingen i det samlede antal køretøjer, der kører på strækningen, er bestemt til
udtrykket herover.
Opgave 3
a)
Vi benytter, at skalarproduktet mellem vektorerne er lig 0, når vektorerne er ortogonale, vi løser for k i
udtrykket herunder:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
4
Tallet k er bestemt til 10.
b)
Vi bestemmer arealet af parallelogrammet, når k = 5, vha. den numeriske værdi af determinanten mellem
de to vektorer dvs.:
Arealet af parallelogrammet er bestemt til 15.
c)
Vi bestemmer en normalvektor til ligningen for linjen som tværvektoren til vektor :
Vi vælger punktet P(2, 3) som begyndelsespunkt og opskriver en ligning for linjen l:
En ligning for linjen l er bestemt til udtrykket herover.
(I): Tværvektor
Opgave 4
a)
Vi aflæser kvartilsættet:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
5
Nedre kvartil Q1: 37,5
Median: 39
Øvre kvartil Q3: 40
Vi indtegner boksplottet på bilaget, hvor hhv. mindste- og størsteværdi kan aflæses til 36 og 43:
Boksplottet er bestemt til plottet herover.
Opgave 5
a)
Den generelle ligning for en parabel er givet ved:
Vi gør rede for de fire parabler og ligninger:
Ligning D hører til parabel t, da parabel t skærer y-aksen i x = 0 i den mindste værdi af alle parablerne, dette
stemmer overens med ligning D skærer y-aksen i c = 1 dvs. den mindste værdi af alle ligningerne.
Ligning B hører til parabel r, da parabel r er en konkav parabel med samme skæring med y-aksen i x = 0 som
de resterende parabler hhv. q og p. Dette stemmer overens med at ligning B er en ligning for en konkav
parabel da a < 0, som skærer y-aksen i c = 3, dvs. samme sted som hhv. ligning A og C.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
6
Ligning A hører til parabel q, da parabel q er en konveks parabel, hvor hældningen for tangenten til grafen i
x = 0 er positiv, samtidig med at parabel q har samme skæring med y-aksen i x = 0 som hhv. parabel p og r.
Dette stemmer overens med at ligning A er en ligning for en konveks parabel da a < 0, hvor hældningen for
tangenten i x = 0 er positiv da b > 0.
Ligning C hører til parabel p, da parabel p er en konveks parabel, hvor hældningen for tangenten til grafen
er negativ i x = 0, samtidig med at parabel q har samme skæring med y-aksen i x = 0 som hhv. parabel q og
r. Dette stemmer overens med at ligning C er en ligning for en konveks parabel da a < 0, hvor hældningen
for tangenten i x = 0 er negativ da b < 0.
Opgave 6
a)
Tangentens ligning er givet ved, hvor x
0
betegner førstekoordinaten til punktet P:
Vi bestemmer den afledede funktion f’:
Vi bestemmer f’(x
0
) = f’(2):
Vi bestemmer f(x
0
) = f(2):
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ved:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til udtrykket herover.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
7
(I): Differentialkvotienter
b)
Vi bestemmer monotoniforhold til grafen for f. Vi bestemmer nulpunkt til den afledede funktion f’:
Vi løser ligning vha. diskriminanten. Vi bestemmer diskriminanten:
Vi bestemmer rødderne ved:
Dvs.:
Og:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
8
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
f er voksende i intervallet ]-∞; -3] og [1; ∞[
f er aftagende i intervallet [-3; 1]
Opgave 7
a)
Vi bestemmer en stamfunktion F(x) til f(x) ved at integrere f(x):
Vi løser for k i F(1) = 9:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver stamfunktionen F(x), hvis graf netop går igennem punktet P:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
9
Vi reducerer g(x):
Forskriften for g(x) er identisk med stamfunktionen F(x), vi kan således konkludere at g netop er den
stamfunktion til f, hvis graf går igennem punktet P.
(I): Stamfunktioner
Opgave 8
a)
Arealet af det tiloversblevne papir er lig differensen mellem arealet af hele trekanten og arealet af
kvadratet, hvor 0 < x < 4. Arealet af en trekant er generelt givet ved A = ½h • g, dvs.:
Dvs.:
Arealet af det tiloversblevne papir udtrykt ved x, er bestemt til udtrykket herover.
b)
Vi har, at det samlede areal af trekanten kan bestemmes som summen af arealet af de to retvinklede
trekanter, hvor hhv. siden x betegner højden i ene trekant og grundlinje i den anden trekant, og arealet af
kvadratet dvs.:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
10
Vi løser for x i udtrykket herover:
Den største sidelængde x, som kvadratet kan få i sådanne et udklip, er bestemt til 2,4 cm.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
11
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 9
a)
Modellen kan beskrives som en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens
regression:
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Længde
(cm)
2,4
3,5
5,0
7,1
8,2
9,5
12,6
13,7
Vægt
(gram)
0,058
0,16
0,45
1,21
2,12
2,68
6,51
7,55
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 = 0,
Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen. Tallet a er bestemt til 2,84 (afrundet til 2 decimaler), og
tallet b er bestem til 0,0048 (afrundet til 4 decimaler).
b)
Vi definerer M som funktion af x:
Vi bestemmer længden af en regnorm der vejer 4,0 gram ved at løse for x i M(x) = 4,0:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er længden af en regnorm med massen 4,0 gram bestemt til 10,74 cm (afrundet til 2
decimal).
Vi definerer tallet a og væksten for længden af regnormen som r
x
:
Vi bestemmer væksten for vægten, når regnormens længde forøges med 30 %:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
12
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vokser regnormens vægt med 110,5 % (afrundet til 1 decimal), når længden forøges med
30 %.
Opgave 10
a)
Vi bestemmer længden af siden |AB| ved at løse for |AB| i udtrykket herunder for arealet af en trekant
givet ved en sinusrelation, hvor AB > 0:
Ligningen løses for AB vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Længden af siden |AB| er bestemt til 8.
Omkredsen af trekant ABC er givet ved summen af sidelængderne |AC|, |AB| og |BC|. Vi bestemmer
længden af siden BC med WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 30° , AC = 5 , AB = 8
A = 30°
B = 34,263571°
C = 115,73643°
BC = 4,4404918
AC = 5
AB = 8
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
13
Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation:
Vi bestemmer omkredsen af trekanten ved:
Omkredsen af trekant ABC er bestemt til 17,44 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 11
a)
Vi opstiller en binomialmodel, hvor X betegner den stokastiske variabel, n betegner antallet af forsøg, dvs.
n = 30, og p er basissandsynligheden, dvs. p = 9/10 = 0,90. Binomialmodellen er givet ved:
Vi bestemmer sandsynligheden for, at der blandt 30 forårsløg fra gartneriet er netop 25 forårsløg, der
spirer, vha. WordMats skabelon for binomialfordeling. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Resultat fra binomialfordeling:
Binomialfordeling
P(X=
25
)=
0,1023
p=
0,9
P(X≤
)=
n=
30
P(
≤X≤
)=
µ =
27
σ =
1,6432
Sandsynligheden aflæses til:
Sandsynligheden for, at netop 25 løg spirer, er bestemt til 10,2 % (afrundet til 1 decimal).
b)
Vi opstiller en nulhypotese til at bestemme, om kunden har grund til at klage til gartneriet.
Nulhypotese: H
0
: Et bestemt slags løg spirer 9 ud af 10 gange.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
14
Nulhypotesen testes med en binomialtest. Testen foretages med WordMats skabelon for binomialtest på et
5% signifikansniveau, resultatet kopieres ind i besvarelsen. Der foretages en venstresidet test, da vi
antager, at kun en for lav mængde af spirede løg kan give anledning til hengive en klage:
Vi har et antals parameter på n:
Vi har en basissandsynlighed på:
Vi har observeret, at kun 40 af de 50 løg spirer, det svarer til en observeret sandsynlighed på:
Resultat fra testen:
Binomialtest
n=
50
Forventet:
p=
0,9
Observeret:
p=
0,8
µ =
40
0-Hypotese:
Den observerede sandsynlighed for succes stammer fra den angivne binomialfordeling
Signifikans niveau:
5%
Resultat
Venstresidet test:
x
0-hypotesen er afvist. Den observerede middelværdi: 40 tilhører ikke
binomialfordelingen.
Højresidet test:
Dobbeltsidet test:
Kritiske værdier:
k
1
=
40
Da middelværdien på 40 er lig den nedre kritiske værdi k
1
på 40, afviser vi nulhypotesen. Vi kan således
konkludere, at kunden ifølge testen på et 5 % signifikansniveau har en grund til at klage til gartneriet.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
15
Opgave 12
a)
Vi definerer punkterne A, B og T:
Vi bestemmer hhv. vektor
og vektor
:
Vi definerer vektorerne:
Vi bestemmer arealet af tagfladen ABT som halvdelen af den numeriske værdi af krydsproduktet mellem
vektorerne dvs.:
Arealet af tagfladen ABT er bestemt til 165,24 dm
2
(afrundet til 2 decimaler).
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
16
b)
Vi bestemmer en retningsvektor til parameterfremstillingen for linjen l, der går igennem punkterne B og T,
som vektor
:
Vi opstiller parameterfremstillingen for linjen l, vi vælger B som begyndelsespunktet:
En parameterfremstilling for linjen l, er bestemt til udtrykket herover.
Det er oplyst at planen , der indeholder pavillonens loft, er parallel med xy-planen, dvs. en normalvektor
til planen er givet ved:
Vi definerer retningsvektoren for linjen l og normalvektoren for planen :
Vi bestemmer vinklen mellem retningsvektoren for linjen l og normalvektoren til planen :
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer den spidsevinkel mellem linjen l og planen ved:
Den spidse vinkel mellem linjen l og planen er bestemt til 49,64 ° (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
17
Opgave 13
a)
Vi definerer forskriften for hhv. f(x) og g(x):
Vi tegner graferne for hhv. f og g:
Vi bestemmer øvre og nedre grænse for arealet af punktmængden M som førstekoordinaterne til
skæringspunkterne mellem hhv. grafen for f og g:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer arealet af punktmængden M som differensen mellem arealet under grafen for f i intervallet
[-2; 2] og arealet under grafen for g i intervallet [-2; 2] vha. det bestemte integral herunder:
Arealet af punktmængden M er bestemt til 208/15.
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
18
b)
Vi bestemmer rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring x-aksen,
som differensen mellem hhv. rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f i
intervallet [-2; 2] drejes 360° omkring x-aksen og rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer,
når grafen for g i intervallet [-2; 2] drejes 360° omkring x-aksen:
Rumfanget er bestemt til 605,42.
Opgave 14
Opgave 14 tilhører forberedelsesmaterialet, som blev udgivet i 2017. Opgaverne er derfor ikke inden for
pensum.
a)
Vi opstiller en hypergeometrisk model for antallet af kvinder i fokusgruppen, hvor k betegner antal
elementer som udtages dvs. k = 15 kvinder, a betegner antal kvinder i populationen dvs. a = 200, og n
betegner den samlede population dvs. n = 350. Modellen er givet ved:
Vi bestemmer middelværdi for den hypergeometriske ved:
Middelværdien for den hypergeometriske fordeling er bestemt til 8,57 (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer spredning for den hypergeometriske fordeling ved:
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
19
Spredningen for den hypergeometriske fordeling er bestemt til 1,88 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer sandsynligheden for, at mindst 10 personer i fokusgruppen er kvinder vha. GeoGebras
sandsynlighedslommeregner, vi benytter en hypergeometrisk fordeling, resultatet kopieres ind i
besvarelsen:
Vi aflæser:
Sandsynligheden for, at mindst 10 personer i fokusgruppen er kvinder, er bestemt til 31,4 % (afrundet til 1
decimal).
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
20
Opgave 15
a)
Vi bestemmer P for den pågældende situation. Vi har i alt 25 personer, og vi antager, at de alle er
stillesiddende, dvs. den samlede mængde af CO
2
, der udskilles i klasselokalet pr. time er givet ved:
Vi har desuden, at der er 7 luftudskiftninger pr. time, dvs. R = 7. Vi bestemmer en forskrift for C(t) ved at
løse differentialligningen herunder med WordMat, vi benytter startbetingelsen C(0) = 400:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen C(0)=400
En forskrift for C(t) er bestemt til udtrykket herover:
Vi bestemmer, hvor lang tid der går, før at CO
2
koncentrationen i klasselokalet overstiger 1000 ppm ved
løse uligheden C(t) < 1000 for t. Da WordMat har problemer med at løse uligheder, hvori der indgår en
eksponent, løser vi i stedet C(t) = 1000 for t:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen går der mindst 0,404 timer (afrundet til 3 decimaler) før at koncentrationen af CO
2
i lokalet
overstiger 1000 ppm.
b)
Vi ønsker, at bestemme et udtryk for C(t), hvori R stadig er en variabel. Udtrykkes bestemmes ved at løse
differentialligningen herunder. Vi benytter startbetingelsen C(t) = 400:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen C(0) = 400
Matematik A (Netadgang) STX – Digital eksamen – 23. maj 2017
21
Vi løser for R, når C(1,5) = 1000:
Ligningen løses for R vha. CAS-værktøjet WordMat.
Skal elever og lærer ikke blive døsige pga. CO
2
-koncentrationen i løbet af en lektion på 1,5 time, skal der
udluftes mindst 7,44 gange pr. time (afrundet til 2 decimaler).