Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
1
STX Matematik B
14. august 2013
Delprøven med hjælpemidler
stx132-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 12
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Alle formlerne i nedenstående besvarelse
henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Tabellen over affaldsproduktionen indtastes i MS Excel. Antal år efter 1994 bestemmes som forskellen
mellem det aktuelle årstal og 1994. Tabellen kopieres herefter over i MS Word.
Den angivne model for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene og kan bestemmes
vha. en eksponentiel regression over tabellens data.
Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel):
Årstal
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
År efter 1994
0
2
4
6
8
10
12
14
Affaldsproduktion
2575
2767
2796
3084
3121
3164
3298
3654
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9486237
Af den fundne forskrift for udviklingen aflæses værdierne for henholdsvis og til:
b)
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
3
Den årlige affaldsproduktion i 2005 (11 år efter 1994) bestemmes som vha. WordMat (CAS -
Beregn):
Affaldsproduktionen i 2005 var således (if. modellen) på:
Det år, hvor affaldsproduktionen var 3500 tons, bestemmes ved at løse ligningen:
i .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den årlige affaldsproduktion nåede 3500 tons 13 år efter 1994 (1994+13), altså i år:
c)
Den årlige danske affaldsproduktion (fra husholdningerne) i år 2009 (15 år efter 1994)
kan bestemmes som vha. WordMat (CAS - Beregn):
Affaldsproduktionen i 2009 vil således, if. modellen, være på:
Den faktiske værdi for affaldsproduktionen i 2009 er oplyst værende 3437 tons.
De angivne affaldsmængder i tabellen må antages at være faktiske tal fra de pågældende år, idet
statistikken er fra 2009 (jf. opgaveteksten). Da den beregnede (forventede) affaldsmængde for 2009 if.
modellen er større end den faktiske mængde, tyder det på, at modellen ikke kan give et realistisk billede af
forventede affaldsmængder i årene efter 2008 (hvilket måske skyldes en ændring i danskernes
affaldsvaner) og derfor ikke kan anvendes til fremskrivning af affaldsmængder efter 2008.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
4
Opgave 8
a)
Vinkel i trekant kan bestemmes med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: a = 5 , b = 12 , c = 9
A = 22,19161°
B = 114,975°
C = 42,83343°
a = 5
b = 12
c = 9
Vinkel er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Medianen fra
halverer siden . Kaldes medianens fodpunkt for , fremkommer trekant ABD
hvor vinkel ,
og
Længden af medianen
kan bestemmes med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 22,2° , AD = 6 , AB = 9
A = 22,2°
B = 33,34935°
D = 124,4507°
BD = 4,12383
AD = 6
AB = 9
Længden af medianen fra
er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
D
BD
AD
AB
A
B
C
a
b
c
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
5
Opgave 9
Modellen for væskehøjden defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Intervallet for tiden defineres ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - definer variabel):
a)
Væskehøjden i beholderen efter 20 sekunder kan bestemmes som vha. WordMat (CAS - Beregn):
Efter 20 sekunder er væskehøjden således:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Tidspunktet, hvor væskehøjden er 5 cm, kan bestemmes ved at løse ligningen
i .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Væskehøjden i beholderen er således 5 cm efter Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn):
(afrundet til én decimal)
Tallet angiver ændringen i væskehøjen pr. tidsenhed til tiden
Da
er negativt, betyder det, at væskehøjden er faldende.
betyder således, at væskehøjden efter 20 sekunder aftager med 0,15 cm pr. sekund.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
6
Opgave 10
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
a)
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
kan bestemmes med tangentligningen:
(jf. formel 70)
Indsættes x-koordinaten for punktet
som
, kan en ligning for tangenten bestemmes vha.
WordMat (CAS - Beregn) som:
En ligning til grafen for i punktet
er således:
b)
For at kunne bestemme monotoniforholdene for , bestemmes først eventuelle ekstrema for .
Dette gøres ved at løses ligningen
vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Grafen for har således vandrette tangenter ved og ved .
Hvorvidt der er tale om maksimum, minimum eller eventuelle vandrette vendetangenter, undersøges
med en fortegnsundersøgelse for før, mellem og efter de fundne ekstrema.
WordMat (CAS - Beregn) benyttes hertil:
En monotonilinje kan nu tegnes for vha. WordMat (Diverse - Figurer):
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
7
er faldende i intervallet da
er voksende i intervallet da
er voksende i intervallet da
har globalt minimum for x = 1
har en vandret vendetangent for x = 4
x
f’(x)
f(x)
1
4
_
0
0
-
+
+
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
8
Opgave 11
a)
Forskrifterne for og defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Graferne for og tegnes i det samme koordinatsystem vha. WordMat (Graftegning - Vis Graf - GnuPlot).
Arealet mellem graferne er efterfølgende farvelagt for at understøtte ovenstående forklaringer.
Ligeledes er bogstavet M indsat vha. et grafikprogram (Paint.Net). WordMat kan ikke farvelægge
sådanne arealer mellem grafer.
Begge ting er gjort for at forklare løsningen, og skal ikke gøres til eksamen.
Skæringspunkterne mellem graferne bestemmes ved at løse ligningen
, hertil benyttes
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
9
Af graferne fremgår det, at
i intervallet , hvorfor arealet af punktmængden , der
afgrænses af graferne for og , kan bestemmes vha. integralet
(jf. formel 97)
WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Arealet af punktmængden er således bestemt til:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
10
Opgave 12
a)
Tallene i opgaveteksten indtastes i MS Excel. Stikprøvens størrelse bestemmes ved at summere antallet af
karakterobservationer i 2012. Der er 1000. Herefter bestemmes den forventede karakterfordeling for 2012
under H_0 som den procentvise andel fra 2011 anvendt på det samlede antal elever i stikprøven (1000).
Fx for karakteren 02:
Tabellen er efterfølgende kopieret over i MS Word.
Karakter
-3
00
02
4
7
10
12
i alt
Andel 2011
0,14%
7,43%
10,96%
22,04%
31,23%
19,83%
8,37%
100,00%
Antal 2012
30
68
124
198
279
225
76
1000
Forventet
1,4
74,3
109,6
220,4
312,3
198,3
83,7
1000
Forventet antal
afrundet til hele tal
1
74
110
221
312
198
84
1000
Den forventede karakterfordeling 2012 er som vist i tabellen markeret med gult.
b)
Nulhypotese
:
”Karakterfordelingen blandt 9. klassers elever i 2012 er den samme som karakterfordelingen fra 2011”
Nulhypotesen undersøges på et 5% signifikansniveau med en
GOF test vha. WordMat (Statistik/.sands. -
Test - Goodness of fit), hvor den observerede fordeling og den forventede fordeling indtastes:
På baggrund af testen forkastes nulhypotesen med en P-værdi på 0% < 5%, og der er således en signifikant
forskel på karakterfordelingerne blandt 9. klassers elever fra 2011 og 2012.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
11
Opgave 13
Forskriften for omkostningerne defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):
Intervallet for (antal enheder af varen) defineres ligeledes (CAS - definitioner - Definer variabel):
a)
Forskriften for kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Omskriv - Reducer):
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvilket defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):
Tallet
bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):
b)
Da det oplyses, at enhedsomkostningerne er mindst mulige, når
, kan antallet af enheder, der
skal produceres, så enhedsomkostningerne bliver mindst mulige, bestemmes ved at løse ligningen
i . Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det konkluderes, at hvis der produceres vareenheder, så er enhedsomkostningerne mindst mulige.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2013
12
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Vi foretager en eksponentiel regression:
Værdierne a og b aflæses til:
(1.2.3)(1.2.3)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.3.1)(1.3.1)
Tallet a er fundet til 1,02233 (afrundet til 5 decimaler) og tallet b er fundet til 2605,29 (afrundet til
2 decimaler).
b)
Forskriften for defineres i WordMat:
Den årlige affaldsproduktion i 2005 ( 11 år efter 1994) bestemmes som :
59
Affaldsproduktionen i 2005 var således (if. modellen) på 3322 tons. Afrundet.
Året, hvor den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger var ton bestemmes ved
ligningen:
47
Den årlige affadslproduktion nåede ca.13 år efter 1994, altså i år 2007.
c)
Den årlige affaldsproduktion i år 2009 bereges ved , der svarer til 15 år efter 2009:
76
Den faktiske værdi for affaldsproduktionen i 2009 er oplyst værende 3437 tons.
De angivne affaldsmængder i tabellen må antages at være faktiske tal fra de pågældende år, idet
statistikken er fra 2009 (jf. opgaveteksten).
Da den beregnede (forventede) affaldsmængde for 2009 if. modellen er større end den faktiske
mængde,
tyder det på, at modellen ikke kan give et realistisk billede af forventede affaldsmængder i årene
efter 2008
(hvilket måske skyldes en ændring i danskernes affaldsvaner) og derfor ikke kan anvendes til
fremskrivning af affaldsmængder efter 2008.
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 8
a)
Vinkel i trekant bestemmes med trekantløser:
Vinkel aflæses til at være 22,2°. Afrundet til 1 decimal.
b)
Medianen fra halverer siden der derved har længden Medianen fra bestemmes med
trekantsløser:
Siden svarer til medianen fra .
Medianen aflæses til 4,1. Afrundet til 1 decimal.
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 9
a)
Modellen for væskehøjden defineres:
Væskehøjden i beholderen efter 20 sekunder kan bestemmes som:
10
Efter 20 sekunder er væskehøjden 22,2 . Afrundet til 1 decimal.
Tidspunktet, hvor væskehøjden er , kan bestemmes ved at løse:
Væskehøjden i beholderen er såledse efter 76,8 . Afrundet til 1 decimal.
b)
bestemmes:
Tallet angiver ændringen i væskehøjden pr.tidsenhed til tiden .
Da er negativt, betyder det, at væskehøjden er faldende.
-0,15 betyder således, at væskehøjden efter 20 sekunder aftager med 0,15 pr.sekund.
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.2.1)(4.2.1)
Opgave 10
a)
Forskriften for defineres:
En ligning for tangenten til grafen i punktet P bestemmes ved:
Vi definerer først punktest førstekoordinat:
5
Ligningen for tangenten til grafen for i punktet P er da:
b)
For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først eventuelle ekstrema for .
Grafen for har således ekstrema i punkterne og :
Der foreteges nu en funktionsundersøgelse i intervallet, hvor ektrema blev fundet:
er faldende i intervallet
er voksende i intervallet
er voksende i intervallet
er globalt minimum for
har en vandret vendetangent for
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.2)(5.1.2)
Opgave 11
a)
Forskrifterne for og defineres:
Graferne for og tegnes i det samme koordinatsystem:
Skæringspunkterne mellem graferne bestemmes ved at løse:
Af graferne fremgår det, at i intervallet , hvorfor arealet af punktmængden ,
der
afgrænses af graferne for og kan bestemmes ved:
(5.1.4)(5.1.4)
Arealet af punktmængden er således bestemt til 13,5. Afrundet til 1 decimal.
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.3)(6.1.3)
(6.1.1)(6.1.1)
Opgave 12
a)
Først bestemmes stikprøven størrelse ved at summerer antallet af karakterobservationer i 2012.
Der er observationer i alt:
De forventede antal beregnes vha. de procentvise andele for karakterfordelingen ved folkeskolen
9.klasses afgangsprøve i matematik sommeren 2011:
Listerne ganges sammen og en listen betegner de forventede værdier:
De forventede værdier står i korresponderende rækkefølge i forhold til opgaveteksten:
(6.1.4)(6.1.4)
(6.2.1)(6.2.1)
b)
De observerede værdier defineres:
GOF-testen foretages på 5% signifikansniveau:
(6.1.4)(6.1.4)
På baggrund af testen forkastes nulhypotesen med en -værdi på , der er mindre en
signifikansniveat på .
Der er således signifikant forskel på karakterfordelingerne blandt 9.klassers elever fra 2011 og
2012.
(7.1.3)(7.1.3)
(7.2.1)(7.2.1)
(6.1.4)(6.1.4)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.4)(7.1.4)
(7.1.1)(7.1.1)
Opgave 13
O er beskyttet i Maple, hvis denne skal benyttes som variable, skal den erklæres som lokal
a)
Forskriften for O defineres:
Forskriften for kan bestemmes ved:
Udtrykket for defineres:
Tallet bestemmes ved:
00
b)
Da det oplyses, at enhedsomkostningerne er mindst mulige, når , kan antallet af
enheder, der
skal produceres, så enhedsomkostningerne bliver mindst mulige bestemems ved at løse:
Det kan konkluderes, at hvis der produceres 849 (afrundet til helt antal vare) vareenheder, så er
enhedsomkostningerne mindst mulige.