Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
1
STX Matematik B
15. august 2016
stx162-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver fra delprøven med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring
viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at
beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor
tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
Ligningen reduceres og løses:
Opgave 2
Der er tale om en lineær sammenhæng, da produktionen af kvartssand aftager med en fast størrelse hvert
år.
betegner produktionen af kvartssand til året x.
betegner antal år efter år 2006.
betegner grafens hældningskoefficient. I dette tilfælde er konstanten lig 39000
dvs. for hvert år
efter år 2006 aftager produktionen af kvartssand med 39000
om året.
betegner funktionsværdien i x = 0 dvs. begyndelsesværdien for funktionen. I år 2006 var produktionen af
kvartssand således 526000
.
En model for produktionen af kvartssand efter år 2006 vil se ud således:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
3
Opgave 3
Førstekoordinaten til toppunktet bestemmes ved:
Vi kan være sikker på at punktet betegner toppunktet, da grafen for parablen har en positiv a værdi og
dermed er konkav.
Anden koordinaten til toppunktet bestemmes ved:
Koordinatsættet til toppunktet for parablen er bestemt til:
(I)
Opgave 4
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
4
- Konstanten a er positiv da grafen f er konveks.
- Konstanten b er negativ da tangenthældningen for grafen f i x = 0 er negativ.
- Konstanten c er positiv da grafen f skærer y-aksen i en positiv værdi.
- Diskriminanten d er da grafen f ikke skærer med x-aksen.
Opgave 5
En eksponentialfunktion
har en fordoblingskonstant lig med 3 dvs. når x øges med 3 så
fordobles f(x).
Opgave 6
bestemmes:
Evt. ekstrema bestemmes:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
5
Differentialkvotienten tjekkes på siderne af ekstremumspunkter:
f er voksende i intervallet og
f er aftagende i intervallet
f har et maksimumspunkt i
f har et minimumspunkt i
(I)
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
6
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 7
a)
Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion.
Tabellen med data opstilles, og der foretages en eksponentielregression:
År
2004
2005
2006
2007
2008
År efter år
2004
0
1
2
3
4
Årlig indtægt
fra parkering i
mio. kr.
310
350
424
515
582
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,992546
Konstanten a aflæses til 1,18 og konstanten b aflæses til 305,44 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Regressionsligningen defineres:
Kommunens årlige indtægt fra parkering i år 2010 bestemmes ved:
Ifølge modellen vil kommunens indtægt fra parkering i år 2010 være ca. 820 mio. kr. (afrundet).
c)
Vækstraten r betegner den årlige procentvise vækst. Vækstraten r er bestemmes ved:
Ifølge modellen vokser kommunens indtægt fra parkering med 17,9% for hvert år.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
7
Opgave 8
a)
Glassets højde beregnes som modstående katete i den retvinklede trekant som dannes, når siden |AB|
halveres. Højden
’s skæring med siden |AB| betegnes som m.
Trekanten beregnes i WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: m = 90°, Am = 60, AC = 120
A = 60°
C = 30°
m = 90°
h
c
= 103,923
Am = 60
AC = 120
Længden af siden h
c
findes vha. Pythagoras
Siden
aflæses til 104 (afrundet).
b)
Arealet af en trekant er givet ved:
Arealet af trekant ABC er bestemt til 6240.
A
C
m
h
c
Am
AC
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
8
Opgave 9
a)
Funktionen defineres:
Grafen tegnes med GnuPlot:
Befolkningstallet i 2016 bestemmes ved:
Ifølge modellen vil befolkningstallet i år 2016 være ca. 7414 mio. (afrundet).
b)
f’(70) bestemmes:
Tallet
betegner befolkningstilvæksten 70 år efter år 1950 dvs. i år 2020. Det udgår således fra
modellen at i året 2020 vokser verdensbefolkningen med 77,83 mio. (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
9
Opgave 10
a)
Funktionen og definitionsmængden defineres:
Ligningen
løses:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
b)
Arealet af punkmængden M bestemmes ved det bestemte integral i intervallet [1; 2]. Grænser for
integralet betegner grafens skæring med x-aksen og blev bestemt i tidligere opgave:
Arealet af punktmængden M er bestemt til 0,14 (afrundet til 2 decimal).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
10
Opgave 11
a)
Nulhypotesen er oplyst til:
: Hver af de otte sider forekommer lige ofte.
Vi antager at terningen er sand dvs. hver side har en
chance ved hvert kast for at forekomme:
Side
1
2
3
4
5
6
7
8
Forventet
hyppighed
Nulhypotesen testes med en
-Goodnees-of-fit test. Testen foretages med WordMats skabelon for
Goodness-of-fit test på et 5 % signifikansniveau:
Testen kopieres ind i dokumentet:
Da må nulhypotesen forkastes. Det kan på baggrund af testen konkluderes, at hver side på den 8-
sidede terning ikke forekommer lige ofte. Terningen er ifølge testen ikke sand.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
11
Opgave 12
a)
Funktionen og førstekoordinaten til punktet P defineres:
Ligningen for tangenten i punktet P(1, f(1)) bestemmes ved:
b)
Førstekoordinaten til punktet Q bestemmes ved:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
betegner til røringspunktet f.
Førstekoordinaten til røringspunktet Q er bestemt til .
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
12
Opgave 13
a)
Omkredsen af tværsnittet kan beskrives ved at ligge alle siderne sammen:
y udtrykt ved x kan beskrives ved:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Arealet af tværsnittet kan beskrives ved arealet af hele rektanglet minus arealet af trekanten (I):
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Udtrykket defineres desuden:
Ovenstående udtryk er identisk med udtrykket i opgavebeskrivelsen.
b)
Arealet optimeres:
Først bestemme evt. ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstrema:
f er voksende i intervallet
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
13
f er aftagende i intervallet
f har maksimum i .
Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at x = 4,29 (afrundet til 1 decimal) giver det
største areal af tværsnittet.
(I)
Den generelle formel for arealet af et rektangel er givet ved:
Den generelle formel for arealet af en trekant er givet ved: