Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
1
STX Matematik B
24. maj 2013
Delprøven med hjælpemidler
1stx131-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 13
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Alle formlerne i nedenstående besvarelse
henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Tabellens data indskrives først i Excel og antal år efter 2007 beregnes ved at trække 2007 fra årstallet.
Derefter trækkes tabellen over i Word.
År
2007
2008
2009
2010
2011
2012
År efter 2007
0
1
2
3
4
5
Antal trafikdræbte
195
190
161
110
107
82
Den angivne model for udviklingen er en lineær model (jf. formel 35).
Forskriften for udviklingen kan bestemmes med en lineær regression over tabellens data.
Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær).
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9446828
Af resultatet aflæses: og (resultaterne er afrundet til én decimal)
b)
For at estimere antal trafikdræbte i første halvår 2013 defineres modellen som funktion
i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
hvor er antal år efter 2007 og er antal trafikdræbte i første halvår.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
3
Herefter bestemmes tallet idet 2013 er 6 år efter 2007. WordMat (CAS - Beregn):
Antallet af trafikdræbte i første halvår 2013 forventes således at være:
Resultatet er afrundet til et helt antal personer.
c)
For at bestemme det første halvår, hvor antallet af trafikdræbte er under 50, løses ligningen
i .
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet svarer til lidt mere end 6 år efter 2007, - altså i løbet af 2013.
Hvilket betyder, at er det år, hvor antallet af trafikdræbte er under 50 i første halvår.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
4
Opgave 8
a)
Den angivne funktion defineres først i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Grafen for tegnes med WordMat (Vis Graf - GNU Plot) med de angivne grænser for :
Marker ”f(x)” og vælg GNU Plot. Restriktionerne på x kan indtastes ved felterne ”Xmin” og ”Xmax”.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
5
Det antal æg, som en skildpadde lægger, når rygskjoldet er 300 mm langt, kan bestemmes ved at beregne
tallet . Det kan gøres med WordMat (CAS - Beregn), hvor forskriften er defineret tidligere:
Hvilket betyder, at en skildpadde lægger 8,95 æg, som rundes op til , når rygskjoldet er 300 mm langt.
b)
Længden på rygskjoldet, når skildpadden lægger 6 æg, kan bestemmes ved at løses ligningen
i .
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at skildpadden lægger 6 æg, når dets rygskjold enten er ca. eller ca.
langt.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
6
Opgave 9
a)
Da der er en fast årlig procentvis tilvækst i lungekræfttilfælde, er der er tale om en eksponentielt voksende
sammenhæng. Modellen herfor er:
hvor er vækstraten (jf. formel 54).
Lad betegne antal år efter 2010 og lad være antallet af nye lungekræfttilfælde blandt kvinder (en
funktion af ).
Vækstraten bestemmes vha. den procentvise tilvækst som:
(jf. formel 3)
Da der i begyndelsesåret (2010) var 2038 nye tilfælde, er begyndelsesværdien .
Ovenstående indsættes i den eksponentielle model, hvorved forskriften for udviklingen fremkommer:
b)
Modellen for det årlige antal lungekræfttilfælde for kvinder defineres i WordMat (CAS - Definitioner -
Definer funktion):
Den tilsvarende udvikling (if. opgaveteksten) nye lungekræfttilfælde for mænd defineres
ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Tidspunktet, hvor nye lungekræfttilfælde er ens for både mænd og kvinder, bestemmes ved at løse
ligningen
i . Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at antallet af tilfælde vil være ens for kvinder og mænd ca. 4,19 år
(svarende til 4 år og 2 måneder) efter 2010. Konklusionen er derfor, at antallet af nye
lungekræfttilfælde vil blive ens for mænd og kvinder (cirka) i løbet af år
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
7
Opgave 10
a)
Længden af siden i trekant kan bestemmes med ”Trekant” værktøjet i WordMat:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 10° , AD = 4 , AB = 4
A = 10°
B = 85°
D = 85°
BD = 0,6972459
AD = 4
AB = 4
Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Da enheden for de angivne længder er meter, fås:
(afrundet til to decimaler).
b)
Længden af højden i
i trekant er lig med højdeforskellen mellem høj- og lavvande. Kaldes
fodpunktet for
på siden for , fremkommer en retvinklet trekant hvor vi kender sidelængden
|AD| og vinkel A. Vi kan så beregne
med WordMat’s trekantløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 10° , F = 90° , AD = 4
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
8
A = 10°
F = 90°
D = 80°
FD = 0,6945927
AD = 4
AF = 3,939231
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden FD findes vha. cosinus
Længden af siden AF findes vha. sinus
Højdeforskellen mellem høj- og lavvande er således bestemt til:
(resultatet er afrundet til to decimaler)
A
F
D
FD
AD
AF
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
9
Opgave 11
a)
De forventede værdier under
bestemmes med WordMat’s chi-i-anden værktøj Statistik/sands. - Test -
test .
Signifikansniveau vælges til 5 % og dimensionen i krydstabellen sættes til 2x3 (der er 2 inddelingskriterier
og 3 svarmuligheder).
Observationerne indtastes i det åbnede regneark og de forventede værdier under
findes til:
(tabellen er redigeret mht. kolonne- og rækkeoverskrifter)
Forventede
I alt
A bedst
B bedst
Ved ikke
Jyder
61,32075
40,09434
23,58491
125
Sjæl.
68,67925
44,90566
26,41509
140
130
85
50
265
b)
I regnearket genereret af WordMat aflæses testsandsynligheden til
Da accepteres nulhypotesen
.
Da den fundne P-værdi er større end signifikansniveauet accepteres nulhypotesen. Det kan derfor med et
signifikansniveau på 5 % ikke afvises, at der ikke er forskel mellem unge jyders og unge sjællænderes smag
for de to typer cornflakes.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
10
Opgave 12
a)
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
f(x)=x^(3)-3*x^(2)-9*x+30
-
10
20
30
40
x
y
For at kunne bestemme monotoniforhold for , bestemmes forskriften for den afledede funktion først.
Hertil benyttes WordMat (CAS - Infinites. - Differentier):
Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den afledede funktion defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion) for senere brug:
For at finde eventuelle ekstrema (vandrette tangenter) for , løses ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes hertil:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det fremgår at har mulige ekstrema ved og , hvilket undersøges vha. fortegnsundersøgelse
for før, mellem og efter de mulige ekstrema-punkter. WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
11
Konklusion:
er voksende i intervallerne og da
i disse intervaller
er aftagende i intervallet: ] da
i intervallet
har lokalt maksimum for
har lokalt minimum for
Monotonilinje:
max.
min.
b)
Ligningen for tangenten
til grafen for i punktet
kan bestemmes vha. formlen:
(jf. formel 70)
Da både og er defineret i WordMat, indsættes
i ovenstående og ligningen
bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):
Ligningen for tangenten
til grafen for i punktet
er således:
c)
Hældningskoefficienten for tangenten
er den samme som for tangenten
, altså:
Da differentialkvotienten
er defineret som hældningskoefficienten for tangenten til grafen for i
røringspunktet
, kan spørgsmålet besvares ved at løse ligningen:
for .
Ligningen løses for x vha.
CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
12
Løsningen er førstekoordinaten til røringspunktet for tangenten
.
Dermed kan det konkluderes, at er førstekoordinat til røringspunktet for tangenten
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013
13
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Vi foretager en lineær regression:
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Af reslutatet aflæses a = -24,71 og b =202,62. Afrundet til 2 decimaler.
b)
Vi definerer funktionen:
Året 2013 er efter :
54.34
Antallet af trafikdræbte i første halvår forventes således at være .
Resultatet er afrundet til et helt antal personer.
c)
For at bestemme det første halvår, hvor antallet af traffikdræbte er under , løses følgende
ligning:
15
Resultatet svarer til lidt mere end efter , - altså cirka i løbet af .
Hvilket betyder, at er det år, hvor antallet af traffikdræbte er under i første halvår.
(1.1.2)(1.1.2)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Grafen tegnes med de angiven grænser for :
Det antal æg, som en skildpadde lægger, når rygskjoldet er langt, kan bestemmes ved at
beregne talle :
8.950000
Hvilket betyder, at en skildpadde lægger 8,95 æg, som rundes op til , når rygskjoldet er
langt. Afrundet til 2 decimaler.
(2.2.1)(2.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
b)
Længden på rygskjoldet, når skildpadden lægger , kan bestemmes ved at løse følgende
ligning:
Resultatet betyder, at skildpadden lægger 6 æg, når dets rygskjold er ca. eller ca.
langt. Afrundet til helt tal.
(3.2.1)(3.2.1)
(3.2.2)(3.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.3)(3.2.3)
Opgave 9
a)
Da der i begyndelsesåret var nye tilfælde, er begyndelsesværdien :
Ovenstående indsættes i den eksponentielle model, hvorved forskriften for udviklingen
fremkommer:
b)
Modellen for det årlige antal lungekræftstilfælde for kvinder defineres:
Den tilsvarende udvikling for mænd defineres:
Tidspunktet, hvor nye lungekræftstilfælde er ens for både mæng og kvinder, bestemmes ved at
løse:
79
Resultatet betyder, at antallet af tilfælde vil være ens for kvinder og mænd ca. 4,19 år efter år
.
Konklusionen er derfor, at antallet af nye lungfekræftstilfælde vil blive ens for mænd og kvinder i
løbet af år .
(4.1.1)(4.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
Opgave 10
a)
Længden af siden i trkant bestemmes ved trekantløser:
Her svarer siden til siden .
Konklusionen er at siden er ca. 0,70 m. Afrundet til 2 decimaler.
Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen:
b)
Højdeforskellen mellem høj- og lavvande svarer til siden
Siden bestemmes ved trianglesolver:
Her svarer siden til siden
Højdeforskellen mellem høj- og lavvande er således bestemt til, der er lig siden er aflæst til 0,
69 m. Afrundet til 2 decimaler.
Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen:
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
Opgave 11
a)
Vi definerer vores observationer:
De forventede værdier, under den forudsætning af nulhypotesen er sand, bestemmes ved:
b)
Nulhypotesen tæstes med en -test, på et 5 % signifikansniveau:
(1.1.2)(1.1.2)
P-værdien aflæses til 0,10349 der svarer til . Afrundet til 2 decimaler.
Da den fundne P-værdi er større end signifikansniveauet accepteres nulhypotesen. Det kan derfor
med et
signifikansniveau på 5 % ikke afvises, at der ikke er forskel mellem unge jyders og
unge sjællænderes smag for de to typer cornflakes.
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Opgave 12
a)
Forksriften for defineres:
For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først eventuelle ekstrema:
Der foretages en funktionsundersøgelse i intervallet, hvor ekstrema befinder sig:
Konklusion:
er voksende i intervallet
er aftagende i intervallet
er voksende i intervallet
har lokalt maksimum for
har lokalt minimum for
b)
Ligningen for tangenten til grafen for i punktet kan bestemmes ved:
(6.2.2)(6.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.3.1)(6.3.1)
Vi definerer først punktets førstekoordinat:
0
Ligningen for tangenten til grafen for i punktet P er da:
c)
Tangetens hældningskoefficient er defineret som differentialkvotienten .
Spørgsmålet kan derfor besvaret ved at løse ligningen:
Der er to løsninger til ligningen, hvoraf den ene er førstekoordinaten til tangtenten , det kan
derved
konkluderes at er førstekoordinat for tangenten .