Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
1
STX Matematik B
Delprøven med hjælpemidler
24. maj 2016
1stx161-MAT-B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple
TM
...................................................................................................................................... 13
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Der er tale om en lineær model, så vi opskriver data i en tabel (antal år efter 2001 bestemmes ved
hovedregning) og udfører lineær regression vha. WordMat:
Antal år efter 2001
0
2
4
6
8
10
12
Antal patienter
299
316
345
367
381
408
416
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9875242
Vi opskriver forskriften for funktionen:
b)
Funktionen defineres:
I år 2016 er , så vi bestemmer:
I år 2016 vil 453 tusinde patienter få ordineret det stærkt smertestillende præparat ifølge modellen (dvs. hvis
udviklingen fortsætter).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
3
Opgave 8
a)
Der er tale om en potensfunktion, så når den uafhængige variabel vokser med en fast procentdel , vil den
afhængige variabel vokse med en fast procentdel .
Funktionen definereres:
Hvis personens vægt vokser med 15%, bliver personens vægt . Vi kan så bestemme den relative
tilvækst i overfladeareal som:
Når personens vægt vokser med 15%, vokser personens overfladeareal med
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
4
Opgave 9
a)
Data indskrives i WordMats statistikark til grupperede observationer, hvor vi tegner en sumkurve og
bestemmer kvartilsættet for længdefordelingen:
Grupperede observationer
Deskriptorer
Interval
94
Kvartilsæt
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
Mindste
18
18
20
5
5%
5%
Nedre
23,13
20
22
10
11%
16%
Median
26,1
22
24
15
16%
32%
Øvre
28,5
24
26
16
17%
49%
Største
32
26
28
20
21%
70%
Observation Fraktil
28
30
18
19%
89%
30
32
10
11%
100%
Middeltal
25,77
Spredning
3,378
Kvartilsættet aflæses af boksen med deskriptorer: .
b)
Vi sammenligner de tre kvartiler hver for sig:
Nedre kvartil:
Spand 1: Den korteste fjerdel er kortere end 23,13 cm
Spand 2: Den korteste fjerdedel er kortere end 19 cm
Median:
0%
25%
50%
75%
100%
Længde (cm)
Sumkurve
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
5
Spand 1: Den korteste halvdel er kortere end 26,1 cm
Spand 2: Den korteste halvdel er kortere end 23 cm
Øvre kvartil:
Spand 1: Den længste fjerdedel er længere end 28, 5 cm
Spand 2: Den længste fjerdedel er længere end 30 cm
Kvartilsættene indikerer altså, at sildenes længde er mere spredt i spand 2. De korteste fisk er kortere, mens
de længste fisk er længere. Fiskene omkring de midterste målinger er desuden kortere i spand 2.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
6
Opgave 10
a)
Funktionen defineres:
5 mia. SMS’er svarer til
, så vi løser:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner funktionsværdierne for de præcise årstal ( skal antage heltalsværdier, da det fx ikke giver
mening at snakke om antallet af sendte SMS’er i år 2013,14):
Løsningerne omregnes til årstal ved hovedregning, så vi får, at der blev sendt ca. 5 mia. SMS’er i både år 2006
og år 2013.
b)
Grafen for funktionen er en parabel med benene nedad, så der er kun én vandret tangent, og denne findes i
funktionens globale maksimum. Funktionens globale maksimum kan så findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er symmetri omkring den lodrette akse, som gennemskærer parablens toppunkt, så den heltalsværdi af
, som giver den største funktionsværdi må være den, som er tættest på . Den største værdi
funktionsværdi fås altså for . Ved hovedregning kan vi nu konkludere, at:
Det årlige antal sendte SMS’er i Danmark var størst i år 2010.
:
Hvis du ikke kom i tanke om parabelsymmetrien, kunne du også bare afprøve funktionsværdierne for de to
nærmeste hele tal:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
7
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
8
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
kan bestemmes ved:
Tangenten til grafen for i punktet
kan altså beskrives ved ligningen .
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af [nulpunktet/alle nulpunkterne]:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
-0,732
2,732
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
9
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallerne og
f er aftagende i intervallet
c)
Funktionen defineres:
I skæringspunktet vil funktionsværdierne være lig med hinanden, så vi løser:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Andenkoordinaten bestemmes som:
Skæringspunktet har således koordinatsættet
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
10
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Vi ser af tegningen, at højden kan bestemmes som funktionsværdien i . Vi bestemmer altså:
Højden af skateboardrampen er altså 2,96 meter.
b)
Det farvede områdes areal kan bestemmes som arealet mellem grafen for og førsteaksen i intervallet
. Da i hele intervallet, kan dette areal bestemmes som det bestemte integral af funktionen med
intervalendepunkterne som grænser:
Arealet af det lodrette tværsnit af skateboardrampen er altså 7,66 m
2
.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
11
Opgave 13
a)
Vinklen mellem de to stålwirer svarer til vinkel i trekant :
WordMats trekantsløser anvendes med input: BC = 61,1; AB = 364,7; AC = 411,3
A = 5,848653°
C = 37,46218°
B = 136,6892°
BC = 61,1
AB = 364,7
AC = 411,3
Vinkel A og C findes vha. cosinusrelationer
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinklen mellem de to stålwirer er ca. .
b)
Kendte sidelængder defineres:
A
C
B
BC
AB
AC
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
12
Vi ser på tegningen, at kan defineres som:
Vi kan nu opstille to ligninger med to ubekendte (her anvendes Pythagoras læresætning):
Ligningssystemet løses for AD,BD vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Første løsning skrottes, da sidelængder ikke kan være negative.
Vi konkluderer, at den lodrette afstand fra forankringspunktet til punktet ved foden af sendemasten er
.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
13
Løsning med Maple
TM
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Vi foretager en lineær regression:
Vi opskriver forskriften for funktionen:
(1.2.1)(1.2.1)
b)
I år 2016 er t=15, så vi bestemmer:
453.480
I år 2016 vil 453 tusinde patienter få ordineret det stærkt smertestillende præparat ifølge
modellen (dvs. hvis udviklingen fortsætter).
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.2)(2.1.2)
Opgave 8
a)
Der er tale om en potensfunktion, så når den uafhængige variabel vokser med en fast
procentdel , vil den afhængige variabel vokse med en fast procentdel .
Funktionen definereres:
Hvis personens vægt . Vi kan så bestemme
den relative tilvækst i overfladeareal som:
00
Når personens vægt vokser med 15%, vokser personens overfladeareal med 6,12%
Opgave 9
a)
Data defineres, hvorefter vi tegner en sumkurve og bestemmer kvartilsættet for
længdefordelingen:
b)
Vi sammenligner de tre kvartiler hver for sig:
Nedre kvartil:
Spand 1: Den korteste fjerdel er kortere end 23,1 cm
Spand 2: Den korteste fjerdedel er kortere end 19 cm
Median:
Spand 1: Den korteste halvdel er kortere end 26,1 cm
Spand 2: Den korteste halvdel er kortere end 23 cm
Øvre kvartil:
Spand 1: Den længste fjerdedel er længere end 28, 5 cm
Spand 2: Den længste fjerdedel er længere end 30 cm
Kvartilsættene indikerer altså, at sildenes længde er mere spredt i spand 2. De korteste fisk er
kortere, mens de længste fisk er længere. Fiskene omkring de midterste målinger er desuden
kortere i spand 2.
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.2)(4.1.2)
Opgave 10
a)
Funktionen defineres:
, så vi løser:
Vi udregner funktionsværdierne for de præcise årstal ( skal antage heltalsværdier, da det fx
4.98
5.12
Løsningerne omregnes til årstal ved hovedregning, så vi får, at der blev sendt ca. 5 mia.
b)
Grafen for funktionen er en parabel med benene nedad, så der er kun én vandret tangent, og
denne findes i funktionens globale maksimum. Funktionens globale maksimum kan så findes
ved at løse:
33
Der er symmetri omkring den lodrette akse, som gennemskærer parablens toppunkt, så den
heltalsværdi af , som giver den største funktionsværdi må være den, som er tættest på =4,58.
Den største værdi funktionsværdi fås altså for =5. Ved hovedregning kan vi nu konkludere,
at:
(5.1.3)(5.1.3)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.2)(5.1.2)
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:
5
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt kan bestemmes ved:
Tangenten til grafen for i punktet kan altså beskrives ved ligningen
.
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved
at løse ligningen:
Vi foretager en funktionsanalyse:
(5.3.3)(5.3.3)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.3.1)(5.3.1)
Vi kan dermed konkludere:
c)
Funktionen defineres:
I skæringspunktet vil funktionsværdierne være lig med hinanden, så vi løser:
4.
Andenkoordinaten bestemmes som:
Skæringspunktet har således koordinatsættet Q(4,-15)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
Opgave 12
a)
defineres:
Vi ser af tegningen, at højden kan bestemmes som funktionsværdien i x=4. Vi bestemmer
altså:
2.9572
Højden af skateboardrampen er altså 2,96 meter.
b)
Det farvede områdes areal kan bestemmes som arealet mellem grafen for og førsteaksen i
intervallet [-4,4]. Da i hele intervallet, kan dette areal bestemmes som det bestemte
integral af funktionen med intervalendepunkterne som grænser:
Arealet af det lodrette tværsnit af skateboardrampen er altså 7,66 .
(7.2.2)(7.2.2)
(7.2.5)(7.2.5)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.2.4)(7.2.4)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.2.1)(7.2.1)
Opgave 13
a)
Vinklen mellem de to stålwirer svarer til vinkel A i trekant ABC:
Vinklen mellem de to stålwirer er ca. 5,85°.
b)
Kendte sidelængder defineres:
364.7
411.3
61.1
Vi ser på tegningen, at CD kan defineres som:
Vi kan nu opstille to ligninger med to ubekendte (her anvendes Pythagoras læresætning):
Første løsning skrottes, da sidelængder ikke kan være negative.
Vi konkluderer, at den lodrette afstand fra forankringspunktet B til punktet D ved foden af
sendemasten er |BD|=265,4 m.