Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
1
STX Matematik B
6. december 2013
Delprøven med hjælpemidler
stx133-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Alle formlerne i nedenstående besvarelse
henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Den angivne model er en lineær model (jf. formel 35), værdierne for og kan derfor bestemmes vha.
en lineær regression over tabellens data.
Tabellen oprettes i MS Word og WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær) benyttes til regressionen.
Nordlig breddegrad
62
64
70
73
78
Årlig middeltemperatur i
1,0
-1,6
-4,2
-7,2
-11,4
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9800009
Af regressionens resultat fremgår det, at:
Begge resultater er afrundet til 3 decimaler.
b)
Konstanten (koefficienten) betyder, at for hver breddegrad , man kommer nordpå, så falder
den årlige middeltemperatur med , idet er negativ.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
3
Den lineære sammenhæng mellem den nordlige breddegrad og middeltemperaturen , som en
funktion af , defineres i WordMat, - hertil benyttes definitionslighedstegnet :=
Den årlige middeltemperatur, når den nordlige breddegrad er 66 grader, bestemmes som .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn)
Den årlige middeltemperatur på den 66’
ende
nordlige breddegrad er således:
Resultatet er afrundet til én decimal.
c)
Den nordlige breddegrad, hvor den årlige middeltemperatur er , bestemmes ved at løse
ligningen
mht. . Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den nordlige breddegrad, hvor den årlige middeltemperatur er , er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til et helt tal.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
4
Opgave 8
a)
Værdien for bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMat fremkommer med to mulige løsninger (én, hvor er spids og én, hvor er stump)
Det oplyses, at er spids, hvorfor den rigtige trekant let kan vælges.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 22° , BC = 5 , AC = 8
A = 22°
B = 36,82483°
C = 121,1752°
BC = 5
AC = 8
AB = 11,41983
Af ovenstående resultat fremgår det, at:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Længden af siden i trekant bestemmes tillige med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMat fremkommer med to mulige løsninger (én, hvor er spids og én, hvor er stump)
Det oplyses, at er stump, hvorfor den rigtige trekant let kan vælges.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 22° , DC = 5 , AC = 8
A = 22°
D = 143,1752°
C = 14,82483°
DC = 5
AC = 8
AD = 3,415112
Af ovenstående resultat fremgår det, at:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Arealet af trekant kan bestemmes vha. arealformlen: (jf. formel 29)
A
D
C
DC
AC
AD
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
5
Med de anvendte betegnelser, fås:
De kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af trekant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
6
Opgave 9
a)
Den angivne sammenhæng er en potensfunktion (jf. formel 66).
Tallene og for potensfunktionen gennem punkterne og kan bestemmes vha. en
potensregression, hvor koordinaterne til punkterne og oprettes i en tabel i MS Word.
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Potens) benyttes.
1
5
2
7
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Af regressionens resultat fremgår det, at:
Værdien for er afrundet til tre decimaler.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
7
Opgave 10
a)
Den angivne model defineres i WordMat, - hertil benyttes definitionslighedstegnet :=
Grafen for kan tegnes vha. WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU plot)
Østrogenkoncentrationen i blodet 20 timer efter indtagelse af P-pillen kan bestemmes som værdien .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn).
Det er således bestemt, at Østrogenkoncentrationen efter 20 timer er:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Tiden, fra indtagelse af P-pillen til østrogenkoncentrationen er maksimal, kan bestemmes ved at løse
ligningen
, hvorved eventuelle ekstrema for sammenhængen bestemmes.
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
8
For at undersøge, om det fundne ekstrema faktisk er en maksimal værdi (fremgår af grafen) undersøges
som kontrol fortegnene for et par udvalgte funktionsværdier for den afledte funktion på hver side af det
fundne ekstrema.
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Heraf følger, at er voksende i intervallet da
samt at er aftagende i intervallet da
Det konkluderes sluttelig, at koncentrationen af østrogen er størst til tiden:
efter indtagelsen af P-pillen (resultatet er afrundet til to decimaler).
c)
Da koncentrationen først når sin maksimale værdi efter 1,41 timer (efter indtagelsen), sættes for
at kunne bestemme tiden , hvor koncentrationen er faldet til 25 picogram pr. milliliter.
WordMat (CAS - definitioner - Definer variabel) benyttes hertil.
For at bestemme hvor lang tid, der går, inden der skal indtages en ny pille, løses ligningen
mht.
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det er således bestemt, at en ny P-pille skal indtages senest efter indtagelsen af forrige pille
(resultatet er afrundet til et helt tal).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
9
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres i WordMat, - hertil benyttes definitionslighedstegnet :=
Tangenten til grafen for i punktet
bestemmes vha. tangentligningen (jf. formel 70)
Den findes i WordMat (Formelsamling - Funktioner - Lineær)
indsættes i ligningen og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
b)
For at kunne redegøre for monotoniforholdene, løses først ligningen
for at finde eventuelle
ekstrema for . Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
En fortegnsundersøgelse for før og efter det fundne ekstrema vil afgøre, om der er tale om et
maksimum, minimum eller eventuelt en vandret vendetangent.
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
På baggrund af ovenstående kan der tegnes en monotonilinje.
WordMat (Diverse - Figurer) benyttes.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
10
er voksende i intervallet da
er aftagende i intervallet da
x
f’(x)
f(x)
8
0
+
-
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
11
Opgave 12
a)
Nulhypotenusen
: Der er ikke sammenhæng mellem kundernes valg af kaffe og deres nationalitet.
De forventede værdier kan bestemmes vha. WordMat (Statistik/sands. - Test -
test),
hvor tabellens data indtastes i det fremkomne regneark, hvorpå de forventede værdier bestemmes.
χ²-test
Observationer
I alt
Caffé latte
Espresso
Cappuccino
danske kunder
712
159
218
1089
udenlandske kunder
251
62
105
418
I alt
963
221
323
1507
Forventede
I alt
Caffé latte
Espresso
Cappuccino
696
160
233
1089
267
61
90
418
963
221
323
1507
(Screendumps fra Excel)
De forventede værdier er beregnet med WordMat.
I ovenstående tabel er de forventede værdier markeret med gult.
b)
Af det fremkomne resultat fra
-testen med WordMat (Statistik/sands. - Test -
test) i det forrige
delspørgsmål a), bestemmes tillige -værdien i forbindelse med
-testen.
P-værdi:
8,11 %
Der er ikke en sammenhæng
Signifikans niveau:
5 %
(Screendump fra Excel)
Det fremgår af resultatet, at P-værdien er på 8,11 % hvilket er større end signifikansniveauet på 5 %.
Nulhypotesen accepteres derfor og derfor kan det ikke afvises, at der ikke er en sammenhæng mellem
kundernes nationalitet og deres valg af kaffe.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
12
Opgave 13
a)
Funktionerne defineres i WordMat (definitionslighedstegnet := benyttes hertil).
Graferne for funktionerne tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU plot).
Punktmængden oplyses at være afgrænset af graferne for og .
For at kunne bestemme arealet af vha. integralregning, bestemmes først skæringspunkterne mellem
graferne. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligninger - Numerisk).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Graferne skærer således hinanden, hvor og hvor .
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
13
Det fremgår af graferne for og på forrige side, at i intervallet , der for kan arealet
af punktmængden kan bestemmes værende lig med integralet (jf. formel 97)
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af punktmængden er således bestemt til:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
14
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Vi foretager en lineær regression:
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Af regessionen fremgår det:
Værdien for er fundet til 46,089 og værdien for blev fundet til -0,732. Afrundet til 3 decimaler.
b)
Konstanten (koefficienten) a = -0,732 betyder, at for hver breddegrad , man kommer nordpå, så
falder
den årlige middeltemperatur med 0,732°C, idet er negativ.
Den lineære sammenhæng mellem den nordlige breddegrad og middeltemperaturen , som
en
funktion af , defineres:
Den årlige middeltemperatur, når den nordlige breddegraf er bestemmes ved:
Den årlige middeltemperatur på den 'ende nordlige breddegrad er således -2,2°C. Afrundet til 1
decimal.
c)
Den nordlige breddegrad, hvor den årlige middeltemperatur er , bestemmes ved:
94
Den nordlige breddegrad, hvor den årlige temperatur er er således bestemt til .
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 8
a)
Vinklen bestemmes med trekantsløser:
Det er opolyst at vinklen er spidst.
Vinklen aflæses til 36,8°. Afrudnet til 1 decimal.
b)
Længden af siden i trekant bestemmes med trekantløser:
Det oplyses at vinkel , der svarer til vinkel , er stum.
Siden svarer til siden og aflæses til 3,4. Afrundet til 1 decimal.
Arealet af trekant kan bestemmes ved:
Siden |AD| svarer til siden og har længden 8.
Arelaet udregnes:
Arealet af trekant er således bestemt til 5,1. Afrudnet til 1 decimal.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.2)(3.1.2)
Opgave 9
a)
Tallene for og for potensfunktoienn gennem punkterne og kan bestemmes
ved potensregression:
Dataet defineres:
Vi foretager en potensregression:
Af regressionen fremgår det:
Værdien for aflæses til 0,778 (afrundet til 3 decimaler) og værdien for aflæses til 2,0 (afrundet
til 1 decimal).
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
Opgave 10
a)
Modellen defineres:
Grafen for tegnes:
Østrogenkoncentrationen i blodet 20 timer efte indtagelsen af P-pillen bestemmes ved:
85
Det er således bestemt, at Østrogenkoncentrationen efter 20 timer er 29,5 . Afrundet til
1 decimal.
b)
Tiden, fra indtagelsen af P-pillen er maksimal, kan bestemmes ved:
84
(4.3.1)(4.3.1)
For at være sikker på at det fundme ekstrema rent faktisk er maksimum fortages en
funktionsundersøgelse:
er voksende i intervallet 1,41
er aftagende i intervallet 1,41
Vi kan konkluderer at t = 1,41 er et maksimum.
Derfor er østrogenkoncentrationen størst til tiden t = 1,41 timer.
c)
For at bestemme, hvor lang tid, der går, inden der skal tages en ny pille løses , med
hensyn til t.
Maple har svært ved at løse ligningen med solve. I stedet benyttes kommandoen fintervalsolve,
hvor intervallet approximeres til t > 1,41:
Det er således bestemt, at en ny -pille skal indtages senest efter indtagelsen af forrige
pille. Afrundet til helt antal pille.
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.5)(5.1.5)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.2.1)(5.2.1)
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres:
En ligning for tangenten til grafen i punktet P bestemmes ved:
Vi definerer først punktest førstekoordinat:
2
Ligningen for tangenten til grafen for i punktet P er da:
Ligningen for tangenten afrundet til 2 decimaler:
b)
For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først eventuelle ekstrema:
8
En funktionsundersøgelse inden for intervallet, hvor ekstrema befinder sig foretages:
er voksende i intervallet
er aftagende i intervallet
har maksimum i
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.2)(6.1.2)
Opgave 12
a)
Nulhypotesen : Der er ikke sammenhæng mellem kundernes valg af kaffe og deres nationalitet:
De forvemtede værdier med udgangspunkt i at nulhypotesen er sang bestemmes ved:
Først opskrives det observerede værdier:
De forventede værdier beregnes:
b)
Der foretages en test på et signifikansniveua:
P-værdien aflæses til 0,8011 (afrundet til 3 decimaler), det svarer til en mæssig P-værdi på 8,
11.
Det fremgår af resultatet, af P-værdien er på 8,11 hvilket er større end signifikansniveauet på
.
Nulhypotesen accepteres derfor og derfor kan det ikke afvises,
at der ikke er en sammenhæng mellem kundernes nationalitet og deres valg af kaffe.
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.2)(7.1.2)
Opgave 13
a)
Funktionerne defineres:
Graferne for og tegnes:
Punktmængden oplyses at være afgrænset af graferne for og .
For at bestemme arealet af vha. integralregning, bestemmes først skæringspunkterne mellem
graferne:
Graferne skærer således hinaden, hvor og hvor .
(7.1.4)(7.1.4)
Det fremgår af graferne for og , i intervallet , derfor kan arealet
af punktmængden bestemems værende lig med integralet:
Arealet af puntmængden er således fundet til .