Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
1
STX Matematik B
7. december 2016
stx163-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i
en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler Løsning med WordMat ..................................................................................... 6
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
Modellen er en lineær model:
Tallet 1631 betegner funktionens hældningskoefficient, dvs. ifølge modellen vokser indbyggertallet i en
bestemt by i Danmark med 1631 om året i perioden
Tallet 191942 betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. ifølge modellen var indbyggertallet i år 2006 bestemt
til 191942 i en bestemt by i Danmark.
Opgave 2
Vi bestemmer diskriminanten:
Rødderne for ligningen er givet ved:
Dvs.:
Og:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
3
Andengradsligningen har løsningerne x = -1 og x = 5.
Opgave 3
Vi bestemmer funktionsværdien f(3):
Funktionsværdien f(3) er bestemt til -1.
Opgave 4
Det er oplyst, at diskriminanten er negativ, dvs. der findes ingen rødder til grafen for P. Ydermere har vi, at
c = 8, dvs. at grafen for P i x = 0 skal skære y-aksen i 8. Vi tegner en mulig graf for P.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
4
Opgave 5
Det er oplyst, at diagonalerne står vinkelret på hinanden, dvs. vi har at figuren er en rombe, det medfører
desuden, at siderne er lige lange:
Vi beregner vinduets areal ved:
Arealet af vinduet er bestemt til 240 cm
2
.
Omkredsen af vinduet bestemmes som 4 gange hypotenusen for en af de 4 retvinklede trekanter som
udgør vinduet:
Dvs.:
Omkredsen af vinduet er da:
Omkredsen af vinduet er bestemt til 200 cm.
Vi har, at hhv. højden = a = 30 samt grundlinjen = b = 40 svarer til halvdelen af parallelogrammets
sider.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
5
Opgave 6
Vi bestemmer en stamfunktion F(x) til f(x) ved at integrere f(x):
Vi bestemmer stamfunktionen til f, hvis graf netop går igennem punktet P, ved at indsætte punktet P i
udtrykket herover og isolere k:
Vi opskriver stamfunktionen, hvis graf netop går igennem punktet P:
Stamfunktionen til F, hvis graf netop går igennem punktet P, er bestemt til ovenstående udtryk.
(I)
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
6
Delprøven med hjælpemidler
Løsning med WordMat
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Modellen kan beskrives med en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Vægt
(målt i kg)
0,005
0,024
0,098
0,280
11,8
33,5
85,7
Iltforbrug
(målt i Ml
pr. time)
28,1
75,2
181
350
3653
7026
13400
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Konstanten a er bestemt til 0,630 (afrundet til 3 decimaler), og konstanten b er bestemt til 784,75 (afrundet
til 2 decimaler).
b)
Vi definerer tallet a og væksten for vægten af pattedyret som r
x
:
Vi bestemmer den procentvise forøgelse af iltforbruget, når vægten øges med 40 %, ved at løse for r
y
i
nedenstående udtryk:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
7
Ifølge modellen forøges iltforbruget med 23,61 % (afrundet til 2 decimaler), når vægten for pattedyret øges
med 20 %.
Opgave 8
a)
Vi bestemmer længden af siden a med WordMats trekantsløser:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 57°, C = 20°, b = 18
A = 57°
B = 103°
C = 20°
a = 15,493159
b = 18
c = 6,3183002
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
Længden af siden a findes vha. en sinusrelation:
Længden af siden a er bestemt til 15,49 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi tegner en skitse af trekant ABC med højden h
c
indtegnet i Paint, resultatet kopieres ind i besvarelsen. Vi
har, at højden for h
c
ligger uden for trekant ABC. Fodpunktet for højden h
c
kaldes for HC:
A
B
C
a
b
c
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
8
Vi bestemmer længden af højden h
c
med WordMats trekantsløser. Vi bestemmer højden h
c
som
modstående katete til vinkel A i den retvinklede trekant som A og C udgør med højden h
c
:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: HC = 90° , A = 57° , b = 18
HC = 90°
C = 33°
A = 57°
b = 18
AHC = 9,8035026
hc = 15,09607
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
Længden af højden hc findes vha. sinus:
HC
C
A
b
AHC
hc
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
9
Længden af højden h
c
er bestemt til 15,1 (afrundet til 1 decimal).
Opgave 9
a)
Vi definerer forskriften for C samt definitionsmængden for m:
Vi bestemmer Sinclair-koefficienten for en vægtløfter, der vejer 62 kg, ved at bestemme C(62):
Sinclair-koefficienten for en vægtløfter, der vejer 62 kg, er bestemt til 1,44 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer vægten af en vægtløfter med en Sinclair-koefficient på 1,2, ved at løse for m i C(m) = 1,2:
Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vægten for en vægtløfter med en Sinclair-koefficient på 1,2 er bestemt til 83,72 kg (afrundet til 2
decimaler).
Opgave 10
a)
At der er en lineær sammenhæng mellem den gennemsnitlige vægt af danske kvinder og tiden, betyder, at
ændringen i den gennemsnitlige vægt er lige stor hvert år. Vi ved, at der over en 5-årig periode sker en
stigning på 1,4 kg. Vi kan derfor bestemme den årlige stigning ved at dele denne stigning med 5:
Den årlige stigning i den gennemsnitlige vægt af danske kvinder er bestemt til 0,28 kg.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
10
b)
Vi bestemmer, hvor lang tid der, ifølge modellen, vil gå, før den gennemsnitlige vægt af danske kvinder er
vokset med 4 kg ved at dele 4 kg med den årlige stigning på 0,28 kg:
Ifølge modellen vokser den gennemsnitlige vægt af danske kvinder med 4 kg på 14,3 år (afrundet).
Opgave 11
a)
Vi foretager en
-test med WordMats skabelon for netop dette, testen foretages på et 5 %
signifikansniveau. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Resultat af test:
χ²-test
Observa.
Forventede
Køn/Marmelade
Type 1
Type 2
I alt
Køn/Marmelade
Type 1
Type 2
I alt
Mand
125
35
160
Mand
133,3333
26,66667
160
Kvinde
100
10
110
Kvinde
91,66667
18,33333
110
I alt
225
45
270
225
45
270
P-værdi:
0,56%
Der er en sammenhæng
Signifikans niveau:
5%
Frihedsgrader:
1
Q-værdi:
7,5
0,5208333
2,7
0,8
3,7878788
Kritisk Q-værdi:
3,1
Da p-værdien = 0,56 % er mindre end signifikansniveauet på 5 %, må vi forkaste nulhypotesen. Ifølge
testen, er der altså sammenhæng på et 5 % signifikansniveau mellem køn og hvilken af de to
marmeladetyper, der foretrækkes.
b)
Vi angiver den samlede teststørrelse
-teststørrelse aflæst som Q-værdi fra resultatet af testen i opg a).
Teststørrelsen er bestemt til 7,67 (afrundet til 2 decimaler).
De enkelte testsstørrelser beregnes med følgende formel:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
11
I Excel, med data fra testen i opg a), beregner vi de individuelle teststørrelser. Resultatet kopieres ind i
besvarelsen:
Fi (forventet)
Oi (observeret)
x^2 (testsstørrelse)
Mand: type 1
133,3333
125
0,7
Mand: type 2
26,66667
35
2,8
Kvinde: type 1
91,66667
100
0,4
Kvinde: type 2
18,33333
10
3,6
Vi kan konkludere, at Kvinde: type 2 med en individuel teststørrelse på 3,79 (afrundet til 2 decimaler)
bidrager mest til den samlede teststørrelse. Med andre ord, så afviger de observerede værdier for Kvinde:
type 2 mest fra de forventede værdier.
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f:
Vi definerer førstekoordinaten for punktet P:
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion f’:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider nulpunkterne for den afledede funktion:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
12
f er aftagende i intervallet ]-∞; -1,081] og [3,081; ∞[
f er voksende i intervallet [-1,081; 3,081]
c)
Vi bestemmer det bestemte integral opgivet i opgaveformuleringen:
Det bestemte integral er bestemt til 93,75.
Vi tegner grafen i intervallet [0; 5], og markerer området mellem grafen for f og x-aksen i intervallet [0; 5].
Området markeres i Paint, resultatet kopieres derefter ind i besvarelsen:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2016
13
Opgave 13
a)
Vi bestemmer tallet a vha. formlen for fordoblingskonstanten:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tallet b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. tallet b er lig 1024.
Vi opstiller (og definerer til senere brug) en model for N(t):
Vi bestemmer N(4):
Til tiden 4 år er antallet af dyr i populationen ifølge modellen bestemt til 2048 (afrundet op til helt dyr).
Vi bestemmer væksthastigheden til t = 4 ved at bestemme N’(4):
Væksthastigheden til tidspunktet t = 4 er bestemt til 355 dyr pr. år (afrundet op til helt dyr).