Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
1
STX Matematik B
12. august 2010
stx102-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 7
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatB-
Delprøven uden hjælpemidler Stx matematik B 12. august
2010
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din opgaveregning præcis kan
se hvilken formel, vi har brugt til at løse opgaven.
Opgave 1 (Reducér udtryk)
(a + b)(a − b) + b
2
=
(jf. formel 9)
a
2
− b
2
+ b
2
=
a
2
Opgave 2 (Evaluér andengradsfunktion i punkt)
Vi bestemmer f(3) ved at indsætte x = 3 i ligningen
f(3) = 2 · 3
2
− 4 · 3
= 2 · 9 − 12
= 6
Opgave 3 (Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt)
Parablen har toppunkt for x som løser ligningen f
0
(x) = 0. Vi bestemmer først f
0
(x).
f
0
(x) =
3x
2
− 12x + 9
0
(jf. formel 72,73)
=
3x
2
0
− (12x)
0
+ (9)
0
(jf. formel 78,71)
= 6x − 12
2
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatB-
Vi løser nu ligningen f
0
(x) = 0
6x − 12 = 0 ⇔ 6x = 12 ⇔ x =
12
6
= 2
Parablen har altså toppunkt for x = 2. Vi bestemmer y-værdien for toppunktet som f (2)
f(2) = 3 · (2)
2
− 12 · 2 + 9 = 12 − 24 + 9 = −3
Koordinatsættet til parablens toppunkt er dermed (x, y) = (2, −3).
Man kunne også beregne toppunktet direkte ved formel 34, men vi vælger altid me-
toden med differentation, da vi så skal huske en formel mindre til eksamen.
T
p
=
−b
2a
,
−d
4a
, hvor d = b
2
− 4ac
Vedr. koefficienterne a og b samt konstanten c:
f(x) = 3
|{z}
a
x
2
−12
|{z}
b
x +9
|{z}
c
Først beregnes diskriminanten d:
d = b
2
− 4ac
værdierne indsættes
= (−12)
2
− 4 · 3 · 9
= 36
Parablens toppunkt T
p
kan nu beregnes:
T
p
=
−b
2a
,
−d
4a
værdierne indsættes
OBS på fortegn!!!
=
−(−12)
2 · 3
,
−36
4 · 3
=
12
6
,
−36
12
= (2 , −3)
3
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatB-
Opgave 4 (Beregn sidelængde og areal af retvinklet trekant)
Da trekanten er retvinklet kan længden af siden BC beregnes vha. Pythagors’ sætning
(jf. formel 21)
|BC|
2
= |AB|
2
− |AC|
2
m |BC| > 0
|BC| =
q
|AB|
2
− |AC|
2
=
p
10
2
− 8
2
=
√
36
= 6
Arealet af trekant ABC kan beregnes som:
T
ABC
=
1
2
· |AC| · |BC|
=
1
2
· 8 · 6
= 24
Opgave 5 (Løsning af to ligninger med to ubekendte)
For at løse de to ligninger med to ubekendte isolerer vi først y i første ligning
x + y = 2
m
y = 2 − x
Dette udtryk for y indsættes i anden ligning
3x + y = 14
m udtryk for y indsættes
3x + (2 − x) = 14
m
2x + 2 = 14
m
x =
14 − 2
2
m
x = 6
4
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatB-
Den fundne værdi for x indsættes i første ligning
x + y = 2
m
6 + y = 2
m
y = −4
Løsningen til ligningssystemet er dermed: (x, y) = (6, −4)
Tjek altid om du har regnet rigtigt ved at indsætte din løsning i de to ligninger
6 − 4 = 2 tjek og 3 · 6 − 4 = 14 tjek
Opgave 6 (Bestem værdi af x, som gør kassens samlede overfladeareal
mindst muligt)
Kassens rumfang er givet ved:
V = x · x · h = x
2
· h
Vi ved at V = 32 og vi kan derfor isolere h udtrykt ved x
32 = x
2
· h
m x > 0 og dermed x
2
> 0
h =
32
x
2
For at bestemme den værdi for x, som giver kassen det mindste overfladeareal, skal der
først opstilles et udtryk for kassens samlede overfladeareal O
A
. Vi medregner ikke den
indvendige flade i kassens overfladeareal.
O
A
= (x · x)
| {z }
bunden
+ 4 · (h · x)
| {z }
siderne
= x
2
+ 4hx
udtrykket for h indsættes
= x
2
+ 4 ·
32
x
2
· x
= x
2
+
128
x
, x > 0
Overfladearealet af kassen udtrykt som funktion af sidelængden x
O
A
(x) = x
2
+
128
x
, x > 0
5
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatB-
For at bestemme den værdi for x, der giver det mindste overfladeareal, bestemmer vi først
den afledede funktion O
0
A
. Herefter løses ligningen O
0
A
(x) = 0 for at bestemme minimum.
O
0
A
(x) =
x
2
+
128
x
0
formel 72
=
x
2
0
+
128
x
0
formel 78 og 79
= 2x −
128
x
2
, x > 0
Nu sættes O
0
A
(x) = 0 og der løses for x
O
0
A
(x) = 0
m
2x −
128
x
2
= 0
m
2x =
128
x
2
m
x
3
=
128
2
m
x =
3
√
64
m
x = 4
Vi undersøger om det er et minimum ved at beregne O
0
A
(x) på hver side af det fundne x.
O
0
A
(1) = 2 · 1 −
128
1
2
= −126 < 0
O
0
A
(10) = 2 · 10 −
128
10
2
= 20 − 1, 28 = 18, 72 > 0
Vi har dermed at O
A
(x) har et minimum for x = 4.
Hvis kassens sidelængde x har en længde på 4, vil kassens overfladeareal blive mindst
muligt.
6
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
7
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Udviklingen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor en forskrift for f vha. lineær
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Antal år efter 1987
0
7
13
18
Antal svært
overvægtige
252036
343759
407931
473526
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
𝑦=12149,116𝑥+ 253896,4
Vi opskriver (og definerer til senere brug) forskriften for f.
𝑓
(
𝑥
)
≔12149,116𝑥 + 253896,4
En forskrift for f er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer antallet af overvægtige 25 år efter 1987 ved at bestemme f(25).
𝑓
(
25
)
=557624,30
Ifølge modellen vil antallet af svært overvægtige danskere 25 år efter 1987 være 557624 (afrundet ned til hel
dansker).
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
8
Opgave 8
a)
Vi bestemmer halveringstiden.
Halveringstiden for mængden af stof i blodet er bestemt til 31,02 timer efter indtagelse (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vi definerer forskriften for f.
Vi bestemmer vægten af stoffet i blodet 24 timer efter indtagelse af stoffet ved at bestemme f(24).
Ifølge modellen er der 87,73 mg stof i blodet 24 timer efter indtagelse.
c)
Modellen er beskrevet med en eksponentiel funktion, dvs. tallet 0,9779 betegner fremskrivningsfaktoren a.
Med fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstraten r.
Ifølge modellen aftager mængden af stoffet med 2,21 % for hver time efter indtagelse af stoffet.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
9
Opgave 9
a)
Vi bestemmer kvartilsæt og middelværdi for pointfordelingen med WordMats skabelon for u grupperede
observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
4
Median
5
Øvre
7
Obs. Fraktil
Middeltal
5,44
Opgave 10
a)
Vi bestemmer afstanden mellem B og C med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 77,7°, AC = 2,51 , AB = 8,93
A = 77,7°
B = 16,283833°
C = 86,016167°
BC = 8,7461504
AC = 2,51
AB = 8,93
Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation.
Afstanden mellem B og C er bestemt til 8,75 km (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
10
b)
Vi bestemmer vinkel B i trekant BCD med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 82,7°, CD = 5,20, BC = 8,75
C = 61,180686°
B = 36,119314°
D = 82,7°
BD = 7,7289091
CD = 5,2
BC = 8,75
Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation
2. gradsligningen løses for BD
2. gradsligningen har to løsninger.
Men den anden løsning er negativ, og vi kan jo ikke have negative sidelængder.
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel B i trekant BCD er bestemt til 36,12° (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 11
a)
Vi definerer forskriften for f(x).
C
B
D
BD
CD
BC
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
11
Vi bestemmer f’.
Forskriften for den afledede funktion er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
Vi kan konkludere, at x = 1,0986123 er et minimum. Vi har dermed gjort rede.
b)
Vi definerer førstekoordinaten til punktet P(2, f(2)).
Vi bestemmer en ligning til tangenten til grafen for f i punktet P.
En ligning for tangenten til grafen for i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f(x) og g(x).
Vi løser ligningen f(x) = g(x) for x.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
12
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Graferne for hhv. f og g er bestemt til x = 1 og x = 9.
b)
Figuren viser, at f < g i intervallet [1; 9]. Vi bestemmer arealet af M som differensen mellem arealet under
grafen f i intervallet [1; 9] og arealet under grafen for g i intervallet [1; 9].
Arealet M er bestemt il 101,33 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 13
a)
Vi definerer forskriften for O(x) samt definitionsmængden for x.
Vi bestemmer enhedsomkostningerne ved en produktion af 10000 enheder.
Enhedsomkostningerne ved en produktion af 10000 enheder er bestemt til 2142 kr. pr. enhed. (afrundet til
helt tal).
Vi løser ligningen O’(x) = E(x) for x.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 12. august 2010
13
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Løsningen til ligningen er bestemt til x = 15071 (afrundet ned til hel enhed).
b)
Vi bestemmer først en forskrift for F(x). Vi har at F(x) er givet ved:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Vi definerer forskriften for F(x).
Den værdi af x, der giver størst fortjeneste, bestemmes ved at optimerer F(x).
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion F’(x).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
Vi kan konkludere, at x = 9052,0349 er et maksimum.
En produktion af 9052,0 enheder (afrundet til 1 decimal) giver det størst mulige overskud.