Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
1
STX Matematik B
26. maj 2010
1stx101-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 9
Studiekompasset.dk Matematik B den 26. maj 2010 1stx101-Mat/B-
Opgave nr. 1 (uden hjælpemidler).
(a) Reducér
(a + b)
2
| {z }
∗
−2ab − a
2
=
(*vha. formel 7)
a
2
+ b
2
+ 2ab
| {z }
∗
−2ab − a
2
=
b
2
Opgave nr. 2 (uden hjælpemidler).
Et rektangel har sidelængderne 7 og 10 (se figur).
(a) Bestem længden af diagonalen AC.
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) Diagonalen AC kan beregnes med Pythagoras’ læresætning, idet et rektangel
2
Studiekompasset.dk Matematik B den 26. maj 2010 1stx101-Mat/B-
pr. definition har fire rette vinkler (90
◦
).
c
2
= a
2
+ b
2
formel 21
de aktuelle benævnelser anvendes
|AC|
2
= |AD|
2
+ |CD|
2
m kendte værdier indsættes
|AC|
2
= 10
2
+ 7
2
m
|AC|
2
= 100 + 49
m
|AC|
2
= 149
m
|AC| = ±
√
149
⇓ note 1
|AC| =
√
149
Note 1: Den negative løsning forkastes, da |AC| er et længdemål.
I den første del af eksamen, hvor der ikke må anvendes hjælpemidler, er ovenstå-
ende svar |AC| =
√
149 det korrekte svar, da det er noget omfattende at beregne
kvadratroden af 149 uden hjælpemidler.
Havde det været tilladt at anvende hjælpemidler kunne man have regnet videre og
fundet at: |AC| =
√
149 ≈ 12, 2 (afrundet til én decimal).
Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler).
På figuren ses grafen for en lineær funktion f(x) = ax + b. Grafen for f går gennem
punkterne P (2, 5) og Q(4, 11).
(a) Bestem a og b.
—— Besvarelse af opgaven ——
3
Studiekompasset.dk Matematik B den 26. maj 2010 1stx101-Mat/B-
(a) Bestemmelse af hældningskoefficienten a og konstanten b, som er funktionsværdien,
når x = 0, og dermed angiver skæringspunktet med y-aksen i punktet (0, b).
Bestemmelse af hældningskoefficienten a
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
formel 30
punkterne P og Q indsættes
a =
11 − 5
4 − 2
m
a =
6
2
m
a = 3
Bestemmelse af konstanten b
y = ax + b formel 31
a og punktet P indsættes
5 = 3 · 2 + b
m
b = −1
Konklusionen på opgaven er: a = 3 og b = −1.
Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler).
(a) Løs andengradsligningen 2x
2
− 6x + 4 = 0.
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) En andengradsligning følger ligningen:
ax
2
+ bx + c = 0
Ligningen kan løses således:
x =
−b ±
√
d
2a
, hvor d = b
2
− 4ac ( formel 39 )
4
Studiekompasset.dk Matematik B den 26. maj 2010 1stx101-Mat/B-
Først beregnes d, idet andengradsligningen ingen løsninger har, hvis d < 0
d = b
2
− 4ac
værdierne for a , b, c indsættes
d = (−6)
2
− 4 · 2 · 4
m
d = 4
Diskriminanten d > 0, hvilket betyder, at der er to løsninger til ligningen.
x =
−b ±
√
d
2a
m værdierne for a , b, d indsættes
x =
−(−6) ±
√
4
2 · 2
m
x =
6 ± 2
4
m
x = 1 ∨ x = 2
Løsningen på andengradsligningen er således: x = 1 eller x = 2
Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler).
Grafen for funktionen
f(x) = −x
2
+ 3x
afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M , der har et areal.
(a) Bestem arealet af M .
5
Studiekompasset.dk Matematik B den 26. maj 2010 1stx101-Mat/B-
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) Med udgangspunkt i skitsen og de givne oplysninger, kan arealet af M bestemmes
som integralet:
M =
Z
3
0
−x
2
+ 3x
dx formel 96
formel 84
=
−
1
3
x
3
+
3
2
x
2
3
0
formel 91
=
−
1
3
· 3
3
+
3
2
· 3
2
− 0
= −9 +
27
2
= −
18
2
+
27
2
=
9
2
Arealet af punktmængden er således bestemt til: M =
9
2
= 4, 5
Det forudsætter dog, at der kan regnes med, at grafen for f har skæring med førsteaksen i x = 0 og
x = 3, som det (tydeligt) fremgår af skitsen
Hvis det skal være helt korrekt, bør man beregne grafens rødder (skæringspunkter
med førsteaksen) først og derefter bruge x-værdierne fra disse rødder ved beregningen
af arealet af M .
Bestemmelse af rødderne for f
f(x) = 0
m
−x
2
+ 3x = 0
m
x(−x + 3) = 0
m „nulreglen“
x = 0 ∨ −x + 3 = 0
m
x = 0 ∨ x = 3
Som det fremgår af denne beregning, har f rødder ved x = 0 og x = 3
Det fundne areal for punktmængden M på forrige side er altså korrekt.
6
Studiekompasset.dk Matematik B den 26. maj 2010 1stx101-Mat/B-
Opgave nr. 6 (uden hjælpemidler).
På figuren ses en rektangulær løbegård til en hund. Løbegården skal bygges op ad en mur,
og de tre øvrige sider skal dannes af et 20 m langt hegn. Løbegårdens længde betegnes
med y, og løbegårdens bredde betegnes med x.
(a) Bestem y udtrykt ved x.
Bestem x, så arealet af løbegården bliver størst muligt.
—— Besvarelse af opgaven ——
(a) Løbegårdens længde y udtrykt ved bredden x.
y = 20 − 2x (hvor x og y måles i meter)
Bestemmelse af x, så arealet af løbegården bliver størst muligt, er et klassisk
eksempel på en optimeringsopgave, hvor den bredde x, der giver det største areal
skal bestemmes.
For at bestemme x, så arealet af løbegården bliver størst muligt gøres ved først at
fastsætte en forskrift for arealet som en funktion af bredden x, A(x).
Dernæst skal den afledte funktion A
0
(x) bestemmes og sættes lig med nul, for herved
at finde den værdi for x, der giver det største areal af løbegården.
Arealfunktionen A(x)
A(x) = x · y
m
A(x) = x(20 − 2x)
m
A(x) = −2x
2
+ 20x
7
Studiekompasset.dk Matematik B den 26. maj 2010 1stx101-Mat/B-
Bestemmelse af den afledte funktion A
0
(x)
A
0
(x) =
−2x
2
+ 20x
0
formel 72
=
−2x
2
0
+ (20x)
0
formel 78
= −4x + 20
Den afledte funktion A
0
sættes nu lig med nul og derved findes ekstrema for areal-
funktionen A, hvilket i praksis vil sige, den x-værdi, der giver det største areal.
A
0
(x) = 0
m
−4x + 20 = 0
m
−4x = −20
m
x = 5
For at løbegården skal få det største areal, skal bredden x være 5 meter.
8
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
9
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi definerer forskriften for f(x) og g(x).
𝑓
(
𝑥
)
≔4𝑥+5
𝑔
(
𝑥
)
≔−2𝑥+12
Vi bestemmer f(5).
𝑓
(
5
)
=25
f(25) er bestemt til 25.
Vi løser ligningen g(x) = 16 for x.
𝑔
(
𝑥
)
=16
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥=−2
Løsningen til ligningen er bestemt til x = -2.
b)
Først bestemmer vi førstekoordinaten til skæringspunktet mellem graferne ved at løse f(x) = g(x) for x.
𝑓
(
𝑥
)
=𝑔
(
𝑥
)
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥=
7
6
Vi bestemmer anden koordinaten til skæringspunktet ved at bestemme f(7/6).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
10
Koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for f og g er bestemt til (7/6, 29/3).
Opgave 8
a)
Vi definerer forskriften for f(x).
Vi bestemmer vægten af en 30 mm lang hundestejle ved at bestemme f(30).
Ifølge modellen er vægten af en 30 mm lang hundestejle bestemt til 290,9 mg.
b)
Vi bestemmer længden af en 1000 mg hundestejle ved at løse for x i f(x) = 1000.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er en 1000 mg hundestejle 46,80 mm lang (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 9
a)
Modellen kan beskrives vha. en ekspotentiel funktion, vi bestemmer derfor en forskrift for f med
eksponentiel regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Antal år efter 2005
1
2
3
4
Antal svin (i mio.)
4,3
4,9
6,3
8,0
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
11
Vi opskriver en model for f.
En forskrift for f(x) er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Konstanten b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. i året 2004 var der 3,37 mio. svin transporteret ud af
Danmark (afrundet til 2 decimaler).
Konstanten a betegner fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi beregne vækstraten r.
Ifølge modellen vokser antallet af transporterede svin ud af Danmark med 23,54 % (afrundet til 2 decimaler)
om året efter år 2004.
Opgave 9
a)
Vi bestemmer vinkel A med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 8, b = 20, c = 16
A = 22,331645°
B = 108,20996°
C = 49,458398°
a = 8
b = 20
c = 16
Vinkel A findes vha. en cosinusrelation.
Vinkel A er bestemt til 22,33° (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
a
b
c
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
12
b)
Vi bestemmer arealet af trekant ABC med en sinusrelation.
𝑇
𝐵𝐶
=
1
2
·𝑐·𝑏·sin
(
𝐴
)
=
1
2
·16·20·sin
(
22,331645
)
≈60,794737
Arealet af trekant ABC er bestemt til 60,79 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 11
a)
Vi tegner sumkurven og bestemmer kvartilsættet med WordMats skabelon for grupperede observationer,
resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Sumkurve:
Kvartilsæt:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
0,5
Nedre
1,158
Median
1,429
Øvre
1,656
Største
2,3
0%
25%
50%
75%
100%
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5
Kum. Frek.
Vægt i kg.
Sumkurve
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
13
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f.
Vi bestemmer funktionens nulpunkter ved at løse for x i f(x) = 0.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionens nulpunkter er bestemt til x = -4,24, x = 0,90 og x = 7,84 (alle afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer f’(x).
Den afledede funktion f’(x) er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion.
f er voksende i intervallet ]-∞; -2] og [5; ∞[
f er aftagende i intervallet [-2; 5]
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
14
Opgave 13
a)
Vi definerer forskriften for f(x) samt definitionsmængden for x.
Vi bestemmer stamfunktionen F(x) til f(x) ved at integrerer f(x).
For at bestemme den stamfunktion, der netop går igennem punktet P(2, 3), indsætter vi punktet i
ovenstående udtryk og løser for k.
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver et udtryk for stamfunktionen, hvis punkt netop går igennem punktet P.
En forskrift for stamfunktion, hvis graf netop går igennem punktet P, er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 14
a)
Vi definerer forskriften for f.
Vi undersøger om bolden kommer over bygningen ved at bestemme funktionsværdien i x = 10.
Da funktionsværdien i x = 10 er større end 8, som bygningens højde i x = 10, kan vi konkludere at bolden
kommer over bygningen.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 26. maj 2010
15
b)
Vi bestemmer tangentens hældning i punktet P.
𝑓
′
(
0
)
=0,8693
Vi bestemmer vinklen alfa vha. simpel trigonometri. Vi benytter at tangentens hældning i P svarer til
modstående katete i den retvinklede enhedstrekant, som modstående katete danner med vandret, hvor
hosliggende katete er lig 1 (se evt. skitse).
tan
(
𝛼
)
=
0,8693
1
⇕ Ligningen løses for α vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝛼=41,000433
Vinklen α er bestemt til 41,0° (afrundet til 1 decimal).