- 1 -
Indhold
INDHOLD ........................................................................................................................................ 1
INDLEDNING.................................................................................................................................. 2
HISTORIE ........................................................................................................................................ 2
TALFØLGER .................................................................................................................................. 2
RÆKKER ......................................................................................................................................... 3
KONVERGENS OG DIVERGENS ............................................................................................... 4
KVOTIENTRÆKKER ................................................................................................................... 4
KONVERGENSKRITERIER ........................................................................................................ 6
SAMMENLIGNINGSTESTEN .............................................................................................................. 6
CAUCHY´S KRITERIER............................................................................................................... 6
RODKRITERIET ................................................................................................................................ 6
KVOTIENTKRITERIET ....................................................................................................................... 8
INTEGRALKRITERIET................................................................................................................ 9
RESTLED ....................................................................................................................................... 11
- ET IRRATIONALT TAL ....................................................................................................... 12
KONVERGENSHASTIGHED OG FORBEDRING AF ARCTAN ................................................................ 15
TAYLORRÆKKEN ...................................................................................................................... 16
LITTERATURLISTE ................................................................................................................... 20
- 2 -
Uendelige rækker
Indledning
Uendelige rækker er en metode, der bl.a. gør det muligt at beskrive størrelser, der ellers
er meget vanskelige at finde. Fx de irrationale tal e og π, som jeg kommer ind på senere. Jeg vil i
denne opgave også komme forbi den særlig gren af uendelige rækker, der kaldes Taylorrækker.
Det er en type rækker, der har den egenskab at de kan tilnærme funktioner, så ellers besværlige
funktioner som lnx og de trigonometriske funktioner cosx og sinx kan tilnærmes med polynomier.
Ellers vil jeg hovedsageligt arbejde med konvergens og divergens af forskellige rækker. Dvs. hvad
der sker med rækken, når man lægger uendeligt mange led sammen.
Historie
1
Ideen om at beskrive størrelser ved hjælp af rækker opstod allerede for næsten 4000 år
siden. De første eksempler er fundet i det berømte 'Papyrus Rhind' fra ca. 1650 f.Kr. Der var der
eksempler på såkaldte geometriske rækker, som jeg også kommer ind på. Senere har stort set alle
historiens store matematikere behandlet emnet. Indtil ca. 1635 havde man kun opereret med
endelige rækker som fx
2
skakbrætopgaven fra omkring år 880. Men efter 1635 begyndte folk som
Newton, Euler, Fermat og Leibniz at arbejde med uendelige rækker, og netop omkring denne tid
udviklede teorien om uendelige rækker sig enormt, for der var god brug for uendelige rækker. Det
blev med uendelige rækker relativt simpelt at beregne nogle ting, der før havde været meget
komplicerede. Ca. 100 år efter de første uendelige rækker, dukkede Taylorrækkerne op. De kom
også til at spille en vigtig rolle, da de lige som de almindelige rækker gjorde udregninger lettere.
Talfølger
3
Definition: En talfølge er en tællelig uendelig række af tal med komma imellem:
,...,...,,,
321 n
ssss
Eksempler på talfølger
,...
1
,...,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
,...2,...,10,8,6,4,2
n
n
1
Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 34-35
2
Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 2
3
Talfølger og rækker, s. 19-20
- 3 -
Definition: Talfølgen
,...,...,,,
321 n
ssss
er konvergent med grænseværdien s, såfremt der til ethvert lille positivt tal
findes et
nummer N i talfølgen så
Nnforss
n
−
Eksempel: Jeg vil vise, at talfølgen
,...
1
,...,
16
1
,
9
1
,
4
1
,1
2
n
er konvergent med grænseværdien 0.
Jeg skal altså ifølge definitionen vise at
0
1
2
−
n
kan gøres mindre end .
111
0
1
2
22
− nn
nn
Hvis fx = 0,0001 er
01,0=
og som N kan vi bruge 100.
Rækker
4
,
5
For at kunne arbejde med uendelige rækker, bliver man nødt til at få nogle definitioner
på plads. Med en uendelig række menes en sum med et uendeligt antal led. Fx denne, der kaldes
den harmoniske række:
=
++++=
1
...
4
1
3
1
2
1
1
1
n
n
Men det er et noget svævende udtryk at finde summen af uendelig mange led. Dette problem har
man løst ved at indføre partialsummer. Dvs. at man lægger leddene sammen i etaper, så til den
uendelige række
=
+++++=
1
321
........
n
nn
aaaaa
hører en talfølge af partialsummer
........,,
321 n
SSSS
hvor
4
Calculus and Analytic Geometry, s. 532
5
Talfølger og rækker, s. 19-20
- 4 -
nn
aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
....
321
3213
212
11
Man siger så at
=
→
=
1
lim
n
n
n
n
Sa
.
Men normalt skriver man bare at summen er
........
321
1
+++++==
=
n
n
n
aaaaaS
Konvergens og divergens
Det interessante, når man arbejder med rækker, er selvfølgelig om den pågældende række
konvergerer, dvs. at partialsummerne går mod en grænseværdi for n gående mod uendelig, eller
om rækken divergerer, dvs. at rækken ikke konvergerer, men fx går mod uendelig for n gående
mod uendeligt. Gennem historien er der fundet mange metoder til at bestemme dette, og jeg vil i
dette afsnit redegøre for en del af dem. Men først en matematiske definition af konvergens, som
kommer af talfølgers konvergens:
6
Definition: En række konvergerer, hvis der til ethvert
> 0 findes et tal N, så der når n > N om
rækkens sum S og den n'te partialsum S
n
gælder at |S - S
n
| <
.
Kvotientrækker
7
De første rækker man kender til er som nævnt de geometriske rækker eller
kvotientrækker, som de mest bliver kaldt. Det er en familie af rækker, der er forholdsvis lette at
regne på. De består af en konstant a
0
, hvorpå der i hvert led bliver ganget en kvotient r. Rækken
kommer så til at sådan ud:
=
=++++
0
00
3
0
2
00
....
n
n
arararraa
Kvotientrækken har den gode egenskab, at det er let at finde ud af, om rækken konvergerer eller
divergerer. Det afhænger kun af r.
Sætning 1: Hvis |r| < 1 er kvotientrækken konvergent og dens sum er
6
Calculus and Analytic Geometry, s. 533
7
Calculus and Analytic Geometry, s. 541-542
- 5 -
=
−
==
0
0
0
1
n
n
r
a
arS
Hvis |r|
1 og a
0
0 er rækken divergent
Bevis: Jeg ser først på, hvad der sker for r = 1. Da bliver rækken
...
000
+++ aaa
. Og det er let at
se, at denne række går mod + eller - uendelig. Kvotientrækken for r = -1 er
....
0000
+−+− aaaa
Her er partialsummerne skiftevis S
n
= a
0
og S
n+1
= 0, og de har derfor ingen grænseværdi.
Givet er så ligningen
r
r
rrr
n
n
−
−
=++++
+
1
1
....1
1
2
.
I denne ligning ganger jeg med 1- r på begge sider
( )
( )
11
1122
12
11
1........1
1....11
++
++
+
−=−
−=−−−−−++++
−=++++−
nn
nnnn
nn
rr
rrrrrrrr
rrrrr
Dvs. at den første ligning også er sand. Jeg omskriver så kvotientrækkens partialsum ved at benytte
den netop beviste ligning:
( )
−
−
−
=
−
−
=++++=
++
r
r
r
a
r
r
arrraS
nn
n
n
11
1
1
1
....1
1
0
1
0
2
0
.
Jeg finder et udtryk for summen ved at lade n gå imod uendelig:
r
a
r
a
r
r
r
aS
n
n
−
=
−
=
−
−
−
=
+
→
11
1
11
1
lim
0
0
1
0
da
0
1
→
+n
r
for
→n
når |r| < 1
Endelig lader jeg n gå mod uendeligt i det samme udtryk, bare med |r| > 1. Og vi ser at denne
grænseværdi ikke findes, derfor gælder sætning 1. QED.
Eksempel: Jeg vil ved hjælp af min viden om uendelige rækker finde ud af, om følgende række er
divergent eller konvergent. Er den konvergent, vil jeg også finde dens sum.
...
3
4
...
3
4
3
4
3
4
4
32
++++++
n
Dette er en kvotientrække med a
0
= 4 og r =
3
1
, så rækken er konvergent da r < 1
Jeg kan så finde rækkens sum med sætning 1:
6
1
4
3
1
=
−
=S
.
- 6 -
Konvergenskriterier
Sammenligningstesten
8
Det er selvfølgelig langt fra alle rækker, der er kvotientrækker. På trods af det kan de
alligevel være en hjælp til at bestemme konvergens og divergens af andre rækker. Det kan lade sig
gøre ved hjælp af sammenligningstesten der er ganske indlysende. Den siger:
Sætning 2: Hvis man har to rækker
n
a
og
n
b
med positive led, hvor konvergensforholdene
for
n
b
er kendt. Så gælder at
n
a
konvergerer hvis
n
b
konvergerer og
nn
ba
,
og
n
a
divergerer hvis
n
b
divergerer og
nn
ba
.
Denne sætning vil jeg ikke bevise, da jeg mener at den er indlysende.
Eksempel: Jeg går ud fra, jeg ved, at
....
4
1
3
1
2
1
1
1
1
++++=
=n
n
er en divergent række (Dette beviser
jeg senere i forbindelse med intgralkriteriet). Så kan man med sikkerhed sige at en række som fx
....
4
1
3
1
2
1
1
1
1
++++=
=n
n
, som man ikke lige umiddelbart kan se konvergensforholdene for,
også divergerer da
nn
. Så hvert eneste led bliver større i
=1
1
n
n
end i
=1
1
n
n
da nævnerne i den
første række er mindst.
Cauchy´s kriterier
9
Princippet bag sammenligningstesten - at sammenligne en kendt række med en ukendt -
har franske Cauchy () brugt til at formulere to kriterier, der virker lidt mere
håndgribelige end sammenligningstesten, da Cauchy ender med at have egentlige formler. Men
Cauchy´s kriterier tager i lighed med sammenligningstesten udgangspunkt i kvotientrækker.
Rodkriteriet
Sætning 3: Rækken
n
a
med positive led er konvergent, hvis der findes et tal r < 1 og et N
Z
+
så
Nnforra
n
n
.
Og omvendt er rækken divergent, hvis der for uendeligt mange led gælder at
8
Calculus and Analytic Geometry, s. 558-560
9
Matematisk analyse III, s. 184-185
- 7 -
1
n
n
a
.
Bevis: Ideen bag denne sætning er at omskrive rækken
n
a
så den kan regnes som en
kvotientrække.
For at gøre det så let som muligt er a
0
= r i denne kvotientrække da a
0
ikke siger noget om
konvergens og divergens, men kun om summen af rækken. Desuden er 0 < r < 1 da
kvotientrækken så konvergerer. Leddene i kvotientrækken er derfor
........
32
+++++
n
rrrr
Og leddene i rækken
n
a
er
........
321
+++++
n
aaaa
Vi ved så fra sammenligningstesten at rækken
n
a
med sikkerhed konvergerer hvis
n
n
ra
dvs. hvis
ra
n
n
for
Nn
hvor r < 1
Og divergerer hvis
1
n
n
a
QED.
Som hovedregel er rækken konvergent hvis
1
n
n
a
. Men egentlig siger sætning 3 at r skal være
mindre end et tal < 1. Dvs. en rækkes led ikke må have en grænseværdi på 1 da de så bliver større
end alle tal < 1.
For at denne sætning skal give mening matematisk siger man at hvis der findes et tal q så
qa
n
n
n
=
→
lim
så konvergerer rækken når q < 1, og rækken divergerer når q > 1, og når q = 1 er intet sikkert og
der kræves nærmere undersøgelse af rækken.
Eksempel: Jeg vil finde ud af om følgende række er konvergent eller divergent.
(1)
=
1
ln
n
n
n
n
Jeg benytter rodkriteriet og får
n
n
n
n
n
n
lnln
=
- 8 -
Og denne brøk kan aldrig blive > r for r < 1, da funktionen svarende til n, f (x) = x vokser meget
hurtigere end funktionen svarende til ln(n), f (x) = ln(x). Derfor er rækken (1) konvergent.
Kvotientkriteriet
10
Cauchy´s andet kriterium, der kaldes kvotientkriteriet, tager som sagt også
udgangspunkt i princippet for sammenligning. Kvotientkriteriet siger
Sætning 4: En række
n
a
med positive led er konvergent hvis der findes et tal r < 1 og følgende
sætning gælder om forholdet mellem et af rækkens led og dets foregående led
r
a
a
n
n
+1
for
Nn
Bevis: Jeg vil ikke gå i detaljer med dette bevis, da det bygger på de samme ting som rodkriteriet.
Ideen er som i foregående bevis at sammenligne med en kvotientrække.Da
( )
Nnraar
a
a
nn
n
n
+
+
1
1
så vil
...,,,
23121 +++++
NNNNNN
raaraaraa
Dvs. fra nummer N er leddene i rækken mindre end eller lig med leddene i
kvotientrækken
...
2
++ rara
NN
, som konvergerer da r < 1 QED.
Som i rodkriteriet er den matematiske konklusion at hvis der findes et tal q så
q
a
a
n
n
n
=
+
→
1
lim
så konvergerer rækken når q < 1, divergerer rækken når q > 1, og når q = 1 er intet sikkert og der
kræves nærmere undersøgelse af rækken.
Eksempel: Jeg vil ved hjælp af kvotientkriteriet bestemme om følgende række er konvergent
...
27
6
4
2
1
1!
1
+++=
=n
n
n
n
Jeg finder forholdet mellem det n+1'te led og dets foregående:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
→→
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
nfor
e
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
1
1
1
1
1
11
1
!
1
!1
1
1
1
1
10
Matematisk analyse III, s. 186-187
- 9 -
Jeg ved at
( )
→→
+
nfor
e
n
n
1
1
1
1
jvf. eksemplet på s. 187 i Matematisk analyse - Bind III.
)2(37,0
1
dec
e
=
Fra et vist nummer N at regne vil
( )
1,0
1
1
1
1
−
+
e
n
n
dvs. at for n > N er
5,0
1
+
n
n
a
a
Heraf følger iflg. sætning 4 at rækken konvergerer.
Integralkriteriet
11
Den næste metode til at bestemme konvergens og divergens er ved hjælp af
integralkriteriet. Det er en metode til at sammenligne en række og en funktion om hvilken der
gælder at
n
anf =)(
.
Sætning 5: Hvis rækken
n
a
består af positive led og f er en aftagende, positiv, kontinuert
funktion for x
1. Hvis
n
anf =)(
for alle hele tal n
1, så gælder om rækken
n
a
og
det uegentlige integral
dxxf
1
)(
at de enten begge er divergente eller begge er
konvergente.
Bevis: Først vil jeg bemærke, at ved det uegentlige integral
dxxf
1
)(
forstås grænseværdien af det bestemte integral
dxxf
t
1
)(
for t gående mod uendelig.
Idet
f
er en aftagende funktion, så må det gælde at
(2)
n
n
Sdxxf
+1
1
)(
Som det også ses på figur 1.
Ud fra figur 2 kan man tilsvarende se, at det må gælde at
(3)
+
−
1
1
1
)(
n
n
dxxfaS
.
Af (2) ser jeg at hvis integralet divergerer, dvs.
11
Calculus and Analytic Geometry, s. 549-551
Figur 1
Figur 2
- 10 -
=
→
1
)(lim xf
n
,
så vil rækken
n
a
også divergere, da dens partialsummer altid er større end det tilsvarende
integral.
Omvendt ser jeg af (3) at hvis partialsummerne divergerer så må integralet også divergere.
Antag nu at
1
)( dxxf
konvergerer.
Jeg omformer (3) og får
+
n
n
dxxfaS
1
1
)(
.
Dette kan ved at benytte indskudsreglen skrives som
dxxfdxxfaS
n
n
−+ )()(
1
1
.
Og da
=
1
)( dxxfI
og
n
dxxf )(
kun kan være positivt må det gælde at
++
n
n
IadxxfaS
1
11
)(
.
Summen S
n
er derfor begrænset opefter af a
1
+ I som vist på figur 3.
S
1
S
2
S
3
..... a
1
+ I
Figur 3
Derfor konvergerer rækken
Den omvendte konvergens ses tilsvarende af (2).
Hermed har jeg vist, at rækken
n
a
og det uegentlige integral
dxnf
1
)(
enten begge konvergerer
eller begge divergerer. QED.
Eksempel: Jeg kan nu ved hjælp af integralkriteriet vise at den harmoniske række
....
1
....
3
1
2
1
1
1
1
+++++=
=
nn
n
er divergent.
Funktionen der svarer til den harmoniske række er
x
xf
1
)( =
, som jeg finder integralet til:
=
1
1
ln
1
xdx
x
Jeg finder så grænseværdien for dette uegentlige integral:
- 11 -
( )
==−=
→→→
bbx
bb
b
b
lnlim1lnlnlimlnlim
1
Da det uegentlige integral divergerer, divergerer den harmoniske række.
Restled
12
På trods af disse forskellige metoder til at se om rækker konvergerer eller divergerer, er
det sjældent, at man kan finde den eksakte sum af rækken. Derfor bliver man ved de fleste rækker i
praksis nødt til at beregne en partialsum, med den nøjagtighed, man har brug for. Et udtryk for
denne nøjagtighed er restleddet. En rækkes restled R
n
er defineret som forskellen mellem rækkens
nøjagtige sum S og den n'te partialsum S
n
. Dvs. den fejl man begår ved at benytte den n'te sum.
Restleddet er:
(4)
....
321
+++=−=
+++ nnnnn
aaaSSR
Sætning 6: Hvis rækken
=1n
n
a
og dens tilhørende uegentlige integral
1
)( dxxf
opfylder
betingelserne for integralkriteriet, så gælder der om restleddet fra (#) at
+
n
n
n
dxxfRdxxf )()(
1
Bevis: Hvis vi har et helt tal k, gælder der om den k'te partialsum a
k
at
−
+
k
k
k
k
k
dxxfadxxf
1
1
)()(
hvor
,....2,1 ++= nnk
Som det også ses på figur 4.
Restleddet er summen af alle led fra n + 1 til uendeligt,
som det ses i (4). Lige som i beviset af integralkriteriet
laver jeg en overvurdering og en undervurdering, hvor
restleddet er imellem.
Det overvurderede restled er
+
+=
+
=
1
1
1
)()(
n
nk
k
k
dxxfdxxf
,
og det undervurderede restled er
+=
−
=
1
1
)()(
nk
k
k n
dxxfdxxf
.
12
Calculus and Analytic Geometry, s. 552-554
Figur 4
- 12 -
Hermed har jeg bevist at restleddet ligger mellem
n
dxxf )(
og
+1
)(
n
dxxf
og sætning 6 er
bevist. QED.
Eksempel: Ved hjælp af denne viden om restled er det så muligt at bestemme det antal led, man
skal lægge sammen for at få den ønskede nøjagtighed af en sum.
Jeg ser på rækken
...
9
1
4
1
1
1
1
2
+++=
=n
n
og vil så finde ud af hvilken partialsum, der giver en nøjagtighed på to decimaler, dvs. 0,01.
Den tilhørende funktion er
2
1
)(
x
xf =
.
Om restleddet ved jeg ifølge sætning 6 at
nntxx
dx
x
dxxfR
t
t
n
t
n
nn
n
111
lim
1
lim
11
)(
2
=
+−=
−=
−==
→→
Heraf ses at R
n
er mindre end 0,01 såfremt
10001,0
1
n
n
Så for at opnå den ønskede nøjagtighed skal vi medtage de første 101 led.
- et irrationalt tal
Det har igennem hele historien været en udfordring for matematikere at finde det
irrationale tal med så mange decimaler som muligt. I starten var det af praktiske grunde, da der
var for stor unøjagtighed ved de første værdier. Men efter at man var nået op over nogle få
decimaler, spillede nøjagtigheden ikke længere nogen betydende rolle, og det blev mere et
spørgsmål om konkurrence og prestige.
13
I 1600-tallet dukkede de uendelige rækker op, og de blev
en stor hjælp til beregning af . Så fx i 1699 blev beregnet med 71 decimaler, men dette resultat
er blevet slået igen og igen. I dag bliver bl.a. uendelige rækker brugt som en målestok for hvor
hurtige computere er da udregning af med mange decimaler kan blive ganske omfattende. Den
nuværende rekord er i øjeblikket på imponerende 206 mia. decimaler
14
.
13
, s. 25-26
14
Pi news (internetside)
- 13 -
15
Jeg vil i dette afsnit fortælle om rækker der beskriver , og hvordan man har forbedret
dem. Til det vil jeg indføre funktionen arctan (arcustangens) der er den omvendte funktion af
tangens i intervallet
[;]
22
−
og kan derfor også kaldes tan
-1
. Grunden til at bruge arctan er, at den
kan rækkeudvikles og, den kan beskrive med denne række.
Sætning 7:
....
7
1
5
1
3
1
1
4
+−+−=
Bevis: Først skal definitionsmængden Dm(arctan) og værdimængden Vm(arctan) findes, og det er
lidt specielt, da tan ikke er injektiv og Vm(tan) = R. Man bliver derfor nødt til kun at kigge på den
i intervallet
[;]
22
−
, hvor den er injektiv. Da arctan er den omvendte til tan, må der derfor gælde
at
RVmDm == (tan)(arctan)
og
[;](tan)(arctan)
22
−== DmVm
Jeg vil nu differentiere arctan, da jeg får brug for dette resultat. Dette kan jeg gøre, da arctan er den
omvendte af en differentiabel funktion. Jeg ved også, at en funktions omvendte differentieret er
den reciprokke af funktionen differentieret:
( )
)('
1
)('
0
0
1
xf
yf =
−
, når
)(
00
xfy =
.
Af
)arctan()tan( yxxy ==
fås
(5)
22
1
1
)(tan1
1
)(tan'
1
)(arctan'
yx
x
y
+
=
+
==
.
Jeg vil så bevise, at arctan kan skrives som den uendelige række
(6)
]1;1[,....
753
)arctan(
753
−+−+−= t
ttt
tt
Til det laver jeg en funktion
)(tf
bestemt ved
....1)(
642
+−+−= ttttf
Og jeg ser kun på den i intervallet ]-1;1[ da den uden for dette interval divergerer og derfor ikke er
interessant.
Jeg ganger med t
2
på begge sider og får
....)(
6422
−+−= ttttft
Disse to udtryk lægger jeg sammen:
1....)1(....)()()(
6426422
=+−+−+−+−=+ tttttttftft
.
15
, s. 26-29
- 14 -
Jeg sætter
)(tf
uden for parentes og isolerer den:
2
2
1
1
)(1)1()(
t
tfttf
+
==+
.
Disse to udtryk for
)(tf
sætter jeg lig hinanden
2
642
1
1
....1)(
t
ttttf
+
=+−+−=
.
Jeg viste ovenfor i (5) at
2
1
1
)(arctan'
t
t
+
=
. Dvs. at
....1)(arctan'
642
+−+−= tttt
. Arctan fås nu
som stamfunktionen.
c
ttt
tt ++−+−= ....
753
)arctan(
753
Hvor c er den konstant, der skal lægges til, når man integrerer. Den finder jeg idet jeg ved at
arctan(0) = 0. Af det får jeg
0....
7
0
5
0
3
0
0)0arctan(
753
==++−+−= cc
Jeg har så vist at arctan kan beskrives med rækken (6)
Med denne række kan så beskrives da
( )
1tan
4
=
er
)1arctan(
4
=
, dvs.
....
7
1
5
1
3
1
1
4
+−+−=
QED.
16
,
17
Denne række kendte Nilakantha allerede omkring år 1500. Han var en indisk
matematiker, som man kender fra hans værk "Videnskabeligt samleværk" fra Men det
var Leibniz, der 170 år senere genfandt rækken, som i dag kaldes Leibniz række. Leibniz var
aldeles betaget af denne række pga. den enkle måde, hvorpå man kunne beskrive . Måske af den
grund blev det ham, som denne række blev opkaldt efter. På trods af at den er så dejligt enkel, så er
den meget dårlig til at beregne , da leddene hele tiden skifter fortegn og kun langsomt bliver små.
16
Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 44
17
, s. 29
- 15 -
Konvergenshastighed og forbedring af arctan
18
Det er dog muligt at få arctan-rækker til at konvergere meget hurtigere end en Leibniz
række. Hvis man kigger på arctan-rækken
]1;1[,....
753
)arctan(
753
−+−+−= t
ttt
tt
ses det, at jo mindre |t| er jo hurtigere bliver leddene små, og jo hurtigere vil rækken konvergere.
Så det må være en fordel at kunne udtrykke arctan ved så små værdier af t som muligt.
Eksempel: Jeg vil vise at formlen
(7)
( ) ( )
7
1
3
1
arctanarctan2
4
+=
fra bilag A gælder.
Da arctan er den omvendte funktion til tan gælder det
( )
3
1
3
1
tanarctan == vv
Ved at benytte formlen
v
v
v
2
tan1
tan2
)2tan(
−
=
finder jeg tan(2v)
( )
4
3
1
2
)2tan(
9
8
3
2
2
3
1
3
1
==
−
=v
Jeg laver følgende omskrivninger:
( ) ( )
( )
( )
( )
7
1
4
7
1
7
1
7
1
3
1
2tan
arctan2
4
arctan2
4
arctanarctan2
4
=−
=−
+=
+=
v
v
v
18
, s. 29-33
- 16 -
og beregner så
( )
v2tan
4
−
ved brug af formlen
( )
yx
yx
yx
tantan1
tantan
tan
+
−
=−
fås
( )
( )
( )
( )
7
1
4
3
4
3
4
4
4
11
1
2tantan1
2tantan
2tan =
+
−
=
+
−
=−
v
v
v
Da begge dele giver
7
1
er sætningen (7) bevist.
Fordelen ved en formel som (7) er, at man ved at medtage fx 10 led af rækkerne for
( )
3
1
arctan
og
( )
7
1
arctan
får en væsentlig større nøjagtighed på end ved ved at beregne de første 10 led at
Leibniz række.
19
Formlen
( ) ( )
239
1
5
1
arctanarctan4
4
−=
er endnu hurtigere og blev i 1873-74 - længe før
lommeregner og computer - brugt af William Shanks til at beregne med 707 decimaler.
Taylorrækken
20
Som nævnt i starten er det særlige ved Taylorrækker, at de kan tilnærme funktioner, der
ellers kan være svære at regne på. Til dette bruges Taylors formel
...
!
)(
...
!3
)('''
!2
)(''
!1
)('
)()(
0
)(
3
0
2
00
00
++++++=+
n
n
t
n
xf
t
xf
t
xf
t
xf
xftxf
hvor x
0
er den x-værdi man udvikler polynomiet fra.
I et specialtilfælde af denne formel er udviklinspunktet x
0
= 0 og hvis t erstattes med x følger
denne sætning
Sætning 8:
...
!
)0(
...
!3
)0('''
!2
)0(''
!1
)0('
)0()(
)(
32
++++++=
n
n
x
n
f
x
f
x
f
x
f
fxf
Denne sætning vil jeg bevise med et kort enkelt bevis.
Bevis: Jeg har givet en funktion f
(8)
...)(
3
3
2
210
++++= xaxaxaaxf
19
, s. 33
20
Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 111-113
- 17 -
For at finde a
0
, a
1
, a
2
, a
3
osv. differentierer jeg i princippet uendeligt mange gange
...
...232)('''
...5443322)(''
...432)('
3
6
2
543
3
5
2
432
3
4
2
321
osv
xaxaxaaxf
xaxaxaaxf
xaxaxaaxf
+++=
++++=
++++=
Sætter jeg så x = 0 bliver alle led hvor x indgår 0 og a
0
, a
1
, a
2
, a
3
,.... kan derfor let findes
...
!3
)0('''
!3)0('''
!2
)0(''
!2)0(''
!1
)0('
!1)0('
)0(
33
22
11
0
osv
f
aaf
f
aaf
f
aaf
af
==
==
==
=
Jeg indsætter dem i (8) og får netop Taylors formel med udviklingspunkt x
0
= 0. Q.E.D.
Eksempel: En af de funktioner, der kan være svære at have med at gøre, er e
x
pga. irrationaliteten
af e, men det er til gengæld en let funktion at tilnærme med Taylor, som jeg vil vise nu.
Jeg finder først de afledede til e
x
, hvilket er det der gør den til en let funktion at tilnærme da
xx
ee =)'(
så derfor er
x
exfxfxfxf ===== ...)(''')('')(')(
.
Jeg finder funktionsværdien i udviklingspunktet x
0
= 0.
1)0(
0
== ef
Jeg indsætter i Taylors formel
...
!
...
!3!2
1
...
!
1
...
!3
1
!2
1
!1
1
1
32
32
++++++=
++++++=
n
n
nx
x
n
xxx
x
x
n
xxxe
Dette er også metoden til at tilnærme e, for da e = e
1
giver det den smukke og enkle række
- 18 -
...
!4
1
!3
1
!2
1
11 +++++=e
.
Rækken konvergerer relativt hurtigt og ved at medtage blot de første fem led får vi 2,71 (2 dec),
tæt på den korrekte værdi 2,72 (2 dec).
Eksempel:
21
En anden funktion jeg gerne vil bestemme taylorrække for er den naturlige logaritme
lnx, der kom til at betyde meget i 1700-tallet. Da blev taylorrækken et værdifuldt redskab i
tabellægningen af lnx.
Jeg finder Taylorrækken der tilnærmer lnx.
For stadig at benytte udviklingspunkt x
0
= 0 parallelforskyder jeg funktionen 1 til venstre da lnx
ikke er defineret i x = 0. Så funktionen bliver ln(1+x)
Ligesom for e
x
differentierer jeg funktionen.
4)4(
3
2
1
)1(32)(
)1(2)('''
)1()(''
)1()('
−
−
−
−
+−=
+=
+−=
+=
xxf
xxf
xxf
xxf
( )
!36)0(
!22)0('''
1)0(''
1)0('
4
−=−=
==
−=
=
f
f
f
f
Nu kan jeg lave en generel formel:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
!11)0(1!11)(
11
−−=+−−=
+−+
nfxnxf
n
n
nn
n
Jeg indsætter i Taylors formel og får at
( ) ( )
( )
...
1
...
432
...
!
!11
...
!4
!3
!3
!2
!2
1
!1
1
0)1ln(
1
432
1
432
+
−
++−+−=
+
−−
++
−
++
−
++=+
+
+
n
n
n
n
x
n
xxx
x
x
n
n
xxxxx
22
Det ses ud fra denne formel, der kaldes logaritmerækken, at jo tættere x er på 0, jo hurtigere
konvergerer rækken, da leddene så går hurtigere mod 0 pga. potenserne.
21
Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 96
22
Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 97
- 19 -
Newton var en af dem, der arbejdede med at bestemme logaritmeværdier. Vi kan som eksempel se
på, hvordan han bestemte ln(2).
Ved at skrive tallet på følgende måde:
9,08,0
2,12,1
2
=
, og dernæst anvende de logaritmiske
regneregler, kunne han skrive ln(2) som
( )
)9,0ln()8,0ln()2,1ln(2
9,08,0
2,12,1
ln)2ln( +−=
=
De tre tal ln(1,2), ln(0,8) og ln(0,9) kan nu bestemmes af logaritmerækken med stor nøjagtighed og
relativt hurtigt ved at sætte x til henholdsvis 0,2 , -0,2 og -0,1.
23
At det nu var muligt at kunne bestemme lnx så let som det var tilfældet var en fantastisk ting for
matematikken. Det ses fx i Newtons arbejde, at han har været fascineret af muligheden for beregne
hidtil næsten ukendte størrelser med et stort antal decimaler. I hans notesbøger har man fundet at
han, en af historiens største matematikere, har beregnet ln(1,1) med over 50 decimaler. Og dette
kan næppe have haft nogen videnskabelig funktion. Dette er et eksempel på hvilken revolution i
regnekunsten, de uendelige rækker var, og hvilken vigtig funktion de kom til at spille i det 17. og
18. århundrede. Det blev fra da af muligt at udføre matematiske beregninger, der indtil da havde
været svære, langsomme og upræcise, meget lettere og mere nøjagtige.
23
Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 96
- 20 -
Litteraturliste
Jens Carstensen: Talfølger og rækker, 1. udgave, 1997
Torben Svendsen: π, 1. udgave, 1992
C. H. Edwards, Jr. og David E. Penney: Calculus and analytic geometry, 3. udgave
Lars C. Mejlbo: Uendelige rækker - en historisk fremstilling, Århus Universitet -
elementærafdeling nr. 19, 1983
A. F. Andersen, Harald Bohr og Richard Petersen: Matematisk analyse III, 1957
Internet:
Pi news, www.lupi.ch/PiSites/Pi-Rekord.html
Sekundær litteratur:
Jens Carstensen: Numeriske metoder, 1. udgave, 1995
Jens Carstensen: Bogen om e, 1. udgave, 1995