Value at Risk
L y n g b y T e k n i s k e G y m n a s i u m
S t u d i e r e t n i n g s p r o j e k t
F a g : M a t e m a t i k A o g
S a m f u n d s f a g B
V e j l e d e r 1 : P e r S k a f t e H a n s e n
V e j l e d e r 2 : S ø r e n L u n d s g a a r d
Alexander Kauffmann Vener 3.A
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
1 | Side
Indholdsfortegnelse
Abstract: ............................................................................................................................................................ 1
1. Indledning ...................................................................................................................................................... 2
2. Hvad er Value at Risk (VaR) ........................................................................................................................... 2
3. Anvendelse af Value at Risk ........................................................................................................................... 3
4. Beregning af VaR ........................................................................................................................................... 3
4.1 Delprocesser ............................................................................................................................................ 4
4.1.1 Sandsynlighedsfordeling ................................................................................................................... 4
4.1.2 Estimering af volatilitet..................................................................................................................... 7
4.1.3 Korrelation ........................................................................................................................................ 8
4.2 Matematiske modeller ............................................................................................................................ 9
5. VaR i større sammenhænge ........................................................................................................................ 10
5.1 Det økonomiske system ........................................................................................................................ 11
5.2 Beregning af VaR ................................................................................................................................... 14
5.2.1 step 1-6: .......................................................................................................................................... 14
7. Konklusion og vurdering af VaR ................................................................................................................... 16
7. Litteraturliste ............................................................................................................................................... 18
7.1 Bøger...................................................................................................................................................... 18
7.2 Internetsider .......................................................................................................................................... 18
Abstract:
This paper examines the use of the method Value at Risk, both as an investor tool and as a governance tool.
This will be done through an analysis of VaR as an investor tool, and all the necessary assumption and
calculations, and an analysis in which the necessary modifications of the investor tool are reviewed. This
paper will also examine the financial system and analysis how it growth.
The result of this analysis showed that only part of the investor tool can be used to calculate the risk in the
entire financial system, and to use this tool its necessary to describe the growth in the financial system as
stochastic process, also factors at inflation and unemployment need to be described.
Over all VaR as a governance tool, works fine, but it has some of the problems as the investor tool, because
of the use of historical data. The result of this is a false picture of the real risk, because of the assumption
that, the historical data describes the future.
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
2 | Side
1. Indledning
I alverdens økonomier er ofte behov for og/eller ønske om tidsmæssigt at kunne adskille indkomst fra
forbrug, gældende for både husholdninger, som ønsker at spare eller låne, til større globale virksomhed,
som ønsker at tiltrække fremmedkapital eller blot ønsker at placere overskudslikviditet andetsteds. Lige
præcis denne rolle spiller de finansielle markeder, da de tilbyder et bredt udbud af forskellige såkaldte
finansielle fordringer og instrumenter, hvoraf de mest almindelige er obligationer og aktier.
Kurser på sådanne fordringer er dog fleksible, det vil sige, at kurserne til hver en tid kan ændres, hvilket kan
føre til både positive og negative afkast på de gældende aktiver. Sådanne ændringer kan skyldes en lang
række bevægelser i det økonomiskessystem, hvilket skaber en usikkerhed på det finansielle marked. Denne
usikkerhed beskrives som risiko, da disse svingninger i kurserne kan give anledning til tab, og af denne
grund gøres der ofte brug af forskellige risiko værktøjer, deriblandt risikoværktøjet Value at Risk, et værktøj
som fortæller noget om sandsynligheden for det maksimale tab i den følgende tid.
Value at risk bruges af denne grund som investorværktøj i en lang række sammenhænge, men Value at Risk
kan også bruges i større sammenhænge, på blandt andet nationaløkonomisk niveau. Dette kræver dog, at
Value at Risk som investorværktøj modificeres. Dette vil blive diskuteret i følgende opgave, hvor en
gennemgang af de nødvendige modifikationer af Value at Risk værktøjet, samt betingelser og beregninger
vil blive beskrevet.
For at opnå fyldestgørende svar på overstående, vil Value at Risk, som investorværktøj, blive undersøgt
vha. af en grundig redegørelse for dets anvendelses områder, samt dets begrænsninger og mangler.
Herefter vil der følge en analyse af de enkelte led i beregningen af risikoen, samt en perspektivering til de
matematiske modeller til bestemmelse VaR, herindunder en vurdering af disse.
For at give læseren en dybere forståelse for anledningen til risiko, vil der i opgaven også være en kobling til
bevægelserne i det økonomiske system. Opgaven vil i forbindelse med dette bevæge sig ind på områder
som følgende; Konjunkturer, stagnation, stagflation, inflation, bobleøkonomi, kriser og forskellige
økonomier.
2. Hvad er Value at Risk (VaR)
Value at risk (VaR) stammer tilbage 1990’ernes økonomiske kriser, som nedlagde en lang række selvskaber
deriblandt Orange County, Barings og Daiwa,
1
alle beviser på konsekvenserne ved manglende markedsrisici
vurdering. Netop dette har ligget til grund for sammensætningen af en lang række risikoværktøjer,
deriblandt VaR, som er defineret som følgende:
”The worst expected loss over a given horizon, under normal markets conditions
and at a given confidence level”
2
1
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 23
2
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 23
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
3 | Side
Det vil sige, at Value at Risk er et mål, som angiver det maksimale tab, over en given tidsperiode, indenfor
et bestemt konfidensinterval, under normale markedsforhold.
Et eksempel på Value at Risk kunne derfor f.eks. være en hvilken som helst finansiel institution med et VaR
på 35 mio. DKK, med en horisont på 14 dage og et konfidensinterval på 99 %, hvilket vil sige at institutionen
med 99 % sandsynlighed ikke vil tabe mere end 35 mio. DKK indenfor de næste 14 dage, og med 1 %
sandsynlighed vil institutionen tabe mere end 35 mio. DKK inden for de næste 14 dage.
Et sådan mål er en nødvendighed for en lang række finansielle institutioner, som er afhængige af forskellige
fordringer og risikofaktorer på det finansielle marked, som f.eks. renten, aktiekurser, obligationer eller
lignende.
3. Anvendelse af Value at Risk
Overordnet kan risiko defineres som risikoen for tab, men for at bruge VaR som et mål for risiko, er det
nødvendigt at identificere sin risiko, dvs. specificere den. Et eksempel på dette kun f.eks. være variation på
råvarepriser, ændringer af renten eller afkastets variation på en portefølje.
Renterisiko for eksempel risikoen for, at værdien af en portefølje af rentebærende værdipapirer ændres,
ved ændring af renteniveauet
3
. VaR til beregning af renterisikoen vil derfor ofte være tilegnet indehavere af
obligationer eller lignende aktiver, som er afhængige af renteniveauet.
I overstående eksempel bruges VaR altså som et risikovurderings værktøj, ved at angive et mål for risikoen,
men VaR kan også bruges som et værktøj til risikostyring. Når VaR bruges til styring af risikoen, beregner
VaR den position i porteføljen, som har den største indflydelse på den samlede risiko. Dette giver mulighed
for at ændre på denne position og derved mindske den samlede VaR.
VaR bruges dog også i langt større sammenhænge på nationaløkonomiskniveau. Her bruges VaR i
forbindelse med administration af ressourcer.
4
I modsætning til VaR, som investorværktøj, angiver denne
form for VaR ikke det maksimale tab, men derimod det maksimale acceptable tab i form af f.eks. reduceret
produktions niveau. I forbindelse med beregning af VaR på nationalt økonomisk plan, er det ligeledes
nødvendigt at identificere sin risiko, men da risikoen i det samlede økonomiske system kommer af en lang
række forskellige faktorer. Dette kræver dog en række ændringer i de traditionelle VaR modeller, mere
herom senere.
4. Beregning af VaR
Overordnet findes der to måder hvorved VaR kan bestemmes, Local-valuation og Full-valuation.
5
Local-
valuation adskiller sig fra Full-valuation i det den indeholder antagelser om statistisk sandsynligheds-
3
http://www.banktorvet.dk/oekonomi/renterisiko/
4
http://en.wikipedia.org/wiki/Value_at_risk (Best pratice in governance)
5
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 206
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
4 | Side
fordeling, og estimerer parametre som middelværdi og standardafvigelse.
6
Ved brugen af Full-valuation,
gøres der brug af historisk data til prissætning af hele porteføljen, hvilket gøres ved at simulere en række
forskellige scenarier for enten aktivet eller risikofaktoren via den mængde historisk data for den
pågældende variable.
4.1 Delprocesser
Fælles for disse måder at bestemme VaR er dog, at de begge indeholder en række delberegninger og
antagelser om risikofaktorens bevægelser. I dette afsnit vil disse beregninger og antagelser blive
gennemgået.
4.1.1 Sandsynlighedsfordeling
For kunne vurdere risikoen ved hjælp af Full-/Local-valuation, er det nødvendigt at estimere en statistisk
sandsynlighedsfordeling for variationen i enten afkastet for de pågældende aktiver eller for risikofaktoren.
En sandsynlighedsfordeling angiver sandsynligheden for, at en given stokastisk variable X tilhører en given
delmængde A af reelle tal. Dette skrives rent matematisk som følgende:
7
Aksiom 1: En stokastisk variable er en funktion X fra sandsynlighedsrummet Ω til de
reelle tal i udfaldsrummet E
8
I forbindelse sandsynlighedsfordelinger eksisterer der to overordnet typer, diskrete og kontinuerte. En
diskret variable kan kun antage de mulige værdier, et eksempel på dette kun være en terning, her vil den
diskrete variabel kun kunne antage tallene 1,2,3,4,5,6. Den kontinuerte kan derimod antage alle værdier,
hvilket f.eks. er tilfældet for aktiver. Til beregning af VaR skal der derfor gøres brug af en kontinuer
sandsynlighedsfordeling.
Dernæst bestemmes sandsynlighedsfordelingen via tæthedsfunktionen og fordelingsfunktion.
Tæthedsfunktionen angiver sandsynligheden for at en stokastisk variable er lig et punkt .
Fordelingsfunktionen derimod angiver sandsynligheden for at X højst er lige punktet x. Derfor gælder
følgende:
9
I forbindelse bestemmelse VaR ved hjælp Local-valuation er overstående dog ikke relevant, da det i Local-
valuation antages, at aktiverne følger en normalfordeling, og derved er tæthedsfunktion og
6
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 206
7
Denstoredanske.dk - Sandsynlighedfordeling
8
Kolmogorov aksiomer – Denstoredanske.dk
9
Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – s. 84
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
5 | Side
fordelingsfunktionen allerede givet. I Full-valuation estimeres sandsynlighedsfordeling dog ved hjælp af en
stokastisk proces hvilket gør overstående relevant, herom senere.
At der i Local-valuation antages, at de finansielle aktiver følger en normalfordeling skyldes, at man gennem
en række forskellige beregninger har vurderet, at disse aktiver i størstedelen af tilfældene følger denne
fordeling.
Navnet normal kommer af, at denne fordeling kan bruges i en lang række sammenhænge, dette skyldes at
den gør brug af ”central limit theorem”
10
hvilket betyder at variablerne går mod en normalfordeling når
antallet øges, dette skaber også den klokkeformet form som normalfordeling har. En normalfordeling har
to parametre, middelværdien µ, og standardafvigelsen
, så hvis en stokastisk variable X er normal fordelt
skrives den derfor op som følgende:
For en normalfordeling gælder det dog også at middelværdien µ, er lig 0 og standardafvigelsen/variansen
, er lig 1, men da dette sjældent er gældende for finansielle aktiver bruges en standardiseret
normalfordeling. Dette gøres ved at lave en omregning mellem variablen X og en ny standardiseret variable
Z, dette gøres ved følgende formel:
11
For at beregne Z er som vist i formlen nødvendigt at kende middelværdien og variansen. Middelværdien er
dog ligeledes afhængig af hvor vidt det er en diskret eller kontinuert fordeling, for en diskret fordeling er
middelværdien defineret som følgende:
Hvorimod den kontinuerte er defineret som følgende:
Ud fra middelværdien kan varians dernæst bestemmes, variansen er defineret som følgende:
men kan dog reduceres til
. For at bevise det er det dog
nødvendigt at gøre brug af følgende aksiomer:
Aksiomer 2-4: (U,p) er et sandsynlighedsfelt hvor tre stokastiske variabler er tilknyttet,
X, Y, Z. Til U hører observationer
og derudover er det givet af
som
er konstant:
2.
. 3.
4.
12
10
Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – s. 116
11
Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – s. 116
12
Statistik I – L. Brøndum – Side. 62 – (beviser for disse findes i bilag)
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
6 | Side
Ved hjælp af disse kan definitionen nu bevises således:
Derfor kan det endelig udtryk for Z, skrives op som følgende:
Efter at have dannet den nye standardiseret variable Z, kan normalfordeling for denne indtegnes som en
graf, med den givende varians og middelværdi. Til dette skal tæthedsfunktionen for en normalfordeling
bruges. Denne er givet vedfølgende:
13
Dernæst vil sandsynligheden være lige arealet i
det givende konfidensinterval undergrafen.
Værdien for Z er dog ikke nødvendig at beregne,
da den kan slås op i en tabel over z værdier i en
normalfordeling, og da man i beregning VaR ofte
gør brug af konfidensintervallerne 95 % og 99 %,
vil Z henholdsvis have værdierne (2.326) og
(1.645)
14
Ulempen ved at gøre brug af en normalfordeling
er, at dens haler er tyndere, og undervurdere
derfor tabet i de 1-5 % tilfælde som VaR han
angivet. Det vil sige at der i tilfælde at krak eller
lignende vil opstå større tab end forventet.
Derfor gøres der ofte brug af en student t-
fordeling. Dette skyldes at student t-fordeling
har federe haler end normalfordeling derved
undgås det tabet undervurderes
15
13
Statistik for civiløkonomer – side. 116
14
http://dirac.ruc.dk/~jl/statistikkursus/E2007/tabeller.pdf
15
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 91
Figur 4.1; I overstående figur ses det hvordan normalfordelinger
fordeler sig, for fire forskellige variabler med forskellige varianser, og
en middelværdi på 0. Den gule linje har den laveste varians på 0,5,
den røde på 0,75, den grønne på 2, og den blå på 5. Hvilket også kan
ses på grafen.
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
7 | Side
4.1.2 Estimering af volatilitet
Hvis man kigger tilbage på definitionen på risiko, ses det en af definitionerne er volatilitet af afkastet på
finansielle aktiver, af denne grund må det også gælde, at hvis volatiliteten stiger, vil VaR ligeledes stige.
Derfor jo højere volatilitet, desto højere risiko. Volatiliteten af afkastet på et aktiv, kan også beskrives som
variansen på en stokastisk variable, som der i sidste afsnit blev vist var givet ved følgende:
Det er dog svært at estimere en præcis volatilitet for et aktiv, da volatiliteten estimeres ud fra historisk
information, hvilket sjældent giver et korrekt billede at fremtidens volatilitet, da fortidens volatilitet ofte er
bygget på tidligere usikkerhed på det finansielle marked
16
. En sådan usikkerhed på det finansielle marked
vil ofte påvirke risikofaktoren hvorved afkastet på aktivet vil ændres.
Af denne grund er der blevet konstrueret en række forskellige modeller til estimering af volatiliteten. Disse
modeller, deriblandt den mest udbredte GARCH modellen, er designet til at lægge større vægt på nyere
information. Volatiliteten af afkastet på et aktiv, kan dog også beskrives som variansen på en stokastisk
variable, som der i sidste afsnit blev vist var givet ved følgende:
I beregning af volatilitet i forbindelse med VaR gøres der ofte brug af et glidende gennemsnit for variansen,
dette gøres ved at erstatte ældre data med ny data, og dernæst beregne den gennemsnitlige varians.
Derfor divideres der med parameteren n, som angiver et forudbestemt interval, f.eks. 20 dvs. er
beregningen indeholder data for en periode af 20 dage, og derfor ser formlen således ud:
17
Overstående formlen kan nu omskrives således, at den kan bruges i et økonomisk perspektiv, dette gøres
ved at indsætte afkastet på aktivet i tiden t, som den stokastiske variable, dernæst erstattes middelværdien
med
, således at variansen er afhængig det faktiske afkast og ikke det forventede afkast, årsagen til dette
er, at der i de fleste finansielle serier er en utrolig lille forskel i det forventede afkast altså E(r)
18
. Formlen
for det gennemsnitlig varians over perioden M ser derfor således ud:
19
Problemet ved denne måde at bestemme variationen på er, at hver gang ny date kommer med i
beregningen, vil gammel data (M + 1) blive slettet, dette vil give store variationer i volatiliteten, hvis
antallet af dage M er lavt, for at opretholde et stabilt niveau er det derfor nødvendigt med en større
16
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 186
17
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 186
18
Valie at Risk – Phillippe Jorion – s. 186
19
Valie at Risk – Phillippe Jorion – s. 186
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
8 | Side
mængde data. Dette giver dog anledning til et nyt problem da det er blevet bevist af volatiliteten ikke er
stabil men variere over tid.
20
Derudover ses at de enkelte dages data vægtes lige meget (1/M), men da
gammel data sjældent repræsenterer fremtidens udvikling, vil dette ligeledes give en forkert volatilitet.
Derfor bruger man i stedet GARCH modellen, der i modsætning til det glidende gennemsnit tager
udgangspunkt i, at dataet vægter forskelligt, dvs. er den nyeste data vægter mest.
GARCH (1.1) er givet ved følgende:
Her ses det hvordan den betingede volatilitet
, er afhængig af den tidligere periodes volatilitet
, og
den forrige periodes afkast
. Dette vil betyde, at hvis den forrige periodes volatilitet var høj, vil den
følgende periodes volatilitet ligeledes være høj. I denne formel er der yderligere to parametre , som
skal estimeres. Det er dog vigtigt at have for øje at disse modeller ikke kun bruges til at bestemme
volatiliteten for afkastet på et aktiv, derimod også til at bestemme volatitliteten på risikofaktoren.
4.1.3 Korrelation
I en lang række sammenhænge vil det være tydeligt hvordan forskellige variabler er mere eller mindre
afhængige af hinanden, det kunne f.eks. være højden X og vægten Y hos en person, da vil disse to variabler
være positivt korrelaterede, da de har en lineær sammenhæng, hvis den en variable reduceres, ville den
anden variabel ligeledes falde grundet deres korrelation
Definition: Korrelation er i statistik et mål for den lineære sammenhæng mellem to
stokastiske variabler, jo større korrelation desto større sammenhæng.
21
Korrelationen kan variere intervallet -1;1, og beskriver derved hvor vidt variabler er modsatrettede,
uafhængige eller ensrettede, to stokastiske variabler med en korrelation på 0 vil altså være uafhængige,
hvorimod to variabler med en korrelation på -1 vil stige når den ene falder. I forbindelse med portefølje
sammensætning er det derfor oplagt at sammensætte negativ korrelaterede aktiver, da dette vil mindske
risikoen for tab, dog vil dette ligeledes medfører et begrænset afkast, da der jo vil være tab på den ene
aktiv når er der en positivt afkast på det andet. Korrelationen er givet ved:
22
Her ses det at korrelationen er afhængig af standardafvigelsen, samt kovariansen for de variabler, altså
afhængigheden mellem de to variabler. Kovariansen er givet som følgende:
23
men kan dog også udtrykkes som
Dette kan bevis ved følgende:
20
Value At Risk – Philippe Jorion – s. 117
21
Denstoredanske.dk - Korrelation
22
Statistik for civiløkonomer – side. 144
23
Statistik for civiløkonomer – side. 143
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
9 | Side
Derudover kan Var(Y) beregnes som
dette skyldes at det gælder at Y = a*X +b.
24
Dette kan også bevises ved følgende:
25
Derfor kan udtrykket for korrelationen nu skrives op som følgende:
Overstående formlen kan nu bruges således, at sammenhængen mellem en risikofaktor og et aktiv kan
bestemmes. Et eksempel på dette kunne f.eks. være renten som risikofaktoren og en obligation eller
portefølje som den anden variable, her ville korrelationen angive ændringen af obligationens værdi, som
funktion af ændringen af renten, dvs. at renten i dette tilfælde vil være den underliggende risikofaktor.
4.2 Matematiske modeller
Som beskrevet i starten af afsnittet kan VaR overordnet bestemmes på to forskellige måder, Full-
valuationen og Local-valuation. Hvis VaR bestemmes via Local-valuation gøres der som regel brug af
modellen Delta-normal, som angiver ændringen i aktivets værdi, som funktion af ændringen af
risikofaktoren, dvs. korrelationen.
Ved brugen af delta-normal bruger man dog i stedet for korrelation begrebet modified duration, som
angiver hvor mange procent kursen på aktivet eller porteføljen vil ændre sig, når risikofaktoren eller sig
med en procent. Ændringen i kursen, altså delta(V) er derfor givet ved følgende:
24
Mat A – mat.systime.dk – s. 266
25
Mat A – mat.systime.dk – s. 266
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
10 | Side
26
I overstående formel er ændringen aktivets værdi, altså givet ved den modified duration, multipliceret med
ændringen i risikofaktoren, multipliceret med aktivets nuværende værdi. I overstående formel ses det også
at der i tilfælde af en negativ ændring i renten vil forekomme en tilvækst i aktivets værdi.
Risikoen derimod, dvs. VaR, er dog ikke givet ved overstående, da overstående, som beskrevet, beskriver
ændringen af kursen. VaR er som tidligere beskrevet givet ved, det værst mulige tab, over en given periode,
inden for et forudbestemt konfidensinterval. VaR er derfor givet ved følgende:
27
I overstående formel ses det at VaR, er afhængig af den modified duration, samt konfidensintervallet og
standardafvigelsen på ændringen af risikofaktoren. I forbindelse med denne formel er det dog vigtigt at
huske at det antages standardafvigelsen på risikofaktoren er normalfordelt. Overstående formel kan dog
ved hjælp af de forrige afsnit omskrives til følgende, når det samtidig antages at den modified duration kan
beskrives som en korrelation, som må forventes at være negativ, da afkastet og risikofaktoren er
modsatrettet, derudover bruges GARCH modellen til at bestemme variansen, dvs. volatiliteten:
Og da man i VaR ofte arbejder i konfidensintervallerne 95 % og 99 % kan Z erstattes med værdierne (2.326)
og (1.645)
28
som angiver værdierne for konfidensintervallerne i en normalfordeling.
Overstående er dog også den model største ulempe, da der grundet antagelsen om normalfordeling ikke
tages højde for federe haler i fordelingen, og derved undervurderes risikoen for ekstreme variationer i
risikofaktoren, og derved undervurderes det maksimale tab.
Af denne årsag er Full-valuation metoderne blevet udviklet, disse gør ikke brug af antagelser om
normalfordeling, men beskriver i stedet risikofaktorens bevægelse som en stokastisk proces. Denne model
vil blive beskrevet yderligere i afsnittet om VaR i større sammenhænge
5. VaR i større sammenhænge
Efter brugen af VaR er blevet mere og mere populær som investorværktøj, er man i den seneste tid
begyndt at bruge VaR på nationaløkonomisk plan, dette kræver dog, som tidligere beskrevet, en
modificering af de traditionelle VaR modeller. Før VaR kan bruges er det dog som tidligere beskrevet
26
Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 207
27
Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 207
28
http://dirac.ruc.dk/~jl/statistikkursus/E2007/tabeller.pdf
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
11 | Side
nødvendigt at identificere sine risikofaktorer, derfor vil det følgende afsnit være en gennemgang af det
økonomiske system.
På nationaløkonomisk plan vil VaR ofte blive brugt til at beregne det maksimalt acceptable tab, f.eks. i form
sænket produktion, som resultat af svækket konkurrenceevne, inflation, stagflation, bobler, eller lignende.
Efter en mulig afsløring af en sådan tendens, er den muligt f.eks. at hæve renten, da dette vil begrænse
inflationen. I denne sammenhæng fungere VaR altså som risikostyringsværktøj.
5.1 Det økonomiske system
Væksten i det økonomiske samfund er defineret som en stigning i den samlede samfundsproduktion.
Denne produktion består af en række processer, som alle skaber en økonomisk tilvækst, dette kunne f.eks.
være produktionen af en række f.eks. række varer, eller forskellige tjenester/ydelser produceret af
samfundet. Overordnet bliver væksten skabt ved hjælp af tre produktionsfaktorer; Realkapital,
arbejdskraft, og råstoffer, hvor realkapital udgør ressourcerne, som f.eks. maskiner og lignende, som indgår
i produktion af det aktuelle produkt. I tilfælde af en vækst i samfundsproduktion, vil der i de tre
overstående faktorer altså ligeledes være vækst. Væksten er sig selv styret af efterspørgslen på markedet,
såfremt at der er ubegrænset ressourcer, efterspørgslen styres dernæst af en række forskellige aktører, det
private, det offentlige og eksport til udlandet. Dog begrænser import efterspørgslen fra det private og
offentlige.
Overordnet set kan man dog sige at væksten i samfundsproduktionen kan defineres som en trend, det vil
sige en gennemsnitlig tilvækst i BNP, denne ligger som regel på 2 %,
29
dog forekommer der ofte afvigelser
fra denne trend i form af svingninger, disse svingninger kaldes for konjunkturer og afspejler den
økonomiske tilstand på markedet. Konjunkturerne kan deles op i to typer, høj- og lavkonjunktur, og er
afhængige er række f.eks. variabler i makroøkonomien, hvor af de mest vigtige er arbejdsløshed, tilvækst
og inflation.
Ved lavkonjunktur vil der typisk opleves en vigende produktion, dette skyldes ofte en begrænset
efterspørgsel, hvilket resulterer i reducering i produktionen. I det produktionen reduceres vil efterspørgslen
på arbejdskraft ligeledes falde, hvilket vil betyde at arbejdsløsheden vil stige. Når man i samfundet derfor
oplever kortvarende kriser kan disse derfor beskrives som konjunkturkriser, hvis der derimod tegner sig en
trend for denne krise, vil samfundet opleve en så kaldt vækstkrise
30
Lavkonjunkturer karakteriseres dog
typisk
I tilfælde af højkonjunktur vil man opleve en tilvækst i produktionen og salget. Dette medfører et øget pres
på arbejdskraften og af denne grund øges beskæftigelsen, hvorved arbejdsløshed falder. Karakteristisk for
højkonjunktur er derfor en øget tilvækst i samfundsproduktion, dvs. en vækst i realkapitalen og
arbejdskraften. Under højkonjunkturer vil der som resultat af det øgede salg, ofte opleves en inflation, som
både betyder prisstigninger og lønstigninger. Dette medfører dog en række konsekvenser som bekræfter
29
Krise eller ej – Peter Denick – s. 8
30
Krise eller ej – Peter Denick – s. 7
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
12 | Side
keynesiansk stagflationsteori, som indfører begrebet konkurrenceevne. Keynesiansk stagflationsteori
beskriver hvordan inflationen i samfundet svækker landets konkurrenceevne.
31
Definition: Konkurrenceevnen betegner den evne, som et lands produktion har til at
fastholde eller udvide markedsandele i konkurrence med andre landes produktion –
enten på eksportmarkederne eller på indenlandske marked.
32
Et lands konkurrenceevne må antages at være afhængige af dets egenskab til at sælge varer billigere end
hvad andre lande kan udbyde varerne til, hvis et land altså ikke er i besiddelse af denne egenskab betyder
det altså, at konkurrence evnen svækkes, hvilket indebærer to ting; For det første medfører det, at den
danske eksportvirksomhed ikke får afsat deres produkter, hvilket resulterer i en lavere produktion. For det
andet vil det betyde at firmaer, som producere produkter til hjemmemarkedet, vil komme i større
konkurrence med udenlandske producenter, hvorved deres produktion vil reduceres.
En svækkelse af et lands konkurrence evne vil derfor resultere i en reducering af produktionen, både til
hjemmemarkedet og til eksport, hvilket vil betyde et fald i beskæftigelsen, og dermed en voksende
arbejdsløshed.
33
En af de steder hvor overstående kan få store konsekvenser er for landes offentlige budgetsaldoer, som er
givet ved forskellen mellem indtægterne og udgifterne for landet. Dette skyldes at udgifterne i tilfælde af
overstående øges, da flere penge skal bruge til bistand og lignende grundet den voksende arbejdsløshed.
En anden følge virkning ved højkonjunktur, og inflation er en illusionen af velstand, også kaldet en
markedsboble. En sådan boble fører ofte til, at der spekuleres i priser på aktiver ejendomme osv. Hvilket
resulterer i, at renterne sænkes, og flere låner penge, derudover vil kurserne stige på aktiver, samt prisen
på boliger stige. Problemet ved dette fænomen opstår i det sekund hvor korrektionen indtræffer, og
pengemængden korregere til den aktuelle værdi, dvs. langt under spekulationsværdien. Når en sådan boble
springer kan det i værste fald føre til konkrette krak, og finansielle kriser.
34
Et eksempel på dette kan f.eks. findes i den nuværende finanskrise, som er gået fra at være en globalkrise i
USA, til en verdensomspændende finanskrise. Her startede det hele i USA, som gennem i perioden 2001-
31
Krise eller ej – Peter Denick – s. 42
32
Krise eller ej – Peter Denick – s. 42
33
Krise eller ej – Peter Denick – s. 42
34
http://da.wikipedia.org/wiki/%C3%98konomisk_boble
Højkonjunktur Inflation Lønstigninger Prisstigninger
Svækket
konkurrenceevne
Nedgang i
produktion
Arbejdsløshed
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
13 | Side
2005 oplevede større inflation på huspriserne, dette medførte, at kreditinstitutterne gennem 2003 og
2004, lavede et rekordhøjt antal suprimelån med utrolig lave renter til en værdi af 100 mia. dollars, dvs. lån
til folk med lav kreditværdighed, som satte deres lån i boliger, med helt op 97 % belåning.
35
Dette var der som sådan intet problem så længe opsvinget fortsatte, men som tidligere beskrevet forsætter
højkonjunkturer sjældent, hvilket også var tilfælde for boligmarkedet i USA i 2005. I 2006 stoppede
stigningerne på boligmarkedet endeligt, hvilket så medførte at flere og flere satte deres belånte hus til salg,
men henblik på at tilbage betale lån, og stadig have penge til gode. Men da flere og flere satte huse til salg
begyndte ejendomspriser at dykke, og som resultat af dette steg renten. I 2007 stod nu så galt til på det
Amerikanske boligmarked, at folk solgte deres huse til under deres gældsbyrde.
36
Dette skabte et totalt gældsramt amerikansk marked, som sendte aktie kurserne i frit fald.
35
Som verdens
største økonomi betød dette også at resten af verdens aktiekurser flyttede med. I Juli 2007 satte det
danske aktie marked rekord, med en totalværdi på 1640 mia. kr., men blot 18 måneder senere var det
danske aktiemarked faldet til næsten det halve, nemlig 840 mia. kr. som reaktion på det amerikanske
aktiemarked.
37
Efterfølgende har en lang række fulgt trop, men på den anden side af nedturen findes også.
Kina.
Kina har i de seneste år på trods af den nuværende finanskrise oplevet så store opsving at man siden 2007,
kun har sagt det var et spørgsmål om tid før boblen ville sprænge. Mens Danmarks BNP i gennemsnit
vokser med 2 % årligt vokser Kinas med hele 11,9 % pr. kvartal i 2010.
38
Dette bevidner om en økonomi som
for alvor er i vækst. Hvilket også har ført til at Kina nu er verdens anden største økonomi, med en BNP på
1.337.000 mia. dollars. Men spørgsmålet er derfor nu hvor vidt boblen egentlig vil sprænge? Dette er dog
svært at svare på, da Kina i storedele af 2010, har brugt enorme ressourcer på at reducere pengemængden
som var i omløb, blandt andet ved at øge kapitalkravet for landets banker, hvilket har betydet, at bankerne
har beholdt større dele af kundernes indlån. Priserne på det kinesiske boligmarked og aktiemarked er dog
stadig langt over den egentlige indre værdi, og står derfor stadig overfor muligheden for sammen skæbne
som USA’s boligmarked oplevede
39
. Kina har dog den fordel ikke at være nært så afhængige af deres
eksport, da 2/3 af væksten dækkes af hjemmeforbruget.
40
Lige præcis dette er også forskellen fra den
amerikanske økonomi, for i modsætning kan Kina’s hjemmemarked trække væksten, hvilket gør dem
uafhængige af udenlandske investeringer.
Ud fra dette afsnit kan det altså konkluderes at for at opretholde økonomisk stabilitet, er det nødvendigt at
begrænse konjunktur udsvingene, og dermed også inflationen, arbejdsløsheden, og for stor tilvækst til BNP,
da dette ligeledes er tegn på økonomiske bobler som giver anledning til ustabilitet, og i værste tilfælde
krak.
For at opnå en krisevækst er derfor en række betingelser som skal opfyldes ifølge den marxistiske
kriseteori. For det første skal den samlede producerede merværdi realiseres, hvilket vil sige at
35
http://npinvestor.dk/nyheder/baggrund-subprime-laan-som-ringe-i-vandet-155562.aspx
36
Finanskrisen – forblændelse, forglemmelse og forgældelse - Søren Ellemose - s. 18-19
37
Finanskrisen – forblændelse, forglemmelse og forgældelse - Søren Ellemose - s. 9
38
http://www.berlingske.dk/verden/kinas-oekonomi-vokser-med-naesten-12-procent
39
http://borsen.dk/nyheder/oekonomi/artikel/1/176523/kina_frygter_bobler_paa_aktie-_og_boligmarkedet.html
40
http://www.business.dk/oekonomi/usa-tager-fejl-kinas-vaekst-skyldes-kinesisk-forbrug
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
14 | Side
efterspørgslen fra forbrug og investering skal modsvare værdien af den samlede produktion. Dernæst
kommer en betingelse om, at produktionen sammensætning f.eks. med hensyn til fordelingen på forbrugs-
og investeringsvarer rent faktisk modsvarer sammensætningen af efterspørgslen. Den vigtigste betingelse,
som muliggør dette i en kapitalistisk økonomi er, at kapitalisterne opnår en tilfredsstillende profitrate, når
de sammenholder den realiserede merværdi med den samlede udlagte kapital i produktionssektoren.
Specielt flere af overstående faktorer kan dog vride denne balance, blandt andet lavkonjunktur, og
faldende profitrate, men også en styrket position i arbejdskraften vil kunne skævvride balancen. Derfor er
disse betingelser tæt på umulige af opfylde.
41
5.2 Beregning af VaR
I afsnittet om beregning af VaR blev Local-valuation gennemgået, og det blev beskrevet hvordan denne
metode brugte antagelser om normalfordeling. Det vil i forbindelse med beregning af VaR i denne
sammenhæng skabe en række problemer, hvilket skyldes at risikofaktorerne for et helt landsøkonomi ikke
er normalfordelte.
Derfor vil i stedet brugen af Full-valuation være oplagt, og mere specifikt monte carlo simulationen, som
beskriver risikofaktorenes bevægelse som en stokastisk proces, dvs. f.eks. en proces som beskriver
arbejdsløsheden, eller BNP tilvæksten.
Som tidligere beskrevet er det i alle tilfælde nødvendigt at definere sin risiko og sine risikofaktorer, i forrige
afsnit blev det økonomiske system beskrevet, samt hvilke risikofaktorer der er, her blev det konkluderet at
specielt konjunktur udsving, i form af inflation, arbejdsløshed, tilvækst og bobler var de vigtigste
risikofaktorer, med indflydelse på den offentlige budgetsaldo.
For at beregne VaR ved hjælp af Monte Carlo metoden gennemgås følgende step:
42
1. Bestem risikofaktorer
2. Opstil stokastisk model, for risikofaktorens bevægelse.
3. Vælg driftfaktor, samt relevante parametre som f.eks.
volatilitet af arbejdsløsheden, vækst i BNP og inflationen.
4. Simuler produktionens varians for alle risikofaktorerne
5. Estimer fordeling, og beregn VaR ud fra det mest relevante fraktil.
Men for at denne metode kan bruges i denne sammenhæng, må det maksimale acceptable tab angives.
6. det maksimale acceptable tab angives
5.2.1 step 1-6:
1. Bestem risikofaktorer
41
Krise eller ej – Peter Denick – s.
42
Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 247
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
15 | Side
I samfundsanalysen blev det konkluderet at inflation, og enorm vækst i BNP da dette kan fører til
bobler, disse var de største risikofaktor, som vil medføre den største risiko for tab i form af f.eks. nedsat
produktion hvilket fører til en lavet budgetsaldo.
Dog er det her vigtigt at huske at arbejdsløsheden også kunne være definitionen på risikoen, da
stigende arbejdsløshed ligeledes giver anledning til laver budgetsaldo.
2. Opstil stokastisk model for risikofaktorerne
Dette punkt kan ikke direkte udføres, da det kræver dybere indsigt i markedet og faktorenes
bevægelser. En stokastisk proces for f.eks. renten kunne dog se således ud:
43
3. Vælg drift faktor, samt relevante parametre
Den relevante driffaktorer, vil i denne sammenhæng være efterspørgslen, da produktionen drives af
denne. Blandt de væsentlige parametre er der blandt andet volatiliteten på arbejdsløsheden, volatilitet
i BNP, men også korrelationen med overstående er væsentlig
Dette kan som tidligere vist gøres ved hjælp af GARCH modellen, som kan beskrive variansen, og
dernæst kan følgende formel bruges til beskrivelse af korrelationen:
Her ville produktion ofte være den ene variable, og risikofaktoren som en den anden stokastiske …….
…….variable, dog kunne man også forestille sig en korrelation mellem risikofaktorerne, hvilket ligeledes ville
…….kunne bestemmes ud fra formlen om korrelation.
4. Simuler produktionens varians for alle risikofaktorerne
Dette gøres ved hjælp af simulation, hvorved de stokastiske modeller for risikofaktorerne, samt
parametrene inddrages
5. Estimer fordeling, og bestem VaR ud fra den relevante fraktil
Her er det nødvendigt at estimere en tæthedsfunktion og fordelingsfunktionen og dernæst estimeres
fordelingen ud fra tætheds- og fordelingsfunktionen, hvorved VaR kan udregnes på den relevante
fraktil.
6. Det maksimale acceptable tab angives
Når det maksimal tab er angivet er det muligt at kontrollere hvor vidt risikoen for tab, som resultat af
nedsat produktion overstiger det maksimal acceptable tab, og i tilfælde af e f.eks. renten sættes op for at
forhindre stigende inflation. Ligeledes kan kravene om skærpelse af bankernes kapitalkrav bruges til
forhindring af dette, netop som Kina har gjort det.
43
Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 250
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
16 | Side
Hvis man dog vælger at ignorerer problemer vedrørende antagelsen om normalfordeling i Local-valuation
vil man kunne bruge modified duration metoden til at opsætte følgende ligning for denne sammenhæng:
Her vil modified duration angive sammenhængen mellem faldet arbejdsløshed og risikofaktoren, f.eks.
nedsat efterspørgsel, inflation eller nedsat produktion, V vil angive arbedjsløsheden, vil angive det
acceptable konfidensinterval, og
vil f.eks. angive volatiliteten i produktionen. Den ligning vil dog give et
forkert billede af risikoen, da denne normalfordeling vil undervurdere risikoen, på grund af dens tynde
haler.
7. Konklusion og vurdering af VaR
VaR er som investorværktøj et utrolig brugbart redskab, og kan nemt ved hjælp af delta-normal bestemmes
på daglig basis. VaR har dog flere problemer, som mindsker dets brugbarhed. VaR angiver, som tidligere
beskrevet, maksimale tab over en given tidsperiode, inden for et bestemt konfidensinterval, dvs. at VaR
f.eks. fortæller hvad tabet vil være under i 99 % af tilfældene, men i 1 % af tilfældene vides det blot at tabet
er større end det acceptable, det er ikke givet om tabet er på 1 kr. over det acceptable eller 100 mio. kr
over det acceptable. Dette vil for nogen være forskellen med videre overlevelse og konkurs, og lige præcis
det er VaR største svaghed.
Dernæst kommer blandt andet antagelsen om normalfordeling, som vist i afsnittet om normalfordeling,
undervurderer en sådan fordeling risikoen for ekstreme tab, hvilket i kombination med det overstående
giver en forkert tryghed. VaR vil af disse grunde ofte føre til strategier som typisk føre til større afkast i de
99 % af tilfældene, men i 1 % vil der være sandsynlighed for et meget stort tab. Derfor vil VaR give et dårligt
billede af risikoen.
Dernæst kommer VaR manglende evne til at vurdere risikoen under unormale markedsforhold, i tilfælde af
dette vil VaR ligeledes undervurderer risikoen, da forværrede markedsforhold ofte vil øge risikoen for tab.
Derudover forudsætter VaR at korrelationen er konstant, hvilket sjældent er tilfældet under unormale
markedsforhold, da korrelationen under krisetider vil ændre sig enormt.
I beregning af VaR er der flere kritiske punkter, vigtigst er dog VaR’s antagelse om at det historiske data
afspejler fremtiden, hvilket må siges at være en mistolkning. Det historiske data kan til en hvis grad bruges
til at beskrive fremtiden, men som tidligere beskrevet, er disse data ligeledes påvirket af endnu ældre
historisk data, og usikkerhed på markedet.
Hvis man i stedet kigger på VaR i større sammenhængen, er der en række andre problemer. Når Monte
Carlo metoden bruges, forudsætter den, som beskrevet, at risikofaktoren følger en stokastisk proces, for at
opnå en god VaR estimering kræver det derfor en korrekt beskrivelse af bevægelsen, hvilket kan være
svært at danne for visse risikofaktorer, da nogle også styres af ikke forudsigelse faktorer, som politik.
Som investorværktøjet, forudsætter VaR i denne sammenhæng også at det historiske data repræsenterer
den fremtidige udvikling, hvilket udgør endnu en svaghed, da dette ligeledes vil give et mindre korrekt
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
17 | Side
billede af risikoen. VaR forudsigelser kan derfor på visse punkter sammenlignes med post factums, men har
dog den fordel at de stokastiske processer beskriver de eksisterende bevægelser, hvorimod postfactums
udelukkende gør brug årsagerne fra f.eks. tidligere krak, til at beskrive muligheden for fremtidige krak.
Et eksempel på netop dette findes i den kinesiske økonomi, hvor økonomer på baggrund af postfactum
forudsiger at boblen vil sprænge, men grundet de enorme bevægelser på det kinesiske hjemmemarked kan
denne økonomiske boble opretholdes.
I analysen af det økonomiske system, blev det konkluderet, at der er en række faktorer som er afgørende
for vækstens tilstand i landet, specielt konjunktursvingningerne, som dog er styret af en række
underliggende faktorer, som inflation, konkurrenceevne, tilvækst, stagflation og efterspørgslen. I visse
tilfælde kan disse faktorer fører til økonomiske bobler, som før eller siden kan springe. Det er det
amerikanske boligmarked, som beskrevet, et eksempel, hvorimod Kina på nuværende tidspunkt har haft
tilstrækkelig vækst på hjemmemarkedet til at opretholde deres boble. Dette er også hvad der adskiller den
amerikanske og kinesiske økonomi, da USA i modsætning til kina var afhængig af investeringer for at
opretholde likviditet på markedet.
Disse faktorer er derudover med til at forhindre betingelse for en krise fri vækst, som marxistiske kriseteori
beskrev. Årsagen til dette var, at konjunktur svingninger forhindre den betingelse som sikre kapitalisterne
en konstant acceptabel profitrate, og derfor er det næsten umuligt at undgå konjunkturkriser i økonomien.
Samlet vurderer jeg VaR til at være et brugbart redskab på nationaløkonomisk niveau, såfremt at der
opstilles stokastiske processer som beskriver faktorernes bevægelse. VaR vil være i stand til at spotte en
række forskellige tendenser, som f.eks. konjunkturkriser, som der i visse tilfælde vil overskride den
acceptable VaR, hvorved regeringen vil have mulighed for at ændre deres position og derved begrænse
risikoen for tab, blandt andet ved at begrænse risikofaktoren. VaR fungerer derfor efter formålet, som
risikostyringsværktøj i denne sammenhæng.
Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener
18 | Side
7. Litteraturliste
I dette afsnit vil der være en liste over den brugte litteratur.
7.1 Bøger
- Value At Risk – The New Benchmark for managing Financial Risk – Philippe Jorion – 2007
- Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – 2005
- Statistik I – L. Brøndum – 2000
- Mat A – mat.systime.dk – 2010
- Krise eller ej - Peter Denick – samfundsfagsnyt
- Finanskrisen – forblændelse, forglemmelse og forgældelse - Søren Ellemose
7.2 Internetsider
- http://www.banktorvet.dk/oekonomi/renterisiko/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Value_at_risk
- Denstoredanske.dk – Sandsynlighed fordeling, Stokastisk variable, Kolmogorov aksiomer,
korrelation
- http://dirac.ruc.dk/~jl/statistikkursus/E2007/tabeller.pdf
- http://da.wikipedia.org/wiki/%C3%98konomisk_boble
- http://www.berlingske.dk/verden/kinas-oekonomi-vokser-med-naesten-12-procent
- http://borsen.dk/nyheder/oekonomi/artikel/1/176523/kina_frygter_bobler_paa_aktie-
_og_boligmarkedet.html
- http://www.business.dk/oekonomi/usa-tager-fejl-kinas-vaekst-skyldes-kinesisk-forbrug
- http://npinvestor.dk/nyheder/baggrund-subprime-laan-som-ringe-i-vandet-155562.aspx