Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
HF 2. år
1
Indhold
Du skal forklare, hvad en vektor er, og hvordan den kan angives med en pil eller et koordinatsæt. .............. 2
I. Grundbegreberne .................................................................................................................................. 2
Du skal vise, hvordan man regner med vektorer: addition, subtraktion og multiplikation med et tal ............. 4
I. Addition ................................................................................................................................................. 4
II. Eksempel på addition mellem to vektorer ............................................................................................ 5
III. Subtraktion ........................................................................................................................................ 6
IV. Eksempel på subtraktion ................................................................................................................... 7
V. Multiplikation med et tal. ...................................................................................................................... 8
VI. Regneregler for regning med vektorer .............................................................................................. 8
Skalarprodukt .................................................................................................................................................. 10
I. Definitionen af emnet ......................................................................................................................... 10
II. Eksempel på skalarprodukt ................................................................................................................. 10
III. Regneregler for skalarproduktet ..................................................................................................... 11
IV. Vinkler med skalarprodukt .............................................................................................................. 12
V. Eksempel med vinkler med skalarprodukt .......................................................................................... 14
VI. Eksempel 2 på vinkler med skalarprodukt ...................................................................................... 16
VII. Formlen for vektor Projektion ......................................................................................................... 19
VIII. Eksempel på projektion ................................................................................................................... 20
Vektorfunktioner ............................................................................................................................................. 21
I. Stedvektoren ....................................................................................................................................... 21
II. Hastighedvektoren .............................................................................................................................. 22
III. Accelerationsvektoren ..................................................................................................................... 22
Pålagte opgaver ............................................................................................................................................... 23
I. Opgave 1 .............................................................................................................................................. 23
a) Beregn
32ab −
.......................................................................................................................... 23
b) Beregn vinklen mellem a og b ......................................................................................................... 24
c) Beregn projektion
a
b
HF 2. år
Opgave 2 ...................................................................................................................................................... 26
a) Bestem t så c og d er ortogonale ..................................................................................................... 26
b) Bestem t så c og b er parallelle ........................................................................................................ 26
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
2
Opgave 3 ...................................................................................................................................................... 28
English summary:............................................................................................................................................. 31
Kildeliste .......................................................................................................................................................... 32
Underskrift ....................................................................................................................................................... 32
Indledning
I min opgave vil jeg forklare omkring hvad en vektor er. Samt hvordan man angiver den en pil eller et
koordinatsæt. Ud over det vil jeg vise, hvordan man regner med vektorer, herunder addition, subtraktion
og multiplikation med et tal. Endvidere vil jeg forklare om sammenhængen mellem skalarproduktet og
vinklen mellem vektorer. Der under vil jeg også gøre rede for formlen for projektion, af en vektor på en
egentlig vektor. Til sidst vil jeg forklare om vektor funktioner, herunder stedvektor, koordinatfunktioner,
hastighedsvektor og accelerationvektor. Under alle emnerne vil jeg illustrerer de metoder jeg benytter mig
af og give eksempler på dem.
Du skal forklare, hvad en vektor er, og hvordan den kan angives med en pil eller et
koordinatsæt.
I. Grundbegreberne
Som udgangspunkt vil jeg benytte mig af parallelforskydning til
behandling af vektor i min opgave. En parallelforskydning vises med en
pil i et koordinat system, som viser retning og længde af
parallelforskydningen. Hvis pilene har samme parallelforskydning vil man
sige at de er ækvivalente, som betyder at de bliver forskudt lige langt.
Dette kan vises således
→
Fælles betegnelsen for alle de pile der har samme parallelforskydning, er
vektor. Hermed bliver en vektor et matematisk objekt, som har en
retning og en længde. Dog er der ikke grund til at tale om bestemmelse
af et begyndelsespunkt for en vektor. Når man skal vise en vektor kan
man tegne en pil i et hvilket som helst begyndelsespunkt, denne pil
kaldes for en repræsentant for den givende vektor. Når man skal bruge
en betegnelse for en vektor, benytter man sig ofte af et lille bogstav med
en pil hen over, som
a, u eller v
. Men bruger dog en anden betegnelse
hvis det er for to punkter, den ligner dog den anden, hvis man for
eksempel har punkterne G og P vil betegnelsen se således ud, som jeg
også vil illustrerer i figuren til højre.
G
P
v GP=
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
3
Hvis 2 pile ser ud til at være ækvivalente kan man, når den
føres over den anden, ved brug af en parallelforskydning. Så
kan man bruge en repræsentant for en vektor, ved at vælge en
pil der starter i koordinatsystemets begyndelsespunkt, altså
(0,0) og så
v QP=
. Så vil man
kalde
v
for en stedvektor for punktet P. Dette illustreres ved
en tegning i højre side.
Hvis man skal finde en vektors koordinater benytter man sig
bare af de koordinater der er for et given punkt, som den er
stedvektor til. For at kunne se forskel på
koordinaterne til punkter og til vektoren skriver man
ofte vektorens koordinater oven over hinanden,
således:
a
v
b
=
Denne er altså stedvektor til punkter
( )
,Q a b
, det
forklares grafisk ude i højre side.
Endvidere hvis en vektor har koordinaterne.
0
0
kaldes den for nulvektoren den bliver betegnet med
0
samt
hvis
0v
, kalder man vektor
v
for en egentlig vektor.
Pile som repræsenterer samme vektor vil havde samme
længde. Det vil kaldes for længden af vektoren. For eksempel hvis vektoren betegnes, som
v
ville længden
af vektoren betegnes
v
. Så af Pythagoras’ sætning får vi:
22
v a b=+
Grafisk fortolkning:
Q
P
v
v
( )
,Q a b
b
a
a
v
b
=
dette tegn betyder ikke ligmed.
I dette tilfælde altså at vektor v ikke
er ligmed vektor 0
( )
,Q a b
b
a
22
ab+
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
4
I et koordinatsystem, her kaldes en vektor med længden 1 for en enheds
vektor. De to enhedsvektorer er:
10
01
ij
==
Disse kaldes for koordinatsystemets basisvektorer.
De ser således ud i et koordinatsystem.
Du skal vise, hvordan man regner med vektorer: addition, subtraktion og
multiplikation med et tal
Når man regner med vektorer er der 3 grundlæggende regneoperationer disse er addition af to vektorer
(lægge to vektorer sammen), subtraktion af to vektorer (at trække to vektorer fra hinanden) og
multiplikation af en vektor med et tal. Disse regneoperationer defineres ved brug af vektorens koordinater.
I. Addition
Når man addere to vektorer kan man benytte følgende formel hvis vi lader vektorerne hedde:
1
2
1
2
a
a
a
b
b
b
=
=
Så finder vi at
1
1
j
i
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
5
11
22
1 2 1 2
1 1 2 2
11
22
( ) ( )
ab
ab
ab
a b a i a j b i b j
a b a b i a b j
ab
ab
ab
+ = +
+ = + + +
+ = + + +
+
+=
+
Fortolkning, jeg afsætter
a
og
b
som stedvektorer i et koordinatsystem nu kan jeg parallelforskyde vektor
b
efter vektor
a
. Et punkt Q får så koordinaterne
( )
1 1 2 2
,a b a b++
det vil sige at summen af
vektorerne
a
og
b
er diagonalen i det tegnede
parallelogram, det vil sige at:
GQ a b=+
Ved at lægge summen af de to vektorer får vi en
regel, som hedder parallelogramreglen.
Grafisk fortolkning i højre side.
II. Eksempel på addition mellem to
vektorer
Vi får givet vektorerne
a
og
b
, deres koordinater er som givet:
5
2
3
6
a
b
=
=
Vi addere dem og får:
( )
1 1 2 2
,Q a b a b++
G
( )
12
,bb
( )
12
,aa
ab+
a
b
53
26
8
8
ab
ab
+ = +
+=
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
6
En grafisk fortolkning af additionen:
( )
5 3,2 6Q ++
G
( )
3,6
( )
5,2
ab+
a
b
Desuden bliver parallelogrammet i koordinatsættet ofte kaldt for kræfternes parallelogram.
III. Subtraktion
Når man subtrahere to vektorer kan man benytte følgende formel hvis vi lader vektorerne hedde:
1
2
1
2
a
a
a
b
b
b
=
=
Så finder vi at:
( )
( ) ( )
11
22
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
11
22
ab
ab
ab
a b a i a j b i b j
a b a i a j b i b j
a b a b i a b j
ab
ab
ab
− = −
− = + − +
− = + − −
− = − − −
−
−=
−
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
7
Vi afsætter vektorerne
a
og
b
til at havde samme begyndelses
punkt. Ved at gøre det får vi vektoren
ab−
den har begyndelses
punkt i
b
endepunkt og endepunkt i
a
endepunkt
En grafisk fortolkning:
Som addition har subtraktion også en modsat vektor. Den måde vi
definere dette på er ved at tage udgangspunkt i regning med reelle
tal. Vi ved at der for reelle tal gælder at:
( )
12 7 12 7− = + −
Og på den måde har vi lavet en subtraktion om til en addition
Hvis vektoren
( )
1aa− = −
det er så den modsatte vektor til vektor
a
og differensen mellem
ab−
defineres som vektoren
( )
ab+−
IV. Eksempel på subtraktion
Vi får givet vektorerne
a
og
b
, deres koordinater er som givet:
5
2
3
6
a
b
=
=
Vi subtrahere dem og får:
ab−
a
b
53
26
2
4
ab
ab
− = −
−=
−
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
8
En grafisk fortolkning af subtraktionen:
G
( )
3,6
( )
5,2
ab−
a
b
V. Multiplikation med et tal.
Ved multiplikation af en vektor med et tal defineres:
ta
ta
tb
=
Vi ved nu at længden af
ta
er
ta
. Retningen af vektor
ta
bestemmes af værdien af t, hvis t>0 vil
ta
være ensrettet
med
a
og omvendt hvis t<0 vil
ta
være modsat rettet
a
Grafisk fortolkning i højre side
VI. Regneregler for regning med vektorer
Når man laver regning med vektorer er der en række regneregler. De minder meget om de regler man
benytter sig af når man regner med reelle tal.
I sætningerne lader vi
,a bog c
alle være vektorer og s og t lader vi være reelle tal
1)
0aa+=
3a−
a
2a
a−
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
9
Vi ved at nulvektoreren er lig med 0 vil den sætning bare være lig med
a
2)
( )
0aa+ − =
Vi ved fra regnereglerne at der lige så godt kunne havde stået
0aa−=
og derfor vil den sætning altid
give 0
3)
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +
Da det er en positiv parentes har det ingen betydning for leddenes fortegn da de alle vil forblive positive i
dette tilfælde.
4)
a b b a+ = +
Det har ingen betydning for i hvilken rækkefølge leddene kommer i, da begge er positive ville udfaldet altid
være det samme.
5)
( )
s t a sa ta+ = +
Her bliver vektoren multipliret ind på begge led. Derfor er det det samme der står på begge side af
lighedstegnet.
6)
( )
s a b sa sb+ = +
Igen bliver s multipliret ind i parentesen. Bevis således:
Vi antager at vektorer hedder:
1
2
1
2
a
a
a
b
b
b
=
=
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
10
Så gælder følgende:
( )
( )
( )
( )
11
22
11
22
11
22
11
22
vi ganger s ind på alle led
vi deler op i 2 paranteser
vi sætter igen udenfor paren
ab
s a b s
ab
sa sb
s a b
sa sb
sa sb
s a b
sa sb
ab
s a b s s
ab
+
+=
+
+
+=
+
+ = +
+ = +
( )
tes
s a b sa sb+ = +
Skalarprodukt
I. Definitionen af emnet
Hvis vi har to vektor som vi lader hedde:
11
22
ab
a og b
ab
=
Så er skalarproduktet af vektoren skrevet så ledes
ab•
hvilket kan defineres således:
11
22
1 1 2 2
ab
ab
ab
a b a b a b
• = •
• = +
II. Eksempel på skalarprodukt
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
11
Hvis vi er givet vektorerne:
10 7
52
a og b
=
−
Kan vi regne os frem til at skalarprodukt for dem må se således ud:
( )
( )
10 7
52
10 7 5 2
70 10 60
ab
ab
ab
• = •
−
• = + −
• = + − =
Vi kan også se ud fra dette at skalarproduktet er et tal og ikke en vektor
III. Regneregler for skalarproduktet
Vi finder at for skalarproduktet er der en masse regneregler, disse kan formuleres i en sætning.
Regnereglerne er:
1)
a b b a• = •
Da det er lige gyldigt hvilken rækkefølge vektorerne står i gælder denne sætning
2)
( )
a b c a b a c• + = • + •
Her lader man vektor
a
gå ind på begge led og der efter kan man addere skalarproduktet af
ab•
og
ac•
3)
( )
( )
ta b t a b• = •
Der kommer et bevis på denne sætning længere nede der vil vise hvad der sker
4)
2
a a a•=
Her kan vi se at skalarproduktet mellem den samme vektor er bare længden af den originale vektor i anden.
Bevis på sætning 3
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
12
Vi lader vektorerne hedde:
11
22
ab
a og b
ab
=
Og selve beviset
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 2 2
1 1 2 2
her kan vi se at t er uden for parantes og inden i den er et originat skalarprodukt
ta b ta b ta b
ta b t a b a b
ta b t a b
• = +
• = +
• = •
IV. Vinkler med skalarprodukt
Vi kan nu med de informationer vi har omkring
skalarproduktet udlede nogle vigtige formler der vil
vise, hvorledes at skalarproduktet kan udtrykkes ved
vinklen mellem to vektorer. Vi betragter først to
enhedvektorer, vektorerne
a
og
b
samt betragter vi
også
a
’s tværvektor
ˆ
a
. Desuden vil drejningsvinklen
mellem de to vektorer betegnes som v i den grafiske
fortolkning til højre.
Ved en definition af cosinus og sinus følger at opløsningen af
vektorerne
b
efter
a
og tværvektor
ˆ
a
er:
( )
( )
( )
( )
ˆ
cos sinb v a v a=+
Samt ved vi at for enhver vektor gælder at
ˆ
0aa•=
Bevis i højre side.
Ved brug af disse informationer og sætningerne finder vi så frem til at:
For cosinus:
a
b
ˆ
a
( )
12
21
1 2 2 1
ˆ
:
ˆ
ˆ
0
aa
a og a
aa
Så finder viat
a a a a a a
aa
−
=
• = − +
•=
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
13
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
ˆ
cos sin
cos
a b v a v a a
a b v
• = + •
•=
Vi kan se at skalarproduktet mellem vektor
a
og
b
vil altså give vinklen v, hvis man tager cosinus til den
vinkel.
Og for sinus:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
ˆˆ
cos sin
ˆ
sin
a b v a a v a
a b v
• = • +
•=
Vi kan se at skalarproduktet mellem vektor
ˆ
a
og
b
vil altså give vinklen v, hvis man tager sinus til den
vinkel.
Nu kan vi så bevise følgende:
At hvis vi lader
a
og
b
være vektorer og igen v være drejningsvinklen mellem disse to så kan vi komme
frem til følgende sætninger:
1)
( )
cos
ab
v
ab
•
=
og
2)
( )
ˆ
sin
ab
v
ab
•
=
Vi kan nu se fra sætning 1 at hvis multipler længderne af vektorerne på begge sider at lighedstegnet får vi
( )
cosa b a b v•=
Vi kan nu se en lighed fra vores første definition af skalarproduktet som var:
1 1 2 2
a b a b a b• = +
At disse to sætninger vil give det samme resultat.
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
14
I definitionen
( )
cosa b a b v•=
beviser vi også at skalarproduktet ikke afhænger at koordinater, men af
længden af vektorerne, samt af vinklen mellem disse. Så hvis man drejere de to vektorer i samme vinkel i
forhold til koordinat systemet, vil det ikke havde nogen indflydelse på skalarproduktet. Man siger derfor, at
skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystemet.
Så ud fra definitionen før kan vi udlede følgende sammenhæng mellem skalarproduktets fortegn og vinklen
mellem de to vektorer.
Vi lader
a
og
b
være vektorer og v for vinklen mellem disse
Sætningerne ser således ud:
1)
0
0 90
ab
v
•
Vi kan se at for at skalarproduktet skal være større end 0 skal vinklen v være større eller ligmed 0 og mindre
end
90
2)
0
90
ab
v
•=
=
Her kan vi se at hvis vinklen v er 90 grader vil skalarproduktet være ligmed 0
3)
0
90 180
ab
v
•
Vi kan se i denne sætning, at hvis skalarproduktet skal være mindre end 0, skal vinklen v være større end 90
grader og mindre eller ligmed 180 grader.
Endvidere kan vi se i sætningen, at hvis to vektorers skalarprodukt er ligmed 0, vil de være ortogonale og
kun hvis skalarproduktet er 0. Det betyder at de er vinkelret på hinanden hvilket også står i sætning 2 da 90
grader er vinkelret.
V. Eksempel med vinkler med skalarprodukt
Grafisk fortolkning:
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
15
2
4
b
=
5
1
a
=
?v =
Skalarproduktet:
52
14
5 2 1 4 14
ab
ab
• = •
• = + =
Da skalarproduktet er over 0 kan vi se at vinklen skal være større eller ligmed 0 men også være mindre end
90 grader. Kan vi dog også se ud fra tegningen.
Længderne:
22
22
5 1 26
2 4 20
a
b
= + =
= + =
Vinklen v må der udregnes således:
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
16
cos
cos
14
cos
26 20
52,13
a b V a b
ab
V
ab
V
V
= •
•
=
=
=
Konklusion: Vi har fundet frem til at vinklen v må være 52.13 grader.
VI. Eksempel 2 på vinkler med skalarprodukt
Grafisk fortolkning:
?v =
( )
3,9C
( )
1,2A
( )
7,4B
?w =
?u =
Her har vi ikke længderne på vektorerne eller vektorernes koordinater så dem må vi beregne først:
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
17
Vektor
AB
22
7 1 6
4 2 2
6 2 40
AB
AB
−
==
−
= + =
Vektor
AC
22
3 1 2
9 2 7
2 7 53
AC
AC
−
==
−
= + =
Nu har vi to vektorer, kan vi beregne den ene vinkel ved først at tage skalarproduktet og derefter finde
vinklen
Skalarprodukt
62
27
6 2 2 7
26
AB AC
AB AC
AB AC
• = •
• = +
•=
Vinkel V
cos
26
cos
40 53
55,62
AB AC
V
AB AC
V
V
•
=
•
=
=
Vider til næste vinkel. Proceduren er den samme bare med andre vektorer
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
18
Vektor
CB
( )
2
2
7 3 4
4 9 5
4 5 41
CB
CB
−
==
−−
= + − =
Vektor
CA
( ) ( )
22
2
7
2 7 53
CA AC
CA
−
= − =
−
= − + − =
Skalarprodukt
( ) ( ) ( )
24
75
2 4 7 5
27
CA CB
CA CB
CA CB
−
• = •
−−
• = − + − −
•=
Vinkel W
cos
27
cos
53 41
54,51
CA CB
W
CA CB
W
W
•
=
•
=
=
Nu da vi har 2 af de 3 vinkler behøver vi ikke at lave beregninger til den sidste, da vi ved at vinkelsummen i
en trekant er 180 grader, kan vi bare trække de to andre fra 180, og så vil vi få hvad den sidste vinkel er:
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
19
180
69,78
U V W
U
= − −
=
VII. Formlen for vektor Projektion
Grafisk fortolkning:
Man opløser derefter i komposanter og
finder frem til
er a ' projektion på b
b
b
a a c
hvor
as
=+
Vi indser nu at:
b
a x b=
Vi kan nu udlede x og den udledning ser således ud:
22
2
()
( ) 0 da c b
da b b= b
b
a a c
a x b c
a b x b c b
a b x b b c b
a b x b
ab
x
b
=+
= +
• = + •
• = • + • ⊥
• = •
•
=
a
b
b
a
c
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
20
Ud fra dette kan vi så konkludere at:
b
2
man beregner a's projekion på b ved:
a
ab
b
b
•
=
VIII. Eksempel på projektion
Grafisk fortolkning:
b
a
c
2
3
a
=
4
1
b
=
skalarprodukt
24
31
2 4 3 1 11
ab
ab
• = •
• = + =
længde
2
22
4 1 17b = + =
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
21
Vi kan derfor konkludere at:
2
4
11
1
17
44
17
11
17
b
b
b
ab
ab
b
a
a
•
=
=
=
Vektorfunktioner
I fysik de bevægelser man beskæftiger sig med der kan man tilnærmelses vis beskrive, som bevægelser i et
plan. Genstande som for eksempel en raket, dens bevægelser vil ofte ske i et lodret plan. Endvidere kan
man også beskrive den bevægelse som jorden laver når der rotere rund om solen, at være tilnærmelses vis i
en plan.
I. Stedvektoren
En stedvektor
()ft
er en vektor, hvis koordinater er en
funktion af en parameter
.t
Denne parameter kan man i
de fleste tilfælde opfatte som tiden målt i sekunder, og
det letter en del på forståelsen.
Koordinaterne til
()ft
beregner man med
koordinatfunktioner
( ) og ( )x t y t
:
()
()
()
xt
ft
yt
=
Udtrykket ovenfor kaldes for en parameterfremstilling.
Når parameteren
t
ændrer sig, så vil spidsen af
()ft
gennemløbe en kurve i koordinatsystemet, og denne kurve kaldes for banekurven.
( )
rt
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
22
II. Hastighedvektoren
Hastighedsvektoren
()vt
fremkommer ved, at man differentierer stedvektoren
()ft
med hensyn til
parameteren
t
:
( ) ( )
()
()
()
()
()
x
y
v t f t
vt
xt
vt
vt
yt
=
==
Man går altså ind og differentierer hver koordinatfunktion for sig med hensyn til parameteren
t
.
Hastighedsvektoren
()vt
er tangentvektor til banekurven.
Man kan regne længden ud af
()vt
, denne kan man kalde for farten
()vt
og gøres således:
22
( ) ( ) ( )
xy
v t v t v t=+
III. Accelerationsvektoren
Accelerationsvektoren
()at
fremkommer ved, at man differentierer hastighedsvektoren
()vt
med hensyn
til parameteren
t
:
( ) ( )
( ) ( )
()
()
()
xx
y
y
a t v t
a t v t
at
at
vt
=
==
Det vil sige at hvis vi skal lave en fortolkning af accelerationsvektoren:
Accelerationsvektoren
()at
beskriver, hvordan hastighedsvektoren
()vt
ændrer sig. Det vil sige, at hvis
man har en hastighedsvektor
1
()v v t=
til tidspunktet
t
og en anden hastighedsvektor
2
()v v t dt=+
til et
infinitisimalt senere tidspunkt
t dt+
, så vil vektorforskellen være givet ved :
21
()v v a t dt− =
Hvilket kan illustreres således:
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
23
2
v
1
v
()a t dt
Pålagte opgaver
I. Opgave 1
Der er givet to vektorer, de er givet ved:
21
34
a og b
==
−
a) Beregn
32ab −
Beregning i mathcad:
Fortolkning i højre side
a
2
3−
=
b
1
4
=
3 a 2 b−
4
17−
=
11
22
11
22
11
21
32
32
32
32
32
32
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
−
−
−
−
−
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
24
b) Beregn vinklen mellem a og b
Skalarproduktet:
( )
21
34
2 1 3 4 10
ab
ab
• = •
−
• = + − = −
Vi kan se da skalarproduktet er mindre end 0 skal vinklen v være større end 90 grader og mindre eller
ligmed 180 grader.
Længderne:
( )
2
2
22
2 3 13
1 4 16
a
b
= + − =
= + =
Nu kan vi regne vinklen ud mellem de to vektorer
cos
cos
10
cos
13 16
a b V a b
ab
V
ab
V
= •
•
=
−
=
Vi kan regne ud i mathcad at
Vinklen er 133.898; og det var mellem det interval den skulle være som var mellem 90 og 180 grader.
v acos
10−
13 16
=
v 133.898deg=
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
25
c) Beregn projektion
a
b
af b på a
skalarprodukt
( )
21
34
2 1 3 4 10
ab
ab
• = •
−
• = + − = −
længde
( )
2
2
2
2 3 13a = + − =
i kan derfor konkludere at:
2
2
10
3
13
a
a
ab
ba
a
b
•
=
−
=
−
Vi regner ud i mathcad at det må være:
Konklusion: Projektionen må være:
1.538
2.308
a
b
−
=
b
a
10
13
−
2
3−
=
b
a
1.538−
2.308
=
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
26
Opgave 2
Der er givet to vektorer, de er givet ved:
32
2
c og d
t
−
==
, hvor
tR
Hvilket betyder at t er et reelt tal
a) Bestem t så c og d er ortogonale
Vi ved, at for at vektorerne skal være ortogonale, skal skalarproduktet være 0, så derfor kan vi sætte en
ligning op der ser således ud:
( )
0 3 2 2 t= − +
Nu kan vi bruge mathcad til at regne ud hvad t er:
Så hvis vektorerne skal være ortogonale skal vektorernes koordinator være:
32
23
c og d
−
==
b) Bestem t så c og b er parallelle
Til dette kan man benytte sig af vektordertiminanten så først vil jeg lige forklare lidt omkring denne:
Grafisk fortolkning:
1
2
b
b
b
=
1
2
a
a
a
=
ˆ
a
0 3 2−( ) 2 t+ solve t 3→
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
27
Sådan ser vektordertiminanten ud
( )
( )
( )
( )
( )
21
12
2 1 1 2
1 2 2 1
11
22
ˆ
,
,
,
,
,
DET a b a b
ab
DET a b
ab
DET a b a b a b
DET a b a b a b
ab
DET a b
ab
=•
−
=•
= − +
= −
=
Nu kan vi regne opgaven ud.
Fordi vi ved at hvis vektorerne skal være parallelle skal vektordertiminanten give 0.
3
2
2
||
c
d
t
bestemt såc d
=
−
=
snedig analyse:
||
( , ) 0
32
0
2
cd
DET c d
t
=
−
=
Derfor må det blive:
3t 2 2−( )− 0 solve t
4
3
−→ 1.333−=
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
28
Derfor hvis vektorerne skal være parallelle, skal vektorerne koordinater hedde:
2
3
3
2
4
c og d
−
==
−
Opgave 3
En vektorfunktion er givet ved parameterfremstillingen
( )
2
2
1
,
22
t
r t t R
tt
−
=
−
Definitionsmængde
Når man skal bestemme definitionsmængden DM , så skal man bruge følgende regler :
a) Man må ikke dividere med 0.
b) Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal
c) Man kan kun tage logaritmen til et positivt tal.
Vi indser derfor, at
( ( ))DM r t R=
Bestem banekurvens skæringspunkter
Skæring med y-aksen
2
2
( ) 0
10
1
1
1
xt
t
t
t
=
−=
=
−
=
+
Det vil at altså:
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
29
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
2
1 2 1 2 1 0 0,0
1 2 1 2 1 4 0,4
yP
yP
= − = =
− = − − − = =
Det er altså punkterne hvor kurven vil skære y-aksen
Skæring med x-aksen
( )
2
( ) 0
2 2 0
2 1 0
01
yx
tt
tt
tt
=
−=
−=
= = −
Så punkterne den må skære x-aksen må altså hedde
3
4
0,0
1,0
P
og
P
=
=−
Og vi kan se fra en grafisk fortolkning at dette stemmer over ens
x t( ) t
2
1−=
y t( ) 2t
2
2t−=
0 5 10
2−
2
4
y t( )
x t( )
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
30
Lodrette og vandrette tangenter:
Først skal vi finde Differentialkvotienten af
( )
2
2
1
22
t
rt
tt
−
=
−
Først af
()xt
´( ) 0
20
2
0
2
0
xt
t
t
t
=
=
=
=
Så af
( )
yt
( )
´0
4 2 0
42
42
44
0.5
yt
t
t
t
t
=
−=
=
=
=
Så vi kan se der er både lodret og vandret tangent da begge kan give 0
De punkter de lægger i er:
For den lodret er der:
( ) ( )
2
2
01
0 1,0
20 0
r
t
−
= = −
−
Så den lodrette vil lægge i
( )
1,0−
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
31
Og den vandrette vil lægge i :
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
0.5 1
0.5 0.75, 0.5
2 0.5 2 0.5
r
−
= = − −
−
Og på grafen vil det se nogenlunde sådan ud:
English summary:
In this report, I will try to explain some of the fundamentals behind vectors. For starters I try to explain
some of the fundamental principles behind vectors. During this I will explain how one shows a vector as an
arrow or a co-ordinate set. After that I will explain how you calculate with vectors, meaning addition,
subtraction and multiplication with one number. Furthermore stat the coherence between the scalar
product and the angle between vectors, together with the formula for projection of a vector on to a actual
vector. Last I will explain vector functions including the stedvector, co-ordinate functions, the speed vector
and the acceleration vector. During all the subjects am I going to show some examples, and illustrate the
methods I have used. The very last thing I have done are some exorcises, that were given to me by my
supervisor. It was up to me have I wanted to integrate them in to my report, therefore have I chosen, that
they are the last thing.
Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF
32
Kildeliste
Bog
1. Matematik for MF Geometri, forlaget trip
- Sider benyttet sig af :
- side fra start side 7 til midt side 10
- side 16 til 22
- side 29 til slut 31
- side 36 til 42
Illustrationer
- Alle har jeg selv tegnet i programmet Visio
Formler
- Skrevet ind i et program det hedder Mathtype 5.0b og udregninger er lavet i Mathcad 14
Underskrift
NICHLAS SCHOU ELLKILDE _____________________________________