SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 1 af
33
Indhold
OPGAVEFORMULERING 3
SUMMARY 4
INDLEDNING 5
KEGLESNITTENES HISTORIE 6
KEGLESNITTENE 7
HYPERBLEN OG PARABLEN 8
ELLIPSEN 9
ELLIPSEN SOM GEOMETRISK STED 9
ELLIPSENS SYMMETRIFORHOLD OG EXCENTRICITET 12
ELLIPSENS LIGNING 14
ELLIPSENS SUMEGENSKAB 16
DEN PARALLELFORSKUDTE ELLIPSES LIGNING 18
EKSEMPEL PÅ BEREGNING MED ELLIPSENS LIGNING 18
EKSEMPEL PÅ BEREGNING MED DEN PARALLELFORSKUDTE ELLIPSES LIGNING 19
ELLIPSENS PARAMETERFREMSTILLING 20
EKSEMPEL PÅ BEREGNING MED ELLIPSENS PARAMETERFREMSTILLING 21
ELLIPSENS TANGENTER 22
ÆKVIVALENSEN MELLEM ELLIPSENS ANALYTISKE OG GEOMETRISKE EGENSKABER 25
LØSNING AF OPGAVE 1 26
LØSNING AF OPGAVE 2 29
KONKLUSION 30
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 3 af
33
Opgaveformulering
• Gør rede for ellipsens egenskaber belyst ved både analytiske og geometriske fremstillinger.
• Redegør for ækvivalensen mellem disse. Du kan f.eks. tage udgangspunkt i opgave 1.
• Gennemgå ligningen for en ellipse med vilkårligt centrum.
• Løs opgave 1 og 2.
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 4 af
33
Summary
In this paper I will enlighten the subject of the ellipse through both analytical, as well as
geometrical representations.
First I will shortly introduce the history of the conic sections and present the hyperbola and the
parabola, before I will move on to working intensely with the ellipse.
I will describe different methods of how to construct and describe an ellipsis.
I will go through the equation of an ellipsis which has a random centre. I will then show that an
ellipsis can be described through a parametric representation as well as I will show the tangents of
the ellipse.
Some of these formulas I will demonstrate through numerical examples.
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 5 af
33
Indledning
I denne opgave ønsker jeg at behandle ellipsen og dennes egenskaber ved både analytiske og
geometriske fremstillinger. Derudover vil jeg gøre rede for ækvivalensen mellem disse.
Jeg vil kort introducere keglesnittenes historie og herefter, kort, præsentere snittene hyperblen og
parablen for herefter at arbejde indgående med ellipsen.
Jeg vil beskrive forskellige metoder, hvorpå man kan konstruere og beskrive en ellipse. Derefter vil
jeg gennemgå ligningen for en ellipse med vilkårligt centrum, vise at en ellipse kan beskrives ved
en parameterfremstilling og gennemgå ellipsens tangenter. Til nogle af beviserne, vil jeg give et
kort regne eksempel.
Hvert bevis vil være markeret med en fodnote, der angiver kilden, der har været brugt som
forudsætning for gennemgangen af de enkelte beviser.
I opgaven vil jeg undervejs benytte mig af figurer, der skal hjælpe i argumentationerne for de
enkelte observationer.
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 6 af
33
Keglesnittenes historie
1
Keglesnittene har gennem tiden været brugt af mange matematikere. Helt tilbage i oldtiden studerede
græske filosoffer og matematikere keglesnittenes egenskaber.
Ellipsen er den ene type af de såkaldte keglesnit. De andre to typer af keglesnit er parablen og hyperblen.
Oprindelsen af teorien bag keglesnittene kendes ikke med sikkerhed, men man mener, at den kan have
noget at gøre med problemet med ”Terningens fordobling”, der var et af de klassiske problemer i antikken:
at konstruere en terning med dobbelt så stort volumen som en given terning.
Det var først i 1800-tallet, at det endeligt blev bevist, at en sådan konstruktion ikke er mulig, blot med
daværende tegneredskaber.
I det femte århundrede f.v.t. reducerede Hippokrates problemet med at fordoble en terning med
sidelængde a til at finde to mellemproportionaler, nemlig x og y, mellem længderne a og 2a. I moderne
sprogbrug svarer det til, at løse alle følgende tre ligninger:
Disse ligninger repræsenterer i de første to tilfælde parabler og en hyperbel i det sidste tilfælde.
Menaechmus (4. århunderede f.v.t.) studerede kurverne, som tilfredsstiller hver af disse ligninger og han
var den første, der fandt ud af, at ellipser, parabler og hyperbler kunne fremkomme som snit i en kegle.
Dette løste dog ikke fuldt ud problemet med ”Terningens fordobling”. Det vigtigste i denne sammenhæng
er dog, at terninge-problemet gav anledning til at studere keglesnit.
Keglesnittene dukker op i mange sammenhænge i naturvidenskaben. Som et af de mest
bemærkelsesværdige eksempler kan det nævnes, at fysikeren Kopernikus fremførte, med udgangspunkt i
observationer, en påstand om, at solen var centrum i solsystemet. Med udgangspunkt i denne teori
begyndte Kepler at observere, planeterne yderligere med henblik på at karakterisere bevægelser omkring
solen.
Arbejdet mundede ud i, at han konkluderede, at planeterne bevægede sig i elliptiske baner omkring
solen.
Keglesnittet ellipsen viste sig således at være et centralt begreb i hele den moderne verdensanskuelse.
Fortsatte observationer har senere vist at banerne passede perfekt med ellipsers karakteristika, hvilket har
ført til, at vi den dag i dag anser keglesnittet ellipsen som værende en naturlig del af vort solsystems
sammenhæng.
1
Inspiration fra http://www.matematiksider.dk/ellipser.html og V.L. Hansen ”temaer fra geometrien”
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 7 af
33
Keglesnittene
2
Som sagt kaldes de tre keglesnit henholdsvis parabel, hyperbel og ellipse. Jeg vil herunder kort
gennemgå, hvordan disse fremkommer ved plane snit i en kegle.
Vi skal forestille os et punkt T og en cirkel i et plan. Hvis T forbindes med alle punkterne, der ligger
på cirklen vil der fremkomme en kegle med toppunktet T. Hver af linjestykkerne mellem T og
cirklens punkter kaldes frembringere og betegnes som en linje l. Linjen mellem toppunktet og
cirklens centrum kaldes keglens akse, og vinklen mellem denne akse og keglens frembringere,
kaldes den halve åbningsvinkel og betegnes v
a
, som det ses på figur 1
3
.
Hvis vi forlænger den rette linje l og lader den rotere 360˚ omkring keglens akse og lader den
skære punktet T og cirklen, vil vi få en dobbelt rotationskegle, som ses på figur 2
3
.
T
v
a
v
a
T
l l
C
Figur 1
Figur 2
Man kan i disse kegler lave tre forskellige plane snit med en plan α, hvor v angiver skæringsvinklen
mellem den skærende plan og den dobbelte rotationskegles akse. De fremkomne keglesnits
karakter afhænger af, hvor stor v er i forhold til v
a
. Til de følgende definitioner betragter vi en
dobbelt rotationskegle, hvor planen α ikke går gennem keglens toppunkt T:
Ved v < v
a
kaldes snitkurven for en hyperbel
Ved v = v
a
kaldes snitkurven for en parabel
Ved v > v
a
kaldes snitkurven for en ellipse
2
Inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 246-250
3
Figurer er tegnet med inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 246
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 8 af
33
Hyperblen og parablen
Hyperblen fremkommer når en plan skærer en rotationskegle,
og vinklen v mellem planen α og keglens akse er mindre end v
åbningsvinklen v
a
. Dette ses illustreret herunder af figur 3
4
.
v
a
v
v
a
Figur 3
Parabelen fremkommer, når en plan α snitter keglen, hvor vinklen
mellem keglens akse og planen er det samme som den halve
åbningsvinkel,
dvs. v = v
a
. Dette er illustreret af figur 4
4
.
Figur 4
Da det er ellipsesnittet jeg har valgt arbejde indgående med, vil jeg ikke komme yderligere ind på
hyperblens og parablens forskellige egenskaber.
4
Figurer tegnet med inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 248
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 9 af
33
Ellipsen
5
Ellipsen fremkommer, når en plan skærer en kegle og vinkelen på keglens akse, er større end den halve
åbningsvinkel v
a
. på denne måde vil snittet kun falde i keglens frembringere modsat de andre snit, hvor
også keglens grundflade snittes. Dette af figur 5
6
:
Som beskrevet skærer planen kun keglen langs
frembringerene, og vi ser derpå formen af en ellipse. v α
Hvis skæringsvinkelen er på 90˚, vil snitplanen
være en cirkel. v
a
Figur 5
Ellipsen som geometrisk sted
Vi ved nu, at en ellipse er skæringskurven mellem en rotationskegle og en plan α. På figur 6 (se
bilag) ser vi keglen, ellipsen og to kugler, der begge tangerer keglen langs en cirkel i hver af
kuglerne (man kunne f.eks. forestille sig en lille bold, der placeres i et kræmmerhus, og på den
måde vil tangere denne kegle) og planen. De to cirkler, der viser hvor kuglerne rører keglen, kaldes
C
o
og C
n
. Halvdelen af afstanden mellem C
o
og C
n
, målt langs keglen, kaldes a
7
.
Punkterne, hvor hver af kuglerne berører snitplanen, kaldes brændpunkter og kaldes i dette
tilfælde henholdsvis E og F. Vi udvælger nu et tilfældigt punkt P, der ligger på ellipsen og trækker
nu linjestykkerne PE og PF, også kaldet brændstråler. Linjen, der går gennem keglens toppunkt T
og punktet P, skærer C
o
og C
n
i to punkter, nemlig O og N.
Fra rumgeometrien ved vi, at samtlige tangentstykker til en kugle fra et punkt uden for kuglen er
lige lange, da alle tangenterne vil røre kuglen i punkter, der tilsammen giver en cirkel, som det ses
på figur 7.
P
Det ses her, at afstanden fra punktet P til røringspunket med kuglen
P
r
afhænger af længden |PC| og af radius på cirklen. Da disse er konstante P
r
vil |PP
r
| være konstant uanset hvor P
r
, ligger på denne cirkel, der r
altså illustrerer, hvor linjen |PP
r
| tangerer kuglen. C
Figur 7
5
Disse betragtninger har udgangspunkt i ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 252-262
6
Figurer tegnet med inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 248
7
Definition af tallet a.
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 10 af
33
Det må derfor gælde at:
|PN| = |PE|
og ligeledes gælder det at:
|PO| = |PF|
Den samlede afstand af de to brændstråler kan dermed findes:
|PN| + |PO | = |PE| + |PF|
Og da PN og PO ligger i forlængelse af hinanden, må det gælde at:
|PE| + |PF | = |ON| = 2a (ifølge definitionen af tallet a, som tidligere nævnt.)
Denne længde afhænger altså ikke, af hvilket punkt på ellipsen man vælger, men kun af afstanden
mellem kuglerne, som afhænger af ellipsens omfang og grad af sammenpresning, dvs.
excentricitet, (der behandles senere). Brændstrålernes samlede længde for en vilkårlig ellipse er
herefter konstant. Denne konstant betegnes 2a dvs. |PE| + |PF | = 2a
Da P er vilkårligt valgt, er det nu vist at ethvert punkt på ellipsen tilfredsstiller denne ligning.
Da dette kun gælder, hvis punktet P ligger på ellipsen, vil jeg nu vise hvad der sker, hvis punktet
ikke ligger på ellipsen. Hvis punktet ligger inden i, eller udenfor ellipsen, vil summen af
brændstrålernes længder være |PE| + |PF |≠2a, som det ses i det følgende;
Hvis punktet ligger inden for ellipsen, har vi følgende situation, hvor P er et punkt inden for
ellipsen, og hvor Q er et punkt på ellipsen.
Vi ved, at enhver side i en trekant er kortere en summen af de to andre sider, derfor kan vi ifølge
figur 8
8
skrive at:
|PQ| + |QF |>|PF|
Jeg udnytter nu, at Q ligger på ellipsen, og lægger |EP| Q
til på begge sider af ligningen og får: P
|EP| + |PQ| + |QF |>|PF| + |EP| E F
Jeg ved, ifølge figur 8, at: |EP| og |PQ| tilsammen er det
samme som |EQ| og erstatter derfor de eksisterende
faktorer |EP| og |PQ| på venstre side, og får: Figur 8
8
Figurer tegnet fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 253
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 11 af
33
|EQ| + |QF |>|PF| + |EP|
-Dette ses tydeligt på figuren og vi kan deraf konkludere, at:
|PF| + |EP| < 2a
Hvis punktet derimod ligger uden for ellipsen, har vi følgende situation, hvor P er punktet uden for
ellipsen, og Q er skæring mellem |EQ| og ellipsen. Q er altså stadig et punkt på ellipsen.
På samme måde finder vi at |PF| + |EP| > 2a: P
Q
Vi kan igen ifølge figur 9
7
udnytte, at vi ved, at:
|PQ| + |PF |>|QF| E F
Jeg udnytter igen, at Q ligger på ellipsen,
og lægger |EQ| til på begge sider af ligningen:
Figur 9
|EQ| + |PQ | + |PF |>|QF| + |EQ|
Som det ses af figur 9, er |EQ| og |PQ| det samme som |EP|
og jeg erstatter dem derfor i ligningen med |EP| og får:
|EP| + |PF |>|QF| + |EQ|
-Dette ses tillige på figur 9 og jeg kan heraf skrive, at:
|EP| + |PF |> 2a
Det er nu bevist, at hvis P er et punkt, der ikke ligger på ellipsen, er |EP| + |PF |≠ 2a. Det er heraf
belyst, at et punkt P netop ligger på ellipsen hvis den opfylder at, |EP| + |PF |= 2a. Hvis ikke, ville
ligningen i så fald være forskelligt fra 2a.
Altså er en ellipse det geometriske sted for de punkter i planen, for hvilke summen af afstandene
til de givne brændpunkter har summen 2a.
Med denne viden har vi nu en forudsætning for, at kunne konstruere en ellipse.
Man vælger blot de to brændpunkter og fastgør en snor, der er længere end afstanden mellem de
valgte brændpunkter. Man kan på denne måde tegne en ellipse ved at lade en blyant udspændes i
snoren og herefter føre den omkring brændpunkterne. Når dette er gjort, er en ellipse tegnet. Se
bilag 1, figur 10
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 12 af
33
Ellipsens symmetriforhold og excentricitet
9
Ellipsen er symmetrisk, både omkring stor- og lilleaksen, som det
ses af figur 11. De punkter på ellipsen, der ligger på
symmetriaksen gennem brændpunkterne, kaldes S og R.
(se figur 12
10
) Da |RE| og |RF| = 2a og |RF| = |SE|, må det
gælde, at |SR| = 2a . (Der skal her gøres opmærksom på, at både
|SR| og tallet 2a udgør ellipsens storakse) halvdelen af storaksen
betegnes Figur 11
da a. Tilsvarende kaldes |LK| ellipsens lilleakse og halvdelen af denne betegnes b.
L
S R
E O F
K
Figur 12
Forholdet mellem aksernes længde kaldes ellipsens excentricitet, e, og er givet ved:
Da 2a > |EF|, for en ellipse, hvor et punkt P ligger inden i ellipsen, må det gælde at: 0 ≤ e < 1
Dvs. at jo mere excentriciteten nærmer sig 1, jo mere fladtrykt vil ellipsen blive. Hvorimod en
excentricitet, der nærmer sig 0, vil efterhånden give en mere cirkelrund ellipse.
Hvis excentriciteten er 0, vil ellipsens brændpunkter være sammenfaldende og ellipsen vil da være
en cirkel med radius a. stor- og lilleakse vil i dette tilfælde også være ens.
Ve dat tage udgangspunkt i ΔOLF på figur 12, kan sammenhængen mellem a, b og e bestemmes:
Vi ved, at:
Da linjestykket EF er det dobbelte af linjestykket OF, ved vi så, at:
9
Der er i beviserne taget udgangspunkt i ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 254
10
Tegnet efter ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 254
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 13 af
33
Dette kan også beskrives:
|EO|=
|EF| =
2ea = 1ea = ea
Fra tidligere ved vi at
, og derfor er
. Derfor kan vi også bestemme at
. Da der fremkommer en retvinklet trekant, kan jeg nu bruge Pythagoras’ læresætning og
får, at:
b isoleres:
Hvis ellipsens halvakser, a og b, kendes, kan e udregnes ved hjælp af ovenstående formel og
omskrivning:
.
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 14 af
33
Ellipsens ligning
11
Jeg ønsker nu at finde ellipsens ligning, og benytter mig derfor af et koordinatsystem, som vist i
figur 13
12
hvori ellipsen er anbragt. Der indføres fire toppunkter til ellipsen, nemlig A
1
A
2
, der ligger
på x-aksen og udgør ellipsens storakse og B
1
B
2
, der ligger på y-aksen og udgør ellipsens lilleakse,
som har længden 2b. Centrum for ellipsen er da O. P(x,y) er et tilfældigt punkt på ellipsen. Da
afstanden
= 2ae må det gælde at:
=
= ae Derfor har punkterne E og F koordinaterne:
E = (-ae,0) og F = (ae,0)
Da A
1
ligger på ellipsen, må der gælde at:
= 2a
Der er det samme som:
= 2a
Hvilket også ses af figuren.
Figur 13
11
Bevisgangen for ellipsens ligning tager udgangspunkt i ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth
s.256 - 257 og inspiration fra ”Matematik 3 for højt niveau”, Carstensen & Frandsen
12
Inspiration fra ”Matematik 3 for højt niveau”, Carstensen & Frandsen s. 196
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 15 af
33
Excentriciteten, er som sagt, forholdet mellem afstanden mellem de to brændpunkter
E og F og
længden af storaksen, dvs. |A
1
A
2
|.
Excentriciteten, e, er da givet ved:
da vi ovenfor fandt ud af, at
= 2a
Derfor vil afstanden
altid være positiv, på samme måde som
. Heraf kan vi se, at e>0 og
derfor vil det for
altid gælde at, e<1, da
altid vil være mindre end
.
Da B
1
, set på figuren, ligger på ellipsen, må det gælde at:
Og da
må det gælde at:
Vi ved, at
og dermed også, at
Afstanden fra ellipsens centrum O(0,0) til F må være
hvilket vil sige at:
= ae
Derudover ses det af figuren, at
Vi tager nu udgangspunkt i ΔOB
1
F. Da trekanten er retvinklet kan vi bruge Pythagoras’ sætning til
at omskrive:
2
=
Udtrykkene, der tidligere er fundet indsættes i dette udtryk og vi får:
a
2
= b
2
+ (ae)
2
a
2
= b
2
+ a
2
e
2
b
2
= a
2
– a
2
e
2
a
2
sættes som det næste udenfor parentes:
b
2
= a
2
(1- e
2
)
(Dette udtryk skal bruges senere i beviset.)
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 16 af
33
Ellipsens sumegenskab
Vi fandt tidligere ud af, at P(x,y) er et tilfældigt punkt på ellipsen og at punkterne E og F måtte
have koordinaterne:
E
= (-ae,0) og F = (ae,0)
Vi finder nu, vha. punkt-punkt-afstandsformlen
13
at:
og
Næste skridt er nu, at trække
fra
:
Dette udtryk kan omskrives til:
Da vi ved at P er et punkt på ellispen og at:
Får vi, hvis dette indsættes i ligningen
at:
Først lægges de to sætninger,
og
, sammen og derefter
trækkes de fra hinanden:
13
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 17 af
33
(Dette udtryk bruges tillige senere i beviset.)
Udtrykkende trækkes nu fra hinanden og vi får:
Udtrykket
indsættes i formlen
og der kan derved
foretages følgende omskrivninger:
(a+ex)
2
= (x+ea)
2
+ y
2
a
2
+ e
2
x
2
+ 2xea = x
2
+ e
2
a
2
+ 2xea + y
2
a
2
+ e
2
x
2
= x
2
+ e
2
a
2
+ y
2
y
2
= a
2
- e
2
a
2
– x
2
+ e
2
x
2
y
2
= a
2
(1-e
2
) – x
2
(1-e
2
)
y
2
= (a
2
x
2
) (1-e
2
)
Formlen for ellipsens excentricitet
, indsættes, og der fås nu, at:
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 18 af
33
. . Der er nu fundet en generel ligning for ellipser med centrum (0,0) med storakse
2a og lilleakse 2b hvilket vi ønskede at finde.
Den parallelforskudte ellipses ligning
Parallelforskydes ellipsen med ovenstående ligning, så denne får centrum i (p,q), får man
ligningen:
Eksempel på beregning med ellipsens ligning
Vi kan forestille os en ellipse med centrum i (0,0) og halvakserne a = 8 og b = 5. Ellipsens ligning vil
da se ud som følgende:
Ligningen fremstiller en ellipse, der ”ligger ned”, den har altså sine brændpunkter på x-aksen.
Excentriciteten kan beregnes til:
Brændpunkterne vil da være:
E = (
og F = ( -
, 0 )
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 19 af
33
Eksempel på beregning med den parallelforskudte ellipses ligning
Jeg vil herunder beregne excentriciteten og brændpunkternes koordinater for en ellipse med
centrum, O(2,-3) og halvakserne a = 5 og b = 4. Ligningen for en sådan ellipse vil være:
Excentriciteten beregnes vha. formlen:
Denne ellipse vi så have brændpunkter i:
E = ( 0 + p , ea + q) = ( 0 + 2 ,
5 – 3 ) = ( 2 , 0 )
F = ( 0 + p , -ea + q ) = ( 0 + 2 ,
5 – 3 ) = ( 2 , -6)
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 20 af
33
Ellipsens parameterfremstilling
14
Jeg vil nu vise, hvordan ellipsen kan beskrives ved hjælp af en parameterfremstilling. Vi kender
ellipsens ligning:
Vi ved, ifølge potensreglerne, at denne ligning kan omskrives til:
Vi ved også, ifølge grundrelationen for enhedscirklen, at:
cos
2
(v) + sin
2
(v) = 1 for 0˚ ≤ v < 360˚
Det er her, at punktet P
ligger på enhedscirklen. Det fremgår af ellipsens ligning, at et punkt
ligger på ellipsen, netop hvis punktet P
ligger på enhedscirklen. Dette er tilfældet, hvis der
findes et tal t Є [ 0;2π [ , sådan at:
og dermed at:
For en ellipse med centrum i P(p,q) kan parameterfremstillingen, lige som ellipsens ligning,
parallelforskydes så vi får:
Ellipsens parameterfremstilling er hermed bevist og dermed også, at en ellipse kan beskrives ved
en parameterfremstilling.
14
Inspiration fra ”Matematik 3 for højt niveau”, Carstensen & Frandsen og ”Temaer fra geometrien”, V.L. Hansen
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 21 af
33
Eksempel på beregning med ellipsens parameterfremstilling
En ellipse er givet ved ligningen: 9x
2
+ 18x + 4y
2
– 27 = 0
Denne ligning omskrives til:
Parameterfremstillingen for denne ellipse er da:
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 22 af
33
Ellipsens tangenter
15
Jeg ønsker nu at se på ellipsens tangenter. Vi har en ellipse med ligningen, som vi kender fra
tidligere:
Vi skal nu kigge på en ellipse med brændpunkterne E og F i et koordinatsystem, hvor punktet
P
0
(x
0
,y
0
) ligger på ellipsen. Jeg vil nu forsøge at finde frem til en ligning for tangenten til ellipsen i
punktet P
0
.
Figur 14
Tangenterne til ellipsen, i toppunkterne A
1
(-a, 0) og A
2
(a, 0) er, som det ses på figur 14
16
lodrette,
og må derfor have ligningerne:
Tangent i A
1
: x = -a
Tangent i A
2
: x = a
Jeg vil nu prøve at finde en generel ligning for tangenterne der, tangerer ellipsen i y
0
≠ 0.
Her vil det gælde, at y i ellipsens ligning kan skrives som funktionen f(x) dvs. y = f(x). I punktet
P
0
(x
0
,y
0
) vil der gælde følgende for tangenten:
15
Bevisførelse fra ”Temaer fra geometrien”, V.L. Hansen
16
Tegnet fra ”Temaer fra geometrien”, V.L. Hansen s. 20
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 23 af
33
y = f ´(x)(x – x
0
) + y
0
y – y
0
= f ´(x)(x – x
0
)
Punktet P
0
(x
0
, f(x
0
)) må, ligesom P
0
(x
0
,y
0
) , ligge på ellipsen ifølge ovenstående. Og da punktet
P(x,f(x)) på samme måde ligger på ellipsen, må det gælde at:
Hvis dette udtryk differentieres, altså:
Får vi følgende:
Da vi havde, at P
0
(x
0
, f(x
0
)) lå på ellipsen og at f(x
0
) = y
0
, har vi at:
Hvis dette indsættes i y – y
0
, som der tidligere blev fundet, kan vi finde ligningen for ligningen for
tangenten, på følgende måde:
Dette omskrives til:
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 24 af
33
Da punktet P
0
(x
0
,y
0
) ligger på ellipsen, og derfor opfylder at:
Vil det derfor også gælde, at en tangent til ellipsen i punket P
0
(x
0
,y
0
) kan beskrives:
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 25 af
33
Ækvivalensen mellem ellipsens analytiske og geometriske egenskaber
Ækvivalensen (af ækvi- og valens, egl. 'af samme værdi') betyder, at være af samme værdi. I formel
logisk henseende siges to udsagn at være ækvivalente, hvis begge er sande, eller begge er falske.
17
Ligheden er, at det i bund og grund er det samme som vist tidligere i opgaven, når jeg har bevist
ellipsens forskellige egenskaber: altså en formel, ved hjælp af geometriske illustrationer. Denne
måde hvorpå man beviser en egenskab, er altså to veje, hvorpå man når frem til samme resultat.
Eksempel:
1) F.eks. hvis excentriciteten forstørres eller mindskes, vil ellipsen i et koordinatsystem blive
henholdsvis mere flad eller mere cirkulær. Jo mere excentriciteten nærmer sig 0, des mere
sammenfaldende vil ellipsens brændpunkter være. Men om det er sagt på den ene måde
eller vist på den anden måde, giver os det samme resultat.
2) Eller, hvis f.eks. storaksen a, på en ellipse i et koordinatsystem forstørres eller mindskes,
eksempelvis fra a=3 til a=7 eller omvendt, vil ellipsen, rent geometrisk, blive længere eller
kortere. Men igen er det et og samme resultat man får, uanset hvilken måde man
beskriver/viser det på: altså, at ellipsen forandres.
Set i et større perspektiv kan man sige, at hvis excentriciteten er henholdsvis mindre en 1, lig med
1 eller større end 1, vil man geometrisk set, i et koordinatsystem, have vist:
e < 1 : ellipse
e = 1 : parabel
e > 1 : hyperbel
17
http://www.denstoredanske.dk/Livsstil,_sport_og_fritid/Filosofi/Logik/%C3%A6kvivalens
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 26 af
33
Løsning af opgave 1
Givet er en ellipse med ligningen
a) Vis, at ellipsen også kan angives ved {P||PE|+|PF|=26}, hvor E og F er to faste punkter i
koordinatsystemet. Beregn E og F’s koordinater
Her vises, at ellipsen også kan angives ved: {P||PE|+|PF|=26}
Givet er:
1
513
2
2
2
2
=+
yx
Herfra isoleres y
2
og der fås:
222
169
25
25)169(
169
25
xxy −=−=
Og der beregnes ved hjælp af punkt-formlen:
2222
)12()12( yxyxPFPE +−+++=+
2222
24 yxxyxxPFPE ++−++++=+
2222
169
25
2524144
169
25
2514424 xxxxxxPFPE −++−+−+++=+
22
169
144
24
169
144
xxxxPFPE +−+++=+
22
13
12
1313
13
12
−+
+
=+ xxPFPE
−++
=+ xxPFPE
13
12
1313
13
12
26=+ PFPE
Beregning af E og F:
Ellipsen er det geometriske sted for de punkter, hvorfra summen af afstandene til to faste punkter
er konstant. De to faste punkter er ellipsens brændpunkter, som vi kalder E og F. Den konstante
afstandssum er det dobbelte af ellipsens halve storakse a.
Af ellipsens ligning ser vi, at den halve storakse er a = = 13 ( da a
2
= 169 )
Og, at den halve lilleakse er b = = 5 ( da b
2
= 25)
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 27 af
33
Ellipsen er placeret med storaksen på x-aksen, med brændpunkterne symmetrisk fordelt omkring
x=0. Et af brændpunkterne er da vinkelspids i en retvinklet trekant med ellipsens lilleakse som den
ene katete, og med dens storakse som hypotenuse.
Den anden katete har da længden √(13
2
– 5
2
) = 12
Hvilket vil sige, at:
E = (-12, 0) og F = (12, 0)
Dette kunne dog også være beregnet på følgende måde, hvor formlen:
, hvor 0<e<1,
benyttes:
isoleres og vi får:
Jeg går derefter videre og isolerer e:
Brændpunkterne vil da være:
E(-ae,0) og F(ae,0)
Dvs.
E(-12,0) og F(12,0)
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 28 af
33
b) Vis at ellipsen også kan angives ved: {P| |PE|=
hvor E er et fast punkt og l er
en bestemt linje. Angiv ligningen for l og koordinaterne for E.
Tidligere i opgaven er E’s koordinater beregnet til (-12,0)
Og ligningen for linjestykket PE(l) beregnes ved hjælp af punkt-formlen:
2222
169
25
25)12()12( xxyxPE −++=++=
22
169
25
2514424 xxxPE −+++=
16924
169
144
2
++= xxPE
=+=
+=+=
+=
12
169
13
12
12
169
13
12
13
13
12
13
13
12
2
xxxxPE
),(
13
12
lPdist
når:
−−=
12
169
),( xPldist
er
12
1
14
12
169
x: −=−=l
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 29 af
33
Løsning af opgave 2
Bestem centrum, halvakser og excentricitet for ellipsen givet ved ligningen: x
2
-6x+9y
2
+18y-18=0
Ved at omskrives ligningen: x
2
-6x+9y
2
+18y-18=0, får jeg:
18)2(99)3(
22
=++−− yyx
18)1)1((99)3(
22
=−++−− yx
189)1(99)3(
22
=−++−− yx
9918)1(9)3(
22
++=++− yx
36)1(9)3(
22
=++− yx
1)1(
36
9
36
)3(
2
2
=++
−
y
x
1)1(
4
1
6
)3(
2
2
2
=++
−
y
x
1
2
)1(
6
)3(
2
2
2
2
=
+
+
− yx
Resultaterne er da:
centrum C = (3,-1)
halve storakse a=6
halve lilleakse b=2
Heraf ses det, at ellipsen er parallelforskudt og at den ”ligger ned” (se figur 15, bilag 2)
For at beregne excentriciteten benyttes formlen:
2
2
2
1 e
a
b
−=
2
2
2
1
a
b
e −=
36
32
36
436
2
22
2
=
−
=
−
=
a
ba
e
36
32
=e
e = 0,942809
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 30 af
33
Konklusion
Jeg har nu fået gennemgået keglesnittene med fokus på ellipsen og jeg har redegjort for ellipsens
egenskaber, både ved hjælp af analytiske og geometriske fremstillinger.
Jeg har også beskrevet og konstrueret ellipsen på forskellige måder, hvilket har resulteret i en
definition af ellipsens ligning, der beskriver denne som geometrisk sted. Herudover har jeg gjort
mig nogle overvejelser omkring ækvivalensen mellem ellipsens analytiske og geometriske
fremstillinger og regnet opgave 1 og 2 for derved at kunne belyse ellipsens problemstilling i
praksis.
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 31 af
33
Kildefortegnelse
Thomas Hebsgaard & Hans Sloth, Matematik for 1-årigt A-niveau, 1. udgave, 1. oplag. 1999
Jens Carstensen & Jesper Frandsen, Matematik 3 for højt niveau, 1990
Vagn Lundsgaard Hansen & Matematiklærerforeningen, TEMAER FRA GEOMETRIEN, 1992
Vestergaards matematiksider: http://www.matematiksider.dk/ellipser.html
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 32 af
33
Bilag 1
Figur 6
18
18
Figur tegnet fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s.252
Figur 10
SSO – Matematik A
[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]
Vejleder: Birgitte Carstens
Side 33 af
33
Bilag 2
Figur 15