[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Indhold
1 Indledning ....................................................................................................................................................... 1
2 Teori ................................................................................................................................................................ 2
2.1 Gnidning på faste legemer ...................................................................................................................... 2
2.2 Viskositet ................................................................................................................................................. 2
2.3 Laminar og turbulent strømning ............................................................................................................. 4
2.3.1 Reynolds tal ...................................................................................................................................... 5
2.4 Gnidningsmodstand på et legeme i en fluid ............................................................................................ 5
2.4.1 Formfaktor ........................................................................................................................................ 6
2.5 En papirkageforms frie fald i luft ............................................................................................................. 8
2.6 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske .......................................................................................... 12
2.7 Den dæmpede harmoniske svingning ................................................................................................... 14
3 Eksperimentelt .............................................................................................................................................. 16
3.1 Forsøg med papirkageforme ................................................................................................................. 16
3.2 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske .......................................................................................... 22
3.3 Den dæmpede harmoniske svingning ................................................................................................... 26
4 Samlet konklusion......................................................................................................................................... 31
5 Litteraturliste ................................................................................................................................................ 32
6 Bilag .............................................................................................................................................................. 33
6.1 Bilag 1 – Opgaver fra bilaget ”Forsøg med papirkageforme” ............................................................... 33
6.2 Bilag 2 – Resultater til afsnit 3.1 Forsøg med papirkageforme ............................................................. 35
6.2.1 Resultater for store kageforme ...................................................................................................... 35
6.2.2 Resultater for små kageforme ........................................................................................................ 37
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 1 af 38
1 Indledning
Du kender det, når du vil skubbe saltbøssen på tværs af bordet til personen overfor eller længere nede ad
bordet, og den af en eller anden årsag ikke når frem men stopper halvvejs. Du synes ellers at have lagt
relativt mange kræfter i skubbet, set i forhold til, hvor lille den egentlig er.
Og hvad kan det være, at det ikke gør mere ondt, når regndråber eller hagl falder fra flere kilometers højde
og burde flyve afsindig hurtigt ned i hovedet på dig, ligesom faldskærmsudspringeren, der kan holde sig
svævende uden at styrte mod jorden og blive tværet ud?
Det skyldes alt sammen det samme fænomen: friktion, måske bedre kendt som gnidningskræfter eller
gnidning. Den er overalt og man kunne ofte ønske, at den ikke var der. Man ville aldrig behøve smøre sin
cykel eller fylde olie på bilens motor eller i knallertens benzin. Motorerne ville køre meget bedre, og man
ville kunne spare en afsindig masse
2
CO
, som jo er i høj kurs i disse dage. Problemet er bare, at uden
friktion, ville hverken bilen, cyklen eller vores egne fødder komme nogen vegne. Friktionen gør, at vi kan stå
fast og bevæge os fremad, og det ville aldrig være muligt at leve i en verden helt uden friktion. Alting ville
skøjte af sted uden nogen form for selvkontrol, ligesom planeter, der har en kurs som de holder indtil de
kolliderer.
Der er altså en grund til, at læren om friktion, eller tribologi som det også kaldes, er gået hen og blevet en
videnskab for sig.
1
Jeg vil i denne opgave undersøge bevægelse med friktion i fluider, altså væsker og gasser og se på, hvilke
parametre, der spiller ind på gnidningskraften. Jeg vil dog først starte med lidt teori om tør gnidning mellem
faste legemer, da dette danner et godt grundlag for forståelsen af gnidningskræfter.
1
Christiansen 1987, kapitel 3 s. 13
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 2 af 38
2 Teori
Mange faktorer spiller ind, når man taler om gnidning, og formlerne, der bruges, er ikke altid de samme.
Nogen gange spiller hastigheden ind, og andre gange er hastigheden fuldstændig ligegyldig.
2.1 Gnidning på faste legemer
For at forstå begrebet gnidning, kan det hjælpe, først at se på faste eller tørre legemer. Tager man Newtons
1. lov i betragtning, vil et legeme enten forblive i stilstand eller opretholde en retlinjet bevægelse, med
konstant hastighed, så længe den resulterende kraft er nul. I langt de fleste virkelige tilfælde vil et legeme i
bevægelse tabe hastighed og gå i stå, og man må altså drage den konklusion, at den resulterende kraft ikke
var nul. Da den resulterende kraft tilsyneladende kun har sænket legemets hastighed, må vi jf. Newtons 2.
lov antage, at kraften har en retning, som er modsat bevægelsesretningen.
2
Når legemer er i berøring med hinanden, vil der opstå berøringskræfter, som kan opdeles i to komposanter,
hvoraf den ene, normalkraften, er vinkelret på berøringsfladen, mens den anden er parallel med
berøringsfladen. Det er denne kraft parallel med, men modsat, bevægelsesretning, der kaldes
gnidningskræften, da det er denne kraft, der bremser bevægelsen.
Gnidningskræfterne skyldes bindinger mellem atomer i overfladen af de to stoffer. For at beskrive
gnidningen mere præcist, er der indført to dimensionsløse størrelser: den statiske og den kinematiske
gnidningskoefficient. Som det antydes i benævnelsen, er der tale om to forskellige gnidningskoefficienter,
ved hhv. stilstand (statisk) eller bevægelse (kinematisk). Både den statiske og den kinematiske
gnidningskoefficient afhænger af de to legemers materialers beskaffenhed, altså overfladernes grovhed.
Det kan relativt let vises empirisk, at den statiske gnidningskraft er større end den kinematiske. Der skal
ikke så meget til at holde bevægelsen i gang, når den først er startet. Desuden er de respektive
gnidningskræfter proportionale med normalkraften, mens ingen af dem afhænger af legemernes indbyrdes
hastighed. Især det sidste er vigtigt at bide mærke i.
3,4
2.2 Viskositet
Vender man blikket mod fluider, altså væsker og gasser, er situationen en helt anden. Begreberne og
definitionerne på normalkræfter og gnidningskræfter er de samme, men der er fx ingen egentlig
berøringsflade.
2
Nielsen, Arly & Nielsen, Jørgen (2002), Mekanisk Fysik og Varmelære, s. 77-79
3
Christiansen 1987, kapitel 3 s. 14-16
4
Bisgård, Knud Maack (1984), Hydromekanik, s. 55-56
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 3 af 38
Der skelnes mellem ideale og reale væsker, hvor de reale er dem, vi støder på i dagligdagen. De ideale
væsker er indført, for at gøre væsker lettere at håndtere rent fysisk, men de er bl.a. kendetegnet ved at
være friktionsløse, hvorfor man i denne kontekst må fokusere på de reale.
5
Når man taler om gnidning i
væsker, taler man om viskositet, og at væsken er viskøs; ”Viskositet er en væskes, gas eller plasmas
træghed eller dens indre friktion.”
6
Hvis en fluid er ikke-viskøs, har den altså ingen indre friktion, og der er
tale om en ideal væske.
Hvis man vil definere viskositet, kan man se på en vilkårlig fluid mellem to vandrette uendeligt udstrakte
plader, hvor den nederste ligger stille, mens den øverste bevæges vandret med konstant hastighed
w
(på
figuren
0
v
). Man vil her se, at væskens hastighed er proportional med afstanden
x
fra den nederste plade,
således, at væskelaget lige over den nederste plade har en hastighed svarende til pladens, altså nul, og
væskelaget lige under den øverste plade, har samme hastighed som pladen selv.
7
Figur 2.2.a – Hastighedsprofil mellem 2 plader. Viser en fluids hastighed mellem en stationær plade og en
plade i bevægelse.
8
Det skyldes, at væskepartiklerne nær de faste plader adhærerer til disse. Man kan sige, at væsken ’klæber’
sig fast på pladerne og opnår samme hastighed som disse.
9
Man kan opstille et udtryk, der beskriver sammenhængen mellem den øverste plades hastighed
w
,
afstanden mellem de to flader
a
, og en partikels hastighed
x
w
, der befinder sig i afstanden
x
fra den
nederste plade:
x
x
w
wx
ww
a x a
5
Nielsen 2002, s. 121
6
Citat fra Wikipedia ”Viskositet”
7
Nielsen 2002, s. 151
8
Figur fra Bisgård 1984, s. 19
9
Nielsen 2002, s. 152
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 4 af 38
Den kraft
F
som den øverste plade bliver påvirket med, for at opnå en hastighed
w
, kan empirisk
eftervises at være proportional med arealet af pladen, som den virker på, og omvendt proportional med
afstanden mellem pladerne, og man får
10
:
Aw
F
a
Det giver god mening, at jo mere væske, der er mellem pladerne, jo større afstand er der også til at
foretage forskydningerne og det kræver altså en mindre kraft. Proportionalitetsfaktoren
, der kommer
ind i billedet, vil afhænge af fluiden og den spænding, som det kræver at foretage forskydninger i denne.
Hvis man flytter rundt på udtrykket får man et udtryk for
, som kaldes den dynamiske viskositet
11
:
2
2
F a N m N s
m
A w m
m
s
I nogle sammenhænge er fluidens massefylde, for gasser også trykket, hensigtsmæssig at tage med i
beregningerne. Da indfører man den kinematiske viskositet
v
, som er defineret som:
2
m
vv
s
2.3 Laminar og turbulent strømning
En anden faktor, der spiller ind, i måden at anskue gnidning i væsker på, er væskens strømning. Ovenfor er
væskestrømningen beskrevet laminar, altså lagdelt. Her følger væskepartiklerne faste baner, og man kan alt
efter disse baner opdele væsken i en slags lag.
Hvis man lader en lille kugle bevæge sig gennem en fluid, vil der opstå laminare væskestrømninger og
gnidningskraften på kuglen vil være proportional med hastigheden i første potens og der gælder Stokes lov.
Hvis hastigheden kommer over et kritisk niveau og hvis legemet bliver for stort, vil væskestrømmen blive
turbulent, latinsk: turbo = hvirvel. Væskepartiklerne vil ikke længere følge deres egne baner, men krydse på
tværs af hinanden. Der skabes såkaldte von Karman hvirvler bag legemet.
12
10
Bisgård 1984, s. 59
11
Nielsen 2002, s. 152
12
Jacobsen, Claus Schelde (1998), Introduktion til Fluid Mekanik, kapitel 3 s. 16
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 5 af 38
Figur 2.3.a – Laminar og turbulent strømning omkring en kugle.
13
2.3.1 Reynolds tal
Den britiske fysiker Osborne Reynolds, der levede fra midten af 1800-tallet til starten af 1900-tallet
14
,
undersøgte fænomenet laminar og turbulent strømning og fandt, at der var en sammenhæng mellem disse.
Han opstillede et dimensionsløst tal Reynolds tal, opkaldt efter sig selv, som skulle kunne forudsige,
hvornår der opstod turbulente strømninger i en given situation.
e
vd
R
Reynolds lavede forsøg med væskestrømninger i rør. Her er
fluidens massefylde,
v
er fluidens
hastighed,
d
er rørets indvendige diameter mens
er fluidens dynamiske viskositet.
15
For en kugle der
bevæges gennem en fluid benyttes samme betegnelser, den eneste forskel er
d
, som da i stedet betegner
kuglens diameter.
16,17
2.4 Gnidningsmodstand på et legeme i en fluid
Følgende afsnit og underafsnit vil tage udgangspunkt i behandlingen af gnidningsmodstand fra s. 100 til 101
i Brydensholt, Morten et al. (2004), Orbit 3. Der er dog fundet understøttelse i andre værker, men netop
dette ene værk har været detaljeret nok i sig selv.
Hvis man bevæger fx en plade med arealet
A
gennem luft, med hastigheden
v
i et infinitesimalt
tidsinterval
t
, vil pladen bevæge sig strækningen
s
, som er givet ved:
s v t
13
Brydensholt, Morten et al. (2004), Orbit 3, s. 100
14
Wikipedia “Osborne Reynolds”
15
Nielsen 2002, s. 153
16
Eriksen, Åge Bredahl (2000), Strømningsprocesser, s. 5
17
Brydensholt 2004, s. 100
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 6 af 38
Luften vil blive påvirket af en kraft
F
, og det arbejde som kraften udfører på luften, som er givet ved kraft
gange strækning, vil kunne sættes lig med luftmængdens tilvækst i kinetiske energi, da denne starter fra
nul, og der ikke bliver afsat energi andre steder i systemet. Vi får altså:
2
1
2
F s m v
Man forestiller sig altså, at pladen opsamler et lag af luft, der bliver større og større med strækningen
s
og får farten
v
. Luftens masse
m
kan omskrives, da rumfang gange densitet er lig med massen:
2
2
1
2
1
2
m A s
F s A s v
F A v
Luftmodstanden på pladen, eller legemer i al almindelighed, er altså afhængig af farten i anden potens.
2.4.1 Formfaktor
I den virkelige verden vil luften dog ikke blive foran pladen. Den vil i stedet strømme omkring pladens eller
legemets sider alt efter formen, og hvor strømlinet legemet er. Luftmodstanden bliver altså mindre end
hidtil antaget og man indfører derfor formfaktoren
w
c
, som afhænger af både legemets form og Reynolds
tal. Den nye model for luftmodstanden, hvor der er taget højde for legemets form, kommer altså til at se
således ud:
2
1
2
w
F c A v
Denne sammenhæng mellem gnidningsmodstanden og farten i anden kaldes logisk nok
2
v
-gnidningsloven.
Sammenhængen mellem
w
c
og
e
R
for hhv. en cylinder og kugle kan eftervises empirisk og ses af graferne
nedenfor:
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 7 af 38
Figur 3.4.a – Sammenhæng mellem formfaktor og Reynolds tal for hhv. cylinder og kugle.
18
Af graferne kan man se, at for Reynolds tal, både for cylinder og kugle, mellem ca. 200 og 300000, er
formfaktoren stort set konstant (den stiplede grønne linje). Formfaktoren ligger da på hhv. ca. 1 for en
cylinder og 0,4 for en kugle. Det er her mere kompliceret at opstille udtryk for gnidningsmodstanden, som
funktion af farten. Derimod, hvis Reynolds tallet kommer under ca. 1 synes der at være en lineær
sammenhæng, hvor
24
w
e
c
R
. Her er strømningen omkring legemerne laminare. Grænserne for Reynolds
tal synes dog at variere fra kilde til kilde.
Indsætter man denne sammenhæng mellem formfaktoren og Reynolds tallet i
2
v
-gnidningsloven, får man:
22
1 12
2
w
e
F c A v A v
R
Substituerer man derefter
e
R
med udtrykket for Reynolds tallet, får man:
2 2 2
12 12
6
2
F A v r v r v
vd
vr
Denne sammenhæng, hvor gnidningsmodstanden kun er proportional med farten i første potens, kaldes
Stokes lov og gælder kun for meget små legemer ved relativt lave hastigheder, hvor væskestrømmen er
laminar.
18
Figur fra Brydensholt 2004, s. 101
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 8 af 38
2.5 En papirkageforms frie fald i luft
Følgende afsnit vil tage udgangspunkt i det udleverede ark Matematikken bag ”den faldende kageform”,
hvor der netop gås i dybden med dette emne.
Newtons 2. lov siger, at den resulterende kraft på et legeme er givet ved legemets masse gange
accelerationen:
res
F m a
Den resulterende kraft på et legeme i frit fald vil være givet ved:
res t g
F F F
, hvor
t
F m g
er tyngdekraften på legemet og
g
F
er gnidningskraften på legemet, der afhænger af
legemets form og hastighed. Gnidningskraften vil jf. Stokes lov eller
2
v
-gnidningsloven stige med farten af
legemet, mens tyngdekraften er konstant og bestemt af legemets masse. Det faldende legeme vil altså
accelerere indtil gnidningskraften bliver lige så stor som tyngdekraften og udligner denne. Den resulterende
kraft vil give nul og jf. Newtons 1. lov har legemet opnået en konstant hastighed. For en papirkageform er
luftmodstanden proportional med farten i anden potens, og man får:
2
2
0 0 0
res t g s
s
mg
F F F m g k v k
v
Hvis udtrykket for
k
indsættes i udtrykket for den resulterende kraft, fås:
2 2 2 2
22
res res s
ss
m g m g
F m g k v m g v F v v
vv
Den resulterende kraft skrives om jf. Newtons 2. lov:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
'
s s s
s s s
m g g g
m a v v a v v v v v
v v v
Accelerationen er den afledte hastighedsfunktion, og man har altså en første ordens differentialligning, da
farten er en funktion af tiden og både tyngdeaccelerationen og slutfarten er konstante.
Differentialligningen er af formen:
22
'y A B y
Benytter man separation af variable får man:
22
22
1dy
A B y dy A dx
dx B y
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 9 af 38
Integreres begge sider får man:
22
2 2 2 2
ln
1
ln 2
2
ln 2 2
A B x B k A B x B k
yB
yB
By
dy A dx A x k B A x k
B y B y B
B y B y B y
A B x B k e e e
y B y B y B
yB
bliver til
By
, da
B
var sluthastigheden og
y
en hvilken som helst hastighed. Den numeriske
værdi af differensen mellem
B
og
y
vil altså altid være givet ved
By
. Indfører man
2C AB
og
2 Bk
De
, får man videre:
11
11
11
C x C x C x C x C x
C x C x
C x C x
C x C x
By
D e y y D e B D e B y y D e B D e B
yB
D e D e
y D e B D e y B B
D e D e
Da hastigheden, når kageformen bliver sluppet, er 0, kan man bestemme D, idet:
0
0
11
0 0 0 0 1
11
C
C
D e D
y B B D
D e D
Indsættes
1D
bliver udtrykket:
1
1
Cx
Cx
e
yB
e
Udtrykket kan simplificeres endnu mere ved brug af hyperbolsk sinus, cosinus og tangens:
sinh
11
sinh og cosh og tanh
2 2 cosh
x x x x
x
x e e x e e x
x
Der skal stadig ændres lidt ved brøken for, at man kan substituere, men det gøres let ved først at
multiplicere tæller og nævner med
1
2
Cx
e
og efter lidt reduktion halveres både tæller og nævner:
1
1 1 1 1
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1
1
Cx
C x C x C x C x
Cx
Cx
C x C x C x C x C x
C x C x
ee
e e e e e
y B B B
e e e e e e e
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 10 af 38
11
22
11
22
1
1
sinh
2
1
2
tanh
1
2
1
cosh
2
2
C x C x
C x C x
ee
Cx
y B y B B C x
Cx
ee
Hvis man nu vender tilbage til den faldende kageform og benytter udtrykkene derfra, får man hastigheden
som funktion af tiden:
2
1
tanh 2 tanh
2
s s s
ss
gg
v t v v t v t
vv
Hastighedsfunktionen er som nævnt tidligere den afledte stedfunktion, altså
's t v t
. Man har altså
endnu en differentialligning:
' tanh
s
s
g
s t v t
v
Løsningen til denne differentialligning menes at være:
2
0
ln cosh
s
s
v
g
s t t s
gv
, hvor
0
s
er begyndelsespositionen.
Man kan efterprøve, ved differentiation af stedfunktionen, om dette virkelig er sandt. Man benytter
kædereglen for sammensat funktion, da der her er tale om tre funktioner sat uden om
t
, som man
differentierer i forhold til. Fra matematikundervisningen vides det, at
' ' ' 'f g h x f g h x g h x h x
Differentierer man vha. denne fremgangsmetode får man:
22
0
1
' ln cosh ' sinh
cosh
ss
s s s
s
vv
g g g
s t t s t
g v g v v
g
t
v
sinh
tanh
cosh
s
ss
s
s
g
t
v
g
v v t
v
g
t
v
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 11 af 38
Da de to udtryk er fuldkommen ens, må den antagne stedfunktion nødvendigvis være løsningen til
differentialligningen.
Benytter man nogle konkrete eksempler fra dataene i eksperimentet med papirkageformene nedenfor, kan
man se forskellen på den almene stedfunktion og den udledte, hvor luftmodstanden er medregnet. Hvis
man tager serien med 5 af de store kageforme får man en sluthastighed på
4.24
s
m
v
s
. Startpositionen
0
s
var
9.42 m
. Den almene stedfunktion
19
er givet ved
2
0
1
2
u
s t g t s
mens den med
luftmodstand er givet ved
2
0
ln cosh
s
s
v
g
s t t s
gv
. Tegner man graferne for disse to
funktioner ser man en markant forskel:
Figur 2.5.a – Viser graferne for bevægelsesligningen hhv. med og uden luftmodstand medregnet i
udtrykkene.
For det første ses det af graferne, at faldtiden, hvor der er taget højde for luftmodstanden, er længere.
Desuden følges de to ad i starten, men som hastigheden stiger, skilles de ad. Umiddelbart synes
kageformen jf. grafen at opnå konstant hastighed allerede 7.5 meter fra gulvet.
19
Brydensholt 2004, s. 72
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 12 af 38
2.6 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske
Følgende afsnit vil tage udgangspunkt i det udleverede ark Bevægelse i væske af Niels Christian Jensen, der
specifikt behandler gnidningsmodstanden på en kugle, der bevæges i væske på samme måde som her.
Hvis man nedsænker en kugle med massen
2
m
i en væske og forbinder den, over en trisse, til en
kontravægt med massen
1
m
, der er lidt større, vil kuglen begynde at bevæge sig opad. Der vil virke 4
kræfter i systemet; tyngdekraften på kontravægten
,1t
F
og på kuglen
,2t
F
, opdriften på kuglen
op
F
og
gnidningsmodstanden
gnid
F
, når den begynder at bevæge sig. Den resulterende kraft er da givet ved:
,1 ,2
2
1 2 1 2
res res t t op gnid
væske
kugle
F m a F F F F
m
dv
m m m g m g g v
dt
Fortegnene skyldes, at kræfterne er i forhold til kuglens bevægelsesretning, som er op.
20
Gnidningsmodstanden antages at være proportional med farten i første potens med en
proportionalitetsfaktor
. Bytter man lidt rundt på leddene får man en differentialligning af samme form
som Newtons afkølingsmodel:
2
12
1 2 1 2
'
væ ske
kugle
m
m m g
dv
v
dt m m m m
y b a y
Newtons afkølingsmodel har formen:
0
dy
b a y hvor a og b R
dx
Man kan benytte separation af variable, integrere begge sider af lighedstegnet, reducere udtrykket og får
da:
22
11
2 2 1
11
1 1 0
1
ln
ln
ax c c
ax
dy dx dy dx b ay
b ay b ay
b ay x c c R
a
b ay ax c c ac R
b ay e e e
20
Hemmingsen, Carl, Gnidning i væske
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 13 af 38
2
2
3
3
3
0
0
c
ax
c
ax
ax
c
e e b b
y e c e
a a a
c
b
y c e c
aa
c
er en konstant, som bliver bestemt af begyndelsesbetingelsen. Man kan dog vise, at
c
også må indtage
værdien 0. Hvis man lader
0c
, vil
y
blive lig med konstantfunktionen
b
y
a
. Indsættes
konstantfunktionen på begge sider af lighedstegnet i differentialligningen, kan man se, at de to sider bliver
identiske:
Venstre side:
'0
b dy
y konstant y
a dx
Højre side:
0
dy b
ba
dx a
Man kan altså godt lade
0c
. Den fuldstændige løsning til differentialligningen er:
,
ax
b
y c e x c R
a
Indsætter man udtrykkene fra bevægelsesligningen bliver løsningen:
1 2 1 2
2
12
2
12
12
12
0
væske
kugle
væske
tt
kugle
m m m m
m
m m g
m
m m g
mm
v t c e c e t
mm
I en sådan model er det klart, at tiden ikke kan være negativ. Benytter man, at begyndelseshastigheden er
nul, kan man bestemme
c
:
12
22
1 2 1 2
0
00
væske væske
kugle kugle
mm
mm
m m g m m g
v c e c
Den fuldstændige løsning til bevægelsesligningen er derfor:
12
22
1 2 1 2
0
væske væske
t
kugle kugle
mm
mm
m m g m m g
v t e t
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 14 af 38
Sluthastigheden kan findes ved at lade
t
:
12
22
1 2 1 2væske væske
kugle kugle
mm
mm
m m g m m g
v t e
2
12 væske
kugle
s
m
m m g
v
Den teoretiske sluthastighed for et system af denne type, er altså givet ved udtrykket ovenfor, hvor
1
m
er
kontravægtens masse,
2
m
er kuglens masse,
kugle
og
væske
er hhv. kuglens og væskens densitet, mens
er en gnidningskonstant og
g
er tyngdeaccelerationen. Jf. Stokes lov er gnidningskonstanten givet ved
6 r
, hvor
er væskens dynamiske viskositet og
r
er kuglens radius. Det færdige udtryk for
kuglens maksimale sluthastighed bliver derfor:
2
12
max
6
væske
kugle
m
m m g
v
r
Man kan desuden benytte formlen til at bestemme viskositeten af en fluid, hvis man måler sluthastigheden
af en kugle i bevægelse i fluiden. Hvis man flytter rundt på formlen får man et udtryk for viskositeten:
2
12
max
6
væske
kugle
m
m m g
rv
2.7 Den dæmpede harmoniske svingning
Følgende afsnit tager udgangspunkt i de udleverede ark Bevægelse i væske af Niels Christian Jensen og Den
harmoniske svingning af Preben Møller Henriksen, hvoraf den sidstnævnte omhandler harmoniske
svingninger mens den sidste omhandler den dæmpede harmoniske svingning.
En kugle hænges op i en fjeder og sættes i svingninger. Da der sker en dæmpning af kuglens bevægelse,
bliver den resulterende kraft en funktion af fjederkraften og dæmpningskonstanten gange farten af kuglen.
Udtrykket for den resulterende kraft kommer til at se således ud:
res fjeder gnid
F F F
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 15 af 38
Fjederkraften
fjeder
F
er jf. Hookes lov givet ved fjederkonstanten gange udsvinget. Det antages, at der er
laminare strømninger omkring kuglen, og Stokes lov må gælde for
gnid
F
. Jf. Newtons 2. lov bliver den
resulterende kraft:
M a k y v
, hvor
M
er den samlede masse i bevægelse,
a
er accelerationen,
k
er fjederkonstanten,
y
er afstanden
fra ligevægtsstillingen mens
er konstanten i Stokes lov og
v
er kuglens hastighed. Da hastigheden er den
afledte stedfunktion og accelerationen er den afledte hastighedsfunktion, må udtrykket kunne skrives:
'' ' '' ' 0 '' ' 0
k
M y k y y M y y k y y y y
MM
Der er tale om en anden ordens differentialligning. som kan vises har den fuldstændige løsning:
2
0
sin
t
M
y y e t
0
y
er startamplituden,
er vinkelfrekvensen, som er givet ved
2
T
, hvor
T
er
perioden/svingningstiden.
er begyndelsesfasen og angiver, hvor sinuskurven starter. Hvis
begyndelsesfasen er nul, starter kurven i origo,
0, 0
. Man kan sige, at den parallelforskyder kurven
vandret. Lidt mere overskueligt kan udtrykket skrives:
2
0
2
sin
t
M
f t A e t
T
Det ses altså, at amplituden bliver dæmpet eksponentielt med tiden
t
. Da man i starten antager, at
gnidningskraften er proportional med farten, kan man benytte Stokes lov. Dæmpningskonstanten
bliver
da konstanten i Stokes lov og man får
6 r
.
Man kan eksperimentelt bestemme dæmpningskonstanten
2
d
k
M
. Indsætter man konstanten fra
Stokes lov kan man bestemme fluidens dynamiske viskositet:
6
2 2 3
d
d
kM
r
k
M M r
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 16 af 38
3 Eksperimentelt
3.1 Forsøg med papirkageforme
3.1.1 Formål
Formålet med forsøget er at undersøge luftmodstanden på en almindelig papirkageform og derved belyse
opgaven ”Forsøg med papirkageform” på bilag 1.
3.1.2 Teori
Teorien vil tage udgangspunkt i afsnit 2.4 og 2.5, der begge har stor relevans i forbindelse med
eksperimentet.
3.1.3 Apparatur og materialer
- Kageforme af to størrelser:
o Store:
Diameter på 63.0 mm.
Masse på 0.302 gram.
o Små:
Diameter på 38.6 mm.
Masse på 0.182 gram.
- Stopur
- Målebånd på 50 m.
3.1.4 Fremgangsmåde
Pga. forsøgets fysiske størrelse (højde), blev jeg assisteret af vejleder og min forhenværende fysiklærer Ole
Stener Jensen. Forinden forsøget hængte vi målebåndet op fra øverste etage, så vi kunne måle
faldstrækningen.
- Vi lod en kageform falde fra en trappe fra en
højde på 9.42 m. Så snart den, formodentlig,
havde opnået maksimal hastighed, startede vi
tidtagning ved 7.75 m højde og målte faldtiden t
1
til bunden af trappen. Dernæst målte vi faldtiden
t
2
, hvor tidtagningen i stedet blev startet da
kageformene var i en højde af 3,6 m. Derved
håbede jeg at kunne eftervise, at hastigheden
allerede efter de første 1.67 m var konstant.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 17 af 38
- Dette gentog vi med op til 5 store kageforme sat oven i hinanden og op til 4 små kageforme. Det
viste sig, at hvis man placerede 5 små kageforme oven i hinanden, ramlede de på vejen ned ind i
gelænderet.
- Måledataene blev i første omgang noteret på en papirblok og senere sat ind i kategoriserede
tabeller i programmet TI-Interactive, som også blev benyttet til databehandlingen.
3.1.5 Resultater og databehandling som bilag
Kun de væsentligste resultater vil blive præsenteret i dette afsnit. Resten vil være at finde på Bilag 2 i afsnit
6.2.
Højder:
- Ole kastede fra en højde på 9,42 m.
- Første måling blev foretaget med en faldstrækning på
1
7.75lm
.
- Anden måling blev foretaget med en faldstrækning på
2
3.6lm
.
Store kageforme:
- Diameter:
6.3d cm
- Tværsnitareal:
2
2
6.3
31.17
2
cm
A cm
- Masse:
For at finde den mest præcise masse vejede jeg alle kageforme på samme tid og delte derefter med
antallet, for at finde massen af én.
37.73
0.302
125
g
mg
For hver forsøgsserie er der tabeller for faldtiderne
1
t
og
2
t
samt hastighederne
1
v
og
2
v
på hhv.
faldstrækning
1
l
og
2
l
. Hastighederne er regnet ud fra
l
v
t
. Ud fra disse resultater er
gennemsnitshastighederne fundet for begge strækninger og de indbyrdes afvigelser er regnet efter
2, 1,
1,
100%
gns gns
gns
vv
Afv
v
. Hastigheden, på den lille faldstrækning
2,gns
v
, afviger fra den længere
faldstrækning
1,gns
v
med mellem 0.04 % og 8.6 %.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 18 af 38
Dernæst er gennemsnitshastighederne for de 5 serier sat sammen i en ny tabel med tilhørende værdier for
luftmodstanden,
luft n
F m g
, samt
2
v
. Sammenhængen mellem luftmodstanden og farten i anden
potens skulle jf. teorien være lineær. Derfor har jeg vha. TI-Interactive lavet en lineær regression af
luftmodstanden som funktion af farten i anden potens. Resultatet er:
Det ses af grafen, at resultaterne netop følger denne lineære sammenhæng med hældningskoefficienten
0.000822a
og den høje forklaringsgrad,
2
0.998r
, vidner om, at måleresultaternes afvigelse fra
forskriften er minimal.
Forskriften for luftmodstanden som funktion af farten må altså blive:
22
000238
luft
F k A v v
, hvor
0.000822kA
.
Vi får
0.000822
0.2637k
A
.
Da enheden for kraft er
2
kg m
N
s
, må der gælde:
2
22
2 2 4 3
luft
kg m m kg m kg
F k A v k m k
s s m m
Til slut kan k derfor bestemmes til
3
0.2637
kg
k
m
. Der må altså gælde en sammenhæng:
22
0238
luft
F k A v A v
.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 19 af 38
Desuden skulle følgende gælde:
22
1 1 2
22
luft w luft w luft w
luft
k
F k A v c A v k c c
Men kan altså finde formfaktoren, som for de store kageforme giver:
3
3
2 0.2637
0.000528
998.2
w
kg
m
c
kg
m
Små kageforme:
- Diameter:
3.86d cm
- Tværsnitareal:
2
2
3.86
11.7
2
cm
A cm
- Masse:
For at finde den mest præcise masse vejede jeg alle kageforme på samme tid og delte derefter med
antallet, for at finde massen af én.
32.79
0.182
180
g
mg
Resultaterne og databehandlingen er opstillet og udført på præcis samme måde som ved de store
kageforme. Gennemsnitshastighedernes afvigelser fra hinanden ligger på mellem 0.7 % og 5.9 %.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 20 af 38
Her lavede jeg også en lineær regression af luftmodstanden som funktion af farten i anden og resultatet er:
Her følger resultaterne også en lineær sammenhæng og det samme gør sig gældende med
forklaringsgraden, som også her nærmer sig 1, hvilket vil sige, at måleresultaterne passer rigtigt godt ind i
sammenhængen.
Forskriften for luftmodstanden som funktion af farten må altså blive:
22
000055
luft
F k A v v
, hvor
0.000412kA
.
k bliver her
3
0.000412
0.3521
kg
k
Am
Der må altså gælde samme sammenhæng som før:
22
0055
luft
F k A v A v
.
Også her udregnes formfaktoren for de små kageforme:
3
3
2 0.3521
2
0.000705
998.2
w
luft
kg
k
m
c
kg
m
Sammenligning af formfaktorerne:
Formfaktorerne er tilsyneladende ikke identiske. Afvigelsen er:
,,
,
000705
100 25.1%
0.000705
w stor w lille
w lille
cc
Afv
c
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 21 af 38
Reynolds tal:
Luftens kinematiske viskositet:
2
6
1.004 10
kin
m
s
- Store kageforme:
2
6
1.85 0.063
116086
1.004 10
e
kin
m
m
vd
s
R
m
s
- Små kageforme:
2
6
79583.7
1.004 10
e
kin
m
m
vd
s
R
m
s
3.1.6 Diskussion
Af
2
,
luft
vF
-graferne ses det, at der er den forventede lineære sammenhæng mellem luftmodstanden og
kvadratet på farten. Der fås en ganske høj forklaringsgrad, hvilket understreger, at de fundne resultater
passer godt ind i sammenhængen. Der fås dog en meget lille konstant adderet på udtrykket, som ikke
burde være der. Det skyldes højst sandsynligt måleunøjagtigheder, der må siges at være den eneste rigtige
fejlkilde i dette eksperiment. Det krævede meget præcision at starte stopuret så snart kageformene
passerede start-højderne og når der først kom 4-5 kageforme oven i hinanden skulle det gå rigtigt hurtigt
med at få stoppet stopuret igen.
De meget små afvigelser på kun op til 8.6 % for gennemsnitshastighederne over strækningerne
1
l
og
2
l
for
både store og små kageforme peger også stærkt imod, at kageformene allerede på de første 1.67 meter
opnåede konstant hastighed.
Formfaktorernes afvigelse på godt 25 % kan ikke umiddelbart forklares. Den lille kageform lignede en ret
præcis skalamodel af den store.
Størrelsen af Reynolds tallene viser, at antagelsen om, at luftmodstanden skulle afhænge af farten i anden
potens holder stik. Tallene er nemlig væsentlig over grænsen på 1, hvor strømningerne ellers ville være
laminare, og da jeg har taget udgangspunkt i den mindste af hastighederne, ved beregning af
e
R
, vil denne
kun stige, jo højere hastighed man benytter.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 22 af 38
Figur 3.2.a – Viser
forsøgsopstillingen.
3.1.7 Konklusion
Jeg ville med forsøget undersøge luftmodstanden på en almindelig papirkageform. Vha. to forskellige
størrelser papirkageforme lavede jeg eksperimenter, hvor jeg lod dem lave frit fald. Jeg fandt at
luftmodstanden afhang af farten i anden potens. Det hænger fornuftigt sammen med Reynolds tallet for de
to papirkageforme, som lå på minimum 79000, hvilket er væsentlig højere end den nedre grænse på 200
for turbulent strømning for fx kugler. Det blev desuden eftervist, vha. målinger fra to forskellige højder, at
kageformene, i løbet af de første 1.67 meter, blev accelereret og opnåede en konstant fart hele vejen til
gulvet, da forskellen mellem de to målte hastigheder ikke varierede med mere end 8.6 %.
For sammenhængen mellem luftmodstanden og farten på en papirkageform gælder altså
2
v
-
gnidningsloven.
3.2 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske
3.2.1 Formål
Formålet med forsøget er dels at undersøge gnidningskræfter på kugler i væsker og
dels at bestemme væskens viskositet.
3.2.2 Teori
Relevant teori vil være at finde i afsnit 2.3, 2.4 og 2.6, der specifikt omtaler dette
specialtilfælde, hvor man har en kontravægt og en kugle nedsænket i vand.
3.2.3 Apparatur og materialer
Jeg benyttede en Two-way Pulley, der sammen med programmet Datalyse laver en
,ts
-graf for trissens bevægelse og dermed kuglen. Blykuglen bevægede sig op i et
ca. 0.5 meter høj målebæger. Som kontravægt konstruerede jeg en lille skål i
stanniol, hvori jeg kunne hælde en passende mængde små blykugler. Jeg brugte
Desuden en vægt med 2 decimaler, til at bestemme kontravægtens masse. Tråden,
der forbandt blykuglen og kontravægten, lignede en ganske almindelig bomuldstråd.
3.2.4 Fremgangsmåde
Jeg startede med at nedsænke blykuglen, forbundet til kontravægten, i vand, hvorefter
jeg passede kontravægten til, så den vejede kun lidt mere end blykuglen, og kuglen netop bevægede sig
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 23 af 38
opad i vandet med tilpas lav hastighed. Idet jeg slipper kuglen fra yderstillingen i bunden af målebægeret,
starter jeg Datalyse, som noterer kuglens bevægelse op til overfladen og laver
,ts
-grafen for denne.
Præcis samme fremgangsmåde brugte jeg for glycerol i målebægeret.
3.2.5 Resultater og databehandling som bilag
Graferne i Datalyse kunne man dernæst bearbejde. Man kan lave en såkaldt fitting, som går ud på, at
konstruere den bedst mulige kurve ud fra måledataene. Da jeg ville finde slutfarten, altså hældningen af
grafen lige inden den knækker ved overfladen, lavede jeg en lineær sammenhæng, som jeg passede ind, så
den netop tangerede det øverste af grafen. Måleplots og tangenter ses for hhv. kugle i vand og kugle i
glycerol:
De fundne forskrifter for tangenterne er:
:
:
Vand s t t
Glycerol s t t
Kuglens sluthastighed er hhv.
0.103
m
s
i vand og
0.070
m
s
i glycerol.
Da det er formålet at bestemme viskositeten af væskerne, benyttes formlen fra teorien, som lyder:
2
12
max
6
væske
kugle
m
m m g
rv
Opdriften på kuglen kan findes mere præcist, da vi kender kuglens diameter, og rumfanget kan findes vha.
3
4
3
Vr
. Udtrykket bliver i stedet:
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 24 af 38
3
12
max
4
32
6
2
væ ske
d
m m g
d
v
Vands viskositet:
Kuglen vejer
2
26.58mg
og har en diameter på
19.03 mm
. Kontravægten, da kuglen var i vand, vejede
1
23.27mg
. Vands densitet er
3
998.2
vand
kg
m
og kuglens sluthastighed var
0.103
m
s
. Indsætter man
tallene i ovenstående udtryk får man vands viskositet:
3
3
4 19.03
998.2
32
0.1554
19.03
6 0.103
2
vand
mm kg
g g g
m
kg
mm m
ms
s
Sammenligner man med tabelværdien for vand på
0.001002
kg
ms
21
får man en afvigelse på:
1002
%
0.001002
Afv
Det er en afsindigt høj afvigelse. Derfor kunne man fristes til at bestemme den teoretiske slutfart af kuglen,
ved at bytte om på to af leddene i udtrykket og benytte vands teoretiske viskositet:
3
12
max
4
32
15.93
6
2
væ ske
d
m m g
m
v
d
s
Glycerols viskositet:
Kontravægten vejede her
1
22.91mg
og glycerols densitet er
3
1264
gly
kg
m
. Viskositeten udregnes til:
3
3
4 19.03
1264
32
0.696
19.03
6 0.07
2
gly
mm kg
g g g
m
kg
mm m
ms
s
21
Andersen, Erik Strandgaard et al. (2000), Databog fysik kemi, s. 161
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 25 af 38
Tabelværdien for glycerols dynamiske viskositet er
1.49
kg
ms
22
og afvigelsen bliver:
0.696 1.49
100 53.3%
1.49
Afv
Reynolds tal:
Det er igen interessant at undersøge, om antagelsen om at Stokes lov må gælde for kuglens bevægelse.
Derfor findes Reynolds tal for både kuglen i vand og i glycerol:
I vand:
2
6
1952.28
1.004 10
s
e
kin
m
mm
vd
s
R
m
s
I glycerol:
2
0.07 19.03
1.13
0.001179
s
e
kin
m
mm
vd
s
R
m
s
3.2.6 Diskussion
Det kunne hurtigt konstateres, at den ellers smarte Two-way Pulley ikke var fuldkommen gnidningsfri, da
den gik i stå af sig selv, hvis man satte den i bevægelse uden belastning. Hvis belastningen fra kontravægten
ikke var stor nok, kunne kuglens bevægelse til tider gå i stå. Det er dog stadig usandsynligt, at kuglen i vand
skulle nå at bevæge sig 16 meter i løbet af 1 sekund, når det i praksis tager kuglen godt 4 sekunder at nå ca.
en halv meter. En afvigelse på 15409 % i forhold til vands teoretiske dynamiske viskositet er helt ude i
skoven. Reynolds tal, der er mellem 200 og 300000 er som nævnt i teoriafsnittet, svære at regne med. Det
kan muligvis være det, at Reynolds tallet for kuglen i vand, ligger midt i mellemområdet, der gør, at der ikke
fås det ønskede resultat. Da hverken vejleder eller jeg selv kan forklare denne brøler på bedre vis, må vi
altså forkaste resultatet. Det kan simpelthen ikke bruges til noget.
Den relativt lave viskositet for glycerol kan hænge sammen med, at glycerol er hygroskopisk
23
. Det betyder,
at den optager vanddamp fra omgivelserne, og da den benyttede glycerol har stået fremme i laboratoriet i
22
Jensen, Niels Christian, Bevægelse i væske
23
Wikipedia ”Glycerin”, http://da.wikipedia.org/wiki/Glycerin
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 26 af 38
ukendt tid, kan den sagtens have nået at optage en del vanddamp fra luften. Det resulterer altså i, at
væsken bliver mere tyndtflydende ligesom vand, og viskositeten bliver mindre. Det var tydeligt, at der ikke
kun var ét stof i målebægeret, da man omkring kuglen, når den blev ført op og ned, kunne se væskens
laminare strømning og lag af anden gennemsigtighed. Om afvigelsen på godt 53 % kan forklares alene af
den grund er dog usikkert. Reynolds tallet taler dog for, at sammenhængen mellem gnidningsmodstanden
og farten, er lineær.
3.2.7 Konklusion
Dette eksperiment er nok ikke det bedste af sin slags, når det gælder om at undersøge gnidningskræfterne
på kugler i væsker og dermed heller ikke til bestemmelse af viskositeten af væsker. Enten har kuglen ikke
fulgt Stokes lov, da den var i vand, ellers har der været fejlkilder af en vis størrelse, siden der fås en
afvigelse på 15409 % mellem den fundne dynamiske viskositet og den teoretiske. Reynolds tallet taler for
det første, da denne befandt sig i det lidt slørede mellemområde, hvor det er sværere at bestemme
sammenhængen mellem gnidningskræfterne og farten. Da kuglen bevægede sig i glycerol derimod, viste
det sig, at hvis man tager glycerols hygroskopiske egenskab in mente, er en afvigelse på 53 % ikke så ringe
endda. Sammen med Reynolds tal kan man altså konkludere, at man sandsynligvis godt kan anvende Stokes
lov til netop denne del af eksperimentet.
3.3 Den dæmpede harmoniske svingning
3.3.1 Formål
Eksperimentet skal undersøge den dæmpede svingning af kugler i væsker
med henblik på bestemmelse af dæmpningsfaktoren og viskositeten.
3.3.2 Teori
Den relevante teori vil være afsnit 2.3, 2.4 og især 2.7, som har direkte
fokus på netop dette specialtilfælde.
3.3.3 Apparatur og materialer
Til dette eksperiment benyttede jeg samme Two-way Pulley, et stativ til at
ophænge fjederen i og samme kugle og målebæger. Fjederen valgte jeg, så
kuglen netop kunne lave pæne svingninger og fjederen ikke nåede tilbage
til dens startposition, når jeg slap kuglen.
Figur 3.3.a – Viser forsøgsopstillingen.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 27 af 38
3.3.4 Fremgangsmåde
Jeg placerede først kuglen i bægeret med vand, så kuglen var netop i midten af bægeret. Dernæst hev jeg i
snoren, så kuglen var få mm. fra bunden, hvorefter jeg slap og startede Datalyse i samme øjeblik. Datalyse
plotter måleresultaterne ind på en
,ts
-graf, hvor jeg så kan lave en fitting, og finde forskriften for den
dæmpede harmoniske svingning.
Hele forsøget gentages med glycerol i stedet for vand og jeg laver desuden en måling uden væske, altså
hvor kuglen bevæger sig gennem luften, for derved at kunne undersøge trissen som fejlkilde.
3.3.5 Resultater og databehandling som bilag
I luft:
De røde cirkler er måledataene mens den fundne graf kun lige skimtes bag punkterne. Forskriften, som blev
fundet vha. fitting, er:
0.049
2
0.082 sin 0.67
2 0.3728
t
f t e t
Den dynamiske viskositet findes vha. formlen fra afsnit 2.7:
1
9.19
3
0.016197
19.03
3
3
2
d
sg
kM
kg
mm
r m s
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 28 af 38
Da en del af fjederen også er i svingning, medregnes en tredjedel af dennes masse. Sammenligner man med
den teoretiske viskositet for luft
24
, er der altså en væsentlig afvigelse:
000018
3%
0.000018
Afv
I vand:
Den fundne forskrift er:
0.416
2
0.052 sin 0.044
2 0.376
t
f t e t
Den dynamiske viskositet af vand er eksperimentel:
1
9.19
3
0.137512
19.03
3
3
2
d
sg
kM
kg
mm
r m s
Afvigelsen fra vands teoretiske dynamiske viskositet
25
:
000018
8 %
0.000018
Afv
24
Andersen 2000, s. 161
25
Andersen 2000, s. 161
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 29 af 38
I glycerol:
Den fundne forskrift er:
2.005
2
0.0660 sin 0.661
2 0.48
t
f t e t
Den dynamiske viskositet af vand er eksperimentel:
1
9.19
3
0.663
19.03
3
3
2
d
sg
kM
kg
mm
r m s
Afvigelsen fra glycerols teoretiske dynamiske viskositet:
0.663 1.49
100 55.5%
1.49
Afv
26
3.3.6 Diskussion
Ved luft og vand har gnidningen i trissen formentligt været meget stor i forhold til den egentlige gnidning i
de to fluider. Man må antage, at det har været årsag til de uhyre høje afvigelser. Det kan bedre passe ved
glycerol, hvis man igen husker på dens hygroskopiske egenskab, at der er en afvigelse på ca. 56 %. Da
dæmpningen var så stor ved glycerol, var der ikke specielt mange toppe at lave grafen ud fra og det var
derfor svært at bestemme en god forskrift for grafen.
26
Jensen, Niels Christian, Bevægelse i væske
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 30 af 38
3.3.7 Konklusion
Med eksperimentet fik jeg undersøgt den dæmpede harmoniske svingning af kuglen i væske. Der var visse
problemer med eksperimentet, formentlig var det gnidning i opstillingen, der gjorde, at jeg fik afvigelser på
helt op til 90000 % for svingningen i luft og dermed ikke kunne bestemme væskernes viskositet helt
præcist. Alligevel fandt jeg glycerols viskositet til
0.66
kg
ms
, der sammenlignet med den teoretiske værdi
giver en afvigelse på
56 %
. Pga. specielle egenskaber ved glycerol kan afvigelsen dog anslås til at være
noget lavere. Jeg fandt desuden, at amplituden bliver dæmpet eksponentielt, hvilket stemmer overens med
teorien i afsnit 2.7.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 31 af 38
4 Samlet konklusion
Opgaven skulle undersøge bevægelse med friktion i luft og væske. Jeg fandt via forskellige kilder frem til
faktorer, der har indvirkning på friktionen af bevægelsen i fluider. Ting som fluiders viskositet og densitet
viste sig at have rigtig stor betydning, men også legemets fart gennem fluiden viste sig at være væsentlig.
Vha. formeludledning fandt jeg frem til, at hvis legemet er kugleformet og bevæger sig med relativt lav
hastighed, er fluidens strømning laminar og gnidningsmodstanden er givet ved Stokes lov.
Gnidningsmodstanden er her proportional med farten. Bliver hastigheden dog for høj, og er legemet ikke
tilpas strømlinet, vil væskens strømning blive turbulent. Dette giver anledning til
2
v
-gnidningsloven, hvor
gnidningsmodstanden pludselig afhænger af farten i anden.
Jeg lavede også eksperimenter, der skulle være i stand til at understøtte de teoretiske formler. Forsøg med
papirkageformes frie fald viste sig at følge
2
v
-gnidningsloven, hvilket de ifølge teorien og Reynolds tal også
burde. Jeg fandt de anvendte papirkageformes formfaktor til
0.000528
og
0.000705
for hhv. de store og
små forme. Jeg udførte et eksperiment, hvor målet dels var at undersøge og støtte op om teorien for
gnidningskræfterne på en kugle i væske og dels at bestemme viskositeten af væskerne. Der viste sig at være
større fejlkilder, der gjorde, at afvigelsen fra vands viskositets tabelværdi blev 15409 %. I glycerol blev
resultatet dog noget bedre og jeg opnåede en afvigelse på 53 %. Reynolds tal viste dog, at
væskestrømningen omkring kuglen i vandet muligvis ikke har været fuldkommen laminar og dette kan
muligvis have flyttet ved sammenhængen. Desuden udførte jeg eksperimenter og udledte formler, der
havde til formål at undersøge og beskrive den dæmpede svingning af kugler i væsker. Resultatet viste, at
gnidningsmodstanden kunne beskrives ved Stokes lov, da kuglen svingede i glycerol og viskositeten kunne
bestemmes med en afvigelse fra tabelværdien med 56 % afvigelse. Resultaterne afveg igen voldsomt, da
kuglen bevægede sig i vand og luft. Reynolds tal viste også her, at årsagen formentlig har været, at hhv.
væskens og luftens strømning omkring kuglen ikke har været 100 % laminar.
Jeg kan på baggrund af eksperimenterne konkludere, at den udledte teori holder stik. Hastigheden, som
ved tørre faste legemer ikke havde nogen betydning, spiller pludselig en stor rolle, når man taler om viskøs
gnidning og alt efter om væskens strømning er laminar eller turbulent, afhænger gnidningsmodstanden på
et legeme altså af enten farten i første potens eller farten i anden potens givet ved hhv. Stokes og
2
v
-
gnidningsloven. Der er ikke bare ét men mange aspekter man skal forholde sig til, når man taler gnidning i
fluider. Kun vha. teoretiske overvejelser og eksperimentel undersøgelse, kan man komme frem til et
nogenlunde entydigt svar.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 32 af 38
5 Litteraturliste
Bøger:
Kilde 1: Andersen, Erik Strandgaard et al. (2000) [1980], Databog fysik kemi, F & K, København
Kilde 2: Jacobsen, Claus Schelde (1998), Introduktion til Fluid Mekanik, Den Private Ingeniørfond,
Lyngby
Kilde 3: Fredsøe, Jørgen (1990), Hydrodynamik, Den Private Ingeniørfond, Lyngby
Kilde 4: Bisgård, Knud Maack (1984), Hydromekanik, Fysisk Laboratorium, Den kgl. Veterinær- og
Landbohøjskole, København
Kilde 5: Christiansen, Gunnar et al. (1987), Mekanik, Laboratoriet for Teknisk Fysik II og III, Lyngby
Kilde 6: Nielsen, Arly & Nielsen, Jørgen (2002), Mekanisk Fysik og Varmelære, Erhvervsskolernes
Forlag, Odense
Kilde 7: Brydensholt, Morten et al. (2004) [2000], Orbit 3, Systime, Århus
Kilde 8: Eriksen, Åge Bredahl (2000), Strømningsprocesser, notat, Horsens
Udleveret af vejleder:
Kilde 9: Jensen, Niels Christian, Bevægelse i væske, udleveret d. 4.12.2009
Kilde 10: Hemmingsen, Carl, Gnidning i væske, udleveret d. 4.12.2009,
http://www.datalyse.dk/carl/gnidvand.htm, set d.
Kilde 11: Hemmingsen, Carl, Hamoniske svingninger, udleveret d. 4.12.2009
http://www.datalyse.dk/carl/ntharmon.htm, set d.
Kilde 12: Matematikken bag ”den faldende kageform”, udleveret d. 4.12.2009
Hjemmesider:
Kilde 13: Henriksen, Preben Møller, Den harmoniske svingning,
http://uvmat.dk/pmh/uvprojekt/harmoni-net.pdf, set d.
Kilde 14: Wikipedia ”Glycerin”, http://da.wikipedia.org/wiki/Glycerin, set d. 7.12.2009
Kilde 15: Wikipedia “Osborne Reynolds”, http://en.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds, set d.
Kilde 16: Wikipedia ”Viskositet”, http://da.wikipedia.org/wiki/Viskositet, set d. 8.12.2009
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 33 af 38
6 Bilag
6.1 Bilag 1 – Opgaver fra bilaget ”Forsøg med papirkageforme”
a) Faldtiden for en kugle, der slippes fra en højde af 4 meter over gulvet, når man ser bort fra
luftmodstanden:
For frit fald uden modstand benyttes stedfunktionen
2
00
1
2
s t g t v t s
. Startpositionen
0
s
er 4 meter over
0st
, som er gulvet. Kuglen har ikke nogen fart idet, den bliver sluppet,
derfor er
0
0v
. Man har altså:
2
1
0 0 4
2
m
g t t m
s
Tiden t skal isoleres i udtrykket:
2 2 2
2
48
9
9.81
mm
t s t s s
m
g
s
Det tager altså kuglen 0.9 sekunder at nå gulvet.
b) Bestemmelse af faldtiden for 5 papirkageforme ud fra de givne forsøgsresultater:
Kageformene når konstant fart, når luftmodstanden er lig med tyngdekraften på legeme. Jf.
Newtons 2. lov betyder det:
2
0
res s s
mg
F m g k A v v
kA
Kageformene opnår konstant fart så hurtigt, at vi kan antage, at de har konstant hastighed hele
vejen mod gulvet. Faldstrækningen
s
vil da være givet ved:
11
1
22
2
s
s
s s m g g
s v t t s s m
v k A k A
mg
kA
Faldtiden
t
afhænger altså af den reciprokke kvadratrod af massen. Desuden er massen ligefrem
proportional med antallet af kageforme
n
. Derfor må faldtiden også afhænge af den reciprokke
kvadratrod af antallet af kageforme. Da faldstrækning, tyngdeacceleration,
k
og tværsnitarealet er
konstant får vi da:
1
2
t c n
, hvor
1
2
g
c s konstant
kA
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 34 af 38
På baggrund af forsøgsresultaterne, kan man lave en potens-regression af tiden som funktion af
antallet af kageforme. Det har jeg gjort i TI-Interactive og resultatet er følgende funktion:
0.50
3.80t n n
Graf for faldtiden som funktion af antallet af papirkageforme.
Dette passer altså nøje med de teoretiske overvejelser. Nu kan faldtiden
5t
, for 5 kageforme sat
oven i hinanden, bestemmes:
5 1.70ts
Faldtiden for 5 papirkageforme er altså 1.7 sekunder.
c) Forklaring af, hvorfor faldtiden bliver den samme, hvis papirkageforme af samme papir, men
med forskelligt tværsnitareal slippes fra samme højde:
Vi tager udgangspunkt i udtrykket for tiden
1
2
mg
ts
kA
. Massen af et legeme er givet ved
rumfanget gange densiteten af stoffet, altså
mV
. Rumfanget af papiret i en papirkageform er
givet ved tværsnitarealet gange papirtykkelsen
x
. Dvs.
m A x
. Substitueres dette ind i
udtrykket for faldtiden fås:
11
22
A x g x g
t s s
k A k
Det ses af udtrykket, at faldtiden ikke afhænger af tværsnitarealet. Faldtiden vil altså være den
samme, hvis kun tværsnitarealet ændres.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 35 af 38
6.2 Bilag 2 – Resultater til afsnit 3.1 Forsøg med papirkageforme
6.2.1 Resultater for store kageforme
1 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
4.36
1.94
1.78
1.86
3.94
2.25
1.97
1.60
4.13
2.12
1.88
1.70
4.44
2.25
1.75
1.60
4.07
2.09
1.90
1.72
Gennemsnitsfart:
1,
1.85
gns
m
v
s
2,
1.70
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 8.6%
gns gns
gns
vv
v
2 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
3.07
1.41
2.52
2.55
3.08
1.43
2.52
2.52
3.09
1.48
2.51
2.43
3.03
1.49
2.56
2.42
3.02
1.43
2.57
2.52
Gennemsnitsfart:
1,
2.53
gns
m
v
s
2,
2.49
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 1.9%
gns gns
gns
vv
v
3 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
2.27
1.17
3.41
3.08
2.41
1.20
3.22
3.00
2.34
1.06
3.31
3.40
2.64
1.12
2.94
3.21
2.38
1.24
3.26
2.90
Gennemsnitsfart:
1,
3.23
gns
m
v
s
2,
3.12
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 3.4%
gns gns
gns
vv
v
4 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
2.05
1.00
3.78
3.60
2.05
0.99
3.78
3.64
2.04
0.91
3.80
3.96
2.13
0.90
3.64
4.00
2.06
0.99
3.76
3.64
Gennemsnitsfart:
1,
3.75
gns
m
v
s
2,
3.77
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 0.4%
gns gns
gns
vv
v
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 36 af 38
5 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
1.81
0.86
4.28
4.19
1.84
0.86
4.21
4.19
1.84
0.88
4.21
4.09
1.83
0.88
4.23
4.09
1.83
0.87
4.23
4.14
Gennemsnitsfart:
1,
4.24
gns
m
v
s
2,
4.14
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 2.3%
gns gns
gns
vv
v
Sammenligning af sluthastighed og luftmodstand:
n
Antal forme
i
n
m n m
g
iN
luft n
F m g
m
i
s
v
2
2
m
i
s
v
0
0.000
0.00000
0.00
0.00
1
0. 302
0.00296
1.85
3.42
2
0. 604
0.00592
2.53
6.40
3
0. 906
0.00888
3.23
10.43
4
1.207
0.01184
3.75
14.06
5
1.509
0.01481
4.24
17.98
Hastighederne benyttet er
1,gns
v
, da disse formodes mest præcise. Jeg har her selv indsat punktet (0,0), da
der jo ikke forventes at være nogen luftmodstand, når der ikke er nogen kageforme. Det hjælper blot til at
finde den bedst mulige regression.
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 37 af 38
6.2.2 Resultater for små kageforme
1 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
3.56
1.78
2.18
2.02
3.81
1.73
2.03
2.08
3.77
1.77
2.06
2.03
3.76
1.75
2.06
2.06
3.86
1.74
2.01
2.07
Gennemsnitsfart:
1,
2.07
gns
m
v
s
2,
2.05
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 0.7%
gns gns
gns
vv
v
2 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
2.59
1.19
2.99
3.03
2.78
1.23
2.79
2.93
2.80
1.21
2.77
2.98
2.66
1.22
2.91
2.95
2.77
1.26
2.80
2.86
Gennemsnitsfart:
1,
2.85
gns
m
v
s
2,
2.95
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 3.3%
gns gns
gns
vv
v
3 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
2.08
0.94
3.73
3.83
2.21
1.10
3.51
3.27
2.09
1.13
3.71
3.19
2.16
1.08
3.59
3.33
2.22
1.08
3.49
3.33
Gennemsnitsfart:
1,
3.60
gns
m
v
s
2,
3.39
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 5.9%
gns gns
gns
vv
v
4 stk.:
1
t
i s
2
t
i s
1
v
i m/s
2
v
i m/s
1.89
0.92
4.10
3.91
1.84
0.96
4.21
3.75
1.80
0.94
4.31
3.83
1.94
0.91
3.99
3.96
1.84
0.81
4.21
4.44
Gennemsnitsfart:
1,
4.16
gns
m
v
s
2,
3.98
gns
m
v
s
Afvigelse:
2, 1,
1,
100 4.5%
gns gns
gns
vv
v
[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]
Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker
3.b Tønder Gymnasium & HF
Side 38 af 38
Sammenligning af sluthastighed og luftmodstand:
n
Antal forme
ig
n
m n m
iN
luft n
F m g
m
i
s
v
2
2
m
i
s
v
0
0. 000
0.00000
0.00
0.00
1
0. 182
0.00179
2.07
4.28
2
0. 364
0.00357
2.85
8.12
3
0. 547
0.00536
3.60
12.96
4
0. 729
0.00715
4.16
17.31