[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
1
INDHOLDSFORTEGNELSE
• Indholdsfortegnelse ………………………………………………………………………………….. 1
• Indledning ………………………………………………………………………………………………… 2
• Teori ………………………….……………………………………………………………………………… 3
• Fjederophængt pendul ………………………………………………………………………. 3
• Enkeltmatematisk pendul ………………………………………………………………….. 5
• Introduktion til eksperimenterne ………………………………………………………………. 6
• Snorkoblede penduler (1. eksperiment) …………………………………………………… 7
• Forsøgsopstilling ……………..………………………………………………………………… 7
• Databehandling ……………..…………………………………………………………………... 8
• Teori ……………..………………………………………………………………………………….. 12
• Sammenligning ……………..…………………………………………………………………. 17
• Fjederkoblede penduler (2. eksperiment) ……………………………………………….. 17
• Forsøgsopstilling ……………………………………………………………………………… 17
• Databehandling ……………..…………………………………………………………………. 18
• Teori ……………..………………………………………………………………………………….. 22
• Sammenligning ………………………………………………………………………………… 24
• Afrundende bemærkninger ……………………………………………………………………… 24
• Litteraturliste …………………………………………………………………………………………… 25
• Bilag ……………………….……………………………………………………………………………….. 26
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
2
INDLEDNING
En af de mest beskrevne grene af den klassiske mekanik er svingninger. Især er der foretaget
utallige eksperimenter på nogle af de simpleste mekaniske systemer, nemlig enkeltmatematiske
penduler og fjederpenduler. Nogle af grundene til, at man har studeret pendulsvingninger så meget
er dels, at de er relativt nemme at beskrive uden voldsom avanceret matematik, dels fordi de
alligevel viser mange begreber i mekanikken „i anvendelse“. Når man nu skal beskrive disse typer
af penduler, er der mange ting at tage fat på: man kan undersøge hvilke kræfter, der virker på
pendulerne og hvor store disse er, man kan undersøge deres energiforhold og svingningstider med
mere, relativt enkelt. (Mere om dette i næste afsnit.)
Man kan nu spørge sig selv, hvad der egentlig vil ske, hvis man kobler flere penduler sammen.
Vil kraftpåvirkningen da være den samme, som hvis der var tale om enkelte penduler, vil de svinge
som enkeltpenduler, og hvad med omdannelsen fra potentiel energi til kinetiske energi og omvendt?
Dette er nogle af de ting, der er interessante at undersøge, først og fremmest fordi de optræder
overalt i vores hverdag; eksempelvis to ens pendulure, der hænger side om side på en væg, vil være
koblede (om end meget svagt) gennem væggen.
I opgaven vil jeg først og fremmest beskrive og analysere de indsamlede data fra mine forsøg med
to fjederkoblede penduler og to snorkoblede matematiske penduler
1
. Derefter vil jeg beskrive de
samme penduler rent teoretisk, og så sammenligne dem, og prøve at forklare eventuelle afvigelser
mellem eksperimenterne og de teoretiske overvejelser.
Hovedvægten i opgaven vil blive lagt på de eksperimentelle undersøgelser af de omtalte
penduler, samt analyser af de indsamlede data og kommentering af de forskellige grafer
2
, mens der
vil bli-ve lagt knap så meget vægt på lange matematiske og fysiske beskrivelser af de fænomener,
der opstod i forbindelse med eksperimenterne.
1
For eksperimentet med det dobbeltmatematisk pendul med stive stænger, nøjes jeg med at behandle dataene i
regneraket „Stangkoblede penduler - VideoPoint“, på den vedlagte cd.
2
Da det ikke er muligt at vise samtlige grafer i denne opgave, henviser jeg til den vedlagte cd, hvorpå det hele ligger.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
3
TEORI
Før jeg går i gang med at beskrive de undersøgte dobbeltpenduler teoretisk, vil jeg kort behandle de
i indledningen omtalte simple enkeltmatematiske penduler og fjederpenduler. Figur 1 viser en skitse
af de to pendultyper:
Figur 1
Fjederophængt pendul Enkeltmatematisk pendul
Fjederophængt pendul
Da fjederkraften
F
fj
er en elastisk kraft, ved jeg at den adlyder Hookes lov
3
, og hvis man nu vælger
en orientering, så både fjederkraften
F
fj
og stedkoordinaten
x
kan regnes med fortegn, fås
= + = −F F F F kx
res fj t
res
Þ
(1.1)
hvor
k
er fjederkonstanten. Dog er (1.1) kun en god tilnærmelse, så længe fjederens elastiske
grænse ikke overskrides.
3
„ORBIT 3“ (forkortes „O3“), s. 111.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
4
Hænger man kuglen med massen
m
i fjederen, vil dens forlængelse fra startpositionen til
x
0
være
givet ved
=kx mg
0
(1.2)
forudsat at man vælger den positive orientering nedad. Trækkes kuglen nu et stykke ned, fås
( )
= − + = − + = − −F kx mg kx kx k x x
res 0 0
(1.3)
Ved brug af Newtons
2
. lov på (1.1) får man så, at
= = − = −
Fk
a x x
mm
2
res
w
(1.4)
hvor
= km/w
er vinkelfrekvensen. Af (1.3) ses det videre, at
F
res
adlyder Hookes lov, og ifølge
(1.4) vil fjederen så udføre en harmonisk svingning – fjederpendulet siges at være en harmonisk os-
cillator (oscillere = svinge) – omkring ligevægtsstillingen
x
0
. Generelt siges en partikel at udføre en
simpel harmonisk svingning hvis den adlyder (1.4), der normalt skrives som
+=xx
2
0w
(1.5)
hvor
x
er Newtons skrivemåde for den afledede af
2
. orden. Det kan så vises, at den generelle
løsning til den homogene andenordensligning (1.5) er givet ved
=+x A t B tsin cosww( ) ( )
(1.6)
hvor
A
,
B
og
w
er vilkårlige konstanter, der afhænger af systemets begyndelsesbetingelser
4
.
Jeg har nu vist, at en fjeder vil udføre en harmonisk svingning omkring ligevægtspositionen hvis
man regner uden friktion. Regnes friktionen derimod med som en faktor, vil fjederen i stedet udføre
en såkaldt dæmpet harmonisk svingning. (Mere om dette på side 16.)
4
„O3“, s. 112.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
5
Enkeltmatematisk pendul
Nu vil jeg regne på et „ideelt“ matematisk pendul, hvilket vil sige, at snoren er stiv og masseløs, og
at der ingen friktion er. Af figur 1 ses det, at den resulterende kraft på systemet er givet ved
= + = = −F F F F F mg
res s t
res t
sinÞ ()q
(2.1)
Ved brug af Newtons
2
. lov på (2.1) fås, at
− = =mg ma mxsin()q
(2.2)
men
=xlq
, så
− = + = + =
g
mg ml ml mg
l
sin sin 0 sin 0q q q q q q( ) ( ) ( )ÛÛ
(2.3)
Ligning (2.3) er en ikke-lineær differentialligning af 2. orden, idet den ukendte funktion
q
ikke ind-
går lineært. Det viser sig nu, at ved approksimationen
sin qq()
laves en såkaldt linearisering af
systemet
5
, hvorved visse af de kvalitative egenskaber ved løsningskurverne bevares, hvis
1q
.
Eftersom jeg kun regner med små udsving, kan det nu antages, at buelængden er en ret linje. Af
figur 1 ses det også, at
F
res
altid peger mod pendulets midterstilling (altså er modsatrettet
udsvingets retning). Alt dette betyder, at (2.1) kan omskrives til
= − − = − = −
mg
F mg mg x kx
l
res
sin()qq
(2.4)
hvor
=k mg l/
. Altså udfører pendulet med god tilnærmelse en harmonisk svingning med en
svingningstid, der er givet ved
= = = = =
m m l
T
k m k mg l g
22
2 2 2
//
pp
p p p
w
(2.5)
5
Man kan godt få et mere præcist resultat ved at fortsætte rækkeudviklingen, men så bliver udtrykket for
svingningstiden i (2.5) til gengæld mere kompliceret.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
6
Som sagt er (2.5) kun en tilnærmet formel for svingningstiden. En eksakt værdi er derimod givet
ved følgende elliptiske integrale
6
:
( )
=
−
l
T
g
1
2
22
1
0
2
0
4
1 sin sin
p
j
qj()
(2.6)
hvor
0
q
er startudsvinget målt i radianer,
l
er pendullængden. Da (2.6) ikke kan beregnes eksakt,
må man ty til numeriske beregninger for at finde svingningstiden.
INTRODUKTION TIL EKSPERIMENTERNE
Inden jeg går i gang med de eksperimentelle og teoretiske undersøgelser af de koblede penduler, vil
jeg prøve at skabe et overblik over, hvad det er jeg kommer ind på i de følgende afsnit.
I det første af de tre eksperimenter, de snorkoblede penduler, vil jeg starte med at gøre rede for
forsøgsopstillingen, dennes virkemåde samt det brugte dataopsamlingsapparatur. Derefter går jeg
videre til selve dataopsamlingen, hvor de rå måledata vil blive præsenteret. Som det næste, kommer
så behandlingen af de rå data, hvor jeg vil starte med at beskrive pendulernes udsving som funktion
af tiden. Under afsnittet om databehandling kommer jeg også ind på begreberne faserum og
attraktorer. Efter at data er behandlet og analyseret, laver jeg nogle teoretiske beregninger på
pendulerne, for at kunne lave en sammenligning mellem de opnåede resultater og teorien.
Eventuelle afvigelser vil jeg så prøve at forklare ud fra de mulige fejlkilder, der er ved
eksperimenterne. Hovedvægten vil komme til at ligge på beskrivelsen og sammenligningen af
forskellige grafer.
Med hensyn til de fjederkoblede penduler, vil jeg gennemgå dette eksperiment analogt det første,
dog ikke helt så grundigt, da det ellers hurtigt vil blive trivielt. For det sidste eksperiments vedkom-
mende, har jeg ikke tænkt mig at fortælle noget videre, da det mest var tænkt som et kreativt
indslag. Data kan dog ses på den vedlagt cd.
6
Se bevis herfor på bilag 1.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
7
SNORKOBLEDE PENDULER (1. EKSPERIMENT)
Forsøgsopstilling
Først kommer her et billede af forsøgsopstillingen, så der er noget at gå ud fra:
Billedet viser forsøgsopstillingen, der består af et matematisk pendul ophængt bifilart, som er
fastgjort til loftet. I dette pendul er der så fastgjort et simpelt matematisk pendul nedenunder.
For at kunne måle på systemet, blev der monteret to snore på det af pendulerne, der skulle måles
på (her det nederste). Disse snore blev så trukket op om hver deres tovejstrisse, hvorefter der blev
fastgjort et lille kontralod i enden af dem, for at undgå at tråden faldt ud af trissen eller at den gled i
trissen. Hvad angår tovejstrisserne, så blev de forbundet til hver deres pc med
dataopsamlingsprogrammet Datalyse
®
. Selve funktionen af trisserne er, at de registrerer retning og
afstand meget nøjagtigt – præcist hvor nøjagtigt, er jeg ikke klar over –, når de følger snoren.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
8
Ud over at måle med tovejstrisser, lavede jeg også en videooptagelse af de svingende penduler. Alle
disse billeder blev så overført til programmer VideoPoint
®
2.5, hvor det er muligt at plotte pendu-
lernes positioner på hvert billede
7
, hvilket selvfølgelig er et møjsommeligt arbejde, men der er ikke
rigtig andre muligheder. Man kan dernæst vælge at lave datamanipulation direkte i VideoPoint eller
man kan vælge at overføre dem til et andet databehandlingsprogram, eksempelvis Microsoft
Excel
®
, hvilket jeg har valgt at gøre
8
.
Databehandling
I dette afsnit vil jeg bruge data fra VideoPoint, fordi jeg dermed er i stand til at behandle både det
øverste og det nederste lod, dog kan dataene fra Datalyse ses på den vedlagte cd. Inden jeg nu går i
gang med selve behandlingen af dataene, starter jeg med at plotte de rå, ubehandlede data:
Figur 2
Et helt ordinært (x , y)-plot for det nederste pendul.
Ud fra en ren visuel betragtning, er der noget der tyder på, at punkterne ligger pænt på en cirkelbue,
dog kræves der regression for dokumentation heraf. Hvis det rent faktisk viser sig, at punkterne alle
sammen ligger på en cirkelbue, så kan det vel næppe komme som nogen overraskelse, eftersom
pendulets ophængningspunkt ikke flyttes, og pendulsnoren samtidig forbliver strakt.
7
Se et screenshot fra henholdsvis VideoPoint og Datalyse på cd'en.
8
På den vedlagte cd kan disse data (samt grafer) ses ved at åbne regnearket „Snorkoblede penduler - VideoPoint“.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
9
Da jeg i det følgende teoriafsnit vil starte med at bestemme størrelserne af penduludsvingene som
funktion af tiden, vil det være passende at begynde med at undersøge dette for de indsamlede data:
Figur 3
Penduludsvingene, målt i radianer, som funktion af tiden, for det nederste af pendulerne.
Af figur 3 ses det, at pendulet omtrent har en svingningstid på
,19
sekunder (
16
svingninger på
30
sekunder). Nu er der en gylden mulighed for at sammenligne med et enkeltmatematiske pendul.
Ved brug af (2.5) fås, at svingningstiden for et sådant pendul er lig med
,
,
,
l
T
g
2
0 72 m
2 2 1 7 s
9 815 m/ s
pp
Der er altså noget der tyder på, at svingningstiderne stemmer rimeligt overens, men der kan jo bare
være tale om en statistisk tilfældighed, så det mest „rigtige“ ville være, at se på gennemsnittet.
En anden ting, som også er meget bemærkelsesværdig er, at udsvingenes størrelser aftager med
tiden. Ganske vist mindskes udsvingene kun langsomt, men det ser altså ud til, at der er en eller an-
den ydre kraft, der påvirker systemet, og som tiden går bremser pendulerne mere og mere. Den kraft
der er tale om, er naturligvis friktionen mellem lod og snor samt luftmodstanden, hvorved systemet
lige så stille drænes for energi. Jævnfør side 4 nederst ser det altså ud til, at dette mekaniske system
er en dæmpet oscillator. Hvorvidt der er tale om harmoniske svingninger er ikke til at sige, men ud
fra grafen, kan det godt se ud som om det nederste af de to snorkoblede matematiske penduler
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
10
udfører dæmpede harmoniske svingninger. Nu kunne det være interessant at undersøge, hvad der
sker, hvis man også inddrager det øverste pendul, og laver et parametriseret plot
9
for de to pendulers
udsving som funktion af hinanden:
Figur 4
Et (
1
,
2
)-plot.
Ved første øjekast ligner denne figur jo ikke andet end det rene kaos, men kigger man nærmere på
den, så minder denne figur faktisk en del om en såkaldt Lissajouskurve
10
, der er beskrevet ved
følgende parameterligninger
11
:
=+x t a nt csin( ) ( )
(3.1)
=y t b tsin( ) ( )
(3.2)
hvor
a
,
b
,
c
og
n
er vilkårlige konstanter, der fastlægges ud fra systemets startbetingelser.
9
Det vil sige at punkterne forbindes af en parameterkurve.
10
Se mere om sådanne kurver, der er opkaldt efter den franske matematiker Jules-Antoine Lissajous, på side 14.
11
http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
11
I den teoretiske gennemgang af disse penduler, vil jeg lave et tilsvarende (
1
q
,
2
q
)-plot ud fra samme
begyndelsesbetingelser, som der indgik i eksperimentet, og så derudfra prøve at sammenligne de to
figurer, så det gerne skulle blive klart, at der rent faktisk er tale om en Lissajouskurve på figur 4.
Det næste jeg nu vil give mig i kast med, er beskrivelsen af et faserumsdiagram (se det følgende
teoriafsnit) over nogle af dataene. Når man vil afbilde punkter i et faserum, er der flere forskellige
typer af faserum man kan vælge, alt efter hvad man ønske af undersøge. Et ofte benyttet
faserumsdiagram konstrueres ved at plotte pendulloddets forskydning mod dets hastighed – et (
r
,
v
)-dia-gram
12
. Denne type diagram vil jeg dog ikke benytte mig af her (selvom det vil være det
mest „korrekte“, da det indeholder alle nødvendige informationer om det dynamiske system),
hvilket skyldes, at der næsten ikke sker nogen variation i
y
-dimensionen, så man vil derfor kunne
få mere brugbar information ud af et faserumsdiagram, hvor loddets horisontale positionsændring
plottes mod dets horisontale hastighedskomponent, altså et (
x
,
x
v
)-diagram.
Figur 5
Et (x , v
x
)-faserumsdiagram for det øverste af de to koblede penduler.
12
„Det kreative kaos“ (forkortes „KK“), s. 57.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
12
Igen må man sige – ligesom ved figur 4 –, at ved første øjekast, ligner det ikke noget man kan tolke
noget ud af, men det er alt andet end rigtigt. Ud fra figur 5 kan man med lidt god vilje se, at
punkterne med koordinaterne (
,0 15
,
0
) danner en slags fikspunkter. Det, at disse punkter
„tiltrækker“ punktforløbet gør, at figur 5 kaldes en attraktor
13
(attract = tiltrække). Hvad angår
attraktorer, så er de et typisk kendetegn for kaotiske, dynamiske systemer, fordi de viser, at der til
trods for det tidsligt uordnede forløb, er en underliggende orden i selve systemet – her pendulernes
svingninger.
Teori
Analogt databehandlingen, vil jeg starte med at undersøge pendulernes udsving som funktion af ti-
den. For at kunne bestemme størrelserne af penduludsvingene, bliver jeg nødt til at gøre visse
urealistiske antagelser, nemlig at snorene er masseløse og at systemet ikke dæmpes af friktion.
Figur 6
Et ideelt, matematisk dobbeltpendul.
13
„Kaos og ikke-elefanter“ (forkortes „KIE“), s. 69.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
13
Jeg vil nu opstille nogle differentialligninger, der beskriver udsvingene for to koblede matematiske
penduler som funktion af tiden
14
. Dette er blandt andet muligt ud fra en kraftanalyse, men det vil in-
debære roterende koordinatsystemer, hvilket er upraktisk (påstand af Poul Møller Petersen).
Det kan vises, at systemets kinetiske og potentielle energi er givet ved
( )
( )
= + + + −E m l m l l ll
2 2 2 2 2 2
11
kin 1 2 1 2 1 2
22
2 cosq q q qq q q
(4.1)
( ) ( ) ( )
= − + −E m m gl m gl
pot 1 2 1 1 2 2 2
cos cosqq
(4.2)
Ved brug af Lagrangedifferentialligningen, kan man så opstille følgende to ligninger:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + − + − + + =m m l m l m l m m g
2
1
cos sin sin 0q q q q q q q q
(4.3)
( ) ( ) ( )
+ − − − + =m l m l m l m g
2
2 1 1 1 2 2 2
cos sin sin 0q q q q q q q q
(4.4)
De to koblede differentialligninger af
2
. orden (4.3) og (4.4) kan nu løses numerisk for
1
q
og
2
q
,
for vilkårlige parametre og startbetingelser, hvilket figur 7 viser.
Figur 7
14
På bilag 2 kan ses en fyldestgørende udledning af de følgende ligninger.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
14
Plotning af (
1
, t)- og (
2
, t)-graf i samme koordinatsystem, med
1
(0) = 0,10 rad og
2
(0) = 0,05 rad.
Af figur 7 ses det, at det nederste pendul (den blå kurve) har en svingningstid på omkring
,19
sekunder, men til forskel fra de eksperimentelle data, så kan man tydelig fornemme, at udsvingenes
størrelse ikke ændres med tiden. Dette må betyder, at der hverken er en ydre tvangskraft, der sætter
mere fart i pendulerne, eller nogen form for friktion, der dæmper svingningerne – altså ser det
ideale snorkoblede dobbeltpendul ud til at være en harmonisk oscillator, men dette er selvfølgelig
kun tilfældet såfremt det adlyder (1.5).
Lad os nu prøve at se hvad der sker, hvis man laver et (
1
q
,
2
q
)-plot for det ideale system:
Figur 8
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
15
Et (
1
,
2
)-plot med
1
(0) = 0,10 rad og
2
(0) = 0,05 rad.
Hvis figur 8 viser en Lissajouskurve, kræver det, at kurven er løsning til det pågældende
differentialligningssystem, men hvad fortæller figuren egentlig? Jo, der fremkommer jo et tydeligt
mønster, hvilket må betyde, at selvom der på figur 7 umiddelbart ser ud til at være kaotiske
tilnærmelser i systemet (at der formodentlig ikke er tale om et kaotisk system kan ses ud fra, at selv
meget små ændringer i begyndelsesbetingelserne for sådanne systemer vil føre til drastiske
ændringer på længere sigt, hvilket tydeligvis ikke er tilfældet her), så er der en eller anden form for
underliggende symmetri/orden, hvilket jeg også kom frem til ved hjælp af figur 5. Det er blandt
andet denne underliggende orden, som kaosforskere benytter sig af, når de analyserer dynamiske
systemer, hvori dynamikken er svær at beskrive. Det mest berømte eksempel på et kaotisk system,
er vejret her på Jorden: I begyndelsen af 1960'erne beskæftige den amerikanske metrolog E. N.
Lorenz sig nemlig med stærkt forenklede simulationer af vejret på hans primitive computer.
Simulationerne foregik ved hjælp af følgende tre ligninger
15
:
=−x y x10 10
(5.1)
= − −y x xz y28
(5.2)
15
„KIE“, s. 76.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
16
=−z xy x8/ 3
(5.3)
Ved at plotte løsningerne for disse ligninger, får man følgende „sommerfugl“ (en animeret udgave
af „sommerfuglen“ kan ses på den vedlagte cd):
Figur 9
En Lorenzattraktor med startbetingelserne x(0) = 0, y(0) = 0,001 og z(0) = 0.
Faserumsdiagrammet på figur 9 ligner tydeligvis en „sommerfugl“, og ligesom på figur 5 ses det
(her meget tydeligt), at der er et par områder, der „tiltrækker“ punktforløbet – der er altså tale om en
attraktor, og da det var Lorenz der opdagede den, har den fået navnet Lorenzattraktor.
Som det sidste i dette afsnit, vil jeg nu forklare hvordan man definerer en dæmpet harmonisk sving-
ning. Et system siges at udføre dæmpede harmoniske svingninger, hvis det opfylder ligningen
+ + =x kx x
2
20w
(6.1)
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
17
hvor
=k2 b
er dæmpningskonstanten
16
. Ved sammenligning af (1.5) og (6.1) ses det, at den eneste
forskel på en harmonisk svingning og en dæmpet harmonisk svingning er leddet
kx2
, men når jeg
lige har fortalt, at
b
er dæmpningskonstanten, så kan det vel næppe forbavse nogen, at det netop er
dette led, der „gør forskellen“. Følgende figur viser en grafisk afbildning af løsning af (6.1):
Figur 10
En dæmpet harmonisk svingning med = 2 og = 10.
Sammenligning
Inden jeg går videre til næste eksperiment, vil jeg lave en kort sammenligning af de målte data og
teorien, og så prøve at forklare eventuelle afvigelser i form af fejlkilder og måleusikkerheder.
Sammenligning af figur 3 og 7 viser, at der ikke er nogen forskel i svingningstiderne, mens det til
gengæld fremgår, at udsvingene bliver mindre med tiden, hvilket de ifølge teorien ikke skulle.
Denne forskel er dog ikke særlig svær at forklare, for det skyldes (som tidligere omtalt) at friktionen
dæmper pendulerne – sammenligning af figurerne 3 og 10 er også med til at bekræfte, det nederste
penduler udfører en dæmpet harmonisk svingning. Konklusion: friktion er en fejlkilde.
16
Udleverede noter, s. 7.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
18
Af figur 5 og 9 ses det, at (
x
,
x
v
)-faserummet måske viser en attraktor, men det er selvfølgelig
ikke noget der kan siges med sikkerhed. En af usikkerhed ligger i, at jeg måske ikke har plottet
pendulernes positioner helt nøjagtigt i VideoPoint, men det har dog formodentlig ingen betydning.
FJEDERKOBLEDE PENDULER (2. EKSPERIMENT)
Forsøgsopstilling
Først kommer her et billede af forsøgsopstillingen, så der er noget at gå ud fra:
Der er sådan set ikke noget at fortælle om forsøgsopstillingen og dens virkemåde, da det er
fuldstændig det sammen som ved det 1. eksperiment. Jeg har dog også her brugt VideoPoint til at
behandle et (andet) sæt data. Grunden til at jeg igen vil bruge disse data frem for dem fra Datalyse
er, at 1) jeg kan regne på begge penduler, og 2) det er temmelig bøvlet at få dataene fra de to pc'er
til at passe sammen. Igen synes jeg også det vil være synd ikke at bruge disse data, eftersom jeg har
brugt så lang tid på at plotte dem i VideoPoint.
Databehandling
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
19
Jeg starter, analogt 1. eksperiment, med at plotte de ubehandlede data:
Figur 11
Et (x , y)-plot for pendulet til venstre på billedet.
Grunden til at koordinatsystem er forskudt den „forkerte“ vej i forhold til at det er venstre pendul er,
at jeg lavede digitalkameraoptagelserne til VideoPoint fra den anden side end billedet er taget fra.
Ud fra en ren visuel betragtning af figur 11, er der også her noget der tyder på, at punkterne
ligger pænt på en cirkelbue, og igen kræver det cirkulær regression for at kunne dokumentere det.
Hvis det rent faktisk viser sig, at punkterne ligger på en cirkelbue, så kan det vel næppe komme som
nogen overraskelse, eftersom pendulets ophængningspunkt ikke flyttes, og pendulsnoren samtidig
for-bliver udstrakt.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
20
Jeg starter med at undersøge et (
t
,
ven
q
)-plot, hvilket ser således ud:
Figur 12
Et (t ,
ven
)-plot.
Det er selvfølgelig svært at beregne en præcis svingningstid, med ved at tælle antallet af toppe på fi-
gur 12, får man
,T 1 9 s
. For et „tilsvarende“ enkeltmatematisk pendul gælder der, at
,
,
,
l
T
g
2
0 86 m
2 2 1 9 s
9 815 m/ s
pp
Der er altså noget der tyder på, at svingningstiderne stemmer fint overens, men da denne metode er
forbundet med visse tilnærmelser (se side 5), rummer den også visse fejlkilder.
Ligesom ved de snorkoblede penduler ses det, at amplituden
17
aftager med tiden, og igen er det
friktion, der er synderen – systemet er med andre ord en dæmpet harmonisk oscillator. En anden
ting som er interessant at bemærke på figur 12 er, at der skiftevis kommer store og små udsving.
Dette skyldes, at fjederen henholdsvis trykkes sammen og strækkes; de små udsving vil forekomme
når fjederen er strakt, da de to penduler dermed trækker i hver deres ende af den, og dermed
mindsker de hinandens udsving.
17
Det maksimale udsving: „O3“, s. 113.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
21
Som sagt strækkes og sammentrykkes fjederen under svingningerne, men det der er afgørende for,
hvor meget den kan strækkes/sammentrykkes, er fjederkonstanten
k
. Ud fra (1.1) ses det, at
fjederkonstanten kan findes ved at lave lineær regression på nogle (
x
,
F
res
)-data. Disse data fik jeg
ved at hænge en lille skål i en fjeder og så lægge lodder (med kendte masser) i skålen og aflæste så
fjederforlængelser
x
. Jeg beregnede dernæst
=F mg
res
, og fandt følgende hældning på grafen:
,=k 1 88 N/ m
Som næste led i databehandling, vil jeg nu plotte de to vinkler mod hinanden:
Figur 13
Et parametriseret (
1
,
2
)-plot.
Hvis man lige ser bort fra de lidt underlige udsving i det ene „hjørne“ af grafen, så er der noget der
tyder på, at der kunne være frembragt endnu en Lissajouskurve, eftersom figur 13 (på formen)
minder om figur 8. Igen er det dog ikke noget, man sådan lige umiddelbart kan få bekræftet – det
kræver en matematisk analyse.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
22
Laver man nu et plot tilsvarende figur 5, så kommer det til at se ud som følger:
Figur 14
Faserum med grænsecyklus?
Denne figur ser noget anderledes ud end (
x
,
x
v
)-faserummet for de snorkoblede penduler. Der
virker som om kurves konvergerer mod en bestemt grænsecyklus, og hvis dette viser sig at være
rigtigt, så betyder det, at det dæmpede pendul må være påvirket af en eller anden ydre, periodisk
kraft, der uanset pendulets begyndelsesbetingelser netop vil få det til at konvergere mod en
grænsecyklus. Når denne nås, har startbetingelserne ikke mere nogen indflydelse på pendulet, og
det må helt underlægge sig den ydre kraft
18
.
18
„KK“, s. 59.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
23
Teori
Igen starter jeg med at opstille nogle differentialligninger, der beskriver pendulernes udsving som
funktion af tiden (en udledning af ligningerne kan ses på bilag 3). Først dog lige en lille skitse:
Figur 15
Fjederkoblede penduler.
Det kan nu vises, at systemets kinetiske og potentielle energi er givet ved
=+E m l m l
2 2 2 2
11
kin 1 1 2 2
22
qq
(7.1)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
= − + − + −E m gl m gl kl
2
2
1
pot 1 1 2 2 2 1
2
1 cos 1 cos sin sinq q q q
( ) ( )
( )
+−kl
2
2
1
21
2
cos cosqq
(7.2)
hvilket giver følgende ligninger:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
+ − − + − =m l m g kl kl
2 1
sin cos sin sin sin cos cos 0q q q q q q q q
(7.3)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
+ + − − − =m l m g kl kl
2 1
sin cos sin sin sin cos cos 0q q q q q q q q
(7.4)
Nu kan (7.3) og (7.4) så løses numerisk for
1
q
og
2
q
, for vilkårlige parametre og startbetingelser.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
24
Følgende figur viser en grafisk afbildning af de numeriske løsninger af (7.3) og (7.4) med
startbetingelserne
,=g
2
9 815 m/ s
,
,==mm
12
0 115 kg
,
,=k 1 88 N/ m
og
,=l 0 86 m
:
Figur 16
Plotning af (
1
, t)- og (
2
, t)-graf i samme koordinatsystem, med
1
(0) = 0,44 rad og
2
(0) = 0,16 rad.
(Det relativt lille tidsinterval skyldes, at det ellers ikke er til at aflæse ordentligt på figuren.)
En ting, der er interessant at bemærke i forbindelse med figur 16 er, at selvom der ser ud til at være
svingninger med en periode på cirka
15
sekunder, så er det faktisk ikke tilfældet, hvis man studerer
graferne lidt nærmere; ved
,=t 7 5 s
og
,=t 22 5 s
er der nogle afstumpede røde spidser, der minder
meget om hinanden, man ved at kigge ordentligt på grafen for
2
q
, så kan man se, at de faktisk ikke
er ens. Dette må så betyde, at svingningerne ikke er periodiske, selvom det godt kan se sådan ud.
Det er naturligvis ikke nok, at udsvingene næsten er identiske – enten er de det, eller også er de det
ikke, det andet går ikke. Det sammen gør sig faktisk gældende for de snorkoblede penduler
19
, om
end det her er endnu sværere at se.
Man skal altså være varsom med at drage forhastede konklusioner!
19
Se figur 7, s. 13.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
25
Sammenligning
Ligesom for det første eksperiment, er det nærliggende at sammenligne den eksperimentelle
svingningstid med den teoretiske, og af figurerne 12 og 16 ses det, at i begge tilfælde er
svingningstiden knap
2
sekunder. Dette må betyde, at friktionen er af temmelig ringe betydning,
hvilket man jo og-så kan se på figur 12 ved at der kun er sket en lille amplitudeformindskelse efter
75
sekunder.
Med hensyn til betydningen af fjederkonstanten i den eksperimentelle del, så har jeg svært ved at
afgøre dette, i og med at jeg egentlig ikke har brugt den til noget, eftersom jeg jo har
xt()
og
yt()
(ud fra VideoPoint) og dermed nemt kan finde vinklerne med lodlinjerne ud fra lidt simpel
geometri
20
. I den teoretiske del kan jeg dog sige, at den har stor betydning, hvilket kan ses ud fra de
meget forskellige resultater man får ved (
1
q
,
2
q
)-plottet for forskellige værdier af
k
. I filen
„Fjederkoblede penduler.mw“ er der mulighed for selv at eksperimentere med dette.
AFRUNDENDE BEMÆRKNINGER
Med denne opgave, har jeg kun berørt et ganske lille område af det store rige i fysikkens verden, der
omhandler svingninger. Jeg har kun set på nogle få af de simpleste koblede systemer, der udfører
svingninger, og end ikke inden for disse begrænsede områder, er det muligt at komme med præcise
og fyldestgørende beskrivelser af fænomenerne, med de redskaber, man bliver udstyret med
gennem tre års gymnasiegang. Dette er hovedårsagen til de mange løse ender, der er opstået i løbet
af denne opgave.
Hvis man kort skal prøve at samle sammen på trådene, så må man sige, at der hurtigt opstår
svingninger, der ser kaotiske og uforudsigelige ud, men hvorvidt der egentlig er tale om kaotiske
systemer eller blot svingninger med meget lange perioder, ja, det er ikke til at sige, for hvor længe
skal man undersøge et system, før man kan hævde at det opfører sig kaotisk? Strengt taget, kan man
aldrig med sikkerhed afgøre dette spørgsmål, så præcist hvad det er jeg har observeret, må stå hen i
det uvisse, selvom man jo sagtens kan gøre sig nogle fornuftige overvejelser.
20
Se regnearket „ Fjederkoblede penduler - VideoPoint“.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
26
LITTERATURLISTE
• Brydensholt, Morten, m.fl.: „ORBIT 3“,
Forlaget Systime A/S (2000),
Narayana press, Gylling.
• Colding-Jørgensen, Morten: „Kaos og ikke-elefanter“,
Forlaget Fremad A/S (1998),
Olesen Offset, Viborg.
• Davies, Paul: „Det kreative kaos“,
(oversat efter „The Cosmic Blueprint“,)
Gyldendal (1988),
Nordisk Bogproduktion A/S, Haslev.
• Gleick, James: „Kaos: En ny videnskabs tilbliven“,
(oversat efter „Chaos – Making a New Science“,)
Munksgaard (1987),
Special-Trykkeriet A/S, Viborg.
• Knudsen, Ole & Pedersen, Olaf: „Lærebog i mekanik, 3. del“,
Akademisk forlag (1969),
Dangrafik – offset.
• Weisstein, Eric: http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html.
• Af Poul Møller Petersen udleverede noter om svingninger.
[navn fjernet], 3.z Større skriftlig opgave: 5. feb. 2004
Aabenraa Gymnasium og HF Koblede penduler
27
BILAG
Da de tre første bilag alle er længere udledningerne af fysiske udtryk, er de skrevet i separate
Microsoft Word
®
-dokumenter, og er derfor blot vedlagt som det følgende. Bilag 4 er de af Poul
Møller Petersen udleverede noter om svingninger.