Polynomier: grad, rødder, parabler og beviser

Polynomier: fra forskrift til graf og forklaring

Start med forskriften: Hvilken grad har polynomiet, og hvad fortæller den om grafen? Her undersøger du koefficienter, rødder, toppunkt, faktorisering og værdimængde og forklarer, hvorfor regnetrinene virker. Andengradspolynomier indgår i matematik C på stx; den bredere polynomieteori og differentialregning hører især til B og A. Følg dit holds undervisning og krav til hjælpemidler.

Vælg det du vil undersøge

Begynd med grad og koefficienter. Fortsæt til rødder og faktorisering, eller undersøg parablens akse, toppunkt og værdimængde. Når du kan regne, bruger du beviserne og de korte spørgsmål til at forklare hvorfor.

Fra forskrift til spørgsmål

Prøv selv: Du ser f(x) = (x − 2)² + 1. Kan grafen skære x-aksen?

Se forklaring og kontrol

Kvadratet er ikke-negativt, så f(x) ≥ 1. Minimum er 1 ved x = 2, og der er ingen reelle rødder. Forklar nu samme valg for (x − 2)² − 1.

Polynomier: begreber og formeloverblik

Hvad er et polynomium?

• Et polynomium med reelle koefficienter er en endelig sum af led med ikke-negative heltalseksponenter. Et ikke-nul polynomium kan skrives på formen nedenfor med n = 0, 1, 2, … og a_n ≠ 0.

f(x) = a_n · xⁿ + a_n−1 · xⁿ⁻¹ + … + a₁ · x + a₀, n ∈ {0,1,2,…}, a_n ≠ 0

a₀, a₁,…, a_n−1, a_n er reelle tal og kaldes koefficienter.

• Leddet a₀ kaldes konstantleddet.
• Når vi skriver forskriften for et polynomium, så skriver vi traditionelt leddet med den største eksponent først. Derefter kommer leddet med den næststørste eksponent osv.
• Graden er den største eksponent med en koefficient forskellig fra 0, efter at leddene er samlet. Fx har f(x) = x⁴ + x² − 2x + 7 grad 4. Udtrykket x³ − x³ + 2x har derimod grad 1. En konstant forskellig fra 0 har grad 0; nulpolynomiet f(x) = 0 har ingen almindelig ikke-negativ grad.

Rødder i polynomier

• En reel rod er en x-værdi r, hvor f(r) = 0. Roden r er førstekoordinaten i nulpunktet (r; 0) på grafen. Skeln mellem selve tallet og punktets koordinater.

• Et ikke-nul polynomium af grad n har højst n forskellige reelle rødder. Ved ulige positiv grad og reelle koefficienter er der mindst én reel rod. Et tredjegradspolynomium kan have én, to eller tre forskellige reelle rødder. En gentaget rod tæller kun én gang her; komplekse rødder tælles med multiplicitet i en anden optælling. Nulpolynomiet er 0 for alle x og er en særskilt undtagelse.

Andengradspolynomier

Hvad er et andengradspolynomium?

• Et andengradspolynomium er en funktion på formen

f(x) = ax² + bx + c, a,b,c ∈ ℝ, a ≠ 0

• Eksempel: Funktionen f(x) = 2x² + 3x − 4 er et andengradspolynomium.

Parabler

• Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. En parabel er buet og buer enten opad eller nedad.

• En parabel er symmetrisk omkring en symmetrilinje givet ved x = − (b)/(2a). Symmetrilinjen deler grafen op i to dele, der kaldes parablens grene eller ben.

Toppunkt og toppunktsformlen

• Skæringspunktet mellem en parabel og dens symmetrilinje kaldes parablens toppunkt.

• Toppunktet T på den parabel, der er graf for andengradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c, har koordinaterne

T = ( −(b)/(2a), − (d)/(4a) )

hvor d = b² − 4ac. Tallet d kaldes diskriminanten.

• Eksempel: En funktion f er givet ved f(x) = x² + 2x − 3. Vi bestemmer diskriminanten:

d = 2² − 4 · 1 · (−3)
= 16

Derefter bestemmer vi toppunktets koordinater:

T = ( −(2)/(2· 1), −(16)/(4 · 1) )
= ( −1, −4 )

Toppunktets koordinater er (−1,−4).

Koefficienterne a, b og c

• Fortegnet for koefficienten a afgør om parablens ben vender opad eller nedad:
  • a > 0: Parablens ben vender opad.
  • a < 0: Parablens ben vender nedad.

• Koefficienten b er med til at afgøre, om parablens toppunkt ligger til venstre for y-aksen, på y-aksen eller til højre for y-aksen:
  • b = 0: Toppunktet ligger på y-aksen.
  • b har samme fortegn som a: Toppunktet ligger til venstre for y-aksen.
  • b har modsat fortegn af a: Toppunktet ligger til højre for y-aksen.
• Koefficienten c er andenkoordinaten til parablens skæringspunkt med y-aksen, da f(0) = c.
  • c > 0: Parablens skæringspunkt med y-aksen ligger over x-aksen.
  • c = 0: Parablens skæringspunkt med y-aksen ligger på x-aksen.
  • c < 0: Parablens skæringspunkt med y-aksen ligger under x-aksen.

Rødder og diskriminant

• Fortegnet for diskriminanten d = b² − 4ac angiver antallet af rødder i andengradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c:

• Hvis d < 0, har polynomiet ingen reelle rødder.
• Hvis d = 0, så har polynomiet én rod. Roden er givet ved

x = (−b)/(2a)

• Hvis d > 0, så har polynomiet 2 rødder. Rødderne er givet ved

x₁ = (−b − √(d))/(2a) og x₂ = (−b + √(d))/(2a)

• Eksempel: Andengradspolynomiet f er givet ved f(x) = x² − x − 2. Vi bestemmer diskriminanten:

d = (−1)² − 4 · 1 · (−2)
= 9

Da d > 0, så har polynomiet to rødder. Vi bestemmer rødderne:

x₁ = (−(−1)−√(9))/(2 · 1)
= (1−3)/(2)
= −1
x₂ = (−(−1)+√(9))/(2 · 1)
= (1+3)/(2)
= 2

Polynomiets rødder er x₁ = −1 og x₂ = 2.

Faktorisering

• Hvis et andengradspolynomium f(x) = ax² + bx + c har to rødder x₁ og x₂, så er

f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂)

• Eksempel: Polynomiet f(x) = x² − x − 2 har rødderne x₁ = −1 og x₂ = 2, så

f(x) = 1 · (x− (−1))(x−2)
= (x+1)(x−2)

• Hvis f har én rod, x₁, så er

f(x) = a·(x − x₁)²

Roden x₁ kaldes en dobbeltrod.

• Eksempel: Polynomiet f(x) = x² − 2x + 1 har dobbeltroden x₁ = 1, så

f(x) = 1 · (x− 1)²
= (x−1)²

Definitionsmængde, værdimængde og monotoniforhold

• Polynomieforskriften er defineret for alle reelle x. Ved en anvendelse kan opgaven begrænse definitionsmængden; nedenstående værdimængder og monotoniforhold gælder på hele ℝ.
• Værdimængden afhænger af fortegnet for a. Hvis y_T er toppunktets y-koordinat, så gælder der, at
  • hvis a > 0, så er Vm(f) = [y_T,∞[.
  • hvis a < 0, så er Vm(f) = ]−∞,y_T].
• Monotoniforhold:
  • a > 0: f har et minimumspunkt i (x_T,y_T). Funktionen er aftagende for x ≤ x_T og voksende for x ≥ x_T.
  • a < 0: f har et maksimumspunkt i (x_T,y_T). Funktionen er voksende for x ≤ x_T og aftagende for x ≥ x_T.

Tredjegradspolynomier og polynomier af højere grad

• Efter samling af led har et ikke-nul polynomium grad 3 eller højere, når den største potens med koefficient forskellig fra 0 er xⁿ med n ≥ 3.

f(x) = a_n · xⁿ + a_n−1 · xⁿ⁻¹ + … + a₁ · x + a₀, a₀, …, a_n ∈ ℝ, a_n≠ 0

• Den maksimale reelle definitionsmængde er ℝ. En model kan have et mindre tilladt interval.
• Værdimængden afhænger af n:
  • Hvis n er ulige, så er værdimængden alle reelle tal.
  • Hvis n er lige, og a_n > 0, så har f et globalt minimum, y_min. Værdimængden er intervallet [y_min,∞[.
  • Hvis n er lige, og a_n < 0, så har f et globalt maksimum, y_maks. Værdimængden er intervallet ]−∞,y_maks].

Vælg den rigtige oplysning

Prøv selv: Hvad bruger du for at finde y-skæringen og symmetriaksen for 2x² − 8x + 3?

Se forklaring og kontrol

c = 3 giver (0; 3). −b/(2a) = 8/4 = 2 giver aksen x = 2. Toppunktets højde er f(2) = −5; den er ikke c.

Hvad er et polynomium? Grad og koefficienter

Definition

Et polynomium med reelle koefficienter er en endelig sum af led a_jx^j, hvor j er et ikke-negativt heltal: 0, 1, 2, … Konstantleddet a₀ er med. Graden aflæses først, når alle ens potenser er samlet.

Funktionen f(x) = 2x² + 3x er et polynomium, da f består af leddene 2x² og 3x.

Funktionerne g(x) = x³ − 2x² + x og h(x) = x⁴ + x² + 2 er også polynomier.

Definition. Polynomium.

Et ikke-nul polynomium af grad n kan skrives på formen nedenfor, hvor n er et ikke-negativt heltal, og den ledende koefficient a_n er forskellig fra 0.

f(x) = a_n · xⁿ + a_n−1 · xⁿ⁻¹ + … + a₁ · x + a₀, n ∈ {0,1,2,…}, a_n ≠ 0

a₀, a₁,…, a_n−1, a_n er reelle tal og kaldes koefficienter.

Leddet a₀ kaldes konstantleddet. I polynomienotationen betyder x⁰ det konstante led 1, så a₀ kan skrives a₀ · 1. Ved indsættelse af x = 0 bruger du blot konstantleddet a₀; der er ikke brug for at beregne et særskilt 0⁰.

a₀ = a₀ · 1
= a₀ · x⁰

Bemærk, at et polynomium er en sum af potensfunktioner, hvor alle eksponenterne, dvs. de tal som x er opløftet i, er positive eller 0.

Når vi skriver forskriften for et polynomium, så skriver vi traditionelt leddet med den største eksponent først. Derefter kommer leddet med den næststørste eksponent osv. Funktionen f(x) = x + 2 + x² vil vi altså normalt skrive f(x) = x² + x + 2, selv om de to funktioner er ens.

Eksempler på polynomier

Her kan du se tre eksempler på polynomier:

Polynomium	Form	n	Koefficienter
f(x) = 2	f(x) = a0	0	a0 = 2
g(x) = (1)/(2)x − 1	g(x) = a1 x + a0	1	a1 = (1)/(2), a0 = −1
h(x) = x4 + x2 + 2	h(x) = a4x4 + a3 x3 + a2x2 + a1x+a0	4	a4 = 1, a3 = 0, a2 = 1, a1 = 0, a0 = 2

Eksempler på funktioner, der ikke er polynomier

Her kan du se tre eksempler på funktioner, der ikke er polynomier:

• f(x) = 2x⁻² + 2. Funktionen f er ikke et polynomium, da eksponenten er negativ.
• Funktionen g(x) = 2x² + x + √x er ikke et polynomium, fordi √x = x^1/2, og 1/2 ikke er et ikke-negativt heltal.
• h(x) = x² + xe^x + 2. Funktionen h er ikke et polynomium, da leddet xe^x ikke består af en konstant gange en potens af x.

Grad

Graden er den højeste eksponent med en koefficient forskellig fra 0, efter at ens potenser er samlet. x³ − x³ + 2x reduceres til 2x og har grad 1. Nulpolynomiet f(x) = 0 behandles særskilt: Det har ingen almindelig grad 0, 1, 2, …

Herunder kan du se tre eksempler på polynomier og deres grad.

Polynomium	Grad (n)
f(x) = 2	0
g(x) = (1)/(2)x − 1	1
h(x) = x4 + x2 + 2	4

Polynomier af grad 0

Et nultegradspolynomium er en funktion på formen

f(x) = a₀, a₀ ∈ ℝ, a₀ ≠ 0

En konstant funktion f(x) = a₀ med a₀ ≠ 0 har grad 0. Fx har f(x) = 2 grad 0, mens f(x) = 0 er nulpolynomiet.

Grafen for f(x) = 2 er den vandrette linje y = 2. Grafen for g(x) = −3 er linjen y = −3. Begge funktioner har grad 0 og ingen rødder; nulpolynomiets graf er derimod hele x-aksen.

Polynomier af grad 1

Et førstegradspolynomium er en funktion på formen

f(x) = a₁ x + a₀, a₀, a₁ ∈ ℝ, a₁≠ 0

Vi genkender, at f er en funktion på formen f(x) = a·x + b, dvs. at f er en lineær funktion, hvor a ≠ 0. Førstegradspolynomier er altså lineære funktioner.

Grafen for et førstegradspolynomium er en skrå linje. Fx er f(x) = 2x + 1 voksende, mens g(x) = −x + 1 er aftagende. Hældningen er den ikke-nul koefficient foran x.

For en lineær funktion a₁x + a₀ med a₁ ≠ 0 er roden −a₀/a₁, som du kontrollerer ved indsættelse.

Polynomier af grad 2

Et andengradspolynomium er en funktion på formen

f(x) = a₂ x² + a₁ x + a₀, a₀, a₁, a₂ ∈ ℝ, a₂≠ 0

Du kan læse mere om andengradspolynomier på siderne om andengradspolynomier.

Polynomier af grad 3 eller højere

Et polynomium af grad 3 eller højere er en funktion på nedenstående form, hvor n ≥ 3:

f(x) = a_n · xⁿ + a_n−1 · xⁿ⁻¹ + … + a₁ · x + a₀, a₀, …, a_n ∈ ℝ, a_n≠ 0

Læs mere om tredjegradspolynomier, fjerdegradspolynomier og polynomier af højere grad på siden Tredjegradspolynomier og polynomier af højere grad.

Saml før du aflæser

Prøv selv: Hvilken grad har x⁴ − x⁴ + 3x − 2? Hvad med 0x⁵ + 7?

Se forklaring og kontrol

Det første reduceres til 3x − 2 og har grad 1. Det andet er den ikke-nul konstante funktion 7 og har grad 0. Ved x − x bliver resultatet nulpolynomiet, som ikke har en almindelig grad.

Rødder i polynomier: nulsteder og multiplicitet

Hvad er rødder?

En reel rod i polynomiet f er et tal r, som opfylder f(r) = 0. Grafen har da nulpunktet (r; 0). Flere faktorer kan give samme rod; tallet tælles stadig kun én gang, når vi tæller forskellige rødder.

Antal rødder

Et ikke-nul polynomium af grad n har højst n forskellige reelle rødder. Et tredjegradspolynomium har derfor højst tre, et fjerdegradspolynomium højst fire osv. En gentaget faktor kan give en rod med større multiplicitet.

Et polynomium af ulige positiv grad med reelle koefficienter har mindst én reel rod. Fx har x³ + 1 kun roden −1; (x − 1)²(x + 1) har de to forskellige rødder −1 og 1; x(x − 1)(x + 1) har de tre rødder −1, 0 og 1.

Bestem rødderne

Rødderne i et polynomium af grad 3 eller højere kan fx bestemmes ved hjælp af et CAS-værktøj. Rødderne kan også bestemmes grafisk ved at tegne grafen for polynomiet og aflæse skæringspunkterne med x-aksen. Hvis polynomiet er faktoriseret, så kan rødderne aflæses i forskriften, på samme måde som vi aflæser rødderne i et faktoriseret andengradspolynomium.

Eksempel: Aflæs rødderne i forskriften

Polynomiet f er givet ved

f(x) = x⁴ − x³ − 4x² + 4x
= (x+2) · x · (x−1) · (x−2)
= (x−(−2)) · (x−0) · (x−1) · (x−2)

Vi aflæser, at polynomiets rødder er x₁ = −2, x₂ = 0, x₃ = 1 og x₄ = 2.

Eksempel: Bestem rødderne (aflæsning, grafisk og ved hjælp af CAS)

Et femtegradspolynomium p er givet ved

p(x) = x⁵ + 6x⁴ + 9x³
= (x+3)² · x³
= (x−(−3))² · (x−0)³

Vi bestemmer rødderne i p ved at aflæse dem i forskriften, ved at tegne grafen og aflæse skæringspunkterne og ved hjælp af et CAS-værktøj.

Aflæsning i forskrift

Forskriften for p er givet ved

p(x) = (x − (−3))²·(x − 0)³

Polynomiet p har de to forskellige reelle rødder −3 og 0. Roden −3 har multiplicitet 2, fordi faktoren (x + 3) er i anden; 0 har multiplicitet 3, fordi faktoren x er i tredje. Multipliciteterne 2 + 3 svarer her til graden 5.

Grafisk løsning

Du kan skitsere p(x) = (x + 3)²x³ ud fra faktorerne. Ved −3 rører grafen x-aksen og skifter ikke fortegn; ved 0 krydser den aksen. Det følger af, at multipliciteten er henholdsvis lige og ulige.

Nulpunkterne er (−3; 0) og (0; 0). Begge x-værdier giver 0 ved indsættelse i forskriften. En numerisk graf viser kun det valgte vindue; den beviser ikke alene, at alle rødder er fundet.

CAS-værktøj

Bestem rødderne i p ved at løse p(x) = 0. Angiv hele forskriften og variablen x i dit CAS-værktøj, og kontrollér resultaterne ved indsættelse.

Skeln mellem en symbolsk løsning og en numerisk kandidat inden for et søgeområde. For p(x) = (x + 3)²x³ beviser nulreglen allerede, at de eneste rødder er −3 og 0.

En rod kan optræde flere gange

Prøv selv: Hvor mange forskellige rødder har (x + 2)²(x − 1)³? Hvor krydser grafen aksen?

Se forklaring og kontrol

Der er to forskellige rødder: −2 og 1, med multiplicitet 2 og 3. Ved −2 skifter grafen ikke fortegn; ved 1 gør den. Antallet 2 er forskelligt fra summen 2 + 3 = 5.

Andengradspolynomier: vælg et greb

En parabel undersøges i flere trin

1. Aflæs a, b og c og kontrollér a ≠ 0.
2. Find symmetriaksen x = −b/(2a) og toppunktet.
3. Brug c til y-skæringen og d til de reelle rødder.
4. Undersøg faktorisering, monotoniforhold og værdimængde inden for definitionsmængden.

Andengradspolynomier og deres forskrift

Hvad er et andengradspolynomium?

Et andengradspolynomium er en funktion på formen

f(x) = ax² + bx + c, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0

Bemærk, at når vi arbejder med andengradspolynomier, så kalder vi typisk koefficienterne a, b og c. Du kan læse mere om koefficienterne på siden Koefficienterne a, b og c.

Eksempel

Herunder er tre eksempler på andengradspolynomier. Ud for hvert polynomium kan du aflæse værdien af koefficienterne a, b og c.

Polynomium	a	b	c
f(x) = 2x2 + 3x − 5	2	3	−5
g(x) = x2 − 2x + 4	1	−2	4
h(x) = −x2 + 4x − 10	−1	4	−10

Andengradspolynomier og andengradsligninger

Læg mærke til, at et andengradspolynomium f er en funktion, dvs. at f beskriver sammenhængen mellem to variable: den uafhængige variabel x og funktionsværdien y = f(x). Et andengradspolynomium er altså ikke det samme som en andengradsligning, dvs. en ligning på formen ax² + bx + c = 0. Som navnet angiver, så er en andengradsligning en ligning, og ligningen indeholder kun én variabel, x.

Da f er en funktion, kan vi fx bestemme dens rødder og monotoniforhold, ligesom vi kan for en lineær funktion. En rod r giver nulpunktet (r; 0) på grafen. Vi kan til gengæld ikke løse et andengradspolynomium, ligesom vi heller ikke kan løse en lineær funktion. Vi kan derimod løse en andengradsligning, ligesom vi kan løse andre typer af ligninger.

Det er vigtigt at skelne mellem andengradspolynomier og andengradsligninger, så du bruger de rigtige formuleringer, når du fx løser opgaver. Her er et eksempel:

Rødderne i andengradspolynomiet f(x) = x² − 2x − 3 er de værdier af x, hvor f(x) = 0. Vi bestemmer derfor rødderne ved at løse andengradsligningen x² − 2x − 3 = 0.

Læg mærke til, at vi bestemmer rødderne i andengradspolynomiet, men løser andengradsligningen.

Grafen for et andengradspolynomium

Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. Du kan læse om parabler på siden Parabler.

Læs mere om koefficienternes betydning for parablens form og beliggenhed på siden Koefficienterne a, b og c.

Funktion eller ligning

Prøv selv: En elev siger: Jeg løser f(x) = x² − 4. Gør udsagnet præcist.

Se forklaring og kontrol

Hvis opgaven er at bestemme rødderne, løser eleven ligningen f(x) = 0, altså x² − 4 = 0. Det giver −2 og 2. At beregne f(3) = 5 er en anden opgave.

Parabler: åbning, symmetri og nulsteder

Grafen for et andengradspolynomium er en parabel

Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. En parabel er buet og buer enten opad eller nedad.

En parabel er symmetrisk omkring en lodret akse. Symmetriaksen er givet ved x = − (b)/(2a).

Sætning. En parabels symmetriakse.

Parablen, der er graf for andengradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c, er symmetrisk omkring den lodrette linje givet ved

x = − (b)/(2a)

Du kan se et bevis for sætningen på siden Bevis for at en parabel er symmetrisk.

Symmetrilinjen deler grafen op i to dele, der kaldes parablens grene eller ben.

Fortegnet for a og d afgør parablens beliggenhed

En parabels beliggenhed afhænger af fortegnet for koefficienten a og diskriminanten d givet ved

d = b² − 4ac

	d > 0	d = 0	d < 0
a > 0	To skæringer: Grafen ligger under x-aksen mellem rødderne og over udenfor.	Én dobbeltrod: Minimum er 0; grafen ligger ellers over x-aksen.	Ingen reelle rødder: Grafen ligger over x-aksen for alle x.
a < 0	To skæringer: Grafen ligger over x-aksen mellem rødderne og under udenfor.	Én dobbeltrod: Maksimum er 0; grafen ligger ellers under x-aksen.	Ingen reelle rødder: Grafen ligger under x-aksen for alle x.

Et polynomium med d > 0 har to rødder, dvs. at parablen har to skæringspunkter med x-aksen. Parablen ligger altså både over og under x-aksen.

Et polynomium med d = 0 har én rod, dvs. at toppunktet ligger på x-aksen. Parablen tangerer altså x-aksen, men ligger ellers enten over eller under aksen. Parablen ligger over x-aksen, hvis a > 0 og under x-aksen, hvis a < 0.

Et andengradspolynomium med d < 0 har ingen reelle rødder. For a > 0 ligger grafen over x-aksen, og for a < 0 ligger den under x-aksen for alle x.

Eksempel: Aflæs fortegnet for a og d

Undersøg tre konkrete forskrifter. Bestem først a og d, og forbind fortegnene med åbning og antal skæringer.

• f(x) = (x − 1)² = x² − 2x + 1 har a = 1 og d = 0. Parablen åbner opad og rører x-aksen i (1; 0).
• g(x) = x² − 1 har a = 1 og d = 4. Den åbner opad og skærer x-aksen i (−1; 0) og (1; 0).
• h(x) = −x² − 1 har a = −1 og d = −4. Den åbner nedad og ligger under x-aksen for alle x.

Åbning og nulsteder

Prøv selv: Hvad fortæller a og d for f(x) = −2x² + 8x − 8?

Se forklaring og kontrol

a = −2 giver nedadgående grene. d = 64 − 64 = 0 giver én dobbeltrod. f(x) = −2(x − 2)² ≤ 0, så grafen rører aksen i (2; 0).

Toppunktsformlen: find begge koordinater

Hvad er toppunktet?

En parabel og dens symmetrilinje har ét skæringspunkt. Skæringspunktet kaldes parablens toppunkt.

Bestem toppunktet med toppunktsformlen

Koordinaterne til toppunktet på en parabel kan bestemmes med toppunktsformlen.

Sætning. Toppunktsformlen.

Toppunktet T på den parabel, der er graf for andengradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c, har koordinaterne

T = ( −(b)/(2a), − (d)/(4a) )

hvor d = b² − 4ac.

Tallet d kaldes diskriminanten.

Vi beviser toppunktsformlen på siden Bevis for toppunktsformlen.

Eksempel: Bestem toppunktets koordinater

Et andengradspolynomium f er givet ved

f(x) = 2x² − 2x − 4

Vi vil bestemme koordinaterne til toppunktet på parablen for f.

Først aflæser vi, at koefficienterne i forskriften for f er a = 2, b = −2 og c = −4.

Vi bestemmer diskriminanten:

d = (−2)² − 4 · 2 · (−4)
= 4 + 32
= 36

Diskriminanten er d = 36.

Vi kan nu bestemme toppunktets koordinater:

T	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter a = 2 b = −2 d = 36 i toppunktsformlen.	( − (−2)/(2 · 2), − (36)/(4 · 2) )
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer udtrykkene.	((2)/(4), − (36)/(8) )
	= Forklaring til dette trin: Vi forkorter brøkerne.	((1)/(2), − (9)/(2) )

Toppunktet er (1/2; −9/2). Da a = 2 > 0, er det grafens minimumspunkt på hele ℝ. De to rødder −1 og 2 ligger lige langt fra symmetriaksen x = 1/2.

Toppunktet er det globale minimums- eller maksimumspunkt

Når andengradspolynomiet har hele ℝ som definitionsmængde, er toppunktet det globale minimums- eller maksimumspunkt. Ved et begrænset modelinterval skal du undersøge, om toppunktet ligger i intervallet, og sammenligne relevante endepunkter.

• Hvis parablens ben vender opad, så er toppunktet det globale minimumspunkt.
• Hvis parablens ben vender nedad, så er toppunktet det globale maksimumspunkt.

Du kan læse mere om andengradspolynomiers monotoniforhold og ekstremumspunkter på siden Definitionsmængde, værdimængde og monotoniforhold.

Koordinater er to tal

Prøv selv: Find toppunktet for x² − 6x + 11, og kontrollér højden.

Se forklaring og kontrol

x_T = 6/2 = 3. f(3) = 9 − 18 + 11 = 2, så T = (3; 2). Kvadratkomplettering giver (x − 3)² + 2; kontrollen stemmer.

Koefficienterne a, b og c i en parabel

Tre koefficienter

Der er tre koefficienter, a, b og c, i forskriften for et andengradspolynomium:

f(x) = ax² + bx + c

Koefficienterne afgør parablens beliggenhed og form.

a

Fortegnet for koefficienten a afgør om parablens ben vender opad eller nedad:

• a > 0: Parablens ben vender opad.
• a < 0: Parablens ben vender nedad.

Du kan evt. bruge følgende huskeregel: Når a er positiv, så er grafen “en glad mund”, dvs. at benene vender opad.

b

	b > 0	b = 0	b < 0
a > 0	Toppunkt til venstre: xT < 0.	Toppunkt på y-aksen: xT = 0.	Toppunkt til højre: xT > 0.
a < 0	Toppunkt til højre: xT > 0.	Toppunkt på y-aksen: xT = 0.	Toppunkt til venstre: xT < 0.

Koefficienten b er med til at afgøre, om parablens toppunkt ligger til venstre for y-aksen, på y-aksen eller til højre for y-aksen:

• b = 0: Toppunktet ligger på y-aksen.
• b har samme fortegn som a: Toppunktet ligger til venstre for y-aksen.
• b har modsat fortegn af a: Toppunktet ligger til højre for y-aksen.

c

Parablens skæringspunkt med y -aksen er givet ved koordinaterne (0,c), da f (0) = c:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c
= 0 + 0 + c
= c

Koefficienten c er altså andenkoordinaten til parablens skæringspunkt med y-aksen.

Fortegnet for c er derfor afgørende for, om parablens skæringspunkt med y-aksen ligger over x-aksen, på x-aksen eller under x-aksen:

• c > 0: Skæringspunktet med y-aksen ligger over x-aksen.
• c = 0: Skæringspunktet med y-aksen ligger i (0; 0).
• c < 0: Skæringspunktet med y-aksen ligger under x-aksen.

Eksempel: Bestem fortegnet for a, b og c

Forbind koefficienternes fortegn med tre forskrifter. Regn selv x_T = −b/(2a) og f(0) = c, så konklusionen ikke alene afhænger af en aflæsning.

f(x) = x² + 2x + 2 har a = 1, b = 2 og c = 2. Den åbner opad, har toppunkt ved x = −1 og skærer y-aksen i (0; 2).

g(x) = x² + 2x − 3 har a = 1, b = 2 og c = −3. Den åbner opad, har toppunkt ved x = −1 og skærer y-aksen i (0; −3).

h(x) = −x² + 2x − 3 har a = −1, b = 2 og c = −3. Den åbner nedad, har toppunkt ved x = 1 og skærer y-aksen i (0; −3).

Undersøg én koefficient ad gangen

Start med f(x) = x² + 2x + 1 i et grafværktøj. Behold b = 2 og c = 1, og prøv a = 1, 2 og −1. Beregn åbning, symmetriakse og toppunkt før du tegner. Hold derefter a og c faste og varier b; hold a og b faste og varier c. Når a ændres til 0, bliver forskriften lineær og er ikke længere et andengradspolynomium. Skydere kan bruges til samme undersøgelse, hvis dit værktøj understøtter dem; de konkrete knapper afhænger af program og version.

Varier én koefficient

Prøv selv: Start med x² + 2x + 1. Hvad ændres, hvis kun c bliver 4?

Se forklaring og kontrol

Grafen løftes 3 enheder: Symmetriaksen forbliver x = −1, mens toppunktet går fra (−1; 0) til (−1; 3). a er stadig 1. Hvis b i stedet ændres, kan både toppunktets vandrette placering og højde ændres.

Faktorisering af andengradspolynomier

Faktorisering af andengradspolynomier

Sætning. Faktorisering.

Hvis et andengradspolynomium f(x) = ax² + bx + c har to rødder x₁ og x₂, så er

f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂)

Hvis f har én rod, x₁, så er

f(x) = a·(x − x₁)²

Omskrivningen af forskriften for f fra

f(x) = ax² + bx + c

til

f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂)

eller

f(x) = a·(x − x₁)²

kaldes faktorisering, da forskriften skrives som et produkt af faktorer. Her arbejder vi med reelle rødder. Ved d < 0 kan andengradspolynomiet ikke skrives som et produkt af reelle lineære faktorer.

Hvis f har én rod, så kaldes roden for en dobbeltrod.

Vi beviser sætningen om faktorisering af andengradspolynomier på siden Bevis for faktorisering af et andengradspolynomium.

Eksempel: Faktorisering af polynomium, når rødderne er kendte

Et andengradspolynomium f er givet ved

f(x) = 2x² − 2x − 4

Polynomiets rødder er x₁ = −1 og x₂ = 2.

Vi benytter rødderne til at faktorisere polynomiet:

f(x)	=	2 · (x − (−1)) · (x − 2)
	=	2 · (x + 1) · (x − 2)

Eksempel: Faktorisering af polynomium, når rødderne er ukendte

Et andengradspolynomium g er givet ved

g(x) = x² − 5x + 6

For at kunne faktorisere polynomiet skal vi kende rødderne. Vi bestemmer først diskriminanten d:

d = (−5)² − 4 · 1 · 6
= 25 − 24
= 1

Diskriminanten er d = 1. Da diskriminanten er positiv, så har polynomiet to rødder. Vi bestemmer rødderne:

x₁ = (−(−5) − √(1))/(2 · 1)
= (5 − 1)/(2)
= 2
x₂ = (−(−5) + √(1))/(2 · 1)
= (5 + 1)/(2)
= 3

Rødderne er x₁ = 2 og x₂ = 3.

Vi kan nu faktorisere polynomiet:

g(x)	=	1 · (x − 2) · (x − 3)
	=	(x − 2) · (x − 3)

Eksempel: Faktorisering af polynomium med dobbeltrod

Polynomiet p er givet ved

p(x) = 4x² + 8x + 4

For at kunne faktorisere polynomiet skal vi kende rødderne. Vi bestemmer først diskriminanten:

d = 8² − 4 · 4 · 4
= 64 − 64
= 0

Diskriminanten er d = 0, så polynomiet har én rod, dvs. en dobbeltrod. Vi bestemmer roden:

x = (−8)/(2 · 4)
= (−8)/(8)
= −1

Roden er x = −1.

Vi benytter roden til at faktorisere polynomiet:

p(x)	=	4 · (x − (−1))2
	=	4 · (x + 1)2

Aflæs rødder i forskrift

Når et andengradspolynomium er faktoriseret, så kan vi aflæse rødderne i forskriften for polynomiet. Du kan læse mere om, hvordan vi kan aflæse rødderne i et polynomium, på siden Rødder.

Behold faktoren foran

Prøv selv: En elev skriver 2x² − 8x + 6 = (x − 1)(x − 3). Hvad mangler?

Se forklaring og kontrol

Faktoren 2 mangler. Udvidelse af højresiden giver x² − 4x + 3. Den korrekte faktorisering er 2(x − 1)(x − 3). Rødderne alene fastlægger ikke den ledende koefficient.

Værdimængde og monotoniforhold i en parabel

Monotoniforhold og ekstremumspunkter

På hele ℝ har et andengradspolynomium enten et globalt maksimum eller et globalt minimum i toppunktet. Ved et begrænset modelinterval kan toppunktet ligge uden for intervallet; så skal også de relevante endepunkter undersøges:

• Hvis parablens ben vender opad, så er funktionen aftagende til venstre for toppunktet og voksende til højre for toppunktet. Funktionens toppunkt er derfor et minimumspunkt.
• Hvis benene vender nedad, så er funktionen voksende til venstre for toppunktet og aftagende til højre for toppunktet. Funktionens toppunkt er derfor et maksimumspunkt.

Om parablen buer opad eller nedad afhænger af fortegnet for a. Det er derfor også fortegnet for a, der afgør, om polynomiet har et maksimum eller et minimum:

• a > 0: f har et minimumspunkt i (x_T,y_T). Funktionen er aftagende for x ≤ x_T og voksende for x ≥ x_T.
• a < 0: f har et maksimumspunkt i (x_T,y_T). Funktionen er voksende for x ≤ x_T og aftagende for x ≥ x_T.

Definitionsmængde og værdimængde

Polynomieforskriften er defineret for alle reelle x, så den maksimale definitionsmængde er ℝ. De følgende værdimængder og monotoniforhold gælder på hele ℝ. Hvis en model begrænser x, skal du i stedet undersøge det tilladte interval og relevante endepunkter.

Værdimængden afhænger af fortegnet for a. Hvis y_T er toppunktets y-koordinat, så gælder der, at

• hvis a > 0, så er Vm(f) = [y_T,∞[.
• hvis a < 0, så er Vm(f) = ]−∞,y_T].

Eksempel: Værdimængden for f(x) = x² + 2

Andengradspolynomiet f er givet ved

f(x) = x² + 2

Vi aflæser i forskriften for f, at a = 1, dvs. at a > 0. Dermed er værdimængden for f et interval på formen [y_T,∞[. For at kunne bestemme værdimængden, skal vi kende toppunktets andenkoordinat, y_T. Vi bestemmer y_T med formlen

y_T = −(d)/(4a)

Diskriminanten bestemmes:

d = 0² − 4 · 1 · 2
= −8

Toppunktets andenkoordinat er:

y_T = −(−8)/(4 · 1)
= (8)/(4)
= 2

Vi opskriver værdimængden for f:

Vm(f) = [2,∞[

f(x) = x² + 2 ≥ 2, og værdien 2 opnås ved x = 0. Det beviser værdimængden [2; ∞[.

Eksempel: Værdimængden for f(x) = −3x² + 2x + 5

Et andengradspolynomium f er givet ved

f(x) = −3x² + 2x + 5

Vi aflæser, at a = −3 < 0. Værdimængden for f er altså et interval på formen ]−∞,y_T].

For at kunne bestemme y_T skal vi kende diskriminanten d, så den bestemmer vi:

d = 2² − 4 · (−3) · 5
= 4 + 60
= 64

Vi kan nu bestemme toppunkts andenkoordinat y_T:

y_T = −(d)/(4a)
= −(64)/(4 · (−3))
= (64)/(12)
= (16)/(3)

Værdimængden for f er:

Vm(f) = ]−∞,16/3]

Kvadratkomplettering giver f(x) = −3(x − 1/3)² + 16/3 ≤ 16/3. Maksimum opnås ved x = 1/3, så værdimængden på ℝ er ]−∞; 16/3].

Et begrænset interval

Prøv selv: For f(x) = x² − 4x + 5 med 0 ≤ x ≤ 1: Er minimum værdien i toppunktet?

Se forklaring og kontrol

Toppunktet (2; 1) ligger uden for intervallet. f er aftagende på [0; 1], og f(0) = 5 samt f(1) = 2. Værdimængden på det begrænsede interval er [2; 5], ikke [1; ∞[.

Tredjegrad og højere: rødder og endeforløb

Hvad er et polynomium af grad 3 eller højere?

Efter samling af led har et ikke-nul polynomium grad n ≥ 3, hvis den højeste potens med koefficient forskellig fra 0 er xⁿ. At der står et x³-led før reduktion, er ikke tilstrækkeligt; det kan gå ud mod et andet led.

f(x) = a_n · xⁿ + a_n−1 · xⁿ⁻¹ + … + a₁ · x + a₀, a₀, …, a_n ∈ ℝ, a_n≠ 0

Eksempel: Polynomier af grad 3 eller højere

Her kan du se et eksempel på et tredjegradspolynomium, et fjerdegradspolynomium og et syvendegradspolynomium:

Polynomium	Grad (n)
f(x) = 2x3 + x2 − 2x +4	3
g(x) = x4 − x2 − 2	4
h(x) = x7 + x5 − 2x4 − x2 + x + 8	7

Rødder

En rod r i et polynomium er et tal, hvor f(r) = 0. Det tilhørende nulpunkt på grafen er (r; 0). Du kan læse mere om bestemmelse af rødderne i et polynomium på siden Rødder.

Definitionsmængde og værdimængde

Et polynomiums maksimale reelle definitionsmængde er ℝ. I en model kan definitionsmængden være begrænset. Nedenfor undersøges ikke-konstante polynomier på hele ℝ.

Dm(f) = ℝ

For et ikke-konstant polynomium på hele ℝ afgøres endernes retning af graden n og fortegnet på den ledende koefficient. En ulige grad giver modsatte ender; en lige positiv grad giver samme retning i begge ender. Kontinuitet forbinder værdierne mellem dem.

Hvis n er ulige, så er

Vm(f) = ℝ

Hvis n er lige, og a_n > 0, så har f et globalt minimum, y_min. Funktionsværdierne har ikke nogen øvre grænse, så

Vm(f) = [y_min,∞[

Hvis n er lige, og a_n < 0, så har f et globalt maksimum, y_maks. Funktionsværdierne har ikke nogen nedre grænse, så

Vm(f) = ]−∞,y_maks]

Eksempel: Bestem definitions- og værdimængden for f(x) = x³ − 2x + 5

Funktionen f(x) = x³ − 2x + 5 er et tredjegradspolynomium. Da graden n = 3 er ulige, så er

Dm(f) = ℝ

Vm(f) = ℝ

Eksempel: Bestem definitions- og værdimængden for f(x) = (x⁴ − 6x² + 8x + 16)/4

Undersøg den følgende fjerdegradsforskrift algebraisk. En tegning kan hjælpe dig med at gætte et minimum, men et regneargument skal vise, at ingen lavere værdi findes.

f(x) = (1)/(4)x⁴ − (3)/(2)x² + 2x + 4
= (x⁴ − 6x² + 8x + 16)/(4)

Definitionsmængden er alle reelle tal:

Dm(f) = ℝ

Polynomiets grad n = 4 og koefficienten a₄ = (1)/(4). Da n er lige, og a₄ > 0, så har f et globalt minimum, y_min:

y_min = −2. Det kan bevises ved f(x) + 2 = (x + 2)²(x² − 4x + 6)/4 = (x + 2)²((x − 2)² + 2)/4 ≥ 0. Begge faktorer er ikke-negative, og den sidste er positiv. Lighed opnås ved x = −2. Derfor er −2 det globale minimum; at grafen vokser mod ∞ i begge ender og er sammenhængende giver alle værdier fra −2 og opad.

Værdimængden for f er derfor

Vm(f) = [−2,∞[

Et globalt minimum kræver belæg

Prøv selv: Forklar, hvorfor x⁴ + x² − 2 aldrig kommer under −2.

Se forklaring og kontrol

x⁴ + x² ≥ 0, så f(x) ≥ −2. Lighed opnås ved x = 0. En graf kan støtte forståelsen, men uligheden beviser minimum på hele ℝ.

Polynomier: beviser og deres forudsætninger

Oversigt over beviser

Herunder kan du se en liste over vores beviser om andengradspolynomier:

• Bevis for at en parabel er symmetrisk
• Bevis for toppunktsformlen
• Reelle rødder og diskriminant: kort overblik
• Bevis for faktorisering af et andengradspolynomium

Brug beviserne som træning i at forklare en påstand, dens forudsætninger og de afgørende omskrivninger. Dit konkrete eksamensspørgsmål og din undervisning afgør, hvilke beviser du skal forberede.

Ekstra forklaringer i beviserne

Forklaringerne står ved de relevante regnetrin. Læs først selve omskrivningen, og brug derefter forklaringen til at kontrollere, hvilken regneregel der anvendes. Prøv til sidst at forklare det samme trin uden at læse støtten.

Eksempel: (u + v)² = (u + v)(u + v) = u² + uv + vu + v² = u² + 2uv + v². Først ganges hvert led ind i parentesen; derefter samles de to ens blandede led. Forklar nu selv, hvorfor (u − v)² har det blandede led −2uv.

Bevis for parablens symmetriakse

Her beviser vi, at parablen for et andengradspolynomium er symmetrisk omkring en lodret linje.

Sætning. En parabels symmetriakse.

Parablen for andengradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c er symmetrisk omkring den lodrette linje givet ved ligningen

x= − (b)/(2a)

Bevis

Grafen for f er symmetrisk omkring linjen givet ved ligningen x = k, hvor k ∈ ℝ, hvis

f(k − x) = f(k + x)

for alle værdier af x.

Symmetri betyder her, at punkter lige langt fra den lodrette linje x = k har samme funktionsværdi: f(k − u) = f(k + u) for ethvert reelt u.

Vi kan altså vise, at grafen er symmetrisk omkring linjen givet ved x= − (b)/(2a) ved at vise, at for alle værdier af x, er

f ( −(b)/(2a)−x ) = f ( −(b)/(2a)+x )

Vi bestemmer de to funktionsværdier:

Forklaringerne ved regnetrinene viser den anvendte regel. Kontrollér undervejs, hvorfor divisionerne er tilladte, og forklar til sidst beviset med dine egne ord.

f ( −(b)/(2a)−x )	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter −b/(2a) − x i forskriften for f. Forskydningen x er med i indsættelsen; afstanden til symmetriaksen er |x|.	a · (−(b)/(2a) − x )2 + b · ( −(b)/(2a) − x )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi bruger den anden kvadratsætning: ( −(b)/(2a) −x )2= ( −(b)/(2a) )2 +x 2 − 2 · ( −(b)/(2a) ) · x	a · ( ( −(b)/(2a) )2 + x2 − 2 · ( −(b)/(2a) ) · x ) + b · ( −(b)/(2a) − x )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer udtrykket i den første store parentes: ( −(b)/(2a) )2 + x2 −2 · ( −(b)/(2a) ) · x = ((−b)2)/((2a)2) + x2 + ( (2b)/(2a) ) · x = (b2)/(4a2) + x2 + (2bx)/(2a)	a · ( (b2)/(4a2) + x2 + (2bx)/(2a) ) + b · ( −(b)/(2a) − x )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi ganger a og b ind i parenteserne.	(ab2)/(4a2) + ax2 + (2abx)/(2a) −(b2)/(2a) − bx +c
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer brøkerne: (ab2)/(4a2) + ax2 + (2abx)/(2a) −(b2)/(2a) − bx +c = (b2)/(4a) + ax2 + bx −(b2)/(2a) − bx +c	(b2)/(4a) + ax2 + bx −(b2)/(2a) − bx +c
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer udtrykket: (b2)/(4a) + ax2 + bx −(b2)/(2a) − bx +c = (b2)/(4a) + ax2 −(b2)/(2a) +c	(b2)/(4a) + ax2 −(b2)/(2a) +c

f ( −(b)/(2a)+x )	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter −b/(2a) + x i forskriften for f. Forskydningen x er med i indsættelsen; afstanden til symmetriaksen er |x|.	a · ( −(b)/(2a) + x )2 + b · ( −(b)/(2a) + x )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi bruger den første kvadratsætning: ( −(b)/(2a) +x )2= ( −(b)/(2a) )2 + x 2 + 2 · ( −(b)/(2a) ) · x	a · ( ( −(b)/(2a) )2 + x2 + 2 · ( −(b)/(2a) ) · x ) + b · ( −(b)/(2a) + x )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer udtrykket i den første store parentes: ( −(b)/(2a) ) 2 + x2 + 2 · ( −(b)/(2a) ) · x = ((−b)2)/((2a)2) + x2 − ( (2b)/(2a) ) · x = (b2)/(4a2) + x2 −(2bx)/(2a)	a · ( (b2)/(4a2) + x2 − (2bx)/(2a) ) + b · ( −(b)/(2a) + x )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi ganger a og b ind i parenteserne.	(ab2)/(4a2) + ax2 − (2abx)/(2a) −(b2)/(2a) + bx +c
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer brøkerne: (ab2)/(4a2) + ax2 − (2abx)/(2a) −(b2)/(2a) + bx +c = (b2)/(4a) + ax2 − bx −(b2)/(2a) + bx +c	(b2)/(4a) + ax2 − bx −(b2)/(2a) + bx +c
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer udtrykket: (b2)/(4a) + ax2 − bx −(b2)/(2a) + bx +c = (b2)/(4a) + ax2 −(b2)/(2a) +c	(b2)/(4a) + ax2 −(b2)/(2a) +c

Vi kan se, at

f ( −(b)/(2a)−x ) = (b²)/(4a) + ax² −(b²)/(2a) +c = f ( −(b)/(2a)+x )

Da de to funktionsværdier er ens for alle værdier af x, så er parablen symmetrisk omkring den lodrette linje givet ved ligningen

x= − (b)/(2a)

□

Samme afstand fra aksen

For f(x) = (x − 2)² − 1 giver forskydningerne −u og +u fra aksen samme værdi u² − 1. Afstanden til aksen er |u|.

Afstand |u|	Punkter med samme højde
0	(2; −1)
1	(1; 0) og (3; 0)
2	(0; 3) og (4; 3)

Samme afstand giver samme værdi

Prøv selv: Sæt f(x) = 2(x − 3)² − 1. Sammenlign f(3 − u) og f(3 + u).

Se forklaring og kontrol

Begge er 2u² − 1. Derfor er aksen x = 3 en symmetriakse. Fx giver x = 2 og x = 4 begge værdien 1. Forskydningen u kan være ethvert reelt tal; afstanden til aksen er |u|.

Bevis for toppunktsformlen

Her beviser vi formlen for koordinaterne til toppunktet på parablen for f(x) = ax² + bx + c.

Sætning. Toppunktsformlen.

Toppunktet T på den parabel, der er graf for andengradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c, har koordinaterne

T = ( −(b)/(2a), −(d)/(4a) )

hvor d = b² − 4ac.

Du kan se et eksempel, hvor vi bruger toppunktsformlen til at bestemme koordinaterne til toppunktet på en parabel, på siden Toppunktsformlen.

Bevis

Toppunktet på parablen for f(x) = ax² + bx + c er skæringspunktet mellem parablen og parablens symmetriakse. På siden Bevis for at en parabel er symmetrisk har vi bevist, at symmetriaksen er en lodret linje givet ved ligningen x = −(b)/(2a). Da toppunktet ligger på symmetriaksen, så er toppunktets førstekoordinat x_T givet ved

x_T = −(b)/(2a)

Vi bestemmer toppunktets andenkoordinat y_T ved at indsætte x_T = −b/(2a) i forskriften f(x) = ax² + bx + c.

Forklaringerne ved regnetrinene viser den anvendte regel. Kontrollér undervejs, hvorfor divisionerne er tilladte, og forklar til sidst beviset med dine egne ord.

f(xT)	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter xT = −(b)/(2a)	f ( −(b)/(2a) )
	= Forklaring til dette trin: Vi sætter −(b)/(2a) ind i forskriften for f.	a · ( −(b)/(2a) )2 + b · ( −(b)/(2a) )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi omskriver den første parentes: ( − (b)/(2a) )2 = ((−b)2)/((2a)2) = (b2)/(4a2)	a · (b2)/(4a2) + b · ( −(b)/(2a) )+c
	= Forklaring til dette trin: Vi ganger b ind i parentesen.	a · (b2)/(4a2) −(b2)/(2a) +c
	= Forklaring til dette trin: Vi omskriver den første brøk: a · (b2)/(4a2) = (ab2)/(4a2) = (b2)/(4a)	(b2)/(4a) −(b2)/(2a) +c
	= Forklaring til dette trin: Vi forlænger brøkerne, så de har samme nævner.	(b2)/(4a) −(2b2)/(4a) +(4ac)/(4a)
	= Forklaring til dette trin: Vi sætter brøkerne på fælles brøkstreg.	(b2−2b2 + 4ac)/(4a)
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer tælleren.	(−b2 + 4ac)/(4a)
	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter en minus-parentes.	(−(b2 − 4ac))/(4a)
	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter diskriminanten: d = b2 − 4ac.	(−d)/(4a)

Toppunktets koordinater er

( x_T,y_T ) = ( − (b)/(2a), − (d)/(4a) )

□

Hvor bruges a ≠ 0?

Prøv selv: Hvilket trin i toppunktsformlen kræver a ≠ 0? Hvad sker der ved a = 0?

Se forklaring og kontrol

x_T = −b/(2a) og y_T = −d/(4a) kræver division med a. Ved a = 0 er funktionen lineær eller konstant og har ikke parablens toppunkt.

Bevis for faktorisering med reelle rødder

Her finder du vores bevis for sætningen om faktorisering af et andengradspolynomium med én eller to rødder.

Sætning. Faktorisering.

Hvis et andengradspolynomium f(x) = ax² + bx + c har to rødder x_₁ og x_₂, så er

f(x) = a·(x − x_₁)·(x − x_₂)

Hvis f har én rod, x_₁, så er

f(x) = a·(x − x_₁)²

Vores eksempler på faktorisering af andengradspolynomier er samlet på siden Faktorisering.

Bevis

Vi antager først, at f har to rødder, x₁ og x₂, og viser, at f så kan skrives på formen f(x) = a·(x − x_₁)·(x − x_₂).

Når f har to forskellige reelle rødder, er rødderne givet ved formlerne nedenfor. Deres nummerering er ikke en sortering: Hvis a er negativ, kan x₁ være den største.

x₁ = (−b−√(d))/(2a)
x₂ = (−b+√(d))/(2a)

Vi beviser, at f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂) ved at omskrive a·(x − x₁)·(x − x₂) til ax² + bx + c. I løbet af omskrivningen får vi brug for at kende summen og produktet af de to rødder, så vi starter med at bestemme x₁ + x₂ og x₁x₂:

Forklaringerne ved regnetrinene viser den anvendte regel. Kontrollér undervejs, hvorfor divisionerne er tilladte, og forklar til sidst beviset med dine egne ord.

x1+x2	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter x1 = (−b−√(d))/(2a) x2 = (−b+√(d))/(2a)	(−b − √(d))/(2a) + (−b + √(d))/(2a)
	= Forklaring til dette trin: Vi sætter brøkerne på fælles brøkstreg.	(−b − √(d) −b + √(d))/(2a)
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer tælleren.	(−2b)/(2a)
	= Forklaring til dette trin: Vi forkorter brøken.	(−b)/(a)

x1x2	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter x1 = (−b−√(d))/(2a) x2 = (−b+√(d))/(2a)	( (−b − √(d))/(2a) ) · ( (−b + √(d))/(2a) )
	= Forklaring til dette trin: Vi bruger brøkregnereglen (a)/(b) · (c)/(d) = (a· c)/(b · d)	((−b − √(d))· (−b + √(d)))/(4a2)
	= Forklaring til dette trin: Vi bruger den tredje kvadratsætning til at reducere tælleren: (−b − √(d) )· (−b +√(d) ) = (−b)2 − (√(d))2	((−b)2 − (√(d))2)/(4a2)
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer tælleren.	(b2 − d)/(4a2)
	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter d = b2 − 4ac.	(b2 − (b2−4ac))/(4a2)
	= Forklaring til dette trin: Vi ophæver minus-parentesen i tælleren.	(b2 − b2+4ac)/(4a2)
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer tælleren.	(4ac)/(4a2)
	= Forklaring til dette trin: Vi forkorter brøken.	(c)/(a)

Vi omskriver nu a·(x − x₁)·(x − x₂):

a· (x−x1)· (x−x2)	= Forklaring til dette trin: Vi ganger de to parenteser sammen.	a· (x2 −x· x2 − x · x1 + x1 · x2)
	= Forklaring til dette trin: Vi sætter x uden for en parentes: −x· x2 − x · x1 = −x· (x2 + x1)	a· (x2 −x· (x2 + x1) + x1 · x2)
	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter x1 + x2 = (−b)/(a) x1x2 = (c)/(a)	a· ( x2 −x· ( −(b)/(a) ) + (c)/(a) )
	= Forklaring til dette trin: Vi omskriver udtrykket i parentesen.	a· ( x2 +(b)/(a) · x + (c)/(a) )
	= Forklaring til dette trin: Vi ganger a ind i parentesen.	ax2 +bx + c

Vi har nu vist, at hvis f har to rødder, x₁ og x₂, så er

f(x) = ax² + bx + c
= a · (x−x₁) · (x−x₂)

Vi antager nu, at f kun har én rod, x₁, og viser, at f så kan skrives på formen f(x) = a·(x − x_₁)².

Hvis f har én rod x₁, så er roden givet ved

x₁ = − (b)/(2a)

Når f har én rod, så er d = 0, dvs. at

0 = d
= b² − 4ac
⇓
b² = 4ac

Vi beviser, at f(x) = a·(x − x₁)² ved at omskrive a·(x − x₁)² til ax² + bx + c:

a · (x−x1)2	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter x1 = − (b)/(2a)	a · ( x − ( −(b)/(2a) ) )2
	= Forklaring til dette trin: Vi ophæver minus-parentesen.	a · ( x + (b)/(2a) )2
	= Forklaring til dette trin: Vi bruger den første kvadratsætning: ( x + (b)/(2a) )2 = x2 + ( (b)/(2a) )2 + 2 · (b)/(2a)· x	a · ( x2 + ( (b)/(2a) )2 + 2 · (b)/(2a) · x )
	= Forklaring til dette trin: Vi reducerer udtrykket i parentesen: x2 + ( (b)/(2a) )2 +2 · (b)/(2a) · x = x2 + (b2)/((2a)2) + (2b)/(2a) · x = x2 + (b2)/(4a2) + (2bx)/(2a)	a · ( x2 +(b2)/(4a2) + (2bx)/(2a) )
	= Forklaring til dette trin: Vi ganger a ind i parentesen.	ax2 +(ab2)/(4a2) + (2abx)/(2a)
	= Forklaring til dette trin: Vi forkorter brøkerne.	ax2 +(b2)/(4a) + bx
	= Forklaring til dette trin: Vi bytter om på rækkefølgen af leddene.	ax2+ bx +(b2)/(4a)
	= Forklaring til dette trin: Vi indsætter b2 = 4ac.	ax2+ bx +(4ac)/(4a)
	= Forklaring til dette trin: Vi forkorter brøken.	ax2+ bx +c

Vi har nu vist, at hvis f har én rod, x₁, så er

f(x) = ax² + bx + c
= a · (x−x₁)²

□

Kontrollér produktet af rødderne

Prøv selv: For 2x² − 8x + 6 er rødderne 1 og 3. Kontrollér sum og produkt.

Se forklaring og kontrol

1 + 3 = 4 = −b/a, og 1 · 3 = 3 = c/a. Produkternes nævner i formlerne er (2a)² = 4a². Ved a = 2 ville 2a give en forkert værdi.

Polynomier: træning til en faglig forklaring

Træn beregning og forklaring

Vælg en forskrift fra guiden. Bestem grad, koefficienter, rødder og eventuelle ekstremumspunkter; vis både metode og kontrol. Til en mundtlig gennemgang kan du forbinde grafen med et bevis. Dit holds spørgsmål og regler for hjælpemidler bestemmer prøveformen.

Brug emneopgavens træningsdisposition og de mundtlige spørgsmål nedenfor. Skriv selv dine beregninger og forklaringer.

Emneopgave om polynomier: træningsdisposition

Brug en emneopgave om andengradspolynomier til at forbinde forskrift, graf og forklaring. Her er en træningsdisposition; din lærers oplæg bestemmer, hvad netop din opgave skal indeholde.

En emneopgave i matematik indeholder typisk en gennemgang af teori, metoder og eksempler. Emneopgaven kan også indeholde beviser. I en emneopgave om andengradspolynomier kan du bl.a. komme ind på

• hvordan grafen for et andengradspolynomium ser ud
• hvilken betydning koefficienterne a, b og c har for grafens udseende
• hvordan toppunktets koordinater bestemmes
• hvordan rødderne bestemmes, og hvordan en rod r giver nulpunktet (r; 0) på grafen
• hvordan andengradspolynomier kan faktoriseres

Husk også at tage nogle eksempler med i emneopgaven. Du kan læse mere om andengradspolynomier på siderne om andengradspolynomier.

Emneopgaven kan også indeholde et eller flere beviser. Du finder vores beviser om andengradspolynomier her:

• Bevis for at en parabel er symmetrisk
• Bevis for toppunktsformlen
• Reelle rødder og diskriminant: kort overblik
• Bevis for faktorisering af et andengradspolynomium

Når du skal skrive din emneopgave, så vil du typisk få udleveret et oplæg af din lærer. Husk at tage udgangspunkt i oplægget, når du skriver din opgave.

Opstil din egen model

Prøv selv: Et rektangel har omkreds 24. Kald en side x. Opstil arealet, og angiv de tilladte x-værdier.

Se forklaring og kontrol

Den anden side er 12 − x, så A(x) = x(12 − x) = −x² + 12x med 0 < x < 12. Toppunktet er (6; 36). Forklar selv, hvorfor siderne skal være positive, og hvorfor toppunktet ligger i modelintervallet.

Polynomier: spørgsmål du selv kan forklare

Prøv spørgsmålene som mundtlig træning. Forklar et begreb, giv et eget eksempel og begrund et afgørende regnetrin. Spørgsmålene er øvelser og er ikke en liste over garanterede eksamensspørgsmål.

Polynomier (generelt)

Hvad er et polynomium?

Et polynomium er en endelig sum af reelle koefficienter gange ikke-negative heltalspotenser af x.

Kan du give et eksempel på et polynomium?

Fx er 3x² − x + 4 et polynomium af grad 2.

Kan du give et eksempel på en funktion, der ikke er et polynomium?

Se et eksempel og en forklaring

Funktionen f(x) = x² + xe^x er ikke et polynomium, da forskriften ikke er på formen

f(x) = a_n · xⁿ + a_n−1 · xⁿ⁻¹ + … + a₁ · x + a₀, a₀, …, a_n ∈ ℝ, a_n≠ 0

Hvad er et polynomiums ‘grad’?

Saml ens potenser; graden er den højeste eksponent med en koefficient forskellig fra 0. Nulpolynomiet behandles særskilt.

Hvad er et polynomiums ‘rødder’?

En reel rod er et tal r, hvor f(r) = 0. Nulpunktet på grafen er (r; 0).

Hvor mange rødder har et polynomium?

Et ikke-nul polynomium af grad n har højst n forskellige reelle rødder. Ved ulige positiv grad er der mindst én. Gentagne rødder og komplekse rødder kræver en præcis optælling.

Andengradspolynomier

Hvad er et andengradspolynomium?

En funktion f(x) = ax² + bx + c med reelle koefficienter og a ≠ 0.

Kan du give et eksempel på et andengradspolynomium?

Fx f(x) = x² − 2x − 3 med a = 1, b = −2 og c = −3.

Hvad kaldes grafen for et andengradspolynomium?

En parabel, som åbner opad for a > 0 og nedad for a < 0.

Kan du tegne grafen for et andengradspolynomium?

For x² − 2x − 3 markerer du toppunktet (1; −4), y-skæringen (0; −3) og rødderne −1 og 3. Brug symmetrien omkring x = 1, og kontrollér punkterne med forskriften.

Hvad er en parabels ‘toppunkt’?

Skæringspunktet mellem parablen og dens symmetriakse. På hele ℝ er det et minimum ved a > 0 og et maksimum ved a < 0.

Hvilken betydning har konstanterne a, b og c i forskriften for et polynomium for parablens udseende og beliggenhed?

a bestemmer åbningen; −b/(2a) bestemmer symmetriaksens placering; c = f(0) bestemmer y-skæringen. a og b påvirker derfor toppunktet sammen.

Hvad fortæller værdien af diskriminanten d for et polynomium om polynomiet og dets parabel?

d = b² − 4ac angiver to, én eller ingen forskellige reelle rødder for d > 0, d = 0 og d < 0.

Videre træning i faktorisering

Hvad er ‘faktorisering’ af et andengradspolynomium?

At skrive forskriften som et produkt. Når reelle rødder findes, bruges a(x − x₁)(x − x₂) eller a(x − x₁)². Ved d < 0 findes ingen faktorisering i reelle lineære faktorer.

Kan du aflæse rødderne for f(x) = 2 · (x − 1) · (x − 3)?

Se et eksempel og en forklaring

Hvis forskriften for et andengradspolynomium f kan skrives på formen

f(x) = a · (x − x₁) · (x − x₂),

så er x₁ og x₂ rødder. Hvis de er ens, er der én forskellig reel rod med multiplicitet 2.

Vi aflæser i forskriften for f(x) = 2 · (x − 1) · (x − 3), at f har to rødder: x₁ = 1 og x₂ = 3.

Forklar uden formlarket

Prøv selv: Hvorfor giver en dobbeltrod ikke to forskellige skæringspunkter?

Se forklaring og kontrol

Ved f(x) = a(x − r)² er x = r det eneste tal, der gør kvadratet 0. Multipliciteten 2 beskriver den gentagne faktor. Grafen rører aksen, men antallet af forskellige rødder er 1.

Faglige kilder

Definition, grad, faktorisering og multiplicitet kan undersøges i DTU: Polynomier, afsnit 4.1, 4.2 og 4.6. Se også OpenStax om parablers toppunkt og værdimængde, grad og endeforløb og graf, reelle rødder og multiplicitet. DTU behandler også komplekse tal; guiden her regner med reelle tal, hvor andet ikke står.