CAS i matematik: sådan dokumenterer du din besvarelse

Du må gerne bruge CAS til den skriftlige prøve i matematik. Det er bare ikke nok at vise, hvad programmet svarede. Censor skal kunne genskabe din løsning ud fra det, der står i dit dokument, og det er derfor, folk taber point på opgaver, de har regnet rigtigt. Her får du de fire ting, der skal stå ved hvert delspørgsmål, og et gennemført eksempel, du kan skrive af efter.

Af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie

Af Emil Brandt Rex, gymnasielektor og beskikket skriftlig censor i Dansk ASidst opdateret 31. august 2026

4

Krav i hvert delspørgsmål

0

Digitale værktøjer i delprøve 1

3 t + 2 t

Delprøve 1 og 2 (A)

På denne side

Kort fortalt

Hvad CAS-dokumentation er, og hvad den ikke er

CAS står for Computer Algebra System, altså et program, der kan regne med bogstaver og ikke kun med tal. Hjælpemiddeloversigten til de gymnasiale prøver nævner GeoGebra, Maple, MATLAB, TI-Nspire og WordMat “eller lignende” som eksempler på CAS-værktøjer. Den samme oversigt kalder CAS et forudsat hjælpemiddel ved de skriftlige prøver i matematik, altså noget, du skal have adgang til. Du bruger det ikke på trods af reglerne. Du bruger det, fordi opgavesættet regner med, at du kan.

Dokumentation er den tekst, du selv skriver rundt om programmets svar. Vejledningen til læreplanen i matematik A på stx siger det med en målestok, der er til at bruge: i delprøve 2 er der “forventning om dokumentation af brugen af digitale værktøjer i et sådant omfang, at det er muligt at genskabe løsningen ud fra eksaminandens dokumentation”. Det er hele prøven på, om du har skrevet nok. Kan en fremmed sætte sig ned med dit dokument og komme frem til det samme tal uden at gætte?

Den mest udbredte misforståelse er, at et skærmklip af resultatet er dokumentation. Det er det ikke, for et resultat viser ikke, hvad du bad om. Den næstmest udbredte er, at man skal skrive mellemregninger i delprøve 2, som man gør i hånden. Det skal man ikke. Vejledningen siger direkte, at forventningerne til de to delprøver er forskellige: mellemregninger giver mening i delprøve 1, mens delprøve 2 kræver, at brugen af værktøjet er dokumenteret.

Vær opmærksom på, at delprøve 1 er noget helt andet. Hjælpemiddeloversigten siger, at den første delprøve foregår analogt, og at du udelukkende må bruge den centralt udmeldte formelsamling, som skolen udleverer i ren form. Ingen computer, ingen CAS, ingen noter. Først når tiden til delprøve 1 er udløbet, og alle har afleveret, må du tage resten af dine hjælpemidler frem.

Del 1 af 9

1. Sæt værktøjet op, før du skriver den første linje

Sætningen ovenfor skriver WordMat helt af sig selv. I WordMat-manualen fra Eduap hedder funktionen “Indsæt forklaring”, og den er slået til som standard, netop fordi det kræves til eksamen, at du viser din metode. Den kan slås fra i WordMats indstillinger, og det er præcis dér, mange elever kommer galt af sted, fordi de på et tidspunkt syntes, teksten fyldte. Åbn indstillingerne nu og tjek, at fluebenet er sat. Bruger du GeoGebra, Maple eller TI-Nspire i stedet, skriver du selv den linje, og så er det bare en vane, du skal have på plads i aften.

Sådan kan du skrive det: “Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.”

Del 2 af 9

2. Skriv én sætning om, hvad spørgsmålet handler om

Vejledningen kalder det præsentation, og der forventes ikke lange præsentationer. En enkelt indledende sætning, et klip af den relevante del af opgaveteksten eller en figur kan være fuldt tilstrækkeligt. I en modelleringsopgave på B og A er det nok, at du nævner modellens forskrift eller navn og fortæller, hvad variablerne betyder, og hvilken enhed de har. Det, der ikke tæller, er at kopiere hele opgavens tekst ind ubearbejdet. Vejledningen siger det rent ud: en helt ubearbejdet gengivelse af hele opgavens tekst udgør ikke en selvstændig præsentation.

Sådan kan du skrive det: “T(t) er kaffens temperatur målt i grader celsius, og t er tiden målt i minutter, efter at kaffen blev skænket.”

Del 3 af 9

3. Citer formlen, før du sætter tal ind

Vejledningen gør det til en hovedregel i begge delprøver, at den oprindelige formel citeres, før der indsættes i den. Du må gerne omskrive den til de variabelnavne, opgaven bruger. Det kan også være nok bare at nævne formlen ved dens navn eller dens nummer i formelsamlingen. Det, der oftest mangler, er netop det ene skridt mellem opgaveteksten og talrækken: læseren kan se, hvad du fik ud af det, men ikke hvad du satte ind i.

Sådan kan du skrive det: “Jeg bruger modellen T(t) = 21 + 65 · 0,94^t og indsætter t = 10.”

Del 4 af 9

4. Skriv kommandoen som tekst, lige før resultatet

Vejledningen har sit eget eksempel på formen: “Jeg løser f(x)=8: solve(f(x)=8,x)”. Pointen er, at der står to ting, ikke én. Først på matematisk sprog, hvad du gør, og derefter den kommando, du faktisk tastede, med den notation dit værktøj bruger. Så kan censor både se, at du valgte den rigtige fremgangsmåde, og hvordan du fik maskinen til at gøre det. Det er her, langt de fleste besvarelser er for tynde: der står et facit, men ikke en kommando.

Sådan kan du skrive det: “Jeg løser ligningen T(t) = 40 med CAS: solve(21+65·0.94^t=40,t)”

Del 5 af 9

5. Nævn programmet, når du tegner eller aflæser

Ved graftegning er det ifølge vejledningen tilstrækkelig dokumentation, at du eksempelvis nævner, at du har tegnet grafen med GeoGebra, og at funktionsforskriften fremgår, for eksempel af skærmklippet. Så det er faktisk en billig point at hente: én sætning og et klip, hvor forskriften kan læses. Det, der ryger, er forskriften. Folk klipper grafen ud uden det felt, hvor funktionen står, og så kan læseren ikke se, hvad der er tegnet. Zoom ud, eller skriv forskriften i teksten ved siden af.

Sådan kan du skrive det: “Jeg har tegnet grafen for T med GeoGebra og aflæst skæringen med linjen y = 40.”

Del 6 af 9

6. Sæt figuren ind, så den kan læses

Kravet i prøvesættene er kort: figurer og grafer, du udarbejder, skal være tydelige og vise relevant information for besvarelsen. Det betyder akser med variabelnavn og enhed, et vindue, hvor det interessante rent faktisk er synligt, og en billedtekst, hvis figuren skal bruges senere. Hvis figuren i selve opgaven allerede rummer den nødvendige information, er det nok, at du sætter et skærmklip af den ind. Den typiske fejl er et skærmklip taget i mørketilstand eller i så lille en størrelse, at aksetallene forsvinder på tryk.

Sådan kan du skrive det: “Figur 1. Grafen for T(t) = 21 + 65 · 0,94^t for 0 ≤ t ≤ 40. Skæringen med y = 40 ligger i punktet (19,88 ; 40).”

Del 7 af 9

7. Slut med en konklusion, der har en enhed

Som konklusion er det sædvanligvis nok med en enkelt sætning. Vejledningens eget eksempel er “Fordoblingstiden er dermed 45 år”. I rene ligningsopgaver må sidste linje gerne bare være x = 12. Men enheden er ikke pynt: det står i vejledningen, at det er en del af en fuldt korrekt konklusion, at svaret er forsynet med de rigtige enheder. Grader, minutter, kroner, styk. Skriv det, også når det føles overtydeligt.

Sådan kan du skrive det: “Kaffen er 40 grader efter 19,9 minutter.”

Del 8 af 9

8. Tjek, om opgaven kræver en bestemt metode

Der skelnes skarpt mellem beregning og aflæsning. Står der “Bestem ved beregning” eller “Beregn”, skal svaret bygge på en algebraisk beregning med et formeludtryk kombineret med en CAS-kommando, for eksempel solve. Står der “Bestem ved aflæsning” eller “Aflæs”, skal svaret bygge på en præcis aflæsning med en indbygget kommando på en graf eller en geometrisk figur, du har lavet med et digitalt værktøj. Andre metodekrav lyder “Benyt regression” eller “Benyt f'(x)”. Har du ikke brugt den krævede metode, giver en ellers korrekt besvarelse ikke fuldt point. I alle andre opgaver er metoden fri, og formuleringer som “løs ligningen” eller “bestem nulpunkter” er ikke i sig selv et metodekrav.

Sådan kan du skrive det: “Opgaven kræver beregning, så jeg løser ligningen med solve i stedet for at aflæse på grafen.”

Del 9 af 9

9. Læs det hele igennem som censor til sidst

Det er den eneste test, der tæller, og den tager fem minutter. Gå hvert delspørgsmål igennem og spørg om de fire ting: står der en præsentation, en dokumentation, en læsbar figur, hvis der er en, og en konklusion med enhed. Vejledningen siger også, at det kan betale sig at skrive lidt mere end nødvendigt, selv når en kort besvarelse ville være nok, fordi du så sikrer dig nogle point, hvis der er en fejl undervejs. Og hvis et facit ser tydeligt forkert ud på grund af en fejl tidligere i opgaven, forventes det i den gode besvarelse, at du skriver, at du kan se det.

Sådan kan du skrive det: “Kan en fremmed sætte sig med mit dokument og nå frem til 19,9 minutter uden at gætte? Hvis ikke, mangler der en linje.”

Eksempel

Et gennemført eksempel

Opgaven lyder: En kop kaffe skænkes og stilles på et bord i et lokale, hvor temperaturen er 21 grader. Kaffens temperatur kan beskrives ved modellen T(t) = 21 + 65 · 0,94^t, hvor T(t) er temperaturen målt i grader celsius, og t er tiden målt i minutter, efter at kaffen blev skænket. a) Bestem ved beregning kaffens temperatur 10 minutter efter, at den blev skænket. b) Bestem ved beregning, hvornår kaffen er 40 grader. c) Bestem, hvor hurtigt kaffens temperatur falder 10 minutter efter, at den blev skænket.

Sådan ser en dokumenteret besvarelse af a) ud. “I modellen T(t) = 21 + 65 · 0,94^t er T(t) kaffens temperatur i grader celsius, og t er tiden i minutter efter skænkningen. Der står, at temperaturen skal bestemmes ved beregning, så jeg indsætter t = 10 i forskriften og lader CAS regne. Jeg beregner T(10): 21+65·0.94^10. Beregningen er foretaget med WordMat, som giver T(10) = 56,00998. Kaffen er altså 56,0 grader efter 10 minutter.” Læg mærke til, at der står fire ting: hvad modellen betyder, hvad jeg gør, hvad jeg tastede, og hvad svaret er med enhed.

Sådan ser b) ud. “Jeg skal finde det tidspunkt, hvor temperaturen er 40 grader, så jeg løser ligningen T(t) = 40. Der er krav om beregning, så jeg bruger ikke aflæsning på grafen. Jeg løser ligningen med CAS: solve(21+65·0.94^t=40,t). Ligningen løses for t med CAS-værktøjet WordMat, som giver t = 19,87782. Kaffen er 40 grader 19,9 minutter efter, at den blev skænket.” Havde der i stedet stået “Bestem ved aflæsning”, skulle jeg have tegnet grafen for T sammen med linjen y = 40 og skrevet, at jeg har fundet skæringspunktet (19,88 ; 40) med GeoGebras kommando til skæring mellem to grafer, og forskriften skulle fremgå af skærmklippet.

Sådan ser c) ud. “Hvor hurtigt temperaturen falder til et bestemt tidspunkt, svarer til den afledede funktions værdi i det tidspunkt, så jeg bestemmer T'(10). Her er metoden fri. Jeg differentierer T med CAS: diff(21+65·0.94^t,t), hvilket giver T'(t) = 65 · ln(0,94) · 0,94^t. Derefter beregner jeg T'(10) med samme værktøj og får T'(10) = 2,16626 med negativt fortegn. Temperaturen falder altså med cirka 2,17 grader pr. minut 10 minutter efter, at kaffen blev skænket.” Enheden er grader pr. minut, ikke grader, og det er den slags detalje, der adskiller en korrekt konklusion fra en næsten korrekt.

Til sammenligning: den udokumenterede udgave af b) er et skærmklip fra WordMat, hvor der står t = 19,87782, og under det sætningen “Kaffen er 40 grader efter 19,9 minutter”. Facit er rigtigt. Men der står ikke, hvilken ligning der blev løst, og der står ikke, at det er T(t) = 40. En censor kan gætte det, fordi opgaven er simpel. I en flerleddet modelleringsopgave kan han ikke, og så honorerer besvarelsen ikke det bedømmelseskriterium, der handler om at formidle løsningen klart. Forskellen på de to udgaver er tre linjers tekst, og de tager under et minut at skrive.

Vores kommentar

Hvad eksemplet viser

Læg mærke til, at hvert tal har en enhed, og at regnestykket står, ikke bare facit. En bedømmer skal kunne følge dig fra måling til resultat uden at gætte.

Og læg mærke til, at afvigelserne ikke er skjult. Det, der ikke passede, er skrevet ned og forklaret. Det er dét, der adskiller en rapport fra en renskrivning af vejledningen.

Fælder

Det, der oftest koster point

Du sætter kun resultatet ind, ikke kommandoen

Du sætter kun resultatet ind, ikke kommandoen. Der står 19,87782 i dokumentet, men ikke hvilken ligning der blev løst. Skriv altid to linjer i stedet for én: først hvad du gør på matematisk sprog, så den kommando du tastede. “Jeg løser ligningen T(t) = 40 med CAS: solve(21+65·0.94^t=40,t)”. Målestokken i vejledningen er, at løsningen skal kunne genskabes ud fra din dokumentation alene.

Du har slået WordMats forklaringer fra

Du har slået WordMats forklaringer fra, fordi de fyldte i dokumentet, og opdager det ikke før afleveringen. Åbn WordMats indstillinger og tjek, at “Indsæt forklaring” er slået til. Ifølge WordMat-manualen er den slået til som standard, netop fordi den dokumenterer, hvordan udregningen er foretaget. Tjek det nu, ikke til prøven, hvor du har travlt.

Du kopierer hele opgaveteksten ind som præsentation

Du kopierer hele opgaveteksten ind som præsentation og tror, at spørgsmålet dermed er præsenteret. Vejledningen siger, at en helt ubearbejdet gengivelse af hele opgavens tekst ikke udgør en selvstændig præsentation. Skriv i stedet én sætning med dine egne ord om, hvad variablerne betyder og hvilken enhed de har, eller klip kun den relevante del ind.

Du overser metodekravet i opgaveteksten og aflæser

Du overser metodekravet i opgaveteksten og aflæser, hvor der stod “Bestem ved beregning”. Understreg ordene “beregning”, “aflæsning”, “benyt” og “brug” i opgaveteksten, før du går i gang. Har du ikke brugt den krævede metode, giver en ellers korrekt besvarelse ikke fuldt point, selv om tallet er rigtigt.

Grafen er sat ind som skærmklip

Grafen er sat ind som skærmklip, men funktionsforskriften er klippet væk, og aksetallene kan ikke læses. Tag klippet, så input-feltet med forskriften er med, eller skriv forskriften i teksten lige over figuren. Giv figuren en billedtekst og tjek den i den endelige pdf, ikke kun på din egen skærm, hvor den er stor.

Konklusionen står uden enhed: “t = 19,9” i stedet for

Konklusionen står uden enhed: “t = 19,9” i stedet for “19,9 minutter”. Skriv den afsluttende sætning som en sætning på dansk med enheden i. Det står i vejledningen, at det er en del af en fuldt korrekt konklusion, at svaret er forsynet med de rigtige enheder. Det er den billigste point på hele sættet.

Spørgsmål og svar

Nej, tværtimod. Hjælpemiddeloversigten regner CAS som et forudsat hjælpemiddel ved de skriftlige prøver i matematik, altså noget du skal have adgang til, og læreplanen siger, at dine digitale værktøjer skal kunne visualisere funktioner, bruge regneark, løse numerisk og lave generel symbolmanipulation med CAS. Nogle opgaver i delprøve 2 kan kun løses med sådan et værktøj. Til gengæld må du overhovedet ikke bruge det i delprøve 1, som foregår analogt med den rene formelsamling som eneste hjælpemiddel.

Nej. Hovedreglen i den almene prøvebekendtgørelse er, at digitale værktøjer og programmer, herunder generativ kunstig intelligens, ikke må bruges, medmindre der er givet lov. CAS-værktøjer har fået lov, men med en udtrykkelig undtagelse i hjælpemiddeloversigten: det er ikke tilladt at bruge kommandoer, der kan generere tekst, og oversigten nævner som eksempel, at AI-pakken i Maple bruger en online opkobling til ChatGPT. Så CAS ja, tekstgenerering nej.

Nej. Det eneste tilladte hjælpemiddel i delprøve 1 er den centralt udmeldte formelsamling for dit niveau i ren form, altså uden tilføjelser, og skolen skal udlevere den sammen med prøven. Eventuelle indstiksark til formelsamlingen må være med. Du får adgang til begge delprøver ved prøvens start, men du må først tage dine øvrige hjælpemidler frem, når tiden til delprøve 1 er udløbet, og alle har afleveret deres delprøve 1.

Mindre, end de fleste tror, men noget andet. Du skal ikke skrive mellemregninger som i hånden. Du skal skrive nok til, at din løsning kan genskabes: hvad opgaven handler om, hvilken formel du bruger, hvilken kommando du gav værktøjet, og hvad svaret er med enhed. Ofte er det tre til fem linjer pr. delspørgsmål. Vejledningen tilføjer, at det kan være klogt at skrive lidt mere end det strengt nødvendige, fordi du så stadig kan få point, hvis der er en fejl undervejs.

Nej. Pointtildelingen bygger på det tankesæt, at du som udgangspunkt har fuldt point, og at der trækkes fra for mangler. Censor skal desuden sørge for, at du får point for det positive i besvarelsen, selv om der er hobet mangler op i formidlingen. Men manglende dokumentation er en mangel, den gentager sig typisk i hele sættet, og karakteren fastsættes til sidst ud fra en helhedsvurdering af, hvor klart din tankegang og faglige metode er formidlet. Så det koster.

Skriv, at du kan se det, og prøv en anden vej. Læreplanen forventer direkte, at du kan vurdere, om en løsningsmetode er hensigtsmæssig, og finde andre veje frem, hvis en strategi slår fejl, netop i de tilfælde hvor værktøjet giver et uventet svar. Prøv for eksempel den numeriske metode i stedet for den eksakte, eller tegn grafen og se, om svaret overhovedet ligger, hvor det burde. Hvis et facit er tydeligt forkert på grund af en følgefejl fra et tidligere spørgsmål, forventes det i den gode besvarelse, at du kommenterer på det.

Reglerne om hjælpemidler gælder kun ved prøverne. I den daglige undervisning er det din lærer, der bestemmer, hvad du må bruge i en aflevering, og hvad der skal dokumenteres hvordan. Men vanen er hele pointen: hvis du først begynder at skrive kommandoerne ned i maj, sidder det ikke i fingrene. Brug de fire punkter i hver eneste aflevering fra nu af, så koster det dig ingenting til prøven.

Om forfatteren

Siden her er skrevet af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie. Alt på Studiekompasset bygger på fagenes læreplaner og vejledninger, og hver side har sine kilder stående nederst. Finder du en fejl, så skriv til mig, og den bliver rettet.

Kilder

Kilder

  • Vejledning til læreplan i matematik A, stx, november 2025, Børne- og Undervisningsministeriet. Særligt afsnit 3.3 It, afsnit 4.2.1 Den skriftlige prøve og afsnit 4.3.1 Bedømmelseskriterier: uvm.dk
  • Vejledning til læreplan i matematik B, stx, november 2025, Børne- og Undervisningsministeriet. Afsnit 4.2.1 om den todelte prøve på fire timer: uvm.dk
  • Hjælpemiddeloversigt til de gymnasiale prøver 2026, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, senest opdateret 23. februar 2026, gælder for terminer påbegyndt efter 1. februar 2026. Listen over tilladte hjælpemidler, punktet om CAS-værktøjer, og afsnittet om matematik A, B og C: uvm.dk
  • Hjælpemiddeloversigt til skriftlige prøver, oversigtsside hos Børne- og Undervisningsministeriet: uvm.dk
  • Bekendtgørelse om gymnasiale prøver, prøver i de almene voksenuddannelser m.v., bekendtgørelse nr. 3 af 5. januar 2026, §§ 30 til 34, gengivet i hjælpemiddeloversigten.
  • WordMat Manual, Eduap, Mikael Samsøe Sørensen, 20. maj 2026. Afsnittet “Indsæt forklaring” og afsnittet om CAS-motor: eduap.com

Næste skridt

Find alt om faget, om de store opgaver og om eksamen ét sted, og filtrér efter din uddannelse.

Åbn biblioteket