Maple: Guide til kommandoer og kontrol

Find dit emne

• Gode råd til Maple og Gym-pakken
• Maple-kommandoer efter emne
• Ligninger i Maple
• Funktioner i Maple
• Grafer og punkter i Maple
• Trigonometri i Maple
• Statistik og sandsynlighed i Maple
• Deskriptiv statistik i Maple
• Regression i Maple
• Kombinatorik i Maple
• Binomialfordeling i Maple
• Normalfordeling i Maple
• Hypotesetest i Maple
• Vektorer i Maple
• Differentialregning i Maple
• Integralregning i Maple
• Differentialligninger i Maple
• Vektorfunktioner i Maple
• Funktioner af to variable i Maple

Maple: Find beregning og kontrol

Find Maple-kommandoen til din beregning: ligninger, grafer, statistik, vektorer eller differential- og integralregning. Læs både input, resultatets betydning og den kontrol, du selv kan udføre.

Guiden bruger Maplesofts dokumentation til Maple 2026 og Gym-pakken 2026. Menuer og tastaturgenveje kan variere med version, sprog og Windows, macOS eller Linux. Find din versions oplysninger i programmet, og brug en tilsvarende manual. De viste kommandoer er tekstinput; i en matematisk skabelon kan samme input se anderledes ud.

I Maple kan du lave beregninger og skrive de tilhørende forklaringer i samme dokument.

Øv med dit holds program og opgavetyper før prøven. Matematik C, B og A på stx har forskellige krav; de avancerede afsnit er ikke en påstand om, at alt stof hører til alle tre niveauer. Følg den konkrete prøves regler for hjælpemidler, og øv også regning og forklaring uden programmet. Et facit på skærmen forklarer ikke, hvorfor modellen passer.

Start med en kontrollerbar beregning

Prøv selv: Du får rødderne 2 og 3 til x²−5x+6=0. Hvordan viser du, at de passer?

Se forklaring og kontrol

Indsæt begge:4−10+6=0 og 9−15+6=0. Skriv også, at spørgsmålet er løst for x. Prøv derefter selv x²−3x+2=0 og kontrollér rødderne 1 og 2.

Gode råd til Maple og Gym-pakken

Gym-pakken

Gym-pakken er en særskilt tilføjelse med danske gymnasiekommandoer. Maple kan bruges uden den, men kommandoer som LinReg og binpdf her kræver den. Brug skolens godkendte installation og den Gym-udgave, der passer til Maple-versionen. Maplesofts danske gymnasieside samler manualerne.

Kør with(Gym); i et beregningsfelt. Når pakken er tilgængelig, indlæses dens korte kommandonavne, og en liste vises. Et fejlresultat er en anledning til at kontrollere installation og version; det beviser ikke alene én bestemt installationsfejl.

Maplesofts Gym-side giver adgang til en aktuel introduktion og A-/B-manualer. Vælg årgang efter dit program; en gammel startskærm er ikke et pålideligt kort over den nye brugerflade.

I Maple 2026 organiserer båndmenuen funktioner efter opgave. Find den funktion, du skal bruge, i din versions hjælp frem for at lede efter en gammel ikonplacering.

Læs en kommandos hjælp, fx ved at søge på navnet i Help. Kontrollér pakkens navn, rækkefølgen af argumenterne og eventuelle indstillinger.

Tastaturtabellen nedenfor beskriver de viste Windows-genveje. På andre styresystemer kan tasterne være anderledes; menufunktionen og din versions hjælp er den sikre vej, hvis en genvej ikke virker.

Indlæs pakker

Maple har mange pakker. En pakkes kommando kan normalt kaldes med sit fulde navn, fx plots:-pointplot, eller med sit korte navn efter with(plots). Det fulde navn gør det tydeligt, hvilken pakke du bruger.

Indlæs en pakke med with(pakke);. Eksempel: with(Gym);. Kør linjen, inden du bruger de korte navne.

Semikolon afslutter input og viser resultatet. Kolon afslutter input uden at vise resultatet: with(Gym):. Begge indlæser pakken.

Indlæs de pakker, opgaven kræver. Gym bruges til de danske gymnasiekommandoer; plots og Statistics har andre kommandoer. Flere pakker kan eksportere samme korte navn, så brug et fuldt pakkenavn ved tvivl.

Slå automatisk backup til/fra

Slå automatisk backup til i din versions indstillinger. I ældre Windows-udgaver findes den under Tools → Options → General; Maple 2026 har en båndmenu, så find den aktuelle indstillingsfunktion via hjælpen. Gem også dokumentet selv.

Vælg et passende interval for automatisk backup, og kontrollér, om indstillingen gælder dokumentet eller kommende dokumenter. Backup er en ekstra kopi og erstatter ikke din almindelige gemning.

Find gendannelse af backup via din versions fil-/backupfunktion. Åbn en kopi, og kontrollér indhold og tidspunkt, før den erstatter dit arbejdsdokument.

Skift mellem tekst, formel i teksten og beregning

I Document-tilstand i Maple 2026 skifter F5 mellem Text, nonexecutable Math og Math. Kontrollér den viste tilstand: nonexecutable Math er en formel i teksten, mens Math kan beregne. Ved en inputprompt i Worksheet-tilstand skifter F5 mellem matematisk notation og Maple-syntaks. Opret en særskilt tekstregion, når du vil skrive forklaring i et Worksheet.

Når du laver beregninger og bruger kommandoer, så skal du bruge math-mode.

Vi anbefaler, at du bruger text-mode, når du skriver forklaringer til dine beregninger.

Skriv fx forklaringen i Text: “Jeg løser ligningen for x”. Skriv derefter solve(x^2-5*x+6=0,x); i Math. En formel i nonexecutable Math dokumenterer beregningen uden at udføre den.

Indsæt sektioner

Indsæt en sektion via dokumentets sektionsfunktion. Den viste Windows-genvej er Ctrl+punktum; kontrollér den i din version, hvis genvejen ikke virker.

Giv fx sektionen navnet “Opgave 1: Ligningen”. Saml metode, input, svar og kontrol i den samme sektion.

Du kan folde en sektion sammen ved at klikke på trekanten. Du kan folde sektionen ud ved at klikke på trekanten igen.

Brug sektioner til at holde flere opgaver adskilt visuelt. En sammenfoldet sektion ændrer ikke de definitioner, som allerede er kørt i kernens hukommelse.

Find funktionen til at udvide alle sektioner, når du skal kontrollere hele dokumentet eller eksportere det. Ældre udgaver har den under View → Sections → Expand All Sections.

Redigér sidehoved og sidefod

Find dokumentets Header/Footer-funktion, og udfyld de oplysninger, opgaven kræver. I ældre udgaver ligger den under Insert → Header Footer; den aktuelle placering afhænger af versionen.

Kontrollér sidehovedet og sidefoden i udskriftsvisning eller i den eksporterede PDF.

Du kan vælge mellem foruddefineret sidehoved-/fod eller brugerdefineret sidehoved-/fod.

Kontrollér den færdige PDF, fordi oplysninger i sidehoved/-fod ikke nødvendigvis vises i den almindelige arbejdsvisning.

Gem som PDF

Eksportér dokumentet som PDF via fil-/eksportfunktionen i din version. Gem også den redigerbare Maple-fil.

Vælg filtypen “PDF”.

Hvis eksportdialogen tilbyder at udvide sektioner, skal du kontrollere, at alle de svar, læseren skal se, kommer med.

I boksen kan du vælge, om alle sektioner skal foldes ud, inden filen gemmes som PDF. Du kan også vælge, om pilene og stregerne, der afgrænser sektionerne, skal vises i PDF-filen.

Genveje

Disse genveje er et Windows-opslag. Kontrollér funktionen i programmets hjælp ved andre styresystemer eller versioner.

Funktion	Genvej
Indsæt sideskift	Ctrl+Enter
Skift mellem Text, nonexecutable Math og Math i Document-tilstand	F5
Indsæt ny sektion	Ctrl+.
Skriv resultat på samme linje som beregning	Alt+Enter
Hævet skrift	Shift+^
Sænket skrift	Ctrl+Shift+_
Benyt senest beregnede resultat	%
Benyt et vilkårligt resultat (angiv referencenummer)	Ctrl+l

Paletter

Find paletterne i din versions brugerflade. De giver skabeloner til symboler og matematiske udtryk; placeringen kan afvige fra ældre skærmbilleder.

Du folder en palet ud ved at klikke på trekanten ud for palettens navn.

Paletterne indeholder diverse symboler, udtryk og lign., som du kan benytte i dine beregninger. De fleste symboler kan også indsættes ved at bruge tastaturgenveje, og da det typisk er hurtigere at anvende genveje, så anbefaler vi, at du lærer genvejene til de symboler, som du oftest bruger. Hvis du vil indsætte et symbol, som du ikke kender genvejen til, så kan paletterne fungere som opslagsværk.

Hvis din version har Favorites, kan du samle ofte brugte symboler dér. Find palettens egen menu og funktionen til at tilføje en favorit.

Find funktionen til at vise ekstra paletter via programmets hjælp. I ældre udgaver bruges View → Palettes → Show Palette.

Find funktionen til at skjule en palet via palettens menu. I ældre udgaver hedder den Remove Palette.

Complete Command

Complete Command foreslår symboler og kommandoer. I den aktuelle danske introduktion bruges Esc til at vise forslag. Vælg det rigtige navn og dets argumenter; en skabelon og en almindelig tekstkommando er ikke altid samme indtastning.

Skriv fx int, og vælg integrationsskabelonen. Som almindeligt tekstinput kan du i stedet skrive int(x^2,x);.

Du kan tilgå de symboler, udtryk og lign., som findes i paletterne, med “Complete Command”-funktionen.

Hold musen over et paletsymbol, eller læs hjælpen, for at kontrollere symbolets navn.

I tekstinput skrives konstanten som Pi. Hvis du bruger en symbolskabelon, skal du kontrollere, at symbolet faktisk repræsenterer den matematiske konstant.

Oversigt over almindelige matematiske udtryk

Herunder er en liste over almindelige matematiske udtryk. Skriv kommandoen for et udtryk i math-mode, og benyt “Complete Command”-funktionen til at få vist det matematiske udtryk.

Matematisk udtryk	Kommando	Endeligt udseende
Kvadratrod	sqrt	√x
Gradtegn	deg	°
Ubestemt integral	int	∫f(x)dx
Bestemt integral	int	∫ fra a til b af f(x)dx
Pi	Pi	π
Græske bogstaver	fx alpha eller beta	α, β
Eulers tal	I tekstinput er exp(1) Eulers tal. Et almindeligt e er et navn, som kan være udefineret eller have fået en værdi.	e

Benyt decimalpunktum i stedet for decimalkomma

Maples tekstkommandoer bruger decimalpunktum, fx 5.67. Komma adskiller argumenter og listeelementer. Skriv derfor [1.5,2.5] for en liste med to decimaltal.

Vælg numerisk eller eksakt løsning

Eksakte input kan give eksakte udtryk som π eller √2. Brug en tilnærmelse, når opgaven kræver et tal, men bevar det eksakte udtryk eller den uafrundede værdi til videre beregning. En måleenhed kræver ikke i sig selv, at alle mellemregninger afrundes.

Du kan få Maple til at angive en approksimeret værdi ved at bruge kommandoen evalf. Hvis du har lavet en beregning, så kan du få vist resultatet i decimaltal ved at skrive

evalf(%)

% henviser til det senest beregnede resultat i kernens udførelse. Det er ikke nødvendigvis linjen lige ovenfor, hvis du har kørt dokumentet i en anden rækkefølge. Gem vigtige resultater med et navn.

Eksempel: evalf(Pi); giver en tilnærmelse til π.

For en numerisk evaluering med k betydende cifre kan du bruge convert(udtryk,sfloat,k), som kalder evalf og konverterer til softwarefloat. k er et positivt heltal, ikke antal decimaler. Brug eksakt eller tilstrækkeligt præcist input; flere cifre genskaber ikke tabt målenøjagtighed.

convert(%,sfloat,k)

k er antallet af betydende cifre.

Eksempel: convert(Pi,sfloat,3); giver 3,14. For tallet 12345 betyder tre betydende cifre omtrent 1,23·10⁴; det er ikke afrunding til tre decimaler. Brug det eksakte eller tilstrækkeligt præcise input til videre beregning.

Gør brug af definitioner

I Maple kan du definere konstanter og funktioner. Vi anbefaler, at du gør brug af definitioner.

Lav en definition

Du kan definere funktioner, konstanter, vektorer mm. ved hjælp af definitionslighedstegnet “:=”, som du laver ved at skrive et kolon (:) efterfulgt af et lighedstegn (=).

Eksempel: a:=2; gemmer tallet 2. f:=x -> x^2; definerer en funktion, så f(3); har den matematiske værdi 9.

Eksempel: a:=2; b:=3;. Kommandoen a+b; giver herefter 5. Et lighedstegn alene opstiller en ligning; := gemmer en definition.

Slet definitioner

Kør restart; på en linje for sig. Den rydder aktuelle variabeldefinitioner og indlæste pakker i den tilknyttede Maple-kerne. Gem arbejdet først.

Det er udførelsesrækkefølgen, der bestemmer hukommelsen. Definitioner, som er kørt før restart, ryddes; en gammel resultatlinje kan stadig stå i dokumentet. En definition kørt bagefter gælder igen, uanset dens placering på siden.

Efter f:=x -> x^2; kan f(2); beregnes til 4. Efter et udført restart er f ikke længere denne funktion. Indlæs også nødvendige pakker igen.

Start et nyt problem med et kontrolleret variabelrum, fx ved restart. Genkør derefter netop de definitioner, opgaven kræver. At slette eller sammenfolde en inputlinje rydder ikke dens udførte definition.

Genberegn, hvis du laver ændringer

Efter ændrede input skal afhængige beregninger køres igen i den rigtige rækkefølge. Gamle viste resultater kan ellers se aktuelle ud.

Kør en valgt Math-beregning med Enter. Brug din versions funktion til at beregne hele dokumentet, når alle input skal udføres fra begyndelsen.

Ved åbning af et dokument skal du kontrollere kernens tilstand og genkøre nødvendige pakker og definitioner, før senere resultater bruges. Læs først dokumentets input, især hvis det kommer fra andre.

Stop beregninger

En lang beregning kan afbrydes med programmets Stop-funktion. Kontrollér bagefter, om der er kommet et fuldstændigt resultat, og om de definitioner, du vil bruge videre, stadig er som forventet.

Brug eksplicit gangetegn

Trekantens areal skrives matematisk A=½hg.

I Maples tekstinput kan du skrive A=1/2*h*g;.

Hvis du skriver formlen ind i Maple, så vil Maple opfatte hg som én variabel. Maple forstår altså ikke det implicitte gangetegn mellem de to variable.

For at Maple kan fortolke formlen korrekt, så skal du skrive udtrykket med eksplicitte gangetegn:

Eksempel: subs(h=4,g=6,1/2*h*g); har værdien 12.

Vi anbefaler, at du altid sætter eksplicitte gangetegn, hvis du er i tvivl om, om Maple opfatter udtrykket korrekt.

Tegn en tegning

Brug dokumentets tegnefunktion, hvis du vil tilføje en forklarende skitse. Den gamle menusti Insert → Drawing kan være anderledes i din version.

Du får nu vist et lærred, hvor du kan tegne en tegning.

Markér tegningen for at finde dens redigeringsværktøjer. En skitse kan vise en idé, men dens mål er ikke et beregningsbevis.

Prøv hukommelsen i en lille kontrol

Prøv selv: Du har kørt a:=2 og ændrer derefter kun den viste tekst til a:=5. Hvilken værdi bruger en ny beregning?

Se forklaring og kontrol

Indtil den ændrede definition er kørt, kan hukommelsen stadig have a=2. Kør a:=5, og kontrollér a+1=6. Et restart rydder den udførte definition; en ændret eller slettet tekstlinje gør det ikke alene.

Maple-kommandoer efter emne

Find emnet i indholdsoversigten. De korte kommandoopslag viser input, mens eksemplerne forklarer resultat og kontrol. Gym-kommandoerne kræver en passende Gym-installation.

Vælg mellem beregning og fortolkning

Prøv selv: Du vil finde, hvornår f(x)=5. Hvad skal du give programmet?

Se forklaring og kontrol

En ligning f(x)=5, den variabel du vil løse for og et relevant domæne. En graf kan give overblik, mens indsættelse kontrollerer de fundne input. Prøv også et output, som ligger over funktionens maksimum.

Ligninger i Maple

Løs en ligning

solve søger symbolske løsninger; fsolve søger numeriske løsninger. Kontrollér domæne og begrænsninger. Et uafviklet solve eller et tomt numerisk søgeresultat beviser ikke, at ligningen ingen løsninger har.

Eksakt værdi (solve)

Du kan bestemme den eksakte løsning til en ligning med kommandoen

solve(ligning,variabel)

Eksempel: solve(x^2-5*x+6=0,x);. De matematiske løsninger er 2 og 3; indsæt begge i den oprindelige ligning.

Numerisk værdi (fsolve)

Du kan bestemme en numerisk løsning til en ligning med kommandoen

fsolve(ligning,variabel)

Eksempel: fsolve(cos(x)=x,x=0..1);. Roden er omtrent 0,739085. En generel ligning eller et system giver normalt én numerisk løsning; fsolve returnerer normalt alle reelle rødder for et polynomium i én variabel. Kontrollér den konkrete søgning.

Løs en ligning med betingelser

Løs en ligning inden for et lukket interval

Gym-kommandoen intervalsolve søger løsninger i et angivet interval. Et interval begrænser opgaven; kontrollér endepunkter og resultatets form.

intervalsolve(ligning,x=a..b)

Eksempel: with(Gym): intervalsolve(sin(x)=0,x=0..2*Pi);. De matematiske rødder er 0,π og 2π, når begge endepunkter medtages.

Gym har også fintervalsolve til en numerisk intervalberegning. Kontrollér alle relevante rødder med graf og indsættelse; til numerisk søgning omkring en bestemt rod kan du bruge fsolve(sin(x)=0,x=3..4);.

Løs en ligning med andre betingelser

Du kan bestemme de løsninger til en ligning, der opfylder en bestemt betingelse, ved at benytte kommandoen

solve([ligning,betingelse])

Betingelsen kan fx være x > 0 eller x ≤ 5.

Eksempel: solve([x^2=4,x>0],x);. Betingelsen udvælger x=2.

Du kan tilføje flere betingelser ved at adskille betingelserne med et komma.

Hvis du har en ligning med flere ubekendte, så kan du bestemme de løsninger, der opfylder, at den ene variabel har en bestemt værdi. Hvis du fx vil bestemme de løsninger til en ligning, hvor y = 2, så tilføjer du betingelsen y = 2.

Eksempel: solve({y=-x^2+2*x+5,y=5},{x,y});. Her fås x=0 eller 2 og y=5.

Begge løsninger opfylder y=5; kontrollér ved at indsætte x=0 og x=2 i forskriften.

Tilføjes x>0 som betingelse, er x=2 den relevante løsning. Læs stadig betingelsen som en del af svaret.

Løs en ulighed

Du kan løse en ulighed med solve-kommandoen:

solve(ulighed,variabel)

Eksempler: solve(3*x-4<2*x+6,x); og solve(3*x-4<=2*x+6,x);.

Vi aflæser, at uligheden 3x - 4 < 2x + 6 har løsningen x < 10.

Uligheden 3x - 4 ≤ 2x + 6 har løsningen x ≤ 10.

Reducér et udtryk

Du kan reducere et matematisk udtryk med kommandoen simplify:

simplify(udtryk)

Eksempel: simplify((x+1)^2-x^2); har værdien 2x+1. Ved brøker skal det oprindelige domæne bevares: en forkortet brøk kan stadig have et udelukket input.

Substituér en værdi ind i en ligning

Du kan midlertidigt indsætte en værdi af en variabel eller konstant, x, i en ligning med kommandoen subs:

subs(x=x₀,ligning)

Du kan substituere flere variable eller konstanter ved at adskille værdierne med et komma.

Eksempel: subs(l=4,b=3,A=l*b); giver ligningen A=12. Substitution er ikke en permanent definition af l eller b.

I eksemplet indsætter vi forskellige værdier af l og b i ligningen A = l · b.

Eksempel: subs(y=2*x,3*x+4*y=22); giver 11x=22.

I eksemplet erstatter vi y med 2x i ligningen 3x + 4y = 22. Resultatet er en ny ligning: 11x = 22. Vi løser ligningen med solve-kommandoen.

Løs to ligninger med to ubekendte og andre ligningssystemer

Du kan løse to ligninger med to ubekendte med solve-kommandoen:

solve({ligning1,ligning2},{variabel1,variabel2});

Hvis du vil have resultatet i decimaltal, så kan du erstatte solve med fsolve.

Du kan udvide kommandoen, hvis du har flere ligninger med flere ubekendte, fx

solve({ligning1,ligning2,ligning3},{variabel1,variabel2,variabel3});

Antallet af ligninger behøver ikke at stemme overens med antallet af variable.

Eksempel: solve({x+y=5,2*x-y=1},{x,y});. Her er x=2 og y=3. Indsæt dem i begge ligninger. Et system kan have ingen, én eller flere løsninger; ligningsantal alene afgør det ikke.

Kontrollér en rod og en begrænsning

Prøv selv: Løs x²=4 med kravet x>0. Er −2 et forkert algebraisk svar?

Se forklaring og kontrol

De algebraiske rødder er −2 og 2. Kravet x>0 udvælger kun 2;−2 er en rod i ligningen, men ikke i den afgrænsede opgave. Prøv kravet x<−3: Nu er der ingen tilladte rødder.

Funktioner i Maple

Definér en funktion

Funktioner kan defineres vha. definitionslighedstegnet. Du kan lave definitionslighedstegnet ved at skrive et kolon (:) efterfulgt af et lighedstegn (=).

Eksempel: f:=x -> -x^2+2*x+3;. Pilen definerer en funktion i tekstinput.

Bestem funktionsværdi

For denne funktion giver f(2); værdien 3. En funktionsværdi er et output til et bestemt input.

Bestem nulpunkter

Bestem nulpunkter med solve(f(x)=0,x);. For f(x)=−x²+2x+3 er rødderne −1 og 3.

Gym har desuden en nulpunktfunktion. I et bestemt interval kan du bruge intervalsolve(f(x)=0,x=0..20);, når Gym er indlæst.

Intervallet fra 0 til 20 afgrænser her de tilladte input; kun rod 3 ligger i det.

Indsæt x=3 i den oprindelige forskrift: −9+6+3=0. Rod −1 er matematisk korrekt, men ligger uden for det valgte interval.

Bestem værdien af den uafhængige variabel

For f(x)=−x²+2x+3 bruges solve(f(x)=5,x);.

Der er ingen reelle løsninger her: Funktionens maksimum er 4 ved x=1. Hvis komplekse løsninger vises, er de ikke reelle input i denne model.

Stykkevis definerede funktioner (gaffelforskrift)

En stykkevis skabelon angiver udtryk og betingelser. I tekstinput kan piecewise bruges. Sørg for, at grænsepunktet hører til den ønskede gren.

Eksempel: g:=x -> piecewise(x<0,x^2,2*x+1);. Den sidste forskrift bruges ellers, altså for x≥0.

Kontrollér g(-2); g(0); g(2);. De matematiske værdier er 4,1 og 5.

For g(x)=4 løses hver gren med dens betingelse: x=−2 i den negative gren og x=1,5 i den ikke-negative gren. Brug også solve(g(x)=4,x);, og kontrollér grænserne.

Vælg den beregning, der svarer til spørgsmålet: funktionsværdi, nulpunkt eller bestemt output. Kontrollér resultatet i forskriften og dens definitionsmængde.

Undersøg et umuligt output

Prøv selv: For f(x)=−x²+2x+3 skal du finde f(x)=5 med reelle x.

Se forklaring og kontrol

Skriv f(x)=4−(x−1)². Maksimum er 4, så ingen reel x giver 5. Kontrollen er mere oplysende end alene at citere et komplekst programresultat. Find derefter selv de input, der giver f(x)=3.

Grafer og punkter i Maple

Tegn grafen for en funktion

Når du skal tegne grafen for en funktion, så anbefaler vi, at du først definerer funktionen.

Du kan tegne grafen for en funktion f med kommandoen

plot(f(x))

Eksempel: f:=x -> x^2-2*x-3; plot(f(x),x=-2..4);. Kontrollér rødderne −1 og 3 samt bundpunktet (1,−4).

Du kan vælge det udsnit af koordinatsystemet, der skal vises, ved at udvide kommandoen:

plot(f(x),x=a..b,y=c..d)

Når du benytter ovenstående kommando, så får du vist den del af koordinatsystemet, hvor a ≤ x ≤ b og c ≤ y ≤ d.

Eksempel: plot(f(x),x=-2..4,y=-5..6);. Rødder og bundpunkt ligger i dette vindue.

Du kan nøjes med et vandret interval, fx plot(f(x),x=-2..4);. Den lodrette automatisk valgte skala er et visningsvalg, ikke en ny definitionsmængde.

Tegn graferne for flere funktioner i samme koordinatsystem

Du kan tegne graferne for to funktioner f og g i samme koordinatsystem med kommandoen

plot([f(x),g(x)],x=a..b,y=c..d)

Eksempel: plot([x^2,2*x+3],x=-3..4);. Skæringerne findes ved x²=2x+3, altså x=−1 og 3.

Lav et punktplot

Indlæs pakken with(plots). Du har nu adgang til kommandoen pointplot.

For at kunne lave et punktplot, så skal du have defineret datasættet med punkternes koordinater.

Definér punkternes koordinater

Du kan definere et datasæt med koordinater i en matrix.

Hvis punkternes koordinater er givet i en Excel-fil med x-koordinaterne og y-koordinaterne i hver sin søjle, så kan du importere datasættet med metoden beskrevet på siden Deskriptiv statistik.

Indtast fx data:=Matrix([[1,3],[2,4],[3,8]]);. Hver række er ét sammenhørende koordinatpar.

Denne matrix har tre rækker og to kolonner. Den første kolonne er x, den anden y.

Plot punkterne i et koordinatsystem

Du kan lave et punktplot med kommandoen

pointplot(data)

Eksempel: plots:-pointplot(data);. Kontrollér punkterne (1,3),(2,4),(3,8), så du ved, at parringen er bevaret.

Tegn et geometrisk objekt ud fra ligning

Indlæs pakken with(plots). Du kan nu benytte kommandoen implicitplot til at tegne et geometrisk objekt ud fra en ligning for objektet:

implicitplot(ligning,x=a..b,y=c..d)

Du får vist den del af objektet, der er synlig i vinduet [a;b] x [c;d].

Maple skalerer automatisk akserne, så de passer til vinduet. Det kan fx resultere i, at en cirkel ikke er rund. Hvis du vil have vist grafen, således at første- og andenaksen har samme skalering, så skal du tilføje “scaling=constrained” til kommandoen:

implicitplot(ligning,x=a..b,y=c..d,scaling=constrained)

Eksempel: plots:-implicitplot(x^2+y^2=25,x=-6..6,y=-6..6,scaling=constrained);. Cirklen har radius 5 og samme skala på begge akser.

Du kan tegne flere geometriske figurer i samme koordinatsystem med metoden beskrevet i afsnittet Tegn forskellige grafiske elementer i samme koordinatsystem.

Tegn forskellige grafiske elementer i samme koordinatsystem

Indlæs pakken with(plots). Du kan få vist flere grafiske elementer (fx linjer og cirkler) i samme koordinatsystem med kommandoen display.

Først skal du definere et plot af hvert af de elementer, du gerne vil have vist. Hvis du fx vil tegne en linje og en cirkel i samme koordinatsystem, så skal du definere et plot af cirklen og et plot af linjen. Du definerer hvert plot på følgende måde:

navn:=plotkommando

Brug display-kommandoen til at få vist plottene i samme koordinatsystem:

display(navn1,navn2)

Eksempel: cirkel:=plots:-implicitplot(x^2+y^2=25,x=-6..6,y=-6..6): linje:=plot(x,x=-6..6): plots:-display(cirkel,linje,scaling=constrained);.

Et hældningsfelt kan også kombineres med punkter. Med Gym indlæst kan du fx gemme felt:=linjeelementer(diff(y(x),x)=0.002*y(x)*(300-y(x)),y(x),x=0..20,y=0..300):.

Gem derefter punkter:=plots:-pointplot([[0,10],[15,200]]):. Punkterne er markeringer; de udgør ikke alene en løsningskurve.

Tegn med plots:-display(felt,punkter);. Et markeret punkt kan vælge en begyndelsesbetingelse for en selvstændig løsningskurve.

Redigér grafvinduet

Tilføj aksetitler

Når du laver en graf, så kan du tilføje aksetitler ved at tilføje følgende til kommandoen

labels=["Aksetitel1","Aksetitel2"]

Eksempel: plot(x^2,x=0..3,labels=["tid","afstand"]);. Tilføj måleenheder, når modellen har dem.

Vælg grafudsnit og dimensioner

Du kan bestemme hvilket udsnit af en graf, du vil se, ved at tilføje følgende til kommandoen

view=[x_min..x_max,y_min..y_max]

Eksempel: plot(x^2,x=-3..3,view=[-2..2,0..4]);. Beregningsinterval og synligt udsnit kan være forskellige; en skjult del af grafen er ikke væk fra modellen.

Du kan angive figurens dimensioner ved at tilføje følgende til kommandoen

size = [bredde,højde]

Eksempel: plot(x^2,x=-2..2,size=[400,300]);. Dimensioner ændrer visningen, ikke matematikkens værdier.

Du kan kombinere indstillinger: plot(x^2,x=0..3,labels=["x","y"],size=[400,300]);. Kontroller altid akser og enheder.

Brug et kendt punkt til grafkontrol

Prøv selv: En cirkel med ligningen x²+y²=25 ser oval ud. Er ligningen ændret?

Se forklaring og kontrol

Nej. Uens aksemål kan ændre udseendet. Vælg samme skalering, og kontrollér punkterne (5,0),(0,5). Figuren hjælper kontrollen, men et grafudsnit beviser ikke, at alle skæringer er fundet.

Trigonometri i Maple

Vinkelenhed: Grader eller radianer

Hvis sinus, cosinus eller tangens indgår i en opgave på en eller anden måde, så skal du overveje, hvilken vinkelenhed du anvender.

De almindelige funktioner sin, cos og tan bruger radianer. Når du bruger standardregler for afledte trigonometriske funktioner, måles argumentet også i radianer. Grader kan omregnes eksplicit.

f(t) = sin(t)

Hvis der er tale om opgaver i geometri fx vinkelberegninger eller vektorer, så skal du typisk anvende vinkelenheden grader.

Maple™ regner i radianer, når du bruger kommandoerne sin, cos og tan (kommandoerne skrives med lille forbogstav). Du kan regne i grader ved at indlæse Gym-pakken og bruge kommandoerne Sin, Cos og Tan (kommandoerne skrives med stort forbogstav).

Sammenlign sin(Pi/4); og sin(45*Pi/180);. Begge har værdien√2/2. sin(45) betyder 45 radianer; Gym-funktionen Sin(45) bruger grader.

Trekantsberegner (Bestem vinkler og sidelængder i trekant)

Hvis din Gym-udgave har trekantsolve, kan den bruges til trekantsberegning med angivne sider og vinkler. Kontrollér input og indstillinger i udgavens hjælp. Tre kendte størrelser, hvoraf mindst én er en side, garanterer ikke en entydig, mulig trekant. To sider og en ikke-mellemliggende vinkel kan give 0,1 eller 2 løsninger; kontroller geometrien.

trekantsolve(A=v1,B=v2,c=v3)

eller

trekantsolve(X=v1,Y=v2,z=v3,"XYZ")

v₁, v₂ og v₃ er størrelsernes værdi. Du skal benytte store bogstaver til at angive vinkler og små bogstaver til at angive sider, men du kan kun vælge mellem bogstaverne A, B og C eller X, Y og Z. Hvis du vælger XYZ, så skal du gøre Maple opmærksom på din navngivning ved at skrive “XYZ” til slut i kommandoen. Vær opmærksom på at siden a er den modstående side til vinkel A osv.

Eksempel: trekantsolve(A=36,B=53,c=4);. Vinkel C er 91°. Sinusrelationen giver a≈2,352 og b≈3,195. Kontrollér, at vinklerne summerer til 180°.

Ved trekantsberegning skal du både kontrollere vinkelenhed, mulige trekanter og sammenhængen mellem en vinkel og dens modstående side.

Prøv trekantens to mulige svar

Prøv selv: A=30°, a=5 og b=8. Hvor mange mulige vinkler B giver sinusrelationen?

Se forklaring og kontrol

sin(B)=b·sin(A)/a=0,8. B≈53,130° eller 126,870°, og begge giver en positiv tredje vinkel. Der er to mulige trekanter. Skift b til 11: sin(B)=1,1, så ingen trekant opfylder oplysningerne.

Statistik og sandsynlighed i Maple

Statistikopslagene skelner mellem beskrivelse af data og en sandsynlighedsmodel. Vælg først datastruktur og antagelser; en kommando alene vælger ikke en egnet model.

Skeln mellem liste og model

Prøv selv: Fire observationer er 1,3,3,5. Betyder det, at næste observation sikkert er 3?

Se forklaring og kontrol

Nej. Middelværdi 3 beskriver de fire tal. En sandsynlighedsmodel for fremtidige observationer kræver antagelser om situationen. Forklar først, hvordan observationerne blev indsamlet.

Deskriptiv statistik i Maple

Ugrupperede observationer

Importér og definér et datasæt

Indtast fx data:=[1,3,3,5];. Listen har fire observationer, hvor værdien 3 forekommer to gange.

De samme fire tal kan gemmes i en kolonnematrix: M:=Matrix([[1],[3],[3],[5]]);. Afklar hvilken datastruktur den valgte kommando accepterer.

Ved import af en Excel-fil skal cellerne ende som tal. Prøv først et lille område med kendte decimaler, og kontrollér antal, værdier og sum. Decimalfortolkning afhænger af fil og importindstillinger; en automatisk omdannelse må ikke antages uden kontrol.

Find Import Data-assistenten i din versions hjælp eller datafunktion. Den ældre Windows-menu er Tools → Assistants → Import Data. Vælg en kopi af filen og de relevante kolonner.

Vælg det rigtige ark og celleområde. A1:A20 betyder kolonne A, række 1 til 20; en tekstoverskrift skal normalt ikke med i en numerisk observationsliste. A1:B10 vælger to kolonner i ti rækker.

Vælg en rektangulær import, når dine data ligger i et sammenhængende celleområde, og kontrollér hvordan rækker og kolonner gengives.

Giv datasættet et navn, fx data, så det kan bruges i efterfølgende kommandoer.

Afslut importen, og kontrollér nogle kendte værdier. To celler med 1,5 og 2,5 skal give to tal med sum 4, hvis det var filens indhold.

Kontrollér det importerede datasæt, før du bruger det: antal observationer, sammenhørende kolonner og nogle kendte værdier. Et afsluttet importtrin beviser ikke alene, at data er rigtige.

Gruppér ugrupperede observationer

Når du skal gruppere ugrupperede observationer, så skal du kende den mindste og største observation.

Du kan bestemme den mindste og største observation med kommandoerne

min(datasæt)

max(datasæt)

For listen data=[1,3,3,5] er min(data); værdien 1 og max(data); værdien 5.

Du kan gruppere observationer med kommandoen

grupperData(datasæt,[a..b],antal intervaller)

a og b er endepunkterne i det interval [a;b], som du vil have opdelt i delintervaller. a skal være mindre end eller lig med den mindste observation. b skal være større end eller lig med den største observation.

Delintervallerne får samme bredde.

Eksempel: grupperData(data,[0..6],3); deler intervallet i tre lige brede klasser. Kontrollér de præcise grænsekonventioner i din Gym-hjælp, især for værdier som ligger på en klassegrænse.

Lav en antalstabel

Til en krydstabel defineres en matrix, hvor hver række rummer en observations to kategorier. Ved filimport skal kategorier og rækker kontrolleres efter metoden i Importér og definér et datasæt.

Du kan opstille en antalstabel med kommandoen

antalstabel(datasæt)

Til en krydstabel er hver række en observation med to kategorier. Optæl fx kategorierne for hvert individ én gang; tabelcellerne skal være antal. Kontrollér, at deres sum svarer til antallet af observationer.

Grupperede observationer

Definér et datasæt

Grupperede data angives i en matrix med n rækker og to kolonner: første kolonne intervaller, anden kolonne hyppigheder eller frekvenser. Otte intervaller kræver derfor en 8×2-matrix.

Vælg matrixfunktionen i din version, eller indtast matricen som tekst.

Vælg antal rækker (Rows) og kolonner (Columns) og tryk “Insert Matrix”.

Et eget eksempel er G:=Matrix([[0..5,2],[5..10,6],[10..15,2]]);. Rækkernes hyppigheder er 2,6,2, i alt 10. Intervaller kræver en aftalt grænsekonvention; skriv, om en observation på 5 hører til venstre eller højre klasse.

Bestem frekvens eller kumuleret frekvens

Når du har defineret et datasæt med grupperede observationer, så kan du bestemme frekvenserne og de kumulerede frekvenser med kommandoerne

frekvens(datasæt)

kumuleretFrekvens(datasæt)

Du kan også opstille en frekvenstabel med kommandoen

frekvensTabel(datasæt)

I frekvenstabellen angives frekvenserne og de kumulerede frekvenser.

For disse tre klasser er frekvenserne 0,2;0,6;0,2 og de kumulerede frekvenser 0,2;0,8;1. Kontrollér, om din kommando viser andele eller procent.

Bestem statistiske deskriptorer

De følgende danske deskriptorer hører til Gym-pakken. For grupperede data bygger flere mål på intervalmidtpunkter eller interpolation, så de genskaber ikke de ukendte oprindelige observationer.

• min(datasæt)
• max(datasæt)
• middel(datasæt), middelværdi
• spredning(datasæt), populationsspredning i den viste Gym-manual; kontrollér din udgave
• varians(datasæt), populationsvarians i den viste Gym-manual
• median(datasæt)
• kvartiler(datasæt)
• typetal(datasæt)
• fraktil(datasæt,andel), fx andel 0,6

For data=[1,3,3,5] er middelværdien 3 og populationsvariansen 2, så populationsspredningen er√2. En stikprøvevarians med nævner n−1 er 8/3; Statistics:-StandardDeviation(data) bruger denne stikprøvevarians. Angiv hvilket mål opgaven kræver.

Grafiske præsentationer

Boksplot

Når du har defineret et datasæt, så kan du tegne et boksplot med kommandoen boksplot:

boksplot(datasæt)

Kontrollér kvartilmetoden. Gym-manual 2026 skelner mellem trappekurvens metode 1 og opdeling af det sorterede datasæt, metode 2; boksplot og kvartilopslag kan derfor give forskellige tal.

Eksempel: boksplot([1,2,3,4,5,6,7,8]);. Efter en median-af-halvdele-regel er kvartilsættet(2,5;4,5;6,5). En anden regel kan give andre kvartiler; skriv den anvendte regel.

Du kan tegne to boksplot på samme figur med kommandoen

boksplot(datasæt1,datasæt2,labels=["datasæt1","datasæt2"])

Eksempel: boksplot([1,2,3,4,5,6,7,8],[2,3,4,5,6,7,8,9],labels=["A","B"]);. Brug samme skala og samme kvartil-/outlierregel for begge datasæt.

Hvis du kun har min,Q1,median,Q3,max, har du ikke de oprindelige observationer. Gym-manualens metode 2 kan vise de ønskede grænser via et konstrueret seks-talssæt med medianen gentaget; det må kun bruges til selve tegningen.

For opsummeringen (1;3;5;7;10) bruger manualen boksplot([1,3,5,5,7,10]);. Dette er et tegnehjælpemiddel, ikke seks faktiske observationer.

Kontrollér, at figurens fem grænser er 1,3,5,7,10. Brug aldrig den konstruerede liste til at estimere middelværdi, spredning eller antal observationer.

To sådanne opsummeringer kan vises med hver sit konstruerede seks-talssæt. Brug samme metode og forklar, at det er opsummeringer. Har du rådata, så brug dem i stedet.

Trappediagram

Når du har defineret et datasæt med ugrupperede observationer i en matrix, så kan du tegne et trappediagram med kommandoen

plotTrappekurve(datasæt)

Eksempel: plotTrappekurve(data);. For data=[1,3,3,5] skal den kumulerede andel være 1/4 fra 1 til før 3 og 3/4 fra 3 til før 5.

Læs aksetitler og enheder. Ændret tekststørrelse ændrer kun læsbarheden, ikke de kumulerede andele.

Histogram

Når du har defineret et datasæt med grupperede observationer, så kan du tegne et histogram med kommandoen

plotHistogram(datasæt)

Eksempel: plotHistogram(G);. Kontroller de tre klassegrænser, og om søjlehøjderne viser hyppighed, frekvens eller frekvenstæthed. Ved ulige klassebredder skal arealer og højder skelnes.

Sumkurve

Grupperede observationer kan vises som en sumkurve. Den lineære forbindelse mellem klassegrænser er en interpolationsmodel for de ukendte værdier inden for klassen.

plotSumkurve(datasæt)

Eksempel: plotSumkurve(G);. Den matematiske sumkurve går gennem(0,0),(5,0,2),(10,0,8),(15,1), når andenaksen bruger andele. Kontroller om din figur i stedet viser procent.

Kontrollér antal, sum, decimaler og klassernes grænser, inden en statistisk beskrivelse bruges i en konklusion.

Prøv hvad grupperingen skjuler

Prøv selv: To observationer vides kun at ligge i intervallet 0 til 10. Kan middelværdien bestemmes præcist?

Se forklaring og kontrol

Nej. Midtpunktsmetoden erstatter begge med 5 og estimerer middelværdien til 5. De virkelige værdier kunne fx være 1 og 2 eller 8 og 9. Grupperingen har mistet oplysninger. Angiv derfor tilnærmelsen og intervalkonventionen.

Regression i Maple

Importér datasæt

For at kunne udføre regression på et datasæt, så skal du importere datasættet til Maple™. Du kan læse, hvordan du kan importere datasættet på siden Deskriptiv statistik.

Lineær regression

Når du har importeret et datasæt, så kan du foretage lineær regression med kommandoen

LinReg(datasæt)

Eksempel: data:=Matrix([[1,3],[2,4],[3,8]]); LinReg(data);. Den matematiske mindste-kvadraters-linje er y=2,5x. Fortolk hældning og konstantled i opgavens enheder.

Residualplot

Lav et residualplot med kommandoen

plotResidualer(datasæt,LinReg)

For dette datasæt er residualerne 0,5;−1;0,5, fordi et residual er observeret y minus modellens y. De tegnes mod de tilsvarende x-værdier. Mønstre i residualerne kan pege på en utilstrækkelig model.

Residualspredning

Du kan bestemme residualspredningen med kommandoen

residualspredning(datasæt,LinReg)

Ved almindelig lineær regression med både hældning og konstantled bruges s=√(Σrᵢ²/(n−2)) for n>2. Her er Σrᵢ²=1,5,n=3, så s=√1,5≈1,2247. Nævneren n−2 gælder ikke automatisk enhver regression.

Vis residualer

Du kan få vist en liste med residualerne med kommandoen

residualer(datasæt,LinReg)

Kontrollér residualrækkefølgen: For punkterne (1,3),(2,4),(3,8) er listen 0,5;−1;0,5. Summen er 0 i denne regression med frit konstantled.

Eksponentiel regression

Når du har importeret et datasæt, så kan du foretage eksponentiel regression med kommandoen

ExpReg(datasæt)

Et eget datasæt er Matrix([[0,2],[1,4],[2,8]]). En eksponentialmodel y=b·a^x passer præcist med b=2,a=2. Ved støjende data skal du undersøge residualer og hvilke skalaer/metoder kommandoen tilpasser.

Potensregression

Når du har importeret et datasæt, så kan du foretage potensregression med kommandoen

PowReg(datasæt)

Et eget datasæt er Matrix([[1,2],[2,8],[3,18]]). Potensmodellen y=2x² passer præcist. De almindelige logbaserede potensmetoder kræver positive data; kontrollér både domæne og din kommandos metode.

Polynomisk regression

Når du har importeret et datasæt, så kan du foretage polynomisk regression med kommandoen

PolyReg(datasæt,n)

n er graden af polynomiet. Kvadratisk regression foretages med n = 2 eller med kommandoen KvadReg(datasæt).

For data:=Matrix([[0,1],[1,2],[2,5],[3,10]]); PolyReg(data,2); passer y=x²+1 præcist. Et polynomium af højere grad kan overtilpasse; prøv modellen mod nye data og konteksten.

Sinusregression

Start med at importere pakkerne Statistics, plots og Gym.

Et lille træningsdatasæt kan være X:=[0,1,2,3,4]; Y:=[0,2,0,-2,0];. Antal x- og y-værdier skal være ens, og parringen skal bevares.

Du kan tegne et punktplot af dataene ved at skrive

p_data:=plots:-pointplot([seq([X[i],Y[i]],i=1..nops(X))],symbol=solidcircle,color=red):. Hvert indre par er ét punkt; [X,Y] alene ville være to punktrækker frem for parringen af listerne.

Når du har importeret listerne med data, så skal du definere modellen ved at skrive

model:=a*sin(b*x+c)+d

Derefter skal du angive nogle startgæt for værdierne af a0, b0, c0 og d0. Her er vores forslag til startgæt:

a0:=(max(Y)-min(Y))/2

T:=4: b0:=2*Pi/T

c0:=0

d0:=Statistics:-Mean(Y)

T er et positivt startgæt for perioden og skal tildeles, før b0 beregnes. I træningsdata har vi valgt T:=4. Sinusmodellen bruger radianer, så frekvensparameteren opfylder b=2π/T. Et punktplot kan støtte et gæt uden at afgøre den eneste mulige periode.

Du kan nu bestemme forskriften ved at skrive

fit:=Statistics:-NonlinearFit(model,X,Y,x,initialvalues=[a=a0,b=b0,c=c0,d=d0]);. Den numeriske optimering søger lokalt. Prøv relevante startgæt og begrænsninger, og sammenlign residualer; ét fund er ikke et bevis for det globale bedste fit.

Du kan tegne punktplottet sammen med grafen ved at skrive

p_fit:=plot(fit,x=min(X)..max(X),color=blue,thickness=2):

display(p_data, p_fit)

For træningsdata passer y=2 sin(πx/2) ved de fem tidspunkter. Det viser en mulig model; mellem målepunkterne og udenfor skal den stadig vurderes. Brug flere målepunkter end frie parametre til en informativ tilpasning.

Vælg model efter data og spørgsmålet, og vurder residualer, parameterbetydning og det område, du vil anvende modellen i. Et højt r² beviser ikke en årsag eller sikker ekstrapolation.

Forklar et residual

Prøv selv: Punktet(2,4) sammenlignes med regressionslinjen y=2,5x.

Se forklaring og kontrol

Modellen giver 5, så residualet er 4−5=−1. Punktet ligger under linjen. Prøv selv punktet (3,8): Residualet er 0,5. Undersøg dernæst, om mange residualer danner et systematisk mønster.

Kombinatorik i Maple

Pakken ‘combinat’

Du kan bestemme antallet af permutationer og kombinationer med pakken combinat, som du indlæser ved at skrive with(combinat).

Permutationer

numbperm(n,r) tæller valg af r forskellige elementer blandt n, når rækkefølgen har betydning og samme element ikke må vælges igen.

numbperm(n,r)

Eksempel: combinat:-numbperm(10,2);. Der er 10 valg til første plads og 9 til næste, altså 90.

Vi kan vælge 2 ud af 10 elementer på 90 forskellige måder, når rækkefølgen har betydning.

Kombinationer

numbcomb(n,r) tæller valg af r forskellige elementer blandt n, når rækkefølgen er ligegyldig og samme element ikke må vælges igen.

numbcomb(n,r)

Eksempel: combinat:-numbcomb(10,2);. Hvert uordnet par er talt to gange i10·9, så antallet er 45.

Vi kan vælge to af ti forskellige elementer på 45 måder uden gentagelser, når rækkefølgen er ligegyldig.

Afgør om rækkefølgen tæller

Prøv selv: To af ti personer skal vælges. Er der 45 eller 90 muligheder?

Se forklaring og kontrol

Et udvalg med to lige roller har 45 uordnede par. Formand og næstformand giver 90 ordnede valg. Begge regninger forudsætter, at de to personer er forskellige. Gentagelser kræver en anden model.

Binomialfordeling i Maple

Bestem sandsynlighed

P(X = r)

Binomialmodellen kræver et fast antal n uafhængige forsøg med samme succes-sandsynlighed p. X tæller successer, og P(X=r) bestemmes med Gym-kommandoen binpdf(n,p,r).

binpdf(n,p,r)

Eksempel: binpdf(10,0.4,5);. Matematikken er binomial(10,5)·0,4⁵·0,6⁵.

P(X=5)≈0,200658, altså omtrent 20,1%.

P(X ≤ r)

Hvis X er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, dvs. X~b(n,p), så kan du bestemme P(X ≤r) med kommandoen

bincdf(n,p,r)

Eksempel: bincdf(10,0.4,5);. Den summerer sandsynlighederne for 0,1,…,5.

P(X≤5)≈0,833761. For P(X≥5) bruges derimod 1−P(X≤4), fordi værdien 5 skal være med.

Bestem konfidensinterval for andel (p)

Beregn et normaltilnærmet konfidensinterval ud fra stikprøveandelen og en standardnormalfraktil. Ved få successer/fiaskoer eller andele nær 0 eller 1 kan tilnærmelsen være misvisende; følg opgavens aftalte intervalmetode.

phat:=150/500: z:=invnorm(0,1,0.975): [evalf(phat-z*sqrt(phat*(1-phat)/500)),evalf(phat+z*sqrt(phat*(1-phat)/500))];

Her er stikprøveandelen phat=x/n. For et konfidensniveau k bruges standardnormalfraktilen ved (1+k)/2; k=0,95 giver derfor fraktilen ved 0,975.

For x=150,n=500 er stikprøveandelen 0,30. Et normaltilnærmet 95%-interval er 0,30±1,95996√(0,30·0,70/500), omtrent[0,25983;0,34017]. Konfidensniveauet beskriver metodens langsigtede dækningsandel under antagelserne; det er ikke en 95%-sandsynlighed for den faste parameter i det allerede beregnede interval.

Binomialtest

Du finder vores gennemgang af binomialtest på siden Hypotesetest.

Begynd med at forklare, hvad X tæller, og hvorfor n uafhængige forsøg med samme p er en rimelig model.

Kontrollér højst og mindst

Prøv selv: X~Bin(10;0,4). Hvilken sum beskriver mindst 5 successer?

Se forklaring og kontrol

P(X≥5)=1−P(X≤4), ikke 1−P(X≤5). Sidste udtryk udelader netop 5. Ved grænserne er P(X≥0)=1 og P(X≥11)=0; brug dem som kontrol af indeks og fortolkning.

Normalfordeling i Maple

Bestem sandsynlighed

I denne guide er μ middelværdi og σ>0 standardafvigelse. Gym bruger normalcdf(μ,σ,t) til P(X≤t). Nogle bøger skriver N(μ,σ²); kontrollér notationens betydning.

normalcdf(µ,σ,t)

Eksempel: normalcdf(5,1,4); for middelværdi 5 og standardafvigelse 1.

P(X≤4)≈0,158655. Kontrol:4 er én standardafvigelse under middelværdien.

Bestem fraktiler

α-fraktilen er det tal x_α, der opfylder, at

P(X ≤ x_α) = α

x_α kan bestemmes med kommandoen

invnorm(μ,σ,α)

Kommandoen invnorm(μ,σ,α) svarer til at løse nedenstående ligning mht. x_α:

normalcdf(µ,σ,x_α) = α

For middelværdi 4 og standardafvigelse 1 bruges invnorm(4,1,0.90);.

Kontrollér fraktilen med normalcdf(4,1,5.281551566);; værdien skal være tæt på 0,90.

90%-fraktilen er x_0,90 ≈ 5,28, dvs. at

P(X ≤ 5,28) ≈ 90%

Tegn et histogram sammen med en normalfordelingskurve

Et histogram og en normalmodel kan tegnes med Statistics og plots. Gym har også danske statistikkommandoer. Histogram og tæthedskurve skal bruge samme skala; et histogram med antal i søjlehøjden passer ikke direkte til en sandsynlighedstæthed.

Først skal du importere og definere datasættet.

Eget eksempel: c:=[-1.5,-1,-0.5,0,0,0.5,1,1.5];. Dette er konstruerede træningsdata og ikke en dokumenteret normal stikprøve.

Vælg klassegrænser til histogrammet; forskellige grænser kan give forskellige visuelle indtryk.

Gem fx hist:=Statistics:-Histogram(c,frequencyscale=relative):. Denne relative skalering giver samlet søjleareal 1.

Som det næste skal du bestemme datasættets middelværdi og stikprøvespredningen med kommandoerne

middel(c)

stikprøvespredning(c)

Gem mu:=Statistics:-Mean(c): sigma:=Statistics:-StandardDeviation(c):. Sigma skal være større end 0 for den følgende tæthedskurve.

Definér f:=x -> exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))/(sigma*sqrt(2*Pi));. Det er normalmodellens tæthed, ikke sandsynligheden for én præcis x-værdi.

Tegn normalfordelingskurven ved at plotte grafen for f med kommandoen

plot(f(x))

Gem fx normkurve:=plot(f(x),x=-3..3,y=0..0.7,color="Navy",thickness=3):.

Vi har tilføjet nogle ekstra parametre:

• Vi får vist intervallet [-3;3] på x-aksen og intervallet [0;0,7] på y-aksen ved at tilføje x = -3 ..3, y = 0 ..0,7.
• Vi ændrer kurvens farve med color = “Navy”.
• Vi ændrer tykkelsen af kurven med thickness = 3.

Til sidst skal du plotte histogrammet og normalfordelingskurven i samme koordinatsystem med kommandoen

plots:-display(hist,normkurve);

Kontrollér akserne, histogrammets samlede areal og modellens parametre. En pæn overlejring beviser ikke normalfordeling eller uafhængighed.

Grafens gitter og ramme kan ændres i din versions plotindstillinger. Vælg en læsbar visning uden at skjule relevante afvigelser.

Lav et QQ-plot

Når du har importeret et datasæt, så kan du tegne et QQ-plot med kommandoen

QQplot(data)

Eksempel med Gym: QQplot(c);. Undersøg om punkterne følger en tilnærmelsesvis ret linje, og se især på systematiske krumninger eller enkelte afvigelser. Et plot beviser ikke modelantagelserne.

Hold samme akser og skalering, når QQ-plot sammenlignes; de er et diagnosegreb for en model.

Hvis du har lavet lineær regression og skal lave et QQ-plot af residualerne, så kan du bruge kommandoen

residualQQplot(datasæt, LinReg)

“datasæt” er det oprindelige datasæt, dvs. det datasæt du har brugt til lineær regression.

For den tidligere matrix data kan du bruge residualQQplot(data,LinReg);. Tre residualer er dog for få til en stærk vurdering af residualernes fordeling.

Vælg normalmodellen ud fra data, situation og en kontrol af dens antagelser. Notér tydeligt, om du beregner sandsynlighed, fraktil eller en diagnostisk figur.

Prøv standardafvigelsen

Prøv selv: En normalmodel har μ=10 og σ=2. Hvad sker der med medianen, når σ ændres til 4?

Se forklaring og kontrol

Medianen er fortsat 10. Den 90%-fraktil, der først er omtrent 12,5631, bliver omtrent 15,1262. Større σ ændrer afstanden fra middelværdien, ikke middelværdiens placering.

Hypotesetest i Maple

Binomialtest

Formulér H₀:p=p₀, relevant alternativ, n og α, før du ser resultatet. Vælg binomialmodellen med uafhængige forsøg og samme p; ikke-forkastningsområdet omtales ofte som acceptområdet, men det beviser ikke H₀.

Gym-kommandoen viser et område for den valgte test. Kontrollér grænser og naboværdier med de faktiske halesandsynligheder. En diskret fordeling springer; lighed med halegrænsen skal behandles efter den aftalte regel.

binomialTest(n,p₀,α,tosidet/højre/venstre)

Det sidste input i kommandoen skal enten være “tosidet”, “højre” eller “venstre”, alt efter om du vil lave et tosidet, højresidet eller venstresidet test.

Det kritiske område består af de værdier i mængden {0, 1, …, n}, der ikke ligger i acceptområdet.

Eksempel: binomialTest(50,0.3,0.05,tosidet);. Med lige store halegrænserα/2 og kritisk hale-sandsynlighed≤α/2 kontrolleres venstre hale ved 8 og 9 og højre ved 22 og 23.

P(X≤8)≈0,01825, P(X≤9)≈0,04023, P(X≥22)≈0,02509 og P(X≥23)≈0,01228. Derfor er ikke-forkastningsområdet 9,…,22; de øvrige værdier er kritiske efter denne regel.

Skriv hvilket alternativ og hvilken haleregel du bruger. Afslut med forkastning eller manglende grundlag for forkastning, ikke med et bevis for hypotesen.

χ²-test for uafhængighed

For at kunne foretage et χ²-test for uafhængighed skal du definere de observerede værdier i en matrix. I observationsmatricen skal rækken og kolonnen “Total” ikke medtages.

Du kan finde matricer under “Matrix”:

Et eget eksempel er obs:=Matrix([[30,20],[20,30]]);. Matricen har 2×2 celler; totaler skal ikke være ekstra kategorier.

De forventede værdier kan bestemmes med kommandoen

forventet(observerede værdier)

Gem forv:=forventet(obs); med Gym indlæst. Under H₀ om uafhængighed er hver forventning rækkesum·kolonnesum/total, så alle fire er 25.

Du kan lave et χ²-uafhængighedstest med kommandoen:

chi2Utest(observationer,signifikansniveau=α)

Brug decimalpunktum: chi2Utest(obs,signifikansniveau=0.05);. Kontrollér uafhængige observationer og tilstrækkelige forventede antal før χ²-tilnærmelsen.

I denne 2×2-tabel er χ²=4 og df=(2−1)(2−1)=1.

p≈0,04550. Ved α=0,05 forkastes H₀ om uafhængighed under testens antagelser. Det viser ikke en årsagsretning.

Den kritiskeχ²-værdi er omtrent 3,84146 for df=1 og α=0,05. Teststørrelsen 4 ligger over denne grænse.

Bidragene til teststørrelsen kan bestemmes med kommandoen

bidrag(observerede værdier,forventede værdier)

Her er hvert bidrag(30−25)²/25 eller(20−25)²/25=1; de fire bidrag summerer til 4.

Læs forventede antal, teststørrelse, frihedsgrader og p-værdi sammen; rapportér også antagelserne.

χ²-test for goodness of fit

Goodness of fit-test benyttes til at undersøge, om en række observerede værdier stemmer overens med de forventede værdier.

Ved seks terningeudfald kan vi undersøge, om de har samme sandsynlighed. Formulér hypoteserne om fordelingen:

• H₀: Alle seks udfald har sandsynlighed 1/6.
• H₁: Mindst én udfaldssandsynlighed afviger fra 1/6.

Det er nulhypotesen, vi tester.

Gem observationerne: obs:=[6,12,8,14,14,18];. Listen har seks kategorier og samlet 72 observationer.

Listen viser, at vi i en række terningekast fik hhv. 6 1’ere, 12 2’ere, 8 3’ere, 14 4’ere, 14 5’ere og 18 6’ere.

De forventede værdier bestemmes ved at gange det samlede antal observationer med den forventede frekvens for hver observation. Hvis vi kaster en terning 72 gange og forventer at 1/6 af observationerne er 1’ere, 1/6 af observationerne er 2’ere osv, så er alle de forventede værdier:

Hvert forventet antal er 72·1/6=12.

Gem forv:=[12,12,12,12,12,12];. De forventede antal skal summe til samme 72 som observationerne.

Du kan lave et GOF-test med kommandoen

chi2GOFTest(observationer,forventede værdier)

Med Gym indlæst bruges chi2GOFTest(obs,forv);. Sammenlign p-værdien med dit valgte α. Kontrollér indstillingerne i din versions hjælp, hvis du ændrer diagrammets signifikansniveau. For faste seks sandsynligheder er df=5; estimerede parametre kan ændre frihedsgraderne.

For disse data er p≈0,156236, altså større end 0,05.

Teststørrelsen aflæses ud for “χ²-teststørrelse”. I eksemplet er teststørrelsen 8,00.

Bidragene til teststørrelsen kan bestemmes med kommandoen

bidrag(observerede værdier,forventede værdier)

Bidragene er 3,0,4/3,1/3,1/3,3. De summerer til 8.

Du kan vælge at tage udgangspunkt i formuleringerne herunder, når du skriver konklusionen. Husk at tjekke, at du i din konklusion svarer på det, der bliver spurgt til i opgaven.

• Hvis p≤α efter den valgte regel, forkastes H₀ under testens antagelser. Beskriv, hvilken afvigelse data støtter; testen beviser ikke alternativet.
• Hvis p>α, kan H₀ ikke forkastes på dette grundlag. Det er ikke et bevis for H₀.

Da 0,156236>0,05, forkastes H₀ ikke på 5%-niveau. De 72 kast giver her ikke tilstrækkeligt grundlag for at afvise seks lige sandsynlige udfald.

Bidragene viser, hvilke kategorier der afviger mest fra forventningen. Det største enkelte bidrag skal læses sammen med den samlede test, ikke som en særskilt afgørelse.

Her bidrager 1’ere og 6’ere hver med 3. Det ændrer ikke, at den samlede test ikke forkaster H₀.

Kontrollér antagelser og den konkrete testtype før beregning; skriv derefter teststørrelse, frihedsgrader, p-værdi og en afgrænset konklusion.

Kontrollér konklusionen i GOF

Prøv selv: Testen giver p≈0,156 ved α=0,05. Er det grundlag for at forkaste H₀?

Se forklaring og kontrol

Nej, p ligger overα. Vi kan ikke forkaste H₀ på dette grundlag. Det beviser ikke H₀. Hvis en anden stikprøve gav p=0,01 under samme testantagelser, ville den give forkastning efter den valgte regel.

Vektorer i Maple

Vektornotation (bogstav med pil over)

En pil over et bogstav er matematisk notation. Vælg pilskabelonen i din versions symbol-/paletfunktion, hvis du vil bruge den i dokumentationen. En pil alene opretter ikke et Vector-objekt.

Giv vektoren et navn som v, og brug en faktisk vektordefinition, når der skal regnes. Palettens placering og forslag varierer med version.

Udskift pilskabelonens bogstav med det navn, du bruger i din dokumentation. Selve beregningsobjektet skal fortsat defineres som en vektor.

Definér en vektor

Du kan definere en vektor ved at benytte definitionslighedstegnet, :=, som du kan lave ved at skrive et kolon (:) efterfulgt af et lighedstegn (=).

Vektorer noteres ved at benytte klammer: <,>.

Eksempel: v:=<3,4>;. Det er en to-dimensional kolonnevektor.

I tre dimensioner bruges fx w:=<1,2,3>;.

Bestem en vektor ud fra to punkter (forbindelsesvektor)

Du kan bestemme koordinaterne til en forbindelsesvektor ud fra koordinaterne til punkterne A og B.

Du kan definere punkterne ved at benytte firkantede parenteser: [,].

Eksempel: A:=[1,2]; B:=[4,6];. Her er punkterne gemt som lister.

Et punkt i rummet kan fx gemmes som C:=[1,2,3];. En koordinatliste og et Vector-objekt er forskellige datastrukturer.

For punkter gemt som lister kan du danne en vektor med AB:=Vector(B)-Vector(A);. Her er AB=〈3,4〉.

Kontrollér orienteringen: Fra A til B er B−A. Vektoren BA er dens modsatte, ikke en anden længde.

Bestem længden af en vektor

Vektorens euklidiske længde kan bestemmes med standardpakkens norm:

LinearAlgebra:-Norm(v,2);

For v=〈3,4〉 er længden 5. Argumentet 2 er vigtigt: LinearAlgebra:-Norm(v) bruger som standard maksimumsnormen og giver 4.

Bestem en determinant

Du kan bestemme determinanten mellem to vektorer med kommandoen

determinant(vektor1,vektor2)

Eksempel med Gym: determinant(<1,2>,<3,4>);. Den orienterede 2D-determinant er 1·4−2·3=−2.

Bestem en vinkel mellem to vektorer

Du kan bestemme vinklen mellem to vektorer med kommandoen

vinkel(vektor1,vektor2)

For u=〈1,0〉 og v=〈0,1〉 er vinklen 90°. Gym-funktionen vinkel(u,v) giver grader i den viste manual. Vinklen er ikke defineret, hvis en af vektorerne er nul.

Bestem projektion af vektor på vektor

Projektionen af u på en ikke-nul vektor v er (u·v)/(v·v) gange v. Angiv hvilken vektor der projiceres, og hvilken der er retningen.

proj:=(LinearAlgebra:-DotProduct(u,v)/LinearAlgebra:-DotProduct(v,v))*v;

For u=〈2,3〉 og v=〈1,0〉 er projektionen〈2,0〉. Ved v=0 divideres der med 0, så projektionen er ikke defineret.

Bestem et skalarprodukt (prikprodukt)

Du kan bestemme skalarproduktet af to vektorer med kommandoen

dotP(vektor1,vektor2)

For u=〈1,2〉 og v=〈3,4〉 er skalarproduktet 11. Brug fx LinearAlgebra:-DotProduct(u,v);.

Bestem et krydsprodukt (vektorprodukt)

Du kan bestemme krydsproduktet af to vektorer i rummet med kommandoen

LinearAlgebra:-CrossProduct(u,v);

Krydsproduktet bruger tre-dimensionalt Vector-input. Et ×-symbol i en skabelon skal fortolkes af den relevante pakke; det er ikke en generel erstatning for gangning af alle datatyper.

For u=〈1,0,0〉 og v=〈0,1,0〉 er krydsproduktet〈0,0,1〉. Ombyttes rækkefølgen, skifter fortegnet.

Bestem arealet af en trekant eller et parallelogram udspændt af to vektorer

To ikke-parallelle vektorer giver positive arealer; parallelle vektorer giver det degenererede areal 0. I2D er parallelogrammets areal absolutværdien af determinanten; i3D længden af krydsproduktet.

Du kan bestemme arealet af trekanten med kommandoen

arealT(vektor1,vektor2)

Du kan bestemme arealet af parallelogrammet med kommandoen

arealP(vektor1,vektor2)

For u=〈2,0〉 og v=〈0,3〉 er parallelogrammets areal 6 og trekantens 3. Kontrollér, at arealP(u,v) og arealT(u,v) passer til disse værdier med Gym indlæst.

Kontrollér først dimension, orientering og datatypen Vector. Læs derefter skalar-, vektor- og arealresultater som forskellige slags svar.

Skeln mellem længde og koordinat

Prøv selv: For v=〈3,4〉 er maksimumskoordinaten 4. Er længden derfor 4?

Se forklaring og kontrol

Den euklidiske længde er√(3²+4²)=5. Maples standard Norm uden argument 2 bruger maksimumsnormen. Norm(v,2) angiver det længdemål, geometrien kræver. En nulvektor har længde 0, men ingen entydig retning.

Differentialregning i Maple

Differentiér en funktion (bestem den afledte funktion)

For f:=x -> x^3+5*x; kan du bruge den afledte skabelon eller diff(f(x),x);. Den afledte er 3x²+5.

Den andenafledte kan findes med diff(f(x),x,x);; her er den 6x. En skabelon med primtegn og en tekstkommando er forskellige indtastningsformer.

Bestem differentialkvotient

Beregn fx subs(x=2,diff(f(x),x));. Her er differentialkvotienten 17, altså tangentens hældning ved x=2.

Løs ligninger med den afledte funktion

For denne f kan du skrive solve(diff(f(x),x)=8,x);.

I eksemplet har vi løst ligningen f ‘(x) = 8. Løsningen er x = 1 eller x = -1.

En tangent kræver punkt og hældning. Ved minimum/maksimum skal stationære punkter, endepunkter og relevant definitionsmængde undersøges. f′(x)=0 giver kandidater, ikke automatisk ekstrema.

Et stationært punkt behøver ikke være et ekstremum

Prøv selv: g(x)=x³ har g′(0)=0. Er 0 et maksimum eller minimum?

Se forklaring og kontrol

Nej. Funktionen vokser gennem 0, og værdierne på hver side har modsat fortegn. Undersøg afledtes fortegn eller anden passende begrundelse; en stationær kandidat er ikke automatisk et ekstremum.

Integralregning i Maple

Lav et integraltegn

Du kan finde integrationsskabeloner i din versions Expression-palet. Tekstkommandoerne nedenfor kan bruges uden et billede af paletten.

Du kan også bruge følgende genvej: Skriv int i math-mode og tryk Esc eller Ctrl+Space:

Brug piltasterne til at vælge det integraltegn, du vil lave, og tryk Enter.

Bestem et ubestemt integral

En skabelon kan indsættes fra paletten. I tekstinput bruges int(udtryk,x) til et ubestemt integral.

Eksempel: int(x^2,x); giver en stamfunktion x³/3.

Bemærk, at Maple™ ikke tilføjer en integrationskonstant!

Du kan gemme en stamfunktion som F:=x -> x^3/3;. Hele familien er x³/3+C; begyndelsesbetingelser kan bestemme C. Kontrollér ved differentiation.

Bestem et bestemt integral

I tekstinput bruges int(udtryk,x=a..b) til et bestemt integral. Kontrollér, at integralet eksisterer på det relevante interval.

Eksempel: int(x^2,x=0..3); har værdien 9.

For f:=x -> x^2; kan du bruge int(f(x),x=0..3);. Et bestemt integral er fortegnet; geometrisk areal kræver, at fortegn og eventuelle skæringer håndteres.

Skravér et område

Område mellem graf og førsteaksen

Du kan tegne grafen for en funktion f i intervallet [c;d] og skravere området mellem førsteaksen og grafen i intervallet [a;b] med kommandoen

skraver([f(x),0],x = c..d,x=a..b)

Med f:=x -> x-2; kan skraver([f(x),0],x=0..5,x=0..4); vise området. Integral fra 0 til 4 er 0, men det geometriske areal er 4, fordi grafen skifter fortegn ved 2.

Område mellem to grafer

Du kan tegne graferne for to funktioner f og g i intervallet [c;d] og skravere området mellem de to grafer i intervallet [a;b] med kommandoen

skraver([f(x),g(x)],x = c..d,x=a..b)

Bemærk, at vi benytter samme kommando, som når vi skraverer et område mellem en graf og førsteaksen. Vi har blot erstattet “0” med “g(x)”.

Eksempel: f:=x -> x^2; g:=x -> 4; skraver([f(x),g(x)],x=-3..3,x=-2..2);. Arealet er integralet af 4−x² fra −2 til 2, altså 32/3.

Skift farve på graferne og skraveringen

Du kan ændre farverne på graferne og skraveringen ved at udvide kommandoen:

skraver([f(x),g(x)],x=c..d,x=a..b,color=["GreenishBlue","Cinnamon","LightGrey"]);

Farvelisten har tre elementer og afsluttes med både en firkantet og en rund parentes. Kontrollér også den valgte Gym-versions options.

De tre farver angiver henholdsvis de to grafer og skraveringen. Akser, interval og en tekstlig forklaring skal gøre området forståeligt uden farver alene.

Kontrollér en stamfunktion med differentiation og et bestemt integral med interval, fortegn og enhed. En skravering viser området; den afgør ikke alene arealregningen.

Prøv forskellen mellem integral og areal

Prøv selv: Beregn integral og areal mellem f(x)=x−2 og førsteaksen fra 0 til 4.

Se forklaring og kontrol

Integralværdien er 0, fordi negative og positive bidrag ophæver hinanden. Det geometriske areal er 2+2=4. Del ved skæringen x=2, eller integrér absolutværdien med passende begrundelse.

Differentialligninger i Maple

Løs en differentialligning uden begyndelsesbetingelse

Du kan løse en differentialligning uden en begyndelsesbetingelse med kommandoen

dsolve(diff(y(x),x)=2*y(x),y(x));

I ovenstående kommando er y den afhængige variabel, mens x er den uafhængige variabel. Hvis du arbejder med andre variable end x og y, så skal du udskifte de variable i kommandoen.

I tekstinput skal den ukendte funktion og dens argument med: diff(y(t),t)=y(t)-5. En afledt skabelon kan vise prim- eller brøknotation; kontrollér at den faktisk repræsenterer differentiation efter t.

Eksempel: dsolve(diff(y(t),t)=2*y(t),y(t));.

Den matematiske løsningsfamilie er y(t)=C·e²ᵗ. Programmets navn til den vilkårlige konstant kan variere. Kontrollér ved at differentiere og indsætte.

Løs en differentialligning med begyndelsesbetingelse

Du kan løse en differentialligning med en begyndelsesbetingelse med kommandoen

dsolve({diff(y(x),x)=2*y(x),y(0)=5},y(x));

I ovenstående kommando er y den afhængige variabel, mens x er den uafhængige variabel. Hvis du arbejder med andre variable end x og y, så skal du udskifte de variable i kommandoen.

Betingelsen skal høre til samme funktion og uafhængige variabel som ligningen. y(0)=5 betyder værdien 5 ved input 0.

Løsningen til y′(x)=2y(x) med y(0)=5 er y(x)=5e²ˣ. Indsæt x=0 og kontrollér differentialligningen. En generel differentialligning kan kræve en numerisk løsning med dens eget gyldighedsinterval.

Tegn et hældningsfelt (linjeelementer)

Du kan tegne et hældningsfelt med kommandoen linjeelementer:

linjeelementer(diff(y(x),x)=2*y(x),y(x),x=0..2,y=0..10);

I ovenstående kommando er y den afhængige variabel og x den uafhængige variabel. Hvis du arbejder med andre variable end x og y, så skal du udskifte de variable i kommandoen. Hvis du fx arbejder med differentialligningen m‘(t) = 2 · m(t), så skal du erstatte x med t og y med m i kommandoen.

De viste input tegner vinduet fra x=0 til 2 og y=0 til 10. Vælg intervaller, der passer til den ligning og de begyndelsesværdier, du undersøger.

For den logistiske ligning bruges fx linjeelementer(diff(y(x),x)=0.002*y(x)*(300-y(x)),y(x),x=0..50,y=0..300);. Hældningen er 0 ved y=0 og 300, positiv imellem dem.

Tegn en eller flere løsningskurver sammen med et hældningsfelt

Du kan tegne en løsningskurve i samme koordinatsystem som et hældningsfelt ved at udvide kommandoen linjeelementer. Du kan tegne løsningskurven, der går gennem punktet (x₀,y₀), med kommandoen

linjeelementer(diff(y(x),x)=2*y(x),y(x),x=0..2,y=0..10,[y(0)=1]);

Denne begyndelsesbetingelse vælger y(x)=e²ˣ. Kurven skal passere(0,1), og hældningen der er 2.

Du kan tegne flere løsningskurver ved at tilføje flere betingelser:

linjeelementer(diff(y(x),x)=2*y(x),y(x),x=0..2,y=0..10,[y(0)=1,y(0)=2]);

Du kan give løsningskurverne forskellige farver ved at udvide kommandoen:

linjeelementer(diff(y(x),x)=2*y(x),y(x),x=0..2,y=0..10,[y(0)=1,y(0)=2],linecolor=["Navy","Burgundy"]);

De to betingelser her beskriver to forskellige løsningskurver, e²ˣ og 2e²ˣ, ikke én funktion med to modstridende begyndelsesværdier.

Hvis du vil plotte punkter i samme koordinatsystem som hældningsfeltet, så skal du følge vejledningen i afsnittet Tegn forskellige grafiske elementer i samme koordinatsystem.

Kontrollér både differentialligning og begyndelsesbetingelse. Hældningsfeltet støtter fortolkningen; det erstatter ikke løsningen eller dens gyldighed.

Kontrollér både ligning og begyndelse

Prøv selv: Et løsningsforslag til y′=2y,y(0)=5 er y=5e²ˣ.

Se forklaring og kontrol

Den afledte er 10e²ˣ=2y, og ved 0 fås 5. Begge krav er opfyldt. y=4e²ˣ opfylder ligningen, men fejler begyndelsesbetingelsen. Prøv at vælge en anden begyndelsesværdi.

Vektorfunktioner i Maple

Definér en vektorfunktion

Eksempel: r:=t -> <t,t^2>;. Begge koordinater afhænger af samme parameter t.

Du kan også definere f:=t -> t; g:=t -> t^2; r:=t -> <f(t),g(t)>;.

Bestem stedvektoren hørende til en t-værdi

For denne r giver r(2); stedvektoren〈2,4〉. På banekurven svarer det til punktet (2,4).

Differentiér en vektorfunktion

Differentiér koordinatfunktionerne efter parameteren. For r(t)=〈t,t²〉 er r′(t)=〈1,2t〉.

Et direkte tekstinput er <diff(f(t),t),diff(g(t),t)>;. Ved t=2 er hastighedsvektoren〈1,4〉; det er ikke stedvektoren.

Tegn en parameterkurve (banekurve)

Du kan tegne parameterkurven for en vektorfunktion med kommandoen

vektorPlot(r(t),t=a..b,view=[xmin..xmax,ymin..ymax]);

Eksempel: vektorPlot(r(t),t=0..2,view=[0..3,0..5]);. Banen går fra(0,0) til(2,4). Standard-Maple kan tegne samme bane med plot([t,t^2,t=0..2]);.

Tegn to parameterkurver i samme koordinatsystem

To parameterkurver kan tegnes som hver sit plot og kombineres med plots:-display. Her defineres også s, så eksemplet har alle sine input.

s:=t -> <t,2*t>: pr:=plot([t,t^2,t=0..2]): ps:=plot([t,2*t,t=0..2]): plots:-display(pr,ps);

Brug forskellige farver og en tekstlig forklaring til at skelne kurverne. Farve er en visningsindstilling, ikke en ændring af banerne.

ps:=plot([t,2*t,t=0..2],color="Navy"): plots:-display(pr,ps);

Et eget sammenligningseksempel er r(t)=〈t,t²〉 og s(t)=〈t,2t〉 for 0≤t≤2. De mødes ved (0,0) og(2,4), men følger forskellige baner imellem.

Skeln mellem parameter, stedvektor og hastighed. Et kryds på to banekurver betyder ikke nødvendigvis, at to bevægelser mødes på samme tidspunkt.

Samme sted behøver ikke samme tid

Prøv selv: r(t)=〈t,t²〉 og s(u)=〈u,2u〉 deler punkterne (0,0) og(2,4).

Se forklaring og kontrol

Det er banernes skæringer. For at påstå et samtidigt møde skal du knytte parametrene til den samme tid og kontrollere r(t)=s(t). Forskellige parameterintervaller eller tidsforskydning kan ændre mødet.

Funktioner af to variable i Maple

Definér en funktion af to variable

Eksempel: f:=(x,y) -> x^2+y^2;. Funktionen har to uafhængige input.

Bestem en funktionsværdi

For denne funktion er f(1,2); værdien 5. Punktet på grafen har koordinater(1,2,5).

Tegn graf

Du kan tegne grafen for en funktion f(x,y) i grafvinduet [x_min..x_max] x [y_min..y_max] x [z_min..z_max] med kommandoen

plot3d(f(x,y),x=xmin..xmax,y=ymin..ymax,view=[xmin..xmax,ymin..ymax,zmin..zmax]);

Find akseindstillingerne i din versions plotmenu. Vælg akser og udsnit, som gør overfladen læsbar; visningen ændrer ikke funktionsværdierne.

Eksempel: plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2,view=[-2..2,-2..2,0..8]);. x-/y-intervallerne angiver beregningsområdet; view angiver det synlige udsnit.

Bestem de partielle afledede

Ved en partiel afledt differentieres efter én variabel, mens den anden holdes konstant.

Den partielle afledte har også en skabelon i Calculus-paletten. Tekstinputtet nedenfor viser den samme beregning.

For f=x²+y² giver diff(f(x,y),x); værdien 2x og diff(f(x,y),y); værdien 2y.

Bestem de dobbeltafledede og de blandede afledede

Brug diff(f(x,y),x,x); diff(f(x,y),y,y); diff(f(x,y),x,y);. Her fås 2,2 og 0. Lighed mellem de blandede afledte kræver passende regularitet, fx kontinuerte andenordens partielle afledte i et område.

Calculus-paletten har skabeloner til disse afledte. Tekstkommandoerne ovenfor angiver variablerne direkte.

Bestem gradienten

Gym-pakken giver gradienten som en vektor af de partielle afledte. For den definerede funktion kan du bruge:

gradient(f,[x,y])

Gradienten i et punkt (x₀,y₀) bestemmes således:

gradient(f,[x,y]=[x₀,y₀])

For f=x²+y² er gradienten〈2x,2y〉 og ved (1,2) vektoren〈2,4〉. En ikke-nul gradient peger i den lokale retning for størst vækst. En nulgradient giver et stationært kandidatpunkt, ikke automatisk et minimum.

Undersøg funktionens domæne, partielle afledte og eventuelle stationære punkter efter opgavens krav. Afsnittet er et værktøjsopslag; klassens læreplan og undervisningsbeskrivelse afgør, hvilke metoder du skal beherske.

Prøv to slags stationære punkter

Prøv selv: f=x²+y² og g=x²−y² har begge nulgradient ved (0,0). Er de samme slags punkt?

Se forklaring og kontrol

Nej. f har minimum 0. For g er værdierne positive langs x-aksen og negative langs y-aksen nær 0, så(0,0) er et saddelpunkt. Undersøg flere retninger eller en passende klassifikation, før du konkluderer.

Kommandoernes dokumentation

Kontrollér input og muligheder i den manual, der passer til dit program. Maplesofts aktuelle danske manualer viser Gym-pakkens kommandoer og brugerfladen.

• Maple 2026: Dansk introduktion
• Gym-pakken 2026: A-manual og B-manual
• Maple: restart og kernens hukommelse
• Maple: Numeriske ligningsløsninger
• Maple: Ikke-lineær regression
• Maple: Stikprøvespredning
• Maple: Taltilnærmelse og betydende cifre