Kernestof i matematik på stx

Del 1 af 9

1. Tal og algebra

Området dækker tallene, altså hele, rationale og reelle tal, regningsarternes hierarki, algebraisk manipulation samt potens og rod. Dertil kommer ligningsløsning med analytiske, grafiske og digitale metoder, og procent- og rentesregning med relativ vækst, vækstrate, fremskrivningsfaktor og renteformlen. På C og B står der “simpel algebraisk manipulation”. På A er ordet “simpel” væk, og mængder og talmængder samt ligefrem og omvendt proportionalitet kommer til. Det, flest springer over, er procentregningen, fordi den ligner folkeskole. Det er en dyr fejl, for fremskrivningsfaktoren går igen i eksponentialfunktioner, i vækstmodeller og på A i differentialligninger.

Sådan kan du skrive det: “Fremskrivningsfaktoren er 1 plus vækstraten, og den er den samme, uanset om jeg regner på renter eller på en eksponentiel model.”

Del 2 af 9

2. Geometri og trigonometri

Området dækker trekanter, herunder ensvinklede og retvinklede trekanter, Pythagoras’ sætning, sinus, cosinus og tangens anvendt på retvinklede trekanter, sinus- og cosinusrelationerne samt beregning af sider, vinkler og areal i vilkårlige trekanter. Her er en overraskelse, som er værd at kende: teksten står ordret ens på alle tre niveauer. Trigonometrien bliver altså ikke udvidet fra C til A. Det, der oftest misforstås, er, at trigonometri skulle blive sværere på de høje niveauer. Det er de samme punkter, men kravet til din argumentation stiger. Vejledningen til C siger direkte, at du ikke forventes at kunne håndtere det dobbelttydige tilfælde, hvor to trekanter passer på de samme oplysninger.

Sådan kan du skrive det: “Sinusrelationen bruger jeg, når jeg kender en side over for en kendt vinkel, og cosinusrelationen, når jeg kender to sider og vinklen mellem dem.”

Del 3 af 9

3. Analytisk plangeometri

Det her er det første helt nye område på B. På C findes det ikke. Det dækker retvinklet koordinatsystem, afstand mellem to punkter, linjens ligning med hældningskoefficient, skæring mellem linjer, ortogonale linjer, hældningsvinkel, afstand mellem punkt og linje samt cirklen med cirklens ligning, skæring mellem linje og cirkel og tangent til cirkel. Punkterne står ordret ens på B og A. Den hyppigste misforståelse er at tro, at analytisk plangeometri er en del af vektorregning. Det er det ikke. På B skal du kunne det hele uden en eneste vektor, for vektorer findes slet ikke i B-læreplanen.

Sådan kan du skrive det: “Cirklens ligning er Pythagoras skrevet om, så afstanden fra centrum ud til et punkt på cirklen netop bliver radius.”

Del 4 af 9

4. Vektorer i planen og rummet

Vektorer findes kun på A. Ordet står ikke ét eneste sted i kernestoffet på C og B. I planen skal du kunne koordinatsæt, regning med vektorer, længde, vinkel mellem vektorer, skalarprodukt og projektion, og dertil determinant, areal af parallelogram, linjens ligning bestemt ved et punkt og en normalvektor, vinkel mellem linjer samt parameterfremstilling for linje og cirkel. I rummet kommer vektorprodukt, parameterfremstilling for linje, planens ligning og parameterfremstilling, kuglen samt skæring, afstande og vinkler. Mange tror, at rummet er et selvstændigt emne, man kan nå at læse til sidst. Læreplanen nævner planen og rummet i samme punkt, og de samme begreber går igen begge steder.

Sådan kan du skrive det: “Skalarproduktet er nul, præcis når to vektorer står vinkelret på hinanden, og det er derfor, en normalvektor kan give mig en plans ligning.”

Del 5 af 9

5. Funktioner

Området findes på alle tre niveauer, men listen vokser. På C er det funktionsbegrebet samt lineære funktioner, andengradspolynomier, eksponential- og potensfunktioner, elementære egenskaber ved log10 og simpel modellering med regression. På B kommer sammensat funktion til, polynomier bredt og ikke kun andengradspolynomier, samt den naturlige logaritme ln. På A kommer desuden parallelforskydning af grafer samt cosinus og sinus som funktioner. Det, der oftest misforstås, er regression. Mange tror, det er noget, værktøjet ordner. Vejledningen kræver, at du kan forholde dig kritisk til modellen, se om der er systematisk variation i data, og beregne absolut og relativ afvigelse.

Sådan kan du skrive det: “En eksponentialfunktion vokser med den samme procent, hver gang x vokser med 1, mens en potensfunktion vokser med den samme procent, hver gang x vokser med en fast procent.”

Del 6 af 9

6. Differentialregning

Det er det andet store nye område på B, og det findes ikke på C. På B skal du kunne definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, differentiere en sum, en differens, en konstant gange en funktion, et produkt og en sammensat funktion, finde tangent og tangentligning og bestemme monotoniforhold, ekstrema og optimering. På A kommer to ting til: grænseværdi og kontinuitet som forudsætning for hele differentialregningen, og Newtons metode til numerisk bestemmelse af nulpunkter. Den klassiske fejl er at træne selve differentieringen og glemme fortolkningen. Læreplanen nævner udtrykkeligt sammenhængen mellem monotoniforhold, ekstrema og differentialkvotient, og det er den sammenhæng, en censor spørger til.

Sådan kan du skrive det: “At f'(3) er 5 betyder, at hvis x vokser en lille smule fra 3, så vokser y cirka fem gange så meget.”

Del 7 af 9

7. Stamfunktion og integral

Integralregning findes kun på A. Ordet integral står ikke i kernestoffet på hverken C eller B. Du skal kunne stamfunktion for de funktionstyper, der er nævnt på niveauet, ubestemt og bestemt integral, sammenhængen mellem areal og stamfunktion, regnereglerne for sum, differens og konstant gange funktion, integration ved substitution samt anvendelser, herunder volumen af omdrejningslegemer. Den mest udbredte misforståelse er, at et integral er det samme som et areal. Det bestemte integral er et tal, og det tal kan være negativt. Det svarer kun til arealet under grafen, når funktionen er positiv på hele intervallet.

Sådan kan du skrive det: “Det bestemte integral fra a til b er F(b) minus F(a), og det svarer til arealet under grafen, når funktionen er positiv på hele intervallet.”

Del 8 af 9

8. Differentialligninger

Også dette område findes kun på A. Kernestoffet er differentialligninger af første orden, herunder kvalitativ analyse og løsning af fire bestemte former: y’ = f(x), y’ = k·y, den form hvor væksten aftager mod en fast grænseværdi, og den logistiske model med en øvre grænse M. Dertil kommer løsning med separationsmetoden, numerisk løsning med Eulers metode og opstilling af simple differentialligningsmodeller. Mange bliver bange og tror, de skal kunne løse alle differentialligninger. Det skal du ikke. Læreplanen nævner præcis de fire former, og de bliver ved med at dukke op i fysik, kemi og biologi.

Sådan kan du skrive det: “En differentialligning fortæller mig, hvor hurtigt noget vokser lige nu, og løsningen er hele den funktion, der passer med den vækst.”

Del 9 af 9

9. Sandsynlighedsregning og statistik

På C er der to underområder: deskriptiv statistik med grafisk repræsentation af ugrupperet og grupperet materiale og simple statistiske deskriptorer, samt sandsynlighedsregning med sandsynlighedsfelt, symmetrisk sandsynlighedsfelt og kombinatorik, herunder kombinationer. På B kommer hændelse, stokastisk variabel med middelværdi og spredning og binomialfordelingen til, og der kommer et helt tredje underområde, Statistik, med binomialfordelt materiale, estimation af basissandsynligheden og hypotesetest med nulhypotese, alternativ hypotese, kritisk område, acceptområde og signifikansniveau. På A kommer normalfordelingen til. Det, der oftest går galt, er, at elever på C leder efter hypotesetest, fordi de har set det i andre fag. Det er ikke kernestof på C.

Sådan kan du skrive det: “Et signifikansniveau på 5 procent betyder, at jeg forkaster nulhypotesen, hvis mit resultat er så usandsynligt, at det højst ville ske i 5 procent af tilfældene, hvis nulhypotesen var sand.”

Fælder

Det, der oftest koster point