Andengradsligninger: formel, eksempler og opgaver

Kort fortalt

En andengradsligning kan skrives ax² + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal, og a ≠ 0. Det betyder, at koefficienten foran x i anden ikke må være nul. Løsningerne er de x-værdier, som gør ligningen sand.

Saml først alle led på én side, og aflæs a, b og c med deres fortegn. Beregn diskriminanten d = b² − 4ac. Er d positiv, er der to forskellige reelle løsninger. Er d nul, er der én reel løsning, også kaldet en dobbeltrod. Er d negativ, er der ingen reelle løsninger.

Når d ≥ 0, er løsningsformlen x = (−b ± √d) / (2a). Læs: minus b plus eller minus kvadratroden af d, det hele divideret med to gange a. Tegnet ± betyder, at du regner én gang med plus og én gang med minus. Ved d = 0 giver de samme svar.

Vi arbejder her med reelle løsninger. Komplekse tal giver en større talmængde, men du behøver ikke lære den for at bruge denne guide. Den grundlæggende formel og de tre tilfælde gennemgås også i OpenStax’ lærebog.

Ligning, polynomium og nulpunkter

Udtrykket 2x² − 7x + 3 er et andengradspolynomium. Ligningen 2x² − 7x + 3 = 0 stiller et spørgsmål: Hvilke x-værdier får udtrykket til at blive nul? Funktionen f(x) = 2x² − 7x + 3 knytter en y-værdi til hver x-værdi. Dens graf er en parabel.

Ligningen f(x) = 0 finder funktionens nulpunkter. Et nulpunkt er en x-værdi; punktet på grafen har koordinaterne (x, 0). Parablens toppunkt er dens laveste eller højeste punkt, ikke automatisk et nulpunkt. Kun når parablen netop rører x-aksen, er toppunktet også et skæringspunkt med aksen.

Afgør graden efter reduktion. I (x + 1)(x − 1) = x² + 6x − 7 forsvinder x² på begge sider, og der står −1 = 6x − 7. Derfor bliver 6 = 6x, så x = 1. Den ligning er ikke en andengradsligning, selv om den starter med x i anden. Formlen kræver a ≠ 0.

Diskriminanten set på tre grafer

De tre figurer viser funktionerne f(x) = (x − 1)² − 4, g(x) = (x − 1)² og h(x) = (x − 1)² + 2 med samme skala. Læs parentesen som x minus én, det hele i anden. Figurerne er vores egne, beregnet ud fra de viste forskrifter.

Første graf: f(x) = x² − 2x − 3 har d = 16. Den skærer x-aksen ved x = −1 og x = 3: to reelle løsninger. Anden graf: g(x) = x² − 2x + 1 har d = 0 og rører x-aksen ved x = 1: én reel løsning. Tredje graf: h(x) = x² − 2x + 3 har d = −8 og ingen skæring med x-aksen: ingen reelle løsninger.

Når a > 0, vender parablen opad; når a < 0, vender den nedad. De tre figurer har alle a = 1. En negativ diskriminant betyder ingen skæring med x-aksen, men betyder ikke altid, at grafen ligger over den: en nedadvendt parabel uden nulpunkter ligger under aksen.

Du kan også ændre koefficienterne og tegne grafer i dit matematikprogram. Sammenlign først diskriminantens fortegn med antallet af skæringer. Skærmens udsnit kan skjule et nulpunkt, så grafen erstatter ikke den algebraiske undersøgelse.

Omskrivning: start ikke formlen for tidligt

I (x − 3)(x + 1) = 5 ganger du først parenteserne ud: x² − 2x − 3 = 5. Træk 5 fra på begge sider: x² − 2x − 8 = 0. Først nu kan du aflæse a = 1, b = −2 og c = −8. Faktoriseringen fra panelet ovenfor giver x = 4 eller x = −2.

Kontrollér i startligningen: Ved x = 4 er (4 − 3)(4 + 1) = 1 · 5 = 5. Ved x = −2 er (−2 − 3)(−2 + 1) = (−5) · (−1) = 5. Du kontrollerer dermed også omskrivningen, ikke kun den sidste standardform.

En tekstopgave: vælg den løsning, der giver mening

Egen, tænkt træningssituation: Et rektangulært øvelsesfelt har arealet 28 m². Længden er 3 m større end bredden. Lad bredden være x meter. Så er længden x + 3 meter, og arealet giver x(x + 3) = 28.

Saml ligningen: x² + 3x − 28 = 0. d = 9 + 112 = 121. x = (−3 ± 11) / 2 giver x = 4 eller x = −7. En bredde skal være positiv, så x = −7 forkastes i denne situation. Bredden er 4 m, og længden er 7 m. Kontrol: 4 · 7 = 28 m².

Skeln mellem algebra og sammenhæng: −7 er en reel løsning til den omskrevne andengradsligning, men ingen mulig bredde i opgaven. Skriv derfor både dine matematiske løsninger og begrundelsen for det svar, du beholder. Tallene er undervisningsdata, ikke et virkeligt byggeprojekt.

CAS og graf: vis hvad du beder programmet om

CAS er et program, der kan regne med symbolske udtryk. Skriv den oprindelige ligning og den variabel, du vil løse for. Til hovedeksemplet er en almindelig kommandotype solve(2*x^2-7*x+3=0,x). Den præcise syntaks afhænger af dit program; brug dets ligningsløser, og kontrollér indtastningen.

Bed først om eksakte svar, hvis programmet tilbyder det. Notér derefter de to værdier og kontrollér dem. Til brøkligningen skal x ≠ 3 følge med, også hvis programmet giver et langt svar. Et billede af et CAS-resultat forklarer ikke i sig selv, hvorfor løsningen er gyldig.

Hvis en opgave beder om f(x) = 0, løser du ligningen for funktionens nulpunkter. Hvis du senere har fundet en afledt funktion f′(x) = 3x² − 6x − 24 og skal løse f′(x) = 0, er andengradstrinnet det samme: x = −2 eller x = 4. Det alene klassificerer ikke punkterne som maksimum eller minimum; det kræver videre undersøgelse af funktionen.

Hjælpemidler afhænger af den konkrete opgave og prøve. Træn både en forklaring uden program og en løsning med dit sædvanlige værktøj. Guiden fastsætter ingen prøvevilkår eller obligatoriske CAS-kommandoer.

I timen og til prøven: gør din tankegang synlig

Til daglig kan du træne ét valg ad gangen: Hvorfor samler du ligningen først? Hvorfor er b negativ? Hvorfor bruger du nulreglen her? Skriv din fejl og den rettede mellemregning ved siden af hinanden. Årskarakteren bygger på en samlet faglig vurdering; denne øvelse lover ikke en bestemt karakter.

Til en mundtlig forklaring kan du bruge hovedeksemplet og én særlig kontrol. Forklar først metoden, vis derefter beregningen, og slut med kontrollen. Egne træningsspørgsmål: Hvad ændrer sig, når d bliver nul? Hvorfor kan du miste en løsning ved division med x? Hvordan hænger løsningen sammen med grafen?

Guiden er rettet mod matematik på stx, med kontrolleret faggrundlag for A, B og C. Ministeriets vejledning til matematik C beskriver algebraisk, grafisk og digital ligningsløsning samt sammenhængen mellem andengradspolynomier, rødder og diskriminant. Følg din lærers opgave og din konkrete undervisning; spørgsmålene her er træning, ikke en officiel prøveskabelon.

En forælder kan hjælpe ved at spørge: Hvilket trin vil du forklare? Hvorfor må du gøre det? Hvordan kan du kontrollere svaret? Lad eleven regne og formulere forklaringen. Du behøver ikke overtage blyanten for at støtte arbejdet.