Funktioner i matematik

En funktion er en regel, der giver præcis én y-værdi for hver x-værdi. I et tænkt fitnessmedlemskab er indmeldelsesgebyret 199 kr. og den månedlige udgift 249 kr. Udgiften efter x måneder er f(x) = 249x + 199. Efter et år er udgiften f(12) = 249 · 12 + 199 = 3.187 kr. Forskriften, en graf, en tabel og en sætning med ord kan vise den samme sammenhæng.

Af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie· Sidst opdateret 8. oktober 2026

Kort fortalt

Hvad er en funktion?

En funktion beskriver, hvordan én størrelse afhænger af en anden: prisen af antal måneder, højden af tiden, arealet af radius. Du sætter et tal ind, og funktionen giver ét tal ud. I gymnasiet bruger du funktioner på alle tre niveauer, og mange opgaver til den skriftlige prøve bygger på dem. Her får du begreberne, funktionstyperne, de 15 opgavetyper med metode og eksempel, beviserne og opgaver med facit til stx.

Begreberne fra bunden
Opgavetyperne trin for trin
Opgaver med facit

Dit niveau

Hvad skal du kunne på dit niveau?

Matematik C

Funktionsbegrebet og fire typer med deres grafer: lineære funktioner, andengradspolynomier, eksponentielle funktioner og potensfunktioner, plus log. Du skal kunne bruge dem som modeller og lave regression med de lineære, eksponentielle og potensfunktionerne. Sammensatte og omvendte funktioner er ikke med på C. Prøven er mundtlig.

Matematik B

Alt fra C og desuden sammensatte funktioner, polynomier, ln og regression med andengradspolynomier. Du skal kunne læse og bruge skrivemåden Dm(f) og Vm(f), men du skal ikke selv finde definitionsmængden ud fra en forskrift. Der er en skriftlig prøve på 4 timer og en mundtlig prøve med vægt på beviser.

Matematik A

Alt fra B og desuden parallelforskydning af grafer, cosinus og sinus og algoritmen som femte repræsentationsform. Du skal kunne bestemme definitionsmængden i enkle tilfælde. Den skriftlige prøve varer 5 timer.

Siden følger læreplanerne for stx fra 2024 og vejledningerne fra november 2025. Står der “B og A” ved et afsnit, hører stoffet ikke til C.

På denne side

Begreberne

Forskrift, variable og funktionsværdi

En funktion f tager et tal x og giver et tal y tilbage, og den giver altid præcis ét tal for hvert x. Man skriver y = f(x). x hedder den uafhængige variabel, fordi du selv vælger den. y hedder den afhængige variabel, fordi den afhænger af x.

Udtrykket f(x) = 249x + 199 hedder forskriften eller regneforskriften. Der står et lighedstegn, men forskriften er ikke en ligning, du skal løse. Den er en opskrift: gang med 249, og læg 199 til. Efter én måned er udgiften 249 + 199 kr.; efter to måneder 2 · 249 + 199 kr. x tæller måneder, så 249 ganges med x, mens indmeldelsen på 199 kr. kun lægges til én gang. I formen f(x) = ax + b er a derfor 249 og b 199. Her tæller vi hele betalingsmåneder: x = 0, 1, 2, …; ved x = 0 er kun indmeldelsesgebyret medregnet.

Formel: f(12) = 249 · 12 + 199 = 3.187

Sig det: f af tolv er 249 gange tolv plus 199, og det giver 3.187.

Tallet f(12) hedder funktionsværdien i 12. Du finder den ved at sætte 12 ind på x’ plads. Funktionen behøver ikke hedde f, og variablen behøver ikke hedde x. I modeller møder du fx N(t) for et antal til tiden t eller h(x) for en højde. Bogstaverne skifter, ideen er den samme.

Grafen

Grafen: tegn den, aflæs den, find skæringspunkter

Grafen for f er alle punkterne (x, f(x)) tegnet i et koordinatsystem. Til den skriftlige prøve tegner du den i dit værktøj, men du skal kunne skitsere den i hånden: lav en tabel med nogle x-værdier, regn funktionsværdierne, sæt punkterne ind, og forbind dem. Er forløbet uklart et sted, så regn et par punkter mere netop dér.

Værdier fra x² − 4x + 3

xf(x) = x² − 4x + 3
−18
03
10
2−1
30
43
58

Punkterne ligger på en parabel med bunden i (2, −1). Tabellen viser også, at grafen rammer x-aksen i x = 1 og x = 3, for dér er f(x) = 0.

Du kan aflæse grafen begge veje. Fra en x-værdi går du lodret op til grafen og vandret ind til y-aksen. Fra en y-værdi går du vandret ud til grafen, og her kan der være flere svar: y = 3 hører både til x = 0 og x = 4.

To grafer skærer hinanden, hvor funktionerne giver samme værdi. Du finder førstekoordinaten ved at løse f(x) = g(x) og andenkoordinaten ved at sætte løsningen ind i en af forskrifterne.

Eksempel: f(x) = 2x + 1 og g(x) = −x + 7. 2x + 1 = −x + 7 giver 3x = 6, altså x = 2. f(2) = 5, så graferne skærer hinanden i (2, 5).

Hvornår er en kurve en graf?

Ikke alle kurver er grafer for en funktion. En funktion giver kun én y-værdi for hvert x, så en lodret linje må højst ramme grafen én gang. Det kaldes lodret-kriteriet.

Den liggende parabel x = y² opfylder ikke kriteriet. Den går både gennem (4, 2) og (4, −2), så x = 4 har to y-værdier. En cirkel opfylder det heller ikke af samme grund.

Repræsentationer

Fire repræsentationsformer (fem på A)

Den samme funktion kan vises på flere måder, og læreplanerne kræver, at du kan skifte mellem dem. Vejledningerne til C og B nævner fire: forskrift med definitionsmængde, graf, tabel og sproglig beskrivelse. Vejledningen til A tilføjer algoritmen som den femte.

Eksemplet: en mobil er fuldt opladet og bruger 8 procentpoint strøm i timen på en lang togtur. Den holder i 100 / 8 = 12,5 timer.

Fire former for den samme funktion

Forskrift

f(x) = 100 − 8x, hvor x er timer, og f(x) er strøm i procent. Definitionsmængden er [0;12,5].

Tabel

0 timer: 100. 2 timer: 84. 4 timer: 68. 6 timer: 52. 10 timer: 20.

Graf

En ret linje, der starter i (0, 100) og falder 8 for hver time, til den rammer x-aksen i (12,5; 0).

Ord

Batteriet starter fuldt og mister otte procentpoint i timen.

På A kommer algoritmen til: en trinvis opskrift. Tag antallet af timer. Gang med 8. Træk resultatet fra 100. Rækkefølgen følger regnearternes hierarki, for i 100 − 8x ganger du, før du trækker fra. Newtons metode, som du møder på A, er også en algoritme.

Styrker og svagheder

formgod til og svag til
Forskriftpræcise værdier og regning; svær at se forløbet i
Grafforløbet: hvor den vokser og falder; upræcise aflæsninger
Tabelkonkrete tal og data; forskriften kan være svær at finde
Ordbetydningen i sammenhængen; ikke til at regne med

Mængder

Definitionsmængde, værdimængde og intervaller

Definitionsmængden Dm(f) er de x-værdier, funktionen må få. Værdimængden Vm(f) er de y-værdier, den giver. For batteriet er Dm(f) = [0;12,5] og Vm(f) = [0;100].

Kravene skifter med niveauet. På C skal du kende notationen og tegne grafen i det relevante interval. På B skal du kunne læse og forstå notationen, men ikke selv bestemme definitionsmængden ud fra en forskrift. På A skal du kunne bestemme den i enkle tilfælde. f(x) = √(x − 5) kræver x ≥ 5, fordi du ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. f(x) = 1 / (x − 2) kræver x ≠ 2, fordi du ikke kan dele med 0.

Intervallerne

]a;b[ åbent

Alle tal mellem a og b, uden a og b.

[a;b] lukket

Alle tal mellem a og b, med a og b.

[a;b[ halvåbent

Med a, uden b. ]a;b] er det modsatte.

]−∞;∞[

Alle reelle tal. Parentesen er altid åben ved uendelig.

∩ og ∪

∩ er fællesmængden, det to mængder har til fælles. ∪ er foreningsmængden. Alle tal undtagen 2 skrives ]−∞;2[ ∪ ]2;∞[.

Typerne

De seks funktionstyper

De fleste funktioner i gymnasiet er en af seks typer. Kan du genkende typen på forskriften, ved du, hvad konstanterne betyder, og hvilken regression du skal bruge.

Hurtigt opslag

Funktionstyperne

f(x) = ax + b
Betyder: Lineær (C, B og A). a er hældningen, b er skæringen med y-aksen.
Husk: Når x vokser 1, vokser y med a. Kaldes ΔΔ-vækst.
f(x) = b · aˣ
Betyder: Eksponentiel (C, B og A). a er fremskrivningsfaktoren, b er startværdien.
Husk: Når x vokser 1, ganges y med a. Kaldes Δ%-vækst. Sig det: b gange a i x’te.
f(x) = b · xᵃ
Betyder: Potensfunktion (C, B og A), for x > 0. a er eksponenten.
Husk: Når x vokser med en procent, vokser y med en fast procent. Kaldes %%-vækst.
f(x) = ax² + bx + c
Betyder: Andengradspolynomium (C, B og A). Grafen er en parabel.
Husk: a > 0: grenene vender op. c er skæringen med y-aksen. d = b² − 4ac afgør antallet af rødder.
log(x) og ln(x)
Betyder: Logaritmer: log på C, log og ln på B og A.
Husk: log er den omvendte til 10ˣ, ln den omvendte til eˣ. Begge kræver x > 0.
cos(x) og sin(x)
Betyder: Trigonometriske funktioner (A).
Husk: Periodiske: grafen gentager sig hver 2π.

I vækstmodellerne b · aˣ her bruger vi a > 0, a ≠ 1 og b > 0. Med a = 1 er funktionen konstant og har ingen fordoblings- eller halveringskonstant.

Huskeregel

Plus giver lineær, gange giver eksponentiel.

Stiger noget med det samme antal hver gang, er det lineært. Stiger det med den samme procent, er det eksponentielt. På B og A møder du også formen b · eᵏˣ.

Funktioner i flere stykker: gaffelforskrift

På B og A skal du både kunne skrive en gaffelforskrift op og forklare, hvad den betyder: en funktion med forskellige regler i hvert sit interval. En parkeringsplads er gratis de første 2 timer og koster derefter 15 kr. i timen.

Formel: f(x) = 0 for 0 ≤ x ≤ 2, og f(x) = 15 · (x − 2) for x > 2

Sig det: f af x er nul, når x ligger fra nul til to, og femten gange parentes x minus to, når x er over to.

Efter 3,5 timer koster det f(3,5) = 15 · 1,5 = 22,50 kr. I delprøve 2 på B undtager vejledningen opstilling og behandling af gaffelforskrifter med digitale værktøjer. På A undtager den produktion af grafer for gaffelforskrifter. Øv dig i at læse forskriften og regne med den i hånden.

A-niveau

Parallelforskydning af grafer

Parallelforskydning står kun i kernestoffet på A. Du flytter en graf uden at vride den.

Formel: g(x) = f(x − a) + b

Sig det: g af x er f af parentes x minus a, plus b.

b flytter grafen lodret: op, når b er positiv, ned, når b er negativ. a flytter den vandret: til højre, når a er positiv. Minusset i parentesen snyder mange. (x − 3)² ligger 3 til højre for x², ikke til venstre, for det er i x = 3, at parentesen bliver 0.

Eksempel: g(x) = (x − 3)² + 2 er grafen for f(x) = x² flyttet 3 til højre og 2 op. Toppunktet går fra (0, 0) til (3, 2). Den vej kan du også aflæse en forskydning på to grafer: følg ét punkt, der er nemt at genkende, fx toppunktet, og tæl, hvor langt det er flyttet vandret og lodret.

Regn med funktioner

Nye funktioner af gamle: sum, differens, produkt og kvotient

Af to funktioner f og g kan du lave fire nye ved at regne med funktionsværdierne for hvert x: (f + g)⁠(x) = f(x) + g(x), (f − g)⁠(x) = f(x) − g(x), (f · g)⁠(x) = f(x) · g(x) og (f / g)⁠(x) = f(x) / g(x). Den slags opgaver kommer til den skriftlige prøve som “gør rede for, at forskriften er” eller “bestem en forskrift for overskuddet”.

Elevrådets fest

Elevrådet holder fest. En billet koster 60 kr., så indtægten ved x gæster er I(x) = 60x. Udgiften er 2.500 kr. til DJ og lokale plus 15 kr. pr. gæst til mad: U(x) = 15x + 2.500.

Overskuddet er en differens: O(x) = I(x) − U(x) = 60x − 15x − 2.500 = 45x − 2.500. Overskuddet er positivt, når 45x > 2.500, altså fra 56 gæster.

Udgiften pr. gæst er en kvotient: U(x) / x = 2.500 / x + 15. Den er kun defineret for x > 0, for du kan ikke dele med 0 gæster. Ved 100 gæster er den 40 kr.

Den generelle regel: f + g, f − g og f · g er defineret, hvor både f og g er defineret, altså på fællesmængden Dm(f) ∩ Dm(g). f / g mister desuden de x, hvor g(x) = 0. Selve begrebet sumfunktion står ikke for sig i læreplanerne, men du bruger det i modelopgaverne og i differentialregningen, hvor du differentierer f + g og f · g.

B og A

Sammensatte funktioner

Sammensatte funktioner hører til B og A. Her bruger du først én funktion og sender resultatet videre til den næste.

Formel: (f ∘ g)⁠(x) = f(g(x))

Sig det: f bolle g af x er f af g af x.

g er den indre funktion, og f er den ydre. Rækkefølgen tæller. Med f(x) = x² og g(x) = x + 4 er (f ∘ g)⁠(x) = (x + 4)², mens (g ∘ f)⁠(x) = x² + 4. I x = 1 giver de 25 og 5.

Du finder den indre og den ydre funktion ved at spørge, hvad der regnes først. I h(x) = √(3x − 6) regner du først 3x − 6, det er den indre, og tager så kvadratroden, det er den ydre.

Definitionsmængden kræver to ting: x skal ligge i Dm(g), og g(x) skal ligge i Dm(f). I eksemplet skal 3x − 6 ≥ 0, så Dm(h) = [2;∞[.

Sammensatte funktioner fører direkte videre til kædereglen i differentialregning.

Tankegangen på B og A

Omvendte funktioner

En omvendt funktion f⁻¹ går den modsatte vej: den tager y og giver x tilbage. Begrebet fylder lidt i læreplanerne. Det indgår ikke på C, og på B og A bruges tankegangen især, når du løser ligninger. 10ˣ = 50 løser du med log, fordi log er den omvendte til 10ˣ: x = log(50) ≈ 1,70.

f har kun en omvendt funktion, hvis en vandret linje højst rammer grafen én gang (vandret-kriteriet). x² opfylder det ikke, for y = 9 rammes i x = −3 og x = 3. Begrænser du definitionsmængden til x ≥ 0, opfylder den kriteriet, og den omvendte er √x.

Grafen for f⁻¹ er grafen for f spejlet i linjen y = x. Hvert punkt bytter koordinater, så Dm(f⁻¹) = Vm(f) og Vm(f⁻¹) = Dm(f). De to funktioner ophæver hinanden: f(f⁻¹(x)) = x.

Fire trin til den omvendte funktion

1. Skriv y = f(x)

I eksemplet regner vi med, at en euro koster 7,46 kr. Prisen i kroner for x euro er y = 7,46x.

2. Isolér x

x = y / 7,46. Nu står antallet af euro som funktion af kronerne.

3. Byt navnene

f⁻¹(x) = x / 7,46. Sig det: f minus én af x er x divideret med 7,46. 1.000 kr. er f⁻¹(1.000) ≈ 134,05 euro.

4. Kontrollér

f(134,05) = 7,46 · 134,05 ≈ 1.000. Ophæver de hinanden, er du færdig.

Opgaverne

Opgaverne til den skriftlige prøve

Til den skriftlige prøve på B og A møder du de samme typer opgaver i sæt efter sæt. Første delprøve løser du med formelsamlingen alene, anden delprøve med alle hjælpemidler, også et CAS-værktøj som WordMat, GeoGebra, Maple eller TI-Nspire. Opgavetyperne herunder løser du i anden delprøve, men metoden er den samme i hånden. Hvordan du dokumenterer brugen af værktøjet i din besvarelse, står i CAS i matematik.

Hver type har sine signalord. Lær dem, så ved du, hvad opgaven vil have, før du har læst den færdig.

Opgavetyperne

Sådan kender du den: “Benyt modellen til at bestemme …” eller “bestem f(6)”.

Trin 1. Find forskriften, og skriv, hvad x og y står for.

Trin 2. Afgør, om du kender x og skal finde y, eller kender y og skal finde x.

Trin 3. Kender du x: sæt ind. Kender du y: sæt forskriften lig med tallet, og løs ligningen.

Trin 4. Søger du x, kan der være flere løsninger. Behold dem, der ligger i definitionsmængden.

Eksempel: Det tænkte fitnessmedlemskab har udgiften f(x) = 249x + 199. Hvornår er den samlede udgift 2.440 kr.? 249x + 199 = 2.440 giver x = 9.

Regn med tallene i de valgte enheder, og tjek, at enhederne passer sammen. Angiv enheden i svaret.

Skriv svaret sådan: “Ifølge modellen er den samlede udgift 2.440 kr. efter 9 måneder.”

Sådan kender du den: “Indfør passende variable, og opstil en model”, og tallene står i teksten.

Trin 1. Bestem x og y, og skriv, hvad de står for.

Trin 2. Begrund typen: ændres y med det samme tal for hver enhed i x, er den lineær.

Trin 3. b er startværdien, y når x = 0. a er tallet med “pr.” eller “om”. Falder y, er a negativ.

Trin 4. Skriv modellen med tallene sat ind.

Eksempel: En vandtank rummer 1.200 liter og tømmes med 15 liter i minuttet. y er liter i tanken, x er minutter. y = −15x + 1.200. Tanken er tom, når y = 0, altså efter 80 minutter.

Skriv svaret sådan: “y = −15x + 1.200, hvor y er antal liter i tanken, og x er tiden i minutter.”

Sådan kender du den: “Forklar betydningen af a”, “giv en fortolkning af” eller “hvad fortæller tallene”.

Trin 1. Sig, hvad a er: ændringen i y, når x vokser 1, med enhed.

Trin 2. Sig, hvad b er: værdien, når x = 0, med enhed.

Trin 3. Brug opgavens egne ord. “Hældning” og “skæring” alene er ikke nok.

Trin 4. Tjek enheden. Måles y i tusinder, betyder a = 2,4 en ændring på 2.400.

Eksempel: f(x) = 249x + 199: udgiften stiger 249 kr. for hver måned, og 199 kr. er indmeldelsesgebyret, der medregnes før første måned.

Skriv svaret sådan: “Tallet 249 fortæller, at prisen ifølge modellen stiger med 249 kr. om måneden.”

Sådan kender du den: Teksten giver en startværdi og en procent pr. periode.

Trin 1. Bestem x og y.

Trin 2. Begrund typen: ændres y med den samme procent for hver enhed i x, er den eksponentiel.

Trin 3. Skriv vækstraten som decimaltal: 4 % er r = 0,04, et fald på 13 % er r = −0,13.

Trin 4. Opstil y = b · (1 + r)ˣ. Sig det: y er b gange parentes én plus r, i x’te.

Eksempel: En ny profil har 1.500 følgere og vokser 4 % om ugen. y = 1.500 · 1,04ˣ, hvor x er uger. Efter 10 uger er der ca. 2.220 følgere.

Står der et datasæt i stedet for en procent, skal du bruge regression.

Skriv svaret sådan: “y = 1.500 · 1,04ˣ, hvor y er antal følgere, og x er antal uger.”

Sådan kender du den: “Hvad fortæller tallet a om udviklingen” eller “bestem den årlige vækstrate”.

Trin 1. Find vækstraten: r = a − 1. Gang med 100 for procent.

Trin 2. Sig, hvad b er: værdien, når x = 0.

Trin 3. Sig begge dele i opgavens sammenhæng. “r = −13 %” er ikke et svar i sig selv.

Eksempel: I en model er mængden af koffein i blodet K(x) = 160 · 0,87ˣ mg, x timer efter en energidrik. r = 0,87 − 1 = −0,13.

Koffeinen falder 13 % i timen, og der var 160 mg lige efter drikken.

Skriv svaret sådan: “Ifølge modellen falder mængden af koffein med 13 % i timen.”

Sådan kender du den: “Hvor lang tid går der, før … er fordoblet” eller “halveret”.

Trin 1. Find a i forskriften.

Trin 2. Vokser funktionen (a > 1), regn T₂ = log(2) / log(a). Sig det: T to er log to divideret med log a.

Trin 3. Aftager den (0 < a < 1), regn T½ = log(½) / log(a).

Trin 4. Svar med x’ enhed, og sig, hvad der fordobles eller halveres.

Eksempel: Følgerne: T₂ = log(2) / log(1,04) ≈ 17,7 uger. Koffeinen: T½ = log(½) / log(0,87) ≈ 5,0 timer.

Konstanterne hedder også fordoblingstid og halveringstid.

Skriv svaret sådan: “Ifølge modellen halveres mængden af koffein på ca. 5 timer.”

Sådan kender du den: “Hvor mange procent vokser … på 10 uger” eller “hvor lang tid går der, før … er vokset med 50 %”.

Trin 1. Find a eller r.

Trin 2. Brug r_y = a^Δx − 1, hvor Δx er antal skridt i x, og r_y er ændringen i y som decimaltal. Gang med 100 for at få procent.

Trin 3. Kender du Δx, så regn r_y. Kender du r_y, så løs ligningen for Δx.

Eksempel: Følgerne på 10 uger: 1,04¹⁰ − 1 ≈ 0,48, altså 48 % flere.

Hvornår er de vokset 50 %? 1,04^Δx = 1,5 giver Δx = log(1,5) / log(1,04) ≈ 10,3 uger.

Skriv svaret sådan: “Antallet af følgere vokser ifølge modellen med 50 % på ca. 10,3 uger.”

Sådan kender du den: Forskriften er f(x) = b · xᵃ, og der står, at x vokser med en procent.

Trin 1. Skriv ændringen i x som decimaltal r_x.

Trin 2. Brug 1 + r_y = (1 + r_x)ᵃ. Sig det: én plus r y er parentes én plus r x, opløftet i a.

Trin 3. Regn r_y, og gang med 100.

Eksempel: Arealet af en rund pizza er A = π · r², en potensfunktion med a = 2. Går du fra 30 cm til 33 cm, er radius 10 % større. 1,1² = 1,21, så du får 21 % mere pizza.

Skriv svaret sådan: “Når diameteren vokser 10 %, vokser arealet med 21 %.”

Sådan kender du den: “Bestem skæringspunkterne med førsteaksen” eller “løs f(x) = 0”.

Trin 1. Definér funktionen og en eventuel definitionsmængde.

Trin 2. Løs f(x) = 0.

Trin 3. Behold kun løsninger i definitionsmængden.

Trin 4. Svar i sammenhængen. Nogle gange er afstanden mellem to nulpunkter svaret.

Eksempel: En vandstråle fra en fontæne følger h(x) = −0,4x² + 2,4x, hvor x er den vandrette afstand i meter. h(x) = 0 giver x = 0 og x = 6. Strålen lander 6 m fra dysen.

Skriv svaret sådan: “Nulpunkterne er 0 og 6, så strålen rammer vandet 6 m fra dysen.”

Sådan kender du den: “Bestem fortegnsvariationen” eller “i hvilket interval er overskuddet positivt”.

Trin 1. Find nulpunkterne.

Trin 2. Del definitionsmængden op i intervaller ved nulpunkterne.

Trin 3. Sæt ét tal fra hvert interval ind, og se på fortegnet.

Trin 4. Skriv intervallerne med åbne parenteser ved nulpunkterne og ved ±∞.

Eksempel: x² − 4x + 3 har nulpunkterne 1 og 3. f(0) = 3, f(2) = −1 og f(4) = 3.

Beder opgaven om to punkter fra en funktionsanalyse efter eget valg, er nulpunkter og fortegn de hurtigste.

Skriv svaret sådan: “f er positiv i ]−∞;1[ og ]3;∞[ og negativ i ]1;3[.”

Sådan kender du den: “Tegn grafen for f” eller “skitsér grafen”.

Trin 1. Definér forskriften i dit værktøj.

Trin 2. Tegn kun i definitionsmængden, hvis den er givet.

Trin 3. Vælg et grafvindue, hvor det vigtige kan ses: nulpunkter, toppunkt og skæringer.

Eksempel: Fontænen tegnes for 0 ≤ x ≤ 6 med y fra 0 til 4, så toppunktet (3; 3,6) kommer med.

Skriv svaret sådan: Grafen indsættes i besvarelsen med akser og navne på graferne.

Sådan kender du den: “Bestem koordinatsættet til skæringspunktet” eller “løs f(x) = g(x)”.

Trin 1. Sæt f(x) = g(x), og løs for x.

Trin 2. Sæt løsningen ind i en af forskrifterne for at få y.

Trin 3. Tjek definitionsmængderne.

Trin 4. Svar i sammenhængen. Ofte er det andenkoordinaten, der svarer på spørgsmålet.

Eksempel: Profil A har 1.500 · 1,04ˣ følgere, profil B har 2.000 + 30x, x i uger. Løst i CAS mødes de efter ca. 11,3 uger ved ca. 2.340 følgere.

Skriv svaret sådan: “Profil A overhaler profil B efter ca. 11 uger, ved ca. 2.340 følgere.”

Sådan kender du den: “Gør rede for, at forskriften er …” eller “bestem en forskrift for udgiften pr. gæst”.

Trin 1. Find funktionerne og sammenhængen: sum, differens, produkt eller kvotient. “Pr.” betyder ofte divider.

Trin 2. Sæt forskrifterne ind, og reducér.

Trin 3. Skal du gøre rede for en givet forskrift, så gang ud, til dit udtryk og opgavens er ens. Værktøjet skriver ikke altid udtrykket på samme form.

Eksempel: Festens overskud: O(x) = 60x − (15x + 2.500) = 45x − 2.500.

Skriv svaret sådan: “Udtrykket er det samme som i opgaven, så forskriften for overskuddet er O(x) = 45x − 2.500.”

Sådan kender du den: “Bestem …”, når der er givet en formel, eller “isolér h i formlen”.

Trin 1. Find den størrelse, du skal finde.

Trin 2. Definér de kendte tal i værktøjet.

Trin 3. Løs for den ukendte. Med ét ukendt tal får du et tal. Med flere får du et udtryk.

Trin 4. Giv det eksakte svar, medmindre sammenhængen kræver et afrundet tal.

Eksempel: BMI = m / h² isoleret for h giver h = √(m / BMI). Med m = 70 kg og BMI = 22 er h ≈ 1,78 m.

Skriv svaret sådan: “Personen er ca. 1,78 m høj.”

Sådan kender du den: Ord som “mindst”, “højst”, “bliver større end” og “falder under”.

Trin 1. Opstil uligheden: en funktion mod et tal, f(x) < k, eller to funktioner mod hinanden, f(x) < g(x).

Trin 2. Vend tegnet efter teksten. “Falder under” er <, “mindst” er ≥.

Trin 3. Løs i dit værktøj. Svaret er et interval.

Trin 4. Oversæt intervallet til ord i sammenhængen.

Eksempel: Hvornår er der under 50 mg koffein tilbage? 160 · 0,87ˣ < 50 giver x > 8,35.

Skriv svaret sådan: “Efter ca. 8,4 timer er der ifølge modellen under 50 mg koffein tilbage.”

Regression

Regression: fire typer, samme fremgangsmåde

“Benyt tabellens data til at bestemme a og b” betyder næsten altid regression. Typen står i forskriften: ax + b er lineær regression, b · aˣ er eksponentiel, b · xᵃ er potensregression, og ax² + bx + c er andengradsregression. På C bruger du de tre første. Andengradsregression hører til B og A.

Skriv én sætning om metoden først: “Da udviklingen ifølge opgaven er lineær, bestemmer jeg a og b med lineær regression.” Er x et årstal, så regn om til år efter det første år, så det første år bliver x = 0. Vejledningen til B siger, at du selv skal gøre det i delprøve 2, men ikke, når data kommer som en Excel-fil.

Eksempel, lineær: en elev løber Cooper-test i september og igen 1, 3, 5 og 6 måneder senere og når 2.312, 2.327, 2.361, 2.388 og 2.405 m. Lineær regression giver a ≈ 15,4 og b ≈ 2.312. Eleven løber ifølge modellen 15,4 m længere for hver måned.

Eksempel, eksponentiel: en video har 52, 61, 73, 86 og 101 tusind visninger 0, 2, 4, 6 og 8 dage efter upload. Eksponentiel regression giver a ≈ 1,087 og b ≈ 51,9, altså ca. 8,7 % flere visninger om dagen.

Tegn altid punkterne og modellen i samme vindue. Punkter tæt på kurven og R² tæt på 1 kan støtte, at modellen beskriver de målte data, men beviser ikke, at typen er rigtig. Se efter systematiske afvigelser. Vejledningerne beder dig forholde dig kritisk til modellen: beskriver den data, og holder den uden for de år, du har data for?

Når regressionen driller

Værktøjerne navngiver og ordner konstanterne forskelligt. Se på formen: det tal, der er grundtal i potensen aˣ, er a. I formen b · eᵏˣ er grundtallet e, mens k står i eksponenten. Skriv svaret med opgavens bogstaver.

Data fra Excel har decimalkomma, og ikke alle værktøjer læser det. Tjek, at 2,4 ikke er blevet til 24, før du regner.

Tjek, hvilken tidsvariabel opgaven bruger. Med x som årstal er b i den lineære model værdien i år 0, som sjældent har en praktisk betydning. Regner du om til år efter 2018, bliver b værdien i 2018. Den lineære regressionslinje og forudsigelserne er de samme efter dette koordinatskift; b ændrer betydning og talværdi.

Beviser

Beviser, du skal kunne

Vejledningerne til alle tre niveauer siger, at topunktsformlen for hældningskoefficienten skal bevises. På B og A er den mundtlige prøve et teoretisk spørgsmål med vægt på ræsonnement og bevisførelse, så du skal kunne føre beviserne for de funktioner, du trækker. Her er tre beviser, der hører til emnet.

Beviserne trin for trin

For topunktsformlerne skal x₁ ≠ x₂. Punkterne (x₁, y₁) og (x₂, y₂) ligger på grafen for f(x) = ax + b, så y₁ = ax₁ + b og y₂ = ax₂ + b.

Træk den første ligning fra den anden: y₂ − y₁ = ax₂ − ax₁ = a(x₂ − x₁). b forsvinder.

Del med x₂ − x₁: a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Sig det: a er y to minus y et, divideret med x to minus x et.

Sæt a ind i y₁ = ax₁ + b: b = y₁ − a · x₁.

Med (2, 7) og (6, 19) er a = 12 / 4 = 3 og b = 7 − 3 · 2 = 1.

Her er x₁ ≠ x₂ og y₁, y₂ > 0. y₁ = b · a^x₁ og y₂ = b · a^x₂. Del den anden med den første: y₂ / y₁ = a^(x₂ − x₁). b forsvinder.

Tag roden: a = (y₂ / y₁)^(1 / (x₂ − x₁)). Sig det: a er y to divideret med y et, opløftet i én divideret med x to minus x et.

Sæt ind: b = y₁ / a^x₁.

Med (2, 500) og (5, 864) er a³ = 1,728, så a = 1,2 og b = 500 / 1,2² ≈ 347,2.

Til tiden x er værdien b · aˣ. T₂ er det stykke, x skal vokse, før værdien er dobbelt så stor: b · a^(x + T₂) = 2 · b · aˣ.

Del med b · aˣ: a^T₂ = 2. Tag log på begge sider: T₂ · log(a) = log(2).

Så er T₂ = log(2) / log(a). Bemærk, at x er væk: fordoblingen tager lige lang tid, uanset hvor du starter. Halveringskonstanten følger på samme måde med ½ i stedet for 2.

Prøven

Til prøven

På matematik C er prøven mundtlig. Du trækker et af mindst 8 bredt formulerede eksamensspørgsmål og har ca. 24 minutters forberedelse og ca. 24 minutters eksamination.

På B og A er der en skriftlig prøve i to dele. På B varer den 4 timer: 2 timer med kun formelsamlingen og 2 timer med alle hjælpemidler. På A varer den 5 timer: 3 timer og 2 timer. Øv derfor funktionsværdier, nulpunkter og skæringspunkter i hånden til første del. Ministeriet lægger vejledende opgavesæt ud for B og A, og dem kan du bruge som prøveeksamen.

Den mundtlige prøve på B og A tager udgangspunkt i et teoretisk spørgsmål med vægt på ræsonnement og bevisførelse. Der er mindst 11 spørgsmål på B og mindst 14 på A. Mere om prøverne står i eksamen i matematik.

Eksempel

Sådan kan en fremlæggelse lyde

Eksamensspørgsmålet: “Funktioner og vækst” på matematik C.

“Jeg vil vise forskellen på lineær og eksponentiel vækst med to eksempler fra min hverdag. I mit tænkte fitnessmedlemskab er indmeldelsesgebyret 199 kr. og den månedlige udgift 249 kr. Udgiften er f(x) = 249x + 199. Den stiger med det samme antal kroner hver måned, og det gør den lineær.”

“Jeg viser det i en tabel: efter 1 måned 448 kr., efter 2 måneder 697 kr. Forskellen er 249 kr. hver gang. Grafen er en ret linje med hældningen 249.”

“En ny profil med 1.500 følgere, der vokser 4 % om ugen, vokser derimod med samme procent: y = 1.500 · 1,04ˣ. Hver uge ganger jeg med 1,04. Grafen krummer opad, og antallet fordobles på ca. 17,7 uger, uanset hvor jeg starter.”

Vores kommentar

Hvad eksemplet viser

Fremlæggelsen bruger fire repræsentationsformer: forskrift, tabel, graf og ord. Den slutter med fordoblingskonstanten, som er nem at regne efter på tavlen. På B og A kan du fortsætte med beviset for topunktsformlen eller for fordoblingskonstanten.

Samtalen

Spørgsmål til samtalen, med korte svar

En regel, der til hvert x i definitionsmængden giver præcis én y-værdi.

Fordi x = 4 både giver y = 2 og y = −2. En lodret linje rammer kurven to gange.

a er det, y vokser, når x vokser 1. b er y-værdien, når x = 0, altså hvor grafen skærer y-aksen.

a er fremskrivningsfaktoren: y ganges med a, når x vokser 1. b er startværdien. r = a − 1 er vækstraten.

Nej. Når b > 0, er b · aˣ altid positiv. Grafen nærmer sig x-aksen, men rammer den aldrig. x-aksen er en vandret asymptote.

Er forskellen mellem to y-værdier den samme for hvert skridt i x, er den lineær. Er forholdet det samme, er den eksponentiel.

Et produkt er 0, når en af faktorerne er 0. x + 2 = 0 giver −2, og x − 5 = 0 giver 5.

f(g(x)): først g, så f. Med x² og x + 4 får du (x + 4)² den ene vej og x² + 4 den anden, og de er forskellige.

Grafen flyttes 2 til højre og 3 op.

Når en vandret linje højst rammer grafen én gang. Så kan du gå baglæns fra y til x.

Øv dig

Opgaver med facit

Regn alle opgaverne undtagen 5 og 8 i hånden, som i første delprøve, og fold facit ud bagefter. Opgave 5 og 8 kræver logaritmer eller et værktøj. Opgave 9 og 10 er B- og A-stof, opgave 11 er A-stof. Brug eksemplet med fitnessmedlemskabet som hjælp til opgave 1, og prøv derefter selv at opstille plantemodellen i opgave 3, før du åbner facit. Forklar, hvad de to tal i din forskrift betyder.

f(x) = 249x + 199, hvor x er antal måneder, og f(x) er beløbet i kr. f(6) = 249 · 6 + 199 = 1.494 + 199 = 1.693 kr. Indmeldelsen betales én gang, så du skal ikke gange hele beløbet 249 + 199 med seks.

249x + 199 = 2.689 giver 249x = 2.490, altså x = 10. Efter 10 måneder.

y = 0,8x + 14, hvor y er højden i cm, og x er dage. 0,8x + 14 > 30 giver x > 20. Planten er over 30 cm efter mere end 20 dage. Ved præcis 20 dage er den 30 cm; tæller du kun hele dage, er første dag derfor dag 21.

18.000 kr. er værdien ved købet. r = 0,88 − 1 = −0,12, så værdien falder 12 % om året.

T½ = log(½) / log(0,88) ≈ 5,4 år.

1,2³ = 1,728, så rumfanget vokser 72,8 %.

x² − 2x − 8 = (x + 2)⁠(x − 4), så nulpunkterne er −2 og 4. f(0) = −8. f er positiv i ]−∞;−2[ og ]4;∞[ og negativ i ]−2;4[.

1,05⁸ − 1 ≈ 0,477, altså ca. 47,7 %.

(f ∘ g)⁠(x) = √(x − 9) med x ≥ 9. (g ∘ f)⁠(x) = √x − 9 med x ≥ 0.

y = 4x − 12 giver x = (y + 12) / 4. f⁻¹(x) = 0,25x + 3. Kontrol: f⁻¹(8) = 5 og f(5) = 8.

(x + 1)² = (x − (−1))², så grafen er flyttet 1 til venstre og 4 ned. Toppunktet er (−1, −4).

3x − 2 = −2x + 13 giver 5x = 15, altså x = 3. f(3) = 7. Skæringspunktet er (3, 7).

Til prøven og i timen

Til prøven og i timen: det, du gør, siger og viser

Gør

  1. Skriv, hvad x og y står for, med enheder, før du regner.
  2. Find typen på forskriften, og vælg metoden: indsæt, løs, regression eller formlen for T₂ og T½.
  3. Tjek definitionsmængden, og behold kun de løsninger, der ligger i den.
  4. Tegn graf og data i samme vindue, når du laver regression.

Sig

  • “Udviklingen er [lineær eller eksponentiel], fordi y vokser med [samme tal eller procent] for hver [enhed i x].”
  • “Tallet [a] fortæller, at [størrelsen] ifølge modellen [stiger eller falder] med [ændringen med enhed] pr. [enhed i x].”
  • “Ifølge modellen [fordobles eller halveres] [størrelsen] på [T og enhed].”
  • Til samtalen: “Formlen gælder, fordi [kort ræsonnement fra beviset].”

Vis

  • Forskriften med tallene sat ind og en sætning om, hvad x og y er.
  • En graf med akser, navne og det vigtige punkt markeret.
  • Facit som tal med enhed, afrundet fornuftigt og sagt med ord i opgavens sammenhæng.

Til årskarakteren: Brug samme rækkefølge i afleveringer: typen og begrundelsen, udregningen og svaret i en hel sætning med enhed.

Bygger på Læreplan for matematik C, stx, 2024, pkt. 2.2, Læreplan for matematik B, stx, 2024, pkt. 2.2 og 4.2 og Vejledning til matematik B, stx, november 2025.

Se forskellen

Fejl, der koster

✗ f(x) = 249x + 199 er en ligning, så jeg løser den.

✓ f(x) = 249x + 199 er en forskrift. Du løser først, når f(x) er sat lig med et tal.

Forskriften er en opskrift, ikke et spørgsmål.

✗ (x − 3)² ligger 3 til venstre for x².

✓ (x − 3)² ligger 3 til højre for x².

Parentesen er 0 i x = 3.

✗ a = 0,87 betyder, at koffeinen falder 87 % i timen.

✓ a = 0,87 betyder, at koffeinen falder 13 % i timen.

r = a − 1 = −0,13.

✗ b er værdien i 2018, når jeg bruger årstallene direkte som x i lineær regression.

✓ b er værdien i år 0. Brug x som antal år efter 2018, hvis b skal være værdien i 2018.

Koordinatskiftet ændrer b, men ikke den lineære models forudsigelser for de samme år.

✗ a = 2,4, når y måles i tusinder, betyder 2,4 mere pr. år.

✓ a = 2,4, når y måles i tusinder, betyder 2.400 mere pr. år.

Tjek altid enheden på y-aksen.

✗ f ∘ g og g ∘ f er det samme.

✓ f ∘ g og g ∘ f er som regel forskellige.

Med x² og x + 4 giver de 25 og 5 i x = 1.

✗ En eksponentiel funktion har et nulpunkt, hvor grafen er tæt på x-aksen.

✓ En eksponentiel funktion med b > 0 har ingen nulpunkter.

x-aksen er en asymptote, som grafen aldrig rammer.

Klik og se

Test dig selv

Vælg den rigtige sætning. Du får svaret med det samme.

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Tjek dig selv

Huskeliste pr. niveau

Kan du det her, kan du funktioner til den mundtlige prøve på C.

  • Funktion, forskrift, variable og funktionsværdi.
  • Graf, tabel, forskrift og ord, og at skifte mellem dem.
  • Lineære, eksponentielle og potensfunktioner og andengradspolynomier.
  • a og b i lineære og eksponentielle funktioner, også i en sammenhæng.
  • Fordoblings- og halveringskonstanten.
  • Regression med lineære, eksponentielle og potensfunktioner.
  • Beviset for topunktsformlen.

Alt fra C og desuden:

  • Sammensatte funktioner.
  • Polynomier, ln og formen b · eᵏˣ.
  • Gaffelforskrifter.
  • Andengradsregression.
  • De 15 opgavetyper til den skriftlige prøve.
  • Beviserne til den mundtlige prøve.

Alt fra B og desuden:

  • Parallelforskydning af grafer.
  • Cosinus og sinus.
  • Algoritmen som femte repræsentationsform.
  • Definitionsmængden i enkle tilfælde.

Hurtigt opslag

Alle begreberne samlet

Funktion
Betyder: Til hvert x præcis én y
Husk: y = f(x)
Forskrift
Betyder: Opskriften for f
Husk: Fx f(x) = 249x + 199
Funktionsværdi
Betyder: f(x) for et bestemt x
Husk: f(12) = 3.187
Uafhængig variabel
Betyder: Den, du vælger
Husk: Som regel x
Afhængig variabel
Betyder: Den, der afhænger af x
Husk: Som regel y
Definitionsmængde
Betyder: De x, f må få
Husk: Dm(f)
Værdimængde
Betyder: De y, f giver
Husk: Vm(f)
Graf
Betyder: Alle punkter (x, f(x))
Husk: Lodret-kriteriet
Nulpunkt
Betyder: x, hvor f(x) = 0
Husk: Skæring med x-aksen
Fortegnsvariation
Betyder: Hvor f er positiv og negativ
Husk: Intervaller mellem nulpunkterne
Sammensat funktion
Betyder: f(g(x))
Husk: Indre og ydre funktion
Omvendt funktion
Betyder: f⁻¹ går fra y til x
Husk: Spejling i y = x
Parallelforskydning
Betyder: f(x − a) + b
Husk: a vandret, b lodret
Gaffelforskrift
Betyder: Forskellige regler i hvert interval
Husk: B og A
Fremskrivningsfaktor
Betyder: a i b · aˣ
Husk: a = 1 + r
Fordoblingskonstant
Betyder: T₂ = log(2) / log(a)
Husk: Også kaldet fordoblingstid
Regression
Betyder: Den model, der passer bedst til data
Husk: Lineær, eksponentiel, potens, andengrads

Spørgsmål og svar

En regel, der til hver værdi af x giver præcis én værdi af y. Man skriver y = f(x). f(x) = 249x + 199 giver fx den samlede udgift til et tænkt fitnessmedlemskab efter x måneder.

En forskrift fortæller, hvordan du regner y ud for et vilkårligt x. En ligning er et spørgsmål: hvilket x giver det her tal? Forskriften bliver først til en ligning, når du sætter f(x) lig med et tal.

Forskrift med definitionsmængde, graf, tabel og sproglig beskrivelse. På A er algoritmen den femte.

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) og b = y₁ − a · x₁. Gennem (2, 7) og (6, 19) er a = 3 og b = 1.

I f(x) = b · aˣ er b startværdien, og a er fremskrivningsfaktoren. Vækstraten er r = a − 1. a = 1,04 betyder 4 % vækst pr. skridt i x.

Lineær vækst lægger det samme tal til hver gang. Eksponentiel vækst ganger med det samme tal hver gang, altså samme procent.

Sæt f(x) = 0, og løs ligningen. Behold kun de løsninger, der ligger i definitionsmængden. x² − 4x + 3 har nulpunkterne 1 og 3.

En funktion, hvor du først bruger én funktion og sender resultatet ind i en anden: (f ∘ g)⁠(x) = f(g(x)). Den hører til B og A.

En funktion f⁻¹, der går fra y tilbage til x. Grafen er grafen for f spejlet i linjen y = x. Den findes kun, hvis en vandret linje højst rammer grafen for f én gang.

Se på forskriften i opgaven: ax + b er lineær, b · aˣ eksponentiel, b · xᵃ potens og ax² + bx + c andengradsregression.

Om forfatteren

Siden her er skrevet af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie. Alt på Studiekompasset bygger på fagenes læreplaner og vejledninger, og hver side har sine kilder stående nederst. Finder du en fejl, så skriv til mig, og den bliver rettet.

Kilder

Kilder

Hænger sammen med

Se også

  • Matematik i gymnasiet
  • Noter til matematik
  • Differentialregning
  • Eksamen i matematik
  • CAS i matematik

Næste skridt

Regn opgave 1 til 4 i hånden i dag, og fold facit ud bagefter. Den, du gik i stå i, er den opgavetype, du skal læse først.

Gå til opgaverne

Gå videre til differentialregning

Del siden

Send linket til en, der kan bruge hjælpen.

Kopiér linkMailFacebook